हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

नीचे 31 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। ये किसी तय क्रम में नहीं, बल्कि मिले-जुले हैं, ठीक वैसे ही जैसे परीक्षा के प्रश्नपत्र में आते हैं। केंद्रक वाले प्रश्न के बाद परावर्तन का प्रश्न आ सकता है, और समीकरण युग्म वाले के बाद क्षेत्रफल का।

CGL 2025 के टियर 1 की ज़्यादातर पालियों में इस अध्याय से एक प्रश्न आया था। यह प्रश्न अक्सर ढाल (slope), मध्य बिंदु, दूरी या रेखा के समीकरण पर होता था।

कोई भी हल शुरू करने से पहले कच्चे अक्ष खींच लीजिए और बिंदुओं को मोटे तौर पर उनकी जगह पर लगा दीजिए। इस कच्ची आकृति से कई बातें दिख जाती हैं, जैसे कौन-सा शीर्ष किसके सामने है, रेखा ऊपर चढ़ रही है या नीचे उतर रही है, और उत्तर में जो चिह्न आया है, वह ठीक लगता है या नहीं।

यहाँ सारे उत्तर सटीक रूप में दिए गए हैं, यानी पूरी संख्या, भिन्न या करणी में।

[Tier 2] का निशान केवल दो प्रश्नों पर लगा है। एक बाह्य विभाजन (external division) का है और दूसरा दो रेखाओं के बीच का कोण (angle between two lines) निकालने का। लंब का पाद (foot of the perpendicular) निकालने वाला प्रश्न और अंत के पास आने वाले दूरी के प्रश्न टियर 1 के ही हैं, इसलिए इन्हें छोड़िए नहीं।

टियर 1 के ज़्यादातर प्रश्न चार या उससे कम पंक्तियों में हल हो जाते हैं। किसी प्रश्न में बहुत ज़्यादा समय लगे, तो "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में उससे मेल खाता तरीका ढूँढिए। फिर कुछ दिन बाद वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

शीर्षों $A(-3, 1)$, $B(1, 4)$ और $C(4, 0)$ वाला त्रिभुज किस प्रकार का है? उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले तीनों भुजाएँ निकाल लेते हैं। AB में निर्देशांकों के अंतर 4 और 3 हैं, तो $AB = 5$। BC में अंतर 3 और 4 हैं, तो $BC = 5$। AC में अंतर 7 और 1 हैं, तो $AC = \sqrt{50}$। दो भुजाएँ बराबर हैं, और $5^2 + 5^2 = 50 = AC^2$ भी है। तो त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु है, और समकोण B पर है। क्षेत्रफल समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा होता है, यानी $\frac{1}{2} \times 5 \times 5 =$ 12.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 2

$(p, 7)$ और $(2, -2)$ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल $-\frac{3}{2}$ है। p का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों बिंदुओं से ढाल $\frac{-2 - 7}{2 - p} = \frac{-9}{2 - p}$ आती है। इसे $-\frac{3}{2}$ के बराबर रखकर तिरछा गुणा करते हैं, तो $-18 = -3(2 - p)$ मिलता है। इससे $2 - p = 6$, यानी $p = -4$। अब उत्तर को मिलाकर देखते हैं। $(-4, 7)$ से $(2, -2)$ तक जाने में y में 9 की कमी होती है और x में 6 की बढ़त, तो ढाल $-\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$ ही आती है।

प्रश्न 3

बिंदु $P(k, -3)$, $A(-5, -6)$ और $B(7, 3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित है। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें P, AB को विभाजित करता है, तथा k का मान भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P का y-निर्देशांक दिया हुआ है, तो अनुपात y-निर्देशांकों से निकालते हैं। $AP : PB = (-3 + 6) : (3 + 3) = 3 : 6 =$ 1 : 2। मतलब A से B की ओर चलें, तो P पूरे रास्ते के एक-तिहाई पर है। x-निर्देशांक $-5$ से 7 तक जाता है, यानी इसमें 12 की बढ़त है। 12 का एक-तिहाई 4 है, तो $k = -5 + 4 =$ $-1$।

