बिंदु, दूरी और परावर्तन

अक्ष, मूल बिंदु और निर्देशांक

निर्देशांक ज्यामिति में समतल के हर बिंदु की जगह दो संख्या रेखाओं की मदद से बताई जाती है। क्षैतिज रेखा को x-अक्ष कहते हैं और ऊर्ध्वाधर रेखा को y-अक्ष। दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं। जिस बिंदु पर ये कटती हैं, उसे मूल बिंदु (origin) कहते हैं और O से दिखाते हैं। मूल बिंदु $(0, 0)$ होता है।

x-अक्ष पर O के दाईं ओर की संख्याएँ धनात्मक होती हैं और बाईं ओर की ऋणात्मक। y-अक्ष पर O से ऊपर की संख्याएँ धनात्मक होती हैं और नीचे की ऋणात्मक। दोनों अक्षों पर इकाई एक ही रखी जाती है। इन प्रश्नों में लंबाई केवल "इकाई" में बताई जाती है।

किसी बिंदु P की स्थिति जाननी हो, तो P से दोनों अक्षों पर लंब डालिए।

• x-अक्ष पर लंब का पाद जहाँ पड़ता है, वहाँ की संख्या P का x-निर्देशांक है। इसका दूसरा नाम भुज (abscissa) है।
• y-अक्ष पर लंब का पाद जहाँ पड़ता है, वहाँ की संख्या P का y-निर्देशांक है। इसे कोटि (ordinate) भी कहते हैं।

बिंदु को $P(x, y)$ लिखते हैं, यानी x पहले आता है। जैसे चित्र में P = $(4, 3)$ है। यह बिंदु y-अक्ष से 4 इकाई दाईं ओर है और x-अक्ष से 3 इकाई ऊपर।

क्रम का ध्यान रखिए: $Q(3, 4)$ और $P(4, 3)$ दो अलग-अलग बिंदु हैं। जोड़ी पढ़ने का ढंग याद कर लीजिए, "पहले आड़े, फिर ऊपर"। मतलब पहले x-अक्ष के साथ-साथ चलिए, फिर ऊपर या नीचे जाइए।

हर संख्या क्या नापती है: चित्र में दो बिंदुदार रेखाएँ हैं। नीली रेखा P से आड़ी चलकर y-अक्ष तक जाती है। इसकी लंबाई 4 इकाई है, और यही भुज है। लाल रेखा P से सीधी नीचे x-अक्ष तक जाती है। इसकी लंबाई 3 इकाई है, और यही कोटि है।

तो भुज बताता है कि बिंदु y-अक्ष से कितनी दूर है, और कोटि बताती है कि वह x-अक्ष से कितनी दूर है। पहली बार में यह उलटा-सा लगता है। पर यही चित्र मन में रखिए। अक्ष से दूरी वाले प्रश्न इसी से हल होते हैं।

प्रश्नों में कभी-कभी पुराने शब्द भी आते हैं। "भुज $-2$ और कोटि 5 वाला बिंदु" का मतलब बस $(-2, 5)$ है। इसी तरह "x-अक्ष के हर बिंदु की कोटि शून्य है" का मतलब है कि ऐसे हर बिंदु पर $y = 0$ होता है।

चार चतुर्थांश और चिह्न

दोनों अक्ष मिलकर समतल को चार भागों में बाँट देते हैं। हर भाग को चतुर्थांश (quadrant) कहते हैं। इनके क्रमांक I, II, III, IV ऊपर दाएँ वाले भाग से शुरू होते हैं और घड़ी की सुइयों की उलटी दिशा में चलते हैं।

बिंदु किस चतुर्थांश में है, यह जानने के लिए बस उसके दोनों चिह्न देखिए। जैसे $(-7, 2)$ में x ऋणात्मक है और y धनात्मक, तो यह बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में है। इसी तरह $(6, -9)$ चतुर्थ चतुर्थांश में है और $(-1, -8)$ तृतीय में।

अक्षरों वाले चिह्न-प्रश्न: मान लीजिए $(a, b)$ तृतीय चतुर्थांश में है। तब $a < 0$ और $b < 0$ होंगे। अब $(-a, b)$ में x धनात्मक है और y ऋणात्मक, तो यह चतुर्थ चतुर्थांश में है। $(b, a)$ तृतीय में ही रहता है, और $(-a, -b)$ प्रथम में पहुँच जाता है।

ऐसे प्रश्नों में पहले हर नए निर्देशांक का चिह्न लिख लीजिए। उसके बाद ही तालिका देखिए। गलती तब होती है, जब दोनों कदम एक साथ मन में कर लिए जाते हैं।

दो झटपट बातें: इन्हें याद रखिए।

• $xy > 0$ हो, तो दोनों निर्देशांकों का चिह्न एक ही है, और बिंदु चतुर्थांश I या III में है।
• $xy < 0$ हो, तो चिह्न उलटे हैं, और बिंदु चतुर्थांश II या IV में है।

अगर $x = 0$ या $y = 0$ हो, तो बिंदु किसी अक्ष पर होता है। अक्ष पर का बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं गिना जाता। जैसे $(0, -3)$ न तृतीय चतुर्थांश में है, न चतुर्थ में। यह y-अक्ष पर है, O से 3 इकाई नीचे।

[SSC टिप] क्रमांक घड़ी की उलटी दिशा में चलते हैं, इसलिए चतुर्थ चतुर्थांश नीचे दाईं ओर है, जहाँ $x > 0$ और $y < 0$ होता है। कोई भूल से घड़ी की दिशा में गिन ले, तो II और IV आपस में बदल जाते हैं। इन प्रश्नों के विकल्पों में चारों चतुर्थांश दिए होते हैं, इसलिए गलत गिनती वाला उत्तर भी हर बार विकल्पों में मिल जाता है।

अक्ष पर बिंदु, अक्ष से दूरी

x-अक्ष के हर बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है, इसलिए ऐसे बिंदु का रूप $(a, 0)$ होता है। इसी तरह y-अक्ष के हर बिंदु का रूप $(0, b)$ होता है। मूल बिंदु $(0, 0)$ दोनों अक्षों पर है।

• $(-6, 0)$ x-अक्ष पर है, O से 6 इकाई बाईं ओर।
• $(0, 4)$ y-अक्ष पर है, O से 4 इकाई ऊपर।

