ढाल और रेखा का समीकरण

दो बिंदुओं से रेखा की ढाल

किसी रेखा की ढाल (slope) से पता चलता है कि वह कितनी तेज़ी से ऊपर चढ़ती है।

रेखा पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाइए। इस बीच $y$ में जो बदलाव होता है, उसे ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (rise) कहते हैं। इसी तरह $x$ में जो बदलाव होता है, उसे क्षैतिज परिवर्तन (run) कहते हैं। ऊर्ध्वाधर परिवर्तन को क्षैतिज परिवर्तन से भाग दीजिए, ढाल मिल जाएगी।

$$m = \frac{\text{ऊर्ध्वाधर परिवर्तन}}{\text{क्षैतिज परिवर्तन}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

जैसे $A(1, 1)$ और $B(5, 7)$ लीजिए। क्षैतिज परिवर्तन $5 - 1 = 4$ है और ऊर्ध्वाधर परिवर्तन $7 - 1 = 6$। तो $m = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$। मतलब दाईं ओर हर 2 कदम चलने पर रेखा 3 ऊपर चढ़ जाती है।

बिंदु किसी भी क्रम में ले सकते हैं। बस अंश और हर में एक ही क्रम रखना है। उलटे क्रम में घटाएँ, तो $\frac{1 - 7}{1 - 5} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$ आता है, यानी फिर वही ढाल। गलती तब होती है जब ऊपर एक क्रम और नीचे दूसरा क्रम ले लिया जाए, जैसे $\frac{7 - 1}{1 - 5}$। इससे चिह्न उलट जाता है।

ऋणात्मक ढाल: अब $P(-2, 5)$ और $Q(4, 1)$ लेते हैं।

$$m = \frac{1 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

यह रेखा दाईं ओर बढ़ते हुए नीचे उतरती है। ऋणात्मक निर्देशांक घटाने का मतलब है जोड़ना, और चिह्न की ज़्यादातर गलतियाँ यहीं होती हैं। इसलिए सरल करने से पहले कोष्ठक लिख लीजिए, जैसे $4 - (-2)$।

ढाल के चिह्न से रेखा की दिशा तुरंत पता चल जाती है।

रेखा, बाएँ से दाएँ देखने पर	ढाल
ऊपर चढ़ती है	धनात्मक
नीचे उतरती है	ऋणात्मक
सपाट है (x-अक्ष के समांतर)	0
खड़ी है (y-अक्ष के समांतर)	परिभाषित नहीं, क्योंकि क्षैतिज परिवर्तन 0

इसलिए दोनों बिंदुओं का कच्चा-सा चित्र बना लीजिए। उत्तर का चिह्न ठीक है या नहीं, यह बिना किसी हिसाब के पता चल जाएगा।

एक बात याद रखिए, $y$ हमेशा ऊपर, यानी अंश में रहता है। किसी ने भिन्न उलट दी और $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ लगा दिया, तो A और B के लिए $\frac{2}{3}$ आएगा। यह उत्तर किसी विकल्प से मिल भी जाए, तो केवल इस बात से उसे सही न मान लीजिए।

ढाल और x-अक्ष से कोण

रेखा और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच के कोण को $\theta$ मान लीजिए। यह कोण x-अक्ष से वामावर्त, यानी घड़ी की सुई की उलटी दिशा में घुमाकर नापा जाता है, इसलिए हमेशा $0^\circ \le \theta < 180^\circ$ रहता है। इसी कोण को रेखा का झुकाव (inclination) कहते हैं। ढाल और झुकाव का संबंध यह है।

$$m = \tan\theta$$

यह बात ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज परिवर्तन वाले त्रिभुज से समझ आती है। उस त्रिभुज में ऊर्ध्वाधर परिवर्तन $\theta$ के सामने वाली भुजा है, और क्षैतिज परिवर्तन उससे सटी भुजा। सामने वाली भुजा को सटी भुजा से भाग दें, तो tan ही मिलता है।

$\theta$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$
$m$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	परिभाषित नहीं	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$90^\circ$ से बड़े कोण पर ढाल ऋणात्मक आती है, क्योंकि $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$ होता है। यह अध्याय 15 (त्रिकोणमिति) में आ चुका है।

चित्र में $y = x - 2$ का झुकाव $45^\circ$ है और ढाल 1। वहीं $y = -x + 6$ का झुकाव $135^\circ$ है और ढाल $-1$।

ढाल से वापस कोण: ढाल $\sqrt{3}$ हो, तो कोण $60^\circ$ है। ढाल $-1$ हो, तो कोण $135^\circ$ है, $45^\circ$ नहीं। ढाल ऋणात्मक हो, तो झुकाव हमेशा अधिक कोण होता है। इसी तरह ढाल $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ हो, तो कोण $150^\circ$ है।

अक्षों के समांतर रेखाएँ: x-अक्ष के समांतर रेखा लीजिए, जैसे $y = 4$। इसके हर बिंदु का $y$ एक ही है, इसलिए ऊर्ध्वाधर परिवर्तन 0 है और ढाल भी 0 ($\theta = 0^\circ$)। अब y-अक्ष के समांतर रेखा लीजिए, जैसे $x = -3$। इसमें क्षैतिज परिवर्तन 0 है। किसी संख्या को 0 से भाग देने का कोई मान नहीं होता, इसलिए इस रेखा की ढाल परिभाषित नहीं है ($\theta = 90^\circ$)।

ख़ास तौर पर, x-अक्ष की ढाल 0 है, जबकि y-अक्ष की कोई ढाल ही नहीं होती। ढाल 0 और ढाल परिभाषित नहीं, ये दो अलग उत्तर हैं। पहला सपाट रेखा का है और दूसरा खड़ी रेखा का।

रेखा $ax + by + c = 0$ की ढाल

कभी रेखा दो बिंदुओं से नहीं, बल्कि समीकरण से दी होती है। तब $y$ को एक ओर अकेला कर लीजिए।

$$by = -ax - c \Rightarrow y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$$

