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दो त्रिभुज, भुजाएँ भागों में

परीक्षा में ऊँचाई और दूरी का लगभग हर प्रश्न एक समकोण त्रिभुज पर टिका होता है। कभी-कभी दो समकोण त्रिभुज होते हैं, जिनकी एक भुजा साझी होती है। कोण भी ज़्यादातर $30^\circ$, $45^\circ$ या $60^\circ$ ही होते हैं। हल तो छोटा ही होता है। समय आकृति बनाने में जाता है, और यह तय करने में कि किस भुजा से शुरू करें।

आगे हम आम प्रश्नों के छोटे रास्ते देखेंगे। ज़्यादातर के साथ यह भी देखेंगे कि वे कहाँ नहीं चलते।

एक नियम बना लीजिए। हर प्रश्न में कच्ची आकृति ज़रूर बनाइए, चाहे प्रश्न एक ही पंक्ति का हो। आकृति सामने हो, तो तुरंत दिख जाता है कि कौन-सी भुजा ऊँचाई है और कौन-सी दूरी।

साथ ही इन दो त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात याद कर लीजिए।

• $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ वाले त्रिभुज में भुजाएँ $1 : \sqrt{3} : 2$ के अनुपात में होती हैं। $30^\circ$ के सामने वाली भुजा 1 भाग है, $60^\circ$ के सामने वाली $\sqrt{3}$ भाग, और कर्ण 2 भाग।
• $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ वाले त्रिभुज में भुजाएँ $1 : 1 : \sqrt{2}$ के अनुपात में होती हैं। यहाँ ऊँचाई और दूरी बराबर होती हैं, और दृष्टि रेखा इनमें से हर एक की $\sqrt{2}$ गुनी।

अब हिसाब ऐसे कीजिए। पहले देखिए कि जो भुजा दी है, वह कितने भाग की है। उससे एक भाग का मान निकाल लीजिए। फिर उसी मान से गुणा करके बाकी भुजाएँ लिख दीजिए।

जैसे किसी मीनार के आधार से 18 मीटर दूर एक बिंदु है, और वहाँ से मीनार का शिखर $60^\circ$ पर दिखता है। दूरी वाली भुजा शिखर पर बने $30^\circ$ के सामने है, तो 1 भाग 18 मीटर का हुआ। ऊँचाई $\sqrt{3}$ भाग है, यानी $18\sqrt{3}$ मीटर। दृष्टि रेखा 2 भाग है, तो वह 36 मीटर हुई। यहाँ tan या cos लगाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। कौन-सी भुजा कितने भाग की है, यह कोण देखकर तय होता है, "ऊँचाई" या "दूरी" नाम देखकर नहीं। प्रेक्षक पर कोण $30^\circ$ हो, तो ऊँचाई 1 भाग होती है। कोण $60^\circ$ हो, तो दूरी 1 भाग होती है। इसलिए भागों से गुणा करने से पहले मीनार के शिखर वाला कोण भी आकृति में लिख लीजिए।

दूरी से ऊँचाई, ऊँचाई से दूरी

प्रेक्षक पर उन्नयन कोण (angle of elevation) $\theta$ हो, तो दूरी पता होने पर ऊँचाई $h = d\tan\theta$ से मिलती है। ऊँचाई पता हो, तो दूरी $d = h\cot\theta$ से मिलती है।

तीनों मानक कोणों पर ये सब एक ही कदम में हो जाते हैं।

हल करते समय कभी-कभी tan और cot आपस में बदल जाते हैं। इस गलती को तुरंत पकड़ने का एक आसान तरीका है। कोण $45^\circ$ से कम हो, तो ऊँचाई दूरी से छोटी होगी। कोण $45^\circ$ से अधिक हो, तो ऊँचाई दूरी से बड़ी होगी।

उदाहरण के लिए, एक पतंग भूमि से 42 मीटर ऊपर है। उसकी डोरी सीधी तनी हुई है और भूमि के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है। यहाँ डोरी ही दृष्टि रेखा है। तो डोरी की लंबाई $\frac{2 \times 42}{\sqrt{3}} = \frac{84}{\sqrt{3}} = 28\sqrt{3}$ मीटर है, यानी लगभग 48.5 मीटर।

पर एक बात ध्यान रखिए। तालिका वाला h आँख से नापा जाता है, या उस हाथ से जिसमें डोरी पकड़ी है। वह बिंदु भूमि से ऊपर हो, तो प्रेक्षक की ऊँचाई वाला तरीका लगाइए। यह तरीका इसी खंड में थोड़ा आगे आएगा।

अवनमन कोण वस्तु पर भी वही

खड़ी चट्टान के शिखर से नीचे कोई नाव दिखे, तो शिखर पर नाव का अवनमन कोण (angle of depression) उतना ही होता है, जितना नाव से शिखर का उन्नयन कोण। वजह सीधी है। आँख से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा भूमि के समांतर है, और ये दोनों कोण एकांतर कोण हैं।

