ठोसों के संयोजन का आयतन

आयतन बस जुड़ते हैं

पृष्ठीय क्षेत्रफल पेचीदा था क्योंकि जुड़े हुए फलक गायब हो जाते थे। आयतन आसान है। जब दो ठोसों को जोड़ा जाता है, तो कोई आयतन नष्ट नहीं होता — संयुक्त ठोस का आयतन ठीक उसके भागों के आयतनों का योग होता है। $$\text{संयोजन का आयतन} = \text{भाग 1 का आयतन} + \text{भाग 2 का आयतन} + \dots$$

मुख्य बिंदु: पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए आप छिपे हुए फलकों को हटा देते हैं; आयतन के लिए आप बस सब कुछ जोड़ देते हैं। अलग नियम — इन्हें आपस में न मिलाएँ।

जोड़ के लिए जोड़ें, गुहा के लिए घटाएँ

यदि किसी ठोस में खोखला भाग या गड्ढा हो, तो उस खाली आयतन को घटाएँ: $$\text{वास्तविक आयतन (धारिता)} = \text{बाहरी ठोस} - \text{खोखला किया गया भाग}.$$

• एक गिलास (बेलन) जिसका तल अर्धगोलाकार उभरा हुआ हो: वास्तविक धारिता $= \pi r^2 h - \dfrac23\pi r^3$।
• एक पेन स्टैंड (घनाभ) जिसमें शंक्वाकार गड्ढे हों: लकड़ी का आयतन $= \text{घनाभ} - (\text{शंकुओं की संख्या})\times\dfrac13\pi r^2 h$।

मुख्य बिंदु: "यह कितना धारण करता है" या "कितनी सामग्री बची है" $\Rightarrow$ खाली/हटाए गए भाग को घटाएँ।

परिचित संयोजन

• कैप्सूल / गुलाब जामुन (बेलन $+$ दो अर्धगोले): $V = \pi r^2 h + 2\times\dfrac23\pi r^3 = \pi r^2 h + \dfrac43\pi r^3$, जहाँ $h = \text{length} - 2r$।
• खिलौना (शंकु $+$ अर्धगोला): $V = \dfrac13\pi r^2 h + \dfrac23\pi r^3$।
• मॉडल (बेलन $+$ प्रत्येक सिरे पर एक शंकु): $V = \pi r^2 h_{\text{cyl}} + 2\times\dfrac13\pi r^2 h_{\text{cone}}$।
• शेड (घनाभ $+$ अर्ध-बेलनाकार छत): $V = lbh + \dfrac12\pi r^2 L$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] हमेशा ध्यान दें कि कौन-सी त्रिज्या/ऊँचाई किस भाग की है — संयोजनों में अक्सर अलग-अलग भागों के लिए एक ही अक्षर $r$ या $h$ का पुनः उपयोग होता है।

धारिता बनाम सामग्री का आयतन

स्पष्ट रहें कि क्या पूछा जा रहा है:

• धारिता / हवा का आयतन / यह कितना धारण करता है $=$ आंतरिक (खाली) आयतन।
• सामग्री / लकड़ी / धातु का आयतन $=$ ठोस आयतन $-$ कोई भी खोखला भाग।

दीवारों वाले बर्तन के लिए, धारिता हेतु आंतरिक त्रिज्या का उपयोग करें। यदि प्रश्न में बाहरी विमाएँ और मोटाई दी गई हों, तो धारिता (बाहरी $-$ मोटाई) का उपयोग करती है।

मुख्य बिंदु: पहले तय करें: क्या मैं सामग्री (material) माप रहा हूँ या स्थान (धारिता)? फिर उसी के अनुसार जोड़ें या घटाएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: अर्धगोलाकार तल वाला गिलास

एक बेलनाकार गिलास जिसका आंतरिक व्यास 5 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, उसका तल अर्धगोलाकार उभरा हुआ है। इसकी आभासी और वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

हल:

1. $r = 2.5$ सेमी। आभासी धारिता $= \pi r^2 h = 3.14\times 6.25\times 10 = 196.25$ सेमी$^3$।
2. अर्धगोले का आयतन $= \dfrac23\pi r^3 = \dfrac23\times 3.14\times 15.625 = 32.71$ सेमी$^3$।
3. वास्तविक धारिता $= 196.25 - 32.71 = 163.54$ सेमी$^3$।

अंतिम उत्तर: आभासी $196.25$ सेमी$^3$; वास्तविक $163.54$ सेमी$^3$।

मुख्य बात: उभरा हुआ तल धारिता को कम करता है — अर्धगोले को घटाएँ।

उदाहरण 2: खिलौने का आयतन

एक ठोस खिलौना एक अर्धगोला है जिसके ऊपर एक शंकु रखा है। शंकु की ऊँचाई 2 सेमी और आधार का व्यास 4 सेमी है। खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=3.14\right)$

हल:

1. $r = 2$ सेमी। $V = \dfrac23\pi r^3 + \dfrac13\pi r^2 h$।
2. $= \dfrac23\times 3.14\times 8 + \dfrac13\times 3.14\times 4\times 2 = 16.75 + 8.37 = 25.12$ सेमी$^3$।

अंतिम उत्तर: $25.12$ सेमी$^3$।

मुख्य बात: आयतन जुड़ते हैं: अर्धगोला $+$ शंकु।

उदाहरण 3: शेड में हवा

एक शेड एक घनाभ ($15\text{ मी}\times 7\text{ मी}\times 8\text{ मी}$) है जिसके ऊपर 7 मी व्यास और 15 मी लंबाई का एक अर्ध-बेलन है। यह कितनी हवा धारण कर सकता है, वह आयतन ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. घनाभ $= 15\times 7\times 8 = 840$ मी$^3$।
2. अर्ध-बेलन $= \dfrac12\pi r^2 L = \dfrac12\times\dfrac{22}{7}\times 3.5^2\times 15 = 288.75$ मी$^3$।
3. कुल $= 840 + 288.75 = 1128.75$ मी$^3$।

अंतिम उत्तर: $1128.75$ मी$^3$।

मुख्य बात: अर्ध-बेलन का आयतन $= \tfrac12\pi r^2 L$।

उदाहरण 4: पेन स्टैंड में लकड़ी का आयतन

एक घनाभाकार पेन स्टैंड ($15\times 10\times 3.5$ सेमी) में 4 शंक्वाकार गड्ढे हैं, प्रत्येक की त्रिज्या 0.5 सेमी और गहराई 1.4 सेमी है। लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\dfrac{22}{7}\right)$

हल:

1. घनाभ $= 15\times 10\times 3.5 = 525$ सेमी$^3$।
2. एक शंकु $= \dfrac13\pi r^2 h = \dfrac13\times\dfrac{22}{7}\times 0.25\times 1.4 = \dfrac{11}{30}\approx 0.3667$ सेमी$^3$; चार शंकु $\approx 1.4667$ सेमी$^3$।
3. लकड़ी $= 525 - 1.4667 \approx 523.53$ सेमी$^3$।

अंतिम उत्तर: $\approx 523.53$ सेमी$^3$।

मुख्य बात: सामग्री का आयतन $=$ ठोस $-$ (गुहाएँ)।