अब $x$ के साथ जो संख्या है, वही ढाल है। इसलिए

$$m = -\frac{a}{b} = -\frac{\text{गुणांक } x}{\text{गुणांक } y}$$

कुछ उदाहरण देखिए।

• $2x - 5y + 8 = 0$ के लिए $m = -\frac{2}{-5} = \frac{2}{5}$।
• $6x + 3y = 11$ के लिए $m = -\frac{6}{3} = -2$।
• $7x - 2y = 5$ के लिए $m = -\frac{7}{-2} = \frac{7}{2}$।
• $y = 3$ को $0x + y - 3 = 0$ लिख सकते हैं, तो $m = 0$।
• $4x = 9$ में $b = 0$ है, इसलिए ढाल परिभाषित नहीं है। यह रेखा खड़ी है।

अचर पद से ढाल नहीं बदलती। रेखा $ax + by + c = 0$ लिखी हो या $ax + by = c$, कोई अंतर नहीं पड़ता। फ़र्क केवल $a$ और $b$ के चिह्नों से पड़ता है। $x$ और $y$ वाले पद एक ही ओर हों और उनके चिह्न एक जैसे हों, तो ढाल ऋणात्मक होगी। चिह्न उलटे हों, तो ढाल धनात्मक होगी।

उलझे हुए समीकरण: मान लीजिए रेखा $5y = 3x - 20$ दी है। यहाँ $x$ वाला पद दूसरी ओर है। एक रास्ता यह है कि पहले उसे इस ओर ले आइए। तब $3x - 5y - 20 = 0$ मिलता है, और ढाल $\frac{3}{5}$। दूसरा रास्ता है सीधे 5 से भाग देना, जिससे $y = \frac{3}{5}x - 4$ आता है। भाग वाला रास्ता अक्सर जल्दी होता है, और इसमें चिह्न की गलती की गुंजाइश भी कम रहती है।

[SSC टिप] $ax + by = c$ रूप वाली रेखा की ढाल, या उसके लंबवत रेखा की ढाल, CGL 2025 की कई पालियों में पूछी गई है। सही विकल्प के पास अक्सर दो गलत विकल्प रखे होते हैं। एक $\frac{a}{b}$, जिसमें ऋण चिह्न छूट गया, और दूसरा $-\frac{b}{a}$, जिसमें भिन्न उलट गई। इसलिए पहले काग़ज़ पर $m = -\frac{a}{b}$ लिखिए, फिर उसमें संख्याएँ रखिए।

ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$

रेखा $y = mx + c$ के रूप में लिखी हो, तो दोनों संख्याएँ सीधे पढ़ ली जाती हैं।

• $m$ रेखा की ढाल है।
• $c$ को y-अंतःखंड (y-intercept) कहते हैं। $x = 0$ रखने पर $y = c$ आता है, यानी रेखा y-अक्ष को $(0, c)$ पर काटती है।

जैसे $y = 2x - 3$ रेखा y-अक्ष को $(0, -3)$ पर काटती है। वहाँ से दाईं ओर 1 का हर कदम चलने पर रेखा 2 ऊपर जाती है। ऐसे दो कदम चलिए, तो $(1, -1)$ और $(2, 1)$ मिलते हैं। रेखा खींचने के लिए इतना काफ़ी है।

समीकरण लिखना: ढाल $-\frac{1}{2}$ हो और y-अंतःखंड 3, तो रेखा $y = -\frac{1}{2}x + 3$ है। भिन्न हटाने पर $2y = -x + 6$, यानी $x + 2y = 6$ मिलता है। विकल्प इनमें से किसी भी रूप में हो सकता है, इसलिए एक रूप को दूसरे रूप में बदलना आना चाहिए।

मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखाएँ: $c = 0$ हो, तो रेखा $y = mx$ होगी, और यह $(0, 0)$ से होकर जाती है। $ax + by + c = 0$ वाले रूप में भी यही जाँच है। रेखा मूल बिंदु से होकर तभी जाती है, जब अचर पद 0 हो।

बिंदु से $c$ निकालना: रेखा $y = 3x + c$, बिंदु $(2, -1)$ से होकर जाती है। बिंदु रखने पर $-1 = 6 + c$ आता है, यानी $c = -7$। तो रेखा $y = 3x - 7$ है।

बिंदु से $m$ निकालना: रेखा $y = mx + 5$, बिंदु $(4, -3)$ से होकर जाती है। तो $-3 = 4m + 5$, यानी $4m = -8$ और $m = -2$।

$ax + by + c = 0$ वाले रूप से: पिछले भाग में समीकरण को जिस तरह दोबारा लिखा था, उसी से y-अंतःखंड भी मिल जाता है। यह $-\frac{c}{b}$ होता है। जैसे $2x + 5y - 15 = 0$ को $y = -\frac{2}{5}x + 3$ लिख सकते हैं। इसकी ढाल $-\frac{2}{5}$ है, और यह रेखा y-अक्ष को $(0, 3)$ पर काटती है।

बिंदु-ढाल रूप और दो-बिंदु रूप

एक बिंदु और ढाल दिए हों: मान लीजिए रेखा की ढाल $m$ है और रेखा $(x_1, y_1)$ से होकर जाती है। उस पर कोई और बिंदु $(x, y)$ लीजिए। तब $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$ होगा। भिन्न हटाने पर यह मिलता है।

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

इसे बिंदु-ढाल रूप (point-slope form) कहते हैं। जैसे ढाल $-3$ है और बिंदु $(2, -1)$। तो $y + 1 = -3(x - 2)$, यानी $y = -3x + 5$, या $3x + y = 5$। बिंदु रखकर जाँच लीजिए, $3(2) + (-1) = 5$ आता है।

