छाया, सीढ़ी, डोरी और ढलान

सूर्य का उन्नयन कोण और छाया

सूर्य हमसे बहुत दूर है, इसलिए उसकी किरणें हम तक समांतर सीधी रेखाओं में आती हैं। जो किरण खंभे के शिखर को छूती हुई निकलती है, वह आगे जाकर भूमि पर पड़ती है, और जहाँ पड़ती है, वहीं खंभे की छाया का सिरा होता है। यह किरण भूमि के साथ जो कोण बनाती है, उसे सूर्य का उन्नयन कोण (altitude of the sun) कहते हैं।

खंभा, उसकी छाया और यह किरण मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। खंभा सूर्य वाले कोण के सामने की भुजा है, और छाया उस कोण से लगी हुई भुजा। इसलिए

$$\text{छाया} = h\cot\theta \qquad h = \text{छाया} \times \tan\theta \qquad \tan\theta = \frac{h}{\text{छाया}}$$

आकृति वाले खंभे को देखिए। वह 12 मीटर ऊँचा है और सूर्य 60° पर है। तो छाया $s = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ मीटर है, यानी लगभग 6.9 मीटर।

हर मानक कोण पर छाया कितनी लंबी होती है, यह देखते ही पता चल जाना चाहिए।

कोण निकालना हो, तो यही तालिका उलटी पढ़िए। जैसे किसी मीनार की छाया ठीक मीनार जितनी लंबी हो, तो सूर्य 45° पर है। छाया ऊँचाई की $\sqrt{3}$ गुनी हो, तो सूर्य 30° पर है। 9 मीटर ऊँचे खंभे की छाया $3\sqrt{3}$ मीटर हो, तो $\tan\theta = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, यानी सूर्य 60° पर है।

छाया से ऊँचाई: मान लीजिए सूर्य 30° पर है और किसी ध्वजदंड की छाया 27 मीटर है। तब ध्वजदंड की ऊँचाई $27\tan 30^\circ = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$ मीटर होगी।

एक बात हमेशा याद रखिए। सूर्य जितना ऊँचा, छाया उतनी छोटी। उत्तर जाँचने के लिए इतना ही काफ़ी है। ऊपर वाले 12 मीटर के खंभे की छाया के लिए कोई $12\sqrt{3}$ मीटर जैसा विकल्प दिखे, तो उसे तुरंत हटा दीजिए। सूर्य 60° पर है, तो छाया खंभे से छोटी ही होगी।

एक ही समय पर दो छायाएँ

किसी एक समय पर, एक ही जगह की हर वस्तु के लिए सूर्य का उन्नयन कोण एक ही होता है। इसलिए सबकी छाया वाले त्रिभुजों में यह कोण एक ही रहता है, यानी ये सब समरूप त्रिभुज हैं। तो हर वस्तु के लिए ऊँचाई और छाया का अनुपात भी एक ही होता है:

$$\frac{h_1}{s_1} = \frac{h_2}{s_2}$$

यहाँ कोण की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। जैसे 1.6 मीटर लंबी एक लड़की की छाया 1.2 मीटर है, और उसी समय एक पेड़ की छाया 9 मीटर है। तो

$$\frac{h}{9} = \frac{1.6}{1.2} \Rightarrow h = 9 \times \frac{4}{3} = 12 \text{ मीटर}$$

यह अनुपात $\frac{1.6}{1.2} = \frac{4}{3}$ ही उस समय का $\tan\theta$ है। मतलब सूर्य 53° से थोड़ा ऊपर है। पर डिग्री में कोण निकालने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती, अनुपात ही काफ़ी है।

यह वही समानुपात है जो अध्याय 4 "अनुपात, समानुपात और साझेदारी" में आया था। वस्तु जितनी ऊँची, छाया उतनी लंबी, और ठीक उसी अनुपात में।

इमारत की मंज़िलें: हर मंज़िल की ऊँचाई बराबर हो, तो इमारत की ऊँचाई मंज़िलों की संख्या के समानुपाती होती है। इसलिए मंज़िलों की संख्या और छाया भी समानुपात में रहती हैं। जैसे 6 मंज़िला इमारत की छाया 27 मीटर है, और उसी समय उसी प्रकार की एक दूसरी इमारत की छाया 45 मीटर है। तो दूसरी इमारत में इतनी मंज़िलें होंगी:

$$6 \times \frac{45}{27} = 10 \text{ मंज़िलें}$$

एक ही वस्तु, दो अलग समय: यह दूसरी तरह का प्रश्न है। इसमें कोण बदल जाता है, तो अनुपात भी बदल जाता है। इसे अगले भाग में देखेंगे।

[SSC टिप] दोनों अनुपात एक ही ढंग से लिखिए, यानी दोनों ओर ऊँचाई ÷ छाया। किसी ने $\frac{h}{9} = \frac{1.2}{1.6}$ लिख दिया, तो 6.75 मीटर आएगा। यही गलत संख्या प्रश्न के विकल्पों में अक्सर दी होती है।

सूर्य ढलने पर बढ़ती छाया

दोपहर के बाद सूर्य नीचे जाने लगता है। उन्नयन कोण घटता है, और खंभे की छाया लंबी होती जाती है। h ऊँचाई वाले खंभे के लिए

$$\text{छाया, जब कोण } 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}} \qquad \text{छाया, जब कोण } 30^\circ = h\sqrt{3}$$

दूसरी छाया पहली की तीन गुनी है, क्योंकि $h\sqrt{3} \div \frac{h}{\sqrt{3}} = 3$ होता है। तो याद रखिए, सूर्य का उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाए, तो छाया तीन गुनी लंबी हो जाती है।

आकृति में AB दिखाता है कि छाया कितनी बढ़ी। इस बढ़त को x कह लेते हैं। यह पुरानी छाया की दोगुनी होती है:

$$x = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$

आकृति वाला खंभा 24 मीटर ऊँचा है। 60° पर उसकी छाया $8\sqrt{3}$ मीटर है और 30° पर $24\sqrt{3}$ मीटर। तो छाया $16\sqrt{3}$ मीटर बढ़ी।

बढ़त दी हो, ऊँचाई चाहिए: तब सूत्र को उलट दीजिए, $h = \frac{\sqrt{3}}{2}x$। जैसे सूर्य 30° पर हो, तो किसी मीनार की छाया 60° वाली छाया से 40 मीटर ज़्यादा लंबी होती है। तब मीनार $\frac{40\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है।

