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बिंदु और चतुर्थांश

• बिंदु $(x, y)$ के चिह्न देखकर उसका चतुर्थांश (quadrant) पहचान लीजिए। प्रथम चतुर्थांश में चिह्न $(+, +)$ होते हैं, द्वितीय में $(-, +)$, तृतीय में $(-, -)$ और चतुर्थ में $(+, -)$।
• x को भुज (abscissa) कहते हैं और y को कोटि (ordinate)।
• x-अक्ष पर स्थित हर बिंदु $(a, 0)$ के रूप का होता है और y-अक्ष पर स्थित हर बिंदु $(0, b)$ के रूप का। ऐसे बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं आते।
• किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी $= |y|$ होती है और y-अक्ष से दूरी $= |x|$।

उदाहरण: बिंदु $(6, -11)$ चतुर्थ चतुर्थांश में है। यह x-अक्ष से 11 इकाई दूर है और y-अक्ष से 6 इकाई दूर।

परावर्तन

• x-अक्ष में परावर्तन करने पर बिंदु का प्रतिबिंब (image) $(x, -y)$ होता है। y-अक्ष में यह $(-x, y)$ होता है और मूल बिंदु में $(-x, -y)$।
• रेखा $y = x$ में प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है और रेखा $y = -x$ में $(-y, -x)$।
• रेखा $x = a$ में प्रतिबिंब $(2a - x, y)$ होता है और रेखा $y = b$ में $(x, 2b - y)$।
• बिंदु और उसका प्रतिबिंब दर्पण रेखा के दोनों ओर, उससे बराबर दूरी पर होते हैं।
• दर्पण रेखा कोई और हो, तो पहले दिए गए बिंदु से उस रेखा पर लंब का पाद (foot of the perpendicular) F निकालिए। फिर प्रतिबिंब $2F - P$ होता है, यानी F के निर्देशांक दोगुने करके उनमें से दिए गए बिंदु के निर्देशांक घटा दीजिए।

उदाहरण: रेखा $x = 3$ में $(1, 5)$ का प्रतिबिंब $(5, 5)$ है। रेखा $y = -1$ में इसी बिंदु का प्रतिबिंब $(1, -7)$ है।

दूरी सूत्र और आकृतियाँ

• दूरी सूत्र (distance formula) $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है। मूल बिंदु से किसी बिंदु की दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ होती है।
• पाइथागोरस त्रिक पहचान लें, तो वर्गमूल निकालना ही नहीं पड़ता। 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 और 20-21-29 जैसे त्रिक याद रखिए।
• दूरी में कोई निर्देशांक अज्ञात हो, तो प्रायः दो उत्तर आते हैं।
• आकृति पहचाननी हो, तो हर भुजा और दोनों विकर्णों की लंबाई निकालिए। चारों भुजाएँ बराबर हों, तो समचतुर्भुज, और साथ में दोनों विकर्ण भी बराबर हों, तो वर्ग। सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, तो समांतर चतुर्भुज, और साथ में दोनों विकर्ण भी बराबर हों, तो आयत।
• बिंदु संरेख (collinear) हों, तो दोनों छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर होता है।

मध्य बिंदु और विभाजन सूत्र

• मध्य बिंदु $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ होता है। मध्य बिंदु और एक सिरा दिया हो, तो दूसरा सिरा $B = 2M - A$ होता है।
• $m : n$ के अनुपात में अंतः विभाजन हो, तो विभाजन सूत्र (section formula) से बिंदु $(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n})$ आता है।
• अनुपात निकालने के लिए एक ही निर्देशांक काफ़ी है, जैसे $(x - x_1) : (x_2 - x)$।
• x-अक्ष, AB को $-y_1 : y_2$ के अनुपात में विभाजित करता है और y-अक्ष $-x_1 : x_2$ के अनुपात में।
• [Tier 2] बाह्य विभाजन में x-निर्देशांक $\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}$ होता है। y-निर्देशांक भी इसी तरह निकलता है।

केंद्रक और क्षेत्रफल

• त्रिभुज का केंद्रक (centroid) $G(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ होता है। केंद्रक और दो शीर्ष दिए हों, तो छूटा हुआ शीर्ष $3G - A - B$ होता है।
• समांतर चतुर्भुज ABCD में $D = A + C - B$ होता है, क्योंकि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ होता है।
• एक शीर्ष मूल बिंदु O पर हो, तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ होता है। ऐसा न हो, तो पहले त्रिभुज को खिसकाकर किसी एक शीर्ष को O पर ले आइए।
• क्षेत्रफल 0 आए, तो बिंदु संरेख हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसे दो त्रिभुजों में बाँटकर निकालिए।

[SSC टिप] $\frac{1}{2}$ लगाना भूल जाएँ, तो उत्तर असली क्षेत्रफल का दोगुना आता है। ऐसा गलत उत्तर प्रायः विकल्पों में भी दिया होता है।

