उन्नयन कोण और अवनमन कोण

दृष्टि रेखा, उन्नयन और अवनमन

इस अध्याय के हर प्रश्न में एक ही स्थिति होती है। कोई व्यक्ति किसी वस्तु को देख रहा होता है।

आँख से वस्तु तक खींची गई सीधी रेखा को दृष्टि रेखा (line of sight) कहते हैं। अब आँख से होकर एक क्षैतिज रेखा भी खींचिए। इन दोनों रेखाओं के बीच का कोण बताता है कि वस्तु कहाँ है।

वस्तु क्षैतिज रेखा से ऊपर हो, तो इस कोण को उन्नयन कोण (angle of elevation) कहते हैं। जैसे भूमि पर खड़ा व्यक्ति मीनार का शिखर देखता है। यहाँ नज़र ऊपर की ओर जाती है।

वस्तु क्षैतिज रेखा से नीचे हो, तो यही कोण अवनमन कोण (angle of depression) कहलाता है। जैसे छत पर खड़ा व्यक्ति नीचे सड़क पर एक कार देखता है। यहाँ नज़र नीचे की ओर जाती है।

याद रखिए, ये दोनों कोण क्षैतिज रेखा से ही नापे जाते हैं, ऊर्ध्वाधर दीवार या मीनार से कभी नहीं। दोनों कोण 0° और 90° के बीच होते हैं।

बाकी स्थिति प्रश्न से तय होती है। इसके बारे में तीन बातें ध्यान रखिए।

• भूमि (या समुद्र) समतल है, और मीनार, खंभा या इमारत बिल्कुल सीधी खड़ी है। इसलिए उसके आधार पर समकोण होता है।
• प्रेक्षक भूमि पर एक बिंदु है, जब तक प्रश्न उसकी ऊँचाई न बताए।
• "मीनार से दूरी" का मतलब है भूमि के साथ-साथ, मीनार के आधार तक की दूरी।

तो हर आकृति असल में एक समकोण त्रिभुज है। ऊँचाई समकोण बनाने वाली एक भुजा है, भूमि पर की दूरी दूसरी भुजा, और दृष्टि रेखा कर्ण। उन्नयन कोण प्रेक्षक वाले कोने पर होता है, ठीक ऊँचाई के सामने।

हर बार एक कच्ची आकृति बना लीजिए, परीक्षा भवन में भी। पहले आधार पर समकोण का निशान लगाइए। फिर दिया हुआ कोण सही कोने में लिखिए। जो लंबाइयाँ ज्ञात हैं, उन्हें उनकी भुजाओं पर लिख दीजिए, और जो भुजा निकालनी है, उसे कोई अक्षर (h, d या x) दे दीजिए।

सबसे ज़्यादा अंक इसी बात पर कटते हैं कि कोण गलत कोने में रख दिया गया। दस सेकंड लगाकर आकृति बना लें, तो यह गलती नहीं होती।

अवनमन कोण नीचे वाले कोने में

मान लीजिए प्रकाश स्तंभ का शिखर A है, और वहाँ से एक नाव B, $\theta$ के अवनमन कोण पर दिखती है।

A से होकर एक क्षैतिज रेखा AX खींचिए। यह समुद्र-तल CB के समांतर है। दृष्टि रेखा AB इन दोनों समांतर रेखाओं को काटती है, इसलिए यहाँ बने कोण एकांतर कोण हैं, और एकांतर कोण बराबर होते हैं।

$$\angle XAB = \angle ABC = \theta$$

इससे एक नियम निकलता है, A से B का अवनमन कोण = B से A का उन्नयन कोण। रोज़ की भाषा में कहें, तो नाव का मल्लाह जितने कोण पर ऊपर दीपक को देखता है, स्तंभ का रखवाला ठीक उतने ही कोण पर नीचे नाव को देखता है।

हल करते समय यही बात काम आती है। अवनमन कोण त्रिभुज ABC के बाहर होता है, बिंदुदार क्षैतिज रेखा और AB के बीच। उसके बराबर वाला कोण त्रिभुज के भीतर B पर है, यानी नीचे वाले कोने में, ऊँचाई AC के सामने। कोण को वहाँ ले आइए। फिर अवनमन वाला प्रश्न ठीक उन्नयन वाले प्रश्न की तरह हल हो जाता है।

$$\tan\theta = \frac{AC}{CB} = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{दूरी}}$$

जैसे कोई प्रकाश स्तंभ 51 मीटर ऊँचा है और उसके शिखर से नाव 30° के अवनमन कोण पर दिखती है। तो B पर कोण 30° है, और

$$\tan 30^\circ = \frac{51}{CB} \Rightarrow CB = 51\sqrt{3} \text{ मीटर} \approx 88.33 \text{ मीटर}$$

गलत कोना: त्रिभुज के भीतर ऊपर वाला कोण $\angle CAB$ है। यह $\theta$ नहीं है। यह 90° − $\theta$ है, यानी यहाँ 60°। ऐसा इसलिए है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर AC और क्षैतिज AX आपस में समकोण पर हैं। कोई 30° को A पर रख दे, तो $CB = 51\tan 30^\circ = 17\sqrt{3}$ मीटर आएगा, जो गलत है। यह गलती वैसी ही है, जैसे अवनमन कोण को ऊर्ध्वाधर रेखा से नाप लेना।

कुछ प्रश्नों में जानबूझकर यही भीतरी कोण दिया जाता है। जैसे "दृष्टि रेखा, इमारत की दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है"। यह 30° ऊपर वाले कोने पर है, दीवार और दृष्टि रेखा के बीच। तो अवनमन कोण 60° होगा।

दो काम के त्रिभुज

30°, 45° और 60°, ये तीनों कोण दो समकोण त्रिभुजों से आते हैं। इनके त्रिकोणमितीय मान अध्याय 15 "त्रिकोणमिति" में दिए गए हैं। यहाँ tan या sin लिखे बिना, सीधे इन त्रिभुजों से हल निकालेंगे।