45° से 30°: इस बार छाया h से बढ़कर $h\sqrt{3}$ होती है, तो बढ़त $h(\sqrt{3} - 1)$ है। मान लीजिए छाया 30 मीटर और लंबी हो गई। तब

$$h = \frac{30}{\sqrt{3} - 1} = \frac{30(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 15(\sqrt{3} + 1) \text{ मीटर}$$

यहाँ अंश और हर, दोनों को $\sqrt{3} + 1$ से गुणा किया है।

सुबह: इस समय सूर्य ऊपर चढ़ता है, तो छाया छोटी होती जाती है। सूर्य 30° से 60° पर आ जाए, तो छाया एक-तिहाई रह जाती है। और यह घटती भी ठीक उतनी ही है, $\frac{2h}{\sqrt{3}}$।

किन्हीं भी दो कोणों के लिए बढ़त $= h(\cot\theta_2 - \cot\theta_1)$ होती है। जिन प्रश्नों में प्रेक्षक मीनार की ओर चलता है, उनमें भी यही काम आता है। उनका पूरा हल "दो कोण और गतिमान वस्तुएँ" वाले खंड में है।

लैंप पोस्ट और व्यक्ति की छाया

[Tier 2] सड़क का लैंप सूर्य नहीं है। उसकी रोशनी एक तय ऊँचाई पर लगे एक ही बिंदु से निकलती है। इसलिए उसकी किरणें समांतर नहीं होतीं, बल्कि चारों ओर फैलती हैं। लैंप के पास खड़े व्यक्ति की छाया हम समरूप त्रिभुजों से निकालते हैं।

मान लीजिए लैंप खंभे पर 6 मीटर की ऊँचाई पर लगा है। 1.5 मीटर लंबा एक व्यक्ति खंभे के आधार से 9 मीटर दूर खड़ा है, और उसकी छाया s मीटर है।

लैंप से जो किरण व्यक्ति के सिर के ऊपर से गुज़रती है, वही उसकी छाया के सिरे पर गिरती है। अब दो त्रिभुज देखिए। छोटा त्रिभुज व्यक्ति और उसकी छाया का है, और बड़ा त्रिभुज खंभे और पूरी दूरी 9 + s का। छाया के सिरे पर दोनों का कोण एक ही है, इसलिए

$$\frac{1.5}{s} = \frac{6}{9 + s} \Rightarrow 6s = 13.5 + 1.5s \Rightarrow s = 3 \text{ मीटर}$$

तो छाया का सिरा खंभे से 9 + 3 = 12 मीटर दूर है।

छोटा सूत्र: यही हल अक्षरों में करके तिरछा गुणा करें, तो यह सूत्र मिलता है:

$$s = \frac{h \times d}{H - h}$$

यहाँ H लैंप की ऊँचाई है, h व्यक्ति की ऊँचाई और d खंभे से व्यक्ति की दूरी। इस उदाहरण में $\frac{1.5 \times 9}{6 - 1.5} = 3$ मीटर आता है।

दूर जाता व्यक्ति: सूत्र से साफ़ है कि छाया हमेशा d का एक तय भाग होती है। यहाँ $s = \frac{d}{3}$ है। अब अगर व्यक्ति खंभे से 1.2 मीटर/सेकंड की चाल से दूर चले, तो उसकी छाया 0.4 मीटर/सेकंड से बढ़ेगी। और छाया का सिरा 1.2 + 0.4 = 1.6 मीटर/सेकंड से आगे बढ़ेगा।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। कुछ छात्र $\frac{1.5}{s} = \frac{6}{9}$ लिख देते हैं, यानी लैंप को सूर्य मान लेते हैं। इससे 2.25 मीटर आता है, जो गलत है।

दीवार से टिकी सीढ़ी

दीवार से टिकी सीढ़ी को देखिए। दीवार, भूमि और सीढ़ी मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। सीढ़ी इसका कर्ण है। सीढ़ी दीवार पर जितनी ऊँचाई तक पहुँचती है, वह एक भुजा है, और दीवार से सीढ़ी के निचले सिरे तक की भूमि आधार है। समकोण वहाँ होता है, जहाँ दीवार भूमि से मिलती है।

तीन लंबाइयाँ, कोई कोण नहीं: तीनों लंबाइयाँ पाइथागोरस प्रमेय से जुड़ी हैं (अध्याय 12 "ज्यामिति" देखिए):

$$L^2 = h^2 + d^2$$

आकृति में सीढ़ी 13 मीटर लंबी है, और उसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर दूर है। तो वह दीवार पर $h = \sqrt{169 - 25} = 12$ मीटर की ऊँचाई तक पहुँचती है। पाइथागोरस त्रिक याद हों, तो वर्गमूल निकालने की मेहनत नहीं करनी पड़ती। यहाँ 5, 12, 13 वाला त्रिक है। 6, 8, 10 वाला, 8, 15, 17 वाला और 7, 24, 25 वाला त्रिक भी याद कर लीजिए।

कोण दिया हो: सीढ़ी भूमि के साथ जो कोण बनाती है, वह उसके निचले सिरे पर होता है। ऊँचाई इस कोण के सामने होती है, और दीवार से दूरी इससे लगी हुई:

$$h = L\sin\theta \qquad d = L\cos\theta \qquad \tan\theta = \frac{h}{d}$$

जैसे 10 मीटर लंबी सीढ़ी भूमि से 60° पर टिकी हो, तो उसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर दूर होगा, और वह दीवार पर $5\sqrt{3}$ मीटर ऊपर तक पहुँचेगी। इसी तरह जो सीढ़ी 60° पर 6 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचती है, उसकी लंबाई $\frac{6}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ मीटर है।

दीवार के साथ कोण: जो सीढ़ी दीवार के साथ 30° बनाती है, वह भूमि के साथ 60° बनाती है। ऐसे प्रश्न में पहले भूमि वाला कोण निकाल लीजिए। या फिर ऊपर वाले कोने पर ही हल कीजिए। वहाँ दीवार कोण से लगी भुजा है, और दीवार से दूरी कोण के सामने वाली भुजा।

