मध्य बिंदु, विभाजन सूत्र, केंद्रक और क्षेत्रफल

रेखाखंड का मध्य बिंदु

किसी रेखाखंड के ठीक बीच वाले बिंदु को उसका मध्य बिंदु (midpoint) कहते हैं। $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु इस सूत्र से निकलता है।

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

मतलब मध्य बिंदु का हर निर्देशांक दोनों सिरों के निर्देशांकों का औसत होता है। जैसे $A(-2, 1)$ और $B(6, 5)$ का मध्य बिंदु निकालते हैं।

$$M = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = (2, 3)$$

औसत लेना क्यों ठीक है, यह चित्र से समझ आता है। A से B तक जाने में x 8 बढ़ता है और y 4। आधे रास्ते तक x 4 बढ़ेगा और y 2। तो मध्य बिंदु $(-2 + 4, 1 + 2) = (2, 3)$ हुआ। उत्तर वही आया।

जोड़ना, घटाना नहीं: मध्य बिंदु के लिए निर्देशांक जोड़े जाते हैं, घटाए नहीं जाते। अंतर लेकर आधा करें, जैसे $\frac{6 - (-2)}{2} = 4$, तो जो मिलता है वह मध्य बिंदु का निर्देशांक नहीं है। यह संख्या बस इतना बताती है कि x की दिशा में मध्य बिंदु हर सिरे से कितनी दूर है। जल्दबाज़ी में कई छात्र x और y, दोनों में घटाकर $(4, 2)$ लिख देते हैं। यह A से M तक का कदम है, और यही गलत बिंदु विकल्पों में भी दिया होता है।

चिह्न: ऋण चिह्न वाले निर्देशांकों को चिह्न के साथ ही जोड़िए। $(-7, 3)$ और $(1, -9)$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{-6}{2}, \frac{-6}{2}\right) = (-3, -3)$ है।

मध्य बिंदु से दूसरा सिरा: कभी मध्य बिंदु M और एक सिरा $A(x_1, y_1)$ दिया होता है, और दूसरा सिरा पूछा जाता है। तब मध्य बिंदु को दोगुना कीजिए और उसमें से ज्ञात सिरा घटा दीजिए।

$$B = (2x_M - x_1, 2y_M - y_1)$$

जैसे $M(3, -1)$ और $A(7, 2)$ दिए हैं, तो $B = (6 - 7, -2 - 2) = (-1, -4)$। जाँच भी कर लीजिए। $(7, 2)$ और $(-1, -4)$ का औसत फिर $(3, -1)$ ही आता है।

यही कदम तीन तरह के प्रश्नों में काम आता है। पहले में वृत्त का केंद्र और किसी व्यास का एक सिरा दिया होता है, और दूसरा सिरा पूछा जाता है। केंद्र ही व्यास का मध्य बिंदु होता है। दूसरे में किसी बिंदु का किसी दूसरे बिंदु में प्रतिबिंब पूछा जाता है। तीसरे में मध्य बिंदु दिया होता है और सिरों के निर्देशांक अक्षरों में होते हैं।

जैसे $(a, 4)$ और $(-2, b)$ का मध्य बिंदु $(1, 5)$ है। मध्य बिंदु को दोगुना करने पर दोनों सिरों का योग मिलता है, तो $a - 2 = 2$ और $4 + b = 10$। इससे $a = 4$ और $b = 6$ आते हैं।

विभाजन सूत्र

मान लीजिए रेखाखंड AB पर एक बिंदु P है, और $AP : PB = m : n$ है। तब कहते हैं कि P, AB को m : n के अनुपात में अंतः विभाजित करता है। इसे अंतः विभाजन (internal division) कहते हैं। P के निर्देशांक विभाजन सूत्र (section formula) से निकलते हैं। $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हों, तो सूत्र यह है।

$$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$$

इसमें एक बात ध्यान से देखिए। m, A की ओर वाला भाग है, पर इसे B के निर्देशांकों से गुणा करते हैं, यानी दूर वाले सिरे के निर्देशांकों से। इसी तरह n को A के निर्देशांकों से गुणा करते हैं। यह उलटा मेल पहली बार में अजीब लगता है, पर इसके पीछे सीधा कारण है। इसे भार की तरह सोचिए। जिस सिरे का भार बड़ा हो, P उसी की ओर खिंचता है। $AP : PB = 2 : 1$ में P, B के पास है, इसलिए B को भार 2 मिलता है।

जैसे $A(1, 2)$ और $B(10, 8)$ हैं, और अनुपात 2 : 1 है।

$$P = \left(\frac{2 \times 10 + 1 \times 1}{3}, \frac{2 \times 8 + 1 \times 2}{3}\right) = \left(\frac{21}{3}, \frac{18}{3}\right) = (7, 6)$$

कदम वाला तरीका: P, A से B तक के रास्ते के $\frac{m}{m + n}$ भाग पर होता है। ऊपर वाले उदाहरण में A से B तक x 9 बढ़ता है और y 6। इनका दो-तिहाई 6 और 4 है, तो $P = (1 + 6, 2 + 4) = (7, 6)$। छोटी संख्याओं पर यह तरीका सूत्र से तेज़ पड़ता है। इसमें अनुपात उलटने की गुंजाइश भी नहीं रहती, क्योंकि हम चलते ही A से हैं।

उलटा अनुपात: यहाँ आम गलती है m को A के साथ लगा देना। तब $\left(\frac{2 \times 1 + 1 \times 10}{3}, \frac{2 \times 2 + 1 \times 8}{3}\right) = (4, 4)$ आता है। यह बिंदु AB को 1 : 2 में बाँटता है। AB के दो समत्रिभाजन बिंदु (points of trisection) होते हैं, और यह उनमें से दूसरा वाला है। ऐसा बिंदु अक्सर गलत विकल्प के रूप में दिया होता है। जाँच एक नज़र में हो जाती है। अनुपात 2 : 1 है, तो बिंदु B के पास होना चाहिए, जबकि $(4, 4)$ तो A के पास है।

मध्य बिंदु = $m = n$ वाली स्थिति: विभाजन सूत्र में $m = n = 1$ रख दीजिए, तो मध्य बिंदु वाला सूत्र ही मिल जाता है।

समत्रिभाजन बिंदु और बराबर भाग

AB के दो समत्रिभाजन बिंदु उसे तीन बराबर भागों में बाँटते हैं। A के पास वाला बिंदु AB को 1 : 2 में बाँटता है, और B के पास वाला 2 : 1 में। इन्हें निकालने का सबसे तेज़ रास्ता कदम वाला तरीका है।