कई बार प्रश्न में बिंदु शब्दों में बताया जाता है। "y-अक्ष पर, मूल बिंदु से 5 इकाई नीचे" का मतलब है $(0, -5)$। पर "x-अक्ष पर, मूल बिंदु से 3 इकाई की दूरी पर" से दो बिंदु मिलते हैं, $(3, 0)$ और $(-3, 0)$। केवल इतने शब्दों से दोनों ही हो सकते हैं।

हर अक्ष से दूरी: किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए

$$\text{x-अक्ष से दूरी} = |y| \qquad \text{y-अक्ष से दूरी} = |x|$$

चित्र में $P(-5, 3)$ लिया गया है। लाल बिंदुदार रेखा P से 3 इकाई नीचे x-अक्ष तक जाती है, और नीली रेखा 5 इकाई आड़ी चलकर y-अक्ष तक। तो P की x-अक्ष से दूरी 3 इकाई है और y-अक्ष से दूरी 5 इकाई।

सबसे ज़्यादा ध्यान इसी बात पर दीजिए। x-अक्ष से दूरी y-निर्देशांक से निकलती है। लाल रेखा याद रखिए। वह सीधी नीचे x-अक्ष तक जाती है, और उसकी लंबाई बिंदु की ऊँचाई के बराबर है।

दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसीलिए सूत्र में मापांक लगा है। जैसे $(4, -7)$ x-अक्ष से 7 इकाई दूर है और y-अक्ष से 4 इकाई।

दूरियों से बिंदु: मान लीजिए कोई बिंदु x-अक्ष से 4 इकाई और y-अक्ष से 7 इकाई दूर है। तब $|y| = 4$ और $|x| = 7$ होगा। ऐसे चार बिंदु हैं, $(7, 4)$, $(-7, 4)$, $(-7, -4)$ और $(7, -4)$, यानी हर चतुर्थांश में एक-एक। इनमें से एक को तय करने के लिए प्रश्न में चतुर्थांश भी बताया होना चाहिए। जैसे बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में हो, तो वह $(-7, 4)$ है।

दूरी सूत्र

दो बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र (distance formula) लगाते हैं।

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

यह सूत्र कहाँ से आता है, चित्र में देखिए। A से सीधे आड़े चलकर C तक पहुँचिए, जहाँ C, B के ठीक नीचे वाला बिंदु है। क्षैतिज भुजा AC, x-निर्देशांकों का अंतर है, और ऊर्ध्वाधर भुजा CB, y-निर्देशांकों का अंतर। AB इसी समकोण त्रिभुज ACB का कर्ण है, तो पाइथागोरस प्रमेय से यही सूत्र निकल आता है।

जैसे $A(2, 1)$ और $B(8, 9)$ लीजिए। यहाँ भुजाएँ 6 और 8 हैं, तो

$$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$$

सूत्र लगाते समय ये तीन आदतें गलती से बचाती हैं।

1. एक जैसे में से एक जैसा: x में से x घटाइए और y में से y। x में से y कभी नहीं।
2. क्रम से फ़र्क नहीं पड़ता: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ होता है, इसलिए जिस बिंदु से हिसाब आसान लगे, वहीं से शुरू कीजिए।
3. ऋणात्मक संख्या कोष्ठक में: जैसे $A(-3, 4)$ और $B(2, -8)$ के लिए अंतर $2 - (-3) = 5$ और $-8 - 4 = -12$ हैं। तो $AB = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ आता है। कोई पहले अंतर में $2 - 3$ लिख दे, तो 13 की जगह $\sqrt{145}$ आ जाता है।

एक ही x या एक ही y: दोनों बिंदुओं का x-निर्देशांक एक हो, तो रेखाखंड ऊर्ध्वाधर होता है। तब उसकी लंबाई बस y-निर्देशांकों का अंतर है। जैसे $(3, -2)$ से $(3, 9)$ की दूरी 11 इकाई है। इसी तरह y-निर्देशांक एक हो, तो रेखाखंड क्षैतिज होता है और लंबाई x-निर्देशांकों से निकल आती है।

मूल बिंदु से: एक बिंदु $O(0, 0)$ हो, तो सूत्र छोटा होकर $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$ रह जाता है। जैसे बिंदु $(-6, 8)$ की O से दूरी $\sqrt{36 + 64} = 10$ इकाई है।

कुछ त्रिक पहले से याद रखिए, जैसे 3, 4, 5 या 5, 12, 13 या 8, 15, 17 या 7, 24, 25। इनके गुणज भी याद रहें, जैसे 6, 8, 10 और 9, 12, 15। मान लीजिए दोनों अंतर 9 और 12 आए। तब दूरी सीधे 15 है, और वर्गमूल निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

दी गई दूरी से अज्ञात निर्देशांक

कभी दूरी दी होती है और एक निर्देशांक अज्ञात होता है। ऐसे में दूरी सूत्र के दोनों पक्षों का वर्ग कर लीजिए और समीकरण हल कीजिए। आख़िर में वर्गमूल लेते समय $\pm$ आता है, इसलिए प्रायः दो उत्तर मिलते हैं।

जैसे $A(2, 3)$ और $P(x, 7)$ के बीच की दूरी 5 इकाई है, और x निकालना है।

$$(x - 2)^2 + (7 - 3)^2 = 25 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = \pm 3$$

तो $x = 5$ या $x = -1$ आता है।

दो उत्तर क्यों आए, यह चित्र से समझिए। A से 5 इकाई दूर वाले सारे बिंदु A के चारों ओर एक वृत्त पर हैं, जिसकी त्रिज्या 5 है। क्षैतिज रेखा $y = 7$ इस वृत्त को दो जगह काटती है, $(-1, 7)$ पर और $(5, 7)$ पर। इसलिए दोनों उत्तर सही हैं।

कौन-सा विकल्प चुनें: विकल्पों में कभी दोनों मान साथ दिए होते हैं, जैसे "$5$ या $-1$", और कभी केवल एक। अगर केवल $-1$ दिखे, तो वही उत्तर है। मान को वापस रखकर जाँच भी कर लीजिए। $(2, 3)$ से $(-1, 7)$ तक अंतर 3 और 4 हैं, तो दूरी 5 ही है।

