रैखिक समीकरणों के ग्राफ़

रैखिक समीकरण का ग्राफ़ खींचना

$ax + by = c$ रूप के समीकरण को, जिसमें $a$ और $b$ दोनों एक साथ 0 न हों, दो चरों वाला रैखिक समीकरण (linear equation in two variables) कहते हैं। इसका ग्राफ़ हमेशा एक सरल रेखा होता है। रेखा का हर बिंदु समीकरण का एक हल होता है, और समीकरण का हर हल रेखा का एक बिंदु।

ग्राफ़ खींचने के लिए पहले समीकरण के कुछ हल निकाल लीजिए। $x$ के ऐसे मान चुनिए, जिनसे $y$ आसानी से निकल आए। इन्हें एक तालिका में लिखिए, फिर बिंदु अंकित कीजिए और उन्हें मिला दीजिए।

रेखा तय करने के लिए दो बिंदु काफ़ी हैं। फिर भी एक तीसरा बिंदु ज़रूर ले लीजिए। इससे हिसाब की गलती पकड़ में आ जाती है। अगर तीसरा बिंदु बाकी दो वाली रेखा पर न पड़े, तो समझ लीजिए कि तीनों में से कोई एक गलत है।

जैसे $2x + 3y = 12$ लीजिए। इसे $y = \frac{12 - 2x}{3}$ लिख सकते हैं। अब कुछ मान रखकर यह तालिका बना लेते हैं।

चारों बिंदु एक ही रेखा पर पड़ते हैं। यहाँ $x$ के लिए 3 के गुणज लिए गए हैं, ताकि हर $y$ पूर्ण संख्या आए। $x = 1$ लेते, तो $y = \frac{10}{3}$ आता, और ऐसे बिंदु को ठीक-ठीक अंकित करना कठिन होता।

ग्राफ़ पढ़ना: खींची गई रेखा का कोई भी बिंदु समीकरण का एक हल होता है। जैसे यह रेखा $(3, 2)$ से होकर जाती है। $x = 3$ और $y = 2$ रखिए, तो ये $2x + 3y = 12$ को संतुष्ट करते हैं। रेखा से बाहर का बिंदु हल नहीं होता। $(2, 2)$ के लिए $2(2) + 3(2) = 10$ आता है, 12 नहीं।

इसीलिए दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं। उसकी रेखा का हर बिंदु एक हल है। अगर मानों का कोई एक ही जोड़ा चाहिए, तो एक और रेखा लेनी होगी, जो पहली रेखा को काटे। दो रेखाएँ कहाँ मिलती हैं और उस बिंदु का क्या मतलब है, यह इसी खंड में आगे देखेंगे।

रेखा अक्षों को कहाँ काटती है

किसी भी रेखा के दो बिंदु हर बार आसानी से मिल जाते हैं। ये वे बिंदु हैं, जहाँ रेखा अक्षों को काटती है।

• x-अक्ष के हर बिंदु पर $y = 0$ होता है। तो समीकरण में $y = 0$ रखिए, पता चल जाएगा कि रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है।
• y-अक्ष के हर बिंदु पर $x = 0$ होता है। इसलिए $x = 0$ रखने से पता चलता है कि रेखा y-अक्ष को कहाँ काटती है।

जैसे $4x - 5y = 20$ लीजिए। $y = 0$ रखने पर $4x = 20$, यानी $x = 5$ आता है। तो रेखा x-अक्ष को $(5, 0)$ पर काटती है। अब $x = 0$ रखिए। $-5y = 20$ से $y = -4$ आता है, तो रेखा y-अक्ष को $(0, -4)$ पर काटती है। इन दोनों बिंदुओं को मिला दीजिए, रेखा तैयार है।

यही बात हर समीकरण पर लागू होती है। $ax + by = c$ की रेखा x-अक्ष को $\left(\frac{c}{a}, 0\right)$ पर और y-अक्ष को $\left(0, \frac{c}{b}\right)$ पर काटती है। रेखा का अंतःखंड रूप ये दोनों बिंदु एक नज़र में दिखा देता है। वह "ढाल और रेखा का समीकरण" वाले खंड में आएगा।

यहाँ तीन गलतियों से बचिए।

• x-अक्ष वाले बिंदु को $(0, 5)$ लिख देना। x-अक्ष के बिंदु में 0 दूसरे स्थान पर आता है।
• गुणांक को ही अंतःखंड मान लेना। यह रेखा x-अक्ष को 5 पर काटती है, 4 पर नहीं।
• चिह्न भूल जाना। $-5y = 20$ से $y = -4$ आता है, यानी यह बिंदु मूल बिंदु से नीचे है।

अक्षों के बीच का टुकड़ा: $(5, 0)$ से $(0, -4)$ तक का रेखाखंड एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है। इस त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 5 और 4 हैं, और दोनों अक्षों पर हैं। तो इस टुकड़े की लंबाई $\sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$ है।

रेखा किधर से गुज़रती है: रेखा किस-किस चतुर्थांश (quadrant) से होकर जाती है, यह भी दोनों अक्ष-बिंदु ही बता देते हैं। यह रेखा दाईं ओर चढ़ती है, क्योंकि इसकी ढाल $\frac{4}{5}$ है। y-अक्ष के बाईं ओर यह $(0, -4)$ से और नीचे चली जाती है, यानी तृतीय चतुर्थांश में। दोनों अक्ष-बिंदुओं के बीच यह चतुर्थ चतुर्थांश में रहती है, और $(5, 0)$ के आगे प्रथम चतुर्थांश में पहुँच जाती है। द्वितीय चतुर्थांश में यह कभी नहीं जाती। याद रखिए, जो तिरछी रेखा मूल बिंदु से नहीं गुज़रती, वह हमेशा ठीक तीन चतुर्थांशों से होकर जाती है।

रेखाएँ $x = a$, $y = b$, $y = x$ और $y = -x$

कुछ समीकरणों में केवल एक ही अक्षर होता है। फिर भी उनका ग्राफ़ एक रेखा ही होता है।