प्रश्न 4

x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो $A(-1, 5)$ और $B(7, 3)$ से समदूरस्थ है।

उत्तर: बिंदु x-अक्ष पर है, तो उसे $P(x, 0)$ मान लेते हैं। A और B से दूरी बराबर चाहिए, इसलिए $PA^2 = PB^2$ लिखते हैं, यानी $(x + 1)^2 + 25 = (x - 7)^2 + 9$। दोनों ओर के $x^2$ वाले पद कट जाते हैं, और $2x + 26 = -14x + 58$ बचता है। इससे $16x = 32$, यानी $x = 2$। तो बिंदु $(2, 0)$ है। यह A और B, दोनों से $\sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ इकाई दूर है।

प्रश्न 5

उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $(-2, 7)$ और $(4, -5)$ से होकर जाती है, तथा वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए जहाँ यह x-अक्ष को काटती है।

उत्तर: रेखा की ढाल $\frac{-5 - 7}{4 + 2} = -2$ है। अब $(-2, 7)$ लेकर बिंदु-ढाल रूप (point-slope form) में लिखते हैं, तो $y - 7 = -2(x + 2)$ आता है। इससे $y = -2x + 3$, यानी रेखा $2x + y = 3$ है। दूसरा बिंदु रखने पर भी $8 - 5 = 3$ आता है, यानी समीकरण ठीक है। x-अक्ष पर $y = 0$ होता है, तो इसे रखने पर $x = \frac{3}{2}$ आता है। मतलब रेखा x-अक्ष को $(\frac{3}{2}, 0)$ पर काटती है।

प्रश्न 6

बिंदु $A(-3, 5)$ का y-अक्ष में परावर्तन करने पर B मिलता है, और B का मूल बिंदु में परावर्तन करने पर C मिलता है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: y-अक्ष में परावर्तन करने पर केवल x का चिह्न बदलता है, तो $B(3, 5)$ मिलता है। मूल बिंदु में परावर्तन करने पर दोनों चिह्न बदल जाते हैं, तो $C(-3, -5)$ आता है। A और B का y एक ही है, इसलिए AB क्षैतिज है। A और C का x एक ही है, इसलिए AC ऊर्ध्वाधर है। तो समकोण A पर है, और यहाँ $AB = 6$ तथा $AC = 10$ है। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6 \times 10 =$ 30 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 7

एक त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 6)$, $B(-5, 2)$ और $C(7, -2)$ हैं। शीर्ष A से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई तथा A से केंद्रक की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A से खींची गई माध्यिका (median) BC के मध्य बिंदु तक जाती है। यह मध्य बिंदु $M(\frac{-5 + 7}{2}, \frac{2 - 2}{2}) = (1, 0)$ है। A और M का x एक ही है, तो $AM = 6 - 0 =$ 6 इकाई। केंद्रक $G(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}) = (1, 2)$ है, इसलिए $AG = 6 - 2 =$ 4 इकाई। AG पूरी माध्यिका का दो-तिहाई निकला, और ठीक इतना ही होना भी चाहिए।

प्रश्न 8

k के किस मान के लिए रेखा $3x + ky = 5$, रेखा $4x - 6y + 1 = 0$ के लंबवत है?

उत्तर: रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ तब लंबवत होती हैं, जब $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ हो। यह वही $m_1m_2 = -1$ वाली शर्त है, बस भिन्नें हटाकर लिखी गई है। यहाँ $3 \times 4 + k \times (-6) = 0$, तो $6k = 12$, यानी $k = 2$। दोनों ढालें निकालें, तो ये $-\frac{3}{2}$ और $\frac{2}{3}$ आती हैं, जिनका गुणनफल $-1$ है।

प्रश्न 9

k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $2x + ky = 6$ और $kx + 8y = 12$ एक ही रेखा को निरूपित करते हैं। k के जिस दूसरे मान के लिए $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ होता है, उस मान पर क्या होता है?