जैसे $A(-3, 5)$ और $B(6, -1)$ लीजिए। A से B तक x में 9 का परिवर्तन है और y में $-6$ का। रास्ते का एक-तिहाई लें, तो एक कदम $(3, -2)$ का होता है।

• पहला बिंदु $(-3 + 3, 5 - 2) = (0, 3)$ है।
• दूसरा बिंदु $(0 + 3, 3 - 2) = (3, 1)$ है।
• एक कदम और चलें, तो $(6, -1)$ आता है, जो B ही है। यानी हिसाब सही है।

विभाजन सूत्र से भी यही आता है। जैसे 1 : 2 वाले बिंदु के लिए $\left(\frac{1 \times 6 + 2 \times (-3)}{3}, \frac{1 \times (-1) + 2 \times 5}{3}\right) = (0, 3)$।

कौन-सा बिंदु पूछा गया है: प्रश्न में "B के निकट वाला समत्रिभाजन बिंदु" लिखा हो, तो 2 : 1 वाला बिंदु चाहिए। विकल्पों में दोनों समत्रिभाजन बिंदु दिए होते हैं। इसलिए उत्तर चिह्नित करने से पहले प्रश्न के शब्द दोबारा पढ़ लीजिए।

चार बराबर भाग: AB को चार बराबर भागों में काटने वाले तीन बिंदु होते हैं। एक तो AB का मध्य बिंदु है, और बाकी दो उसके दोनों आधे हिस्सों के मध्य बिंदु हैं। चाहें तो चौथाई-चौथाई के कदम भी ले सकते हैं। $(0, 0)$ और $(8, 12)$ के लिए कदम $(2, 3)$ है, तो बिंदु $(2, 3)$, $(4, 6)$ और $(6, 9)$ हैं।

पूरे का भाग: मान लीजिए प्रश्न में लिखा है, "P, AB पर है और $AP = \frac{2}{5}AB$"। मतलब A से चलें, तो P रास्ते के दो-पाँचवें भाग पर है, और $AP : PB = 2 : 3$। पूरे के भाग को दोनों टुकड़ों के अनुपात में बदलते समय ही अक्सर अंक कटते हैं। AB का $\frac{2}{5}$ हो, तो अनुपात 2 : 3 होगा, 2 : 5 नहीं।

बिंदु किस अनुपात में बाँटता है

कभी बिंदु P दिया होता है और अनुपात पूछा जाता है। तब अनुपात $k : 1$ मान लीजिए और x के लिए विभाजन सूत्र में रख दीजिए। इससे k निकल आएगा। फिर y से जाँच कर लीजिए।

जैसे $A(2, -3)$, $B(9, 11)$ और $P(4, 1)$ दिए हैं।

$$\frac{9k + 2}{k + 1} = 4 \Rightarrow 9k + 2 = 4k + 4 \Rightarrow k = \frac{2}{5}$$

तो अनुपात $\frac{2}{5} : 1$ है, यानी 2 : 5। अब y से जाँचते हैं। $\frac{2 \times 11 + 5 \times (-3)}{7} = \frac{7}{7} = 1$ आता है, जो मेल खाता है। मतलब P सचमुच AB पर है।

तेज़ रास्ता: सीधी रेखा पर x के अंतर भी उसी अनुपात में होते हैं, जिस अनुपात में लंबाइयाँ होती हैं। इसलिए अनुपात सीधे लिख सकते हैं।

$$AP : PB = (x - x_1) : (x_2 - x) = (4 - 2) : (9 - 4) = 2 : 5$$

चित्र में x-अक्ष के साथ ये दोनों अंतर, 2 और 5, दिखाए गए हैं। y से देखें, तो $(1 - (-3)) : (11 - 1) = 4 : 10$ आता है, जो वही अनुपात है। x से एक अनुपात आए और y से दूसरा, तो समझ लीजिए कि P, AB पर है ही नहीं। अगर A और B का x-निर्देशांक एक ही हो, तो x के दोनों अंतर 0 होंगे। तब अनुपात y से निकालिए।

ऋणात्मक अनुपात: k ऋणात्मक निकले, तो P रेखा AB पर तो है, पर रेखाखंड के बाहर है। इसे बाह्य विभाजन (external division) कहते हैं।

बिंदु की जगह रेखा: कभी पूछा जाता है कि रेखा $ax + by + c = 0$, AB को किस अनुपात में बाँटती है। इसके लिए विभाजन बिंदु को रेखा के समीकरण में रखते हैं। इससे एक सीधा नियम निकलता है। A पर और B पर $ax + by + c$ का मान निकालिए, पहले वाले का चिह्न बदलिए, और दोनों का अनुपात लिख दीजिए।

जैसे रेखा $x - 2y + 2 = 0$ है और रेखाखंड के सिरे $(3, 4)$ और $(-1, -3)$ हैं। दोनों सिरों पर मान $-3$ और 7 आते हैं, तो अनुपात 3 : 7 है। दोनों मानों के चिह्न उलटे हों, तो समझिए कि रेखा दोनों सिरों के बीच से गुज़रती है।

अक्ष रेखाखंड को कहाँ काटते हैं

x-अक्ष के हर बिंदु पर $y = 0$ होता है। मान लीजिए x-अक्ष, AB को $k : 1$ में बाँटता है। तो विभाजन बिंदु का y-निर्देशांक 0 होगा।

$$\frac{k y_2 + y_1}{k + 1} = 0 \Rightarrow k = -\frac{y_1}{y_2}$$

शब्दों में कहें, तो x-अक्ष, AB को $-y_1 : y_2$ के अनुपात में विभाजित करता है। $y_1$ और $y_2$ के चिह्न उलटे हों, तो बस चिह्न हटाकर दोनों का अनुपात ले लीजिए। इसी तरह y-अक्ष, AB को $-x_1 : x_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

जैसे $A(-4, 6)$ और $B(8, -3)$ लीजिए।

• x-अक्ष के लिए अनुपात $6 : 3 = 2 : 1$ है, और कटान बिंदु $\left(\frac{2 \times 8 + 1 \times (-4)}{3}, 0\right) = (4, 0)$ है।
• y-अक्ष के लिए अनुपात $4 : 8 = 1 : 2$ है, और कटान बिंदु $\left(0, \frac{1 \times (-3) + 2 \times 6}{3}\right) = (0, 3)$ है।