एक उत्तर, या कोई नहीं: अगर वर्ग का मान 0 आए, तो रेखा वृत्त को केवल छूती है और एक ही उत्तर मिलता है। वर्ग का मान ऋणात्मक आए, तो कोई बिंदु नहीं मिलता। अगर ऊपर वाले उदाहरण में बिंदु $P(x, 9)$ होता, तो $(x - 2)^2 = 25 - 36 = -11$ आता, जो असंभव है। रेखा $y = 9$ वृत्त के ऊपर से निकल जाती है।

मूल बिंदु से: मान लीजिए k के वे मान चाहिए, जिन पर बिंदु $(k, -8)$ मूल बिंदु से 10 इकाई दूर हो। तब $k^2 + 64 = 100$ होगा। इससे $k^2 = 36$ और $k = \pm 6$ आता है। यानी $(6, -8)$ और $(-6, -8)$, दोनों O से 10 इकाई दूर हैं।

अक्ष पर समदूरस्थ बिंदु

समदूरस्थ (equidistant) का मतलब है बराबर दूरी पर। x-अक्ष पर कोई बिंदु लेना हो, तो उसे $(x, 0)$ मानिए। इसमें केवल x अज्ञात है। अब $PA^2 = PB^2$ लिखिए। दोनों ओर के $x^2$ वाले पद कट जाते हैं और सीधा रैखिक समीकरण बच जाता है।

जैसे x-अक्ष पर वह बिंदु चाहिए, जो $A(7, 4)$ और $B(-3, 6)$ से समदूरस्थ हो।

$$(x - 7)^2 + 4^2 = (x + 3)^2 + 6^2$$

$$x^2 - 14x + 65 = x^2 + 6x + 45 \Rightarrow 20 = 20x \Rightarrow x = 1$$

तो बिंदु $P(1, 0)$ है। जाँच भी कर लेते हैं। $PA^2 = 36 + 16 = 52$ और $PB^2 = 16 + 36 = 52$, दोनों बराबर हैं।

y-अक्ष पर बिंदु चाहिए, तो $(0, y)$ लीजिए और यही तरीका y के साथ लगाइए।

वर्ग क्यों: $PA^2$ और $PB^2$ लेकर चलें, तो वर्गमूल बीच में आते ही नहीं। हर पक्ष में ठीक एक $x^2$ होता है, इसलिए दोनों कट जाते हैं। विस्तार के बाद भी $x^2$ बचा रह जाए, तो विस्तार में कहीं गलती है। उसे दोबारा जाँचिए।

मध्य बिंदु उत्तर नहीं है: यहाँ AB का मध्य बिंदु $(2, 5)$ है। उसका x-निर्देशांक 2 है, तो लगता है कि x-अक्ष वाले बिंदु का x-निर्देशांक भी 2 ही होगा। पर यह अनुमान गलत है। असल में P वह बिंदु है, जहाँ AB का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector) अक्ष को काटता है। वह रेखा तिरछी है, इसलिए मध्य बिंदु से सीधी नीचे नहीं उतरती।

कोई अक्ष न दिया हो तो: मान लीजिए $P(x, y)$, बिंदुओं $A(3, 1)$ और $B(-1, 5)$ से समदूरस्थ है। $PA^2 = PB^2$ से

$$-6x - 2y + 10 = 2x - 10y + 26 \Rightarrow x - y + 2 = 0$$

यह एक सीधी रेखा है, AB का लंब समद्विभाजक। इस रेखा का हर बिंदु A और B से बराबर दूर है। AB का मध्य बिंदु $(1, 3)$ भी इसी पर है। ढालों की मदद से यही रेखा "ढाल और रेखा का समीकरण" वाले खंड में निकालेंगे।

तीन बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु

त्रिभुज के तीनों शीर्षों से बराबर दूर जो बिंदु होता है, उसे त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcentre) कहते हैं। यह उस वृत्त का केंद्र है, जो तीनों शीर्षों से होकर जाता है।

परिकेंद्र को $P(x, y)$ मान लीजिए और दो समीकरण लिखिए, $PA^2 = PB^2$ और $PA^2 = PC^2$। हर समीकरण में $x^2$ और $y^2$ वाले पद कट जाते हैं, और रैखिक समीकरणों का एक युग्म बच जाता है।

उदाहरण के लिए $A(5, 5)$, $B(-1, 5)$ और $C(6, -2)$ लीजिए।

• $PA^2 = PB^2$ में A और B का y-निर्देशांक एक ही है, इसलिए y वाले पद दोनों ओर एक जैसे हैं और कट जाते हैं। बचता है $(x - 5)^2 = (x + 1)^2$, जिससे $x = 2$ आता है।
• अब $PA^2 = PC^2$ में $x = 2$ रखिए। $9 + (y - 5)^2 = 16 + (y + 2)^2$ से $34 - 10y = 20 + 4y$ आता है, यानी $y = 1$।

तो परिकेंद्र $P(2, 1)$ है, और त्रिज्या $PA = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।

विकल्पों की जाँच: बहुविकल्पी प्रश्न में प्रायः यह तेज़ पड़ता है कि हर विकल्प की तीनों बिंदुओं से वर्ग-दूरी निकाल लें। सही विकल्प के लिए तीनों संख्याएँ बराबर आएँगी। $(2, 1)$ के लिए ये 25, 25 और 25 हैं। इसी त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{10}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है, जो विकल्पों में गलत उत्तर के रूप में आ सकता है। इस जाँच में वह तुरंत बाहर हो जाता है।

समकोण त्रिभुज: त्रिभुज में समकोण हो, तो परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है। इसका कारण यह है कि अर्धवृत्त में बना कोण $90^\circ$ होता है (अध्याय 12, ज्यामिति)। जैसे शीर्ष $(0, 0)$, $(10, 0)$ और $(0, 4)$ हों, तो समकोण O पर है। परिकेंद्र बाकी दोनों शीर्षों का मध्य बिंदु है, यानी $(5, 2)$। कोई समीकरण हल करना ही नहीं पड़ा। मध्य बिंदु का सूत्र "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में है।

त्रिभुज किस प्रकार का

तीनों भुजाएँ दूरी सूत्र से निकालिए, पर उन्हें वर्ग के रूप में ही रहने दीजिए, यानी $AB^2$, $BC^2$ और $CA^2$। वर्ग पूर्ण संख्याएँ होते हैं, तो उनकी तुलना आसान होती है। और पाइथागोरस प्रमेय में तो वैसे भी वर्ग ही चाहिए।