30°-60°-90° त्रिभुज: भुजाएँ $1 : \sqrt{3} : 2$

• 30° के सामने की भुजा सबसे छोटी होती है। इसे एक भाग मान लीजिए।
• 60° के सामने की भुजा $\sqrt{3}$ भाग होती है।
• कर्ण 2 भाग होता है, यानी सबसे छोटी भुजा का दोगुना।

45°-45°-90° त्रिभुज: भुजाएँ $1 : 1 : \sqrt{2}$

इसमें समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ बराबर होती हैं, और कर्ण एक भुजा का $\sqrt{2}$ गुना होता है।

भुजाएँ सीधे निकालना: जो भुजा ज्ञात है, उसे उसके भागों की संख्या से भाग दीजिए। इससे एक भाग का मान मिल जाता है। फिर जो भुजा चाहिए, उसके भागों से गुणा कर दीजिए।

• 30° के सामने की भुजा 14 मीटर है। तो कर्ण 28 मीटर है, और 60° के सामने की भुजा $14\sqrt{3}$ मीटर।
• 60° के सामने की भुजा 18 मीटर है। तो एक भाग $\frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ मीटर हुआ। सबसे छोटी भुजा $6\sqrt{3}$ मीटर है और कर्ण $12\sqrt{3}$ मीटर।
• कर्ण 50 मीटर है और एक कोण 45° है। तो समकोण बनाने वाली हर भुजा $\frac{50}{\sqrt{2}} = 25\sqrt{2}$ मीटर है।

ऊँचाई वाले प्रश्न में प्रेक्षक वाला कोण ऊँचाई के सामने होता है। तो प्रेक्षक पर जो कोण है, उसके हिसाब से भुजाओं का अनुपात यह रहता है।

मतलब उन्नयन कोण 60° हो, तो ऊँचाई दूरी का $\sqrt{3}$ गुना होती है। 30° हो, तो दूरी ऊँचाई का $\sqrt{3}$ गुना होती है। और 45° पर दोनों बराबर होती हैं।

बड़ा कोण हमेशा बड़ी भुजा के सामने होता है। ज़्यादातर विकल्प इसी एक बात से जाँचे जा सकते हैं। प्रेक्षक पर 60° हो, तो मीनार भूमि पर की दूरी से ऊँची निकलनी ही चाहिए। 30° हो, तो छोटी।

दूरी और कोण से ऊँचाई

सबसे सीधा प्रश्न यह होता है। प्रेक्षक से मीनार के आधार तक की दूरी d और उन्नयन कोण $\theta$ दिए होते हैं, और ऊँचाई h पूछी जाती है।

ऊँचाई $\theta$ के सामने वाली भुजा है, और दूरी उसी कोण से लगी हुई भुजा। सामने वाली भुजा और लगी हुई भुजा का अनुपात tan होता है, इसलिए यहाँ tan लगेगा।

$$\tan\theta = \frac{h}{d} \qquad h = d\tan\theta$$

आकृति में बिंदु A, मीनार के आधार B से 36 मीटर दूर है, और शिखर C का उन्नयन कोण 60° है। तो

$$h = 36\tan 60^\circ = 36\sqrt{3} \text{ मीटर} \approx 62.35 \text{ मीटर}$$

तीनों मानक कोणों के लिए तीन झटपट नियम हैं।

• 30° पर $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$। जैसे 54 मीटर दूर से शिखर 30° पर दिखे, तो $h = \frac{54}{\sqrt{3}} = \frac{54\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3}$ मीटर।
• 45° पर $h = d$। जैसे 29 मीटर दूर से शिखर 45° पर दिखे, तो ऊँचाई भी 29 मीटर है।
• 60° पर $h = d\sqrt{3}$, जैसा आकृति में देखा।

पहले परिमेयकरण, फिर मिलान: विकल्प हमेशा करणी के सबसे सरल रूप में दिए होते हैं। इसलिए $\frac{54}{\sqrt{3}}$ विकल्प में $18\sqrt{3}$ के रूप में आएगा। सरल करने के लिए अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा कीजिए। तब $\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ हो जाता है। a अगर 3 का गुणज हो, तो 3 साफ़ कट जाता है।

[SSC टिप] विकल्पों में $d\sqrt{3}$ और $\frac{d}{\sqrt{3}}$ दोनों दिए होते हैं। एक tan से आता है और दूसरा cot से। उत्तर चुनने से पहले कोण को 45° से मिलाकर देख लीजिए। कोण 45° से बड़ा हो, तो ऊँचाई दूरी से अधिक होगी, और 45° से छोटा हो, तो कम। मान लीजिए कोण 60° है, दूरी 36 मीटर है, और किसी ने ऊँचाई $12\sqrt{3} \approx 20.8$ मीटर निकाली। यह 36 मीटर से कम है, तो यह ऊँचाई हो ही नहीं सकती।

ऊँचाई और कोण से दूरी

अब उसी त्रिभुज में उलटा प्रश्न लीजिए। ऊँचाई ज्ञात है, और भूमि पर की दूरी चाहिए। इस बार अज्ञात भुजा कोण से लगी हुई भुजा है।

$$d = \frac{h}{\tan\theta} = h\cot\theta$$

आकृति में मंदिर 42 मीटर ऊँचा है, और उसका शिखर 30° के उन्नयन कोण पर दिखता है। तो

$$d = 42\cot 30^\circ = 42\sqrt{3} \text{ मीटर} \approx 72.75 \text{ मीटर}$$

वही मंदिर 60° पर दिखे, तो दूरी केवल $\frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$ मीटर रह जाती है। आप जितने पास खड़े होंगे, शिखर देखने के लिए उतना ही ज़्यादा ऊपर देखना पड़ेगा, यानी कोण उतना ही बड़ा होगा।

झटपट नियम भी यहाँ उलट जाते हैं।

• 30° पर $d = h\sqrt{3}$
• 45° पर $d = h$
• 60° पर $d = \frac{h}{\sqrt{3}}$

किससे किसको भाग दें: इसके लिए हर बार एक ही तरीका अपनाइए। पहले कोण का tan = ऊँचाई ÷ दूरी लिखिए, फिर ज्ञात मान रखिए। जैसे ऊँचाई 75 मीटर है और कोण 60°। तो $\tan 60^\circ = \frac{75}{d}$, यानी $\sqrt{3} = \frac{75}{d}$, और $d = \frac{75}{\sqrt{3}} = 25\sqrt{3}$ मीटर। कोई भूल से $\tan 60^\circ = \frac{d}{75}$ लिख दे, तो $75\sqrt{3}$ मीटर आएगा, यानी तीन गुना दूरी, जो गलत है।

