हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के लिए आपका अभ्यास भंडार है। मूल-सूत्र सारणी को सामने रखें, तय करें कि कोई प्रश्न पृष्ठीय क्षेत्रफल (छिपे फलक हटाएँ), आयतन (गुहाएँ जोड़ें / घटाएँ), रूपांतरण (पुराना आयतन = नया आयतन), या छिन्नक का है, और प्रत्येक चरण को इकाइयों के साथ हल करें। जब तक $3.14$ न कहा जाए, $\pi=\tfrac{22}{7}$ का प्रयोग करें।

Example 1: 7 सेमी त्रिज्या के एक गोले का आयतन। Solution: $\tfrac43\times\tfrac{22}{7}\times343=\tfrac{4312}{3}\approx1437.33$ सेमी$^3$।

Example 2: एक बेलन $r=7$, $h=3$ सेमी का TSA। Solution: $2\pi r(r+h)=2\times\tfrac{22}{7}\times7\times10=440$ सेमी$^2$।

Example 3: 64 सेमी$^3$ आयतन के दो घन सिरे से सिरा जोड़े जाते हैं। बनने वाले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। Solution: किनारा $=4$ सेमी; घनाभ $4\times4\times8$; TSA $=2(16+32+32)=160$ सेमी$^2$। Answer: 160 सेमी$^2$।

Example 4: एक खिलौना एक ही त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा एक शंकु (त्रिज्या 3.5 सेमी) है; कुल ऊँचाई 15.5 सेमी। TSA ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $r=3.5$, शंकु $h=15.5-3.5=12$, $l=\sqrt{3.5^2+12^2}=\sqrt{12.25+144}=\sqrt{156.25}=12.5$; TSA $=\pi r l+2\pi r^2=\pi r(l+2r)=\tfrac{22}{7}\times3.5\times(12.5+7)=11\times19.5=214.5$ सेमी$^2$। Answer: 214.5 सेमी$^2$।

Example 5: 7 सेमी भुजा के एक घनाकार खंड के ऊपर सबसे बड़ा अर्धगोला रखा है। पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $r=3.5$; TSA $=6a^2+\pi r^2=6\times49+\tfrac{22}{7}\times12.25=294+38.5=332.5$ सेमी$^2$। Answer: 332.5 सेमी$^2$।

Example 6: एक बर्तन एक खोखला अर्धगोला (व्यास 14 सेमी) है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन रखा है; कुल ऊँचाई 13 सेमी। आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $r=7$; बेलन की ऊँचाई $=13-7=6$; आंतरिक SA $=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)=2\times\tfrac{22}{7}\times7\times13=572$ सेमी$^2$। Answer: 572 सेमी$^2$।

Example 7: एक ठोस बेलन ($h=2.4$ सेमी, व्यास 1.4 सेमी) से उसी ऊँचाई और व्यास की एक शंक्वाकार गुहा खोखली की जाती है। शेष ठोस का TSA ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $r=0.7$; $l=\sqrt{0.7^2+2.4^2}=\sqrt{0.49+5.76}=\sqrt{6.25}=2.5$; TSA $=2\pi rh+\pi rl+\pi r^2=\pi r(2h+l+r)=\tfrac{22}{7}\times0.7\times(4.8+2.5+0.7)=2.2\times8=17.6$ सेमी$^2$। Answer: ~17.6 सेमी$^2$।

Example 8: एक लकड़ी की वस्तु एक बेलन ($h=10$ सेमी, त्रिज्या 3.5 सेमी) है जिसके प्रत्येक सिरे से एक अर्धगोला खोदकर निकाला गया है। TSA ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: TSA $=2\pi rh+2(2\pi r^2)=2\pi r(h+2r)=2\times\tfrac{22}{7}\times3.5\times(10+7)=22\times17=374$ सेमी$^2$। Answer: 374 सेमी$^2$।

Example 9: एक ठोस अर्धगोले पर रखा एक शंकु है, दोनों की त्रिज्या 1 सेमी, शंकु की ऊँचाई 1 सेमी। आयतन को $\pi$ के रूप में ज्ञात कीजिए। Solution: $\tfrac13\pi(1)^2(1)+\tfrac23\pi(1)^3=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{2\pi}{3}=\pi$ सेमी$^3$। Answer: $\pi$ सेमी$^3$।

Example 10: एक मॉडल एक बेलन (कुल लंबाई 12 सेमी, व्यास 3 सेमी) है जिसके प्रत्येक सिरे पर एक शंकु (ऊँचाई 2 सेमी) है। वायु का आयतन ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $r=1.5$; बेलन की लंबाई $=12-2(2)=8$; $V=\pi r^2(8)+2\times\tfrac13\pi r^2(2)=\pi r^2(8+\tfrac43)=\tfrac{22}{7}\times2.25\times\tfrac{28}{3}=66$ सेमी$^3$। Answer: 66 सेमी$^3$।