उदाहरण के लिए $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ और $C(3, 7)$ लीजिए।

$$AB^2 = 16 + 4 = 20 \qquad BC^2 = 4 + 16 = 20 \qquad CA^2 = 4 + 36 = 40$$

दो वर्ग बराबर हैं, और $20 + 20 = 40$ है। तो यह समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है। समकोण सबसे लंबी भुजा CA के सामने होता है, यानी B पर।

न्यूनकोण या अधिककोण: सबसे बड़ा वर्ग बाकी दोनों के योग से अधिक हो, तो उसके सामने का कोण अधिककोण होता है। कम हो, तो तीनों कोण न्यूनकोण होते हैं। ऐसा क्यों होता है, यह अध्याय 12 (ज्यामिति) में बताया गया है। जैसे वर्ग 10, 17 और 29 हों, तो $10 + 17 = 27$ आता है, जो 29 से कम है। तो यह अधिककोण विषमबाहु त्रिभुज है।

समबाहु में करणी ज़रूरी: ऐसा कोई समबाहु त्रिभुज नहीं होता, जिसके तीनों शीर्ष पूर्णांक निर्देशांकों वाले बिंदु हों। इसलिए सारे निर्देशांक पूर्णांक हों, तो "समबाहु" वाला विकल्प तुरंत हटा दीजिए। प्रश्न में समबाहु त्रिभुज हो, तो कहीं न कहीं करणी ज़रूर होगी। जैसे $(0, 0)$, $(6, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ में भुजाओं के वर्ग 36, 36 और 36 हैं।

पहले पक्का कीजिए कि त्रिभुज है: अगर दो छोटी भुजाओं का योग ठीक सबसे लंबी भुजा के बराबर हो, तो तीनों बिंदु एक रेखा पर हैं और कोई त्रिभुज नहीं बनता। यह जाँच इसी खंड में आगे, "संरेख बिंदु और त्रिभुज का परिमाप" वाले भाग में आएगी।

चतुर्भुज किस प्रकार का

मान लीजिए चार बिंदु A, B, C और D आकृति के चारों ओर इसी क्रम में हैं। चारों भुजाएँ (AB, BC, CD और DA) और दोनों विकर्ण (AC और BD) निकालिए, सब वर्ग रूप में।

उदाहरण के लिए $A(1, 1)$, $B(4, 5)$, $C(9, 5)$ और $D(6, 1)$ लेते हैं।

• भुजाएँ $AB^2 = 9 + 16 = 25$, $BC^2 = 25 + 0 = 25$, $CD^2 = 9 + 16 = 25$ और $DA^2 = 25 + 0 = 25$ हैं, यानी चारों भुजाएँ 5 इकाई की हैं।
• विकर्ण $AC^2 = 64 + 16 = 80$ और $BD^2 = 4 + 16 = 20$ हैं, जो असमान हैं।

तो ABCD समचतुर्भुज है, पर वर्ग नहीं।

केवल भुजाओं से फ़ैसला नहीं होता। चार बराबर भुजाएँ वर्ग की भी होती हैं और समचतुर्भुज की भी। आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हों, तो आकृति आयत भी हो सकती है और समांतर चतुर्भुज भी। फ़ैसला विकर्णों से होता है। ऊपर वाले समचतुर्भुज में एक विकर्ण दूसरे का दोगुना है, $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ और $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$।

बिंदुओं का क्रम: शीर्ष आकृति के चारों ओर क्रम से माने जाते हैं। गलत क्रम में जोड़ेंगे, तो जिन्हें आप विकर्ण समझ रहे हैं, वे असल में भुजाएँ निकलेंगी, और उत्तर गलत हो जाएगा। ग्रिड पर एक कच्चा चित्र बना लीजिए। इसमें कुछ ही सेकंड लगते हैं और क्रम साफ़ हो जाता है।

इन्हीं आकृतियों पर दो जाँच और काम आती हैं। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जिसे "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में देखेंगे। और भुजाएँ समांतर हैं या लंबवत, यह ढालों से पता चलता है ("ढाल और रेखा का समीकरण" वाला खंड)। पर जब प्रश्न चार बिंदु देकर बस आकृति का नाम पूछे, तो यही दूरी वाली जाँच कीजिए।

संरेख बिंदु और त्रिभुज का परिमाप

तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हों, तो उन्हें संरेख (collinear) कहते हैं। दूरी से इसकी जाँच आसान है। दो छोटी दूरियों का योग ठीक सबसे लंबी दूरी के बराबर होना चाहिए।

जैसे $A(1, -1)$, $B(4, 3)$ और $C(10, 11)$ लीजिए।

$$AB = \sqrt{9 + 16} = 5 \qquad BC = \sqrt{36 + 64} = 10 \qquad AC = \sqrt{81 + 144} = 15$$

यहाँ $5 + 10 = 15$ है, तो तीनों बिंदु संरेख हैं। सबसे लंबी दूरी AC है, और उसके सिरों में B नहीं है। इसलिए B, A और C के बीच में है।

दो छोटी दूरियों का योग सबसे लंबी से अधिक हो, तो त्रिभुज बनता है। योग कम तो कभी हो ही नहीं सकता।

वर्गमूल उलझे दिखें तब: जोड़ने से पहले करणियों को सरल कर लीजिए। जैसे $(0, 1)$, $(2, 4)$ और $(6, 10)$ की दूरियाँ $\sqrt{13}$, $\sqrt{52}$ और $\sqrt{117}$ हैं। ये आपस में बेमेल-सी लगती हैं। पर इन्हें $\sqrt{13}$, $2\sqrt{13}$ और $3\sqrt{13}$ लिखते ही $1 + 2 = 3$ दिख जाता है, तो बिंदु संरेख हैं। करणियाँ इतनी आसानी से सरल न हों, तो क्षेत्रफल वाली जाँच या ढाल वाली जाँच ज़्यादा तेज़ पड़ती है। संरेख बिंदुओं के लिए क्षेत्रफल 0 आता है ("मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाला खंड), और ढाल वाली जाँच "ढाल और रेखा का समीकरण" वाले खंड में है।

परिमाप: तीनों भुजाएँ निकालकर जोड़ दीजिए। जैसे $A(-2, 1)$, $B(2, 4)$ और $C(2, -2)$ के लिए

$$AB = \sqrt{16 + 9} = 5 \qquad BC = 4 - (-2) = 6 \qquad CA = \sqrt{16 + 9} = 5$$