दो बिंदु दिए हों: पहले ढाल निकालिए, फिर दोनों में से कोई भी एक बिंदु लेकर ऊपर वाला रूप लगाइए। इसे दो-बिंदु रूप (two-point form) कहते हैं।

$$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$

जैसे रेखा $(-3, 2)$ और $(5, 6)$ से होकर जाती है। इसकी ढाल $\frac{6 - 2}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है। अब $(-3, 2)$ लेते हैं, तो $y - 2 = \frac{1}{2}(x + 3)$। 2 से गुणा करने पर $2y - 4 = x + 3$, यानी रेखा $x - 2y + 7 = 0$ है। दूसरे बिंदु से जाँच कीजिए, $5 - 12 + 7 = 0$ आता है।

मूल बिंदु और एक और बिंदु: रेखा $(0, 0)$ और $(4, -6)$ से होकर जाती है। इसकी ढाल $-\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ है, और $c = 0$। तो रेखा $y = -\frac{3}{2}x$ है, यानी $3x + 2y = 0$।

एक ही रेखा, अलग-अलग रूप: $y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$, $2y = x + 7$ और $x - 2y + 7 = 0$, ये तीनों एक ही रेखा हैं। विकल्प आपके उत्तर से अलग दिखें, तो ढाल और एक बिंदु मिलाकर देखिए, या बस गुणा करके देख लीजिए।

[SSC टिप] कभी पूछा जाता है कि दिए गए दो बिंदुओं से होकर कौन-सी रेखा जाती है। तब रेखा का समीकरण बनाने की ज़रूरत ही नहीं है। दोनों बिंदु हर विकल्प में रखिए। दोनों बिंदु केवल सही विकल्प वाले समीकरण को संतुष्ट करेंगे। हर बार दोनों बिंदु जाँचिए, क्योंकि गलत विकल्प भी आसानी से किसी एक बिंदु से होकर जा सकता है।

अंतःखंड और अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

रेखा x-अक्ष को जिस मान पर काटती है, उसे x-अंतःखंड (x-intercept) कहते हैं। इसे निकालने के लिए $y = 0$ रखते हैं। y-अंतःखंड वह मान है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, और इसके लिए $x = 0$ रखते हैं। ये दोनों $a$ और $b$ हों, तो रेखा यह होगी।

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

इसे अंतःखंड रूप (intercept form) कहते हैं। जाँच कर लीजिए, $y = 0$ रखने पर $x = a$ आता है, और $x = 0$ रखने पर $y = b$।

$ax + by = c$ के अंतःखंड पढ़ना: पूरे समीकरण को $c$ से भाग दे दीजिए। जैसे रेखा $4x - 3y = 24$ को इसी तरह भाग देने पर $\frac{x}{6} + \frac{y}{-8} = 1$ मिलता है। मतलब रेखा x-अक्ष को $(6, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, -8)$ पर काटती है।

सीधा नियम यह है कि $ax + by = c$ का x-अंतःखंड $\frac{c}{a}$ है और y-अंतःखंड $\frac{c}{b}$। ध्यान रखिए, गुणांक ख़ुद अंतःखंड नहीं होते। $4x - 3y = 24$ में गुणांक 4 और $-3$ हैं, जबकि अंतःखंड 6 और $-8$ हैं। अंतःखंड ऋणात्मक भी हो सकता है, क्योंकि वह एक निर्देशांक है, लंबाई नहीं।

अंतःखंडों से रेखा: अंतःखंड $-5$ और 3 हों, तो रेखा $\frac{x}{-5} + \frac{y}{3} = 1$ है। 15 से गुणा करने पर $-3x + 5y = 15$, या $3x - 5y + 15 = 0$ मिलता है।

बराबर अंतःखंड: जो रेखा दोनों अक्षों पर बराबर अंतःखंड काटती है, वह $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ होती है, यानी $x + y = a$। मान लीजिए ऐसी रेखा $(-4, 15)$ से होकर जाती है। तब $a = -4 + 15 = 11$, और रेखा $x + y = 11$ है।

मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा के अंतःखंड भी बराबर होते हैं, दोनों 0। पर प्रश्नों में जब बराबर अंतःखंड की बात होती है, तो मतलब ऐसे अंतःखंडों से होता है जो 0 नहीं हैं। अगर अंतःखंडों में संख्या एक ही हो पर चिह्न उलटे हों, तो रेखा $x - y = a$ होगी। $(-4, 15)$ से होकर जाने वाली ऐसी रेखा $x - y + 19 = 0$ है।

अक्षों के बीच के टुकड़े का मध्य बिंदु: मान लीजिए $P(h, k)$ रेखा के उस भाग का मध्य बिंदु है, जो अक्षों के बीच है। तब रेखा अक्षों से $(2h, 0)$ और $(0, 2k)$ पर मिलती है, और रेखा $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ होती है। जैसे $P(1, 4)$ के लिए रेखा $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} = 1$ है, यानी $4x + y = 8$।

बिंदु रेखा पर है या नहीं, और अज्ञात मान

कोई बिंदु रेखा पर स्थित तभी होता है, जब उसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करें। इसलिए निर्देशांक समीकरण में रखिए और देखिए कि दोनों पक्ष बराबर आते हैं या नहीं।

• क्या $(3, -2)$ रेखा $5x + 4y = 7$ पर है? $15 - 8 = 7$ आता है, तो हाँ।
• क्या $(-1, 3)$ उसी रेखा पर है? $-5 + 12 = 7$ आता है, तो हाँ।
• क्या $(1, 1)$ उस पर है? $5 + 4 = 9$ आता है, तो नहीं।

कभी पूछा जाता है कि कौन-सा बिंदु दी गई रेखा पर स्थित नहीं है। तब विकल्प एक-एक करके जाँचिए। तीन बिंदुओं से समीकरण संतुष्ट होगा, एक से नहीं। शुरुआत उस विकल्प से कीजिए, जिसकी संख्याओं से हिसाब सबसे आसान हो।

