दो ऊँचाइयाँ: मीनार, इमारतें और मूर्तियाँ

छत से: शिखर का उन्नयन कोण, आधार का अवनमन कोण

मान लीजिए एक प्रेक्षक h ऊँची इमारत AB की छत पर खड़ा है। उसके सामने एक मीनार CD है, जो इस इमारत से ऊँची है। प्रेक्षक को मीनार का शिखर C अपनी आँख के स्तर से ऊपर, उन्नयन कोण (angle of elevation) $\alpha$ पर दिखता है। मीनार का आधार D उसे नीचे, अवनमन कोण (angle of depression) $\beta$ पर दिखता है।

अब उसकी आँख से मीनार तक एक क्षैतिज रेखा AE खींचिए। यह रेखा मीनार को दो भागों में बाँट देती है।

• रेखा के नीचे वाला भाग ED है। यह इमारत के बराबर है, यानी ED = AB = h।
• रेखा के ऊपर वाला भाग CE है। यह मीनार की अतिरिक्त ऊँचाई है, यानी मीनार का वह हिस्सा जो इमारत से ऊपर है।

रेखा AE की लंबाई दोनों के बीच की दूरी के बराबर है, यानी AE = BD = d।

पहले अवनमन कोण से दूरी निकालिए, फिर उन्नयन कोण से ऊपर वाला भाग।

$$d = h\cot\beta, \quad CE = d\tan\alpha, \quad CD = h + d\tan\alpha$$

संख्याओं के साथ: मान लीजिए इमारत 20 मीटर ऊँची है। छत से मीनार के आधार का अवनमन कोण 30° है और शिखर का उन्नयन कोण 60°। तब दूरी $d = 20\cot 30^\circ = 20\sqrt{3}$ मीटर है। ऊपर वाला भाग $CE = 20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 60$ मीटर है। तो मीनार 20 + 60 = 80 मीटर ऊँची है।

हल करने का क्रम याद रखिए। पहले वह त्रिभुज लीजिए जिसमें दो बातें पहले से पता हों। यहाँ वह नीचे वाला त्रिभुज है, जिसमें h और $\beta$ दिए हैं। उसके बाद दूसरा त्रिभुज लीजिए। उसकी भुजा d वही है जो पहले त्रिभुज से निकली थी।

अगर प्रेक्षक छत की जगह किसी खिड़की से देख रहा हो, तब भी आकृति यही रहती है। बस छत की ऊँचाई की जगह खिड़की की ऊँचाई ले लीजिए। अवनमन कोण 45° हो, तो काम और भी आसान हो जाता है। तब d सीधे आँख की ऊँचाई के बराबर होती है।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। कई छात्र CE को ही मीनार की ऊँचाई लिख देते हैं, जैसे ऊपर वाले उदाहरण में 60 मीटर। पर CE तो आँख के स्तर से शुरू होता है। रेखा के नीचे वाला भाग h अभी जोड़ना बाकी है।

इमारत के शिखर और आधार से

अब दोनों कोण एक ही शिखर C के उन्नयन कोण हैं। एक कोण इमारत के आधार B से नापा गया है और दूसरा उसी इमारत के शिखर A से। आधार नीचे है, इसलिए वहाँ से C बड़े कोण $\beta$ पर दिखता है। इमारत के शिखर से वही C छोटे कोण $\alpha$ पर दिखता है।

मान लीजिए मीनार H ऊँची है, इमारत h ऊँची है और दोनों के बीच की दूरी d है। तब

$$H = d\tan\beta, \quad H - h = d\tan\alpha$$

दूसरे समीकरण को पहले से भाग दीजिए। d कट जाता है।

$$\frac{H - h}{H} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}$$

शिखर से 30°, आधार से 60°: यहाँ अनुपात $\frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ है। मतलब H − h, पूरी मीनार H का एक-तिहाई है। तो इमारत मीनार की दो-तिहाई हुई, और $H = \frac{3h}{2}$। आकृति में इमारत 40 मीटर की है, तो मीनार 60 मीटर की होगी। दोनों के बीच की दूरी $d = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}$ मीटर है।

शिखर से 45°, आधार से 60°: अब $\frac{H - h}{H} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ आता है। इससे $H = \frac{\sqrt{3}h}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(3 + \sqrt{3})h}{2}$ मिलता है। जैसे इमारत 16 मीटर की हो, तो मीनार $8(3 + \sqrt{3})$ मीटर की होगी, यानी लगभग 37.86 मीटर।

यह वही "एक ही ओर" वाली बात है, जो हमने "दो कोण और गतिमान वस्तुएँ" वाले खंड में देखी थी। फ़र्क बस इतना है कि यहाँ दोनों प्रेक्षक एक के पीछे एक नहीं, बल्कि एक के ऊपर एक हैं। वहाँ प्रेक्षक जितनी दूरी चलता था, वह काम आती थी। यहाँ उसकी जगह इमारत की ऊँचाई काम आती है।

