हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

नीचे 32 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनमें इस अध्याय के हर प्रकार के प्रश्न मिले-जुले हैं और उनका कोई तय क्रम नहीं है, ठीक वैसे ही जैसे परीक्षा के प्रश्नपत्र में होता है। हवाई जहाज़ वाले प्रश्न के बाद छाया वाला प्रश्न आ सकता है, और मूर्ति वाले के बाद सीढ़ी वाला।

CGL 2025 के टियर 1 की लगभग हर दो-तीन पालियों में से एक में इस अध्याय का प्रश्न आया था, और हर बार वह इन्हीं प्रकारों में से किसी एक का था।

कोई भी प्रश्न हल करने से पहले उसकी आकृति बना लीजिए। उसमें आधार पर समकोण का निशान लगाइए और दिया गया कोण लिखिए। यह कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से नापा जाता है। फिर जो लंबाई दी गई है, वह लिखिए, और जो निकालनी है, उसे h, x या d मान लीजिए।

आकृति बन जाए, तो देखिए कि कौन-सी भुजा दोनों त्रिभुजों में साझा है। कभी यह ऊँचाई होती है, जैसे जब मीनार को दो बिंदुओं से देखा जाए या कोई वस्तु चल रही हो। कभी यह दूरी होती है, जैसे चबूतरे पर खड़ी मूर्ति में, दूसरी मीनार वाले प्रश्न में या झील के प्रतिबिंब वाले प्रश्न में।

जब तक प्रश्न में $\sqrt{3}$ का मान न दिया हो, उत्तर करणी में ही लिखिए।

तीन प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। एक लैंप पोस्ट की छाया का है, एक झील में दिखते बादल का, और तीसरा वह है जिसका उत्तर $\alpha$, $\beta$ और d में आता है।

यहाँ दिया टियर 1 वाला हर प्रश्न परीक्षा में एक मिनट से कम में हो जाना चाहिए। जिस प्रश्न में बहुत ज़्यादा समय लगे, उसका छोटा रास्ता "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में देख लीजिए। फिर एक-दो दिन बाद वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

समतल भूमि पर स्थित एक बिंदु A से 7.5 मीटर ऊँचे एक खंभे के शिखर का उन्नयन कोण $\theta$ है, जहाँ $\tan\theta = \frac{5}{12}$ है। खंभे के आधार से A की दूरी तथा A से शिखर तक की दृष्टि रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: tan का मतलब है ऊँचाई ÷ दूरी, तो यहाँ ऊँचाई : दूरी $= 5 : 12$ है। यह 5-12-13 वाला त्रिक है, इसलिए दृष्टि रेखा 13 भाग होगी। अब 5 भाग = 7.5 मीटर है, तो एक भाग = 1.5 मीटर हुआ। दूरी $12 \times 1.5$ = 18 मीटर है, और दृष्टि रेखा $13 \times 1.5$ = 19.5 मीटर।

प्रश्न 2

किसी प्रकाश स्तंभ के शिखर से एक नाव का अवनमन कोण $30^\circ$ है, और शिखर से नाव तक की दृष्टि रेखा 150 मीटर लंबी है। प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई तथा उसके आधार से नाव की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: नाव से शिखर को देखें, तो उसका उन्नयन कोण (angle of elevation) भी $30^\circ$ ही होगा। दृष्टि रेखा कर्ण है, जो 2 भाग होता है। 150 मीटर = 2 भाग, तो एक भाग = 75 मीटर। ऊँचाई $30^\circ$ के सामने वाली भुजा है, जो 1 भाग है, तो प्रकाश स्तंभ 75 मीटर ऊँचा है। आधार से नाव की दूरी $\sqrt{3}$ भाग है, यानी $75 \times 1.732$ = 129.9 मीटर।

प्रश्न 3

जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^\circ$ होता है, तब किसी मीनार की छाया, उन्नयन कोण $45^\circ$ होने की तुलना में 24 मीटर अधिक लंबी होती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: $45^\circ$ पर छाया ठीक ऊँचाई h के बराबर होती है, और $30^\circ$ पर छाया $\sqrt{3}h$ होती है। दोनों छायाओं में 24 मीटर का अंतर है, तो $h(\sqrt{3} - 1) = 24$। इससे $h = \frac{24}{\sqrt{3} - 1} = \frac{24(\sqrt{3} + 1)}{2} = 12(\sqrt{3} + 1) = 12 \times 2.732$ = 32.78 मीटर आता है।