B और C का x-निर्देशांक एक ही है, इसलिए BC ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है और उस पर सूत्र लगाने की ज़रूरत नहीं पड़ी। परिमाप $5 + 6 + 5 = 16$ इकाई है, और त्रिभुज समद्विबाहु है।

जो करणियाँ आपस में नहीं जुड़तीं, उन्हें वैसे ही रहने दीजिए। जैसे शीर्ष $(0, 0)$, $(4, 0)$ और $(0, 4)$ हों, तो भुजाएँ 4, 4 और $4\sqrt{2}$ हैं, और परिमाप $8 + 4\sqrt{2}$ इकाई है। कुछ लोग 8 और 4 को जोड़कर $12\sqrt{2}$ लिख देते हैं, मानो 8 के साथ भी वही वर्गमूल लगा हो। यह गलत है।

[SSC टिप] परिमाप वाले प्रश्न में पहले क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भुजाएँ पहचान लीजिए। ये सीधे घटाने से निकल आती हैं। फिर शायद केवल एक भुजा पर पूरा सूत्र लगाना पड़े।

अक्षों और मूल बिंदु में परावर्तन

दर्पण रेखा किसी बिंदु और उसके प्रतिबिंब (image) के ठीक बीचों-बीच होती है, और दोनों को मिलाने वाला रेखाखंड दर्पण पर लंब होता है। दोनों अक्षों और मूल बिंदु में परावर्तन (reflection) करने पर केवल चिह्न बदलते हैं।

चित्र में बिंदु $P(3, 2)$ है। x-अक्ष में इसका प्रतिबिंब $(3, -2)$ है, y-अक्ष में $(-3, 2)$ और मूल बिंदु में $(-3, -2)$।

कौन-सा चिह्न बदलता है: x-अक्ष में परावर्तन करने पर बिंदु ऊपर से नीचे (या नीचे से ऊपर) पलट जाता है। x-अक्ष ख़ुद नहीं हिलता, तो x-निर्देशांक भी नहीं बदलता। केवल y का चिह्न बदलता है। मन में बस इतना दोहराइए, "x-अक्ष में, x वही"। तब दोनों अक्ष आपस में गड़बड़ नहीं होंगे। इन प्रश्नों में सबसे ज़्यादा इसी गड़बड़ से बचना है।

मूल बिंदु में परावर्तन का मतलब है पहले एक अक्ष में परावर्तन, फिर दूसरे में। क्रम कोई भी हो सकता है। बिंदु और उसका प्रतिबिंब O से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा पर होते हैं, O के दोनों ओर बराबर दूरी पर।

दूरियाँ: बिंदु और x-अक्ष में उसका प्रतिबिंब एक-दूसरे से $2|y|$ दूर होते हैं। जैसे $(3, -5)$ और $(3, 5)$ के बीच 10 इकाई की दूरी है। y-अक्ष में यह दूरी $2|x|$ होती है। मूल बिंदु में यह $2\sqrt{x^2 + y^2}$ होती है, यानी बिंदु की O से दूरी का दोगुना।

चतुर्थांश: $(-5, 8)$ द्वितीय चतुर्थांश में है। x-अक्ष में इसका प्रतिबिंब $(-5, -8)$ तृतीय चतुर्थांश में है, y-अक्ष में $(5, 8)$ प्रथम में, और मूल बिंदु में $(5, -8)$ चतुर्थ में। यानी किसी अक्ष में प्रतिबिंब उस अक्ष के पार वाले पड़ोसी चतुर्थांश में पहुँचता है, और मूल बिंदु में प्रतिबिंब ठीक सामने वाले चतुर्थांश में।

$y = x$, $y = -x$ और अक्षों के समांतर रेखाओं में परावर्तन

रेखा $y = x$ मूल बिंदु O से होकर जाती है और दोनों अक्षों से $45^\circ$ का कोण बनाती है। इसमें परावर्तन करने पर दोनों निर्देशांकों की अदला-बदली हो जाती है, जैसे $(5, 2)$ का प्रतिबिंब $(2, 5)$ है। रेखा $y = -x$ में भी अदला-बदली होती है, और साथ में दोनों के चिह्न भी बदल जाते हैं। तब $(5, 2)$ से $(-2, -5)$ मिलता है।

चिह्न मिले-जुले हों, तो एक पल रुककर देखिए। $(-3, 7)$ का प्रतिबिंब $y = x$ में $(7, -3)$ है, और $y = -x$ में $(-7, 3)$। दोनों उत्तर केवल चिह्नों में अलग हैं, इसलिए विकल्पों में अक्सर दोनों ही दिए होते हैं।

अक्षों के समांतर रेखाएँ: ऊर्ध्वाधर रेखा $x = a$ में परावर्तन करने पर y-निर्देशांक वही रहता है। बिंदु रेखा के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर पहुँच जाता है। जैसे $(1, 3)$ रेखा $x = 3$ से 2 इकाई बाईं ओर है, तो प्रतिबिंब 2 इकाई दाईं ओर, $(5, 3)$ पर होगा। सूत्र से भी यही आता है, $2a - x = 6 - 1 = 5$। क्षैतिज रेखा $y = b$ में x-निर्देशांक वही रहता है। जैसे $(4, 1)$ का $y = -2$ में प्रतिबिंब $(4, -4 - 1) = (4, -5)$ है।

हर दर्पण के लिए एक जाँच: बिंदु और उसके प्रतिबिंब का मध्य बिंदु हमेशा दर्पण पर होता है। जैसे $(1, 3)$ और $(5, 3)$ का मध्य बिंदु $(3, 3)$ है, जो $x = 3$ पर है। इसी तरह $(5, 2)$ और $(2, 5)$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है, जो $y = x$ पर है।

किसी बिंदु में परावर्तन: $P(x, y)$ का बिंदु $M(h, k)$ में प्रतिबिंब वह बिंदु $P'$ है, जिसके लिए M, $PP'$ का मध्य बिंदु हो। तो $P'$ = $(2h - x, 2k - y)$ होगा। यह वही "मध्य बिंदु से दूसरा सिरा" वाला प्रश्न है, जो "मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल" वाले खंड में आता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