अज्ञात गुणांक: रेखा $kx - 3y + 6 = 0$, $(2, 4)$ से होकर जाती है। बिंदु रखने पर $2k - 12 + 6 = 0$ आता है, यानी $k = 3$।

अज्ञात निर्देशांक: बिंदु $(p, 3)$ रेखा $2x - y = 9$ पर स्थित है। तो $2p - 3 = 9$, और $p = 6$। बिंदु $(4, q)$ हो, तो $8 - q = 9$, यानी $q = -1$।

दो बिंदुओं से दो अज्ञात: मान लीजिए $y = mx + c$, $(1, 2)$ और $(3, -4)$ से होकर जाती है। दोनों बिंदु रखने पर $m + c = 2$ और $3m + c = -4$ मिलते हैं। इन्हें घटाइए, तो $2m = -6$, यानी $m = -3$, और फिर $c = 5$। इसका छोटा रास्ता भी है। ढाल वाले सूत्र से $m$ तुरंत मिल जाता है, $\frac{-4 - 2}{3 - 1} = -3$।

यही बात यह जानने में भी काम आती है कि रेखा अक्षों से किन बिंदुओं पर मिलती है। x-अक्ष वाले बिंदु पर $y = 0$ होता है, और y-अक्ष वाले बिंदु पर $x = 0$। इन बिंदुओं से रेखा खींचना और क्षेत्रफल निकालना "रैखिक समीकरणों के ग्राफ़" वाले खंड में है।

[SSC टिप] निर्देशांक ऋणात्मक हों, तो गुणा करने से पहले हर मान को कोष्ठक में लिखिए। जैसे $(-2, -3)$ को $4x - 5y = 7$ में रखना है। $4(-2) - 5(-3) = -8 + 15 = 7$, तो बिंदु रेखा पर है। जल्दी में कोई $-8 - 15$ लिख दे, तो $-23$ आएगा और निष्कर्ष गलत निकलेगा।

समांतर और लंबवत रेखाएँ

समांतर रेखाएँ: समांतर रेखाएँ एक ही दर से चढ़ती हैं, इसलिए उनकी ढालें बराबर होती हैं, $m_1 = m_2$। उनके अंतःखंड अलग होते हैं। अगर अंतःखंड भी बराबर हों, तो दोनों समीकरण एक ही रेखा के हैं।

लंबवत रेखाएँ: दो लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल $-1$ होता है।

$$m_1 m_2 = -1, \quad \text{अर्थात्,} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

मतलब लंबवत ढाल निकालने के लिए भिन्न को उलटिए और चिह्न बदल दीजिए। जिस रेखा की ढाल 2 है, उसके लंबवत रेखा की ढाल $-\frac{1}{2}$ होगी। इसी तरह ढाल $-\frac{3}{4}$ हो, तो लंबवत ढाल $\frac{4}{3}$ होगी।

चित्र में $y = 2x - 1$ और $y = 2x + 4$ समांतर हैं। रेखा $x + 2y = 13$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है, और यह दोनों रेखाओं को समकोण पर काटती है, $(3, 5)$ और $(1, 6)$ पर।

इस नियम का बस एक अपवाद है, अक्षों के समांतर रेखाओं का जोड़ा। $x = 3$ और $y = -1$ लंबवत हैं, पर $x = 3$ की कोई ढाल नहीं है। इसलिए गुणनफल वाला नियम इन पर लागू नहीं होता।

$ax + by + c = 0$ रूप वाले समीकरणों में: ये तीन बातें याद रखिए।

• $ax + by + c = 0$ के समांतर रेखा में $x$ और $y$ वाले पद वही रहते हैं, यानी रेखा $ax + by + k = 0$ होती है।
• उसके लंबवत रेखा में $a$ और $b$ की अदला-बदली होती है और एक चिह्न बदल जाता है, यानी $bx - ay + k = 0$।
• रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ तब लंबवत होती हैं, जब $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ हो।

जैसे $3x - 4y = 7$ और $8x + 6y = 1$ लंबवत हैं, क्योंकि $3(8) + (-4)(6) = 0$। इनकी ढालें $\frac{3}{4}$ और $-\frac{4}{3}$ हैं, और इनका गुणनफल $-1$ है।

$k$ निकालना: $kx + 2y = 5$, रेखा $4x - y = 3$ के समांतर है। दोनों ढालें बराबर रखिए, $-\frac{k}{2} = 4$, तो $k = -8$। अगर यही रेखा $4x - y = 3$ के लंबवत हो, तो $4k + 2(-1) = 0$, यानी $k = \frac{1}{2}$।

लंबवत ढाल वाले प्रश्नों के विकल्पों में अक्सर दो गलत उत्तर रखे होते हैं। एक $-m$, जिसमें चिह्न बदला पर भिन्न नहीं उलटी। दूसरा $\frac{1}{m}$, जिसमें भिन्न उलटी पर चिह्न नहीं बदला। ढाल 2 के लिए ये $-2$ और $\frac{1}{2}$ होंगे, जबकि सही ढाल $-\frac{1}{2}$ है।

किसी बिंदु से होकर समांतर या लंबवत रेखा, और लंब समद्विभाजक

बिंदु से होकर समांतर रेखा: दी गई रेखा के $x$ और $y$ वाले पद वैसे ही रखिए। नया अचर पद बिंदु से निकल आता है। जैसे $(-1, 4)$ से होकर जाने वाली और $4x + 3y = 2$ के समांतर रेखा चाहिए। तो रेखा $4x + 3y = k$ होगी। बिंदु रखने पर $k = -4 + 12 = 8$, यानी रेखा $4x + 3y = 8$ है।