प्रश्न 4

9 मीटर और 14 मीटर ऊँचे दो खंभे समतल भूमि पर ऊर्ध्वाधर खड़े हैं। एक सीधा तार उनके शिखरों को जोड़ता है और क्षैतिज के साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है। तार की लंबाई तथा दोनों खंभों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छोटे खंभे के शिखर से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींच लेते हैं। इस रेखा के ऊपर बड़े खंभे का $14 - 9 = 5$ मीटर हिस्सा बचता है, और यही 5 मीटर $30^\circ$ के सामने है। तो 5 मीटर = 1 भाग। तार कर्ण है, यानी 2 भाग, इसलिए तार 10 मीटर लंबा है। खंभों के बीच की दूरी $\sqrt{3}$ भाग है, यानी $5\sqrt{3}$ मीटर, लगभग 8.66 मीटर।

प्रश्न 5

किसी मीनार के एक ही ओर, उसके आधार के साथ एक ही रेखा में स्थित दो बिंदु A और B एक-दूसरे से 20 मीटर दूर हैं। इनसे मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। मीनार की ऊँचाई तथा आधार से B की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: दोनों बिंदुओं से एक ही मीनार दिखती है, तो दोनों त्रिभुजों में ऊँचाई h एक ही है। B से कोण $45^\circ$ है, तो B आधार से h दूर है। A से कोण $30^\circ$ है, तो A आधार से $\sqrt{3}h$ दूर है। A और B के बीच 20 मीटर की दूरी है, इसलिए $\sqrt{3}h - h = 20$, और $h = \frac{20}{\sqrt{3} - 1} = 10(\sqrt{3} + 1)$ = 27.32 मीटर। B आधार से h दूर है, तो उसकी दूरी भी 27.32 मीटर है।

प्रश्न 6

$800\sqrt{3}$ मीटर की ऊँचाई पर क्षैतिज दिशा में उड़ता हुआ एक हवाई जहाज़ एक प्रेक्षक के ठीक ऊपर से गुज़रता है। ऊपर से गुज़रने से ठीक पहले उसका उन्नयन कोण $60^\circ$ है; 25 सेकंड बाद, दूसरी ओर, यह $30^\circ$ है। हवाई जहाज़ की चाल किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हवाई जहाज़ प्रेक्षक के ऊपर से निकलकर दूसरी ओर चला गया है, इसलिए दोनों क्षैतिज दूरियाँ जोड़नी होंगी। पहले वह एक ओर $800\sqrt{3}\cot 60^\circ = 800$ मीटर दूर था। बाद में वह दूसरी ओर $800\sqrt{3}\cot 30^\circ = 800 \times 3 = 2400$ मीटर दूर है। तो 25 सेकंड में उसने 3200 मीटर तय किए, यानी उसकी चाल 128 मीटर/सेकंड है। इसे किमी/घंटा में बदलें, तो $128 \times \frac{18}{5}$ = 460.8 किमी/घंटा आता है।

प्रश्न 7

18 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से किसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $45^\circ$ है और उसके आधार का अवनमन कोण $30^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई तथा इमारत और मीनार के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: छत पर खड़े होकर आँख की सीध में एक क्षैतिज रेखा मान लेते हैं। इस रेखा से नीचे मीनार का आधार है, जिसका अवनमन कोण (angle of depression) $30^\circ$ है। तो बीच की दूरी $d = 18\cot 30^\circ = 18\sqrt{3}$ मीटर है। इसी रेखा से ऊपर मीनार का शिखर $45^\circ$ पर दिखता है, तो मीनार छत से $d = 18\sqrt{3}$ मीटर और ऊँची है। मतलब मीनार $18 + 18\sqrt{3} = 18(1 + \sqrt{3})$ = 49.18 मीटर ऊँची है, और बीच की दूरी $18\sqrt{3}$ = 31.18 मीटर है।

प्रश्न 8

एक व्यक्ति, जिसकी आँखें भूमि से 1.7 मीटर ऊपर हैं, किसी इमारत से 30 मीटर दूर खड़ा है और उसके शिखर को $60^\circ$ के उन्नयन कोण पर देखता है। इमारत की ऊँचाई कितनी है? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: पहले आँख वाली रेखा से ऊपर का हिस्सा निकालते हैं। इमारत इस रेखा से $30\tan 60^\circ = 30\sqrt{3} = 51.96$ मीटर ऊपर तक जाती है। आँख वाली रेखा ख़ुद भूमि से 1.7 मीटर ऊपर है, तो इमारत की ऊँचाई $51.96 + 1.7$ = 53.66 मीटर है।