उत्तर: x और y के गुणांकों के अनुपात बराबर रखें, तो $\frac{2}{k} = \frac{k}{8}$ से $k^2 = 16$ आता है, यानी k = 4 या $-4$। एक ही रेखा होने के लिए अचरों का अनुपात भी यही होना चाहिए, और वह $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ है।

$k = 4$ पर तीनों अनुपात $\frac{2}{4}$, $\frac{4}{8}$ और $\frac{6}{12}$ हैं, और तीनों $\frac{1}{2}$ के बराबर हैं। तो रेखाएँ संपाती हैं, और $k = 4$। $k = -4$ पर पहले दोनों अनुपात $-\frac{1}{2}$ हो जाते हैं, पर तीसरा $\frac{1}{2}$ ही रहता है। ऐसे में रेखाएँ समांतर होती हैं, और इस युग्म का कोई हल नहीं होता।

प्रश्न 10

a के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(a, -1)$ और $(3, 5)$ के बीच की दूरी 10 इकाई है।

उत्तर: यहाँ y-अंतर 6 है। दूरी 10 चाहिए, तो x-अंतर ऐसा होना चाहिए कि 6-8-10 वाला त्रिभुज पूरा हो जाए, यानी $|a - 3| = 8$। इससे $a - 3 = 8$ या $a - 3 = -8$, तो $a = 11$ या $a = -5$। दोनों बिंदु $(3, 5)$ से 10 इकाई दूर हैं, एक उसके इस ओर और दूसरा उस ओर।

प्रश्न 11

आकृति में एक रेखा L का ग्राफ़ दर्शाया गया है। इसका समीकरण ज्ञात कीजिए, और बताइए कि बिंदु $(6, 6)$ इस रेखा पर स्थित है या नहीं।

उत्तर: L, x-अक्ष को $(-3, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, 2)$ पर काटती है। तो अंतःखंड रूप (intercept form) में रेखा $\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1$ है। 6 से गुणा करने पर $-2x + 3y = 6$ आता है, यानी रेखा $2x - 3y + 6 = 0$ है। अब $(6, 6)$ रखकर देखते हैं। $12 - 18 + 6 = 0$ आता है, तो हाँ, यह L पर स्थित है।

ग्राफ़ से भी जाँच हो जाती है। हर 3 इकाई दाएँ जाने पर रेखा 2 इकाई ऊपर उठती है, तो ढाल $\frac{2}{3}$ है। समीकरण से भी $-\frac{a}{b} = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$ आता है, यानी दोनों मेल खाते हैं।

प्रश्न 12

$A(-3, -2)$, $B(2, -4)$ और $C(5, 1)$ इसी क्रम में समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं। D के निर्देशांक तथा समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चौथा शीर्ष $D = A + C - B = (-3 + 5 - 2, -2 + 1 + 4) =$ $(0, 3)$ है। विकर्ण AC समांतर चतुर्भुज को दो बराबर त्रिभुजों में काटता है, तो इसका क्षेत्रफल त्रिभुज ABC का दोगुना होगा। अब A को मूल बिंदु पर खिसका देते हैं। तब B, $(5, -2)$ पर आ जाता है और C, $(8, 3)$ पर। ABC का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|5 \times 3 - 8 \times (-2)| = \frac{31}{2}$ है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 31 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 13