झटपट जाँच: सीढ़ी सबसे लंबी भुजा होती है। वह पहुँची हुई ऊँचाई से भी लंबी होती है, और निचले सिरे की दीवार से दूरी से भी। किसी उत्तर में ऐसा न हो, तो समझिए कि कोई भुजा गलत जगह रख दी गई है।

सड़क के आर-पार सीढ़ी

दो इमारतों के बीच एक सड़क है। सड़क पर कहीं सीढ़ी का निचला सिरा रखा है। एक ओर टिकाने पर सीढ़ी उस ओर की खिड़की तक पहुँचती है। निचला सिरा उसी जगह रखकर सीढ़ी को घुमा दें, तो वह दूसरी ओर की खिड़की तक पहुँचती है। सीढ़ी की लंबाई दोनों बार वही रहती है, इसलिए यहाँ एक ही कर्ण वाले दो समकोण त्रिभुज हैं।

सड़क की चौड़ाई निकालने के लिए दोनों दीवारों से निचले सिरे की दूरियाँ जोड़ दीजिए। आकृति में सीढ़ी 8.5 मीटर लंबी है, और खिड़कियाँ 7.5 मीटर और 6.8 मीटर ऊँची हैं। तो

$$d_1 = \sqrt{8.5^2 - 7.5^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ मीटर} \qquad d_2 = \sqrt{8.5^2 - 6.8^2} = \sqrt{26.01} = 5.1 \text{ मीटर}$$

सड़क की चौड़ाई 4 + 5.1 = 9.1 मीटर है।

यहाँ वर्गमूल इतनी आसानी से इसलिए निकल आए, क्योंकि 8.5, 7.5, 4 वाला त्रिभुज, 8, 15, 17 वाले त्रिभुज का आधा है। और 8.5, 6.8, 5.1 वाला त्रिभुज, 3, 4, 5 वाले त्रिभुज का 1.7 गुना है।

कोण दिए हों: L लंबाई की सीढ़ी दोनों ओर भूमि के साथ $\alpha$ और $\beta$ कोण बनाए, तो

$$\text{चौड़ाई} = L\cos\alpha + L\cos\beta$$

जैसे 16 मीटर लंबी सीढ़ी एक ओर 60° बनाती है और दूसरी ओर 45°। तो सड़क की चौड़ाई $16 \times \frac{1}{2} + 16 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 + 8\sqrt{2}$ मीटर है।

एक बात और देखिए। खिड़की जितनी ऊँची होगी, सीढ़ी उतनी खड़ी रहेगी, और उस ओर निचला सिरा दीवार के उतना ही पास होगा।

दो गलतियों से बचिए। कुछ छात्र दोनों ऊँचाइयाँ जोड़ देते हैं, और कुछ निचले सिरे की दोनों दूरियाँ घटा देते हैं। दोनों ही रास्ते गलत हैं।

खिसकती सीढ़ी और झुका खंभा

सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर नीचे खिसके, तो निचला सिरा भूमि पर बाहर की ओर खिसक जाता है। सीढ़ी की लंबाई नहीं बदलती, इसलिए दोनों स्थितियों में पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं।

आकृति में 6.5 मीटर लंबी सीढ़ी है। पहले उसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मीटर दूर है, तो ऊपरी सिरा $\sqrt{6.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{36} = 6$ मीटर ऊपर है। ऊपरी सिरा 0.8 मीटर नीचे खिसका, तो अब वह 5.2 मीटर पर है। इस बार निचला सिरा दीवार से $\sqrt{6.5^2 - 5.2^2} = \sqrt{15.21} = 3.9$ मीटर दूर है। मतलब वह 3.9 − 2.5 = 1.4 मीटर बाहर खिसका।

ध्यान दीजिए, ऊपरी सिरा 0.8 मीटर नीचे आया, पर निचला सिरा 1.4 मीटर बाहर गया। आम तौर पर दोनों सिरे बराबर नहीं खिसकते।

कोण दिए हों: मान लीजिए L लंबाई की सीढ़ी भूमि से 60° पर थी और खिसककर 30° पर आ गई। तब ऊपरी सिरा $L\sin 60^\circ - L\sin 30^\circ = \frac{L(\sqrt{3} - 1)}{2}$ नीचे आया। निचला सिरा $L\cos 30^\circ - L\cos 60^\circ$ बाहर गया, जो ठीक उतना ही है। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि 60° और 30° के sin और cos आपस में अदल-बदल जाते हैं।

दीवार से टिका खंभा: दीवार से टिका बाँस, खंभा या तख़्ता हो, तो हल ठीक सीढ़ी जैसा ही होता है। जैसे 12 मीटर लंबा खंभा भूमि से 45° पर टिका हो, तो वह दीवार पर $12\sin 45^\circ = 6\sqrt{2}$ मीटर ऊपर तक पहुँचता है। उसका निचला सिरा भी दीवार से उतना ही, यानी $6\sqrt{2}$ मीटर दूर होता है।

अब मान लीजिए 12 मीटर लंबा खंभा दीवार के साथ 30° बनाता है। तब भूमि के साथ वह 60° बनाएगा। उसका निचला सिरा दीवार से $12\sin 30^\circ = 6$ मीटर दूर होगा, और ऊपरी सिरा $12\cos 30^\circ = 6\sqrt{3}$ मीटर ऊपर।

[SSC टिप] sin या cos चुनने से पहले देख लीजिए कि कोण भूमि के साथ है या दीवार के साथ। पिछले खंभे में दोनों तरह से पढ़ने पर 6 मीटर और $6\sqrt{3}$ मीटर आते हैं, और विकल्पों में दोनों ही दिए हो सकते हैं।

पतंग की डोरी, रस्सी से बँधा गुब्बारा

तनी हुई डोरी हाथ से पतंग तक एक सीधी रेखा होती है। यही समकोण त्रिभुज का कर्ण है। पतंग की ऊँचाई ऊर्ध्वाधर भुजा है, और डोरी भूमि के साथ जो कोण बनाती है, वह नीचे वाले कोने पर है।

सूत्र ये हैं:

$$\text{पतंग की ऊँचाई} = L\sin\theta \qquad \text{डोरी की लंबाई} = \frac{h}{\sin\theta}$$

आकृति में डोरी 120 मीटर लंबी है और 60° पर है। तो पतंग $120 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, यानी लगभग 103.9 मीटर।