प्रश्न 9

आँधी में एक पेड़ टूट जाता है। टूटा हुआ भाग, खड़े भाग के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है, और उसका शिखर पेड़ के आधार से 9 मीटर दूर भूमि को छूता है। टूटने से पहले पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: ध्यान दीजिए, यहाँ $60^\circ$ का कोण टूटने की जगह पर दोनों भागों के बीच बना है। तो टूटा भाग भूमि के साथ $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ का कोण बनाता है। अब खड़ा भाग $9\tan 30^\circ = 3\sqrt{3}$ मीटर है, और टूटा भाग $\frac{9}{\cos 30^\circ} = 6\sqrt{3}$ मीटर। दोनों भाग मिलाकर पूरा पेड़ था, तो टूटने से पहले पेड़ $9\sqrt{3}$ = 15.59 मीटर ऊँचा था।

प्रश्न 10

भूमि से 2.4 किमी की ऊँचाई पर उड़ रहे एक हवाई जहाज़ से एक गाँव का अवनमन कोण $30^\circ$ है। गाँव, हवाई जहाज़ के ठीक नीचे भूमि पर स्थित बिंदु से कितनी दूर है, और हवाई जहाज़ से कितनी दूर है? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: गाँव से ऊपर देखें, तो हवाई जहाज़ भी $30^\circ$ के उन्नयन कोण पर दिखता है। यहाँ 2.4 किमी की ऊँचाई 1 भाग है। भूमि पर दूरी $\sqrt{3}$ भाग है, यानी $2.4 \times 1.732 = 4.157$, लगभग 4.16 किमी। हवाई जहाज़ से गाँव की दूरी दृष्टि रेखा है, जो 2 भाग है, तो यह 4.8 किमी हुई।

प्रश्न 11

किसी मीनार के आधार से 10 मीटर और 30 मीटर दूर, उसके एक ही ओर तथा उसके साथ एक ही रेखा में स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण कोटिपूरक हैं। मीनार की ऊँचाई तथा दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: जब दोनों उन्नयन कोण कोटिपूरक कोण (complementary angles) हों, तो ऊँचाई का वर्ग दोनों दूरियों के गुणनफल के बराबर होता है। यहाँ $h^2 = 10 \times 30 = 300$, तो h = $10\sqrt{3}$ मीटर। 10 मीटर दूर वाले बिंदु पर $\tan = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$ है, यानी वहाँ का कोण $60^\circ$ है। 30 मीटर दूर वाले बिंदु पर $\tan = \frac{10\sqrt{3}}{30} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, यानी वहाँ का कोण $30^\circ$ है। जाँच के लिए दोनों कोण जोड़िए। योग $90^\circ$ आता है, जैसा होना चाहिए।

प्रश्न 12

एक गुब्बारा एक बिंदु A से 5 मीटर/सेकंड की एकसमान चाल से सीधा ऊपर उठता है। एक प्रेक्षक समतल भूमि पर A से 150 मीटर दूर खड़ा है। गुब्बारे का उन्नयन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ होने में कितना समय लगता है? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: यहाँ प्रेक्षक की दूरी नहीं बदलती, वह 150 मीटर ही रहती है। तो दोनों बार की ऊँचाई निकाल लेते हैं। $30^\circ$ पर गुब्बारा $\frac{150}{\sqrt{3}} = 50\sqrt{3}$ मीटर ऊपर है, और $60^\circ$ पर $150\sqrt{3}$ मीटर ऊपर। इस बीच वह $100\sqrt{3}$ मीटर ऊपर उठा। 5 मीटर/सेकंड की चाल से इसमें $20\sqrt{3}$ = 34.64 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 13