• $x = a$ उन सब बिंदुओं का समूह है, जिनका x-निर्देशांक $a$ है। यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो y-अक्ष के समांतर है और x-अक्ष को $(a, 0)$ पर काटती है।
• $y = b$ एक क्षैतिज रेखा है। यह x-अक्ष के समांतर है और y-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है।
• $x = 0$ ख़ुद y-अक्ष है, और $y = 0$ ख़ुद x-अक्ष। इन दोनों को छात्र अक्सर आपस में उलट देते हैं। याद रखने के लिए बस इतना सोचिए कि y-अक्ष वह रेखा है, जिस पर $x$ का मान 0 है।
• $y = x$ पर वे बिंदु हैं, जिनके दोनों निर्देशांक बराबर हैं, जैसे $(1, 1)$ और $(-3, -3)$। यह रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है और x-अक्ष से $45^\circ$ का कोण बनाती है। यह प्रथम और तृतीय चतुर्थांश को बीच से आधा-आधा बाँटती है।
• $y = -x$ पर $(2, -2)$ और $(-4, 4)$ जैसे बिंदु हैं। यह भी मूल बिंदु से गुज़रती है, पर x-अक्ष से $135^\circ$ का कोण बनाती है। यह द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश से होकर जाती है।

$x = 3$ और $y = -2$ आपस में $(3, -2)$ पर मिलती हैं। यही अकेला बिंदु है, जो दोनों रेखाओं पर है। इसी तरह $x = 3$ रेखा $y = x$ से $(3, 3)$ पर और $y = -x$ से $(3, -3)$ पर मिलती है।

मूल बिंदु से गुज़रने वाली रेखाएँ: जिस समीकरण में अचर पद न हो, जैसे $y = mx$ या $ax + by = 0$, उसकी रेखा $(0, 0)$ से होकर जाती है। ऐसी रेखा दोनों अक्षों को एक ही बिंदु पर काटती है। इसलिए वह अक्षों के साथ त्रिभुज नहीं बना सकती।

[SSC टिप] अक्सर पूछा जाता है, "$x = a$ का ग्राफ़ कैसी रेखा है?" इसका उत्तर है, y-अक्ष के समांतर रेखा, भले ही समीकरण में अक्षर $x$ लिखा हो। जल्दबाज़ी में कई छात्र $x = 4$ को x-अक्ष के समांतर रेखा समझ बैठते हैं। इसी भूल से बचना है।

रेखा और अक्षों से बना त्रिभुज

कोई तिरछी रेखा मूल बिंदु से न गुज़रे, तो वह दोनों अक्षों को अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है। ये दो बिंदु और मूल बिंदु मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इसकी समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ अक्षों पर होती हैं, और समकोण O पर होता है।

जैसे $4x + 3y = 36$ अक्षों को $(9, 0)$ और $(0, 12)$ पर काटती है। तो समकोण बनाने वाली भुजाएँ 9 और 12 हैं।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ वर्ग इकाई}$$

अक्षों के बीच रेखा का जो टुकड़ा है, वही इस त्रिभुज का कर्ण है। इसकी लंबाई $\sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ है। तो त्रिभुज का परिमाप $9 + 12 + 15 = 36$ इकाई हुआ।

सूत्र: $ax + by = c$ के लिए समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\left|\frac{c}{a}\right|$ और $\left|\frac{c}{b}\right|$ होती हैं। तो क्षेत्रफल का सूत्र यह हुआ।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\left|\frac{c}{a}\right|\left|\frac{c}{b}\right| = \frac{c^2}{2|ab|}$$

$4x + 3y = 36$ के लिए इससे $\frac{1296}{2 \times 12} = 54$ आता है, यानी पहले जितना ही।

ऋणात्मक अंतःखंड: $2x - 5y = 10$ अक्षों को $(5, 0)$ और $(0, -2)$ पर काटती है। यहाँ त्रिभुज x-अक्ष के नीचे, चतुर्थ चतुर्थांश में है। पर लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$ वर्ग इकाई है। तो नियम यह है कि अंतःखंडों का चिह्न छोड़ दीजिए और केवल संख्या लीजिए।

क्षेत्रफल से रेखा: कभी क्षेत्रफल दिया होता है और रेखा पूछी जाती है। मान लीजिए $4x + 3y = k$ अक्षों के साथ 54 वर्ग इकाई क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है। तो $\frac{k^2}{24} = 54$, यानी $k^2 = 1296$, और $k = 36$ या $k = -36$। ये दोनों रेखाएँ समांतर हैं और मूल बिंदु के दोनों ओर एक-एक पड़ती हैं। दोनों अक्षों के साथ बिल्कुल एक जैसा त्रिभुज बनाती हैं। अगर प्रश्न में बताया हो कि $k$ धनात्मक है, तो उत्तर 36 होगा।

2025 से पहले CGL में इस अध्याय के ज़्यादातर प्रश्न इसी तरह के आते थे। रेखा अक्षों को कहाँ काटती है, और वह अक्षों के साथ या किसी दूसरी रेखा के साथ कितना क्षेत्रफल घेरती है, यही पूछा जाता था।

[SSC टिप] $\frac{1}{2}$ को कभी न छोड़िए। इसके बिना $4x + 3y = 36$ का क्षेत्रफल 108 आता है, जो असली मान का दुगुना है। यही गलत मान अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

दो रेखाएँ कहाँ मिलती हैं

जो दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं, वे एक-दूसरे को ठीक एक बिंदु पर काटती हैं। इस बिंदु को प्रतिच्छेद बिंदु कहते हैं। यह दोनों रेखाओं पर होता है, इसलिए इसके निर्देशांक दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। मतलब इसे ढूँढना और समीकरण युग्म को हल करना एक ही बात है। युग्म को विलोपन या प्रतिस्थापन से हल करते हैं। ये दोनों तरीके बीजगणित वाले अध्याय 11 में आ चुके हैं।

जैसे $x + 3y = 9$ और $x - y = 1$ लीजिए। पहले में से दूसरा घटाइए, तो $x$ हट जाता है और $4y = 8$ बचता है। इससे $y = 2$ और फिर $x = 3$ आता है। तो रेखाएँ $P(3, 2)$ पर मिलती हैं।

ग्राफ़ से भी यही दिखता है। पहली रेखा $(0, 3)$ से उतरकर $(9, 0)$ तक जाती है। दूसरी $(0, -1)$ और $(1, 0)$ से होकर जाती है। दोनों $(3, 2)$ पर एक-दूसरे को काटती हैं। ग्राफ़ ध्यान से खींचा जाए, तो यह बिंदु दिख तो जाता है, पर हल करना ज़्यादा तेज़ है और बिल्कुल सटीक भी।