ऊँची मीनार से: छोटी इमारत के शिखर और आधार के अवनमन कोण

अब उलटी स्थिति लेते हैं। प्रेक्षक H ऊँची मीनार AB के शिखर A पर है। सामने एक छोटी इमारत CD है। उसे इमारत का शिखर C अवनमन कोण $\alpha$ पर और आधार D अवनमन कोण $\beta$ पर दिखता है। आधार ज़्यादा नीचे है, इसलिए उसका कोण $\beta$ बड़ा होता है।

A से एक क्षैतिज रेखा खींचिए। DC को ऊपर बढ़ाइए, तो यह उस रेखा से E पर मिलती है। अब AE = BD = d और ED = H।

आधार वाले त्रिभुज से $d = H\cot\beta$ मिलता है, और शिखर वाले त्रिभुज से $EC = d\tan\alpha$। ED में से EC घटा दें, तो जो भाग बचता है, वही इमारत की ऊँचाई है।

$$h = H - d\tan\alpha = H(1 - \tan\alpha\cot\beta)$$

30° और 60°: यहाँ $\tan 30^\circ \cot 60^\circ = \frac{1}{3}$ है, तो $h = \frac{2H}{3}$। मान लीजिए मीनार 48 मीटर की है। तब $d = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}$ मीटर और EC = 16 मीटर आता है। तो इमारत 48 − 16 = 32 मीटर ऊँची है।

30° और 45°: अब $\tan 30^\circ \cot 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। 30 मीटर की मीनार से देखें, तो दूरी भी 30 मीटर होगी, क्योंकि आधार 45° पर है। EC = $\frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ मीटर आता है। तो इमारत $30 - 10\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, लगभग 12.68 मीटर।

एक बात ध्यान रखिए। EC दोनों ऊँचाइयों का अंतर है, जैसे पहली स्थिति में 16 मीटर। कुछ प्रश्न ठीक यही अंतर पूछते हैं और कुछ इमारत की ऊँचाई। इसलिए विकल्प चुनने से पहले प्रश्न की आख़िरी पंक्ति एक बार फिर पढ़ लीजिए।

आमने-सामने खड़ी दो मीनारें

हर शिखर, दूसरी मीनार के आधार से: मान लीजिए दो मीनारों की ऊँचाई h और H है, और उनके बीच की दूरी d है। पहली मीनार के आधार से दूसरी का शिखर $\beta$ पर दिखता है। दूसरी के आधार से पहली का शिखर $\alpha$ पर दिखता है।

यहाँ नियम सीधा है। हर मीनार की ऊँचाई = d × उस कोण का tan, जिस पर उसका अपना शिखर दिखता है।

$$h = d\tan\alpha, \quad H = d\tan\beta, \quad h : H = \tan\alpha : \tan\beta$$

जैसे कोण 30° और 60° हों, तो ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{1}{\sqrt{3}} : \sqrt{3} = 1 : 3$ है। बड़ी मीनार 72 मीटर की हो, तो छोटी 24 मीटर की होगी। दोनों के बीच की दूरी $\frac{72}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3}$ मीटर है। ध्यान दीजिए, ऊँचाई के लिए दूरी पहले निकालना ज़रूरी नहीं था। अनुपात से ही काम हो गया।

छोटी मीनार के शिखर पर कोण: कभी पूछा जाता है कि छोटी मीनार के शिखर A से बड़ी मीनार का शिखर C किस कोण $\theta$ पर दिखता है। A से बड़ी मीनार तक क्षैतिज रेखा AE खींचिए। AE मीनारों के बीच की दूरी के बराबर है, और CE दोनों ऊँचाइयों का अंतर है। तो

$$\tan\theta = \frac{H - h}{d}$$

उदाहरण के लिए, 20 मीटर और 50 मीटर की दो मीनारें एक-दूसरे से $30\sqrt{3}$ मीटर दूर खड़ी हैं। तब $\tan\theta = \frac{30}{30\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, यानी $\theta = 30^\circ$। दोनों शिखरों को मिलाने वाली रेखा AC की लंबाई $\frac{CE}{\sin 30^\circ} = 60$ मीटर है।

अगर केवल ऊँचाइयाँ और दूरी दी हों और लंबाई AC पूछी जाए, तो यह सीधा पाइथागोरस का प्रश्न है। ऐसे प्रश्न हम "छाया, सीढ़ी, डोरी और ढलान" वाले खंड में देख चुके हैं।

यहाँ θ के सामने वाली भुजा ऊँचाइयों का अंतर है, पूरी ऊँचाई नहीं। कोई पूरे 50 मीटर ले ले, तो $\tan\theta = \frac{5}{3\sqrt{3}}$ आता है। यह तो किसी मानक कोण का tan भी नहीं है।

चबूतरे पर मूर्ति या ध्वजदंड

मान लीजिए s ऊँची एक मूर्ति AC एक p ऊँचे चबूतरे (pedestal) पर खड़ी है। चबूतरे से d मीटर दूर भूमि पर एक बिंदु O है। O से देखने पर चबूतरे का ऊपरी सिरा C कोण $\alpha$ पर दिखता है। यही C मूर्ति का निचला सिरा भी है। मूर्ति का ऊपरी सिरा A कोण $\beta$ पर दिखता है।