किसी बिंदु का भुज $-6$ और कोटि $-11$ है। वह बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित है? (a) प्रथम चतुर्थांश (b) द्वितीय चतुर्थांश (c) तृतीय चतुर्थांश (d) चतुर्थ चतुर्थांश

उत्तर: भुज मतलब x-निर्देशांक और कोटि मतलब y-निर्देशांक, तो बिंदु $(-6, -11)$ है। दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं, और ऐसा केवल नीचे बाईं ओर वाले भाग में होता है। तो बिंदु (c) तृतीय चतुर्थांश में है। वैसे यहाँ कौन-सा शब्द किसके लिए है, इससे फ़र्क भी नहीं पड़ता, क्योंकि दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हैं।

प्रश्न 2

यदि बिंदु $P(a, b)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, तो बिंदु $Q(b, -a)$ किस चतुर्थांश में स्थित है? (a) प्रथम चतुर्थांश (b) द्वितीय चतुर्थांश (c) तृतीय चतुर्थांश (d) चतुर्थ चतुर्थांश

उत्तर: P द्वितीय चतुर्थांश में है, तो $a < 0$ और $b > 0$ है। Q का x-निर्देशांक b है, जो धनात्मक है। Q का y-निर्देशांक $-a$ है। a ख़ुद ऋणात्मक है, इसलिए $-a$ धनात्मक हुआ। दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं, तो Q (a) प्रथम चतुर्थांश में है। चतुर्थांश देखने से पहले हर नए निर्देशांक का चिह्न कागज़ पर लिख लेते हैं। इसमें पाँच सेकंड लगते हैं, और फिर दोहरा ऋण चिह्न धोखा नहीं दे पाता।

प्रश्न 3

एक बिंदु y-अक्ष पर, मूल बिंदु से 7 इकाई नीचे स्थित है। उसके निर्देशांक क्या हैं? (a) $(-7, 0)$ (b) $(0, 7)$ (c) $(7, 0)$ (d) $(0, -7)$

उत्तर: y-अक्ष पर हर बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है, तो यह बिंदु $(0, y)$ जैसा होगा। मूल बिंदु से नीचे है, इसलिए y ऋणात्मक है, और 7 इकाई नीचे है, तो $y = -7$। उत्तर (d) $(0, -7)$ है। $(-7, 0)$ में संख्या तो सही है, पर जगह गलत है। वह x-अक्ष पर, O से 7 इकाई बाईं ओर वाला बिंदु है।

प्रश्न 4

बिंदु $(-9, 4)$ की x-अक्ष से दूरी कितनी है? (a) 9 इकाई (b) 4 इकाई (c) $\sqrt{97}$ इकाई (d) 13 इकाई

उत्तर: x-अक्ष से दूरी का मतलब है कि बिंदु कितना ऊपर या नीचे है, और यह y-निर्देशांक बताता है। यहाँ $y = 4$ है, तो दूरी (b) 4 इकाई है। मन में चित्र बनाकर देखते हैं। बिंदु से एक रेखा सीधी नीचे x-अक्ष तक उतरती है, और उसकी लंबाई 4 है, x-निर्देशांक चाहे कुछ भी हो। जल्दबाज़ी में लोग 9 इकाई लिख देते हैं, पर वह तो y-अक्ष से दूरी है।

प्रश्न 5

बिंदुओं $A(-5, 7)$ और $B(3, -8)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (a) 17 इकाई (b) $\sqrt{229}$ इकाई (c) $\sqrt{65}$ इकाई (d) 23 इकाई

उत्तर: x में से x और y में से y घटाते हैं, और ऋणात्मक संख्या को कोष्ठक में रखते हैं। $3 - (-5) = 8$ और $-8 - 7 = -15$ आते हैं। तो $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}$, यानी (a) 17 इकाई। 8, 15, 17 वाला त्रिक याद हो, तो उत्तर तुरंत मिल जाता है। अगर $-5$ का ऋण चिह्न छूट जाए, तो पहला अंतर $-2$ आता है और उत्तर $\sqrt{229}$ हो जाता है।

प्रश्न 6

बिंदु $(7, -24)$ की मूल बिंदु से दूरी कितनी है? (a) 31 इकाई (b) $\sqrt{527}$ इकाई (c) 25 इकाई (d) 17 इकाई

उत्तर: मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625}$ है, तो उत्तर (c) 25 इकाई है। $-24$ का ऋण चिह्न वर्ग करते ही गायब हो जाता है। इसलिए $(7, 24)$, $(-7, 24)$ और $(-7, -24)$ भी O से 25 इकाई दूर हैं।

प्रश्न 7

$P(x, -2)$ और $Q(4, 6)$ के बीच की दूरी 10 इकाई है। x के संभावित मान क्या हैं? (a) $-10$ या $2$ (b) $10$ या $-2$ (c) $10$ या $2$ (d) $6$ या $-6$

उत्तर: दूरी का वर्ग लेकर लिखते हैं, $(x - 4)^2 + (-2 - 6)^2 = 100$। इससे $(x - 4)^2 = 100 - 64 = 36$ आता है, और $x - 4 = \pm 6$। तो $x = 10$ या $x = -2$, और उत्तर (b) $10$ या $-2$ है। दोनों मान ठीक हैं। हर एक के लिए अंतर 6 और 8 आते हैं, तो दोनों बिंदु सचमुच Q से 10 इकाई दूर हैं।

प्रश्न 8

x-अक्ष पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए, जो $A(5, 12)$ से 13 इकाई की दूरी पर हैं। (a) $(-8, 0)$ और $(18, 0)$ (b) $(0, 0)$ और $(-10, 0)$ (c) $(5, 0)$ और $(-5, 0)$ (d) $(0, 0)$ और $(10, 0)$

उत्तर: x-अक्ष वाले बिंदु को $(x, 0)$ लिखते हैं। तब $(x - 5)^2 + 12^2 = 169$, तो $(x - 5)^2 = 25$ और $x - 5 = \pm 5$। इससे $x = 10$ या $x = 0$ आता है, यानी बिंदु (d) $(0, 0)$ और $(10, 0)$ हैं। चित्र में A के ठीक नीचे वाले बिंदु के दोनों ओर 5, 12, 13 वाला एक-एक त्रिभुज दिखता है।

प्रश्न 9

x-अक्ष पर स्थित कौन-सा बिंदु $A(-2, 5)$ और $B(6, 3)$ से समदूरस्थ है? (a) $(1, 0)$ (b) $(2, 0)$ (c) $(0, 1)$ (d) $(-1, 0)$