प्रतिच्छेद बिंदु पर प्रश्न कई रूपों में आते हैं।

• निर्देशांक या उनसे बना व्यंजक: रेखाएँ $P(\alpha, \beta)$ पर मिलें, तो पहले $\alpha$ और $\beta$ निकालिए। ऊपर वाले युग्म के लिए $2\alpha - \beta = 6 - 2 = 4$ आता है।
• उससे होकर जाने वाली तीसरी रेखा: पूछा जाता है कि कौन-सी रेखा भी P से होकर जाती है। तब P निकालिए और उसे हर विकल्प में रखकर देखिए। यहाँ $P(3, 2)$ रेखा $4x - y = 10$ पर है, क्योंकि $12 - 2 = 10$ आता है।
• उसका चतुर्थांश: $P(3, 2)$ के दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं, इसलिए यह प्रथम चतुर्थांश में है।
• किसी रेखा में अज्ञात: मान लीजिए $3x - 2y = 4$ और $kx + y = 9$ ऐसे बिंदु पर मिलती हैं, जिसका y-निर्देशांक 4 है। पहली रेखा से $3x - 8 = 4$, यानी $x = 4$। अब दूसरी से $4k + 4 = 9$, तो $k = \frac{5}{4}$।

याद रखिए, अगर प्रश्न में प्रतिच्छेद बिंदु सीधे दिया हो, तो वहीं से शुरू कीजिए। वह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए हर समीकरण से एक बात पता चलती है।

दो रेखाओं और x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल

दो रेखाएँ x-अक्ष के ऊपर या नीचे एक-दूसरे को काटें, तो वे x-अक्ष के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाती हैं। इस त्रिभुज के दो शीर्ष वे बिंदु हैं, जहाँ दोनों रेखाएँ x-अक्ष को काटती हैं। तीसरा शीर्ष दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है।

वही रेखाएँ फिर से लीजिए, $x + 3y = 9$ और $x - y = 1$।

• ये x-अक्ष को $(9, 0)$ और $(1, 0)$ पर काटती हैं।
• आपस में ये $P(3, 2)$ पर मिलती हैं।

आधार x-अक्ष पर 1 से 9 तक है, तो उसकी लंबाई 8 इकाई है। ऊँचाई P की x-अक्ष से दूरी है, यानी उसका y-निर्देशांक, जो 2 है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$$

किसी भी युग्म के लिए ये कदम अपनाइए।

1. हर समीकरण में $y = 0$ रखिए। इससे आधार के दोनों सिरे मिल जाते हैं।
2. युग्म को हल कीजिए। इससे तीसरा शीर्ष मिलता है।
3. आधार दोनों x-मानों का अंतर है, और ऊँचाई तीसरे शीर्ष का y-निर्देशांक, बिना चिह्न के।

अगर एक x-अंतःखंड ऋणात्मक हो, तब भी आधार दोनों मानों का अंतर ही होता है। जैसे $-2$ और 5 हों, तो आधार $5 - (-2) = 7$ है, 3 नहीं। रेखाएँ x-अक्ष के नीचे मिलें, तो प्रतिच्छेद बिंदु का y-निर्देशांक ऋणात्मक होगा। तब ऊँचाई के लिए उसका चिह्न छोड़ दीजिए।

यहाँ तीन शीर्षों वाले क्षेत्रफल-सूत्र की ज़रूरत नहीं पड़ती। वह सूत्र "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में है। इस त्रिभुज की एक भुजा अक्ष पर सपाट पड़ी है, तो आधार × ऊँचाई का आधा लेना ज़्यादा तेज़ है, और इसमें गलती की गुंजाइश भी कम है।

दो रेखाओं और y-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल

y-अक्ष के साथ सब कुछ उलट जाता है। अब आधार y-अक्ष पर होता है, उन दो बिंदुओं के बीच, जहाँ दोनों रेखाएँ y-अक्ष को काटती हैं। ऊँचाई प्रतिच्छेद बिंदु की y-अक्ष से दूरी होती है, यानी उसका x-निर्देशांक।

उन्हीं दो रेखाओं पर यह करके देखिए।

• $x + 3y = 9$ y-अक्ष को $(0, 3)$ पर काटती है और $x - y = 1$ उसे $(0, -1)$ पर। तो आधार $3 - (-1) = 4$ है।
• प्रतिच्छेद बिंदु $P(3, 2)$ है, जो y-अक्ष से 3 इकाई दूर है। तो ऊँचाई 3 है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$$

देखिए, रेखाएँ वही हैं, पर x-अक्ष के साथ क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई आया था और y-अक्ष के साथ 6 वर्ग इकाई। यहाँ ध्यान रखिए कि दोनों तरीके आपस में न मिलें। अगर P के y-निर्देशांक को ऊँचाई मान लिया, तो $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ आएगा, जो गलत है।

केवल आधार: कभी-कभी एक छोटा प्रश्न भी आता है, जिसमें केवल दोनों अक्ष-बिंदुओं के बीच की दूरी पूछी जाती है। जैसे, "दो रेखाओं के ग्राफ़ y-अक्ष से P और Q पर मिलते हैं। PQ ज्ञात कीजिए।" यहाँ P और Q वे दो बिंदु हैं, जहाँ रेखाएँ y-अक्ष को काटती हैं। इन रेखाओं के लिए $PQ = 3 - (-1) = 4$ है। x-अक्ष के लिए भी यही सोचिए। तब दोनों x-अंतःखंडों का अंतर लेना है, जो यहाँ $9 - 1 = 8$ है।

[SSC टिप] हल शुरू करने से पहले देख लीजिए कि प्रश्न में कौन-सा अक्ष है। दूसरे अक्ष वाला क्षेत्रफल भी इन्हीं कुछ संख्याओं से निकल आता है, और वह गलत विकल्प के रूप में दिया ही होता है।

अक्षों के समांतर रेखाओं से घिरे क्षेत्रफल

$x = a$ और $y = b$ जैसी रेखाओं से आयत और समकोण त्रिभुज बनते हैं। इनकी भुजाएँ सीधे समीकरणों से पढ़ी जा सकती हैं।

आयत: रेखाएँ $x = 0$, $y = 0$, $x = 4$ और $y = 3$ लीजिए। इनसे 4 और 3 भुजाओं वाला आयत बनता है, जिसके शीर्ष $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(4, 3)$ और $(0, 3)$ हैं। इसका क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।