निकटतम मान: उत्तर दशमलव में चाहिए हो, तो प्रश्न में ही $\sqrt{3}$ का मान दिया होता है, आमतौर पर 1.732। पहले करणी को सरल कीजिए, और गुणा सबसे अंत में कीजिए। जैसे $25\sqrt{3} = 25 \times 1.732 = 43.3$ मीटर। 75 को 1.732 से भाग दें, तो भी 43.30 ही आता है, पर उसमें मेहनत ज़्यादा है और गलती की गुंजाइश भी।

दृष्टि रेखा की लंबाई

दृष्टि रेखा त्रिभुज का कर्ण होती है। कभी प्रश्न में यही पूछी जाती है, जैसे "मीनार का शिखर प्रेक्षक से कितनी दूर है?", और कभी यह दी होती है और कुछ और पूछा जाता है। ऐसे प्रश्नों में sin या cos लगाइए, या फिर भुजाओं का अनुपात।

$$h = L\sin\theta \qquad d = L\cos\theta \qquad L = \sqrt{h^2 + d^2}$$

आकृति में एक ऊँचे खंभे का शिखर, उसके आधार से 48 मीटर दूर के एक बिंदु से 30° पर दिखता है। $1 : \sqrt{3} : 2$ वाले त्रिभुज में 48 मीटर की दूरी $\sqrt{3}$ भाग है। तो एक भाग $\frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}$ मीटर हुआ, और

$$h = 16\sqrt{3} \text{ मीटर} \qquad L = 2 \times 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ मीटर}$$

cos से भी यही आता है। $L = \frac{48}{\cos 30^\circ} = \frac{48 \times 2}{\sqrt{3}} = 32\sqrt{3}$ मीटर।

दृष्टि रेखा दी हो: मान लीजिए मीनार के शिखर तक की दृष्टि रेखा 64 मीटर है, और उन्नयन कोण 60°। तो भूमि पर की दूरी उसकी आधी, यानी 32 मीटर होगी, और ऊँचाई $32\sqrt{3}$ मीटर। 45° पर दृष्टि रेखा L हो, तो $h = d = \frac{L}{\sqrt{2}}$।

पूछी गई दूरी पहचानिए: "नाव, प्रकाश स्तंभ से कितनी दूर है" का मतलब है पानी पर, आधार तक की दूरी। पर "नाव, प्रकाश स्तंभ के शिखर से कितनी दूर है" पूछा जाए, तो दृष्टि रेखा चाहिए। दोनों मान विकल्पों में दिए होते हैं। इसलिए उत्तर लगाने से पहले प्रश्न की आख़िरी पंक्ति दो बार पढ़ लीजिए।

कोण ज्ञात करना

ऊँचाई और दूरी दोनों दी हों, तो कोण उनके अनुपात से निकलता है।

$$\tan\theta = \frac{h}{d}$$

आकृति वाले खंभे के लिए $\tan\theta = \frac{8\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, तो $\theta$ = 30°।

ऐसे प्रश्नों में उत्तर लगभग हमेशा 30°, 45° या 60° होता है। बस अनुपात पहचानना है।

आख़िरी तीन पंक्तियाँ sin और cos से आती हैं। जैसे दृष्टि रेखा ऊँचाई की दोगुनी हो, तो $\sin\theta = \frac{1}{2}$ होता है।

लंबाइयों की जगह अनुपात: कभी प्रश्न में लिखा होता है, "मीनार की ऊँचाई और उसके आधार से एक बिंदु की दूरी का अनुपात $\sqrt{3} : 1$ है"। तो $\tan\theta = \sqrt{3}$, यानी $\theta$ = 60°। असली लंबाइयों की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

अवनमन में भी यही: मान लीजिए 35 मीटर ऊँची इमारत के शिखर से एक कार दिखती है, जो आधार से 35 मीटर दूर है। कार पर कोण 45° है, और दोनों कोण बराबर होते हैं। तो अवनमन कोण भी 45° है।

अलग-अलग इकाइयाँ: मान लीजिए मीनार 0.04 किमी ऊँची है, और दूरी $40\sqrt{3}$ मीटर। कोण 30° है, पर यह तभी पता चलेगा जब दोनों को मीटर में बदल लेंगे। अनुपात किसी मानक मान से मेल न खाए, तो सबसे पहले इकाइयाँ देखिए।

जब कोण केवल अनुपात से दिया हो

हर कोण 30°, 45° या 60° नहीं होता। कभी प्रश्न में बस इतना दिया होता है, "उन्नयन कोण $\theta$ है, जहाँ $\tan\theta = \frac{5}{12}$"। तब उसी अनुपात से सीधे हल कीजिए।

यह अनुपात त्रिभुज का आकार बता देता है। ऊँचाई : दूरी = 5 : 12 है, तो पाइथागोरस प्रमेय से दृष्टि रेखा उसी हिसाब से 13 भाग होगी।

जैसे एक इमारत को उसके आधार से 60 मीटर दूर के बिंदु से देखा गया, और $\tan\theta = \frac{5}{12}$ है। दूरी 12 वाली भुजा है, तो एक भाग $k = \frac{60}{12} = 5$ मीटर हुआ। अब

$$h = 5k = 25 \text{ मीटर} \qquad L = 13k = 65 \text{ मीटर}$$

sin या cos दिया हो: पहले संख्याओं को सही भुजाओं पर रखिए। $\sin\theta = \frac{5}{13}$ का मतलब है ऊँचाई : दृष्टि रेखा = 5 : 13, तो दूरी 12 वाली भुजा है। दृष्टि रेखा 39 मीटर हो, तो k = 3, यानी ऊँचाई 15 मीटर और दूरी 36 मीटर। इसी तरह $\cos\theta = \frac{4}{5}$ हो, तो दूरी 4 वाली भुजा है और दृष्टि रेखा 5 वाली। तब ऊँचाई 3 भाग होगी।