कितनी डोरी चाहिए: मान लीजिए पतंग 45 मीटर ऊँची उड़ानी है, और डोरी 30° पर रहेगी। तब $\frac{45}{\sin 30^\circ} = 90$ मीटर डोरी चाहिए। 30° पर डोरी हमेशा ऊँचाई की दोगुनी होती है।

भूमि से ऊपर हाथ: डोरी भूमि से 1.5 मीटर ऊपर पकड़ी हो, तो त्रिभुज हाथ से शुरू होता है। तब पतंग भूमि से $L\sin\theta + 1.5$ मीटर ऊपर होती है। यह ठीक वैसा ही है, जैसे प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई जोड़ते हैं।

रस्सी से बँधा गुब्बारा: इसका चित्र भी वही है। जैसे कोई गुब्बारा 75 मीटर ऊपर हो, और उसकी सीधी रस्सी भूमि से 60° पर हो। तो रस्सी $\frac{75}{\sin 60^\circ} = \frac{150}{\sqrt{3}} = 50\sqrt{3}$ मीटर लंबी है। ऐसे प्रश्नों में डोरी या रस्सी को सीधा मानते हैं, उसका झोल नहीं गिनते।

एक जाँच भी कर लीजिए। डोरी पतंग की ऊँचाई से छोटी कभी नहीं हो सकती। इससे अक्सर कोई न कोई विकल्प तुरंत हट जाता है।

तार, रस्सी और चट्टान से रस्सी

खंभे को थामने वाला तना हुआ तार (guy wire) खंभे के शिखर से भूमि में गड़ी खूँटी तक बँधा होता है। इसी तरह कभी खड़ी चट्टान के शिखर पर रस्सी बाँधकर उसे समतल भूमि पर खूँटी से बाँध देते हैं। दोनों में तार या रस्सी ही कर्ण होती है। खंभा या चट्टान ऊँचाई है, और उसके आधार से खूँटी तक की दूरी आधार भुजा।

आकृति में खंभा 16 मीटर ऊँचा है और तार भूमि से 60° पर है। तार की लंबाई w और खूँटी की आधार से दूरी x लेते हैं। तो

$$w = \frac{16}{\sin 60^\circ} = \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{3} \text{ मीटर} \qquad x = \frac{16}{\tan 60^\circ} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ मीटर}$$

तार ठीक x का दोगुना है, क्योंकि 60° पर आधार भुजा कर्ण की आधी होती है।

तार दिया हो: जैसे 20 मीटर लंबा तार खंभे के शिखर से भूमि तक 30° पर तना है। तो खंभा $20\sin 30^\circ = 10$ मीटर ऊँचा है, और खूँटी आधार से $20\cos 30^\circ = 10\sqrt{3}$ मीटर दूर है।

चट्टान से नीचे रस्सी: 42 मीटर ऊँची खड़ी चट्टान के शिखर से एक रस्सी नीचे समतल भूमि तक बँधी है, और भूमि के साथ 30° बनाती है। तो रस्सी चट्टान की ऊँचाई की दोगुनी, यानी 84 मीटर है। खूँटी चट्टान के आधार से $42\sqrt{3}$ मीटर दूर है।

दो लंबाइयों से कोण: मान लीजिए 26 मीटर लंबा तार खंभे के आधार से 13 मीटर दूर खूँटी पर बँधा है। तब $\cos\theta = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$, यानी तार भूमि के साथ 60° बनाता है, और खंभा $13\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा है।

तार की जगह दृष्टि रेखा रख दें, तो ये वही त्रिभुज हैं जो "उन्नयन कोण और अवनमन कोण" वाले खंड में थे। इसलिए भुजाओं का $1 : \sqrt{3} : 2$ वाला अनुपात यहाँ भी वैसे ही काम आता है।

दो खंभे और शिखरों की दूरी

मान लीजिए a और b ऊँचाई के दो ऊर्ध्वाधर खंभे समतल भूमि पर एक-दूसरे से d दूरी पर खड़े हैं। छोटे खंभे के शिखर से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींचिए। इससे एक समकोण त्रिभुज बन जाता है। इसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ d और b − a हैं, और शिखरों को जोड़ने वाली रेखा इसका कर्ण है:

$$\text{शिखरों के बीच की दूरी} = \sqrt{d^2 + (b - a)^2}$$

आकृति में खंभे 6 मीटर और 11 मीटर ऊँचे हैं, और एक-दूसरे से 12 मीटर दूर हैं। ऊँचाई का अंतर 5 मीटर है, तो शिखरों की दूरी $\sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ मीटर है।

शिखरों के बीच तार: शिखरों को जोड़ने वाला तार क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाए, तो भी वही छोटा त्रिभुज काम आता है:

$$\tan\theta = \frac{b - a}{d} \qquad \text{तार} = \frac{b - a}{\sin\theta}$$

जैसे दो खंभे 8 मीटर और 20 मीटर ऊँचे हैं, और उनके शिखर एक तार से जुड़े हैं, जो क्षैतिज से 30° पर है। ऊँचाई का अंतर 12 मीटर है, और यह 30° के सामने है। तो तार 24 मीटर लंबा है, और खंभों के बीच $12\sqrt{3}$ मीटर की दूरी है।

ऊँचाइयाँ नहीं, उनका अंतर: यहाँ छात्र अक्सर पाइथागोरस प्रमेय में 11 − 6 = 5 मीटर की जगह 11 मीटर (या 6 मीटर) रख देते हैं। ऊपर वाले खंभों में यह गलती करने पर $\sqrt{144 + 121} \approx 16.3$ मीटर आता है। यह उत्तर ठीक-ठाक लगता है, पर गलत है।

कभी एक मीनार के शिखर से दूसरी मीनार का शिखर और आधार देखा जाता है, या दो खंभों के बीच के किसी बिंदु से दोनों को देखा जाता है। ऐसे प्रश्न "दो ऊँचाइयाँ: मीनार, इमारतें और मूर्तियाँ" वाले खंड में हैं।

ढलान और रैंप

रैंप हो, ढलान वाली सड़क हो या पहाड़ी रास्ता, इन सबको भूमि पर लेटा हुआ एक समकोण त्रिभुज समझिए। ढलान वाली सतह कर्ण है, ऊपर तक की ऊँचाई ऊर्ध्वाधर भुजा है, और क्षैतिज दूरी आधार। ढलान का कोण नीचे होता है, भूमि और रैंप के बीच।

रैंप की लंबाई l लें, तो सूत्र ये हैं:

$$\text{ऊँचाई} = l\sin\theta \qquad \text{क्षैतिज दूरी} = l\cos\theta \qquad l = \frac{\text{ऊँचाई}}{\sin\theta}$$

मंच तक रैंप: 0.9 मीटर ऊँचे मंच तक एक रैंप बनाना है, जो भूमि के साथ 30° पर हो। उसकी लंबाई $\frac{0.9}{\sin 30^\circ} = 1.8$ मीटर होगी, और रैंप मंच से $0.9\sqrt{3} \approx 1.56$ मीटर दूर से शुरू होगा। 30° पर रैंप हमेशा अपनी ऊँचाई का दोगुना लंबा होता है।

खड़ा मतलब छोटा: उसी मंच तक 45° का रैंप बनाएँ, तो वह केवल $0.9\sqrt{2} \approx 1.27$ मीटर लंबा होगा। पर उस पर पहिएदार कुर्सी को ऊपर धकेलना कहीं ज़्यादा कठिन होगा।

ढलान पर चढ़ाई: एक पहाड़ी रास्ता 30° पर ऊपर जाता है। उस पर 500 मीटर चलने पर आप $500\sin 30^\circ = 250$ मीटर ऊपर पहुँचते हैं। पर नक्शे पर देखें, तो आप $250\sqrt{3}$ मीटर ही आगे बढ़े हैं। यह क्षैतिज दूरी है। याद रखिए, चली गई दूरी कर्ण होती है, क्षैतिज दूरी नहीं।

अनुपात में दी ढलान: कभी प्रश्न में दिया होता है कि रैंप हर 12 सेमी क्षैतिज दूरी पर 5 सेमी ऊपर उठता है। इसका मतलब $\tan\theta = \frac{5}{12}$ है। अब 0.6 मीटर ऊपर उठने के लिए क्षैतिज दूरी 1.44 मीटर चाहिए। 5, 12, 13 वाले त्रिक में रैंप 13 वाली भुजा है, तो उसकी लंबाई 1.56 मीटर होगी।

शुरू करने से पहले आकृति में ऊँचाई, क्षैतिज दूरी और ढलान की लंबाई पर निशान लगा लीजिए। जल्दी में छात्र क्षैतिज दूरी की जगह ढलान की लंबाई लिख देते हैं, या इसका उलटा। विकल्पों में प्रायः दोनों दिए होते हैं।

हवा से टूटा पेड़

आँधी में पेड़ किसी ऊँचाई पर टूट जाता है। ऊपर वाला भाग झुककर नीचे आता है और उसका सिरा भूमि को छू लेता है। टूटने वाली जगह पर वह ठूँठ से जुड़ा ही रहता है। इस तरह एक समकोण त्रिभुज बनता है। उसके तीन हिस्से ये हैं:

• खड़ा भाग a, जो ऊर्ध्वाधर है।
• टूटा हुआ भाग b, जो टूटने वाली जगह से नीचे सिरे तक जाता है। यही कर्ण है।
• भूमि पर पेड़ के आधार से सिरे तक की दूरी d।

पूरा पेड़ a + b होता है, यानी खड़ा भाग और टूटा हुआ भाग मिलाकर।

प्रायः टूटे भाग का भूमि के साथ कोण दिया जाता है, जो सिरे पर होता है। तब

$$a = b\sin\theta \qquad d = b\cos\theta \qquad a = d\tan\theta$$

आकृति में सिरा आधार से 18 मीटर दूर गिरा है, और टूटा भाग भूमि से 30° पर है। तो $a = 18\tan 30^\circ = 6\sqrt{3}$ मीटर, और $b = 2a = 12\sqrt{3}$ मीटर। पेड़ $6\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा था, यानी लगभग 31.2 मीटर।

30° पर पेड़ अपनी ऊँचाई के एक-तिहाई पर टूटता है: कारण सीधा है। b = 2a है, तो पूरा पेड़ 3a हुआ। जैसे 27 मीटर ऊँचा पेड़ इस तरह टूटा कि टूटा भाग भूमि के साथ 30° बनाता है। तो वह 9 मीटर की ऊँचाई पर टूटा है, उसका टूटा भाग 18 मीटर लंबा है, और सिरा आधार से $9\sqrt{3}$ मीटर दूर है।

60° पर: $a = \frac{\sqrt{3}}{2}b$ और $d = \frac{b}{2}$ होते हैं।

45° पर: a = d और $b = a\sqrt{2}$ होते हैं।

तने के साथ कोण: कभी दिया होता है कि टूटा भाग खड़े भाग के साथ 60° बनाता है। तब सिरे पर कोण 30° होगा। इसलिए ध्यान से पढ़िए कि कोण किन दो हिस्सों के बीच दिया है।

प्रश्न में पूरे पेड़ की ऊँचाई पूछी जा सकती है, टूटने की ऊँचाई भी, या टूटे भाग की लंबाई भी। विकल्पों में तीनों होते हैं, इसलिए जो पूछा गया है, उसके नीचे रेखा खींच लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

15 मीटर ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा समतल भूमि पर खड़ा है। जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° हो, तब उसकी छाया कितनी लंबी होगी? (a) $15\sqrt{3}$ मीटर (b) $5\sqrt{3}$ मीटर (c) 30 मीटर (d) 7.5 मीटर

उत्तर: खंभा सूर्य वाले 60° के सामने है, और छाया उससे लगी हुई। तो छाया $\frac{15}{\tan 60^\circ} = \frac{15}{\sqrt{3}} =$ (b) $5\sqrt{3}$ मीटर है, यानी लगभग 8.7 मीटर। जाँच भी कर लेते हैं। सूर्य ऊँचा है, तो छाया छोटी होगी। इसलिए 15 मीटर से लंबा कोई भी उत्तर तुरंत गलत है।

प्रश्न 2

33 मीटर ऊँची एक मीनार की छाया $11\sqrt{3}$ मीटर लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण कितना है? (a) $30^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $75^\circ$

उत्तर: $\tan\theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया}} = \frac{33}{11\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ आता है, तो सूर्य (c) $60^\circ$ पर है। यहाँ छाया लगभग 19 मीटर है, जो मीनार से छोटी है। इससे पहले ही पता चल जाता है कि सूर्य 45° से ऊपर होगा।