चित्र से x-अक्ष वाला अनुपात साफ़ दिखता है। A अक्ष से 6 इकाई ऊपर है और B अक्ष से 3 इकाई नीचे। तो अक्ष AB को उस बिंदु पर काटता है जिसकी A से दूरी, B से दूरी की दोगुनी है।

कौन-से निर्देशांक: x-अक्ष वाला अनुपात y-निर्देशांकों से निकलता है, यानी अक्ष से ऊपर और नीचे की ऊँचाइयों से। y-अक्ष वाला अनुपात x-निर्देशांकों से निकलता है। यहाँ सबसे आम गलती है गलत निर्देशांक ले लेना।

एक ही चिह्न, कोई कटान नहीं: $y_1$ और $y_2$ का चिह्न एक ही हो, तो दोनों सिरे x-अक्ष के एक ही ओर हैं। तब अक्ष रेखाखंड को काटता ही नहीं। ऐसे में सूत्र से अनुपात भी ऋणात्मक आता है, यानी बाह्य विभाजन।

अनुपात मिल जाने के बाद बिंदु का बस एक निर्देशांक निकालना होता है, क्योंकि दूसरा तो 0 ही है।

बाह्य विभाजन [Tier 2]

मान लीजिए P रेखा AB पर है, पर A के आगे या B के आगे, और $AP : PB = m : n$ है। तब कहते हैं कि P, AB को m : n के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है। इसके सूत्र में केवल चिह्न बदलते हैं।

$$P = \left(\frac{m x_2 - n x_1}{m - n}, \frac{m y_2 - n y_1}{m - n}\right)$$

जैसे $A(1, 2)$ और $B(4, 5)$ हैं, और 3 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजन करना है।

$$P = \left(\frac{3 \times 4 - 2 \times 1}{3 - 2}, \frac{3 \times 5 - 2 \times 2}{3 - 2}\right) = (10, 11)$$

जाँच के लिए दूरियाँ निकालिए। $AP = \sqrt{81 + 81} = 9\sqrt{2}$ और $PB = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2}$, और $9 : 6 = 3 : 2$ ही है।

$m > n$ हो, तो AP, PB से लंबा होगा, इसलिए P, B के आगे होगा। $m < n$ हो, तो P, A के आगे होगा। यहाँ अनुपात कभी 1 : 1 नहीं हो सकता, क्योंकि रेखाखंड के बाहर का कोई भी बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूर नहीं होता। इसीलिए $m - n$ कभी 0 नहीं होता।

फिर कदम वाला तरीका: A से B तक परिवर्तन $(3, 3)$ है। 3 : 2 के बाह्य विभाजन में A से ऐसे तीन कदम चलकर P पर पहुँचते हैं, और P से दो कदम पीछे B है। तो P = $(1 + 9, 2 + 9) = (10, 11)$। चित्र में ये तीनों बराबर कदम दिखाए गए हैं।

टियर 1 में बढ़ाए गए रेखाखंड वाले प्रश्न: टियर 1 के पेपर में यही बात सीधे शब्दों में पूछी जाती है। जैसे "AB को C तक इस प्रकार बढ़ाया गया कि $BC = AB$"। इसका मतलब है कि B, AC का मध्य बिंदु है। तो C = $(2x_B - x_A, 2y_B - y_A)$ होगा। ऊपर वाले बिंदुओं के लिए C = $(7, 8)$ आता है।

कभी ऐसे भी लिखा होता है, "AB को C तक इस प्रकार बढ़ाया गया कि $AC = 3AB$"। तब $AC : CB = 3 : 2$ है, और C वही बिंदु $(10, 11)$ है जो ऊपर निकाला था। दोनों में कोई नया सूत्र नहीं लगता। पहले में मध्य बिंदु से दूसरा सिरा निकालते हैं, और दूसरे में A से तीन कदम चलते हैं।

त्रिभुज का केंद्रक

त्रिभुज के किसी शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु से मिलाने वाले रेखाखंड को माध्यिका (median) कहते हैं। तीनों माध्यिकाएँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं। इस बिंदु को केंद्रक (centroid) कहते हैं और G से दिखाते हैं। इसके निर्देशांक तीनों शीर्षों का औसत होते हैं।

$$G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$$

जैसे $A(1, 1)$, $B(9, 3)$ और $C(5, 8)$ वाला त्रिभुज लीजिए।

$$G = \left(\frac{1 + 9 + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 8}{3}\right) = (5, 4)$$

ज्यामिति वाले अध्याय 12 में हम देख चुके हैं कि G हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 में बाँटता है। यहाँ BC का मध्य बिंदु $D\left(7, \frac{11}{2}\right)$ है। AD को 2 : 1 में बाँटने वाला बिंदु $\left(\frac{2 \times 7 + 1}{3}, \frac{11 + 1}{3}\right) = (5, 4)$ है, यानी फिर वही G। मतलब केंद्रक का सूत्र और कुछ नहीं, माध्यिका पर लगाया गया विभाजन सूत्र ही है।

3 से भाग: मध्य बिंदु वाले सूत्र की आदत से कई छात्र यहाँ भी 2 से भाग दे देते हैं। यह गलती बहुत होती है। शीर्ष तीन हैं, तो तीन संख्याएँ जोड़िए और 3 से भाग दीजिए। एक आसान जाँच भी है। केंद्रक हमेशा त्रिभुज के भीतर होता है, इसलिए जो उत्तर त्रिभुज के बाहर या किसी भुजा पर पड़े, वह गलत है।

दो जाँच: पहली, हर शीर्ष को एक ही मात्रा से खिसकाएँ, तो केंद्रक भी उतना ही खिसकता है। दूसरी, एक शीर्ष मूल बिंदु पर हो, तो केंद्रक बाकी दोनों शीर्षों के योग का एक-तिहाई होता है।

अक्षरों वाला केंद्रक: मान लीजिए $(a, 2)$, $(4, b)$ और $(-1, 5)$ का केंद्रक $(1, 4)$ है। तो तीनों x का योग $3 \times 1 = 3$ होगा और तीनों y का योग $3 \times 4 = 12$। अब $a + 4 - 1 = 3$ से $a = 0$ आता है, और $2 + b + 5 = 12$ से $b = 5$।