बिंदु से होकर लंबवत रेखा: गुणांकों की अदला-बदली कीजिए, एक चिह्न बदलिए और फिर बिंदु रखिए। $(-1, 4)$ से होकर जाने वाली और $4x + 3y = 2$ के लंबवत रेखा $3x - 4y = k$ होगी, जहाँ $k = -3 - 16 = -19$। तो रेखा $3x - 4y + 19 = 0$ है। जाँच कर लीजिए। इसकी ढाल $\frac{3}{4}$ है और पुरानी रेखा की ढाल $-\frac{4}{3}$, तो गुणनफल $-1$ है।

ढालों से भी यही रेखा मिलती है। दी गई रेखा की ढाल $-\frac{4}{3}$ है, तो लंबवत ढाल $\frac{3}{4}$ होगी। बिंदु-ढाल रूप से $y - 4 = \frac{3}{4}(x + 1)$ आता है, जो वही रेखा है।

रेखाखंड को आधा करती लंबवत रेखा: किसी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector) वह रेखा है, जो रेखाखंड के मध्य बिंदु से होकर जाती है और रेखाखंड पर लंबवत होती है। उदाहरण के लिए $A(-2, 1)$ और $B(4, 5)$ लीजिए।

• मध्य बिंदु $M = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = (1, 3)$ है। मध्य बिंदु का सूत्र "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में है।
• AB की ढाल $\frac{5 - 1}{4 - (-2)} = \frac{2}{3}$ है, तो समद्विभाजक की ढाल $-\frac{3}{2}$ होगी।
• समद्विभाजक $y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$ है। इससे $2y - 6 = -3x + 3$, यानी $3x + 2y = 9$ मिलता है।

एक और रास्ता भी है। इस रेखा का हर बिंदु A और B से समदूरस्थ होता है। उस पर कोई बिंदु $P(x, y)$ लीजिए, तो $PA^2 = PB^2$ होगा।

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 4)^2 + (y - 5)^2$$

वर्ग वाले पद कट जाते हैं और $12x + 8y = 36$ बचता है, जो वही रेखा है। दोनों में से जो रास्ता जल्दी लगे, वही लीजिए।

प्रश्नों में यह भी पूछा जाता है कि समद्विभाजक किसी अक्ष को कहाँ काटता है। यहाँ $3x + 2y = 9$ में $x = 0$ रखिए, तो y-अंतःखंड $\frac{9}{2}$ आता है।

एक ही रेखा पर तीन बिंदु

तीन बिंदु A, B और C एक सरल रेखा पर हों, तो उन्हें संरेख (collinear) कहते हैं। ऐसा तभी होता है, जब AB की ढाल BC की ढाल के बराबर हो। कारण सीधा है। ढालें बराबर हैं, तो AB और BC समांतर हैं। और दोनों टुकड़ों में बिंदु B साझा है, इसलिए दोनों एक ही रेखा के भाग हैं।

जैसे $P(-4, -1)$, $Q(-1, 1)$ और $R(5, 5)$ लीजिए।

$$\text{ढाल } PQ = \frac{1 - (-1)}{-1 - (-4)} = \frac{2}{3}, \qquad \text{ढाल } QR = \frac{5 - 1}{5 - (-1)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

दोनों ढालें बराबर हैं, तो तीनों बिंदु संरेख हैं। चित्र में देखिए, हर 3 कदम आगे चलने पर रेखा 2 ऊपर जाती है। P से Q तक ऐसा एक बार होता है, और Q से R तक दो बार।

$k$ निकालना: मान लीजिए $A(1, -1)$, $B(3, k)$ और $C(7, 11)$ संरेख हैं। पहले दोनों ज्ञात बिंदुओं से ढाल निकालिए। AC की ढाल $\frac{11 - (-1)}{7 - 1} = 2$ है। AB की ढाल भी 2 होगी, तो $\frac{k + 1}{3 - 1} = 2$। इससे $k + 1 = 4$, और $k = 3$।

तरीका यही है कि अज्ञात बिंदु को किसी ज्ञात बिंदु के साथ जोड़िए, और ढाल उन दो बिंदुओं से निकालिए जिनके दोनों निर्देशांक पता हैं। तब अज्ञात केवल एक जगह आता है।

ढाल परिभाषित न हो तब: दो बिंदुओं का $x$-निर्देशांक एक ही हो, जैसे $(4, -2)$ और $(4, 9)$, तो उनकी रेखा $x = 4$ है। तीसरा बिंदु इस रेखा पर तभी होगा, जब उसका $x$-निर्देशांक भी 4 हो। यहाँ ढाल वाली जाँच नहीं चलती, क्योंकि 0 से भाग नहीं दे सकते। बस निर्देशांक देख लीजिए।

संरेख होने की एक और जाँच है, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 0 होना। यह "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में है। दोनों से एक ही उत्तर आता है, पर ढाल वाले तरीके में संख्याएँ अक्सर छोटी रहती हैं।

रेखा से दूरी, रेखाओं के बीच कोण

बिंदु की रेखा से दूरी: किसी बिंदु से रेखा पर लंब डालिए। इस लंब की लंबाई ही बिंदु की रेखा से लंबवत दूरी (perpendicular distance) है। बिंदु $(x_1, y_1)$ और रेखा $ax + by + c = 0$ के लिए यह दूरी इस सूत्र से निकलती है।

$$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

जैसे $P(4, 5)$ से $3x + 4y - 12 = 0$ तक की दूरी $d = \frac{|12 + 20 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4$ है। लंब का पाद N, $\left(\frac{8}{5}, \frac{9}{5}\right)$ है, पर सूत्र में इसकी ज़रूरत नहीं पड़ती।

कुछ बातें ध्यान रखिए।

• मूल बिंदु से दूरी निकालनी हो, तो अंश में केवल $|c|$ बचता है। जैसे O की $5x - 12y = 26$ से दूरी $\frac{26}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{26}{13} = 2$ है।
• रेखा को पहले $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखिए, यानी हर पद एक ही ओर हो। $c$ को दूसरी ओर छोड़ दिया, तो उसका चिह्न उलट जाएगा।
• अंश 0 आए, तो बिंदु रेखा पर ही है।
• कोई वृत्त रेखा को स्पर्श करता हो, तो उसकी त्रिज्या केंद्र की उस रेखा से दूरी के बराबर होती है।