उत्तर: बिंदु $P(x, 0)$ मान लेते हैं। $PA^2 = PB^2$ से $(x + 2)^2 + 25 = (x - 6)^2 + 9$ मिलता है। $x^2$ दोनों ओर कट जाता है, तो $4x + 29 = -12x + 45$ बचता है। इससे $16x = 16$ और $x = 1$। बिंदु (a) $(1, 0)$ है, और दोनों वर्ग-दूरियाँ 34 आती हैं। $(2, 0)$ गलत है। यह AB के मध्य बिंदु के ठीक नीचे है, और ऐसा उत्तर तभी सही होता है जब A और B एक ही ऊँचाई पर हों।

प्रश्न 10

y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए, जो $A(5, -2)$ और $B(-3, 2)$ से समदूरस्थ है। (a) $(-2, 0)$ (b) $(0, 2)$ (c) $(0, -2)$ (d) $(0, 0)$

उत्तर: y-अक्ष पर बिंदु $P(0, y)$ लेते हैं। $PA^2 = PB^2$ से $25 + (y + 2)^2 = 9 + (y - 2)^2$ मिलता है। विस्तार करने पर $y^2 + 4y + 29 = y^2 - 4y + 13$, तो $8y = -16$ और $y = -2$। बिंदु (c) $(0, -2)$ है, जो A और B दोनों से 5 इकाई दूर है।

प्रश्न 11

कौन-सा बिंदु $A(4, 3)$, $B(-4, 7)$ और $C(-1, -2)$ से समदूरस्थ है? (a) $(3, -1)$ (b) $(-1, 3)$ (c) $\left(-\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)$ (d) $(1, 3)$

उत्तर: दो समीकरण हल करने के बजाय विकल्प जाँच लेते हैं। $(-1, 3)$ की वर्ग-दूरियाँ निकालते हैं। A तक $25 + 0 = 25$, B तक $9 + 16 = 25$ और C तक $0 + 25 = 25$। तीनों बराबर हैं, तो बिंदु (b) $(-1, 3)$ है। A, B और C से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या 5 है। विकल्प $\left(-\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)$ केंद्रक है, यानी तीनों शीर्षों का औसत। जब तक त्रिभुज समबाहु न हो, केंद्रक और परिकेंद्र अलग-अलग बिंदु होते हैं।

प्रश्न 12

शीर्षों $A(5, 5)$, $B(2, 1)$ और $C(-6, 7)$ वाला त्रिभुज है: (a) समबाहु (b) समद्विबाहु, पर समकोण नहीं (c) समकोण और समद्विबाहु (d) समकोण, पर समद्विबाहु नहीं

उत्तर: भुजाओं के वर्ग निकालते हैं, $AB^2 = 9 + 16 = 25$, $BC^2 = 64 + 36 = 100$ और $CA^2 = 121 + 4 = 125$। तीनों अलग हैं, और $25 + 100 = 125$ है। तो समकोण B पर है, और कोई दो भुजाएँ बराबर नहीं हैं। उत्तर (d) समकोण, पर समद्विबाहु नहीं है। भुजाएँ 5, 10 और $5\sqrt{5}$ हैं।

प्रश्न 13

बिंदु $A(2, 2)$, $B(-2, -2)$ और $C(-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$ निम्नलिखित में से किसके शीर्ष हैं? (a) एक समबाहु त्रिभुज (b) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज (c) एक विषमबाहु त्रिभुज (d) एक अधिककोण समद्विबाहु त्रिभुज

उत्तर: पहले $AB^2 = 16 + 16 = 32$ निकालते हैं। BC के लिए अंतर $-2\sqrt{3} + 2$ और $2\sqrt{3} + 2$ हैं। इनका वर्ग करके जोड़ने पर $(12 - 8\sqrt{3} + 4) + (12 + 8\sqrt{3} + 4) = 32$ आता है, क्योंकि $8\sqrt{3}$ वाले पद कट जाते हैं। CA भी इसी तरह निकालते हैं, और वह भी 32 आता है। तीनों भुजाएँ बराबर हैं, तो उत्तर (a) एक समबाहु त्रिभुज है। संकेत C में ही था, क्योंकि उसमें करणी है। पूर्णांक बिंदुओं से समबाहु त्रिभुज कभी नहीं बनता।

प्रश्न 14

बिंदु $A(-1, -2)$, $B(1, 0)$, $C(-1, 2)$ और $D(-3, 0)$ इसी क्रम में लेने पर बनाते हैं: (a) एक समचतुर्भुज, पर वर्ग नहीं (b) एक वर्ग (c) एक आयत, पर वर्ग नहीं (d) एक समांतर चतुर्भुज, पर आयत नहीं

उत्तर: चारों भुजाएँ एक जैसी निकलती हैं, $AB^2 = 4 + 4 = 8$, $BC^2 = 4 + 4 = 8$, $CD^2 = 4 + 4 = 8$ और $DA^2 = 4 + 4 = 8$। विकर्ण भी बराबर हैं, $AC^2 = 0 + 16 = 16$ और $BD^2 = 16 + 0 = 16$। चार बराबर भुजाएँ और बराबर विकर्ण, तो यह (b) एक वर्ग है। केवल भुजाओं से हम बस "समचतुर्भुज" कह पाते। बात बराबर विकर्णों से पक्की हुई।

प्रश्न 15

बिंदु $A(2, -1)$, $B(8, 2)$, $C(6, 6)$ और $D(0, 3)$ इसी क्रम में लेने पर बनाते हैं: (a) एक वर्ग (b) एक समचतुर्भुज, जो वर्ग नहीं है (c) एक आयत, जो वर्ग नहीं है (d) एक समांतर चतुर्भुज, जो आयत नहीं है

उत्तर: पहले भुजाएँ देखते हैं, $AB^2 = 36 + 9 = 45$, $BC^2 = 4 + 16 = 20$, $CD^2 = 36 + 9 = 45$ और $DA^2 = 4 + 16 = 20$। आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं, तो यह कम से कम समांतर चतुर्भुज है। पड़ोसी भुजाएँ अलग हैं, इसलिए समचतुर्भुज नहीं है। अब विकर्ण देखते हैं, $AC^2 = 16 + 49 = 65$ और $BD^2 = 64 + 1 = 65$। विकर्ण बराबर हैं, तो उत्तर (c) एक आयत, जो वर्ग नहीं है।