रेखा $x = -2$ में $P(5, -1)$ का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए, और फिर रेखा $y = 3$ में उस बिंदु का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेखा $x = -2$ ऊर्ध्वाधर है, तो प्रतिबिंब में y वही रहता है, यानी $-1$। x की जगह $2 \times (-2) - 5 = -9$ आता है। तो पहला प्रतिबिंब $(-9, -1)$ है। P रेखा से 7 इकाई दाईं ओर था, और यह बिंदु 7 इकाई बाईं ओर है। अब रेखा $y = 3$ क्षैतिज है, तो x वही रहता है, यानी $-9$। y की जगह $2 \times 3 - (-1) = 7$ आता है। तो अंतिम बिंदु $(-9, 7)$ है।

प्रश्न 14

$A(-5, 7)$ और $B(3, 3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: लंब समद्विभाजक AB के मध्य बिंदु $(-1, 5)$ से होकर जाता है। AB की ढाल $\frac{3 - 7}{3 + 5} = -\frac{1}{2}$ है, तो समद्विभाजक की ढाल 2 होगी। इससे $y - 5 = 2(x + 1)$, यानी $y = 2x + 7$ आता है। तो रेखा $2x - y + 7 = 0$ है। इस पर एक और बिंदु $(0, 7)$ लेकर देखते हैं। यह A से $\sqrt{25 + 0} = 5$ और B से $\sqrt{9 + 16} = 5$ दूर है, यानी दोनों से बराबर दूर।

प्रश्न 15

निर्देशांक अक्षों, रेखा $5x + 2y = 20$ और रेखा $x = 2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले क्षेत्र के कोने निकालते हैं। दोनों अक्ष $(0, 0)$ पर मिलते हैं, और रेखा $x = 2$, x-अक्ष से $(2, 0)$ पर मिलती है। यही रेखा $5x + 2y = 20$ से वहाँ मिलती है जहाँ $2y = 10$ हो, यानी $(2, 5)$ पर। और $5x + 2y = 20$ रेखा y-अक्ष को $(0, 10)$ पर काटती है। तो यह क्षेत्र एक समलंब चतुर्भुज है। इसकी ऊर्ध्वाधर समांतर भुजाएँ 10 और 5 हैं, और इनके बीच की दूरी 2 है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(10 + 5) \times 2 =$ 15 वर्ग इकाई।

प्रश्न 16

$A(2, -4)$ और $B(-6, 8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A से B तक जाने में x में $-8$ का और y में 12 का परिवर्तन होता है। चार बराबर भाग चाहिए, तो इसका एक-चौथाई एक कदम होगा, यानी x में $-2$ और y में 3। A से एक-एक कदम चलते जाएँ, तो बिंदु $(0, -1)$, $(-2, 2)$ और $(-4, 5)$ आते हैं। बीच वाला बिंदु AB का मध्य बिंदु निकलता है, और चौथा कदम ठीक $(-6, 8)$ पर, यानी B पर पहुँचता है। इससे पता चल जाता है कि कदम सही हैं।

प्रश्न 17

एक रेखा $(6, -2)$ से होकर जाती है, और इसका x-अंतःखंड इसके y-अंतःखंड का दोगुना है। दोनों में से कोई भी अंतःखंड शून्य नहीं है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लेते हैं कि y-अंतःखंड b है, तो x-अंतःखंड 2b होगा। तब रेखा $\frac{x}{2b} + \frac{y}{b} = 1$ होगी, यानी $x + 2y = 2b$। इसमें $(6, -2)$ रखने पर $6 - 4 = 2b$, तो $b = 1$। इसलिए रेखा $x + 2y = 2$ है। इसका x-अंतःखंड 2 और y-अंतःखंड 1 है।

प्रश्न 18

बिना हल किए बताइए कि निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण युग्म का एक हल है, कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। जहाँ ठीक एक हल हो, उसे ज्ञात कीजिए।

• (i) $6x - 4y = 14$ और $9x - 6y = 21$
• (ii) $7x + 3y = 4$ और $14x + 6y = 9$
• (iii) $x - 3y = 2$ और $3x - y = 6$