5 मीटर ऊँची एक मूर्ति एक चबूतरे पर खड़ी है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से चबूतरे के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण $30^\circ$ है और मूर्ति के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण $45^\circ$ है। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: चबूतरे की ऊँचाई p मान लेते हैं, और बिंदु से आधार की दूरी d। मूर्ति चबूतरे के ऊपर ही खड़ी है, तो दोनों ऊपरी सिरों के लिए यही दूरी d लगेगी। मूर्ति का ऊपरी सिरा $45^\circ$ पर दिखता है, तो वह d ऊँचाई पर है, और $d = p + 5$। चबूतरे का ऊपरी सिरा $30^\circ$ पर दिखता है, तो चबूतरे की ऊँचाई $\frac{d}{\sqrt{3}}$ है, जिससे $d = \sqrt{3}p$ आता है। दोनों में d एक ही है, तो $\sqrt{3}p = p + 5$, यानी $p(\sqrt{3} - 1) = 5$। इससे $p = \frac{5}{\sqrt{3} - 1} = 2.5(\sqrt{3} + 1) = 2.5 \times 2.732$ = 6.83 मीटर आता है।

प्रश्न 14

6 मीटर ऊँचे एक खंभे की छाया समतल भूमि पर $2\sqrt{3}$ मीटर लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। उसी क्षण एक मीनार की छाया 15 मीटर लंबी है; मीनार की ऊँचाई कितनी है?

उत्तर: खंभे की ऊँचाई को उसकी छाया से भाग दें, तो $\tan\theta = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ आता है। मतलब सूर्य का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। उसी समय हर खड़ी चीज़ की ऊँचाई अपनी छाया की $\sqrt{3}$ गुनी होगी। इसलिए मीनार $15\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, लगभग 25.98 मीटर।

प्रश्न 15

13 मीटर लंबी एक सीढ़ी एक दीवार से टिकी है और भूमि से 12 मीटर ऊपर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। फिर उसके निचले सिरे को दीवार से तब तक दूर खींचा जाता है जब तक उसका ऊपरी सिरा भूमि से केवल 5 मीटर ऊपर न रह जाए। निचला सिरा कितना खिसकाया गया, और ऊपरी सिरा कितना नीचे खिसका?

उत्तर: सीढ़ी, दीवार और भूमि मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसका कर्ण 13 मीटर है। यहाँ पाइथागोरस प्रमेय लगेगा, जो अध्याय 12 "ज्यामिति" में आता है। पहले निचला सिरा दीवार से $\sqrt{169 - 144} = 5$ मीटर दूर था, और बाद में $\sqrt{169 - 25} = 12$ मीटर दूर है। तो निचला सिरा $12 - 5$ = 7 मीटर खिसका। ऊपरी सिरा 12 मीटर से 5 मीटर पर आ गया, तो वह भी 7 मीटर नीचे खिसका। दोनों बार 5-12-13 वाला ही त्रिभुज है, बस घूम गया है।

प्रश्न 16

84 मीटर ऊँची एक खड़ी चट्टान के शिखर से, चट्टान के एक ही ओर स्थित दो नावों के अवनमन कोण $45^\circ$ और $60^\circ$ हैं। दोनों नावों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: जिस नाव का कोण बड़ा है, वह चट्टान के पास है। $60^\circ$ वाली नाव आधार से $\frac{84}{\sqrt{3}} = 28\sqrt{3}$ मीटर दूर है, और $45^\circ$ वाली नाव 84 मीटर दूर। दोनों एक ही ओर हैं, तो नावों के बीच की दूरी $84 - 28\sqrt{3} = 84 - 48.50$ = 35.50 मीटर है।

प्रश्न 17

एक ट्रक एकसमान चाल से एक सीधी सड़क पर किसी मीनार की ओर जा रहा है। मीनार के शिखर से उसका अवनमन कोण 8 मिनट में $30^\circ$ से बदलकर $45^\circ$ हो जाता है। मीनार के आधार तक पहुँचने में उसे और कितना समय लगेगा? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: मीनार की ऊँचाई h मान लेते हैं। शुरू में ट्रक आधार से $\sqrt{3}h$ दूर था, और अब h दूर है। तो 8 मिनट में वह $h(\sqrt{3} - 1)$ चला, और अभी h दूरी बाकी है। चाल एकसमान है, इसलिए बचा समय $\frac{8}{\sqrt{3} - 1} = 4(\sqrt{3} + 1) = 4 \times 2.732$ = 10.93 मिनट है, लगभग 10 मिनट 56 सेकंड। मीनार की ऊँचाई जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