प्रश्न 16

बिंदुओं $A(-3, 2)$, $B(13, -10)$ और $C(1, -1)$ के बारे में कौन-सा कथन सत्य है? (a) C, A और B के बीच स्थित है (b) A, B और C के बीच स्थित है (c) B, A और C के बीच स्थित है (d) तीनों बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं

उत्तर: तीनों दूरियाँ निकालते हैं, $AC = \sqrt{16 + 9} = 5$, $CB = \sqrt{144 + 81} = 15$ और $AB = \sqrt{256 + 144} = 20$। दो छोटी दूरियों का योग सबसे लंबी के बराबर है, $5 + 15 = 20$, तो तीनों बिंदु एक रेखा पर हैं। सबसे लंबी दूरी AB है, तो A और B दोनों छोर पर हैं और C इनके बीच में है। उत्तर (a) C, A और B के बीच स्थित है।

प्रश्न 17

शीर्षों $A(-1, 2)$, $B(7, 2)$ और $C(7, 17)$ वाले त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए। (a) 23 इकाई (b) 40 इकाई (c) 60 इकाई (d) 32 इकाई

उत्तर: AB क्षैतिज है, क्योंकि दोनों y-निर्देशांक बराबर हैं। तो $AB = 7 - (-1) = 8$। BC ऊर्ध्वाधर है, तो $BC = 17 - 2 = 15$। सूत्र केवल CA पर लगाना है, $\sqrt{8^2 + 15^2} = 17$। परिमाप $8 + 15 + 17$ है, यानी (b) 40 इकाई। 60 इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है, $\frac{1}{2} \times 8 \times 15$। वह किसी और प्रश्न का उत्तर है।

प्रश्न 18

x-अक्ष में बिंदु $P(-4, 9)$ का प्रतिबिंब क्या है? (a) $(4, 9)$ (b) $(4, -9)$ (c) $(-4, -9)$ (d) $(9, -4)$

उत्तर: x-अक्ष में परावर्तन करने पर x वही रहता है और y का चिह्न बदल जाता है। तो $(-4, 9)$ से (c) $(-4, -9)$ मिलता है। प्रतिबिंब अक्ष से उतना ही नीचे है, जितना P ऊपर था। $(4, 9)$ तो y-अक्ष में प्रतिबिंब है।

प्रश्न 19

बिंदु $A(7, -2)$ को y-अक्ष में परावर्तित करने पर B मिलता है, और B को x-अक्ष में परावर्तित करने पर C मिलता है। C के निर्देशांक क्या हैं? (a) $(7, 2)$ (b) $(-7, -2)$ (c) $(2, -7)$ (d) $(-7, 2)$

उत्तर: y-अक्ष में x का चिह्न बदलता है, तो $B = (-7, -2)$। x-अक्ष में y का चिह्न बदलता है, तो $C = (-7, 2)$, यानी उत्तर (d) $(-7, 2)$ है। अब दोनों चिह्न बदल चुके हैं, तो C असल में मूल बिंदु में A का प्रतिबिंब है। रेखाखंड AC, O से होकर जाता है।

प्रश्न 20

रेखा $y = x$ में बिंदु $(-4, 11)$ का प्रतिबिंब क्या है? (a) $(11, -4)$ (b) $(-11, 4)$ (c) $(4, -11)$ (d) $(-4, -11)$

उत्तर: $y = x$ में प्रतिबिंब लेते समय बस दोनों निर्देशांक आपस में बदल जाते हैं, चिह्न वही रहते हैं। तो $(-4, 11)$ से (a) $(11, -4)$ मिलता है। पक्की जाँच के लिए बिंदु और प्रतिबिंब का मध्य बिंदु देखते हैं। यह $\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है, जो रेखा $y = x$ पर है।

प्रश्न 21

रेखा $y = -x$ में बिंदु $Q(6, -1)$ का प्रतिबिंब क्या है? (a) $(-1, 6)$ (b) $(1, -6)$ (c) $(-6, 1)$ (d) $(6, 1)$

उत्तर: $y = -x$ का नियम $(x, y) \to (-y, -x)$ है, यानी पहले अदला-बदली, फिर दोनों चिह्न बदलना। अदला-बदली से $(-1, 6)$ मिलता है, और दोनों चिह्न बदलने पर (b) $(1, -6)$। मध्य बिंदु से मिलान कर लेते हैं। $(6, -1)$ और $(1, -6)$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{7}{2}, -\frac{7}{2}\right)$ है, जो $y = -x$ पर पड़ता है, यानी उत्तर ठीक है।

प्रश्न 22

रेखा $x = 2$ में बिंदु $P(-1, 4)$ का प्रतिबिंब क्या है? (a) $(-1, 0)$ (b) $(3, 4)$ (c) $(5, 4)$ (d) $(-5, 4)$

उत्तर: दर्पण $x = 2$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, तो y-निर्देशांक 4 ही रहेगा। P दर्पण से $2 - (-1) = 3$ इकाई बाईं ओर है, इसलिए प्रतिबिंब दर्पण से 3 इकाई दाईं ओर, $x = 5$ पर होगा। तो उत्तर (c) $(5, 4)$ है। सूत्र $2a - x = 4 - (-1) = 5$ से भी यही आता है।

प्रश्न 23

एक बिंदु P को x-अक्ष में परावर्तित किया जाता है, और फिर उसके प्रतिबिंब को रेखा $y = x$ में परावर्तित किया जाता है। अंतिम बिंदु $(-5, 2)$ है। P ज्ञात कीजिए। (a) $(2, 5)$ (b) $(5, 2)$ (c) $(-2, 5)$ (d) $(2, -5)$

उत्तर: यहाँ उलटे क्रम में, पीछे की ओर चलते हैं। आख़िरी दर्पण $y = x$ था। $(-5, 2)$ को उसमें वापस परावर्तित करने पर $(2, -5)$ मिलता है। उससे पहले दर्पण x-अक्ष था, और $(2, -5)$ का x-अक्ष में प्रतिबिंब $(2, 5)$ है। तो P (a) $(2, 5)$ है। अब आगे की ओर चलकर मिला लेते हैं, $(2, 5) \to (2, -5) \to (-5, 2)$।