व्यापक रूप में, रेखाएँ $x = a_1$, $x = a_2$, $y = b_1$ और $y = b_2$ एक आयत बनाती हैं, जिसका क्षेत्रफल $|a_1 - a_2| \times |b_1 - b_2|$ होता है। जैसे $x = -2$, $x = 5$, $y = 1$ और $y = -3$ हों, तो भुजाएँ $5 - (-2) = 7$ और $1 - (-3) = 4$ हैं, और क्षेत्रफल 28 वर्ग इकाई है। ध्यान रखिए, भुजाएँ मानों के अंतर होती हैं, ख़ुद मान नहीं।

समकोण त्रिभुज: रेखाएँ $x = 1$, $y = 2$ और $x + y = 8$ मिलकर एक त्रिभुज बनाती हैं। इसके शीर्ष देखिए। $x = 1$ और $y = 2$ आपस में $(1, 2)$ पर मिलती हैं। $y = 2$ रेखा $x + y = 8$ से $(6, 2)$ पर मिलती है, और $x = 1$ रेखा $x + y = 8$ को $(1, 7)$ पर काटती है।

समकोण $(1, 2)$ पर है, जहाँ खड़ी और सपाट रेखा एक-दूसरे को काटती हैं। समकोण बनाने वाली भुजाएँ $6 - 1 = 5$ और $7 - 2 = 5$ हैं। तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$ वर्ग इकाई है।

$y = x$ के साथ: रेखाएँ $y = x$, $x = 4$ और x-अक्ष मिलकर एक त्रिभुज बनाती हैं, जिसके शीर्ष $(0, 0)$, $(4, 0)$ और $(4, 4)$ हैं। इसका क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई है। तिरछी रेखा वाला शीर्ष $y = x$ में $x = 4$ रखकर मिलता है।

इन सब प्रश्नों में तरीका एक ही है। पहले रेखाओं को दो-दो करके लीजिए और हर शीर्ष निकालिए। शीर्ष लिख लेने के बाद, खड़ी और सपाट भुजाओं की लंबाई बस निर्देशांकों का अंतर होती है।

तीन रेखाओं से बना त्रिभुज

तीन रेखाएँ हों, उनमें से कोई दो समांतर न हों और तीनों एक ही बिंदु से न गुज़रें, तो वे एक त्रिभुज बनाती हैं। इसके तीनों शीर्ष वे बिंदु होते हैं, जहाँ रेखाएँ दो-दो करके मिलती हैं।

जैसे $x + 2y = 5$, $3x + y = 10$ और $3x - 4y + 25 = 0$ लीजिए।

• $x + 2y = 5$ और $3x - 4y + 25 = 0$ के लिए पहली को दुगुना कीजिए, तो $2x + 4y = 10$ मिलता है। इसे दूसरी में जोड़ने पर $5x + 25 = 10$ आता है। इससे $x = -3$ और $y = 4$, यानी शीर्ष $A(-3, 4)$ है।
• $x + 2y = 5$ और $3x + y = 10$ के लिए दूसरी से $y = 10 - 3x$ लिखिए। इसे पहली में रखने पर $x + 20 - 6x = 5$ आता है। इससे $x = 3$ और $y = 1$, यानी शीर्ष $B(3, 1)$ है।
• $3x + y = 10$ और $3x - 4y + 25 = 0$ के लिए पहली में से दूसरी घटाइए, तो $5y - 25 = 10$ आता है। इससे $y = 7$ और $x = 1$, यानी शीर्ष $C(1, 7)$ है।

यहाँ कोई भी भुजा अक्ष पर नहीं है। इसलिए तीन शीर्षों वाला क्षेत्रफल-सूत्र लगाना पड़ेगा, जो "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\left|-3(1 - 7) + 3(7 - 4) + 1(4 - 1)\right| = \frac{1}{2}|18 + 9 + 3| = 15 \text{ वर्ग इकाई}$$

अगर तीन में से एक रेखा कोई अक्ष हो, या किसी अक्ष के समांतर हो, तो आधार × ऊँचाई का आधा लेना ज़्यादा तेज़ है, जैसा पिछले कुछ भागों में किया।

हर शीर्ष की जाँच: हर शीर्ष को उन दोनों रेखाओं में रखकर देखिए, जिनके मिलने से वह बना है। दोनों समीकरण संतुष्ट होने चाहिए। $B(3, 1)$ के लिए $3 + 2(1) = 5$ और $3(3) + 1 = 10$, दोनों ठीक हैं। एक भी शीर्ष गलत निकला, तो क्षेत्रफल गलत आएगा, और पता भी नहीं चलेगा। इसलिए दस सेकंड की यह जाँच ज़रूर कर लीजिए।

जब त्रिभुज न बने: दो रेखाएँ समांतर हों, तो तीसरी रेखा उन्हें काटती तो है, पर उनके बीच का क्षेत्र खुला रह जाता है। तब त्रिभुज नहीं बनता। तीनों रेखाएँ एक ही बिंदु से होकर जाएँ, तो त्रिभुज सिमटकर वही बिंदु रह जाता है। विकल्पों में ये दोनों स्थितियाँ "क्षेत्रफल शून्य" या "त्रिभुज संभव नहीं" के रूप में आती हैं।

दो रेखाओं और दोनों अक्षों से घिरा क्षेत्र

मान लीजिए प्रथम चतुर्थांश में दो रेखाएँ हैं, और हर एक दोनों अक्षों को काटती है। तब ये अक्षों के साथ मिलकर चार भुजाओं वाला एक क्षेत्र घेरती हैं, जिसका एक कोना मूल बिंदु पर होता है।

जैसे $2x + y = 10$ और $x + 2y = 8$ लीजिए।

• $2x + y = 10$ अक्षों को $(5, 0)$ और $(0, 10)$ पर काटती है।
• $x + 2y = 8$ अक्षों को $(8, 0)$ और $(0, 4)$ पर काटती है।
• दूसरी को दुगुना करके उसमें से पहली घटाइए, तो $3y = 6$ आता है। इससे $y = 2$ और $x = 4$, यानी रेखाएँ $P(4, 2)$ पर मिलती हैं।

इस क्षेत्र के शीर्ष $O(0, 0)$, $A(5, 0)$, $P(4, 2)$ और $B(0, 4)$ हैं। हर अक्ष पर क्षेत्र की सीमा वह रेखा बनाती है, जो उस अक्ष को मूल बिंदु के ज़्यादा पास काटती है। x-अक्ष पर यह $2x + y = 10$ है, क्योंकि यह 5 पर काटती है और दूसरी 8 पर। y-अक्ष पर यह $x + 2y = 8$ है, क्योंकि यह 4 पर काटती है और दूसरी 10 पर।