दो समांतर रेखाएँ: $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है। पर शर्त यह है कि पहले दोनों में $x$ और $y$ वाले पद बिल्कुल एक जैसे हों। जैसे $3x - 4y + 7 = 0$ और $6x - 8y - 6 = 0$ में दूसरी रेखा को आधा कीजिए, तो $3x - 4y - 3 = 0$ मिलता है। अब $d = \frac{|7 - (-3)|}{5} = 2$। बिना आधा किए $-6$ ले लिया, तो $\frac{13}{5}$ आएगा, जो गलत है।

[Tier 2] रेखाओं के बीच कोण: दो रेखाओं के बीच का कोण (angle between two lines) उनके झुकावों का अंतर होता है। जैसे $y = \sqrt{3}x + 1$ का झुकाव $60^\circ$ है और $y = x + 5$ का $45^\circ$। तो ये रेखाएँ $15^\circ$ पर मिलती हैं।

ढालें ऐसी हों कि उनसे कोण सीधे पता न चले, तो ढाल $m_1$ और $m_2$ वाली रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\phi$ इस सूत्र से निकालिए।

$$\tan\phi = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$

जैसे ढालें 5 और $\frac{2}{3}$ हों, तो $\tan\phi = \frac{5 - \frac{2}{3}}{1 + \frac{10}{3}} = \frac{13}{3} \times \frac{3}{13} = 1$। यानी रेखाएँ $45^\circ$ पर मिलती हैं। अगर $1 + m_1 m_2 = 0$ हो, तो सूत्र नहीं चलता। यह ठीक वही स्थिति है जब रेखाएँ लंबवत होती हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

बिंदुओं $(-4, 6)$ और $(2, -3)$ को मिलाने वाली रेखा की ढाल क्या है? (a) $-\frac{2}{3}$ (b) $\frac{3}{2}$ (c) $-\frac{3}{2}$ (d) $-\frac{1}{2}$

उत्तर: ऊर्ध्वाधर परिवर्तन को क्षैतिज परिवर्तन से भाग देते हैं। $\frac{-3 - 6}{2 - (-4)} = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2}$, तो ढाल (c) $-\frac{3}{2}$ है। जाँच भी हो जाती है। रेखा बाएँ से दाएँ नीचे उतरती है, इसलिए ऋण चिह्न ठीक है। अगर क्षैतिज परिवर्तन को अंश में रख देते, तो $-\frac{2}{3}$ आ जाता।

प्रश्न 2

एक रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $150^\circ$ का कोण बनाती है। उसकी ढाल क्या है? (a) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (b) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (c) $-\sqrt{3}$ (d) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

उत्तर: ढाल इस कोण के tan के बराबर होती है, यानी $\tan 150^\circ$। अब $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ है, इसलिए $\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$। वैसे भी $90^\circ$ से बड़े कोण पर ढाल हमेशा ऋणात्मक होती है। तो उत्तर (a) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

प्रश्न 3

रेखा $6x - 4y + 5 = 0$ की ढाल ज्ञात कीजिए। (a) $-\frac{3}{2}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $-\frac{2}{3}$ (d) $\frac{3}{2}$

उत्तर: $m = -\frac{a}{b}$ लगाते हैं, जहाँ $a = 6$ और $b = -4$ है। तो $m = -\frac{6}{-4} = \frac{3}{2}$। चाहें तो $y$ को अकेला करके भी देख सकते हैं। $4y = 6x + 5$, यानी $y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{4}$, और यहाँ भी वही मान आता है। ढाल (d) $\frac{3}{2}$ है।

प्रश्न 4

उस रेखा का समीकरण क्या है, जिसकी ढाल $-\frac{2}{3}$ है और जो y-अक्ष को $(0, -2)$ पर काटती है? (a) $3x + 2y + 4 = 0$ (b) $2x + 3y + 6 = 0$ (c) $2x - 3y - 6 = 0$ (d) $2x + 3y - 6 = 0$

उत्तर: $y = mx + c$ के रूप में लिखें, तो रेखा $y = -\frac{2}{3}x - 2$ है। 3 से गुणा करने पर $3y = -2x - 6$, यानी $2x + 3y + 6 = 0$ आता है। उत्तर (b) $2x + 3y + 6 = 0$ है। जाँच कर लेते हैं। $(0, -2)$ रखने पर $-6 + 6 = 0$ आता है, और $-\frac{a}{b} = -\frac{2}{3}$ भी ठीक है। विकल्प $2x - 3y - 6 = 0$ में अंतःखंड तो सही है, पर उसकी ढाल $\frac{2}{3}$ है।

प्रश्न 5

यदि रेखा $y = mx - 4$ बिंदु $(3, 5)$ से होकर जाती है, तो $m$ का मान क्या है? (a) $\frac{1}{3}$ (b) 9 (c) 3 (d) $-3$

उत्तर: समीकरण में $x = 3$ और $y = 5$ रखते हैं। $5 = 3m - 4$ आता है, तो $3m = 9$ और $m = 3$। उत्तर (c) 3 है।

प्रश्न 6

$(-1, 2)$ से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी ढाल $\frac{3}{4}$ है। (a) $3x - 4y - 11 = 0$ (b) $4x - 3y + 10 = 0$ (c) $3x + 4y - 5 = 0$ (d) $3x - 4y + 11 = 0$

उत्तर: बिंदु-ढाल रूप से $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ लिखते हैं। 4 से गुणा करने पर $4y - 8 = 3x + 3$, यानी $3x - 4y + 11 = 0$ आता है। बिंदु रखकर जाँच लेते हैं, $-3 - 8 + 11 = 0$। रेखा (d) $3x - 4y + 11 = 0$ है।