प्रश्न 18

28 मीटर और 52 मीटर ऊँची दो मीनारें समतल भूमि पर आमने-सामने खड़ी हैं। छोटी मीनार के शिखर से बड़ी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। दोनों मीनारों के बीच की दूरी तथा उनके शिखरों को मिलाने वाली रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छोटी मीनार के शिखर से बड़ी मीनार तक एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। यह रेखा बड़ी मीनार को 28 मीटर की ऊँचाई पर छूती है, तो उसके ऊपर 24 मीटर बचते हैं। यही 24 मीटर $30^\circ$ के सामने है, तो 24 मीटर = 1 भाग। मीनारों के बीच की दूरी $\sqrt{3}$ भाग है, यानी $24\sqrt{3}$ मीटर। शिखरों को मिलाने वाली रेखा कर्ण है, जो 2 भाग है, तो उसकी लंबाई 48 मीटर है।

प्रश्न 19

किसी मीनार के आधार से 30 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण $15^\circ$ है। $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ और $\sqrt{3} = 1.732$ लेकर मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ सीधे tan से ऊँचाई निकल आती है। $h = 30\tan 15^\circ = 30(2 - \sqrt{3}) = 60 - 51.96$ = 8.04 मीटर। ऊँचाई दूरी से बहुत कम आई है। $15^\circ$ जैसे छोटे कोण पर ऐसा ही होना चाहिए, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 20

एक पतंग भूमि से 46.5 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। उसकी डोरी भूमि से 1.5 मीटर ऊपर पकड़ी गई है, सीधी तनी हुई है और क्षैतिज के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है। डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: डोरी हाथ से शुरू होती है, इसलिए त्रिभुज की ऊँचाई भी हाथ से नापेंगे, यानी $46.5 - 1.5 = 45$ मीटर। डोरी कर्ण है, तो उसकी लंबाई $\frac{45}{\sin 60^\circ} = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}$ = 51.96 मीटर है।

प्रश्न 21

[Tier 2] 1.6 मीटर लंबी एक लड़की एक लैंप पोस्ट के आधार से 1.2 मीटर/सेकंड की चाल से दूर जा रही है। लैंप भूमि से 4.8 मीटर ऊपर है। 5 सेकंड बाद उसकी छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 5 सेकंड में लड़की $1.2 \times 5 = 6$ मीटर चलती है। लैंप की रोशनी लड़की के सिर को छूती हुई छाया के सिरे तक पहुँचती है। इसलिए लड़की और लैंप पोस्ट से दो समरूप समकोण त्रिभुज बनते हैं, जिनमें छाया के सिरे वाला कोण एक ही है। छाया s मीटर मान लें, तो $\frac{1.6}{s} = \frac{4.8}{6 + s}$। इससे $4.8s = 1.6(6 + s) = 9.6 + 1.6s$, यानी $3.2s = 9.6$, तो छाया 3 मीटर लंबी है।

प्रश्न 22

दो नावें 75 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तंभ के विपरीत ओर, उसके आधार के साथ एक सीधी रेखा में हैं। शिखर से नावों के अवनमन कोण $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। दोनों नावों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: शिखर से हर नाव का अवनमन कोण, उस नाव से शिखर के उन्नयन कोण के बराबर होता है। $45^\circ$ वाली नाव आधार से 75 मीटर दूर है, और $30^\circ$ वाली $75\sqrt{3}$ मीटर। नावें विपरीत ओर हैं, तो दोनों दूरियाँ जोड़ देते हैं। नावों के बीच की दूरी $75 + 75\sqrt{3} = 75(1 + \sqrt{3}) = 75 \times 2.732$ = 204.9 मीटर है।

प्रश्न 23

72 मीटर चौड़ी एक सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खंभे खड़े हैं। उनके बीच सड़क पर स्थित एक बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं। खंभों की ऊँचाई तथा दोनों खंभों से उस बिंदु की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: खंभों की ऊँचाई h मान लेते हैं। बिंदु एक खंभे से $h\cot 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$ दूर है, और दूसरे से $h\cot 30^\circ = \sqrt{3}h$ दूर। ये दोनों दूरियाँ जोड़ें, तो सड़क की पूरी चौड़ाई आती है, यानी $\frac{h}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}h = \frac{4h}{\sqrt{3}} = 72$। इससे h = $18\sqrt{3}$ मीटर आता है, लगभग 31.18 मीटर। अब बिंदु पहले वाले खंभे से $\frac{h}{\sqrt{3}}$ = 18 मीटर दूर है, और दूसरे से $\sqrt{3}h$ = 54 मीटर।