कुछ पाइथागोरस त्रिक याद कर लीजिए, जैसे (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) और (20, 21, 29)। इनकी लंबी सूची अध्याय 15 "त्रिकोणमिति" में दी गई है।

गुणा से पहले भुजा जाँचिए: मान लीजिए $\tan\theta = \frac{3}{4}$ है और दूरी 28 मीटर। दूरी 4 वाली भुजा है, तो एक भाग 7 मीटर, और ऊँचाई 21 मीटर। कोई 28 को 3 वाली भुजा पर रख दे, तो 37.33 मीटर आएगा। यह गलत है, और इसे पकड़ना भी आसान है। tan का मान 1 से कम है, तो ऊँचाई दूरी से कम होनी चाहिए, जबकि 37.33 मीटर तो दूरी से भी ज़्यादा है।

15° और 75° जैसे कोण, निकटतम मान

कभी कोण तीनों मानक कोणों में से कोई नहीं होता। तब उसका मान प्रश्न में ही दिया होता है। सबसे ज़्यादा ये दो कोण आते हैं।

$$\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \qquad \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732$$

ये दोनों मान एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, क्योंकि $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$। इसलिए $\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3}$ और $\cot 75^\circ = 2 - \sqrt{3}$ होता है।

छोटा कोण: 30 मीटर ऊँचे खंभे का शिखर 15° पर दिखता है। दूरी निकालनी है।

$$d = 30\cot 15^\circ = 30(2 + \sqrt{3}) = 60 + 30\sqrt{3} \approx 111.96 \text{ मीटर}$$

कोण छोटा हो, तो बहुत पीछे खड़ा होना पड़ता है। आकृति में देखिए, त्रिभुज कितना चपटा है।

खड़ा कोण: 40 मीटर दूर से मीनार का शिखर 75° पर दिखता है। तो $h = 40\tan 75^\circ = 40(2 + \sqrt{3}) \approx 149.28$ मीटर।

$2 - \sqrt{3}$ से भाग: किसी ने $d = \frac{30}{\tan 15^\circ} = \frac{30}{2 - \sqrt{3}}$ लिख लिया हो, तो अंश और हर दोनों को $2 + \sqrt{3}$ से गुणा कीजिए। हर 1 हो जाता है, और फिर वही $30(2 + \sqrt{3})$ आता है।

दशमलव के दो स्थानों तक: $\sqrt{3}$ का वही मान लीजिए, जो प्रश्न में दिया है। पहले करणी वाला रूप पूरा कीजिए, और गोल सबसे अंत में कीजिए।

• $20\sqrt{3} = 20 \times 1.732 = 34.64$ मीटर
• $\frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3} = 30 \times 1.732 = 51.96$ मीटर
• $15(\sqrt{3} + 1) = 15 \times 2.732 = 40.98$ मीटर

शुरू में ही $\sqrt{3}$ को 1.7 मान लेंगे, तो 34.64 की जगह 34 आएगा। और दो विकल्पों में इससे भी कम अंतर हो सकता है।

प्रेक्षक की अपनी ऊँचाई

असल में कोई भी व्यक्ति भूमि के स्तर से नहीं देखता, उसकी आँखें कुछ ऊपर होती हैं। प्रश्न में लिखा हो कि "प्रेक्षक 1.5 मीटर लंबा है", या "उसकी आँखें भूमि से 1.5 मीटर ऊपर हैं", तो आँख से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा भूमि से 1.5 मीटर ऊपर होगी। समकोण त्रिभुज वहीं से शुरू होता है।

आकृति में आँख से मीनार तक की क्षैतिज दूरी 40 मीटर है, और कोण 45° है। तो आँख के स्तर से ऊपर मीनार का भाग x = 40 मीटर है। पूरी मीनार

$$H = x + 1.5 = 41.5 \text{ मीटर}$$

मीनार की ऊँचाई निकालनी हो, तो पहले आँख से ऊपर वाला भाग निकालिए, फिर उसमें आँख की ऊँचाई जोड़िए।

दूरी निकालनी हो, तो पहले मीनार की ऊँचाई में से आँख की ऊँचाई घटाइए। जैसे एक लड़की की आँखें भूमि से 1.6 मीटर ऊपर हैं, और उसे 31.6 मीटर ऊँचे पेड़ का शिखर 60° पर दिखता है। पेड़ का शिखर उसकी आँखों से 30 मीटर ऊपर है, तो दूरी $\frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ मीटर है।

कोण निकालना हो, तो भी आँख से ऊपर वाला भाग ही लीजिए। जैसे आँख 1.5 मीटर पर है, मीनार 21.5 मीटर ऊँची है और दूरी 20 मीटर। मीनार का शिखर आँख से 20 मीटर ऊपर है और 20 मीटर सामने, तो कोण 45° है। पूरे 21.5 मीटर को 20 मीटर से भाग देंगे, तो कोण थोड़ा बड़ा आएगा, और उत्तर गलत हो जाएगा।

"1.8 मीटर लंबा व्यक्ति" लिखा हो, तो उसकी आँखें 1.8 मीटर ऊपर मानी जाती हैं। ऐसे प्रश्नों में आँख और सिर की ऊँचाई में अंतर नहीं किया जाता।

[SSC टिप] इन प्रश्नों के विकल्पों में आँख की ऊँचाई के बिना वाला उत्तर भी दिया होता है, जैसे 41.5 मीटर के साथ 40 मीटर। व्यक्ति की ऊँचाई पढ़ते ही उसके नीचे रेखा खींच दीजिए, ताकि हल की आख़िरी पंक्ति तक वह याद रहे।