उत्तर: (i) में अनुपात $\frac{6}{9}$, $\frac{-4}{-6}$ और $\frac{14}{21}$ हैं, और तीनों $\frac{2}{3}$ के बराबर हैं। तो दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं, और अनंत हल हैं। (ii) में $\frac{7}{14} = \frac{3}{6}$ है, पर $\frac{4}{9}$ इनसे अलग है। तो रेखाएँ समांतर हैं, और कोई हल नहीं है। (iii) में $\frac{1}{3}$ और $\frac{-3}{-1} = 3$ अलग-अलग हैं, इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यह बिंदु निकालने के लिए पहले समीकरण को $x = 3y + 2$ लिखकर दूसरे में रखते हैं। इससे $9y + 6 - y = 6$, तो $y = 0$ और $x = 2$। मतलब रेखाएँ $(2, 0)$ पर मिलती हैं।

प्रश्न 19

दर्शाइए कि $A(-2, -1)$, $B(2, 1)$, $C(0, 5)$ और $D(-4, 3)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं, और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शुरुआत चारों भुजाओं से करते हैं। AB में निर्देशांकों के अंतर 4 और 2 हैं, BC में 2 और 4, CD में 4 और 2, और DA में 2 और 4। तो चारों भुजाएँ $\sqrt{20}$ हैं। फिर विकर्ण देखते हैं। AC में अंतर 2 और 6 हैं, और BD में 6 और 2, तो दोनों विकर्ण $\sqrt{40}$ हैं। चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ABCD एक समचतुर्भुज है। और जिस समचतुर्भुज के विकर्ण भी बराबर हों, वह वर्ग होता है। इसका क्षेत्रफल $(\sqrt{20})^2 =$ 20 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 20

शीर्षों $(k, 0)$, $(4, 0)$ और $(0, 2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है। k का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दो शीर्ष x-अक्ष पर हैं, तो आधार $|4 - k|$ है। ऊँचाई $(0, 2)$ की x-अक्ष से दूरी है, यानी 2। अब $\frac{1}{2} \times |4 - k| \times 2 = 6$, तो $|4 - k| = 6$। इससे $k = -2$ या $k = 10$ आता है। दोनों मान ठीक हैं, क्योंकि k वाला शीर्ष $(4, 0)$ के किसी भी ओर हो सकता है।

प्रश्न 21

$A(-4, -1)$, $B(2, 2)$ और $C(12, k)$ संरेख हैं। k का मान, तथा वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें B, AC को विभाजित करता है।

उत्तर: A से B तक x में 6 की बढ़त है और y में 3 की, यानी y की बढ़त x की बढ़त की आधी है। B से C तक x में 10 की बढ़त है, तो y में 5 की बढ़त होगी। इसलिए $k = 7$। अनुपात x-निर्देशांकों से निकाल लेते हैं। $AB : BC = (2 + 4) : (12 - 2) = 6 : 10 =$ 3 : 5।

प्रश्न 22

रेखाएँ $3x - y = 3$ और $x + 3y = 21$ एक बिंदु P पर मिलती हैं। P के निर्देशांक, तथा इन दोनों रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहली रेखा से $y = 3x - 3$ मिलता है। इसे दूसरी रेखा के समीकरण में रखें, तो $x + 9x - 9 = 21$ आता है। इससे $x = 3$ और $y = 6$, यानी बिंदु $P(3, 6)$ है। दोनों रेखाओं के y-अंतःखंड $-3$ और 7 हैं, तो y-अक्ष पर त्रिभुज का आधार 10 है। ऊँचाई P की y-अक्ष से दूरी है, यानी 3। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 3 =$ 15 वर्ग इकाई।

प्रश्न 23

इसी क्रम में लिए गए शीर्षों $A(-4, -2)$, $B(3, -3)$, $C(5, 4)$ और $D(-1, 5)$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विकर्ण AC से काटें, तो चतुर्भुज दो त्रिभुजों ABC और ACD में बँट जाता है। फिर A को मूल बिंदु पर ले आते हैं, तो B, C और D क्रमशः $(7, -1)$, $(9, 6)$ और $(3, 7)$ पर आ जाते हैं। अब दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल निकालते हैं।