प्रश्न 3

किसी समय एक ध्वजदंड की छाया 36 मीटर लंबी है और सूर्य का उन्नयन कोण 30° है। ध्वजदंड की ऊँचाई कितनी है? (a) $12\sqrt{3}$ मीटर (b) $36\sqrt{3}$ मीटर (c) 18 मीटर (d) $18\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: ऊँचाई निकालने के लिए छाया को सूर्य वाले कोण के tan से गुणा करते हैं। तो ऊँचाई $36 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} =$ (a) $12\sqrt{3}$ मीटर है। जाँच के लिए याद कीजिए कि 30° पर छाया ऊँचाई की $\sqrt{3}$ गुनी होती है। $12\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 36$, तो उत्तर पक्का है।

प्रश्न 4

1.75 मीटर लंबे एक व्यक्ति की छाया 2.1 मीटर लंबी है। उसी समय एक पेड़ की छाया 18 मीटर लंबी है। पेड़ की ऊँचाई कितनी है? (a) 21.6 मीटर (b) 12 मीटर (c) 16.5 मीटर (d) 15 मीटर

उत्तर: दोनों के लिए सूर्य का कोण एक ही है, तो दोनों के लिए ऊँचाई ÷ छाया भी एक ही होगा। $\frac{h}{18} = \frac{1.75}{2.1} = \frac{5}{6}$, इसलिए $h = 18 \times \frac{5}{6} =$ (d) 15 मीटर। जल्दबाज़ी में किसी ने एक अनुपात उलट दिया, तो $18 \times \frac{6}{5} = 21.6$ मीटर आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 5

एक 5 मंज़िला इमारत की छाया 22.5 मीटर लंबी है। उसी समय एक अन्य इमारत की छाया 36 मीटर लंबी है, जिसकी हर मंज़िल पहली इमारत की मंज़िलों जितनी ही ऊँची है। उस इमारत में कितनी मंज़िलें हैं? (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9

उत्तर: सारी मंज़िलें बराबर ऊँची हैं, तो मंज़िलों की संख्या भी छाया के साथ उसी अनुपात में बढ़ती है। $5 \times \frac{36}{22.5} = 5 \times 1.6 =$ (c) 8। दूसरा रास्ता भी है। एक मंज़िल के हिस्से $\frac{22.5}{5} = 4.5$ मीटर छाया आती है, तो 36 ÷ 4.5 = 8 मंज़िलें हुईं।

प्रश्न 6

एक मीनार 30 मीटर ऊँची है। सूर्य का उन्नयन कोण 30° होने पर उसकी छाया, उन्नयन कोण 60° होने की तुलना में कितनी अधिक लंबी होती है? (a) $20\sqrt{3}$ मीटर (b) $10\sqrt{3}$ मीटर (c) $30\sqrt{3}$ मीटर (d) 20 मीटर

उत्तर: 60° पर छाया $\frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ मीटर है, और 30° पर $30\sqrt{3}$ मीटर। दोनों का अंतर (a) $20\sqrt{3}$ मीटर है। चाहें तो सूत्र से बढ़त सीधे लिख दीजिए, $\frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}$ मीटर।

प्रश्न 7

जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° होता है, तब किसी मीनार की छाया, उन्नयन कोण 60° होने की तुलना में 50 मीटर अधिक लंबी होती है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) 25 मीटर (b) $50\sqrt{3}$ मीटर (c) $25\sqrt{3}$ मीटर (d) $\frac{50\sqrt{3}}{3}$ मीटर

उत्तर: मीनार की ऊँचाई h मान लेते हैं। तब दोनों छायाएँ $h\sqrt{3}$ और $\frac{h}{\sqrt{3}}$ हैं। इनका अंतर $\frac{3h - h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ है। अब $\frac{2h}{\sqrt{3}} = 50$ रखें, तो h = (c) $25\sqrt{3}$ मीटर आता है, जो लगभग 43.3 मीटर है।

प्रश्न 8

जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° होता है, तब किसी खंभे की छाया, उन्नयन कोण 45° होने की तुलना में 18 मीटर अधिक लंबी होती है। खंभे की ऊँचाई कितनी है? (a) $9(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (b) $9(\sqrt{3} - 1)$ मीटर (c) $18(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (d) $9\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: 45° पर छाया ऊँचाई के बराबर, यानी h होती है, और 30° पर $h\sqrt{3}$। छाया की बढ़त $h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3} - 1) = 18$ है, तो $h = \frac{18}{\sqrt{3} - 1}$। अब अंश और हर को $\sqrt{3} + 1$ से गुणा करते हैं। हर 3 − 1 = 2 हो जाता है, और h = (a) $9(\sqrt{3} + 1)$ मीटर आता है, यानी लगभग 24.6 मीटर।

प्रश्न 9

[Tier 2] 7.2 मीटर ऊँचे एक खंभे के शिखर पर एक लैंप लगा है। 1.2 मीटर लंबा एक लड़का खंभे के आधार से 10 मीटर दूर खड़ा है। उसकी छाया कितनी लंबी है? (a) 2 मीटर (b) 1.67 मीटर (c) 12 मीटर (d) 6 मीटर

उत्तर: लैंप की रोशनी एक ही बिंदु से आती है, इसलिए यहाँ समरूप त्रिभुज लगेंगे। लड़का और उसकी छाया s छोटा त्रिभुज बनाते हैं, जबकि खंभा और पूरी दूरी 10 + s मिलकर बड़ा त्रिभुज। छाया के सिरे पर दोनों का कोण एक ही है। तो $\frac{1.2}{s} = \frac{7.2}{10 + s}$, यानी $7.2s = 12 + 1.2s$। इससे $6s = 12$ और s = (a) 2 मीटर। साथ में यह भी मिल गया कि छाया का सिरा खंभे से 12 मीटर दूर है।

प्रश्न 10

26 मीटर लंबी एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और भूमि से 24 मीटर ऊँची एक खिड़की तक पहुँचती है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से कितनी दूर है? (a) 2 मीटर (b) 10 मीटर (c) 13 मीटर (d) 12 मीटर

उत्तर: सीढ़ी कर्ण है, तो $d = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} =$ (b) 10 मीटर। त्रिक याद हो, तो यह और जल्दी होता है। 10, 24, 26 असल में 5, 12, 13 का दोगुना है।

