सारांश और त्वरित पुनरावलोकन

अध्याय एक नज़र में

यहाँ प्रत्येक प्रश्न चार प्रकारों में से एक है: मूल ठोस (एक सूत्र का उपयोग करें), संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (उघड़ी वक्र सतहों को जोड़ें), संयोजन का आयतन (जोड़ें, या किसी गुहा को घटाएँ), रूपांतरण (पुराना आयतन = नया आयतन), या शंकु का छिन्नक (इसके अपने तीन सूत्र)। पहले प्रकार की पहचान करें।

मूल सूत्र (अवश्य याद करें)

शंकु की तिर्यक ऊँचाई: $l=\sqrt{r^2+h^2}$। घन का विकर्ण $a\sqrt3$; घनाभ का विकर्ण $\sqrt{l^2+b^2+h^2}$।

संयोजन, रूपांतरण और छिन्नक के नियम

• संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल: केवल उघड़ी (वक्र) सतहों को जोड़ें; किसी सपाट फलक पर उभार या गड्ढा क्षेत्रफल को $+\pi r^2$ से बदलता है।
• संयोजन का आयतन: भागों को जोड़ें; किसी भी गुहा/गड्ढे को घटाएँ।
• रूपांतरण (पिघलाना/पुनः ढालना/तार/पानी): आयतन संरक्षित रहता है — पुराना आयतन $=$ नया आयतन; टुकड़ों की संख्या $=\dfrac{V_{\text{बड़ा}}}{V_{\text{छोटा}}}$; $\pi$ प्रायः कट जाता है।
• छिन्नक $(R,r,h)$: $l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}$; CSA $=\pi l(R+r)$; TSA $=\pi l(R+r)+\pi R^2+\pi r^2$; आयतन $=\tfrac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$।
• $1$ लीटर $=1000$ सेमी$^3$; $1$ मी$^3=10^6$ सेमी$^3$।

बचने योग्य सामान्य भ्रम

• पृष्ठीय क्षेत्रफल बनाम आयतन के नियम: क्षेत्रफल के लिए छिपे फलकों को छोड़ दें, परंतु आयतन के लिए सब कुछ जोड़ें।
• अर्धगोले का TSA $3\pi r^2$ है, $2\pi r^2$ नहीं — जब आधार उघड़ा हो तो सपाट वृत्त को सम्मिलित करें।
• शंकु: पहले $l$ ज्ञात करें $\pi rl$ का उपयोग करने से पहले $l=\sqrt{r^2+h^2}$ से।
• संयोजन की ऊँचाइयाँ: भागों की ऊँचाइयाँ कुल नहीं होतीं — जैसे शंकु की ऊँचाई $=$ कुल ऊँचाई $-$ अर्धगोले की त्रिज्या; बेलन की लंबाई $=$ कैप्सूल की लंबाई $-2r$।
• छिन्नक की तिर्यक $(R-r)$ का उपयोग करती है, $(R+r)$ का नहीं।
• इकाइयाँ: एक ही इकाई में बदलें; धारिताओं को लीटर में (सेमी$^3$ से $\div 1000$)।

अंतिम सुझाव: ठोस का रेखाचित्र बनाएँ, प्रत्येक भाग की $r$ और $h$ अंकित करें, जोड़ना या घटाना तय करें, और अंत तक $\pi$ को प्रतीकात्मक रखें।