प्रश्न 7

$(1, -2)$ और $(-3, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण क्या है? (a) $x + 2y + 3 = 0$ (b) $2x + y = 0$ (c) $2x - y - 4 = 0$ (d) $y = -2x + 4$

उत्तर: पहले ढाल निकालते हैं, $\frac{6 - (-2)}{-3 - 1} = \frac{8}{-4} = -2$। फिर $y + 2 = -2(x - 1)$, और सरल करने पर $y = -2x$ आता है। इसमें अचर पद है ही नहीं, यानी रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है।

समीकरण (b) $2x + y = 0$ है। बाकी विकल्पों में से दो $(1, -2)$ से होकर जाते हैं, पर $(-3, 6)$ से नहीं। इसीलिए हर बार दोनों बिंदु जाँचने चाहिए।

प्रश्न 8

रेखा $3x - 7y = 21$ के x-अंतःखंड और y-अंतःखंड क्रमशः हैं: (a) 7 और $-3$ (b) 3 और $-7$ (c) $-3$ और 7 (d) 7 और 3

उत्तर: $y = 0$ रखने पर $3x = 21$, तो x-अंतःखंड 7 है। $x = 0$ रखने पर $-7y = 21$, तो y-अंतःखंड $-3$ है। अंतःखंड रूप में रेखा $\frac{x}{7} + \frac{y}{-3} = 1$ है। तो दोनों अंतःखंड क्रम से (a) 7 और $-3$ हैं।

प्रश्न 9

एक रेखा $(-5, 18)$ से होकर जाती है और दोनों अक्षों पर बराबर अंतःखंड काटती है। उसका समीकरण है: (a) $x - y + 23 = 0$ (b) $x + y = 23$ (c) $x + y = 13$ (d) $x + y + 13 = 0$

उत्तर: मान लेते हैं कि x-अंतःखंड $a$ है और y-अंतःखंड भी $a$। तो रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$, यानी $x + y = a$ है। बिंदु रखने पर $a = -5 + 18 = 13$ आता है। रेखा (c) $x + y = 13$ है, जो दोनों अक्षों को 13 पर काटती है। $x - y + 23 = 0$ भी इस बिंदु से होकर जाती है, पर उसके अंतःखंड $-23$ और 23 हैं।

प्रश्न 10

बिंदु $(3, -1)$ किसी रेखा के उस भाग का मध्य बिंदु है, जो निर्देशांक अक्षों के बीच स्थित है। रेखा का समीकरण है: (a) $3x - y = 6$ (b) $x - 3y = 6$ (c) $x + y = 2$ (d) $x - 3y = 3$

उत्तर: $(3, -1)$ अक्षों के बीच वाले टुकड़े के ठीक बीच में है। इसलिए इसके निर्देशांक दुगुने करने पर टुकड़े के सिरे मिल जाते हैं, x-अक्ष पर $(6, 0)$ और y-अक्ष पर $(0, -2)$।

अंतःखंड रूप में रेखा $\frac{x}{6} + \frac{y}{-2} = 1$ है। 6 से गुणा करने पर $x - 3y = 6$ आता है। उत्तर (b) $x - 3y = 6$ है। $x + y = 2$ भी $(3, -1)$ से होकर जाती है, पर यह दोनों अक्षों को 2 पर काटती है, तो इसके टुकड़े का मध्य बिंदु दिए गए बिंदु से काफ़ी दूर पड़ता है।

प्रश्न 11

निम्नलिखित में से कौन-सा बिंदु रेखा $4x - 3y = 10$ पर स्थित नहीं है? (a) $(1, -2)$ (b) $(5, 4)$ (c) $(4, 2)$ (d) $(-2, -6)$

उत्तर: हर बिंदु को $4x - 3y$ में रखकर देखते हैं। $(1, -2)$ से $4 + 6 = 10$, $(4, 2)$ से $16 - 6 = 10$ और $(-2, -6)$ से $-8 + 18 = 10$ आता है। पर $(5, 4)$ से $20 - 12 = 8$ आता है, 10 नहीं। तो जो बिंदु रेखा पर स्थित नहीं है, वह (b) $(5, 4)$ है।

प्रश्न 12

$k$ के किस मान के लिए रेखा $3x + ky = 9$, बिंदु $(-1, 4)$ से होकर जाती है? (a) 3 (b) $\frac{3}{2}$ (c) $-3$ (d) $\frac{9}{4}$

उत्तर: $x = -1$ और $y = 4$ रखते हैं। $3(-1) + 4k = 9$, तो $4k = 12$ और $k = 3$। उत्तर (a) 3 है। कोई $-3$ को $+3$ मान ले, तो $4k = 6$ आएगा और गलत मान $\frac{3}{2}$ निकलेगा।

प्रश्न 13

रेखा $4x + 7y = 2$ के लंबवत रेखा की ढाल क्या है? (a) $-\frac{7}{4}$ (b) $\frac{4}{7}$ (c) $-\frac{4}{7}$ (d) $\frac{7}{4}$

उत्तर: दी गई रेखा की ढाल $-\frac{4}{7}$ है। लंबवत रेखा के लिए इसे उलटते हैं और चिह्न बदलते हैं, तो $\frac{7}{4}$ मिलता है। गुणा करके देख लेते हैं, $-\frac{4}{7} \times \frac{7}{4} = -1$ आता है। तो लंबवत रेखा की ढाल (d) $\frac{7}{4}$ है।

प्रश्न 14

$k$ के किस मान के लिए रेखाएँ $2x + ky = 5$ और $6x - 9y = 1$ समांतर हैं? (a) $-3$ (b) 3 (c) $\frac{4}{3}$ (d) $-\frac{1}{3}$