Example 11: 45 गुलाब जामुन (बेलन + दो अर्धगोले, लंबाई 5 सेमी, व्यास 2.8 सेमी) में आयतन के 30% तक चाशनी है। चाशनी का आयतन ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $r=1.4$; बेलन की लंबाई $=5-2.8=2.2$; एक का $V=\pi r^2(2.2)+\tfrac43\pi r^3=\tfrac{22}{7}\times1.96\times2.2+\tfrac43\times\tfrac{22}{7}\times2.744=13.55+11.50=25.05$ सेमी$^3$; इनमें से 45 $\approx1127.3$; 30% $\approx338$ सेमी$^3$। Answer: ~338 सेमी$^3$।

Example 12: 4 शंक्वाकार गड्ढों ($r=0.5$, गहराई 1.4 सेमी) वाले एक घनाभाकार पेन स्टैंड ($15\times10\times3.5$) में लकड़ी का आयतन। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $525-4\times\tfrac13\times\tfrac{22}{7}\times0.25\times1.4=525-1.47\approx523.53$ सेमी$^3$। Answer: ~523.53 सेमी$^3$।

Example 13: 3 सेमी त्रिज्या के एक गोले को पिघलाकर शंकु (त्रिज्या 1 सेमी, ऊँचाई 3 सेमी) बनाए जाते हैं। शंकुओं की संख्या? Solution: $\dfrac{36\pi}{\pi}=36$। Answer: 36।

Example 14: 1 सेमी त्रिज्या के 27 ठोस गोलों को पिघलाकर एक गोला बनाया जाता है। इसकी त्रिज्या? Solution: $R^3=27\Rightarrow R=3$ सेमी। Answer: 3 सेमी।

Example 15: 6 सेमी त्रिज्या, 32 सेमी ऊँचाई के एक बेलन को पुनः ढालकर एक गोला बनाया जाता है। त्रिज्या? Solution: $\tfrac43\pi R^3=1152\pi\Rightarrow R^3=864\Rightarrow R\approx9.52$ सेमी। Answer: ~9.52 सेमी।

Example 16: एक ताँबे की छड़ (व्यास 1 सेमी, लंबाई 8 सेमी) को खींचकर 1 मिमी व्यास का एक तार बनाया जाता है। तार की लंबाई ज्ञात कीजिए। Solution: छड़ $V=\pi(0.5)^2(8)=2\pi$; तार की त्रिज्या $0.05$ सेमी; $\pi(0.05)^2 L=2\pi\Rightarrow L=\dfrac{2}{0.0025}=800$ सेमी $=8$ मी। Answer: 8 मी।

Example 17: पानी का एक शंकु (h = 8 सेमी, ऊपरी त्रिज्या 5 सेमी) अपना एक-चौथाई पानी 0.5 सेमी त्रिज्या की गोलाकार गोलियों को खो देता है। गोलियों की संख्या? Solution: विस्थापित $=\tfrac14\times\tfrac{200\pi}{3}=\tfrac{50\pi}{3}$; एक गोली $=\tfrac{\pi}{6}$; संख्या $=100$। Answer: 100।

Example 18: एक छिन्नक में $R=20$, $r=8$, $h=16$ सेमी है। तिर्यक ऊँचाई, CSA और आयतन ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14)$ Solution: $l=\sqrt{16^2+12^2}=20$; CSA $=\pi l(R+r)=3.14\times20\times28=1758.4$ सेमी$^2$; $V=\tfrac13\times3.14\times16\times624=10449.92$ सेमी$^3$। Answer: 20 सेमी, 1758.4 सेमी$^2$, 10449.92 सेमी$^3$।

Example 19: एक बाल्टी (छिन्नक, $R=20$, $r=8$, $h=16$) की धारिता लीटर में। Solution: $10449.92\div1000\approx10.45$ लीटर। Answer: ~10.45 लीटर।

Example 20: एक छिन्नक गिलास: ऊपरी त्रिज्या 3 सेमी, निचली त्रिज्या 2 सेमी, ऊँचाई 6 सेमी। धारिता? $(\pi=3.14)$ Solution: $\tfrac13\times3.14\times6\times(9+4+6)=119.32$ सेमी$^3$। Answer: ~119.32 सेमी$^3$।

Example 21: एक ठोस लोहे का खंभा एक बेलन ($h=220$ सेमी, व्यास 24 सेमी) है जिसके ऊपर एक और बेलन ($h=60$ सेमी, त्रिज्या 8 सेमी) रखा है। द्रव्यमान यदि 1 सेमी$^3$ लोहा $=8$ ग्राम। $(\pi=3.14)$ Solution: $V=3.14\times144\times220+3.14\times64\times60=99475.2+12057.6=111532.8$ सेमी$^3$; द्रव्यमान $=111532.8\times8\approx892262$ ग्राम $\approx892.26$ किग्रा। Answer: ~892.26 किग्रा।