अब O और P को मिलाइए। OP इस क्षेत्र को दो त्रिभुजों में बाँट देता है।

• त्रिभुज OAP का आधार $OA = 5$ है, जो x-अक्ष पर है। ऊँचाई P का y-निर्देशांक है, यानी 2। तो इसका क्षेत्रफल 5 है।
• त्रिभुज OPB का आधार $OB = 4$ है, जो y-अक्ष पर है। ऊँचाई P का x-निर्देशांक है, यानी 4। तो इसका क्षेत्रफल 8 है।

कुल क्षेत्रफल 13 वर्ग इकाई हुआ।

दूसरा तरीका: बड़े त्रिभुज में से छोटा घटा दीजिए। रेखा $x + 2y = 8$ अक्षों के साथ जो त्रिभुज बनाती है, उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ है। इसमें से वह छोटा त्रिभुज हटाइए, जिसके शीर्ष $(5, 0)$, $(8, 0)$ और P हैं। उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ है। बचा $16 - 3 = 13$, यानी उत्तर वही।

इसी चित्र से दो और प्रश्नों के उत्तर भी मिल जाते हैं। दोनों रेखाओं और x-अक्ष से बना त्रिभुज यही छोटा वाला है, जिसका क्षेत्रफल 3 है। दोनों रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष $(0, 4)$, $(0, 10)$ और P हैं, और उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ है।

ग्राफ़ से समीकरण युग्म की पहचान

रैखिक समीकरण युग्म की दोनों रेखाएँ खींचिए, तो तीन में से कोई एक स्थिति दिखेगी।

पहली स्थिति वाले युग्म को संगत (consistent) कहते हैं, और दूसरी स्थिति वाले को असंगत (inconsistent)।

चित्र में $x - 2y = 2$ और $3x + y = 13$ एक-दूसरे को $P(4, 1)$ पर काटती हैं, तो इस युग्म का एक हल है। रेखा $2x - 4y = 9$ की ढाल भी $x - 2y = 2$ जितनी ही है, यानी $\frac{1}{2}$। पर इसका y-अंतःखंड $-\frac{9}{4}$ है, जबकि उस रेखा का $-1$ है। इसलिए ये दोनों कभी नहीं मिलतीं, और उस युग्म का कोई हल नहीं है।

एक ही रेखा, बदले रूप में: $2x - 5y = 3$ और $6x - 15y = 9$ देखने में अलग लगते हैं। पर दूसरा समीकरण पहले का 3 गुना है। तो दोनों एक ही रेखा हैं, और उस रेखा का हर बिंदु युग्म का हल है।

समीकरणों से पहचान: पहले ढालों की तुलना कीजिए। ढालें अलग हों, तो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। ढालें बराबर हों, तो रेखाएँ या तो समांतर हैं या एक ही रेखा हैं। तब y-अंतःखंडों की तुलना कीजिए। अंतःखंड अलग हों, तो रेखाएँ समांतर हैं। $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए अनुपातों वाली कसौटी से यही बात एक बार में पता चल जाती है। वह कसौटी बीजगणित वाले अध्याय 11 में आ चुकी है।

$k$ निकालना: मान लीजिए $kx - 6y = 5$ रेखा $x - 2y = 2$ के समांतर है। तो दोनों की ढालें बराबर होंगी। $\frac{k}{6} = \frac{1}{2}$ से $k = 3$ आता है। तब पहली रेखा $3x - 6y = 5$ हो जाती है, और दूसरी को तिगुना करने पर $3x - 6y = 6$ मिलता है। दाएँ पक्ष अलग हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। अगर पहला समीकरण $kx - 6y = 6$ होता, तो भी $k = 3$ ही आता, पर तब दोनों रेखाएँ एक ही हो जातीं।

[SSC टिप] दो सरल रेखाएँ या तो ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं, या कहीं नहीं मिलतीं, या फिर पूरी रेखा के हर बिंदु पर मिलती हैं। ठीक दो बिंदुओं पर वे कभी नहीं मिलतीं। तो जो विकल्प "दो" कहे, उसे तुरंत हटा दीजिए।

ग्राफ़ से समीकरण पढ़ना

कभी प्रश्न में रेखा दिखाई जाती है और उसका समीकरण पूछा जाता है। तब ग्राफ़ से दो साफ़ बिंदु पढ़ लीजिए। हो सके तो ऐसे बिंदु चुनिए, जहाँ रेखा ग्रिड की रेखाओं को ठीक-ठीक काटती हो।

अंतःखंडों से: चित्र की रेखा x-अक्ष को $(-2, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, 3)$ पर काटती है। अंतःखंड रूप में यह $\frac{x}{-2} + \frac{y}{3} = 1$ है। 6 से गुणा करने पर $-3x + 2y = 6$ आता है, यानी $3x - 2y + 6 = 0$। जाँच के लिए तीसरा अंकित बिंदु $(2, 6)$ रखिए। $6 - 12 + 6 = 0$ आता है, तो समीकरण ठीक है।

ढाल और y-अंतःखंड से: $(-2, 0)$ से $(0, 3)$ तक जाने में क्षैतिज परिवर्तन 2 है और ऊर्ध्वाधर परिवर्तन 3। तो $m = \frac{3}{2}$, और रेखा y-अक्ष को 3 पर काटती है। इससे $y = \frac{3}{2}x + 3$ मिलता है। इसे 2 से गुणा करें, तो वही समीकरण मिल जाता है।

विशेष ग्राफ़: कुछ ग्राफ़ देखते ही पहचान में आ जाते हैं।

• $(4, 0)$ से होकर जाने वाली खड़ी रेखा $x = 4$ है, और $(0, -1)$ से होकर जाने वाली सपाट रेखा $y = -1$।
• मूल बिंदु और $(2, -5)$ से होकर जाने वाली रेखा $y = -\frac{5}{2}x$ है, यानी $5x + 2y = 0$।