प्रश्न 11

दीवार से टिकी एक सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है, और उसका ऊपरी सिरा भूमि से 9 मीटर ऊपर है। सीढ़ी की लंबाई कितनी है? (a) 18 मीटर (b) $3\sqrt{3}$ मीटर (c) $9\sqrt{3}$ मीटर (d) $6\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: यहाँ 30° ऊपर है, दीवार और सीढ़ी के बीच। इसलिए सीढ़ी भूमि के साथ 60° बनाती है। 9 मीटर की ऊँचाई 60° के सामने है, तो $L = \frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{18}{\sqrt{3}} =$ (d) $6\sqrt{3}$ मीटर। ऊपर वाले कोने पर हल करें, तो भी यही आता है। वहाँ दीवार 30° से लगी भुजा है, तो $L = \frac{9}{\cos 30^\circ}$। अगर किसी ने 30° को भूमि वाला कोण समझ लिया, तो 18 मीटर आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 12

10 मीटर लंबी एक सीढ़ी का निचला सिरा किसी सड़क पर एक बिंदु पर है। एक ओर टिकाने पर वह 8 मीटर ऊँची एक खिड़की तक पहुँचती है। निचले सिरे को उसी स्थान पर रखते हुए दूसरी ओर घुमाने पर वह $5\sqrt{3}$ मीटर ऊँची एक खिड़की तक पहुँचती है। सड़क कितनी चौड़ी है? (a) 1 मीटर (b) 13 मीटर (c) 11 मीटर (d) 14 मीटर

उत्तर: दोनों ओर समकोण त्रिभुज हैं, और 10 मीटर की सीढ़ी दोनों में कर्ण है। पहली ओर निचला सिरा दीवार से $\sqrt{100 - 64} = 6$ मीटर दूर है। दूसरी ओर वह $\sqrt{100 - 75} = 5$ मीटर दूर है, यानी उस ओर सीढ़ी 60° पर खड़ी है। तो सड़क 6 + 5 = (c) 11 मीटर चौड़ी है। 1 मीटर तो निचले सिरे की दोनों दूरियों का अंतर है। वह तब आता, जब दोनों दीवारें एक ही ओर होतीं।

प्रश्न 13

14 मीटर लंबी एक सीढ़ी का निचला सिरा किसी सड़क पर एक बिंदु पर है। एक दीवार से टिकाने पर वह भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है; सामने वाली दीवार की ओर घुमाने पर वह भूमि के साथ 30° का कोण बनाती है। सड़क कितनी चौड़ी है? (a) $7(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (b) $7\sqrt{3}$ मीटर (c) 14 मीटर (d) $7(\sqrt{3} - 1)$ मीटर

उत्तर: हर ओर निचले सिरे की दीवार से दूरी निकालने के लिए सीढ़ी की लंबाई को भूमि वाले कोण के cos से गुणा करते हैं। तो दोनों दूरियाँ $14\cos 60^\circ = 7$ मीटर और $14\cos 30^\circ = 7\sqrt{3}$ मीटर हैं। सड़क की चौड़ाई इन दोनों का योग है, यानी (a) $7(\sqrt{3} + 1)$ मीटर, लगभग 19.1 मीटर।

प्रश्न 14

6.5 मीटर लंबी एक सीढ़ी दीवार से इस प्रकार टिकी है कि उसका निचला सिरा दीवार से 1.6 मीटर दूर है। सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर 0.7 मीटर नीचे खिसक जाता है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से कितना और दूर खिसक जाता है? (a) 0.7 मीटर (b) 1.7 मीटर (c) 3.3 मीटर (d) 4.9 मीटर

उत्तर: पहली स्थिति में ऊपरी सिरा $\sqrt{42.25 - 2.56} = \sqrt{39.69} = 6.3$ मीटर ऊपर है। 0.7 मीटर नीचे खिसकने पर वह 5.6 मीटर पर आ जाता है। अब निचले सिरे की दूरी $\sqrt{42.25 - 31.36} = \sqrt{10.89} = 3.3$ मीटर है। तो निचला सिरा 3.3 − 1.6 = (b) 1.7 मीटर खिसका। ध्यान रखिए, 3.3 मीटर यह बताता है कि निचला सिरा अंत में कहाँ है, यह नहीं कि वह कितना खिसका।

प्रश्न 15

14 मीटर लंबा एक बाँस दीवार से टिका है और दीवार के साथ 60° का कोण बनाता है। उसका निचला सिरा दीवार से कितनी दूर है? (a) 7 मीटर (b) $7\sqrt{3}$ मीटर (c) $14\sqrt{3}$ मीटर (d) $\frac{14\sqrt{3}}{3}$ मीटर

उत्तर: ऊपर वाले कोने पर देखें, तो दीवार 60° से लगी भुजा है, और भूमि पर दूरी d उसके सामने। तो $d = 14\sin 60^\circ = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} =$ (b) $7\sqrt{3}$ मीटर। 60° को भूमि वाला कोण मान लेते, तो 7 मीटर आता।

प्रश्न 16

एक पतंग 96 मीटर लंबी डोरी से उड़ रही है। डोरी सीधी है और भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। पतंग कितनी ऊँचाई पर है? (a) $48\sqrt{3}$ मीटर (b) 48 मीटर (c) $32\sqrt{3}$ मीटर (d) $96\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: डोरी कर्ण है, और ऊँचाई 60° के सामने वाली भुजा। तो $h = 96\sin 60^\circ = 96 \times \frac{\sqrt{3}}{2} =$ (a) $48\sqrt{3}$ मीटर, यानी लगभग 83 मीटर। ध्यान रखिए, 48 मीटर ऊँचाई नहीं है। यह भूमि पर, पतंग के ठीक नीचे वाले बिंदु तक की दूरी है।

प्रश्न 17

एक लड़का पतंग की डोरी को भूमि से 1.5 मीटर ऊपर पकड़े हुए है। डोरी 80 मीटर लंबी है और क्षैतिज के साथ 45° का कोण बनाती है। पतंग भूमि से कितनी ऊँचाई पर है? (a) $40\sqrt{2}$ मीटर (b) $(40\sqrt{2} + 1.5)$ मीटर (c) 81.5 मीटर (d) $(40\sqrt{2} - 1.5)$ मीटर