दोनों कोण O की एक ही क्षैतिज रेखा से नापे जाते हैं। इसलिए दोनों त्रिभुजों का आधार एक ही है, यानी d।

$$p = d\tan\alpha, \quad p + s = d\tan\beta, \quad s = d(\tan\beta - \tan\alpha)$$

आमतौर पर प्रश्न में s दिया होता है और p पूछा जाता है। तब तीसरे समीकरण से d निकालिए, फिर पहले समीकरण से p।

संख्याओं के साथ: चबूतरे पर 2.4 मीटर ऊँची एक मूर्ति है, और कोण 45° और 60° हैं। तब $d(\sqrt{3} - 1) = 2.4$ होगा, यानी $d = \frac{2.4}{\sqrt{3} - 1} = 1.2(\sqrt{3} + 1)$ मीटर। चबूतरे का ऊपरी सिरा 45° पर है, इसलिए चबूतरे की ऊँचाई d के बराबर ही है। यानी $p = 1.2(\sqrt{3} + 1)$ मीटर, लगभग 3.28 मीटर।

इमारत पर लगा ध्वजदंड (flagstaff), मीनार पर खंभा, छत पर एंटीना या मंच पर खड़ा कोई व्यक्ति, इन सबकी आकृति भी यही है। हर बार बस यह पहचानिए कि निचला भाग कौन-सा है और ऊपरी भाग कौन-सा। समीकरण वही रहते हैं।

[SSC टिप] प्रश्न में चबूतरे की ऊँचाई भी पूछी जा सकती है, मूर्ति की भी और कुल ऊँचाई भी। विकल्पों में तीनों मान हो सकते हैं। ऊपर वाले उदाहरण में कुल ऊँचाई $1.2(3 + \sqrt{3})$ मीटर है, लगभग 5.68 मीटर। इसलिए उत्तर पर निशान लगाने से पहले देख लीजिए कि प्रश्न किस भाग की ऊँचाई पूछ रहा है।

चबूतरे के झटपट अनुपात, और छत पर व्यक्ति

30° और 60°: इन कोणों पर चबूतरा $\frac{d}{\sqrt{3}}$ ऊँचा होता है और कुल ऊँचाई $d\sqrt{3}$ होती है। यानी कुल ऊँचाई चबूतरे की तीन गुनी है। तो मूर्ति चबूतरे की दुगुनी होती है, s = 2p। उदाहरण के लिए, इन्हीं कोणों पर 6 मीटर की मूर्ति हो, तो चबूतरा 3 मीटर का होगा और प्रेक्षक उससे $3\sqrt{3}$ मीटर दूर होगा।

30° और 45°, या 45° और 60°: इन दोनों जोड़ियों में कुल ऊँचाई निचले भाग की $\sqrt{3}$ गुनी होती है। 30° और 45° में कुल ऊँचाई d होती है और निचला भाग $\frac{d}{\sqrt{3}}$। 45° और 60° में कुल ऊँचाई $d\sqrt{3}$ होती है और निचला भाग d। इसलिए ऊपरी भाग निचले भाग का $\sqrt{3} - 1$ गुना होता है।

$$s = (\sqrt{3} - 1)p, \quad p = \frac{s}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)s}{2}$$

मान लीजिए एक मीनार पर 8 मीटर का ध्वजदंड लगा है। ध्वजदंड का निचला सिरा 30° पर और ऊपरी सिरा 45° पर दिखता है। तो मीनार $\frac{8}{\sqrt{3} - 1} = 4(\sqrt{3} + 1)$ मीटर ऊँची है, लगभग 10.93 मीटर।

छत पर व्यक्ति: कई बार प्रेक्षक छत पर खड़ा होता है। तब उसकी आँखें छत से लगभग उसकी अपनी ऊँचाई जितनी ऊपर होती हैं। त्रिभुजों में भूमि से आँख की ऊँचाई ही लेनी होती है।

एक उदाहरण लेते हैं। 20 मीटर ऊँची इमारत की छत पर एक व्यक्ति खड़ा है, और उसकी आँखें छत से 1.6 मीटर ऊपर हैं, यानी भूमि से 21.6 मीटर ऊपर। उसे मीनार का शिखर 30° पर और आधार 45° पर दिखता है। आधार 45° पर है, तो मीनार भी 21.6 मीटर दूर है। शिखर आँखों से $\frac{21.6}{\sqrt{3}} = 7.2\sqrt{3}$ मीटर ऊपर है। तो मीनार $21.6 + 7.2\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, लगभग 34.07 मीटर।

अगर व्यक्ति के 1.6 मीटर छोड़ दें, तो $20 + \frac{20}{\sqrt{3}}$ मीटर आता है, लगभग 31.55 मीटर। यह गलत मान भी विकल्पों में अलग से दिया होता है।