Example 22: 5 सेमी आधार त्रिज्या और 24 सेमी ऊँचाई का एक शंक्वाकार बर्तन पानी से भरा है, जिसे 10 सेमी त्रिज्या के एक बेलन में उंडेला जाता है। बेलन में पानी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। $(\pi\text{ रद्द हो जाता है})$ Solution: शंकु $V=\tfrac13\pi(25)(24)=200\pi$; बेलन $\pi(100)h=200\pi\Rightarrow h=2$ सेमी। Answer: 2 सेमी।

Example 23: 6 सेमी त्रिज्या का एक अर्धगोलाकार कटोरा द्रव से भरा है जिसे 1.5 सेमी त्रिज्या, 4 सेमी ऊँचाई की बेलनाकार बोतलों में उंडेला जाता है। बोतलों की संख्या? Solution: कटोरा $=\tfrac23\pi(216)=144\pi$; बोतल $=\pi(2.25)(4)=9\pi$; संख्या $=16$। Answer: 16।

Example 24: 7 सेमी किनारे के एक घन से तराशे गए सबसे बड़े गोले का आयतन। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: गोले का व्यास $=7\Rightarrow r=3.5$; $V=\tfrac43\times\tfrac{22}{7}\times42.875\approx179.67$ सेमी$^3$। Answer: ~179.67 सेमी$^3$।

Example 25: 5 सेमी त्रिज्या, 4 सेमी ऊँचाई के एक बेलन को एक शंकु (त्रिज्या 5 सेमी, ऊँचाई 12 सेमी) के साथ पिघलाया जाता है… संयुक्त आयतन ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14)$ Solution: $\pi(25)(4)+\tfrac13\pi(25)(12)=100\pi+100\pi=200\pi=628$ सेमी$^3$। Answer: 628 सेमी$^3$।

Example 26: 10.5 सेमी त्रिज्या के एक ठोस धात्विक गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी त्रिज्या, 3 सेमी ऊँचाई के छोटे शंकु बनाए जाते हैं। संख्या? $(\pi\text{ रद्द हो जाता है})$ Solution: गोला $=\tfrac43\pi(1157.625)=1543.5\pi$; शंकु $=\tfrac13\pi(12.25)(3)=12.25\pi$; संख्या $=126$। Answer: 126।

Example 27: 3 मी व्यास का एक कुआँ 14 मी गहरा खोदा जाता है; मिट्टी को उसके चारों ओर एक वलय (चौड़ाई 4 मी) के रूप में फैलाया जाता है। वलय की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: मिट्टी $=\pi(1.5)^2(14)=31.5\pi$; वलय की आंतरिक $r=1.5$, बाह्य $R=5.5$; $\pi(R^2-r^2)h=31.5\pi\Rightarrow(30.25-2.25)h=31.5\Rightarrow28h=31.5\Rightarrow h=1.125$ मी। Answer: 1.125 मी।

Example 28: 6 सेमी व्यास का एक गोला पानी युक्त 6 सेमी त्रिज्या के एक बेलन में डाला जाता है। जल स्तर में वृद्धि ज्ञात कीजिए। $(\pi\text{ रद्द हो जाता है})$ Solution: गोला $=\tfrac43\pi(27)=36\pi$; $\pi(36)h=36\pi\Rightarrow h=1$ सेमी। Answer: 1 सेमी।

Example 29: एक छिन्नक बाल्टी के दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी हैं और इसकी ऊँचाई 30 सेमी है। इसकी धारिता ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution: $V=\tfrac13\times\tfrac{22}{7}\times30\times(196+49+98)=\tfrac13\times\tfrac{22}{7}\times30\times343=\tfrac{22}{7}\times10\times343=\tfrac{22\times3430}{7}=10780$ सेमी$^3$। Answer: 10780 सेमी$^3$ (~10.78 लीटर)।

Example 30: एक तंबू एक बेलन (त्रिज्या 14 मी, ऊँचाई 3 मी) है जिसके ऊपर उसी आधार का और 4 मी ऊँचाई का एक शंकु रखा है। कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=\tfrac{22}{7})$ Solution:

1. शंकु की तिर्यक $l=\sqrt{14^2+4^2}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}\approx14.56$ मी।
2. कैनवास $=2\pi rh+\pi rl=\pi r(2h+l)=\tfrac{22}{7}\times14\times(6+14.56)=44\times20.56\approx904.6$ मी$^2$।

Final Answer: $\approx 904.6$ मी$^2$।

Takeaway: तंबू का कैनवास $=$ बेलन CSA $+$ शंकु CSA; पहले शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें।