शॉर्टकट और तेज़ तरीके

चतुर्थांश के चिह्न एक नज़र में

टियर 1 में निर्देशांक ज्यामिति के प्रश्न छोटे होते हैं। सही सूत्र पता हो, तो हल दो-तीन पंक्तियों में हो जाता है। अंक ज़्यादातर चिह्नों की गलती से कटते हैं। और समय वहाँ बर्बाद होता है, जहाँ काम एक घटाव से हो सकता था, पर हम लंबा हल करने बैठ जाते हैं।

अब परीक्षा में आने वाले प्रश्नों के तेज़ तरीके एक-एक करके देखते हैं। ज़्यादातर तरीकों के साथ यह भी देखेंगे कि वे कहाँ नहीं चलते।

पहले एक आदत डाल लीजिए। हर प्रश्न में दो कच्चे-से अक्ष खींच लीजिए, चाहे प्रश्न एक ही पंक्ति का क्यों न हो। बिंदु गलत चतुर्थांश (quadrant) में बन जाए, तो चिह्न की गलती उसी समय पकड़ में आ जाती है।

चिह्न याद रखने के लिए ऊपर-दाएँ वाले हिस्से से शुरू कीजिए और घूमते जाइए। $(x, y)$ के चिह्न प्रथम चतुर्थांश में $(+, +)$ होते हैं, द्वितीय में $(-, +)$, तृतीय में $(-, -)$ और चतुर्थ में $(+, -)$। साथ में दो बातें और याद रखिए।

• जिस बिंदु का $y = 0$ हो, वह x-अक्ष पर होता है, और जिसका $x = 0$ हो, वह y-अक्ष पर। ऐसे बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं गिने जाते।
• बिंदु $(x, y)$ की x-अक्ष से दूरी $|y|$ होती है और y-अक्ष से दूरी $|x|$। यानी किसी अक्ष से दूरी दूसरा निर्देशांक बताता है। इन दोनों की अदला-बदली न होने दीजिए।

जैसे $(-7, 3)$ द्वितीय चतुर्थांश में है। यह x-अक्ष से 3 इकाई और y-अक्ष से 7 इकाई दूर है। वहीं $(0, -5)$ किसी चतुर्थांश में नहीं है। यह y-अक्ष पर है, मूल बिंदु से 5 इकाई नीचे।

निर्देशांक अक्षरों में दिए हों, तो थोड़ा रुकिए। चतुर्थांश बताने से पहले हर निर्देशांक का चिह्न तय कर लीजिए। अगर $a < 0 < b$ है, तो $(a, b)$ द्वितीय चतुर्थांश में है। पर $(b, a)$ में x धनात्मक है और y ऋणात्मक, इसलिए यह बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में है।

दूरी: त्रिक पहचानना

दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालनी हो, तो पहले दोनों अंतर लिख लीजिए, $x_2 - x_1$ और $y_2 - y_1$। इनके चिह्न छोड़ दीजिए, केवल संख्याएँ देखिए।

अब देखिए कि ये दोनों संख्याएँ किसी पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) की दो संख्याएँ तो नहीं हैं, या उसके किसी गुणज की। अगर हैं, तो दूरी उस त्रिक की तीसरी संख्या है। वर्गमूल निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 और 20-21-29, ये त्रिक तो याद होने ही चाहिए। और अगर दोनों अंतर बराबर हों, यानी दोनों d हों, तो दूरी $d\sqrt{2}$ होती है।

उदाहरण के लिए $P(-3, 5)$ और $Q(5, -1)$ लीजिए। अंतर 8 और 6 हैं, यानी 3-4-5 वाला त्रिक दोगुना होकर आया है। तो $PQ = 10$। मूल बिंदु से दूरी भी इसी तरह निकलती है। $(-12, 5)$ में 5-12-13 वाला त्रिक दिखता है, तो यह बिंदु O से 13 इकाई दूर है।

पर हर बार त्रिक नहीं मिलता, जैसे अंतर 4 और 6 हों। तब पहले साझा गुणनखंड बाहर निकाल लीजिए। 4 और 6 में 2 साझा है। इसे बाहर निकालें, तो 2 और 3 बचते हैं, और दूरी $2\sqrt{4 + 9} = 2\sqrt{13}$ आती है। मान $\sqrt{52}$ ही है, बस वर्ग छोटे लेने पड़ते हैं।