केंद्रक से शीर्ष, मध्य बिंदुओं का त्रिभुज

केंद्रक के सूत्र को उलटा भी लगाया जा सकता है। G और दो शीर्ष दिए हों, तो तीसरा शीर्ष इस तरह निकलता है।

$$x_3 = 3x_G - x_1 - x_2 \qquad y_3 = 3y_G - y_1 - y_2$$

जैसे $G(1, -2)$, $A(5, 3)$ और $B(-4, 1)$ दिए हैं। तीसरा शीर्ष $(3 - 5 + 4, -6 - 3 - 1) = (2, -10)$ है। जाँच कर लेते हैं, $\frac{5 - 4 + 2}{3} = 1$ और $\frac{3 + 1 - 10}{3} = -2$।

मध्य बिंदुओं का त्रिभुज: भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिंदु D, E और F को मिलाइए, तो भीतर एक छोटा त्रिभुज DEF बनता है। DEF का केंद्रक वही है जो ABC का है। इसकी भुजाएँ ABC की भुजाओं की आधी होती हैं, और इसका क्षेत्रफल ABC के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है। यह बात ज्यामिति वाले अध्याय 12 में भी आई थी।

चित्र वाला उदाहरण देखिए। $A(2, 7)$, $B(-4, -1)$ और $C(8, 3)$ के लिए मध्य बिंदु $D(2, 1)$, $E(5, 5)$ और $F(-1, 3)$ हैं। दोनों त्रिभुजों का केंद्रक $(2, 3)$ है।

मध्य बिंदुओं से शीर्ष: कभी केवल D, E और F दिए होते हैं। तब किसी भी शीर्ष के लिए उसके पास वाले दोनों मध्य बिंदु जोड़िए और सामने वाला मध्य बिंदु घटा दीजिए। यह हर निर्देशांक के लिए अलग-अलग करना है।

$$A = E + F - D \qquad B = F + D - E \qquad C = D + E - F$$

यहाँ $A = (5 - 1 - 2, 5 + 3 - 1) = (2, 7)$ आता है। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि AFDE एक समांतर चतुर्भुज है, और समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। यह नियम हम अगले विषय में देखेंगे।

दूसरे केंद्र: समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है, और लंबकेंद्र समकोण वाला शीर्ष। समबाहु त्रिभुज में परिकेंद्र, लंबकेंद्र और अंतःकेंद्र, तीनों केंद्रक पर ही होते हैं।

[Tier 2] अंतःकेंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c}, \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c}\right)$ होते हैं। यहाँ a, b और c क्रम से पहले, दूसरे और तीसरे शीर्ष के सामने वाली भुजाओं की लंबाइयाँ हैं। जैसे $(0, 0)$, $(6, 0)$ और $(0, 8)$ वाले त्रिभुज में सामने की भुजाएँ 10, 8 और 6 हैं, और अंतःकेंद्र $(2, 2)$ आता है।

समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। मतलब ABCD में AC का मध्य बिंदु और BD का मध्य बिंदु एक ही होता है। दोनों मध्य बिंदुओं को दोगुना कर दें, तो हर निर्देशांक के लिए यह मिलता है।

$$A + C = B + D \qquad \text{अतः} \qquad D = A + C - B$$

यह नियम हर समांतर चतुर्भुज पर लागू होता है। आयत, समचतुर्भुज और वर्ग भी इन्हीं में आते हैं। जैसे $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ और $C(6, 6)$ किसी समांतर चतुर्भुज ABCD के क्रमागत शीर्ष हैं।

$$D = (1 + 6 - 4, 2 + 6 - 3) = (3, 5)$$

जाँच के लिए AC का मध्य बिंदु देखिए, $\left(\frac{7}{2}, 4\right)$। BD का मध्य बिंदु भी यही है।

याद रखने का ढंग: जो शीर्ष चाहिए, उसके दोनों पड़ोसी शीर्ष जोड़िए और सामने वाला शीर्ष घटा दीजिए। D के पड़ोसी A और C हैं, और D के सामने B है।

क्रम न दिया हो तब: प्रश्न में बस इतना लिखा हो कि "समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A, B और C हैं", और क्रम के बारे में कुछ न कहा हो, तो तीन उत्तर हो सकते हैं, $A + C - B$, $A + B - C$ और $B + C - A$। हर उत्तर में दिए गए बिंदुओं की कोई अलग जोड़ी विकर्ण होती है। प्रश्न आकृति का नाम ABCD दे दे, तो क्रम तय हो जाता है और उत्तर केवल एक रहता है।

अज्ञात निर्देशांक: मान लीजिए $A(-3, 1)$, $B(x, -2)$, $C(5, 4)$ और $D(1, y)$, इसी क्रम में, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं। $A + C = B + D$ से $-3 + 5 = x + 1$ और $1 + 4 = -2 + y$ मिलते हैं। तो $x = 1$ और $y = 7$।

[SSC टिप] उत्तर चिह्नित करने से पहले देख लीजिए कि दोनों विकर्णों के मध्य बिंदु एक ही हैं या नहीं। यह एक पंक्ति का काम है। बाकी दोनों संभावित बिंदु, $A + B - C$ और $B + C - A$, अक्सर गलत विकल्पों के रूप में दिए होते हैं। क्रम ABCD हो, तो इस जाँच में केवल सही शीर्ष ही खरा उतरता है।

शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल

जिस त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हों, उसका क्षेत्रफल इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right|$$

इसमें हर x को बाकी दोनों y के अंतर से गुणा करते हैं, और क्रम घूमता रहता है। पहले $y_2 - y_3$, फिर $y_3 - y_1$, फिर $y_1 - y_2$। जैसे $A(1, 2)$, $B(5, 4)$ और $C(2, 7)$ लीजिए।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\left|1(4 - 7) + 5(7 - 2) + 2(2 - 4)\right| = \frac{1}{2}\left|-3 + 25 - 4\right| = 9 \text{ वर्ग इकाई}$$

दो चीज़ें न छूटें: आगे वाला $\frac{1}{2}$ और कोष्ठक पर लगा मापांक, ये दोनों ज़रूर लगाइए। आधा करना भूल गए, तो 18 आएगा, जो क्षेत्रफल का दोगुना है। शीर्ष घड़ी की दिशा में लिखे हों, तो कोष्ठक का मान ऋणात्मक आता है। A, C, B के क्रम में लेकर देखिए, $-18$ आएगा। क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए चिह्न छोड़ दीजिए।

एक शीर्ष मूल बिंदु पर: शीर्ष $O(0, 0)$, $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हों, तो सूत्र छोटा हो जाता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}\left|x_1 y_2 - x_2 y_1\right|$$

जैसे $(0, 0)$, $(5, 1)$ और $(2, 6)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|30 - 2| = 14$ वर्ग इकाई है।

एक शीर्ष को मूल बिंदु पर खिसकाना: किसी एक शीर्ष के निर्देशांक तीनों शीर्षों में से घटा दीजिए। त्रिभुज खिसक जाता है, पर उसका क्षेत्रफल वही रहता है। ऊपर वाले त्रिभुज के तीनों शीर्षों में से $A(1, 2)$ घटाइए, तो शीर्ष $(0, 0)$, $(4, 2)$ और $(1, 5)$ हो जाते हैं। अब क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|4 \times 5 - 1 \times 2| = 9$ है, यानी फिर वही। संख्याएँ अटपटी हों, तो यही सबसे साफ़ रास्ता है।

[SSC टिप] त्रिभुज की कोई भुजा क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर हो, तो सूत्र छोड़ दीजिए। उसी भुजा को आधार लीजिए। उसकी लंबाई निर्देशांकों का सीधा अंतर होती है। ऊँचाई भी ऐसे ही सीधे अंतर से मिल जाती है। फिर क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई।

संरेख बिंदु: शून्य क्षेत्रफल, k का मान

तीन बिंदु एक ही रेखा पर हों, तो उनसे बना "त्रिभुज" चपटा होता है और उसका क्षेत्रफल 0 होता है। इसलिए संरेख बिंदुओं की जाँच इस शर्त से करते हैं।

$$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0$$

यहाँ $\frac{1}{2}$ और मापांक छोड़ सकते हैं। देखना बस इतना है कि कोष्ठक शून्य है या नहीं।

जैसे $(k, 3)$, $(2, -1)$ और $(5, 5)$ संरेख हैं और k निकालना है।

$$k(-1 - 5) + 2(5 - 3) + 5(3 - (-1)) = 0 \Rightarrow -6k + 4 + 20 = 0 \Rightarrow k = 4$$

उत्तर को दूसरी तरह से भी जाँच सकते हैं। $(2, -1)$ से $(4, 3)$ तक x 2 बढ़ता है और y 4। फिर $(4, 3)$ से $(5, 5)$ तक x 1 बढ़ता है और y 2। दोनों कदम एक ही अनुपात में हैं, तो तीनों बिंदु एक रेखा पर हैं।

क्षेत्रफल वाली इस जाँच में वर्गमूल नहीं आता। इसलिए जब दूरियाँ पूर्ण संख्याएँ न हों, तो यह "बिंदु, दूरी और परावर्तन" वाले खंड की दूरी वाली जाँच से तेज़ पड़ती है। ढाल से जाँचने का एक तीसरा तरीका भी है, जो "ढाल और रेखा का समीकरण" वाले खंड में मिलेगा।

क्षेत्रफल दिया, k चाहिए: क्षेत्रफल 0 की जगह कोई संख्या दी हो, तो $\frac{1}{2}$ बनाए रखिए। साथ ही, मापांक की वजह से दो स्थितियाँ लेनी होंगी।

जैसे शीर्ष $(0, 0)$, $(k, 2)$ और $(3, 4)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|4k - 6|$ है। यह क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई दिया है, तो $|4k - 6| = 10$। इससे $4k - 6 = 10$ या $4k - 6 = -10$, यानी $k = 4$ या $k = -1$। दोनों मान सही हैं। एक मान पर शीर्ष $(k, 2)$ बाकी दो शीर्षों से होकर जाने वाली रेखा के एक ओर आता है, और दूसरे पर दूसरी ओर। दोनों ही त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर रहता है।

मापांक भूल गए, तो केवल $k = 4$ मिलेगा। और $\frac{1}{2}$ छोड़ दिया, तो $|4k - 6| = 5$ से $k = \frac{11}{4}$ या $k = \frac{1}{4}$ आएगा। ये मान तो $\frac{5}{2}$ क्षेत्रफल वाले त्रिभुज के हैं।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल

चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालना हो, तो एक विकर्ण से उसे दो त्रिभुजों में बाँट लीजिए और दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल जोड़ दीजिए। जैसे $A(1, 0)$, $B(7, 2)$, $C(6, 7)$ और $D(2, 5)$, इसी क्रम में, किसी चतुर्भुज के शीर्ष हैं। विकर्ण AC खींचें, तो ABCD दो त्रिभुजों, ABC और ACD, में बँट जाता है।

$$\triangle ABC = \frac{1}{2}\left|1(2 - 7) + 7(7 - 0) + 6(0 - 2)\right| = \frac{1}{2}\left|-5 + 49 - 12\right| = 16$$

$$\triangle ACD = \frac{1}{2}\left|1(7 - 5) + 6(5 - 0) + 2(0 - 7)\right| = \frac{1}{2}\left|2 + 30 - 14\right| = 9$$

तो ABCD का क्षेत्रफल $16 + 9 = 25$ वर्ग इकाई है।

दो त्रिभुजों की जगह एक पंक्ति: शीर्षों को क्रम से x और y के दो स्तंभों में लिखिए, और सबसे नीचे पहला शीर्ष दोबारा लिख दीजिए। फिर ऊपर से नीचे चलते हुए हर दो पास-पास वाली पंक्तियों पर आड़ा-तिरछा (क्रॉस) गुणा कीजिए।

$$(1 \times 2 - 7 \times 0) + (7 \times 7 - 6 \times 2) + (6 \times 5 - 2 \times 7) + (2 \times 0 - 1 \times 5) = 2 + 37 + 16 - 5 = 50$$

50 का आधा 25 है, यानी पहले वाला ही उत्तर। यही ढाँचा त्रिभुज पर भी चलता है। वहाँ तीन पंक्तियाँ लिखकर पहली पंक्ति फिर से दोहराते हैं। और कितनी भी भुजाओं वाला बहुभुज हो, उस पर भी यही तरीका चलता है।

क्रम बनाए रखिए: शीर्ष आकृति के चारों ओर क्रम से ही लिखिए। शीर्ष उलट-पुलट हो गए, तो आकृति की बाहरी रेखा ख़ुद को काटने लगती है, और जो संख्या निकलती है वह क्षेत्रफल नहीं होती।