खड़ी चट्टान, प्रकाश स्तंभ या इमारत से नीचे

खड़ी चट्टान, प्रकाश स्तंभ या ऊँची इमारत के शिखर से भूमि या पानी पर किसी चीज़ का अवनमन कोण दिया हो, तो उसी से पता चलता है कि वह चीज़ कितनी दूर है। कोण को नीचे वाले कोने में ले आइए, क्योंकि वह वस्तु से देखे गए उन्नयन कोण के बराबर है। फिर वही त्रिभुज हल करना है।

$$\text{दूरी} = h\cot\theta \qquad \text{दृष्टि रेखा} = \frac{h}{\sin\theta}$$

आकृति में प्रकाश स्तंभ 72 मीटर ऊँचा है, और उसके शिखर से नाव 60° के अवनमन कोण पर दिखती है। तो नाव पर कोण 60° है, और

$$d = \frac{72}{\tan 60^\circ} = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3} \text{ मीटर} \approx 41.57 \text{ मीटर}$$

शिखर पर लगे दीपक से नाव की दूरी $\frac{72}{\sin 60^\circ} = 48\sqrt{3}$ मीटर है।

अवनमन कोण से ऊँचाई: किसी इमारत की छत से, आधार से 57 मीटर दूर एक कार 30° के अवनमन कोण पर दिखती है। तो इमारत $57\tan 30^\circ = \frac{57}{\sqrt{3}} = 19\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है।

शिखर पर खड़ा व्यक्ति: मान लीजिए कोई व्यक्ति 25 मीटर ऊँची इमारत पर खड़ा है, और उसकी आँखें छत से 1.5 मीटर ऊपर हैं। तब आँख से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा भूमि से 26.5 मीटर ऊपर है। तो हिसाब में ऊँचाई 26.5 मीटर लेनी है। खड़ी चट्टान पर या जहाज़ के डेक पर खड़े व्यक्ति के लिए भी यही नियम है।

पास मतलब खड़ा कोण: अवनमन कोण जितना बड़ा हो, वस्तु उतनी ही पास होती है। 60° पर दिखने वाली नाव, 30° पर दिखने वाली नाव से चट्टान के ज़्यादा पास है। दो नावें हों, या कोई नाव चलते-चलते एक कोण से दूसरे कोण पर पहुँचे, तो ऐसे प्रश्न "दो कोण और गतिमान वस्तुएँ" वाले खंड में आएँगे।

हवाई जहाज़ या गुब्बारे से अवनमन

हवाई जहाज़, गुब्बारे या हेलीकॉप्टर को हवा में h ऊँचाई पर एक बिंदु मान लेते हैं। उससे भूमि तक खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखा त्रिभुज की ऊँचाई वाली भुजा है। जहाज़ से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा आकृति में बिंदुदार दिखाई गई है, और भूमि पर किसी जगह का अवनमन कोण इसी रेखा के नीचे नापा जाता है।

आकृति में हवाई जहाज़ 2400 मीटर की ऊँचाई पर है, और एक गाँव 30° के अवनमन कोण पर दिखता है। तो गाँव पर कोण 30° है, और

$$x = 2400\cot 30^\circ = 2400\sqrt{3} \text{ मीटर} \qquad L = \frac{2400}{\sin 30^\circ} = 4800 \text{ मीटर}$$

यहाँ x क्षैतिज दूरी है, यानी गाँव से भूमि पर उस बिंदु तक की दूरी, जो जहाज़ के ठीक नीचे है। L हवा में सीधी दूरी है। प्रश्न इन दोनों में से कोई भी पूछ सकता है। "गाँव, हवाई जहाज़ से कितनी दूर है" पूछा जाए, तो L चाहिए।

इकाइयाँ: हवाई जहाज़ की ऊँचाई किमी में भी दी जा सकती है, जैसे 2.4 किमी = 2400 मीटर। पूरा हल एक ही इकाई में कीजिए। विकल्प किमी में हों, तो अंत में किमी में बदल लीजिए। $2400\sqrt{3}$ मीटर = $2.4\sqrt{3}$ किमी, यानी लगभग 4.16 किमी।

गुब्बारे के साथ भी यही: एक गुब्बारा 150 मीटर ऊपर है, और उससे एक कार 45° के अवनमन कोण पर दिखती है। तो कार, गुब्बारे के ठीक नीचे वाले बिंदु से 150 मीटर दूर है, और गुब्बारे से $150\sqrt{2}$ मीटर दूर।

हवाई जहाज़ कुछ सेकंड के अंतर पर दो अलग कोणों पर दिखे, या गुब्बारा एकसमान चाल से ऊपर उठ रहा हो, तो प्रश्न चाल का हो जाता है। ऐसे प्रश्न "दो कोण और गतिमान वस्तुएँ" वाले खंड में देखेंगे।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

किसी मीनार के आधार से 45 मीटर दूर भूमि पर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) $45\sqrt{3}$ मीटर (b) $15\sqrt{3}$ मीटर (c) 90 मीटर (d) 45 मीटर

उत्तर: 60° का कोण भूमि वाले बिंदु पर है। ऊँचाई h उसके सामने है, और 45 मीटर उससे लगी हुई भुजा। तो $\tan 60^\circ = \frac{h}{45}$, यानी $h = 45 \times \sqrt{3}$ = (a) $45\sqrt{3}$ मीटर, लगभग 78 मीटर। जाँच भी कर लेते हैं। कोण 45° से अधिक है, तो मीनार 45 मीटर से ऊँची होनी चाहिए। $15\sqrt{3}$ मीटर तो लगभग 26 मीटर ही है, इसलिए वह सही हो ही नहीं सकता।

प्रश्न 2

किसी मंदिर के आधार से 72 मीटर दूर भूमि पर स्थित एक बिंदु से मंदिर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मंदिर की ऊँचाई कितनी है? (a) $72\sqrt{3}$ मीटर (b) 36 मीटर (c) $24\sqrt{3}$ मीटर (d) 24 मीटर

उत्तर: यहाँ 72 मीटर की दूरी 30° वाले कोण से लगी भुजा है, और ऊँचाई उसके सामने। $\tan 30^\circ = \frac{h}{72}$, तो $h = \frac{72}{\sqrt{3}}$। अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा करें, तो $\frac{72\sqrt{3}}{3} =$ (c) $24\sqrt{3}$ मीटर। प्रेक्षक वाले कोने पर केवल 30° है, तो मंदिर 72 मीटर से छोटा होगा। इसलिए $72\sqrt{3}$ मीटर वाला विकल्प तुरंत हट जाता है।