ग्राफ़ को विकल्प से मिलाना: अक्सर समीकरण बनाने के बजाय विकल्प जाँच लेना जल्दी होता है। देखिए कि हर विकल्प की रेखा अक्षों को कहाँ काटती है। इसके लिए $x = 0$ रखिए, फिर $y = 0$। जो विकल्प चित्र से मेल खाए, वही उत्तर है। दूसरी जाँच दिशा की है। रेखा दाईं ओर चढ़ती हो, तो $ax + by = c$ में $a$ और $b$ के चिह्न उलटे होते हैं। रेखा उतरती हो, तो दोनों के चिह्न एक जैसे होते हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

$7x - 2y = 28$ का ग्राफ़ x-अक्ष को किस बिंदु पर काटता है? (a) $(4, 0)$ (b) $(0, -14)$ (c) $(0, 4)$ (d) $(7, 0)$

उत्तर: x-अक्ष के हर बिंदु पर $y = 0$ होता है। इसे रखने पर $7x = 28$, यानी $x = 4$ आता है। तो बिंदु (a) $(4, 0)$ है। यही रेखा y-अक्ष को $(0, -14)$ पर काटती है। कुछ लोग $(0, 4)$ लिख देते हैं। संख्या तो सही है, पर वह गलत स्थान पर लिखी गई है।

प्रश्न 2

$3x + 5y = 30$ का ग्राफ़ x-अक्ष से A पर और y-अक्ष से B पर मिलता है। यदि O मूल बिंदु है, तो त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल कितना है? (a) 60 वर्ग इकाई (b) 7.5 वर्ग इकाई (c) 15 वर्ग इकाई (d) 30 वर्ग इकाई

उत्तर: A बिंदु $(10, 0)$ है और B बिंदु $(0, 6)$। तो OAB एक समकोण त्रिभुज है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 10 और 6 हैं। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ है, यानी (d) 30 वर्ग इकाई। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{c^2}{2|ab|} = \frac{900}{30} = 30$। जो गुणांक 3 और 5 को ही भुजाएँ मान लेते हैं, उन्हें 7.5 मिलता है।

प्रश्न 3

रेखा $8x + 15y = 120$ के उस भाग की लंबाई कितनी है, जो निर्देशांक अक्षों के बीच स्थित है? (a) 17 इकाई (b) 23 इकाई (c) 60 इकाई (d) $\sqrt{161}$ इकाई

उत्तर: रेखा अक्षों को $(15, 0)$ और $(0, 8)$ पर काटती है। अक्षों के बीच का टुकड़ा उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 15 और 8 हैं। तो लंबाई $\sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ है, यानी उत्तर (a) 17 इकाई है। 60 वाला विकल्प गलत है, क्योंकि 60 उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है, लंबाई नहीं।

प्रश्न 4

रेखाओं $x = -3$, $x = 2$, $y = -1$ और $y = 4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है? (a) 15 वर्ग इकाई (b) 5 वर्ग इकाई (c) 25 वर्ग इकाई (d) 3 वर्ग इकाई

उत्तर: ये चारों रेखाएँ एक आयत बनाती हैं। चौड़ाई $x = -3$ और $x = 2$ के बीच का अंतर है, यानी $2 - (-3) = 5$। ऊँचाई $y = -1$ और $y = 4$ के बीच का अंतर है, जो भी 5 है। तो क्षेत्रफल $5 \times 5$ है, यानी (c) 25 वर्ग इकाई। यह आयत असल में एक वर्ग है।

प्रश्न 5

रेखाओं $y = 2x$, $x = 3$ और x-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 9 वर्ग इकाई (b) 18 वर्ग इकाई (c) 6 वर्ग इकाई (d) 4.5 वर्ग इकाई

उत्तर: शीर्ष वहाँ होंगे, जहाँ रेखाएँ दो-दो करके मिलती हैं। $y = 2x$ और x-अक्ष मूल बिंदु पर मिलती हैं। $x = 3$ रेखा x-अक्ष से $(3, 0)$ पर और $y = 2x$ से $(3, 6)$ पर मिलती है। समकोण $(3, 0)$ पर है, आधार 3 है और ऊँचाई 6। तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 3 \times 6$ है, यानी (a) 9 वर्ग इकाई।

प्रश्न 6

$2x + 5y = 1$ और $3x - 2y = 11$ के ग्राफ़ $P(\alpha, \beta)$ पर मिलते हैं। $\alpha - 2\beta$ का मान क्या है? (a) 1 (b) $-7$ (c) 4 (d) 5

उत्तर: $y$ हटाने के लिए पहले समीकरण को 2 से और दूसरे को 5 से गुणा करते हैं। इससे $4x + 10y = 2$ और $15x - 10y = 55$ मिलते हैं। दोनों को जोड़ने पर $19x = 57$, यानी $x = 3$। फिर पहले समीकरण से $5y = 1 - 6$, तो $y = -1$। मतलब $\alpha = 3$ और $\beta = -1$। अब $\alpha - 2\beta = 3 + 2 = 5$, यानी (d) 5।

प्रश्न 7

$x - y = 2$ और $x + 2y = 11$ के ग्राफ़ एक बिंदु P पर मिलते हैं। निम्नलिखित में से कौन-सी रेखा भी P से होकर जाती है? (a) $x + y = 7$ (b) $3x - 2y = 8$ (c) $2x - 3y = 1$ (d) $4x - 5y = 6$

उत्तर: दूसरे समीकरण में से पहला घटाते हैं, तो $x$ हट जाता है और $3y = 9$ बचता है। इससे $y = 3$ और $x = 5$, यानी P बिंदु $(5, 3)$ है। अब इसे विकल्पों में रखकर देखते हैं। विकल्प (c) में $2(5) - 3(3) = 1$ आता है, जो ठीक है। बाकी तीन विकल्पों में बायाँ पक्ष $5 + 3 = 8$, $15 - 6 = 9$ और $20 - 15 = 5$ आता है, जो दाएँ पक्ष से मेल नहीं खाता। तो P से होकर जाने वाली रेखा (c) $2x - 3y = 1$ है।

प्रश्न 8

रेखाओं $y = x + 3$, $3x + y = 15$ और x-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 48 वर्ग इकाई (b) 24 वर्ग इकाई (c) 6 वर्ग इकाई (d) 12 वर्ग इकाई

उत्तर: $y = 0$ रखने पर पहली रेखा x-अक्ष को $(-3, 0)$ पर काटती है और दूसरी $(5, 0)$ पर। तो आधार $5 - (-3) = 8$ है। अब $y = x + 3$ को $3x + y = 15$ में रखते हैं, तो $4x + 3 = 15$ आता है। इसे हल करने पर रेखाएँ $(3, 6)$ पर मिलती हैं, तो ऊँचाई 6 है।

तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 6$ है, यानी (b) 24 वर्ग इकाई। ऋण चिह्न पर ध्यान न दिया, तो आधार $5 - 3 = 2$ लगेगा और क्षेत्रफल 6 आ जाएगा।

प्रश्न 9

रेखाओं $2x - y = 3$, $x + 2y = 14$ और y-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) 25 वर्ग इकाई (b) 40 वर्ग इकाई (c) 20 वर्ग इकाई (d) 16 वर्ग इकाई

उत्तर: $x = 0$ रखने पर पहली रेखा y-अक्ष को $(0, -3)$ पर और दूसरी $(0, 7)$ पर काटती है। तो y-अक्ष पर आधार $7 - (-3) = 10$ है। पहली रेखा से $y = 2x - 3$ लिखकर इसे दूसरी में रखते हैं। $x + 4x - 6 = 14$ से $x = 4$ और $y = 5$ आता है। ऊँचाई $(4, 5)$ की y-अक्ष से दूरी है, यानी 4।

तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 4$ है, यानी (c) 20 वर्ग इकाई। कुछ लोग y-निर्देशांक 5 को ऊँचाई मान लेते हैं और 25 पर पहुँच जाते हैं।

प्रश्न 10

रेखाओं $y = 2$, $y = 3x + 2$ और $2x + y = 12$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 15 वर्ग इकाई (b) 30 वर्ग इकाई (c) 12 वर्ग इकाई (d) 20 वर्ग इकाई

उत्तर: यहाँ तीनों शीर्ष चाहिए। $y = 2$ और $y = 3x + 2$ वहाँ मिलती हैं, जहाँ $3x + 2 = 2$ हो, यानी $(0, 2)$ पर। $y = 2$ और $2x + y = 12$ आपस में $(5, 2)$ पर मिलती हैं। दोनों तिरछी रेखाएँ वहाँ मिलती हैं, जहाँ $2x + 3x + 2 = 12$ हो, यानी $(2, 8)$ पर।

$y = 2$ वाली भुजा 5 लंबी है, और ऊपर वाला शीर्ष उससे $8 - 2 = 6$ ऊपर है। तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 6$ है, यानी (a) 15 वर्ग इकाई।

प्रश्न 11

निर्देशांक अक्षों तथा रेखाओं $3x + y = 9$ और $2x + y = 8$ से घिरे चार भुजाओं वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है? (a) 16 वर्ग इकाई (b) 26 वर्ग इकाई (c) 9 वर्ग इकाई (d) 13 वर्ग इकाई

उत्तर: $3x + y = 9$ अक्षों को $(3, 0)$ और $(0, 9)$ पर काटती है, और $2x + y = 8$ उन्हें $(4, 0)$ और $(0, 8)$ पर। पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर $x = 1$ आता है, फिर $y = 6$। तो रेखाएँ $(1, 6)$ पर मिलती हैं। x-अक्ष पर क्षेत्र 3 तक ही जाता है, क्योंकि वहाँ $3x + y = 9$ मूल बिंदु के ज़्यादा पास काटती है। y-अक्ष पर वह 8 तक जाता है, क्योंकि वहाँ $2x + y = 8$ पास वाली रेखा है। तो क्षेत्र के शीर्ष O, $(3, 0)$, $(1, 6)$ और $(0, 8)$ हैं।

चित्र में O से $(1, 6)$ तक डैश वाली रेखा खींची है, जो क्षेत्र को दो त्रिभुजों में बाँट देती है। नीचे वाले त्रिभुज का आधार x-अक्ष पर 3 है और ऊँचाई 6, तो क्षेत्रफल 9 है। ऊपर वाले का आधार y-अक्ष पर 8 है और ऊँचाई 1, तो क्षेत्रफल 4 है। दोनों को जोड़कर (d) 13 वर्ग इकाई मिलता है। 16 वाला विकल्प गलत है, क्योंकि वह $2x + y = 8$ और अक्षों से बना पूरा त्रिभुज है।

प्रश्न 12

$x - 2y = -8$ का ग्राफ़ y-अक्ष से $P(\alpha, \beta)$ पर मिलता है, और $5x + y = 20$ का ग्राफ़ x-अक्ष से $Q(\gamma, \delta)$ पर मिलता है। $\alpha + \beta + \gamma + \delta$ का मान क्या है? (a) $-4$ (b) 8 (c) 24 (d) 12

उत्तर: y-अक्ष पर $x = 0$ होता है। तो $-2y = -8$, और P बिंदु $(0, 4)$ है। मतलब $\alpha = 0$ और $\beta = 4$। x-अक्ष पर $y = 0$ होता है। तो $5x = 20$, और Q बिंदु $(4, 0)$ है। मतलब $\gamma = 4$ और $\delta = 0$। चारों का योग $0 + 4 + 4 + 0 = 8$, यानी (b) 8।

प्रश्न 13

$3x - y = 4$ और $kx + 2y = 8$ के ग्राफ़ ऐसे बिंदु पर मिलते हैं, जिसका x-निर्देशांक 2 है। $k$ का मान क्या है? (a) 2 (b) 6 (c) 1 (d) 4

उत्तर: प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होता है। पहली रेखा में $x = 2$ रखने पर $6 - y = 4$, यानी $y = 2$ आता है। तो बिंदु $(2, 2)$ है। इसे दूसरी रेखा में रखने पर $2k + 4 = 8$ आता है। तो $k = 2$, यानी (a) 2।

प्रश्न 14

रेखाओं $y = x$, $y = -x$ और $y = 4$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 8 वर्ग इकाई (b) 32 वर्ग इकाई (c) 16 वर्ग इकाई (d) 4 वर्ग इकाई

उत्तर: $y = x$ और $y = -x$ मूल बिंदु पर मिलती हैं। रेखा $y = 4$, $y = x$ से $(4, 4)$ पर और $y = -x$ से $(-4, 4)$ पर मिलती है।

$y = 4$ पर आधार $-4$ से 4 तक है, यानी उसकी लंबाई 8 है। मूल बिंदु इस आधार से 4 नीचे है, तो ऊँचाई 4 है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 4$ है, यानी (c) 16 वर्ग इकाई।

प्रश्न 15

$5x + 2y = 14$ और $3x - 4y = 12$ के ग्राफ़ y-अक्ष से क्रमशः P और Q पर मिलते हैं। PQ की लंबाई कितनी है? (a) 4 (b) $\frac{6}{5}$ (c) 7 (d) 10

