मूल ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

पाँच मूल ठोस

इस अध्याय में सब कुछ केवल उन पाँच आकृतियों से बना है जिनसे आप कक्षा 9 में मिले थे: घनाभ, घन, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोला। इनके सूत्रों में महारत हासिल कर लें और शेष अध्याय बस जोड़ना और घटाना है।

दो शब्द जिनका हम लगातार उपयोग करते हैं:

• CSA = वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल — केवल "बगल" का पृष्ठ।
• TSA = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल — प्रत्येक फलक, सपाट ऊपरी और निचले तलों सहित।

मुख्य बिंदु: सपाट आधार वाले ठोस (बेलन, शंकु, अर्धगोला) के लिए, TSA $=$ CSA $+$ सपाट फलक(ों) का क्षेत्रफल। गोले का कोई सपाट फलक नहीं होता, इसलिए इसका "CSA" और "TSA" समान होते हैं।

घनाभ और घन

लंबाई $l$, चौड़ाई $b$, ऊँचाई $h$ वाला घनाभ:

• आयतन $= l\,b\,h$
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl)$
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (4 दीवारें) $= 2h(l+b)$
• विकर्ण $= \sqrt{l^2+b^2+h^2}$

कोर $a$ वाला घन (सभी भुजाएँ समान वाला घनाभ):

• आयतन $= a^3$
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6a^2$
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4a^2$
• विकर्ण $= a\sqrt3$

बेलन और शंकु

आधार त्रिज्या $r$, ऊँचाई $h$ वाला बेलन:

• आयतन $= \pi r^2 h$
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r h$
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r(r + h)$

आधार त्रिज्या $r$, ऊँचाई $h$, तिर्यक ऊँचाई $l$ वाला शंकु:

• तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (पाइथागोरस से)
• आयतन $= \dfrac13 \pi r^2 h$
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l$
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r(l + r)$

मुख्य बिंदु: शंकु का आयतन समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन का ठीक एक-तिहाई होता है। $\pi r l$ का उपयोग करने से पहले हमेशा $r$ और $h$ से $l$ ज्ञात करें।

गोला और अर्धगोला, और एक तत्काल सारणी

त्रिज्या $r$ वाला गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4\pi r^2$; आयतन $= \dfrac43\pi r^3$।

त्रिज्या $r$ वाला अर्धगोला (आधा गोला): CSA $= 2\pi r^2$; TSA $= 3\pi r^2$ (वक्र $+$ सपाट वृत्तीय फलक $\pi r^2$); आयतन $= \dfrac23\pi r^3$।

ठोस	CSA / वक्र	TSA	आयतन
घनाभ	$2h(l+b)$	$2(lb+bh+hl)$	$lbh$
घन	$4a^2$	$6a^2$	$a^3$
बेलन	$2\pi rh$	$2\pi r(r+h)$	$\pi r^2 h$
शंकु	$\pi rl$	$\pi r(l+r)$	$\tfrac13\pi r^2 h$
गोला	$4\pi r^2$	$4\pi r^2$	$\tfrac43\pi r^3$
अर्धगोला	$2\pi r^2$	$3\pi r^2$	$\tfrac23\pi r^3$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] इस सारणी को अच्छी तरह याद कर लें — अधिकांश अध्याय सही पंक्तियाँ चुनने और उन्हें जोड़ने का है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: बेलन

7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले एक बेलन का आयतन और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. आयतन $= \pi r^2 h = \dfrac{22}{7}\times 49\times 10 = 1540$ सेमी$^3$।
2. TSA $= 2\pi r(r+h) = 2\times\dfrac{22}{7}\times 7\times(7+10) = 44\times 17 = 748$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: आयतन $= 1540$ सेमी$^3$, TSA $= 748$ सेमी$^2$।

उदाहरण 2: शंकु की तिर्यक ऊँचाई

एक शंकु की त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई, CSA और आयतन ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

हल:

1. $l = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ सेमी।
2. CSA $= \pi r l = 3.14\times 6\times 10 = 188.4$ सेमी$^2$।
3. आयतन $= \dfrac13\pi r^2 h = \dfrac13\times 3.14\times 36\times 8 = 301.44$ सेमी$^3$।

अंतिम उत्तर: $l=10$ सेमी, CSA $=188.4$ सेमी$^2$, आयतन $=301.44$ सेमी$^3$।

मुख्य बात: $(6,8,10)$ एक पाइथागोरियन त्रिक है — पहले $l$ ज्ञात करें।

उदाहरण 3: गोला और अर्धगोला

7 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल, और उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का TSA ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. गोला: $4\pi r^2 = 4\times\dfrac{22}{7}\times 49 = 616$ सेमी$^2$।
2. अर्धगोले का TSA $= 3\pi r^2 = 3\times\dfrac{22}{7}\times 49 = 462$ सेमी$^2$।

अंतिम उत्तर: गोला $616$ सेमी$^2$; अर्धगोले का TSA $462$ सेमी$^2$।

मुख्य बात: अर्धगोले का TSA $3\pi r^2$ है (न कि $2\pi r^2$) — इसमें सपाट वृत्त शामिल है।

उदाहरण 4: घन

एक घन की कोर 5 सेमी है। इसका आयतन, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:

1. आयतन $= a^3 = 125$ सेमी$^3$।
2. TSA $= 6a^2 = 6\times 25 = 150$ सेमी$^2$।
3. विकर्ण $= a\sqrt3 = 5\sqrt3 \approx 8.66$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $125$ सेमी$^3$, $150$ सेमी$^2$, $5\sqrt3\approx 8.66$ सेमी।

मुख्य बात: घन का विकर्ण $= a\sqrt3$; फलक विकर्ण $= a\sqrt2$।