ठोसों का रूपांतरण (पिघलाना और पुनः ढालना)

एक ही सिद्धांत: आयतन संरक्षित रहता है

जब किसी ठोस को पिघलाकर पुनः ढाला जाता है, खींचकर तार बनाया जाता है, या किसी भी तरह पुनः आकार दिया जाता है, तो इसकी सामग्री नहीं बदलती — इसलिए इसका आयतन समान रहता है: $$\text{पहले का आयतन} = \text{बाद का आयतन}.$$

इस खंड की हर समस्या वास्तव में एक ही समीकरण है: $$\text{मूल आकृति का आयतन} = \text{नई आकृति(यों) का आयतन}.$$

मुख्य बिंदु: "पुराना आयतन $=$ नया आयतन" स्थापित करें और जो भी अज्ञात है (नई विमा, या टुकड़ों की संख्या) उसे हल करें।

पिघलाकर कई टुकड़ों में पुनः ढालना

यदि एक बड़े ठोस को पिघलाकर $n$ समान छोटे टुकड़ों में पुनः ढाला जाए: $$n = \dfrac{\text{बड़े ठोस का आयतन}}{\text{एक छोटे टुकड़े का आयतन}}.$$

उदाहरण के लिए, एक गोले को पिघलाकर छोटे शंकु, या एक बड़े गोले को छोटे गोलों में, या एक बेलन को सिक्कों में।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $\pi$ आमतौर पर दोनों पक्षों से कट जाता है — इसे $\pi$ ही रहने दें और यह गायब हो जाएगा, जिससे गणना बचती है।

खींचकर तार (या एक लंबा बेलन) बनाना

धातु के एक ढेले को खींचकर बनाया गया लंबा पतला तार वास्तव में बहुत छोटी त्रिज्या और बहुत बड़ी लंबाई का एक बेलन ही है। फिर से, आयतन संरक्षित रहता है: $$\text{ढेले का आयतन} = \pi r_{\text{तार}}^2 \times \text{लंबाई}.$$

तो तार की लंबाई $= \dfrac{\text{ढेले का आयतन}}{\pi r_{\text{तार}}^2}$।

मुख्य बिंदु: "$d$ व्यास के तार में खींचा गया" का अर्थ है $d/2$ त्रिज्या का एक बेलन — संरक्षित आयतन से इसकी लंबाई ज्ञात करें।

जल विस्थापन और बढ़ते स्तर

जब किसी ठोस को किसी पात्र में पानी में डाला जाता है, तो यह जितना पानी ऊपर धकेलता है वह ठोस के आयतन के बराबर होता है (या डूबे हुए भाग के): $$\text{ठोस का आयतन} = \text{विस्थापित जल का आयतन} = (\text{आधार क्षेत्रफल}) \times (\text{स्तर में वृद्धि}).$$

"कितनी सीसे की गोलियाँ पानी को दी गई मात्रा से बढ़ा/उफान देती हैं" के लिए, उपयोग करें $$\text{संख्या} = \dfrac{\text{विस्थापित जल का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}}.$$

मुख्य बिंदु: जल स्तर में वृद्धि $\times$ आधार क्षेत्रफल $=$ डूबी हुई वस्तु का आयतन। वही संरक्षण विचार, बस पानी के साथ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: गोले को पिघलाकर शंकु बनाना

3 सेमी त्रिज्या के एक धातु के गोले को पिघलाकर छोटे शंकुओं में पुनः ढाला जाता है, प्रत्येक की त्रिज्या 1 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। कितने शंकु बनते हैं?

हल:

1. गोले का आयतन $= \dfrac43\pi (3)^3 = 36\pi$ सेमी$^3$।
2. एक शंकु का आयतन $= \dfrac13\pi (1)^2(3) = \pi$ सेमी$^3$।
3. संख्या $= \dfrac{36\pi}{\pi} = 36$।

अंतिम उत्तर: 36 शंकु।

मुख्य बात: संख्या $= \dfrac{V_{\text{big}}}{V_{\text{small}}}$; $\pi$ कट जाता है।

उदाहरण 2: गोले को खींचकर तार बनाना

3 सेमी त्रिज्या के एक ताँबे के गोले को पिघलाकर 0.2 सेमी व्यास के तार में खींचा जाता है। तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. गोले का आयतन $= \dfrac43\pi (3)^3 = 36\pi$ सेमी$^3$।
2. तार की त्रिज्या $= 0.1$ सेमी; आयतन $= \pi (0.1)^2 L = 0.01\pi L$।
3. $0.01\pi L = 36\pi \Rightarrow L = 3600$ सेमी $= 36$ मी।

अंतिम उत्तर: 36 मी।

मुख्य बात: तार एक पतला बेलन है; लंबाई $= V/(\pi r^2)$।

उदाहरण 3: बेलन को पुनः ढालकर गोला बनाना

6 सेमी त्रिज्या और 32 सेमी ऊँचाई के एक ठोस धातु के बेलन को पिघलाकर एक ही गोले में पुनः ढाला जाता है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. बेलन का आयतन $= \pi (6)^2(32) = 1152\pi$ सेमी$^3$।
2. रखें $\dfrac43\pi R^3 = 1152\pi \Rightarrow R^3 = \dfrac{3\times 1152}{4} = 864$।
3. $R = \sqrt[3]{864} \approx 9.52$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $R = \sqrt[3]{864} \approx 9.52$ सेमी।

मुख्य बात: आयतनों को बराबर करें और नई त्रिज्या के लिए हल करें।

उदाहरण 4: पानी के शंकु में सीसे की गोलियाँ

एक शंक्वाकार पात्र (ऊँचाई 8 सेमी, शीर्ष त्रिज्या 5 सेमी) पानी से भरा है। जब सीसे की गोलियाँ (0.5 सेमी त्रिज्या के गोले) उसमें डाली जाती हैं, तो एक-चौथाई पानी बाहर निकल जाता है। कितनी गोलियाँ डाली गईं? $\left(\pi\text{ कट जाता है}\right)$

हल:

1. शंकु (पानी) का आयतन $= \dfrac13\pi (5)^2(8) = \dfrac{200\pi}{3}$ सेमी$^3$।
2. विस्थापित पानी $= \dfrac14\times\dfrac{200\pi}{3} = \dfrac{50\pi}{3}$ सेमी$^3$।
3. एक गोली $= \dfrac43\pi (0.5)^3 = \dfrac{\pi}{6}$ सेमी$^3$।
4. संख्या $= \dfrac{50\pi/3}{\pi/6} = \dfrac{50}{3}\times 6 = 100$।

अंतिम उत्तर: 100 गोलियाँ।

मुख्य बात: विस्थापित पानी का आयतन $\div$ एक गोली का आयतन $=$ संख्या।