प्रश्न 24

एक व्यक्ति 6 किमी/घंटा की चाल से तेज़ कदमों से सीधे किसी मीनार की ओर चल रहा है। 2 मिनट में मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ से बदलकर $60^\circ$ हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, और यह भी कि उसी चाल से मीनार तक पहुँचने में उसे अभी कितना समय और लगेगा। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: पहले चली दूरी मीटर में निकालते हैं। चाल $6 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{3}$ मीटर/सेकंड है, और 2 मिनट = 120 सेकंड। तो वह $\frac{5}{3} \times 120 = 200$ मीटर चला। कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हुआ है, और ऐसे में चली दूरी बची दूरी की दोगुनी होती है। मतलब वह अभी आधार से 100 मीटर दूर है। इसलिए मीनार की ऊँचाई $100\sqrt{3}$ = 173.2 मीटर है। बचे 100 मीटर चली दूरी के आधे हैं, तो समय भी आधा लगेगा, यानी 1 मिनट।

प्रश्न 25

किसी पहाड़ी की चोटी से नीचे समतल सड़क पर एक मील के पत्थर का अवनमन कोण $\theta$ है, जहाँ $\tan\theta = \frac{3}{4}$ है। मील का पत्थर, पहाड़ी की चोटी के ठीक नीचे वाले बिंदु से 1.2 किमी दूर है। पहाड़ी की ऊँचाई तथा चोटी से मील के पत्थर तक की सीधी दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मील के पत्थर से चोटी का उन्नयन कोण भी $\theta$ ही है, इसलिए ऊँचाई : भूमि पर दूरी $= 3 : 4$ है। यह 3-4-5 वाला त्रिक है, तो दृष्टि रेखा 5 भाग होगी। 4 भाग = 1.2 किमी, तो एक भाग = 0.3 किमी। पहाड़ी की ऊँचाई $3 \times 0.3$ = 0.9 किमी (900 मीटर) है, और चोटी से मील का पत्थर $5 \times 0.3$ = 1.5 किमी दूर है।

प्रश्न 26

भूमि से 15 मीटर ऊपर स्थित एक खिड़की से, सड़क के उस पार खड़ी एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। खिड़की के ठीक नीचे, इमारत के आधार से उसी शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई तथा सड़क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: सड़क की चौड़ाई d और मीनार की ऊँचाई h मान लेते हैं। इमारत के आधार से देखने पर $h = d\tan 60^\circ = \sqrt{3}d$ आता है। खिड़की से देखें, तो शिखर आँख वाली रेखा से $h - 15$ ऊपर है, इसलिए $h - 15 = d\tan 30^\circ = \frac{d}{\sqrt{3}}$। पहले समीकरण में से दूसरा घटा दें, तो $\sqrt{3}d - \frac{d}{\sqrt{3}} = 15$, यानी $\frac{2d}{\sqrt{3}} = 15$। इससे $d = 7.5\sqrt{3}$ = 12.99 मीटर आता है। तो मीनार की ऊँचाई $h = \sqrt{3} \times 7.5\sqrt{3}$ = 22.5 मीटर है।

प्रश्न 27

किसी मीनार के आधार से 60 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। यह कोण $45^\circ$ होने के लिए मीनार की ओर कितना चलना होगा, और $60^\circ$ होने के लिए उसके बाद कितना और? ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: पहले मीनार की ऊँचाई निकालते हैं, जो $60\tan 30^\circ = 20\sqrt{3}$ मीटर है। $45^\circ$ पर दूरी ऊँचाई के बराबर होती है, यानी $20\sqrt{3} = 34.64$ मीटर। तो पहली बार $60 - 34.64$ = 25.36 मीटर चलना होगा। $60^\circ$ पर दूरी $\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$ मीटर रह जाती है, तो उसके बाद $34.64 - 20$ = 14.64 मीटर और चलना होगा। इससे जाँच भी हो जाती है। दोनों बार मिलाकर 40 मीटर चले, जो अभी बचे 20 मीटर का दोगुना है, और $30^\circ$ से $60^\circ$ वाला नियम यही कहता है।