उत्तर: हाथ से गिनें, तो पतंग $80\sin 45^\circ = \frac{80}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2}$ मीटर ऊपर है। हाथ पहले से ही भूमि से 1.5 मीटर ऊपर है, इसलिए पतंग भूमि से (b) $(40\sqrt{2} + 1.5)$ मीटर ऊपर है, यानी लगभग 58.1 मीटर।

प्रश्न 18

12 मीटर ऊँचे एक खंभे के शिखर से भूमि पर गड़ी एक खूँटी तक एक तार तना है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाता है। तार की लंबाई कितनी है? (a) 24 मीटर (b) $4\sqrt{3}$ मीटर (c) $8\sqrt{3}$ मीटर (d) $12\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: तार कर्ण है, और खंभा 60° के सामने वाली भुजा। तो $w = \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{24}{\sqrt{3}} =$ (c) $8\sqrt{3}$ मीटर, यानी लगभग 13.9 मीटर। यह ठीक भी लगता है, क्योंकि 60° पर तार खंभे से थोड़ा ही लंबा होता है। 24 मीटर तब आता, जब तार 30° पर होता।

प्रश्न 19

60 मीटर लंबी एक रस्सी एक ऊर्ध्वाधर खड़ी चट्टान के शिखर से बँधी है और खींचकर समतल भूमि पर गड़ी एक खूँटी से बाँधी गई है। रस्सी भूमि के साथ 30° का कोण बनाती है। खूँटी, चट्टान के आधार से कितनी दूर है? (a) 30 मीटर (b) $20\sqrt{3}$ मीटर (c) $60\sqrt{3}$ मीटर (d) $30\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: रस्सी कर्ण है। चट्टान 30° के सामने है, तो वह रस्सी की आधी, यानी 30 मीटर ऊँची है। खूँटी की दूरी 30° से लगी भुजा है, तो वह $60\cos 30^\circ =$ (d) $30\sqrt{3}$ मीटर है। विकल्पों में दिया 30 मीटर चट्टान की ऊँचाई है, खूँटी की दूरी नहीं।

प्रश्न 20

7 मीटर और 15 मीटर ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे समतल भूमि पर एक-दूसरे से 15 मीटर की दूरी पर खड़े हैं। उनके शिखरों के बीच की दूरी कितनी है? (a) 17 मीटर (b) $15\sqrt{2}$ मीटर (c) 23 मीटर (d) 8 मीटर

उत्तर: 7 मीटर वाले खंभे के शिखर से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। यह 15 मीटर लंबी है, और बड़े खंभे से 7 मीटर की ऊँचाई पर मिलती है। उसके ऊपर बड़े खंभे का 15 − 7 = 8 मीटर भाग बचता है। शिखरों को जोड़ने वाली रेखा कर्ण है, तो दूरी $\sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} =$ (a) 17 मीटर है।

प्रश्न 21

10 मीटर और 16 मीटर ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभों के शिखर एक सीधे तार से जुड़े हैं, जो क्षैतिज के साथ 30° का कोण बनाता है। तार की लंबाई कितनी है? (a) $6\sqrt{3}$ मीटर (b) 12 मीटर (c) $4\sqrt{3}$ मीटर (d) 32 मीटर

उत्तर: यहाँ केवल ऊँचाइयों का अंतर काम आता है, यानी 16 − 10 = 6 मीटर। ऊपर वाले छोटे त्रिभुज में यह 6 मीटर वाली भुजा 30° के सामने है। तो तार $\frac{6}{\sin 30^\circ} =$ (b) 12 मीटर लंबा है। खंभों के बीच की दूरी भी इसी से निकल आती है, $6\sqrt{3}$ मीटर।

प्रश्न 22

भूमि से 1.1 मीटर ऊँचे एक मंच तक एक रैंप बनाना है, जो भूमि के साथ 30° का कोण बनाए। रैंप की लंबाई कितनी होगी? (a) $1.1\sqrt{3}$ मीटर (b) 0.55 मीटर (c) 2.2 मीटर (d) $2.2\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: रैंप कर्ण है, और 1.1 मीटर की ऊँचाई 30° के सामने वाली भुजा। 30° पर कर्ण सामने वाली भुजा का दोगुना होता है, तो रैंप (c) 2.2 मीटर लंबा होगा। $1.1\sqrt{3}$ मीटर वाला विकल्प न चुनें। वह भूमि पर क्षैतिज दूरी है, रैंप के निचले सिरे से मंच तक।

प्रश्न 23

एक पेड़ हवा से टूट जाता है। उसका शिखर पेड़ के आधार से 15 मीटर दूर भूमि को छूता है, और टूटा हुआ भाग भूमि के साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ की ऊँचाई कितनी थी? (a) $10\sqrt{3}$ मीटर (b) $5\sqrt{3}$ मीटर (c) 30 मीटर (d) $15\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: खड़ा भाग a, 30° के सामने है। भूमि पर 15 मीटर की दूरी 30° से लगी है, और टूटा भाग b कर्ण है। तो $a = 15\tan 30^\circ = 5\sqrt{3}$ मीटर और $b = \frac{15}{\cos 30^\circ} = 10\sqrt{3}$ मीटर। पेड़ की ऊँचाई a + b = (d) $15\sqrt{3}$ मीटर थी, यानी लगभग 26 मीटर। जल्दी में $10\sqrt{3}$ मीटर न चुन लें, वह केवल टूटा भाग है।

प्रश्न 24

24 मीटर ऊँचा एक पेड़ आँधी में इस प्रकार टूट जाता है कि उसका शिखर भूमि को छूता है और टूटा हुआ भाग भूमि के साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ कितनी ऊँचाई पर टूटा था? (a) 12 मीटर (b) 16 मीटर (c) $8\sqrt{3}$ मीटर (d) 8 मीटर

उत्तर: मान लेते हैं कि पेड़ x मीटर की ऊँचाई पर टूटा। खड़ा भाग x, 30° के सामने है, और टूटा भाग 24 − x कर्ण है। तो $\sin 30^\circ = \frac{x}{24 - x}$। इससे 24 − x = 2x, यानी 3x = 24 और x = (d) 8 मीटर। 16 मीटर वाला विकल्प टूटे भाग की लंबाई है, टूटने की ऊँचाई नहीं।