विशेष आकृतियाँ: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, उसके किन्हीं तीन शीर्षों से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है। समचतुर्भुज में विकर्णों के गुणनफल का आधा भी ले सकते हैं। दोनों विकर्ण दूरी सूत्र से निकल आते हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

$A(-8, 5)$ और $B(4, -9)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए। (a) $(6, -7)$ (b) $(-2, -2)$ (c) $(-4, -4)$ (d) $(6, -2)$

उत्तर: मध्य बिंदु के लिए निर्देशांक जोड़कर आधा कर लेते हैं। $\frac{-8 + 4}{2} = -2$ और $\frac{5 + (-9)}{2} = -2$, तो मध्य बिंदु (b) $(-2, -2)$ है। जोड़ने की जगह घटा दें, तो $(6, -7)$ आता है। यह A से मध्य बिंदु तक का कदम है, मध्य बिंदु नहीं।

प्रश्न 2

किसी वृत्त के एक व्यास का एक सिरा $(5, -6)$ है और वृत्त का केंद्र $(1, -2)$ है। व्यास का दूसरा सिरा क्या है? (a) $(3, -4)$ (b) $(9, -10)$ (c) $(-3, -2)$ (d) $(-3, 2)$

उत्तर: वृत्त का केंद्र हर व्यास का मध्य बिंदु होता है। तो दूसरा सिरा $(2 \times 1 - 5, 2 \times (-2) - (-6)) = (-3, 2)$ आता है, जो विकल्प (d) $(-3, 2)$ है। जाँच कर लेते हैं, $(5, -6)$ और $(-3, 2)$ का औसत $(1, -2)$ ही आता है। केंद्र और दिए गए सिरे का औसत लेकर $(3, -4)$ लिखना गलत है, क्योंकि वह एक त्रिज्या का मध्य बिंदु है।

प्रश्न 3

$(3a, 5)$ और $(-4, 2b + 1)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु $(1, a + 3)$ है। $a + b$ का मान ज्ञात कीजिए। (a) 4 (b) 6 (c) 3 (d) 5

उत्तर: पहले x-निर्देशांकों से a निकालते हैं। $\frac{3a - 4}{2} = 1$, तो $3a = 6$ और $a = 2$। अब मध्य बिंदु का y-निर्देशांक $a + 3 = 5$ है। तो $\frac{5 + 2b + 1}{2} = 5$, जिससे $2b = 4$ और $b = 2$। इसलिए $a + b$ = (a) 4। a पहले इसलिए निकाला, क्योंकि y वाले समीकरण में a चाहिए था।

प्रश्न 4

$A(-2, 3)$ और $B(8, -7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 2 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए। (a) $(2, -1)$ (b) $(3, -2)$ (c) $(4, -3)$ (d) $(-4, 3)$

उत्तर: 3 वाला भाग A की ओर है, इसलिए 3 से दूर वाले सिरे B के निर्देशांक गुणा होंगे और 2 से A के। $x = \frac{3 \times 8 + 2 \times (-2)}{5} = \frac{20}{5} = 4$ और $y = \frac{3 \times (-7) + 2 \times 3}{5} = \frac{-15}{5} = -3$। तो बिंदु (c) $(4, -3)$ है। कदमों से भी यही आता है। A से B तक परिवर्तन $(10, -10)$ है, उसका तीन-पाँचवाँ भाग $(6, -6)$ है, और $(-2 + 6, 3 - 6) = (4, -3)$। अनुपात उलटा ले लें, तो $(2, -1)$ आता है, जो AB को 2 : 3 में बाँटता है।

प्रश्न 5

$A(-4, 7)$ और $B(5, -2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का वह समत्रिभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए, जो B के निकट है। (a) $(-1, 4)$ (b) $(2, 1)$ (c) $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ (d) $(1, 2)$

उत्तर: B के निकट वाले बिंदु के लिए $AP : PB = 2 : 1$ है। A से B तक परिवर्तन $(9, -9)$ है, तो रास्ते का एक-तिहाई $(3, -3)$ का एक कदम हुआ। A से दो कदम चलें, तो $(-4 + 6, 7 - 6) = (2, 1)$ आता है। उत्तर (b) $(2, 1)$ है। एक कदम और चलें, तो ठीक B पर पहुँच जाते हैं, इसलिए हिसाब ठीक है। A से केवल एक कदम चलने पर $(-1, 4)$ आता है, जो A के निकट वाला समत्रिभाजन बिंदु है।

प्रश्न 6

बिंदु $P(1, 2)$, $A(-5, 8)$ और $B(9, -6)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है? (a) 3 : 4 (b) 4 : 3 (c) 3 : 7 (d) 1 : 2

उत्तर: पहले x-निर्देशांकों के अंतर लेते हैं, $AP : PB = (1 - (-5)) : (9 - 1) = 6 : 8 = 3 : 4$। y-निर्देशांकों से भी $(8 - 2) : (2 - (-6)) = 6 : 8$ ही आता है। दोनों मेल खाते हैं, तो P सचमुच AB पर है और अनुपात (a) 3 : 4 है। 3 : 7 तब आता है, जब AP की तुलना PB से न करके पूरे AB से कर दी जाए।

प्रश्न 7

x-अक्ष, $(1, -4)$ और $(7, 8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में और किस बिंदु पर विभाजित करता है? (a) $2 : 1$, $(5, 0)$ पर (b) $1 : 2$, $(5, 0)$ पर (c) $2 : 1$, $(3, 0)$ पर (d) $1 : 2$, $(3, 0)$ पर

उत्तर: x-अक्ष वाला अनुपात y-निर्देशांकों से निकलता है, $4 : 8 = 1 : 2$। कटान बिंदु $\left(\frac{1 \times 7 + 2 \times 1}{3}, 0\right) = (3, 0)$ है, तो उत्तर (d) $1 : 2$, $(3, 0)$ पर है। इसे दूसरी तरह से भी परख लेते हैं। $(1, -4)$ से $(7, 8)$ तक y 12 बढ़ता है और x 6। y को 0 तक पहुँचने के लिए 4 बढ़ना है, और तब तक x 2 बढ़ चुका होता है। तो कटान $x = 3$ पर है।

प्रश्न 8

y-अक्ष, $P(-6, 1)$ और $Q(2, 9)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को R पर काटता है। R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (a) $(0, 3)$ (b) $(0, 5)$ (c) $(0, 7)$ (d) $(7, 0)$