मध्य बिंदु से दूसरा सिरा: दोगुना करो, घटाओ

मान लीजिए M, AB का मध्य बिंदु है और A पता है। B के लिए समीकरण बनाकर हल करने का झंझट नहीं है। सीधे $B = 2M - A$ लिखिए, यानी मध्य बिंदु का दोगुना करके उसमें से A घटा दीजिए। यह x और y के लिए अलग-अलग कीजिए।

AB के समत्रिभाजन बिंदु (points of trisection) निकालने में भी यही सोच काम आती है। A से B तक जितना परिवर्तन होता है, उसे तीन बराबर कदमों में बाँट लीजिए, और A से चलना शुरू कीजिए।

जैसे $M(2, -3)$, AB का मध्य बिंदु है और A, $(7, 1)$ है। तो $B = (4 - 7, -6 - 1) = (-3, -7)$।

अब $A(-7, 6)$ और $B(5, 0)$ लीजिए। A से B तक x में 12 का परिवर्तन है और y में $-6$ का। तो एक कदम 4 दाएँ और 2 नीचे का हुआ। समत्रिभाजन बिंदु $(-3, 4)$ और $(1, 2)$ हैं।

प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि कौन-सा समत्रिभाजन बिंदु पूछा गया है। AB को 2 : 1 के अनुपात में बाँटने वाला बिंदु A से दो कदम दूर होता है, यानी $(1, 2)$। यह बिंदु B के ज़्यादा पास है।

एक निर्देशांक से विभाजन-अनुपात

कभी रेखाखंड AB पर कोई बिंदु P दिया होता है, और पूछा जाता है कि P उसे किस अनुपात में बाँटता है। इसके लिए एक ही निर्देशांक काफ़ी है।

$$AP : PB = (x - x_1) : (x_2 - x)$$

यहाँ x, P का x-निर्देशांक है। अनुपात मिल गया, तो दूसरा निर्देशांक भी उसी अनुपात से निकल आता है। ऐसा इसलिए, क्योंकि P, A से B की ओर पूरे रास्ते के $\frac{m}{m + n}$ पर है, और यह बात x और y, दोनों के लिए एक जैसी है।

एक उदाहरण लेते हैं। $P(1, k)$, $A(-5, 9)$ और $B(4, -3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड पर है। x-निर्देशांकों से $AP : PB = 6 : 3 = 2 : 1$ आता है, यानी P, A से दो-तिहाई रास्ते पर है। A से B तक y-निर्देशांक 12 घटता है, और 12 का दो-तिहाई 8 है। तो $k = 9 - 8 = 1$।

दो स्थितियों में ध्यान रखना पड़ता है। A और B का x-निर्देशांक एक ही हो, तो x-निर्देशांकों से $0 : 0$ आएगा। तब y-निर्देशांकों से अनुपात निकालिए। और अनुपात ऋणात्मक आए, तो P रेखाखंड AB के बाहर है। ऐसे में यह बाह्य विभाजन (external division) होता है। [Tier 2]

अक्ष रेखाखंड को कहाँ काटे: $-y_1 : y_2$

x-अक्ष के हर बिंदु पर $y = 0$ होता है। इसलिए विभाजन-अनुपात में $y = 0$ रख दें, तो पता चलता है कि x-अक्ष, $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $-y_1 : y_2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसी तरह y-अक्ष के लिए अनुपात $-x_1 : x_2$ होता है।

सीधे शब्दों में कहें, तो यह अनुपात उस अक्ष से A और B की दूरियों का अनुपात है।

मान लीजिए $A(3, -6)$ और $B(-7, 4)$ हैं। A, x-अक्ष से 6 नीचे है और B उससे 4 ऊपर। तो x-अक्ष, AB को $6 : 4 = 3 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन बिंदु $\left(\frac{3 \times (-7) + 2 \times 3}{5}, 0\right) = (-3, 0)$ है।

अब उलटी स्थिति देखिए। $y_1$ और $y_2$ का चिह्न एक ही हो, तो A और B अक्ष के एक ही ओर हैं। तब अनुपात ऋणात्मक आता है। इसका मतलब है कि अक्ष, रेखा AB को रेखाखंड के बाहर कहीं काटता है।

[SSC टिप] अनुपात $AP : PB$ होता है, यानी गिनती पहले नाम वाले बिंदु से होती है। विकल्पों में 3 : 2 और 2 : 3, दोनों के होने की पूरी संभावना रहती है। इसलिए पहले देख लीजिए कि A कौन-सा सिरा है।

केंद्रक = शीर्षों का औसत

त्रिभुज का केंद्रक (centroid) और कुछ नहीं, बस तीनों शीर्षों का औसत है। तीनों x जोड़कर 3 से भाग दीजिए, फिर तीनों y के साथ भी यही कीजिए।

प्रश्न उलटा भी आता है। केंद्रक G और दो शीर्ष A, B दिए हों, तो छूटा शीर्ष $C = 3G - A - B$ है। माध्यिकाएँ केंद्रक पर 2 : 1 में कैसे बँटती हैं, यह अध्याय 12 "ज्यामिति" में देख चुके हैं।

संख्याएँ रखकर देखिए। $A(-5, 2)$, $B(4, 7)$ और $C(7, -3)$ हों, तो $G = \left(\frac{6}{3}, \frac{6}{3}\right) = (2, 2)$।

छूटे शीर्ष वाला प्रश्न भी इतना ही छोटा है। $G(1, -2)$, $A(4, 3)$ और $B(-6, -1)$ दिए हैं, तो $C = (3 - 4 + 6, -6 - 3 + 1) = (5, -8)$।

कभी प्रश्न शीर्षों की जगह तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु देता है। तब उन्हीं का औसत ले लीजिए। मध्य बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक भी वही होता है।

समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष: $A + C - B$

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, और चौथा शीर्ष इसी बात से निकलता है। AC और BD का मध्य बिंदु एक ही है, यानी $A + C = B + D$। इसलिए

$$D = A + C - B$$

x और y पर इसे अलग-अलग लगाइए। मतलब, छूटे शीर्ष के दोनों पड़ोसी शीर्ष जोड़िए और उसके सम्मुख शीर्ष को घटा दीजिए।

एक प्रश्न देखिए। समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष, इसी क्रम में, $A(-2, 1)$, $B(3, -2)$ और $C(6, 4)$ हैं। तो $D = (-2 + 6 - 3, 1 + 4 + 2) = (1, 7)$। जाँचना हो, तो दोनों विकर्णों का मध्य बिंदु निकाल लीजिए। दोनों का $(2, 2.5)$ आता है।

शीर्षों का क्रम न दिया हो, तो बात बदल जाती है। तब तीन समांतर चतुर्भुज बन सकते हैं, और चौथा शीर्ष $A + C - B$, $A + B - C$ या $B + C - A$ में से कोई भी हो सकता है। ऐसे में विकल्पों को तीनों से मिलाकर देखिए।

क्षेत्रफल, जब एक शीर्ष मूल बिंदु पर हो

त्रिभुज का एक शीर्ष मूल बिंदु पर हो, तो क्षेत्रफल का सूत्र बहुत छोटा हो जाता है। शीर्ष $O(0, 0)$, $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हों, तो

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$$

कोई भी शीर्ष मूल बिंदु पर न हो, तो एक शीर्ष को खिसकाकर वहाँ ले आइए। इसके लिए उस शीर्ष के निर्देशांक तीनों शीर्षों में से घटा दीजिए। त्रिभुज को खिसकाने से उसका क्षेत्रफल नहीं बदलता, इसलिए उत्तर वही रहता है। और क्षेत्रफल 0 आए, तो समझ लीजिए कि तीनों बिंदु संरेख (collinear) हैं।

शीर्ष O, $A(9, 4)$ और $B(-3, 5)$ हों, तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|45 - (-12)| = 28.5$ वर्ग इकाई आता है।

अब ऐसा त्रिभुज लीजिए जिसका कोई शीर्ष मूल बिंदु पर नहीं है, जैसे $P(5, -3)$, $Q(12, 0)$ और $R(1, 5)$। तीनों में से P घटाइए। Q बदलकर $(7, 3)$ हो जाता है और R बदलकर $(-4, 8)$। तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|56 - (-12)| = 34$ वर्ग इकाई है।

[SSC टिप] $\frac{1}{2}$ लगाना भूल जाएँ, तो $|x_1y_2 - x_2y_1|$ बचता है। यह OA और OB पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, जो उत्तर का दोगुना होता है। विकल्पों में अक्सर यही गलत मान रखा होता है।

संरेख बिंदु: बराबर कदमों की चाल

सरल रेखा पर चलते हुए x और y हमेशा एक तय अनुपात में बदलते हैं। तीन बिंदु संरेख हैं या नहीं, यह देखना हो या छूटा हुआ k निकालना हो, तो A से B तक के परिवर्तन की तुलना A से C तक के परिवर्तन से कीजिए। अगर x एक-तिहाई रास्ता चला है, तो y को भी एक-तिहाई ही चलना चाहिए।

असल में यह ढाल (slope) वाली जाँच ही है, बस इसमें भिन्नें नहीं लिखनी पड़तीं। क्षेत्रफल 0 वाली जाँच से भी यही उत्तर आता है, पर उसमें ज़्यादा समय लगता है।

मान लीजिए $A(-1, 4)$, $B(2, k)$ और $C(8, -2)$ संरेख हैं। A से C तक x में 9 की बढ़त है और y में 6 की कमी। A से B तक x में 3 की बढ़त है, जो 9 का एक-तिहाई है। तो y भी 6 का एक-तिहाई ही घटेगा, और $k = 4 - 2 = 2$।

एक स्थिति में यह तुलना नहीं चलती। दो बिंदुओं का x-निर्देशांक एक ही हो, तो रेखा ऊर्ध्वाधर है, और तीसरे बिंदु का x-निर्देशांक भी वही होना चाहिए।

समीकरण से सीधे ढाल: $-\frac{a}{b}$

रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप में हो, यानी x और y एक ही ओर हों, तो y को अकेला करने में समय न लगाइए। ढाल सीधे $m = -\frac{a}{b}$ होती है। मतलब x के गुणांक को y के गुणांक से भाग दीजिए और चिह्न बदल दीजिए। इसी रेखा का y-अंतःखंड (intercept) $-\frac{c}{b}$ होता है। $y = mx + c$ वाले रूप में तो ढाल सामने ही लिखी होती है।

ढाल असल में $\tan\theta$ होती है। यहाँ $\theta$ वह कोण है, जो रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाती है। ये मान बार-बार काम आते हैं।

इस तरह $4x - 6y + 9 = 0$ की ढाल $-\frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$ है। रेखा $x + y + 3 = 0$ की ढाल $-1$ है, तो यह x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।

यह नियम तभी लगता है, जब x और y एक ही ओर हों। $3y = 5x - 2$ में ऐसा नहीं है। यहाँ 3 से भाग दीजिए, तो $y = \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}$ मिलता है, और ढाल $\frac{5}{3}$ है। कई छात्र इसी रूप से सीधे $a = 5$ और $b = 3$ ले लेते हैं। तब $-\frac{5}{3}$ आता है, यानी चिह्न उलटा हो जाता है।

ढाल निकाले बिना समांतर और लंबवत रेखाएँ

समांतर या लंबवत रेखा का समीकरण चाहिए, तो दी गई रेखा के a और b से ही काम चल जाता है। ढाल अलग से निकालनी नहीं पड़ती। बस ये तीन बातें याद रखिए।

• समांतर रेखाओं की ढालें बराबर होती हैं। इसलिए $ax + by + c = 0$ के समांतर रेखा $ax + by + k = 0$ होती है। a और b वही रहते हैं, केवल अचर बदलता है।
• लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल $-1$ होता है, तो नई ढाल $-\frac{1}{m}$ होगी। यानी भिन्न उलट दीजिए और चिह्न बदल दीजिए। $ax + by + c = 0$ के लंबवत रेखा $bx - ay + k = 0$ होती है। इसमें a और b की अदला-बदली होती है और एक चिह्न बदलता है।
• k निकालने के लिए दिया गया बिंदु नए समीकरण में रख दीजिए।

अब वह रेखा निकालते हैं जो $(2, -5)$ से होकर जाती है और $3x - 4y - 6 = 0$ के लंबवत है। तो वह $4x + 3y + k = 0$ के रूप की होगी। $(2, -5)$ रखने पर $8 - 15 + k = 0$, यानी $k = 7$। रेखा $4x + 3y + 7 = 0$ है। मिलान के लिए दोनों ढालें देखिए, $\frac{3}{4}$ और $-\frac{4}{3}$। इनका गुणनफल $-1$ है।

AB का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector) पूछा जाए, तो भी यही तरीका लगाइए। बस दिए गए बिंदु की जगह AB का मध्य बिंदु लीजिए, क्योंकि यह रेखा AB के मध्य बिंदु से होकर जाती है और AB के लंबवत होती है।

[SSC टिप] ढाल $\frac{2}{5}$ हो और लंबवत रेखा की ढाल पूछी जाए, तो विकल्पों में $-\frac{2}{5}$, $\frac{5}{2}$ और $-\frac{5}{2}$, तीनों के होने की उम्मीद रखिए। इनमें केवल $-\frac{5}{2}$ ठीक है, क्योंकि इसी में भिन्न भी उलटी है और चिह्न भी बदला है।

$ax + by = c$ के अंतःखंड और घिरा क्षेत्रफल

इस रूप में लिखी रेखा के दोनों अंतःखंड एक-एक पंक्ति में निकल आते हैं। $y = 0$ रखिए, तो x-अंतःखंड $\frac{c}{a}$ मिलता है। $x = 0$ रखिए, तो y-अंतःखंड $\frac{c}{b}$ मिलता है।

रेखा दोनों अक्षों के साथ मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती है। ये दोनों लंबाइयाँ उसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं। इसलिए

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \left|\frac{c}{a}\right| \times \left|\frac{c}{b}\right| = \frac{c^2}{2|ab|}$$

अंतःखंड रूप $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ में तो दोनों अंतःखंड p और q सीधे दिख जाते हैं।

चित्र में रेखा $4x + 5y = 40$ है। यह x-अक्ष को $(10, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, 8)$ पर काटती है, और अक्षों के साथ $\frac{1600}{2 \times 20} = 40$ वर्ग इकाई का क्षेत्रफल घेरती है।

ऋण चिह्न हो, तब भी यही चलता है। $5x - 3y = 30$ के अंतःखंड 6 और $-10$ हैं, फिर भी क्षेत्रफल $\frac{900}{30} = 30$ वर्ग इकाई ही है।

बस इतना ध्यान रखिए कि c बराबर के चिह्न के दाईं ओर वाला अचर है। $2x + 3y + 12 = 0$ में c = $-12$ है। तो अंतःखंड $-6$ और $-4$ हैं, और क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है। कुछ छात्र गुणांक a को ही अंतःखंड मान लेते हैं। अंतःखंड $\frac{c}{a}$ है, अकेला a नहीं।

दो रेखाएँ और एक अक्ष: आधार अक्ष पर, ऊँचाई प्रतिच्छेद बिंदु से

जब त्रिभुज दो रेखाओं और किसी एक अक्ष से घिरा हो, तो आधार उसी अक्ष पर लीजिए। यह उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है, जहाँ दोनों रेखाएँ उस अक्ष को काटती हैं।

ऊँचाई दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु की उसी अक्ष से दूरी है। x-अक्ष के लिए यह उस बिंदु का $|y|$ है, और y-अक्ष के लिए उसका $|x|$। फिर क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई।

रेखाएँ $x - 2y + 6 = 0$ और $3x + y = 24$ लीजिए। ये x-अक्ष को $-6$ और 8 पर काटती हैं, तो आधार 14 है। पहले समीकरण से $x = 2y - 6$ मिलता है। इसे दूसरे में रखिए, तो $7y - 18 = 24$, यानी $y = 6$। रेखाएँ $P(6, 6)$ पर मिलती हैं, तो ऊँचाई 6 है। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 14 \times 6 = 42$ वर्ग इकाई है।

y-अक्ष से बने त्रिभुज में आधार y-अंतःखंडों से मिलता है, और ऊँचाई प्रतिच्छेद बिंदु के x-निर्देशांक से। गलती भी यहीं होती है। जल्दी में लोग आधार एक अक्ष पर ले लेते हैं और ऊँचाई दूसरे अक्ष से नाप लेते हैं। इसी गलती पर नज़र रखनी है।

विकल्प जाँचना: बिंदु रखकर

कई प्रश्नों में पूरा हल करना ही नहीं पड़ता। कोई बिंदु रेखा पर तभी होता है, जब उसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करें। इसलिए पूछा जाए कि कौन-सा बिंदु रेखा पर है, दो रेखाएँ कहाँ मिलती हैं, या दिए गए दो बिंदुओं से होकर कौन-सी रेखा जाती है, तो हल करने के बजाय विकल्प जाँच लीजिए। दो तरह के प्रश्नों में यह ऐसे चलता है।

• दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के लिए हर विकल्प पहले समीकरण में रखिए। फिर केवल पास हुए विकल्प दूसरे में रखिए।
• A और B से होकर जाने वाली रेखा के लिए वही समीकरण सही है, जो दोनों बिंदुओं से संतुष्ट हो।

मान लीजिए पूछा है कि $3x - 2y = 13$ और $x + 4y = -5$ कहाँ मिलती हैं, और विकल्प $(5, 1)$, $(3, -2)$, $(1, -5)$ और $(-3, 4)$ हैं। पहले तीन विकल्प $3x - 2y = 13$ को संतुष्ट करते हैं। $(-3, 4)$ से $-17$ आता है, तो वह बाहर हो गया। दूसरे समीकरण में केवल $(3, -2)$ सही निकलता है, क्योंकि $3 - 8 = -5$।

याद रखिए, जाँचने से केवल विकल्प हटते हैं। अगर प्रश्न कोई मान माँगे, जैसे k या क्षेत्रफल, तो जाँचने को कुछ है ही नहीं। वहाँ हल करना ही पड़ेगा।

परावर्तन: चिह्न बदलना या अदला-बदली

परावर्तन (reflection) वाले प्रश्नों में बस एक बात देखनी है। जो निर्देशांक दर्पण के साथ-साथ चलता है, वह नहीं बदलता। पूरी सूची यह है।

जैसे $P(8, -3)$ का x-अक्ष में प्रतिबिंब $(8, 3)$ है, y-अक्ष में $(-8, -3)$, मूल बिंदु में $(-8, 3)$, $y = x$ में $(-3, 8)$ और $y = -x$ में $(3, -8)$। रेखा $x = 1$ में इसका प्रतिबिंब $(2 - 8, -3) = (-6, -3)$ है।

x-अक्ष में परावर्तन करने पर y बदलता है, x नहीं। शुरू में यह थोड़ा उलटा-सा लगता है। इसे ऐसे याद रखिए। x-अक्ष को ज़मीन पर सपाट रखा हुआ दर्पण मान लीजिए। बिंदु अपना x वही रखता है और दर्पण के दूसरी ओर पलट जाता है।

समांतर, एक ही रेखा या प्रतिच्छेदी: अनुपातों की तुलना

दो रेखाएँ $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ दी हों, तो वे समांतर हैं, एक ही रेखा हैं या प्रतिच्छेद करती हैं, यह अनुपातों से तुरंत पता चल जाता है। $\frac{a_1}{a_2}$, $\frac{b_1}{b_2}$ और $\frac{c_1}{c_2}$ की तुलना कीजिए। तीन स्थितियाँ हो सकती हैं।

• $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ हो, तो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (एक हल)।
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो, तो रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं)।
• तीनों अनुपात बराबर हों, तो दोनों एक ही रेखा हैं (अनंत हल)।

रेखाओं को समांतर बनाने वाला k चाहिए, तो पहले दो अनुपात बराबर रख दीजिए। इसके पीछे का बीजगणित अध्याय 11 "बीजगणित" में आ चुका है।

रेखाएँ $kx + 6y = 5$ और $2x + 3y = 7$ तब समांतर होंगी, जब $\frac{k}{2} = \frac{6}{3}$, यानी $k = 4$। अचरों का अनुपात $\frac{5}{7}$ है, 2 नहीं। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं, एक ही रेखा नहीं।

एक ही रेखा वाले प्रश्न में अचर भी जाँचने पड़ते हैं। $6x + 9y = 12$ और $2x + 3y = 4$ में तीनों अनुपात 3 हैं, तो रेखाएँ संपाती हैं। दूसरा समीकरण $2x + 3y = 5$ होता, तो रेखाएँ समांतर होतीं।

हल किए गए उदाहरण

इन प्रश्नों में ऊपर वाले तरीकों में से एक या दो लगते हैं। हर प्रश्न का उत्तर ढककर पहले ख़ुद हल कीजिए, और कोशिश कीजिए कि हल दो पंक्तियों से ज़्यादा न जाए। फिर उत्तर से मिलाइए। चार उत्तरों के साथ समय भी लिखा है, ताकि आप देख सकें कि तेज़ी से हल करने वाले को कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

यदि $a < 0$ और $b > 0$ है, तो बिंदु $(b, a - b)$ किस चतुर्थांश में स्थित है?

उत्तर: b धनात्मक है, तो x-निर्देशांक धनात्मक है। a ऋणात्मक है और उसमें से धनात्मक b घटा रहे हैं, तो $a - b$ भी ऋणात्मक ही होगा। x धनात्मक है और y ऋणात्मक, यानी बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में है।

प्रश्न 2

बिंदुओं $(-6, -2)$ और $(9, 6)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों अंतर निकाल लेते हैं, $9 - (-6) = 15$ और $6 - (-2) = 8$। 8 और 15 तो 8-15-17 त्रिक की संख्याएँ हैं, इसलिए दूरी 17 इकाई है।

प्रश्न 3

PQ का मध्य बिंदु $(-1, 4)$ है और P, $(5, 10)$ है। Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मध्य बिंदु का दोगुना करके उसमें से P घटाना है। $Q = (-2 - 5, 8 - 10) =$ $(-7, -2)$। जाँच के लिए औसत देख लेते हैं। 5 और $-7$ का औसत $-1$ है, और 10 व $-2$ का औसत 4 है।

प्रश्न 4

y-अक्ष, $(-4, 7)$ और $(10, -7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है? विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: y-अक्ष के लिए अनुपात $-x_1 : x_2 = 4 : 10 =$ 2 : 5 है। तो विभाजन बिंदु $(-4, 7)$ से पूरे रास्ते के $\frac{2}{7}$ पर है। एक सिरे से दूसरे सिरे तक y-निर्देशांक 14 घटता है, और 14 का $\frac{2}{7}$ हिस्सा 4 है। यानी विभाजन बिंदु तक y-निर्देशांक 4 घट जाता है, और बिंदु $(0, 3)$ मिलता है।

इसमें लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 5

शीर्षों $(a, 3)$, $(-2, b)$ और $(7, -5)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक $(1, 0)$ है। a और b के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों x का योग केंद्रक के x का तीन गुना होगा, यानी $3 \times 1 = 3$। तो $a - 2 + 7 = 3$, जिससे $a = -2$। इसी तरह तीनों y का योग $3 \times 0 = 0$ है। $3 + b - 5 = 0$ से $b = 2$ मिलता है।

प्रश्न 6

$P(1, -3)$, $Q(4, 2)$ और $R(-2, 5)$, समांतर चतुर्भुज PQRS के तीन क्रमागत शीर्ष हैं। S के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: S, Q का सम्मुख शीर्ष है। तो $S = P + R - Q = (1 - 2 - 4, -3 + 5 - 2) =$ $(-5, 0)$। जाँच के लिए दोनों विकर्णों का मध्य बिंदु देखते हैं। दोनों का $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ आता है, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 7

शीर्षों $(5, -2)$, $(10, 2)$ और $(3, 5)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $(5, -2)$ को मूल बिंदु पर खिसका लेते हैं, यानी इसे तीनों बिंदुओं में से घटा देते हैं। बाकी दो बिंदु $(5, 4)$ और $(-2, 7)$ हो जाते हैं। अब क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}|5 \times 7 - (-2) \times 4| = \frac{1}{2}|35 + 8| =$ 21.5 वर्ग इकाई।

यह करीब 25 सेकंड का काम है।

प्रश्न 8

रेखा $x + \sqrt{3}y - 5 = 0$, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कितना कोण बनाती है?

उत्तर: ढाल $= -\frac{a}{b} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। ढाल ऋणात्मक है, तो कोण $90^\circ$ से अधिक होगा। $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए कोण $180^\circ - 30^\circ =$ $150^\circ$ है।

प्रश्न 9

उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो $(-3, 4)$ से होकर जाती है और $2x + 5y = 8$ के लंबवत है।

उत्तर: गुणांकों की अदला-बदली करके एक चिह्न बदल देते हैं, तो रेखा $5x - 2y = k$ के रूप की होगी। $(-3, 4)$ रखने पर $k = -15 - 8 = -23$ आता है। तो रेखा $5x - 2y + 23 = 0$ है। दोनों ढालें $-\frac{2}{5}$ और $\frac{5}{2}$ हैं, जिनका गुणनफल $-1$ है, यानी रेखाएँ सच में लंबवत हैं।

प्रश्न 10

रेखा $6x - 5y = 60$ और निर्देशांक अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंतःखंड $\frac{60}{6} = 10$ और $\frac{60}{-5} = -12$ हैं। ऋण चिह्न से केवल इतना पता चलता है कि त्रिभुज x-अक्ष के नीचे है। समकोण बनाने वाली भुजाएँ 10 और 12 ही हैं। तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 10 \times 12 =$ 60 वर्ग इकाई। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{c^2}{2|ab|} = \frac{3600}{60} = 60$।

अभ्यास हो, तो यह लगभग 10 सेकंड में निकल आता है।

प्रश्न 11

रेखाओं $y = x + 1$, $y = -4x + 16$ और y-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आधार y-अक्ष पर है, दोनों y-अंतःखंडों 1 और 16 के बीच, यानी इसकी लंबाई 15 है। रेखाएँ वहाँ मिलती हैं जहाँ $x + 1 = -4x + 16$, यानी $x = 3$ पर। वह बिंदु $(3, 4)$ है। इसकी y-अक्ष से दूरी 3 है, तो ऊँचाई 3 हुई। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 15 \times 3 =$ 22.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 12

बिंदु $(5, -2)$ का रेखा $y = x$ में परावर्तन किया जाता है, और फिर इसके प्रतिबिंब का x-अक्ष में परावर्तन किया जाता है। अंत में बिंदु कहाँ पहुँचता है?

उत्तर: $y = x$ में निर्देशांकों की अदला-बदली होती है, तो पहले $(-2, 5)$ मिलता है। फिर x-अक्ष में परावर्तन से y का चिह्न बदल जाता है, और बिंदु अंत में $(-2, -5)$ पर पहुँचता है।

प्रश्न 13

k के किस मान के लिए समीकरण युग्म $3x - ky = 4$ और $9x + 6y = 10$ का कोई हल नहीं है?

उत्तर: कोई हल नहीं, मतलब दोनों रेखाएँ समांतर हैं। तो $\frac{3}{9} = \frac{-k}{6}$। इससे $-k = 2$, यानी $k = -2$। जाँच के लिए अचरों का अनुपात देखते हैं। यह $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है, जो $\frac{1}{3}$ नहीं है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं, एक ही रेखा नहीं।

प्रश्न 14

निम्नलिखित में से कौन-सी रेखा $(2, -1)$ और $(-5, 3)$, दोनों से होकर जाती है?

(a) $4x + 7y = 1$ (b) $4x - 7y = 15$ (c) $7x + 4y = 10$ (d) $4x + 7y = -1$

उत्तर: हर विकल्प में $(2, -1)$ रखते हैं। (a) में $8 - 7 = 1$, (b) में $8 + 7 = 15$ और (c) में $14 - 4 = 10$ आता है। (d) से 1 आता है, $-1$ नहीं, तो (d) बाहर। अब बचे तीनों में $(-5, 3)$ रखते हैं। (a) से $-20 + 21 = 1$ आता है, जबकि (b) से $-41$ और (c) से $-23$। तो उत्तर (a) $4x + 7y = 1$ है।

चारों विकल्प जाँचने में लगभग 30 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 15

p के किस मान के लिए बिंदु $(p, -10)$, $(3, 2)$ और $(5, 8)$ संरेख हैं?

उत्तर: $(3, 2)$ से $(5, 8)$ तक x में 2 की बढ़त है और y में 6 की। यानी y, x से तीन गुना चलता है। $(3, 2)$ से $(p, -10)$ तक y में 12 की कमी है, तो x में 4 की कमी होगी। इसलिए $p = -1$।