दो मीनारों या खंभों के बीच एक बिंदु

समतल भूमि पर दो मीनारें AB और CD खड़ी हैं। उनके आधारों को मिलाने वाली रेखा पर, दोनों मीनारों के बीच में एक बिंदु P है। P से दोनों मीनारों के शिखर $\alpha$ और $\beta$ कोणों पर दिखते हैं।

हर मीनार की ऊँचाई को उसके कोण के cot से गुणा करें, तो P से उस मीनार की दूरी मिलती है। दोनों दूरियों को जोड़ें, तो मीनारों के बीच का पूरा फ़ासला मिल जाता है।

$$BP = h_1\cot\alpha, \quad PD = h_2\cot\beta, \quad BD = h_1\cot\alpha + h_2\cot\beta$$

असमान मीनारें: मान लीजिए मीनारें 45 मीटर और 15 मीटर की हैं, और P से उनके शिखर 60° और 30° पर दिखते हैं। तब $BP = \frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3}$ मीटर और $PD = 15 \times \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$ मीटर आता है। यानी P ठीक बीच में है, और मीनारों के बीच $30\sqrt{3}$ मीटर की दूरी है।

सड़क के दोनों ओर बराबर खंभे: जब $h_1 = h_2 = h$ हो, तो यह वही विपरीत ओर वाला प्रश्न है, जो हमने "दो कोण और गतिमान वस्तुएँ" वाले खंड में देखा था। सड़क की चौड़ाई $h(\cot\alpha + \cot\beta)$ होती है। जैसे सड़क 40 मीटर चौड़ी हो और कोण 60° और 30° हों, तो $h \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 40$ होगा। इससे हर खंभा $10\sqrt{3}$ मीटर ऊँचा निकलता है। P एक खंभे से 10 मीटर और दूसरे से 30 मीटर दूर है।

बराबर कोण: अगर दोनों शिखर एक ही कोण पर दिखें, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। तब दूरियाँ ऊँचाइयों के अनुपात में होती हैं। मान लीजिए 15 मीटर और 35 मीटर की मीनारें एक-दूसरे से 100 मीटर दूर हैं। तब P इन 100 मीटर को 15 : 35 = 3 : 7 में बाँटता है। तो P छोटी मीनार से 30 मीटर दूर है।

मध्य-बिंदु से कोटिपूरक कोण: अगर P मध्य-बिंदु हो और दोनों कोणों का योग 90° हो, तो $\tan\alpha\tan\beta = 1$ होता है। इसलिए $\frac{h_1}{BD/2} \times \frac{h_2}{BD/2} = 1$, यानी $h_1h_2 = \left(\frac{BD}{2}\right)^2$। जैसे मीनारें 16 मीटर और 9 मीटर की हों, तो उनकी ऊँचाइयों के गुणनफल का वर्गमूल 12 है। यही आधी दूरी है, इसलिए दोनों के बीच 2 × 12 = 24 मीटर की दूरी होनी ही चाहिए।

खड़ी चट्टान पर प्रकाश स्तंभ, और नीचे नावें

नाव से देखने पर: एक खड़ी चट्टान c ऊँची है और उसके किनारे पर L ऊँचा प्रकाश स्तंभ खड़ा है। चट्टान से d मीटर दूर एक नाव है। नाव से चट्टान का शिखर $\alpha$ पर दिखता है। यही बिंदु प्रकाश स्तंभ का आधार भी है। प्रकाश स्तंभ का शिखर $\beta$ पर दिखता है।

ध्यान से देखिए, यह फिर से चबूतरे पर मूर्ति वाली आकृति है। बस चबूतरे की जगह चट्टान है।

$$c = d\tan\alpha, \quad L = d(\tan\beta - \tan\alpha)$$

मान लीजिए प्रकाश स्तंभ 24 मीटर का है और कोण 30° और 45° हैं। यहाँ $\sqrt{3} - 1$ वाला नियम सीधे लग जाता है, तो चट्टान $c = \frac{24}{\sqrt{3} - 1} = 12(\sqrt{3} + 1)$ मीटर ऊँची है, लगभग 32.78 मीटर। नाव चट्टान से $c\sqrt{3} = 12(3 + \sqrt{3})$ मीटर दूर है।

वही कोण, अवनमन कोण के रूप में: यही बात प्रश्न में दूसरी तरह से भी दी जा सकती है। प्रकाश स्तंभ के शिखर से नाव अवनमन कोण $\beta$ पर दिखती है, और उसके आधार से अवनमन कोण $\alpha$ पर। एकांतर कोण (alternate angles) बराबर होते हैं, इसलिए नाव से इन दोनों बिंदुओं के उन्नयन कोण भी यही हैं। ऊपर वाला हल वैसा ही रहता है।

दो नावें: कभी चट्टान पर बने प्रकाश स्तंभ के शिखर से दो नावें दिखती हैं। दोनों चट्टान के आधार के साथ एक रेखा में होती हैं और दो अलग अवनमन कोणों पर दिखती हैं। यहाँ आँख की ऊँचाई के लिए कुल ऊँचाई लीजिए, यानी चट्टान और प्रकाश स्तंभ दोनों को जोड़कर। इसके बाद यह वही दो नावों वाला प्रश्न है, जो "दो कोण और गतिमान वस्तुएँ" वाले खंड में आया था।