उत्तर: यहाँ y-अक्ष है, तो अनुपात x-निर्देशांकों से लेंगे, $6 : 2 = 3 : 1$। मतलब R, P से Q तक के रास्ते के तीन-चौथाई पर है। उसका y-निर्देशांक $\frac{3 \times 9 + 1 \times 1}{4} = 7$ है, तो R (c) $(0, 7)$ है। जल्दबाज़ी में अनुपात उलटा, 1 : 3, ले लिया, तो y-निर्देशांक 3 आएगा और उत्तर गलत हो जाएगा।

प्रश्न 9

रेखा $x + y = 4$, $A(-2, 1)$ और $B(7, 5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करती है? (a) 8 : 5 (b) 5 : 8 (c) 5 : 13 (d) 3 : 8

उत्तर: हर सिरे पर $x + y - 4$ का मान निकालते हैं। A पर $-2 + 1 - 4 = -5$ और B पर $7 + 5 - 4 = 8$। चिह्न उलटे हैं, तो रेखा A और B के बीच से गुज़रती है। अब A वाले मान का चिह्न बदलकर B वाले मान से अनुपात बनाते हैं, तो (b) 5 : 8 आता है। जाँच के लिए AB को 5 : 8 में बाँटने वाला बिंदु निकालते हैं, $\left(\frac{19}{13}, \frac{33}{13}\right)$। इसमें $\frac{19}{13} + \frac{33}{13} = \frac{52}{13} = 4$, यानी बिंदु रेखा पर है।

प्रश्न 10

[Tier 2] $A(-1, 2)$ और $B(2, 5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को 4 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए। (a) $(3, 6)$ (b) $\left(\frac{7}{5}, \frac{22}{5}\right)$ (c) $(-3, -6)$ (d) $(5, 8)$

उत्तर: बाह्य विभाजन है, तो सूत्र में धन चिह्न की जगह ऋण चिह्न लगता है। $x = \frac{4 \times 2 - 1 \times (-1)}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ और $y = \frac{4 \times 5 - 1 \times 2}{3} = \frac{18}{3} = 6$। तो बिंदु (a) $(3, 6)$ है। यह B के आगे है, और ऐसा होना ही था, क्योंकि अनुपात की पहली संख्या बड़ी है। दूरियाँ भी यही बताती हैं, $AP = 4\sqrt{2}$ और $PB = \sqrt{2}$। विकल्प में दिया $\left(\frac{7}{5}, \frac{22}{5}\right)$ इसी अनुपात वाला अंतः विभाजन बिंदु है, जो यहाँ नहीं चाहिए।

प्रश्न 11

रेखाखंड AB को C तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि B, AC का मध्य बिंदु है। यदि A, $(-3, 4)$ और B, $(1, 1)$ है, तो C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (a) $\left(-1, \frac{5}{2}\right)$ (b) $(-7, 7)$ (c) $(5, -2)$ (d) $(4, -3)$

उत्तर: B, AC का मध्य बिंदु है, तो $C = (2 \times 1 - (-3), 2 \times 1 - 4) = (5, -2)$ हुआ, यानी विकल्प (c) $(5, -2)$। दूसरे ढंग से भी सोच सकते हैं। A से B तक परिवर्तन $(4, -3)$ है, और B से ऐसा ही एक कदम और चलें, तो C आ जाता है। $(-7, 7)$ भी A से उतनी ही दूरी पर है, जितनी दूरी पर B है, पर वह A के पीछे, गलत ओर है।

प्रश्न 12

शीर्षों $(4, -6)$, $(-5, 2)$ और $(7, 1)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक ज्ञात कीजिए। (a) $\left(3, -\frac{3}{2}\right)$ (b) $(6, -3)$ (c) $(-1, 2)$ (d) $(2, -1)$

उत्तर: तीनों x जोड़कर 3 से भाग देते हैं, $\frac{4 - 5 + 7}{3} = 2$। फिर y के लिए $\frac{-6 + 2 + 1}{3} = -1$। तो केंद्रक (d) $(2, -1)$ है। मध्य बिंदु वाले सूत्र की आदत में 2 से भाग दे दिया, तो $\left(3, -\frac{3}{2}\right)$ आएगा। विकल्पों में यह भी दिया है, इसलिए ध्यान रखिए।

प्रश्न 13

किसी त्रिभुज के दो शीर्ष $(3, -5)$ और $(-7, 4)$ हैं, और उसका केंद्रक $(2, -1)$ है। तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए। (a) $(10, -2)$ (b) $(8, -1)$ (c) $(-2, 10)$ (d) $(6, -3)$

उत्तर: केंद्रक का x-निर्देशांक 2 है, तो तीनों x का योग $3 \times 2 = 6$ होना चाहिए। दिए गए दोनों का योग $3 + (-7) = -4$ है, तो तीसरा x = $6 - (-4) = 10$। इसी तरह तीनों y का योग $3 \times (-1) = -3$ होना चाहिए, और दिए गए दोनों का $-5 + 4 = -1$ है। तो तीसरा y = $-3 - (-1) = -2$। तीसरा शीर्ष (a) $(10, -2)$ है। केंद्रक को तीन गुना करने की जगह दोगुना कर दें, तो $(8, -1)$ आता है।

प्रश्न 14

किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु $(2, 5)$, $(5, -1)$ और $(-4, 2)$ हैं। त्रिभुज का केंद्रक ज्ञात कीजिए। (a) $(3, 6)$ (b) $(1, 2)$ (c) $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$ (d) $(-1, 2)$

उत्तर: मध्य बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक वही होता है जो बड़े त्रिभुज का है। तो बस तीनों मध्य बिंदुओं का औसत लेना है, $\left(\frac{2 + 5 - 4}{3}, \frac{5 - 1 + 2}{3}\right)$, यानी (b) $(1, 2)$। पहले शीर्ष निकालने की ज़रूरत नहीं है। वैसे शीर्ष निकालकर चलें, तब भी यही बिंदु आता है।

प्रश्न 15

$A(-2, -1)$, $B(4, 0)$ और $C(5, 4)$, समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन क्रमागत शीर्ष हैं। D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (a) $(11, 5)$ (b) $(-3, -5)$ (c) $(-1, 3)$ (d) $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$