उत्तर: समांतर रेखाओं की ढालें बराबर होती हैं। दूसरी रेखा की ढाल $-\frac{6}{-9} = \frac{2}{3}$ है, और पहली की $-\frac{2}{k}$। तो $-\frac{2}{k} = \frac{2}{3}$, जिससे $k = -3$ आता है। यह मान रखकर देखते हैं। तब पहली रेखा $2x - 3y = 5$ होगी, और 3 से गुणा करने पर $6x - 9y = 15$। इसमें दूसरी रेखा जैसे ही $x$ और $y$ वाले पद हैं, बस अचर पद अलग है। तो उत्तर (a) $-3$ है। अगर $\frac{4}{3}$ लेते, तो रेखाएँ समांतर नहीं, लंबवत हो जातीं।

प्रश्न 15

$k$ के किस मान के लिए रेखा $(k - 1)x + 4y = 3$, रेखा $2x - 3y = 7$ के लंबवत है? (a) $-5$ (b) $-\frac{5}{3}$ (c) 7 (d) 6

उत्तर: इस रूप वाली लंबवत रेखाओं के लिए $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ लगाते हैं। $2(k - 1) + 4(-3) = 0$, तो $2k - 2 = 12$ और $k = 7$। ढालों से भी यह पक्का कर लेते हैं। तब पहली रेखा $6x + 4y = 3$ होगी, जिसकी ढाल $-\frac{3}{2}$ है। दूसरी की ढाल $\frac{2}{3}$ है, और दोनों का गुणनफल $-1$। उत्तर (c) 7 है।

प्रश्न 16

$(2, -3)$ से होकर जाने वाली और $5x - y = 4$ के समांतर रेखा का समीकरण क्या है? (a) $x + 5y + 13 = 0$ (b) $5x - y = 7$ (c) $5x + y = 7$ (d) $5x - y = 13$

उत्तर: समांतर रेखा में $5x - y$ वही रहता है, केवल अचर पद बदलता है। तो रेखा $5x - y = k$ है। बिंदु रखने पर $k = 5(2) - (-3) = 13$ आता है। रेखा (d) $5x - y = 13$ है। यहाँ कोई $-(-3)$ को $-3$ पढ़ ले, तो 7 आएगा।

प्रश्न 17

$(-2, 5)$ से होकर जाने वाली और $x - 3y + 1 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (a) $3x + y + 1 = 0$ (b) $x - 3y + 17 = 0$ (c) $3x - y + 11 = 0$ (d) $3x + y - 1 = 0$

उत्तर: पहले दी गई रेखा की ढाल देखते हैं, यह $\frac{1}{3}$ है। तो लंबवत रेखा की ढाल $-3$ होगी। गुणांकों की अदला-बदली करके एक चिह्न बदलें, तब भी यही आता है, यानी रेखा $3x + y = k$। बिंदु रखने पर $k = -6 + 5 = -1$ आता है, तो रेखा $3x + y + 1 = 0$ है, यानी विकल्प (a) $3x + y + 1 = 0$। $x - 3y + 17 = 0$ भी इस बिंदु से होकर जाती है, पर वह दी गई रेखा के समांतर है।

प्रश्न 18

$A(3, -1)$ और $B(-1, 7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक का समीकरण क्या है? (a) $2x + y - 5 = 0$ (b) $x - 2y + 5 = 0$ (c) $x + 2y - 7 = 0$ (d) $x - 2y - 5 = 0$

उत्तर: मध्य बिंदु $M = \left(\frac{3 - 1}{2}, \frac{-1 + 7}{2}\right) = (1, 3)$ है। AB की ढाल $\frac{7 - (-1)}{-1 - 3} = -2$ है, तो समद्विभाजक की ढाल $\frac{1}{2}$ होगी। अब $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1)$, यानी $2y - 6 = x - 1$, और इससे $x - 2y + 5 = 0$ मिलता है।

तो लंब समद्विभाजक (b) $x - 2y + 5 = 0$ है। $2x + y - 5 = 0$ भी M से होकर जाती है, पर वह ख़ुद रेखा AB है।

प्रश्न 19

यदि बिंदु $(k, 2)$, $(1, -1)$ और $(3, 5)$ संरेख हैं, तो $k$ का मान है: (a) 2 (b) 10 (c) 0 (d) $-2$

उत्तर: दोनों ज्ञात बिंदुओं से ढाल $\frac{5 - (-1)}{3 - 1} = 3$ आती है। अब $(1, -1)$ से $(k, 2)$ तक की ढाल भी 3 होनी चाहिए। $\frac{2 - (-1)}{k - 1} = 3$, तो $k - 1 = 1$ और $k = 2$। उत्तर (a) 2 है।

प्रश्न 20

$A(2, -1)$ और $B(5, k)$ को मिलाने वाली रेखा, रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ के समांतर है। $k$ का मान क्या है? (a) $-\frac{11}{2}$ (b) 3 (c) $-3$ (d) 1

उत्तर: AB दी गई रेखा के समांतर है, तो दोनों की ढाल बराबर होगी। दी गई रेखा की ढाल $-\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$ है। इसलिए $\frac{k - (-1)}{5 - 2} = \frac{2}{3}$, यानी $k + 1 = 2$ और $k = 1$। उत्तर (d) 1 है।

प्रश्न 21

बिंदु $(-2, 3)$ की रेखा $8x - 15y + 27 = 0$ से दूरी कितनी है? (a) $\frac{56}{17}$ (b) $\frac{61}{17}$ (c) 2 (d) $\frac{34}{23}$

उत्तर: सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ लगाते हैं। अंश $|8(-2) - 15(3) + 27| = |-16 - 45 + 27| = 34$ है, और हर $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$। तो $d = \frac{34}{17}$, यानी (c) 2। वर्गमूल लेने के बजाय सीधे $8 + 15 = 23$ से भाग दे दिया, तो $\frac{34}{23}$ आ जाएगा।