जैसे 40 मीटर की चट्टान पर 20 मीटर का प्रकाश स्तंभ हो, तो आँख 60 मीटर ऊपर हुई। नावें एक ही ओर 30° और 60° पर दिखती हैं, तो दोनों के बीच $60 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}$ मीटर की दूरी है।

[SSC टिप] आँख की ऊँचाई के लिए केवल चट्टान के 40 मीटर या केवल प्रकाश स्तंभ के 20 मीटर ले लिए, तो उत्तर साफ़-सुथरा तो आएगा, पर गलत होगा। ये दोनों गलत उत्तर भी विकल्पों में दिए होते हैं।

[Tier 2] झील में बादल का प्रतिबिंब

एक प्रेक्षक O शांत झील की सतह से h मीटर ऊपर है। एक बादल P पानी से H मीटर ऊपर है। शांत पानी दर्पण की तरह काम करता है। इसलिए बादल का प्रतिबिंब (reflection) P' सतह से H मीटर नीचे दिखता है, ठीक बादल के नीचे।

O से बादल उन्नयन कोण $\alpha$ पर दिखता है और उसका प्रतिबिंब अवनमन कोण $\beta$ पर। मान लीजिए O से बादल वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी x है।

अब सब कुछ O की आँख के स्तर से नापिए। बादल इस स्तर से H − h ऊपर है, और प्रतिबिंब H + h नीचे।

$$H - h = x\tan\alpha, \quad H + h = x\tan\beta$$

एक समीकरण को दूसरे से भाग दीजिए, तो x हट जाता है।

$$\frac{H + h}{H - h} = \frac{\tan\beta}{\tan\alpha} \Rightarrow H = \frac{h(\tan\beta + \tan\alpha)}{\tan\beta - \tan\alpha}$$

30° और 60°: यहाँ अनुपात $\frac{\tan 60^\circ}{\tan 30^\circ}$ = 3 है। तो H + h = 3(H − h), जिससे H = 2h आता है। जैसे प्रेक्षक झील से 50 मीटर ऊपर हो, तो बादल पानी से 100 मीटर ऊपर होगा। साथ में $x = \frac{H - h}{\tan 30^\circ} = 50\sqrt{3}$ मीटर भी मिल जाता है, और बादल प्रेक्षक से $\frac{x}{\cos 30^\circ} = 100$ मीटर दूर है।

30° और 45°: अब अनुपात $\sqrt{3}$ है, तो $H = \frac{h(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 1} = h(2 + \sqrt{3})$। जैसे झील से 20 मीटर ऊपर से देखें, तो बादल $20(2 + \sqrt{3})$ मीटर ऊँचा होगा, लगभग 74.64 मीटर। 45° और 60° वाली जोड़ी में भी यही अनुपात आता है, इसलिए उत्तर भी वही रहता है।

झील वाले प्रश्नों में एक गलती अक्सर होती है। कुछ छात्र प्रतिबिंब की गहराई पानी की सतह से नहीं, प्रेक्षक के स्तर से नाप लेते हैं, और दोनों के लिए H − h लिख देते हैं। सही बात यह है कि प्रतिबिंब पानी से उतना ही नीचे होता है, जितना बादल पानी से ऊपर।

[Tier 2] $\alpha$, $\beta$, h और d में उत्तर

कुछ प्रश्नों में संख्याओं की जगह अक्षर दिए होते हैं, और विकल्पों में सूत्र होते हैं। तरीका वही रहता है। पहले की तरह समीकरण लिखिए, जो अक्षर पूछा गया है उसे निकालिए और फिर सरल कर लीजिए। अब तक की सभी स्थितियों के नतीजे एक जगह देख लीजिए।

पहली पंक्ति का सूत्र कहाँ से आता है, यह देख लेते हैं। शुरुआत $h\cot\alpha - h\cot\beta = d$ से कीजिए। अब हर cot को 1 ÷ tan लिखकर साझा हर ले लीजिए। तब $h \times \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{\tan\alpha\tan\beta} = d$ आता है, और इससे h निकल आता है।

संख्याएँ रखकर विकल्प जाँचना: विकल्पों में सूत्र हों, तो अक्षरों की जगह ऐसे कोण रख दीजिए जिनका उत्तर आपको पहले से पता हो। जैसे छत वाली स्थिति में h = 20, $\alpha = 60^\circ$ और $\beta = 30^\circ$ रखिए। इस खंड की शुरुआत में इन्हीं मानों से मीनार 80 मीटर आई थी। सूत्र से $20(1 + \sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 80$ आता है, तो सूत्र मेल खाता है। अब विकल्प $h(1 + \cot\alpha\tan\beta)$ लीजिए। इससे $20\left(1 + \frac{1}{3}\right)$ आता है, जो 80 नहीं है। तो यह विकल्प हट गया।