उत्तर: y-अक्ष पर $x = 0$ होता है। पहली रेखा में इसे रखने पर $2y = 14$ आता है, तो P बिंदु $(0, 7)$ है। दूसरी में $-4y = 12$ आता है, तो Q बिंदु $(0, -3)$ है। दोनों बिंदु y-अक्ष पर हैं, इसलिए PQ, 7 और $-3$ के बीच का अंतर है, यानी $7 - (-3) = 10$, और विकल्प (d) 10 सही है।

प्रश्न 16

समीकरणों $4x - 6y = 9$ और $6x - 9y = 5$ के ग्राफ़ हैं: (a) एक बिंदु पर काटने वाली रेखाएँ (b) समांतर रेखाएँ (c) एक ही रेखा (d) समकोण पर काटने वाली रेखाएँ

उत्तर: पहले दोनों की ढालें निकालते हैं, $-\frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$ और $-\frac{6}{-9} = \frac{2}{3}$। दोनों ढालें बराबर हैं, तो रेखाएँ या तो समांतर हैं या एक ही। इसका फ़ैसला y-अंतःखंड से होगा। पहली का y-अंतःखंड $-\frac{3}{2}$ है और दूसरी का $-\frac{5}{9}$। अंतःखंड अलग हैं, इसलिए ग्राफ़ (b) समांतर रेखाएँ हैं, और इस युग्म का कोई हल नहीं है।

प्रश्न 17

समीकरण युग्म $3x - 4y = 5$ और $9x - 12y = 15$ के कितने हल हैं? (a) अनंत हल (b) कोई हल नहीं (c) ठीक एक हल (d) ठीक दो हल

उत्तर: पहले समीकरण को 3 से गुणा करें, तो $9x - 12y = 15$ आता है, जो ठीक दूसरा समीकरण है। मतलब दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं, और उस रेखा का हर बिंदु एक हल है। तो युग्म के (a) अनंत हल हैं।

प्रश्न 18

$k$ के किस मान के लिए $3x + ky = 2$ और $9x + 12y = 7$ के ग्राफ़ समांतर रेखाएँ हैं? (a) $-4$ (b) 36 (c) 4 (d) $\frac{24}{7}$

उत्तर: समांतर रेखाओं की ढालें बराबर होती हैं। तो $-\frac{3}{k} = -\frac{9}{12} = -\frac{3}{4}$, यानी $k = 4$। तब पहली रेखा $3x + 4y = 2$ है, और इसे 3 से गुणा करने पर $9x + 12y = 6$ मिलता है। दूसरी रेखा $9x + 12y = 7$ है। बायाँ पक्ष वही है, पर दायाँ पक्ष अलग, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं, संपाती नहीं। तो (c) 4 सही विकल्प है।

प्रश्न 19

आकृति में एक सरल रेखा का ग्राफ़ दिखाया गया है। इसका समीकरण क्या है? (a) $2x - y = 4$ (b) $x + 2y = 4$ (c) $x - 2y + 4 = 0$ (d) $x - 2y = 4$

उत्तर: चित्र में रेखा x-अक्ष को $(4, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, -2)$ पर काटती है। अंतःखंड रूप में यह $\frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1$ है। 4 से गुणा करने पर $x - 2y = 4$ मिलता है, तो उत्तर (d) $x - 2y = 4$ है। दिशा से जाँच भी हो जाती है। रेखा दाईं ओर चढ़ती है, और $x - 2y = 4$ की ढाल भी धनात्मक है, $\frac{1}{2}$।

प्रश्न 20

$k$ के किस धनात्मक मान के लिए रेखा $3x + 2y = k$, निर्देशांक अक्षों के साथ 27 वर्ग इकाई क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है? (a) $9\sqrt{2}$ (b) 18 (c) 27 (d) 9

उत्तर: क्षेत्रफल के लिए अक्ष-बिंदु चाहिए। रेखा अक्षों को $\left(\frac{k}{3}, 0\right)$ और $\left(0, \frac{k}{2}\right)$ पर काटती है। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{k}{3} \times \frac{k}{2} = \frac{k^2}{12}$ है। अब $\frac{k^2}{12} = 27$, यानी $k^2 = 324$। प्रश्न में धनात्मक मान पूछा है, इसलिए धनात्मक मूल लेते हैं, $k = 18$, यानी (b) 18। $\frac{1}{2}$ भूलने वाले $\frac{k^2}{6} = 27$ लिखते हैं और $9\sqrt{2}$ पर पहुँच जाते हैं।

प्रश्न 21

$3x - 5y = 15$ का ग्राफ़ किस चतुर्थांश से होकर नहीं जाता? (a) प्रथम चतुर्थांश (b) द्वितीय चतुर्थांश (c) तृतीय चतुर्थांश (d) चतुर्थ चतुर्थांश

उत्तर: यह रेखा x-अक्ष को $(5, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, -3)$ पर काटती है। इसकी ढाल $\frac{3}{5}$ है, यानी धनात्मक। $(0, -3)$ से बाईं ओर यह और नीचे जाती है, यानी तृतीय चतुर्थांश में। $(0, -3)$ और $(5, 0)$ के बीच यह चतुर्थ चतुर्थांश में है, और $(5, 0)$ के आगे चढ़कर प्रथम चतुर्थांश में पहुँच जाती है। द्वितीय चतुर्थांश में, जहाँ $x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक होता है, यह कभी नहीं जाती। तो उत्तर (b) द्वितीय चतुर्थांश है।

प्रश्न 22

रेखाओं $x = 2$, $y = x$ और $x + y = 10$ से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 18 वर्ग इकाई (b) 12 वर्ग इकाई (c) 9 वर्ग इकाई (d) 6 वर्ग इकाई

उत्तर: पहले शीर्ष निकालते हैं। $x = 2$ रेखा $y = x$ से $(2, 2)$ पर और $x + y = 10$ से $(2, 8)$ पर मिलती है। $y = x$ और $x + y = 10$ वहाँ मिलती हैं, जहाँ $2x = 10$ हो, यानी $(5, 5)$ पर।

$x = 2$ वाली भुजा $8 - 2 = 6$ लंबी है, और तीसरा शीर्ष उससे $5 - 2 = 3$ दाईं ओर है। तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6 \times 3$ है, यानी (c) 9 वर्ग इकाई।