• त्रिभुज ABC: $\frac{1}{2}|7 \times 6 - 9 \times (-1)| = \frac{51}{2} = 25.5$
• त्रिभुज ACD: $\frac{1}{2}|9 \times 7 - 3 \times 6| = \frac{45}{2} = 22.5$

तो चतुर्भुज का क्षेत्रफल $25.5 + 22.5 =$ 48 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 24

उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $x + 2y = 9$ और $4x - y = 18$ के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाती है और $3x - y = 4$ के लंबवत है।

उत्तर: प्रतिच्छेद बिंदु के लिए दूसरे समीकरण से $y = 4x - 18$ लेकर पहले में रख देते हैं। तब $x + 8x - 36 = 9$ आता है, तो $x = 5$ और $y = 2$। $3x - y = 4$ के लंबवत रेखा $x + 3y = k$ के रूप में होगी, क्योंकि लंबवत रेखा में x और y के गुणांक आपस में बदल जाते हैं और एक का चिह्न उलट जाता है। प्रतिच्छेद बिंदु $(5, 2)$ रखने पर $k = 5 + 6 = 11$, तो रेखा $x + 3y = 11$ है।

प्रश्न 25

त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिंदु क्रमशः $D(3, 1)$, $E(5, 7)$ और $F(-3, 2)$ हैं। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज DEF की हर भुजा, ABC की किसी एक भुजा के समांतर होती है। इसलिए AFDE एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें A का सम्मुख शीर्ष D है। अब चौथे शीर्ष वाला नियम लगाते हैं, तो $A = E + F - D = (5 - 3 - 3, 7 + 2 - 1) = (-1, 8)$। इसी तरह $B = D + F - E = (-5, -4)$ और $C = D + E - F = (11, 6)$। तो त्रिभुज के शीर्ष $A(-1, 8)$, $B(-5, -4)$ और $C(11, 6)$ हैं। BC का मध्य बिंदु निकालकर मिला लेते हैं। यह $(\frac{6}{2}, \frac{2}{2}) = (3, 1)$ है, जो D ही है।

प्रश्न 26

वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(2, 6)$, $(-5, 5)$ और $(3, -1)$ से समदूरस्थ है, तथा यह समान दूरी भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना बिंदु $(x, y)$ है। $(2, 6)$ और $(-5, 5)$ से दूरी बराबर रखकर दोनों ओर वर्ग करते हैं। $x^2$ और $y^2$ कट जाते हैं, और $-4x - 12y + 40 = 10x - 10y + 50$ बचता है, यानी $7x + y = -5$। इसी तरह $(2, 6)$ और $(3, -1)$ से दूरी बराबर रखने पर $-4x - 12y + 40 = -6x + 2y + 10$ आता है, यानी $x - 7y = -15$।

अब दूसरे समीकरण से $x = 7y - 15$ निकालकर पहले में रखते हैं, तो $49y - 105 + y = -5$ आता है। इससे $y = 2$ और $x = -1$, यानी बिंदु $(-1, 2)$ है। $(2, 6)$ से इसके निर्देशांकों के अंतर 3 और 4 हैं, तो समान दूरी 5 इकाई है।

प्रश्न 27

रेखाओं $y = 1$, $3x + 4y = 34$ और $3x - 2y + 8 = 0$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे पहले त्रिभुज के तीनों कोने चाहिए। $y = 1$ और $3x + 4y = 34$ को साथ लें, तो $3x = 30$, और कोना $(10, 1)$ मिलता है। $y = 1$ और $3x - 2y + 8 = 0$ से $3x = -6$, तो कोना $(-2, 1)$ है। बाकी दो रेखाओं के लिए $3x + 4y = 34$ में से $3x - 2y = -8$ घटाते हैं। इससे $6y = 42$, यानी $y = 7$ और $x = 2$, तो तीसरा कोना $(2, 7)$ है।