प्रश्न 28

मीनार A के आधार से मीनार B के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, और B के आधार से A के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। B की ऊँचाई 45 मीटर है। A की ऊँचाई तथा दोनों मीनारों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों त्रिभुजों की आधार-रेखा एक ही है, यानी दोनों मीनारों के आधारों के बीच की दूरी d। A के आधार से B का शिखर देखें, तो $45 = d\tan 60^\circ$, और d = $15\sqrt{3}$ मीटर। B के आधार से A का शिखर देखें, तो A की ऊँचाई $d\tan 30^\circ = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 15 मीटर है। यह प्रश्न एक पंक्ति में भी हो जाता है। दोनों ऊँचाइयाँ $\tan 30^\circ : \tan 60^\circ = 1 : 3$ के अनुपात में हैं, तो A की ऊँचाई B की एक-तिहाई है।

प्रश्न 29

किसी पहाड़ी पर चढ़ती एक सीधी सड़क क्षैतिज के साथ $30^\circ$ के एकसमान कोण पर ऊपर उठती है। एक साइकिल सवार 14 किमी/घंटा की चाल से उस पर चढ़ता है। 3 मिनट बाद वह कितने मीटर अधिक ऊँचाई पर होगा?

उत्तर: 3 मिनट में साइकिल सवार $14 \times \frac{3}{60} = 0.7$ किमी चलता है, यानी सड़क के साथ-साथ 700 मीटर। सड़क यहाँ कर्ण है, और ऊँचाई में बढ़त $30^\circ$ के सामने वाली भुजा है। तो वह $700\sin 30^\circ$ = 350 मीटर अधिक ऊँचाई पर होगा।

प्रश्न 30

60 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से एक लैंप पोस्ट के ऊपरी सिरे और आधार के अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $60^\circ$ हैं। लैंप पोस्ट की ऊँचाई तथा इमारत से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: पहले लैंप पोस्ट के आधार वाले कोण से बीच की दूरी निकालते हैं। $d = 60\cot 60^\circ = 20\sqrt{3}$ मीटर, यानी लगभग 34.64 मीटर। अब छत पर आँख की सीध वाली क्षैतिज रेखा लेते हैं। लैंप पोस्ट का ऊपरी सिरा इस रेखा से $d\tan 30^\circ = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$ मीटर नीचे है। तो लैंप पोस्ट $60 - 20$ = 40 मीटर ऊँचा है।

प्रश्न 31

[Tier 2] किसी झील की सतह से 12 मीटर ऊपर स्थित एक बिंदु से एक बादल का उन्नयन कोण $45^\circ$ है और झील में उसके प्रतिबिंब का अवनमन कोण $60^\circ$ है। झील से बादल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: मान लीजिए बादल झील से H ऊपर है, और प्रेक्षण बिंदु से उसकी क्षैतिज दूरी x है। झील में प्रतिबिंब सतह से उतना ही नीचे दिखता है, जितना बादल ऊपर है, यानी H नीचे। प्रेक्षण बिंदु 12 मीटर ऊपर है, इसलिए बादल आँख वाली रेखा से $H - 12$ ऊपर है, और प्रतिबिंब उससे $H + 12$ नीचे। अब $H - 12 = x\tan 45^\circ = x$ और $H + 12 = x\tan 60^\circ = \sqrt{3}x$। दूसरे में से पहला घटाएँ, तो $24 = x(\sqrt{3} - 1)$, यानी $x = 12(\sqrt{3} + 1)$। तो $H = x + 12 = 12(2 + \sqrt{3}) = 12 \times 3.732$ = 44.78 मीटर।

प्रश्न 32

[Tier 2] किसी मीनार के एक ही ओर, उसके आधार के साथ एक ही रेखा में स्थित दो बिंदु एक-दूसरे से d दूरी पर हैं। इन बिंदुओं से शिखर के उन्नयन कोण $\alpha$ और $\beta$ हैं, जहाँ $\beta > \alpha$ है। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई $\frac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}$ है।

उत्तर: पास वाले बिंदु से शिखर बड़े कोण $\beta$ पर दिखता है, तो वह बिंदु आधार से $h\cot\beta$ दूर है। दूसरा बिंदु आधार से $h\cot\alpha$ दूर है। इन दोनों दूरियों का अंतर d है, तो $h(\cot\alpha - \cot\beta) = d$। अब हर cot को 1 ÷ tan लिख देते हैं। इससे $h \times \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{\tan\alpha\tan\beta} = d$ आता है, यानी $h = \frac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}$। जाँच के लिए $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ और $d = 40$ रखकर देखते हैं। सूत्र से $\frac{40 \times 1}{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{40\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$ आता है। $30^\circ$ से $60^\circ$ वाले नियम से भी ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 40$ होती है, जो इसी के बराबर है।