प्रश्न 3

भूमि पर स्थित एक बिंदु P से 18 मीटर ऊँचे एक खंभे के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। P, खंभे के आधार से कितनी दूर है? (a) $18\sqrt{3}$ मीटर (b) $6\sqrt{3}$ मीटर (c) 9 मीटर (d) $12\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: इस बार ऊँचाई ज्ञात है, और दूरी d निकालनी है। $\tan 60^\circ = \frac{18}{d}$, तो $\sqrt{3} \times d = 18$, और $d = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} =$ (b) $6\sqrt{3}$ मीटर। $1 : \sqrt{3} : 2$ वाले त्रिभुज से भी यही निकलता है। दूरी एक भाग है और खंभा $\sqrt{3}$ भाग। $12\sqrt{3}$ मीटर दो भाग है, यानी P से शिखर तक की दृष्टि रेखा की लंबाई, जो यहाँ पूछी ही नहीं गई।

प्रश्न 4

पानी की एक टंकी के आधार से 33 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° है। उस बिंदु से टंकी के शिखर तक की दृष्टि रेखा कितनी लंबी है? (a) 33 मीटर (b) 66 मीटर (c) $33\sqrt{3}$ मीटर (d) $33\sqrt{2}$ मीटर

उत्तर: 45° का मतलब है $1 : 1 : \sqrt{2}$ वाला त्रिभुज, तो टंकी भी 33 मीटर ऊँची है। दृष्टि रेखा कर्ण है, और कर्ण एक भुजा का $\sqrt{2}$ गुना होता है। तो उत्तर (d) $33\sqrt{2}$ मीटर है। विकल्प में दिया 33 मीटर तो ऊँचाई है, और प्रश्न ऊँचाई नहीं पूछ रहा।

प्रश्न 5

भूमि पर स्थित एक बिंदु से किसी चिमनी के शिखर तक की दृष्टि रेखा 90 मीटर लंबी है और भूमि के साथ 30° का कोण बनाती है। चिमनी की ऊँचाई कितनी है? (a) 45 मीटर (b) $45\sqrt{3}$ मीटर (c) $30\sqrt{3}$ मीटर (d) $45\sqrt{2}$ मीटर

उत्तर: 90 मीटर कर्ण है, और ऊँचाई 30° के सामने है। $h = 90\sin 30^\circ = 90 \times \frac{1}{2} =$ (a) 45 मीटर। $1 : \sqrt{3} : 2$ वाले त्रिभुज से देखें, तो 90 मीटर 2 भाग है और ऊँचाई 1 भाग। तीसरी भुजा $45\sqrt{3}$ मीटर है, पर वह तो बिंदु की चिमनी से दूरी है।

प्रश्न 6

एक मीनार $14\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है। भूमि पर स्थित एक बिंदु उसके आधार से 14 मीटर दूर है। उस बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण कितना है? (a) $30^\circ$ (b) $60^\circ$ (c) $45^\circ$ (d) $75^\circ$

उत्तर: $\tan\theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{दूरी}} = \frac{14\sqrt{3}}{14} = \sqrt{3}$, और $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ होता है। तो कोण (b) $60^\circ$ है। भिन्न उलट दें, तो $\frac{1}{\sqrt{3}}$ आएगा और 30° वाला गलत विकल्प चुन लिया जाएगा। इसीलिए ऊँचाई हमेशा ऊपर, यानी अंश में रखनी है।

प्रश्न 7

एक ध्वजदंड का ऊपरी सिरा भूमि से 25 मीटर ऊपर है। भूमि पर स्थित एक बिंदु P से उस ऊपरी सिरे तक की दृष्टि रेखा 50 मीटर लंबी है। P से ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण कितना है? (a) $60^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $30^\circ$ (d) $15^\circ$

उत्तर: ऊँचाई 25 मीटर है और कर्ण 50 मीटर। तो $\sin\theta = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$, यानी $\theta$ = (c) $30^\circ$। दृष्टि रेखा ऊँचाई की दोगुनी हो, तो कोण हमेशा 30° होता है। भूल से cos ले लिया, तो $\cos\theta = \frac{1}{2}$ से 60° आ जाएगा, और वह गलत है।

प्रश्न 8

किसी इमारत के आधार से 48 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\tan\theta = \frac{7}{24}$ है। उस बिंदु से इमारत के शिखर तक की दृष्टि रेखा कितनी लंबी है? (a) 14 मीटर (b) 62 मीटर (c) 25 मीटर (d) 50 मीटर

उत्तर: $\tan\theta = \frac{7}{24}$ का मतलब है ऊँचाई : दूरी = 7 : 24। त्रिक 7, 24, 25 है, तो दृष्टि रेखा 25 भाग होगी। दूरी 48 मीटर, यानी 24 भाग है, तो एक भाग 2 मीटर हुआ। इमारत 14 मीटर ऊँची है, और दृष्टि रेखा 25 × 2 = (d) 50 मीटर। कई लोग 25 मीटर पर ही रुक जाते हैं। वे त्रिक को एक भाग के मान से गुणा करना भूल जाते हैं।

प्रश्न 9

भूमि पर स्थित एक बिंदु से किसी मीनार के शिखर तक की दृष्टि रेखा 85 मीटर लंबी है, और शिखर का उन्नयन कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\sin\theta = \frac{8}{17}$ है। वह बिंदु मीनार के आधार से कितनी दूर है? (a) 75 मीटर (b) 40 मीटर (c) 80 मीटर (d) 45 मीटर

उत्तर: $\sin\theta = \frac{8}{17}$ से ऊँचाई 8 भाग और दृष्टि रेखा 17 भाग है। त्रिक 8, 15, 17 है, तो दूरी 15 भाग होगी। 85 मीटर = 17 भाग, तो एक भाग 5 मीटर। मीनार 40 मीटर ऊँची है, और दूरी 15 × 5 = (a) 75 मीटर। जाँच भी हो जाती है, $40^2 + 75^2 = 1600 + 5625 = 7225 = 85^2$।

प्रश्न 10

किसी मीनार के आधार से 60 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 15° है। $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ लेने पर मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) $60(2 + \sqrt{3})$ मीटर (b) $20\sqrt{3}$ मीटर (c) $60(2 - \sqrt{3})$ मीटर (d) $30(2 - \sqrt{3})$ मीटर

उत्तर: दूरी से ऊँचाई निकालनी हो, तो $h = d\tan\theta$ लगता है, कोण चाहे कोई भी हो। $h = 60\tan 15^\circ =$ (c) $60(2 - \sqrt{3})$ मीटर। $\sqrt{3} = 1.732$ से जाँच लेते हैं। यह 60 × 0.268, यानी लगभग 16.1 मीटर है। कोण छोटा है, तो इतनी दूरी के हिसाब से मीनार छोटी ही होनी चाहिए। $60(2 + \sqrt{3})$ मीटर तो तब आता, जब कोण 75° होता।

प्रश्न 11

एक लड़का, जिसकी आँखें भूमि से 1.5 मीटर ऊपर हैं, किसी मीनार से 36 मीटर दूर खड़ा है। उसे मीनार का शिखर 30° के उन्नयन कोण पर दिखाई देता है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) $12\sqrt{3}$ मीटर (b) $(36\sqrt{3} + 1.5)$ मीटर (c) $(12\sqrt{3} - 1.5)$ मीटर (d) $(12\sqrt{3} + 1.5)$ मीटर

उत्तर: त्रिभुज लड़के की आँखों से शुरू होता है, जो भूमि से 1.5 मीटर ऊपर हैं। आँखों से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा पर मीनार 36 मीटर दूर है। तो आँखों से ऊपर मीनार का भाग $36\tan 30^\circ = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ मीटर है। आँखों से नीचे मीनार का 1.5 मीटर भाग और है, तो पूरी मीनार (d) $(12\sqrt{3} + 1.5)$ मीटर है, लगभग 22.3 मीटर।

प्रश्न 12

एक व्यक्ति, जिसकी आँखें भूमि से 1.8 मीटर ऊपर हैं, 51.8 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर को 45° के उन्नयन कोण पर देखता है। वह मीनार से कितनी दूर है? (a) 50 मीटर (b) 51.8 मीटर (c) 53.6 मीटर (d) $50\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: पहले आँख की ऊँचाई घटा लेते हैं। शिखर आँखों से 51.8 − 1.8 = 50 मीटर ऊपर है। 45° पर दूरी इसी ऊँचाई के बराबर होती है, तो उत्तर (a) 50 मीटर है। 51.8 मीटर तब आता, जब कोण भूमि से नापा गया होता। पर कोण आँखों से नापा गया है।

प्रश्न 13

एक लड़की, जिसकी आँखें भूमि से 1.2 मीटर ऊपर हैं, किसी खंभे से 20 मीटर दूर खड़ी है। उसकी आँखों से खंभे के शिखर का उन्नयन कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\tan\theta = \frac{3}{4}$ है। खंभे की ऊँचाई कितनी है? (a) 15 मीटर (b) 13.8 मीटर (c) 16.2 मीटर (d) 26.2 मीटर

उत्तर: आँखों से ऊपर वाले भाग में ऊँचाई : दूरी = 3 : 4 है। दूरी 20 मीटर है, तो खंभे का वह भाग $20 \times \frac{3}{4} = 15$ मीटर हुआ। अब आँख की ऊँचाई जोड़ते हैं। खंभा = 15 + 1.2 = (c) 16.2 मीटर।

प्रश्न 14

54 मीटर ऊँची एक खड़ी चट्टान के शिखर से एक नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव, चट्टान के आधार से कितनी दूर है? (a) $18\sqrt{3}$ मीटर (b) $54\sqrt{3}$ मीटर (c) 108 मीटर (d) 54 मीटर

उत्तर: चट्टान के शिखर से नाव का अवनमन कोण, नाव से चट्टान के शिखर के उन्नयन कोण के बराबर होता है। तो 30° नाव वाले कोने पर है। $\tan 30^\circ = \frac{54}{d}$ से $d = 54\sqrt{3}$ आता है, यानी नाव (b) $54\sqrt{3}$ मीटर दूर है, लगभग 93.5 मीटर। $18\sqrt{3}$ मीटर वाला विकल्प तब आता है, जब कोई 30° को चट्टान के शिखर पर, चट्टान की खड़ी सतह और दृष्टि रेखा के बीच रख दे।

प्रश्न 15

किसी प्रकाश स्तंभ के शिखर से एक जहाज़ का अवनमन कोण 60° है। जहाज़, प्रकाश स्तंभ के आधार से 40 मीटर दूर है। प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई कितनी है? (a) $\frac{40\sqrt{3}}{3}$ मीटर (b) $40\sqrt{3}$ मीटर (c) 80 मीटर (d) $20\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: 60° का कोण जहाज़ वाले कोने में आता है। उसके सामने ऊँचाई h है, और उससे लगी हुई 40 मीटर की दूरी। $h = 40\tan 60^\circ =$ (b) $40\sqrt{3}$ मीटर। 60° का अवनमन कोण काफ़ी खड़ा है, तो प्रकाश स्तंभ 40 मीटर से बहुत ऊँचा होना चाहिए। उत्तर लगभग 69 मीटर है, तो यह ठीक है।

प्रश्न 16

21 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से सड़क पर स्थित एक कार का अवनमन कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\sin\theta = \frac{3}{5}$ है। कार, इमारत के आधार से कितनी दूर है? (a) 35 मीटर (b) 15.75 मीटर (c) 12.6 मीटर (d) 28 मीटर

उत्तर: अवनमन कोण $\theta$ कार वाले कोने में आता है। $\sin\theta = \frac{3}{5}$ का मतलब है ऊँचाई 3 भाग और दृष्टि रेखा 5 भाग, तो त्रिक 3, 4, 5 से दूरी 4 भाग होगी। ऊँचाई 21 मीटर = 3 भाग, तो एक भाग 7 मीटर। कार 4 × 7 = (d) 28 मीटर दूर है। 35 मीटर तो इमारत के शिखर से कार तक की दृष्टि रेखा है।