इसलिए आकृति में कोण एक ही बार लिखिए, और वह भी नाव पर। अब यह उन्नयन कोण वाला एक साधारण प्रश्न रह जाता है।

मान लीजिए 32 मीटर ऊँचे प्रकाश स्तंभ के शिखर से एक नाव $30^\circ$ के अवनमन कोण पर दिखती है। तो नाव पर उन्नयन कोण भी $30^\circ$ है। नाव आधार से $32\sqrt{3}$ मीटर दूर है, और दृष्टि रेखा $2 \times 32 = 64$ मीटर लंबी है।

यहाँ लोग अक्सर कोण गलत रेखा से नाप लेते हैं। अवनमन कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर नापा जाता है, ऊर्ध्वाधर से कभी नहीं। कभी प्रश्न दृष्टि रेखा और मीनार के बीच का कोण देता है। तब अवनमन कोण $90^\circ$ में से वह कोण घटाकर मिलता है।

प्रेक्षक की ऊँचाई: आँख वाली रेखा से ऊपर

प्रेक्षक की आँखें भूमि से कुछ ऊपर हों, तो सबसे पहले आँख से होकर एक क्षैतिज रेखा खींचिए। समकोण त्रिभुज इसी रेखा के ऊपर बनता है। उसकी खड़ी भुजा पूरी मीनार नहीं है। मीनार की ऊँचाई में से आँख की ऊँचाई घटाने पर जो बचता है, वही खड़ी भुजा है।

हल इसी त्रिभुज में कीजिए। अगर भूमि से ऊँचाई पूछी गई हो, तो अंत में आँख की ऊँचाई वापस जोड़ दीजिए।

एक लड़के की आँखें भूमि से 1.4 मीटर ऊपर हैं। वह 12.6 मीटर दूर से एक खंभे का शिखर $45^\circ$ पर देखता है। $45^\circ$ पर ऊँचाई दूरी के बराबर होती है, तो उसकी आँखों से ऊपर खंभा 12.6 मीटर है। पूरा खंभा $12.6 + 1.4 = 14$ मीटर ऊँचा है।

प्रेक्षक चलता हो, तो चली गई दूरी पर आँख की ऊँचाई का कोई असर नहीं पड़ता। दोनों बिंदुओं पर आँख की ऊँचाई एक जैसी है, इसलिए चलने वाले हिसाब में वह कट जाती है। उसे केवल तब जोड़ना पड़ता है, जब ऊँचाई भूमि से नापनी हो।

[SSC टिप] प्रश्न में आँख की ऊँचाई दी है, पर आपके हल में वह कहीं काम नहीं आई, तो हल दोबारा देखिए। आँख की ऊँचाई छोड़कर जो उत्तर आता है, वह भी विकल्पों में दिया होता है, पर वह गलत है।

30° से 60°: चली दूरी, बची दूरी की दोगुनी

मान लीजिए प्रेक्षक सीधा मीनार की ओर चलता है और शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ से बढ़कर $60^\circ$ हो जाता है। या शिखर से किसी कार या नाव को देखा जा रहा है और उसका अवनमन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हो जाता है। दोनों में बात एक ही है।

मीनार की ऊँचाई h लीजिए। पहले बिंदु की आधार से दूरी $\sqrt{3}h$ है और दूसरे बिंदु की $\frac{h}{\sqrt{3}}$। चली दूरी इन दोनों का अंतर है, यानी $\frac{2h}{\sqrt{3}}$। यह बची दूरी का ठीक दोगुना है।

इसलिए चली दूरी को सीधे 2x मान लीजिए। फिर ये तीन बातें तुरंत लिख सकते हैं।

• आधार तक बची दूरी x है, और पहली दूरी 3x।
• ऊँचाई $\sqrt{3}x$ है, यानी चली दूरी का $\frac{\sqrt{3}}{2}$।
• दूसरी दृष्टि रेखा BT चली दूरी के बराबर है।

आख़िरी बात का कारण देखिए। शिखर पर बना कोण $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ है, जो A वाले कोण के बराबर है। तो त्रिभुज ABT समद्विबाहु है, और AB = BT। जब भी दूसरा कोण पहले का दोगुना हो, ऐसा ही होता है।

एक उदाहरण लेते हैं। एक व्यक्ति मंदिर की ओर 54 मीटर चलता है, और शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हो जाता है। तो अब वह आधार से 27 मीटर दूर है, और शुरू में 81 मीटर दूर था। मंदिर $27\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा है, यानी लगभग 46.77 मीटर।

बस इतना याद रखिए कि दोगुने वाली यह बात केवल $30^\circ$ और $60^\circ$ के लिए है। कोणों की कोई दूसरी जोड़ी हो, तो अगला तरीका लगाइए।

कोई भी दो कोण: cot से एक पंक्ति

दो बिंदुओं से एक ही शिखर दिखे, जिसकी ऊँचाई h है, तो हर बिंदु की आधार से दूरी निकालने के लिए h को उसी बिंदु वाले कोण के cot से गुणा कीजिए। अब दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी d हो, तो दो स्थितियाँ हैं।

• दोनों बिंदु मीनार के एक ही ओर हों, तो $d = h(\cot\alpha - \cot\beta)$। यहाँ $\beta$ बड़ा कोण है, जो पास वाले बिंदु से बनता है।
• दोनों बिंदु विपरीत ओर हों, तो $d = h(\cot\alpha + \cot\beta)$।

मानक कोणों की जोड़ियों के लिए यह हिसाब एक बार करके रख लें, तो ऊँचाई सीधे $h = k \times d$ से मिल जाती है। k इस तालिका से लीजिए।

मान लीजिए A और B मीनार के विपरीत ओर हैं और आपस में 70 मीटर दूर हैं। इनसे शिखर $30^\circ$ और $45^\circ$ पर दिखता है। तालिका से $h = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \times 70 = 35(\sqrt{3} - 1)$ मीटर आता है, यानी लगभग 25.62 मीटर।

तुलना के लिए वही 70 मीटर लीजिए, पर दोनों बिंदु एक ही ओर रखिए। अब ऊँचाई $35(\sqrt{3} + 1)$ मीटर आती है, जो लगभग 95.62 मीटर है।

ध्यान रखिए, इस तरीके में d दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी है। अगर प्रश्न हर बिंदु की आधार से दूरी ही दे दे, तो कुछ घटाना नहीं है। किसी भी एक बिंदु पर $h = d\tan\theta$ लगा दीजिए।

कोटिपूरक कोण: दोनों दूरियों का गुणा

कभी-कभी दो बिंदुओं से शिखर के उन्नयन कोण कोटिपूरक कोण (complementary angles) होते हैं, यानी दोनों का योग $90^\circ$ होता है। आधार से दोनों बिंदुओं की दूरियाँ a और b पता हों, तो ऊँचाई तुरंत निकल आती है। बिंदु एक ही ओर हों या विपरीत ओर, यह तरीका दोनों में चलता है।

इसके पीछे का हिसाब सीधा है। दूर वाले बिंदु पर कोण $\theta$ मान लीजिए, तो $\tan\theta = \frac{h}{b}$। पास वाले बिंदु पर कोण $90^\circ - \theta$ है, तो वहाँ से $\cot\theta = \frac{h}{a}$ मिलता है। tan और cot का गुणनफल 1 होता है, इसलिए

$$h^2 = ab, \qquad h = \sqrt{ab}$$

जैसे दो बिंदु आधार से 8 मीटर और 18 मीटर दूर हैं। तो $h = \sqrt{8 \times 18} = \sqrt{144} = 12$ मीटर। बड़ा कोण पास वाले बिंदु पर बनेगा।

दो बातों का ध्यान रखिए। पहली, a और b आधार से नापी गई दूरियाँ ही होनी चाहिए। कभी प्रश्न केवल दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी देता है। तब पहले हर बिंदु की आधार से दूरी निकालिए।

दूसरी, कोणों का योग ठीक $90^\circ$ होना चाहिए। $30^\circ$ और $60^\circ$ हों, तो तरीका चलेगा। $30^\circ$ और $45^\circ$ पर नहीं चलेगा।

छाया: एक सूर्य, एक अनुपात

छाया वाले प्रश्नों में तीन बातें काम आती हैं।

• छाया त्रिभुज की दूरी वाली भुजा है, यानी छाया $= h\cot\theta$। यहाँ $\theta$ सूर्य का उन्नयन कोण है। छाया ऊँचाई के बराबर हो, तो सूर्य $45^\circ$ पर है। छाया ऊँचाई की $\sqrt{3}$ गुनी हो, तो $30^\circ$ पर। और ऊँचाई छाया की $\sqrt{3}$ गुनी हो, तो $60^\circ$ पर।
• एक ही क्षण में सूर्य हर चीज़ के साथ एक ही कोण बनाता है। इसलिए ऊँचाई और छाया का अनुपात व्यक्ति, खंभे, इमारत, सबके लिए एक जैसा रहता है।
• सूर्य ढलते हुए $60^\circ$ से $45^\circ$ पर और फिर $30^\circ$ पर आए, तो हर बार छाया $\sqrt{3}$ गुनी लंबी हो जाती है। सूर्य $60^\circ$ से सीधे $30^\circ$ पर आए, तो छाया 3 गुनी लंबी हो जाती है। यानी छाया पहले जितनी थी, उसका दोगुना और बढ़ जाती है।

मान लीजिए सूर्य का उन्नयन कोण $60^\circ$ है और खंभे की छाया 7 मीटर। सूर्य $30^\circ$ पर आएगा, तो छाया $3 \times 7 = 21$ मीटर हो जाएगी, यानी 14 मीटर बढ़ जाएगी। खंभा $7\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा है।

अनुपात वाला नियम तभी लगता है, जब छायाएँ एक ही क्षण की हों, यानी सूर्य का कोण एक ही हो। अलग-अलग समय पर नापी गई छायाओं के लिए हर समय का कोण अलग से चाहिए।

टूटा पेड़: शिखर गिरने की जगह से पूरा पेड़

आँधी में पेड़ टूटकर झुक जाए, तो खड़ा भाग, भूमि और टूटा भाग मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इसमें टूटा भाग कर्ण होता है।

मान लीजिए शिखर आधार से d मीटर दूर भूमि को छूता है और भूमि के साथ $\theta$ कोण बनाता है। तब पेड़ की ऊँचाई $d(\tan\theta + \sec\theta)$ थी। मानक कोणों पर यह और भी आसान हो जाता है।

• $30^\circ$ पर टूटा भाग खड़े भाग का दोगुना होता है, और पूरा पेड़ $\sqrt{3}d$।
• $45^\circ$ पर पेड़ $(1 + \sqrt{2})d$ होता है।
• $60^\circ$ पर पेड़ $(2 + \sqrt{3})d$ होता है।

जैसे किसी पेड़ का शिखर आधार से 12 मीटर दूर गिरा, और टूटा भाग भूमि के साथ $30^\circ$ बनाता है। तो पेड़ $12\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा था, यानी लगभग 20.78 मीटर। इसमें खड़ा भाग $4\sqrt{3}$ मीटर है और टूटा भाग $8\sqrt{3}$ मीटर।

प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि कौन-सा कोण दिया है। टूटा भाग खड़े भाग के साथ $60^\circ$ बनाए, तो भूमि के साथ उसका कोण $30^\circ$ है।

सड़क के आर-पार सीढ़ी: दोनों दूरियाँ जोड़ें

दीवार से टिकी सीढ़ी को देखिए। L लंबी सीढ़ी भूमि के साथ $\alpha$ कोण बनाए, तो उसका निचला सिरा दीवार से $L\cos\alpha$ दूर होता है, और ऊपरी सिरा दीवार पर $L\sin\alpha$ ऊँचाई तक पहुँचता है।

अब वही सीढ़ी सड़क पर है। उसका निचला सिरा एक ही जगह स्थिर है, और उसे घुमाकर सड़क के दोनों ओर की खिड़कियों तक लगाया जाता है। तब निचले सिरे से दोनों दीवारों तक की दूरियाँ जोड़ दीजिए। यही सड़क की चौड़ाई है, यानी $L(\cos\alpha + \cos\beta)$।

22 मीटर लंबी एक सीढ़ी लीजिए। एक दीवार की ओर वह भूमि के साथ $60^\circ$ बनाती है और दूसरी की ओर $30^\circ$। तो सड़क $22\cos 60^\circ + 22\cos 30^\circ = 11 + 11\sqrt{3}$ मीटर चौड़ी है, जो लगभग 30.05 मीटर है। खिड़कियाँ भूमि से $11\sqrt{3}$ मीटर और 11 मीटर ऊपर हैं।

कभी सीढ़ी दीवार पर नीचे खिसकती है। तब भी उसकी लंबाई नहीं बदलती। इसलिए खिसकने से पहले और बाद, दोनों बार लंबाई का वर्ग, ऊँचाई के वर्ग और निचले सिरे की दूरी के वर्ग के योग के बराबर होता है। यह पाइथागोरस प्रमेय है, जो अध्याय 12 "ज्यामिति" में आ चुका है।

आधार तक पहुँचने में बचा समय

कोई कार या नाव एकसमान चाल से सीधे मीनार के आधार की ओर आ रही है। शिखर से उसका अवनमन कोण t मिनट में बदल जाता है, और पूछा जाता है कि आधार तक पहुँचने में उसे और कितना समय लगेगा।

चाल एक जैसी है, इसलिए समय दूरी के हिसाब से ही लगता है। मीनार की ऊँचाई जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

• कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हो, तो बची दूरी चली दूरी की आधी है। इसलिए बचा समय $\frac{t}{2}$ है।
• कोण $30^\circ$ से $45^\circ$ या $45^\circ$ से $60^\circ$ हो, तो बची दूरी चली दूरी की $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ गुनी है। तब बचा समय $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}t$ है, यानी लगभग $1.37t$।

जैसे अवनमन कोण 12 मिनट में $30^\circ$ से $60^\circ$ हो गया। तो कार को 6 मिनट और लगेंगे। और अगर कोण 22 मिनट में $45^\circ$ से $60^\circ$ हुआ हो, तो बचा समय $11(\sqrt{3} + 1)$ मिनट है, लगभग 30 मिनट।

यह तरीका तभी चलेगा, जब कार आधार से होकर जाने वाली रेखा पर ही चले, और पूरे समय उसकी चाल एक जैसी रहे।

[SSC टिप] $30^\circ$ से $60^\circ$ वाले प्रश्न में t के बराबर वाला विकल्प भी दिया होता है। यह उत्तर तब आता है, जब कोई बचा समय भी बीते समय जितना मान लेता है। पर कार अब पास आ चुकी है, इसलिए उसे कम समय लगेगा।

दो कोणों से चाल

हवाई जहाज़ h ऊँचाई पर क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है, और उसका उन्नयन कोण $\alpha$ से बदलकर $\beta$ हो जाता है। इतने समय में उसने कितनी दूरी तय की, यह इस पर निर्भर करता है कि वह किधर से गुज़रा।

• प्रेक्षक के एक ही ओर रहा हो, तो दूरी $h(\cot\alpha - \cot\beta)$ है।
• प्रेक्षक के ठीक ऊपर से गुज़रा हो, तो दूरी $h(\cot\alpha + \cot\beta)$ है।

चाल के लिए इस दूरी को समय से भाग दे दीजिए। कोण $60^\circ$ से $30^\circ$ हो और जहाज़ एक ही ओर रहे, तो दूरी $h\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ आती है। चाल मीटर/सेकंड में आए और उत्तर किमी/घंटा में चाहिए, तो $\frac{18}{5}$ से गुणा कीजिए। यह अध्याय 10 "समय, चाल और दूरी" में आ चुका है।

एक उदाहरण देखिए। हवाई जहाज़ $1250\sqrt{3}$ मीटर की ऊँचाई पर क्षैतिज उड़ रहा है। 20 सेकंड में उसका उन्नयन कोण $60^\circ$ से घटकर $30^\circ$ रह जाता है। तो उसने $\frac{2 \times 1250\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2500$ मीटर की दूरी तय की, और उसकी चाल 125 मीटर/सेकंड हुई। किमी/घंटा में यह $125 \times \frac{18}{5} = 450$ किमी/घंटा है।

गुब्बारे वाले प्रश्न में बात थोड़ी अलग है। गुब्बारा प्रेक्षक से d मीटर दूर किसी बिंदु से सीधा ऊपर उठता है। यहाँ ऊँचाई नहीं, दूरी स्थिर रहती है। इसलिए दो बार कोण नापने के बीच गुब्बारा $d(\tan\beta - \tan\alpha)$ ऊपर उठता है।

चबूतरे पर मूर्ति: tan की तुलना

इस तरह के प्रश्न में भूमि के एक ही बिंदु से दो कोण नापे जाते हैं। चबूतरे (या इमारत) का ऊपरी सिरा $\alpha$ पर दिखता है, और उस पर खड़ी मूर्ति (या ध्वजदंड) का ऊपरी सिरा $\beta$ पर।

दोनों ऊँचाइयाँ एक ही दूरी d पर हैं, इसलिए उनका अनुपात सीधे tan का अनुपात है।

$$\frac{\text{चबूतरा}}{\text{चबूतरा} + \text{मूर्ति}} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}$$

• $30^\circ$ और $60^\circ$ पर यह अनुपात $1 : 3$ है, यानी चबूतरा मूर्ति का आधा है।
• $45^\circ$ और $60^\circ$ पर, या $30^\circ$ और $45^\circ$ पर, अनुपात $1 : \sqrt{3}$ है। तब चबूतरा मूर्ति का $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ गुना होता है।

उदाहरण के लिए, 4.2 मीटर ऊँची एक मूर्ति एक चबूतरे पर खड़ी है। भूमि के एक बिंदु से चबूतरे का ऊपरी सिरा $30^\circ$ पर और मूर्ति का ऊपरी सिरा $60^\circ$ पर दिखता है। पूरी ऊँचाई के 3 भाग कीजिए। चबूतरा 1 भाग है और मूर्ति बाकी 2 भाग। तो चबूतरा 2.1 मीटर ऊँचा है।

एक शर्त ज़रूरी है। दोनों कोण एक ही बिंदु से नापे गए हों। अगर दो बार कोण नापने के बीच प्रेक्षक अपनी जगह से चला हो, तो ऊपर वाले दो कोणों वाले तरीके लगाइए।

शिखर का उन्नयन, आधार का अवनमन

मान लीजिए आप h ऊँची इमारत के शिखर पर खड़े हैं। सामने इमारत से ऊँची एक मीनार है, जिसकी ऊँचाई H है। उसका शिखर उन्नयन कोण $\alpha$ पर दिखता है और उसका आधार अवनमन कोण $\beta$ पर।

आँख से होकर एक क्षैतिज रेखा खींचिए। यह मीनार को दो हिस्सों में बाँट देती है। नीचे वाला हिस्सा h है और ऊपर वाला $H - h$। दोनों एक ही दूरी d पर हैं, इसलिए

$$\frac{H - h}{h} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}$$

मानक कोणों पर यह इस तरह निकलता है।

• उन्नयन $60^\circ$ और अवनमन $30^\circ$ हो, तो $H - h = 3h$, यानी $H = 4h$।
• उन्नयन $30^\circ$ और अवनमन $60^\circ$ हो, तो $H - h = \frac{h}{3}$, यानी $H = \frac{4h}{3}$।
• उन्नयन $45^\circ$ और अवनमन $30^\circ$ हो, तो $H = (1 + \sqrt{3})h$।

संख्याएँ रखकर देखिए। इमारत 21 मीटर ऊँची है, उन्नयन $60^\circ$ है और अवनमन $30^\circ$। तो मीनार $4 \times 21 = 84$ मीटर ऊँची है, और दोनों के बीच $21\sqrt{3}$ मीटर की दूरी है।

कभी दूसरी मीनार इमारत से छोटी होती है। तब दोनों कोण अवनमन कोण होते हैं, और छोटी मीनार की ऊँचाई $h\left(1 - \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}\right)$ होती है। यहाँ $\alpha$ उसके शिखर का अवनमन कोण है।

[SSC टिप] दोनों कोण आपस में बदल जाएँ, तो उत्तर $4h$ की जगह $\frac{4h}{3}$ आ जाता है। विकल्प चुनने से पहले देख लीजिए कि कौन-सा कोण ऊपर शिखर तक जाता है और कौन-सा नीचे आधार तक।

आकृति से उत्तर की जाँच

विकल्प पर निशान लगाने से पहले उसे एक बार अपनी आकृति पर परख लीजिए। ये बातें हमेशा सही रहती हैं।

• दृष्टि रेखा अपने त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। वह ऊँचाई से भी लंबी होती है और दूरी से भी।
• कोण $45^\circ$ से कम हो, तो ऊँचाई दूरी से कम होती है। $45^\circ$ से अधिक हो, तो ऊँचाई दूरी से अधिक।
• दो बिंदुओं से एक ही शिखर देखा जाए, तो पास वाले बिंदु पर कोण बड़ा होता है। इसलिए मीनार की ओर चलने पर कोण हमेशा बढ़ता है।
• सूर्य ढले, तो छाया बढ़ती है। और टूटा पेड़ हमेशा उस दूरी से ऊँचा था, जो आधार से शिखर गिरने की जगह तक है।
• एक ही ओर वाले प्रश्नों में पहली दूरी चली दूरी से अधिक होती है।

जैसे किसी मीनार का शिखर 45 मीटर दूर के एक बिंदु से $30^\circ$ पर दिखता है, और एक विकल्प 77.94 मीटर है। इसे मानें, तो ऊँचाई दूरी से अधिक हो जाएगी, जबकि कोण $45^\circ$ से कम है। ऐसा हो नहीं सकता। यह विकल्प $45\sqrt{3}$ है, जो cot लगाने से आता है। सही ऊँचाई $\frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3}$ मीटर है, लगभग 25.98 मीटर।

दशमलव विकल्प: 1.732 आख़िरी कदम पर

विकल्प दशमलव में हों, तब भी आख़िरी पंक्ति तक हल करणी में ही रखिए। दशमलव मान सबसे अंत में डालिए। ये मान याद होने चाहिए।

भिन्न के हर में करणी हो, तो पहले परिमेयकरण करके उसे हटा दीजिए। जैसे $\frac{50}{\sqrt{3} - 1} = \frac{50(\sqrt{3} + 1)}{2} = 25 \times 2.732 = 68.3$। 0.732 से भाग देने के मुक़ाबले 2.732 से गुणा करना जल्दी हो जाता है।

विकल्पों से भी पता चल जाता है कि कौन-सा तरीका लगा है। $30^\circ$-$45^\circ$ और $45^\circ$-$60^\circ$ वाली जोड़ियों में यह साफ़ दिखता है। मान लीजिए बिंदुओं के बीच की दूरी दी है और ऊँचाई निकालनी है। बिंदु एक ही ओर हों, तो उत्तर में $(\sqrt{3} + 1)$ आता है, और विपरीत ओर हों, तो $(\sqrt{3} - 1)$। ऊँचाई देकर बीच की दूरी पूछी जाए, तो ठीक उलटा होता है।

अब एक प्रश्न लेते हैं। 40 मीटर ऊँची खड़ी चट्टान के शिखर से एक ही ओर की दो नावें $45^\circ$ और $30^\circ$ के अवनमन कोण पर दिखती हैं। उनके बीच की दूरी $40\sqrt{3} - 40 = 40(\sqrt{3} - 1) = 40 \times 0.732 = 29.28$ मीटर है।

मान लीजिए विकल्प 29.28 मीटर, 69.28 मीटर, 109.28 मीटर और 23.09 मीटर हैं। इनमें केवल पहला ही मेल खाता है। 69.28 मीटर तो $40\sqrt{3}$ है, जो दूर वाली नाव की आधार से दूरी है।

हल किए गए उदाहरण

नीचे का हर प्रश्न ऊपर के किसी एक तरीके से हल होता है। पहले घड़ी लगाकर ख़ुद हल कीजिए। चार उत्तरों के नीचे समय भी लिखा है, ताकि आप अपने समय से मिला सकें।

प्रश्न 1

69 मीटर ऊँची एक मीनार का शिखर भूमि पर स्थित एक बिंदु P से $60^\circ$ के उन्नयन कोण पर दिखाई देता है। P, मीनार के आधार से कितनी दूर है, और दृष्टि रेखा कितनी लंबी है?

उत्तर: $60^\circ$ पर ऊँचाई $\sqrt{3}$ भाग वाली भुजा होती है। तो एक भाग $\frac{69}{\sqrt{3}} = 23\sqrt{3}$ मीटर हुआ। P आधार से 1 भाग दूर है, यानी $23\sqrt{3}$ मीटर। दृष्टि रेखा 2 भाग की है, तो वह $46\sqrt{3}$ मीटर लंबी है।

प्रश्न 2

एक लड़की, जिसकी आँखें भूमि से 1.5 मीटर ऊपर हैं, एक पेड़ से $15\sqrt{3}$ मीटर दूर खड़ी है और उसके शिखर को $30^\circ$ के उन्नयन कोण पर देखती है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आँख वाली रेखा से ऊपर पेड़ का हिस्सा $15\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$ मीटर है। पूरा पेड़ चाहिए, तो इसमें लड़की की आँख की ऊँचाई जोड़ते हैं। $15 + 1.5$ = 16.5 मीटर।

इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 3

किसी मंदिर की ओर सीधे 64 मीटर चलने पर एक तीर्थयात्री देखता है कि मंदिर के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ से बदलकर $60^\circ$ हो गया है। मंदिर की ऊँचाई तथा यह ज्ञात कीजिए कि मंदिर तक पहुँचने के लिए उसे अभी कितना और चलना है।

उत्तर: कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हुआ है, तो चली दूरी बची दूरी की दोगुनी है। यानी अभी 32 मीटर और चलना है। ऊँचाई बची दूरी की $\sqrt{3}$ गुनी होती है, तो मंदिर $32\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा है, लगभग 55.43 मीटर।

यह करीब 10 सेकंड का काम है।

प्रश्न 4

किसी मीनार के एक ही ओर स्थित और एक-दूसरे से 40 मीटर दूर दो बिंदुओं से उसके शिखर के उन्नयन कोण $45^\circ$ और $60^\circ$ हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: कोण $45^\circ$ और $60^\circ$ हैं और दोनों बिंदु एक ही ओर, तो ऊँचाई बीच की दूरी की $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ गुनी होगी। $h = 20(3 + \sqrt{3}) = 20 \times 4.732$ = 94.64 मीटर। लंबे तरीके से जाँच भी कर लेते हैं। $h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$ का मान 40 होना चाहिए, और $20(3 + \sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{20 \times 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 40$ ही आता है।

प्रश्न 5

किसी खंभे के आधार से 4.5 मीटर और 32 मीटर दूर, उसके साथ एक ही सीधी रेखा में स्थित दो बिंदुओं से उसके शिखर के उन्नयन कोण कोटिपूरक हैं। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कोण कोटिपूरक हैं और आधार से दोनों दूरियाँ a और b पता हैं। तो सीधे $h = \sqrt{ab} = \sqrt{4.5 \times 32} = \sqrt{144}$ = 12 मीटर।

प्रश्न 6

किसी क्षण 1.8 मीटर लंबे एक व्यक्ति की छाया 2.4 मीटर लंबी है। उसी क्षण एक इमारत की छाया 32 मीटर लंबी है। इमारत की ऊँचाई कितनी है?

उत्तर: उस क्षण सूर्य दोनों के साथ एक ही कोण बनाता है। इसलिए ऊँचाई और छाया का अनुपात दोनों के लिए $1.8 : 2.4 = 3 : 4$ है। तो इमारत $\frac{3}{4} \times 32$ = 24 मीटर ऊँची है। कोण का मान जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

प्रश्न 7

जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^\circ$ होता है, तब किसी मीनार की छाया, उन्नयन कोण $60^\circ$ होने की तुलना में 40 मीटर अधिक लंबी होती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सूर्य $60^\circ$ से $30^\circ$ पर आता है, तो छाया $\frac{h}{\sqrt{3}}$ से बढ़कर $\sqrt{3}h$ हो जाती है। यानी बढ़त $\frac{2h}{\sqrt{3}}$ है। अब $\frac{2h}{\sqrt{3}} = 40$ रखते हैं, तो $h$ = $20\sqrt{3}$ मीटर आता है, लगभग 34.64 मीटर।

प्रश्न 8

आँधी में एक पेड़ टूट जाता है। उसका शिखर पेड़ के आधार से 7 मीटर दूर भूमि को छूता है, और टूटा हुआ भाग भूमि के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है। पेड़ की ऊँचाई कितनी थी?

उत्तर: $60^\circ$ पर खड़ा भाग $7\tan 60^\circ = 7\sqrt{3}$ मीटर है, और टूटा भाग $\frac{7}{\cos 60^\circ} = 14$ मीटर। पेड़ की ऊँचाई इन दोनों का योग थी, $14 + 7\sqrt{3}$ = $7(2 + \sqrt{3})$ मीटर, यानी लगभग 26.12 मीटर। $60^\circ$ वाला नियम याद हो, तो सीधे $(2 + \sqrt{3}) \times 7$ लिखकर एक ही कदम में उत्तर आ जाता है।

प्रश्न 9

18 मीटर लंबी एक सीढ़ी का निचला सिरा किसी सड़क पर एक बिंदु पर स्थिर है। एक ओर टिकाने पर वह सड़क के एक ओर की खिड़की तक पहुँचती है और भूमि के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है; दूसरी ओर घुमाने पर वह सड़क के दूसरी ओर की खिड़की तक पहुँचती है और भूमि के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है। सड़क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2} = 1.414$ लीजिए।)

उत्तर: सड़क की चौड़ाई निचले सिरे से दोनों ओर की दीवारों तक की दूरियों का योग है। $18\cos 60^\circ + 18\cos 45^\circ = 9 + 9\sqrt{2} = 9 + 12.726$ = 21.726 मीटर, यानी लगभग 21.73 मीटर।

प्रश्न 10

एक मीनार के शिखर पर खड़ा एक व्यक्ति एकसमान चाल से सीधे मीनार की ओर आती एक कार को देखता है। कार का अवनमन कोण 18 मिनट में $30^\circ$ से बदलकर $60^\circ$ हो जाता है। मीनार के आधार तक पहुँचने में कार को और कितना समय लगेगा?

उत्तर: अवनमन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हुआ है, तो बची दूरी चली दूरी की आधी है। चाल एक जैसी है, इसलिए बचा समय भी 18 मिनट का आधा होगा, यानी 9 मिनट।

यह उत्तर 5 सेकंड के आसपास निकल आता है।

प्रश्न 11

$30\sqrt{3}$ मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से, मीनार की ओर आती एक कार का अवनमन कोण 12 सेकंड में $30^\circ$ से बदलकर $60^\circ$ हो जाता है। कार की चाल किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12 सेकंड में कार ने $\frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 30\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 60$ मीटर की दूरी तय की, यानी उसकी चाल 5 मीटर/सेकंड है। किमी/घंटा में बदलने पर $5 \times \frac{18}{5}$ = 18 किमी/घंटा आता है।

प्रश्न 12

15 मीटर ऊँची एक इमारत के ऊपर एक ध्वजदंड लगा है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से इमारत का शिखर $45^\circ$ पर और ध्वजदंड का ऊपरी सिरा $60^\circ$ पर दिखाई देता है। ध्वजदंड की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: $\tan 45^\circ : \tan 60^\circ = 1 : \sqrt{3}$, इसलिए इमारत : (इमारत + ध्वजदंड) $= 1 : \sqrt{3}$। तो ध्वजदंड का ऊपरी सिरा भूमि से $15\sqrt{3}$ मीटर ऊपर है। ध्वजदंड की लंबाई $15\sqrt{3} - 15 = 15(\sqrt{3} - 1) = 15 \times 0.732$ = 10.98 मीटर है।

प्रश्न 13

14 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से किसी मीनार का शिखर $60^\circ$ के उन्नयन कोण पर और उसका आधार $45^\circ$ के अवनमन कोण पर दिखाई देता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आँख वाली रेखा मीनार को दो हिस्सों में बाँटती है। ऊपर वाले और नीचे वाले हिस्से का अनुपात $\frac{\tan 60^\circ}{\tan 45^\circ} = \sqrt{3}$ है। नीचे वाला हिस्सा इमारत जितना, यानी 14 मीटर है, तो ऊपर वाला $14\sqrt{3}$ मीटर हुआ। मीनार $14(1 + \sqrt{3})$ मीटर ऊँची है, लगभग 38.25 मीटर।

पूरा हल लगभग 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 14

60 मीटर ऊँचे एक खंभे के विपरीत ओर खड़े दो व्यक्ति उसके शिखर को $30^\circ$ और $60^\circ$ के उन्नयन कोणों पर देखते हैं। दोनों व्यक्ति एक-दूसरे से कितनी दूर हैं? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: दोनों व्यक्ति विपरीत ओर हैं, तो दोनों cot जोड़ते हैं। $d = 60(\cot 30^\circ + \cot 60^\circ) = 60\left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 60 \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 80\sqrt{3}$ = 138.56 मीटर। उत्तर ठीक भी लगता है। दूर वाला व्यक्ति अकेले ही खंभे से $60\sqrt{3}$ मीटर दूर है, तो दोनों के बीच की दूरी इससे अधिक होनी ही चाहिए।