जाँच के लिए कोण सोच-समझकर चुनिए। 30° और 60° पर $\tan\alpha\tan\beta = 1$ होता है। तब $\frac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}$ और $\frac{d}{\tan\beta - \tan\alpha}$ दोनों से एक ही संख्या आती है, जबकि सूत्र अलग-अलग हैं। कोई दूसरी जोड़ी लीजिए, जैसे 30° और 45°, तो दोनों के मान अलग हो जाते हैं।

कभी-कभी यही नतीजे sin के रूप में भी लिखे मिलते हैं। अध्याय 15 (त्रिकोणमिति) में हमने देखा था कि $\tan\beta - \tan\alpha = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos\alpha\cos\beta}$ होता है। इसे लगाने पर पहली पंक्ति $h = \frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\beta - \alpha)}$ हो जाती है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

33 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से किसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और उसके आधार का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) $11(3 + \sqrt{3})$ मीटर (b) $33(1 + \sqrt{3})$ मीटर (c) $11\sqrt{3}$ मीटर (d) $11(3 - \sqrt{3})$ मीटर

उत्तर: छत से मीनार तक एक क्षैतिज रेखा खींच लेते हैं। नीचे की ओर आधार का अवनमन कोण 45° है, तो दोनों के बीच की दूरी इमारत की ऊँचाई के बराबर है, यानी 33 मीटर। रेखा के ऊपर मीनार $33\tan 30^\circ = \frac{33}{\sqrt{3}} = 11\sqrt{3}$ मीटर और उठती है। तो मीनार $33 + 11\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, यानी (a) $11(3 + \sqrt{3})$ मीटर, लगभग 52.05 मीटर।

प्रश्न 2

24 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से किसी मीनार के आधार का अवनमन कोण 60° है और उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (a) 48 मीटर (b) 8 मीटर (c) 32 मीटर (d) 40 मीटर

उत्तर: पहले अवनमन कोण से दूरी निकालते हैं, $d = 24\cot 60^\circ = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ मीटर। आँख के स्तर से ऊपर मीनार का भाग $8\sqrt{3}\tan 30^\circ = 8$ मीटर है। इसमें आँख के स्तर से नीचे के 24 मीटर जोड़ दें, तो मीनार (c) 32 मीटर की है। पहले कदम पर tan और cot की अदला-बदली हो जाए, तो दूरी $24\sqrt{3}$ मीटर आएगी और मीनार 48 मीटर की। यह उत्तर गलत है।

प्रश्न 3

भूमि से 12 मीटर ऊपर स्थित एक खिड़की से, सड़क के दूसरी ओर बनी एक इमारत के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसके आधार का अवनमन कोण 30° है। इमारत की ऊँचाई है: (a) 36 मीटर (b) 48 मीटर (c) 60 मीटर (d) 24 मीटर

उत्तर: आधार 30° के अवनमन कोण पर है, तो सड़क की चौड़ाई $12\cot 30^\circ = 12\sqrt{3}$ मीटर है। खिड़की के स्तर से ऊपर इमारत $12\sqrt{3}\tan 60^\circ = 12\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 36$ मीटर है। खिड़की से नीचे के 12 मीटर जोड़ देते हैं, तो इमारत (b) 48 मीटर ऊँची है।

प्रश्न 4

30 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर और आधार से किसी मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) 60 मीटर (b) 90 मीटर (c) $30\sqrt{3}$ मीटर (d) 45 मीटर

उत्तर: मीनार की ऊँचाई H और दोनों के बीच की दूरी d मान लेते हैं। इमारत के आधार से कोण 60° है, तो $H = d\sqrt{3}$। इमारत के शिखर से कोण 30° है, तो $H - 30 = \frac{d}{\sqrt{3}}$, और यह H का एक-तिहाई है। इसलिए $H - 30 = \frac{H}{3}$, यानी $\frac{2H}{3} = 30$। इससे H = (d) 45 मीटर आता है।

प्रश्न 5

12 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर और आधार से किसी मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई है: (a) $6(3 + \sqrt{3})$ मीटर (b) $6(3 - \sqrt{3})$ मीटर (c) $12\sqrt{3}$ मीटर (d) $12(\sqrt{3} + 1)$ मीटर

उत्तर: इमारत के आधार से $H = d\sqrt{3}$ मिलता है। शिखर से कोण 45° है, तो छत से ऊपर मीनार का भाग दूरी के बराबर है, यानी H − 12 = d। दोनों को मिलाने पर $H - 12 = \frac{H}{\sqrt{3}}$, तो $H(\sqrt{3} - 1) = 12\sqrt{3}$। अब $H = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 6(3 + \sqrt{3})$, यानी (a) $6(3 + \sqrt{3})$ मीटर, लगभग 28.4 मीटर।

प्रश्न 6

66 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से किसी इमारत के शिखर और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (a) 22 मीटर (b) 44 मीटर (c) 33 मीटर (d) $22\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: इमारत का आधार 60° के अवनमन कोण पर है, तो इमारत मीनार से $66\cot 60^\circ = 22\sqrt{3}$ मीटर दूर है। उसका शिखर मीनार के शिखर से $22\sqrt{3}\tan 30^\circ = 22$ मीटर नीचे है। तो इमारत 66 − 22 = (b) 44 मीटर ऊँची है। 22 मीटर उत्तर नहीं है। यह तो केवल इतना बताता है कि इमारत का शिखर मीनार के शिखर से कितना नीचे है।