आधार रेखा $y = 1$ पर $-2$ से 10 तक है, यानी इसकी लंबाई 12 है। कोना $(2, 7)$ इस आधार से $7 - 1 = 6$ ऊपर है, और यही ऊँचाई है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 12 \times 6 =$ 36 वर्ग इकाई।

प्रश्न 28

$P(9, 2)$ से रेखा $4x - 3y = 5$ पर डाले गए लंब का पाद ज्ञात कीजिए। इस लंब की लंबाई तथा इस रेखा में P का प्रतिबिंब भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P से रेखा पर डाला गया लंब $3x + 4y = k$ के रूप में होगा। इसमें P रखने पर $k = 27 + 8 = 35$। अब $4x - 3y = 5$ और $3x + 4y = 35$ को साथ हल करते हैं। पहले को 4 से और दूसरे को 3 से गुणा करके जोड़ें, तो $25x = 125$, यानी $x = 5$, और फिर $y = 5$। तो लंब का पाद $F(5, 5)$ है।

PF में निर्देशांकों के अंतर 4 और 3 हैं, इसलिए लंब की लंबाई 5 इकाई है। प्रतिबिंब F के दूसरी ओर ठीक उतनी ही दूरी पर होता है, जितनी दूरी पर P इस ओर है। तो $P' = 2F - P = (10 - 9, 10 - 2) =$ $(1, 8)$।

प्रश्न 29

[Tier 2] $A(3, -2)$ और $B(5, 4)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुपात $m : n$ में बाह्य विभाजन के लिए विभाजन सूत्र (section formula) में धन की जगह ऋण चिह्न आ जाता है। तब बिंदु $(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n})$ होता है। $m = 2$ और $n = 1$ रखने पर $(\frac{10 - 3}{1}, \frac{8 + 2}{1}) =$ $(7, 10)$ आता है।

इसे दूसरी तरह से भी समझ सकते हैं। इस बिंदु की A से दूरी, B से उसकी दूरी की दोगुनी है, और बिंदु B के उस पार है। मतलब B, A और इस बिंदु का मध्य बिंदु है। हिसाब लगाकर देखें, तो $\frac{3 + 7}{2} = 5$ और $\frac{-2 + 10}{2} = 4$ आता है, यानी मध्य बिंदु सचमुच B ही है।

प्रश्न 30

रेखा $5x - 12y + 6 = 0$ से बिंदु $(3, -2)$ की दूरी ज्ञात कीजिए। समांतर रेखाओं $3x + 4y = 7$ और $6x + 8y + 11 = 0$ के बीच की दूरी भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $ax + by + c = 0$ से दूरी $\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है। यहाँ यह दूरी $\frac{|15 + 24 + 6|}{\sqrt{25 + 144}} =$ $\frac{45}{13}$ इकाई है।

समांतर रेखाओं के लिए पहले दोनों में x और y के गुणांक एक जैसे करते हैं। दूसरी रेखा को आधा करने पर $3x + 4y + 5.5 = 0$ आता है, और पहली रेखा $3x + 4y - 7 = 0$ है। अब अचरों के अंतर को $\sqrt{a^2 + b^2}$ से भाग दें, तो दूरी मिल जाती है। यह $\frac{|-7 - 5.5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12.5}{5} =$ 2.5 इकाई है।

प्रश्न 31

[Tier 2] रेखाओं $y = 3x + 1$ और $x - 2y + 9 = 0$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों रेखाओं की ढालें 3 और $\frac{1}{2}$ हैं। दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ हो, तो $\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$ होता है। यहाँ $\tan\theta = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1$, तो $\theta = 45^\circ$।