उत्तर: ABCD में विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो $A + C = B + D$। इससे $D = (-2 + 5 - 4, -1 + 4 - 0) = (-1, 3)$ मिलता है, यानी (c) $(-1, 3)$। जाँच करें, तो दोनों विकर्णों का मध्य बिंदु एक ही आता है, $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$। $(11, 5)$ उस समांतर चतुर्भुज का शीर्ष है जिसमें AC नहीं, BC विकर्ण है।

प्रश्न 16

बिंदु $P(-1, 0)$, $Q(3, 1)$, $R(x, 5)$ और $S(2, y)$, इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं। x और y ज्ञात कीजिए। (a) $x = 4$, $y = 6$ (b) $x = 6$, $y = 6$ (c) $x = 0$, $y = -4$ (d) $x = 6$, $y = 4$

उत्तर: शीर्ष इसी क्रम में दिए हैं, तो विकर्ण PR और QS होंगे। ये एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए $P + R = Q + S$। x के लिए $-1 + x = 3 + 2$, तो $x = 6$। y के लिए $0 + 5 = 1 + y$, तो $y = 4$। उत्तर (d) $x = 6$, $y = 4$ है। गलती से PQ को विकर्ण मान लें, तो $x = 0$ और $y = -4$ आते हैं, जबकि PQ तो एक भुजा है।

प्रश्न 17

शीर्षों $(-3, -2)$, $(5, -1)$ और $(1, 4)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 22 वर्ग इकाई (b) 44 वर्ग इकाई (c) 11 वर्ग इकाई (d) 18 वर्ग इकाई

उत्तर: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\left|-3(-1 - 4) + 5(4 - (-2)) + 1(-2 - (-1))\right| = \frac{1}{2}\left|15 + 30 - 1\right| = \frac{1}{2} \times 44$, यानी (a) 22 वर्ग इकाई। 44 कोष्ठक का मान है। इसे आधा करना भूल गए, तो गलत विकल्प चुन लेंगे।

प्रश्न 18

शीर्षों $(0, 0)$, $(6, -2)$ और $(3, 5)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 12 वर्ग इकाई (b) 18 वर्ग इकाई (c) 36 वर्ग इकाई (d) 24 वर्ग इकाई

उत्तर: एक शीर्ष मूल बिंदु पर है, तो छोटा सूत्र लगाते हैं। क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1| = \frac{1}{2}|6 \times 5 - 3 \times (-2)| = \frac{1}{2}|30 + 6|$, यानी (b) 18 वर्ग इकाई। $-2$ का ऋण चिह्न छूट जाए, तो $\frac{1}{2}(30 - 6) = 12$ आता है।

प्रश्न 19

k के किस मान के लिए बिंदु $(1, -1)$, $(k, 3)$ और $(4, 5)$ संरेख हैं? (a) $-3$ (b) 2 (c) 3 (d) 6

उत्तर: बिंदु संरेख हैं, तो क्षेत्रफल वाला कोष्ठक 0 होगा। $1(3 - 5) + k(5 - (-1)) + 4(-1 - 3) = 0$, यानी $-2 + 6k - 16 = 0$। तो $6k = 18$ और $k = 3$। उत्तर (c) 3 है। चाहें तो कदमों से भी जाँच सकते हैं। $(1, -1)$ से $(3, 3)$ तक कदम $(2, 4)$ है, और $(3, 3)$ से $(4, 5)$ तक $(1, 2)$। दोनों कदम एक ही दिशा में हैं, तो बिंदु सचमुच एक रेखा पर हैं।

प्रश्न 20

शीर्षों $(1, 2)$, $(k, -1)$ और $(3, 4)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है। k के संभावित मान क्या हैं? (a) $4$ या $-8$ (b) $1$ या $-5$ (c) $-4$ या $8$ (d) केवल $4$

उत्तर: सूत्र वाला कोष्ठक $1(-1 - 4) + k(4 - 2) + 3(2 - (-1)) = -5 + 2k + 9 = 2k + 4$ आता है। अब क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|2k + 4| = 6$ है, तो $|2k + 4| = 12$। मापांक की वजह से दो स्थितियाँ हैं। $2k + 4 = 12$ से $k = 4$, और $2k + 4 = -12$ से $k = -8$। उत्तर (a) $4$ या $-8$ है। चित्र में शीर्ष $(k, -1)$ की दोनों स्थितियाँ दिखाई गई हैं। बाकी दो शीर्षों से होकर जाने वाली रेखा के दोनों ओर एक-एक स्थिति है।

प्रश्न 21

उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष इसी क्रम में $A(-3, -1)$, $B(3, -2)$, $C(5, 3)$ और $D(-1, 4)$ हैं। (a) 64 वर्ग इकाई (b) 16 वर्ग इकाई (c) 28 वर्ग इकाई (d) 32 वर्ग इकाई

उत्तर: विकर्ण AC से चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में काट लेते हैं। पहले त्रिभुज के लिए $\triangle ABC = \frac{1}{2}\left|-3(-2 - 3) + 3(3 - (-1)) + 5(-1 - (-2))\right| = \frac{1}{2}\left|15 + 12 + 5\right| = 16$। दूसरे के लिए $\triangle ACD = \frac{1}{2}\left|-3(3 - 4) + 5(4 - (-1)) + (-1)(-1 - 3)\right| = \frac{1}{2}\left|3 + 25 + 4\right| = 16$। दोनों को जोड़ें, तो $16 + 16$, यानी (d) 32 वर्ग इकाई। यहाँ संयोग से विकर्ण क्षेत्रफल को ठीक आधा-आधा बाँट देता है।

प्रश्न 22

किसी त्रिभुज के शीर्ष $(-3, 1)$, $(5, -3)$ और $(3, 5)$ हैं। उसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 14 वर्ग इकाई (b) 7 वर्ग इकाई (c) 28 वर्ग इकाई (d) $\frac{7}{2}$ वर्ग इकाई

उत्तर: बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}\left|-3(-3 - 5) + 5(5 - 1) + 3(1 - (-3))\right| = \frac{1}{2}\left|24 + 20 + 12\right| = 28$ है। मध्य बिंदुओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इसका एक-चौथाई होता है, तो उत्तर (b) 7 वर्ग इकाई है। मध्य बिंदु $(1, -1)$, $(4, 1)$ और $(0, 3)$ से सीधे निकालें, तब भी 7 ही आता है। 28 पर रुक जाना गलत है, क्योंकि वह दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल है। उसे 4 से भाग देना था।