प्रश्न 7

45 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से किसी इमारत के शिखर और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। इमारत की ऊँचाई कितनी है? (a) $15(3 + \sqrt{3})$ मीटर (b) $15\sqrt{3}$ मीटर (c) $15(3 - \sqrt{3})$ मीटर (d) 30 मीटर

उत्तर: इमारत का आधार 60° पर है, तो दोनों के बीच की दूरी $45\cot 60^\circ = 15\sqrt{3}$ मीटर है। इमारत के शिखर का अवनमन कोण 45° है। इसलिए वह शिखर आँख के स्तर से उतना ही नीचे है, जितनी दूरी है, यानी $15\sqrt{3}$ मीटर। तो इमारत $45 - 15\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, यानी (c) $15(3 - \sqrt{3})$ मीटर, लगभग 19 मीटर।

प्रश्न 8

एक मीनार के आधार से किसी इमारत के शिखर का उन्नयन कोण 30° है, और इमारत के आधार से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 81 मीटर ऊँची है, तो इमारत की ऊँचाई कितनी है? (a) 40.5 मीटर (b) $27\sqrt{3}$ मीटर (c) 54 मीटर (d) 27 मीटर

उत्तर: दोनों कोणों के त्रिभुजों का आधार एक ही है, यानी दोनों के बीच की दूरी d। मीनार की ऊँचाई $d\tan 60^\circ$ है और इमारत की $d\tan 30^\circ$। तो इमारत : मीनार = 1 : 3। इसलिए इमारत की ऊँचाई $\frac{81}{3}$ है, यानी (d) 27 मीटर।

प्रश्न 9

25 मीटर और 40 मीटर ऊँची दो मीनारें एक-दूसरे से $15\sqrt{3}$ मीटर की दूरी पर खड़ी हैं। छोटी मीनार के शिखर से बड़ी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण कितना है? (a) $30^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $15^\circ$

उत्तर: छोटी मीनार के शिखर से बड़ी मीनार तक एक क्षैतिज रेखा खींच लेते हैं। इस रेखा की लंबाई $15\sqrt{3}$ मीटर है। इसके ऊपर बड़ी मीनार 40 − 25 = 15 मीटर और उठती है। कोण को θ मानें, तो $\tan\theta = \frac{15}{15\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, और कोण (a) $30^\circ$ है।

प्रश्न 10

3.6 मीटर ऊँची एक मूर्ति एक चबूतरे पर खड़ी है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से मूर्ति के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 60° है और चबूतरे के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 45° है। चबूतरे की ऊँचाई कितनी है? (a) $1.8(\sqrt{3} - 1)$ मीटर (b) $1.8(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (c) $3.6\sqrt{3}$ मीटर (d) $3.6(\sqrt{3} + 1)$ मीटर

उत्तर: बिंदु को चबूतरे से d दूरी पर मान लेते हैं। चबूतरे का ऊपरी सिरा 45° पर है, तो चबूतरा भी d ऊँचा है। मूर्ति का ऊपरी सिरा 60° पर है, तो कुल ऊँचाई $d\sqrt{3}$ है। मूर्ति इन दोनों का अंतर है, इसलिए $d(\sqrt{3} - 1) = 3.6$। इससे $d = \frac{3.6}{\sqrt{3} - 1} = 1.8(\sqrt{3} + 1)$, तो चबूतरा (b) $1.8(\sqrt{3} + 1)$ मीटर ऊँचा है, लगभग 4.92 मीटर।

प्रश्न 11

12 मीटर ऊँची एक इमारत की छत के सामने वाले किनारे पर एक मस्तूल खड़ा है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से मस्तूल के निचले सिरे और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। मस्तूल की लंबाई कितनी है? (a) 36 मीटर (b) 12 मीटर (c) 24 मीटर (d) $12\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: कोण 30° और 60° हैं, तो कुल ऊँचाई निचले भाग की तीन गुनी होगी। यहाँ निचला भाग इमारत है, यानी 12 मीटर। तो मस्तूल का ऊपरी सिरा भूमि से 36 मीटर ऊपर है। मस्तूल की लंबाई 36 − 12 = (c) 24 मीटर है।

प्रश्न 12

7 मीटर ऊँची एक मूर्ति एक खंभे पर खड़ी है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से मूर्ति के निचले सिरे और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। वह बिंदु खंभे से कितनी दूर है? (a) $7\sqrt{3}$ मीटर (b) 3.5 मीटर (c) 10.5 मीटर (d) $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ मीटर