प्रश्न 17

50 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से सड़क पर स्थित एक कार तक की दृष्टि रेखा, इमारत की दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है। कार, इमारत के आधार से कितनी दूर है? (a) $\frac{50\sqrt{3}}{3}$ मीटर (b) $50\sqrt{3}$ मीटर (c) 25 मीटर (d) 100 मीटर

उत्तर: यह 30° दीवार से नापा गया है, और दीवार ऊर्ध्वाधर है। इसलिए यह अवनमन कोण नहीं है। अवनमन कोण = 90° − 30° = 60° है, और कार पर कोण भी 60° है। तो $\tan 60^\circ = \frac{50}{d}$, और $d = \frac{50}{\sqrt{3}} =$ (a) $\frac{50\sqrt{3}}{3}$ मीटर, लगभग 28.9 मीटर। ऊपर वाले कोने से हल करें, यानी $\tan 30^\circ = \frac{d}{50}$ लें, तो भी यही आता है। जो 30° को ही अवनमन कोण मान ले, उसे कार $50\sqrt{3}$ मीटर दूर मिलेगी, जो गलत है।

प्रश्न 18

36 मीटर ऊँची एक खड़ी चट्टान के शिखर से समुद्र में एक नाव की सीधी दूरी 72 मीटर है। नाव का अवनमन कोण कितना है? (a) $60^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $75^\circ$ (d) $30^\circ$

उत्तर: 72 मीटर दृष्टि रेखा है, यानी कर्ण, और यह ठीक ऊँचाई का दोगुना है। नाव पर बने कोण के लिए $\sin = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$, तो वह कोण 30° है। अवनमन कोण नाव पर बने कोण के बराबर होता है, तो उत्तर (d) $30^\circ$ है।

प्रश्न 19

किसी प्रकाश स्तंभ के शिखर से एक नाव 45° के अवनमन कोण पर दिखाई देती है। प्रकाश स्तंभ के शिखर से नाव तक की सीधी दूरी $65\sqrt{2}$ मीटर है। प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई कितनी है? (a) $65\sqrt{2}$ मीटर (b) 130 मीटर (c) 65 मीटर (d) $65\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: 45° पर ऊँचाई और दूरी बराबर होती हैं, और दृष्टि रेखा इनमें से किसी का भी $\sqrt{2}$ गुना होती है। तो ऊँचाई = $\frac{65\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =$ (c) 65 मीटर। नाव भी आधार से 65 मीटर दूर है।

प्रश्न 20

80 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से सड़क पर स्थित एक कार का अवनमन कोण 60° है। कार, मीनार के आधार से कितनी दूर है? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए और उत्तर दशमलव के दो स्थानों तक दीजिए।) (a) 138.56 मीटर (b) 46.19 मीटर (c) 92.38 मीटर (d) 40.00 मीटर

उत्तर: 60° का कोण कार वाले कोने में आता है, तो $d = \frac{80}{\tan 60^\circ} = \frac{80}{\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{3}}{3}$। अब मान रखते हैं, $\frac{80 \times 1.732}{3} = \frac{138.56}{3} = 46.187$। गोल करने पर (b) 46.19 मीटर मिलता है। 138.56 मीटर वाला विकल्प $80\sqrt{3}$ है। यह तब आता है, जब कोई tan और cot की अदला-बदली कर दे।

प्रश्न 21

900 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे एक छोटे हवाई जहाज़ से भूमि पर स्थित एक हेलीपैड 30° के अवनमन कोण पर दिखाई देता है। हवाई जहाज़ और हेलीपैड के बीच की सीधी दूरी कितनी है? (a) $900\sqrt{3}$ मीटर (b) $600\sqrt{3}$ मीटर (c) 450 मीटर (d) 1800 मीटर

उत्तर: 900 मीटर की ऊँचाई हेलीपैड पर बने 30° के कोण के सामने है, और सीधी दूरी कर्ण है। $1 : \sqrt{3} : 2$ वाले त्रिभुज में ऊँचाई 1 भाग है, तो कर्ण 2 भाग होगा, यानी (d) 1800 मीटर। $900\sqrt{3}$ मीटर तो भूमि पर की वह दूरी है, जो हेलीपैड से जहाज़ के ठीक नीचे वाले बिंदु तक है।

प्रश्न 22

एक गुब्बारा भूमि से 250 मीटर ऊपर है। गुब्बारे से भूमि पर स्थित एक बिंदु P का अवनमन कोण 30° है। P, भूमि पर गुब्बारे के ठीक नीचे वाले बिंदु से कितनी दूर है? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।) (a) 144.33 मीटर (b) 500 मीटर (c) 433 मीटर (d) 216.5 मीटर

उत्तर: P पर कोण 30° है। ऊँचाई 250 मीटर उसके सामने है, और जो दूरी चाहिए, वह उससे लगी हुई भुजा है। $d = 250\cot 30^\circ = 250\sqrt{3} = 250 \times 1.732 =$ (c) 433 मीटर। उत्तर ठीक है या नहीं, यह भी देख लेते हैं। 30° का अवनमन कोण छोटा है, यानी दृष्टि रेखा हल्की ढलान की तरह नीचे आती है। तो P, 250 मीटर से काफ़ी ज़्यादा दूर होना चाहिए, और है भी।

प्रश्न 23

एक व्यक्ति 48 मीटर ऊँची एक खड़ी चट्टान के किनारे पर खड़ा है। उसकी आँखें चट्टान के शिखर से 1.6 मीटर ऊपर हैं, और उसे एक नाव 30° के अवनमन कोण पर दिखाई देती है। नाव, चट्टान के आधार से कितनी दूर है? (a) $48\sqrt{3}$ मीटर (b) $49.6\sqrt{3}$ मीटर (c) $46.4\sqrt{3}$ मीटर (d) $\frac{49.6\sqrt{3}}{3}$ मीटर

उत्तर: व्यक्ति की आँखें समुद्र से 48 + 1.6 = 49.6 मीटर ऊपर हैं, और 30° का कोण आँखों से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा से नापा गया है। तो त्रिभुज की ऊँचाई 49.6 मीटर लेनी है। $d = 49.6\cot 30^\circ =$ (b) $49.6\sqrt{3}$ मीटर, लगभग 85.9 मीटर।