ढाल

• ढाल (slope) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\theta$ होती है। यहाँ $\theta$ वह कोण है, जो रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाती है।
• रेखा $ax + by + c = 0$ की ढाल $m = -\frac{a}{b}$ होती है।
• ढाल 1 हो, तो कोण $45^\circ$ होता है और ढाल $-1$ हो, तो $135^\circ$। इसी तरह ढाल $\sqrt{3}$ पर कोण $60^\circ$ होता है और ढाल $\frac{1}{\sqrt{3}}$ पर $30^\circ$।
• x-अक्ष के समांतर रेखा की ढाल 0 होती है। y-अक्ष के समांतर रेखा की ढाल परिभाषित नहीं होती।
• बिंदु संरेख हों, तो उनके हर जोड़े से निकली ढालें बराबर होती हैं।

रेखा का समीकरण

• रेखा $y = mx + c$ में c उसका y-अंतःखंड (intercept) है। समीकरण के इस रूप को ढाल-अंतःखंड रूप कहते हैं।
• बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ है। दो बिंदु दिए हों, तो पहले ढाल निकालिए, फिर यही रूप लगाइए।
• अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
• $x = a$ ऊर्ध्वाधर रेखा होती है और $y = b$ क्षैतिज रेखा। $x = 0$ का मतलब y-अक्ष है और $y = 0$ का मतलब x-अक्ष।
• बिंदु रेखा पर स्थित हो, तो वह रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए समीकरण में k जैसा कोई अज्ञात निकालना हो, तो बिंदु के निर्देशांक समीकरण में रख दीजिए।

समांतर और लंबवत रेखाएँ

• समांतर रेखाओं में $m_1 = m_2$ होता है। दी गई रेखा के समांतर कोई रेखा किसी बिंदु से होकर जाए, तो उसे $ax + by + k = 0$ मानिए और बिंदु के निर्देशांक रखकर अचर निकाल लीजिए।
• लंबवत रेखाओं में $m_1m_2 = -1$ होता है, या $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$। दी गई रेखा के लंबवत कोई रेखा किसी बिंदु से होकर जाए, तो उसे $bx - ay + k = 0$ मान लीजिए।
• AB का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector) AB के मध्य बिंदु से होकर जाता है। उसकी ढाल AB की ढाल को उलटकर और चिह्न बदलकर मिलती है, यानी $-\frac{1}{m}$।
• बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $ax + by + c = 0$ से दूरी $\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है। दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
• [Tier 2] दो रेखाओं के बीच का कोण $\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$ से निकलता है।

ग्राफ़ और अंतःखंड

• रेखा $ax + by = c$, x-अक्ष को $(\frac{c}{a}, 0)$ पर काटती है और y-अक्ष को $(0, \frac{c}{b})$ पर।
• यह रेखा अक्षों के साथ $\frac{c^2}{2|ab|}$ क्षेत्रफल घेरती है।
• दो रेखाएँ x-अक्ष के साथ त्रिभुज बनाएँ, तो आधार दोनों x-अंतःखंडों के बीच की दूरी होता है। ऊँचाई $= |y|$ होती है, यानी दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के y-निर्देशांक का संख्यात्मक मान।
• रेखाएँ $x = 0$, $y = 0$, $x = p$ और $y = q$ एक आयत घेरती हैं। उसका क्षेत्रफल $|pq|$ होता है।

रेखाओं के युग्म

समीकरण $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए गुणांकों के अनुपात देखिए।

• $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ हो, तो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, यानी प्रतिच्छेदी होती हैं। तब केवल एक हल होता है, जिसे अद्वितीय हल कहते हैं।
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो, तो रेखाएँ समांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता।
• तीनों अनुपात बराबर हों, तो दोनों समीकरणों का ग्राफ़ एक ही रेखा होता है और अनंत हल होते हैं।
• दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु समीकरण युग्म हल करके निकालिए, या हर विकल्प को दोनों समीकरणों में रखकर देख लीजिए।

समीकरण युग्म को हल करने के तरीके अध्याय 11 (बीजगणित) में देखिए।

उदाहरण: $x + 2y = 3$ और $2x + 4y = 9$ समांतर रेखाएँ हैं, क्योंकि $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ है, पर $\frac{3}{9}$ इनसे अलग है।

परीक्षा से पहले

• हर बार अक्षों और बिंदुओं का कच्चा चित्र बना लीजिए। इससे गलत चिह्न तुरंत पकड़ में आ जाता है।
• सबसे आम चूकें हैं ढाल $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ ले लेना, $-\frac{a}{b}$ की जगह ढाल $\frac{a}{b}$ लिखना, $\frac{1}{2}$ के बिना क्षेत्रफल निकालना, लंबवत रेखा की ढाल $-m$ या $\frac{1}{m}$ ले लेना, $\frac{c}{a}$ की जगह अंतःखंड a लिख देना, विभाजन का अनुपात उलटा ले लेना, और गलत अक्ष में परावर्तन कर देना।

इस अध्याय के PYQ अभ्यास सेट या अध्याय टेस्ट अभी बाकी हों, तो अब उन्हें घड़ी देखकर हल कीजिए।