उत्तर: 30° और 60° पर मूर्ति खंभे की दुगुनी होती है, तो खंभा 3.5 मीटर ऊँचा है। 30° वाले त्रिभुज से दूरी $3.5\cot 30^\circ = 3.5\sqrt{3}$ मीटर आती है, यानी (d) $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ मीटर। जाँच भी कर लेते हैं। मूर्ति का ऊपरी सिरा भूमि से 10.5 मीटर ऊपर है, और $\frac{10.5}{3.5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} = \tan 60^\circ$, तो सब ठीक है।

प्रश्न 13

एक व्यक्ति 28.5 मीटर ऊँची एक इमारत की छत पर खड़ा है; उसकी आँखें छत से 1.5 मीटर ऊपर हैं। उसे किसी मीनार का शिखर 30° के उन्नयन कोण पर और उसका आधार 60° के अवनमन कोण पर दिखाई देता है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) 40 मीटर (b) 38 मीटर (c) 60 मीटर (d) 41.5 मीटर

उत्तर: उसकी आँखें भूमि से 28.5 + 1.5 = 30 मीटर ऊपर हैं, तो हिसाब में यही ऊँचाई लेंगे। मीनार $30\cot 60^\circ = 10\sqrt{3}$ मीटर दूर है, और उसका शिखर आँखों से $10\sqrt{3}\tan 30^\circ = 10$ मीटर ऊपर है। तो मीनार 30 + 10 = (a) 40 मीटर ऊँची है। 30 मीटर की जगह केवल छत की ऊँचाई 28.5 मीटर ले ली, तो उत्तर 38 मीटर निकलेगा, जो गलत है।

प्रश्न 14

56 मीटर चौड़ी एक सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खंभे खड़े हैं। उनके बीच सड़क पर स्थित एक बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। प्रत्येक खंभे की ऊँचाई कितनी है? (a) $28\sqrt{3}$ मीटर (b) $14\sqrt{3}$ मीटर (c) 14 मीटर (d) 42 मीटर

उत्तर: हर खंभे की ऊँचाई h मान लेते हैं। बिंदु एक खंभे से $h\cot 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$ दूर है और दूसरे से $h\cot 30^\circ = h\sqrt{3}$ दूर। दोनों दूरियाँ मिलकर सड़क की चौड़ाई हैं, तो $\frac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3} = \frac{4h}{\sqrt{3}} = 56$। इससे $h = 14\sqrt{3}$ मीटर आता है, यानी (b) $14\sqrt{3}$ मीटर। बिंदु पहले खंभे से 14 मीटर और दूसरे से 42 मीटर दूर है।

प्रश्न 15

दो मीनारें एक-दूसरे से $50\sqrt{3}$ मीटर की दूरी पर खड़ी हैं। पहली मीनार 30 मीटर ऊँची है। उनके आधारों को मिलाने वाली रेखा पर, उनके बीच स्थित एक बिंदु से पहली मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और दूसरी मीनार के शिखर का 60°। दूसरी मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) 20 मीटर (b) $60\sqrt{3}$ मीटर (c) 60 मीटर (d) 40 मीटर

उत्तर: बिंदु पहली मीनार से $30\cot 30^\circ = 30\sqrt{3}$ मीटर दूर है। तो दूसरी मीनार से उसकी दूरी $50\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ मीटर है। दूसरी मीनार की ऊँचाई $20\sqrt{3}\tan 60^\circ = 20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 60$ मीटर है, यानी (c) 60 मीटर।

प्रश्न 16

दो मीनारों के आधारों को मिलाने वाली रेखा के मध्य-बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण कोटिपूरक हैं। मीनारें 36 मीटर और 16 मीटर ऊँची हैं। वे एक-दूसरे से कितनी दूरी पर हैं? (a) 48 मीटर (b) 24 मीटर (c) 52 मीटर (d) 26 मीटर

उत्तर: आधी दूरी x मान लेते हैं। तब $\tan\alpha = \frac{36}{x}$ और $\tan\beta = \frac{16}{x}$। कोण कोटिपूरक हैं, इसलिए $\tan\alpha\tan\beta = 1$। तो $\frac{576}{x^2} = 1$, यानी x = 24। मीनारों के बीच की पूरी दूरी इसकी दुगुनी है, यानी 2 × 24 = (a) 48 मीटर। x पर ही रुक गए, तो केवल आधी दूरी मिलेगी।

प्रश्न 17

20 मीटर ऊँचा एक प्रकाश स्तंभ एक खड़ी चट्टान के किनारे पर खड़ा है। समुद्र में एक नाव से प्रकाश स्तंभ के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और चट्टान के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (a) $10(\sqrt{3} - 1)$ मीटर (b) $20\sqrt{3}$ मीटर (c) $20(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (d) $10(\sqrt{3} + 1)$ मीटर

उत्तर: यहाँ चट्टान चबूतरे जैसी है और प्रकाश स्तंभ मूर्ति जैसा। चट्टान का शिखर 45° पर है, तो चट्टान की ऊँचाई नाव की दूरी d के बराबर है। प्रकाश स्तंभ का शिखर 60° पर है, तो कुल ऊँचाई $d\sqrt{3}$ है। प्रकाश स्तंभ इन दोनों का अंतर है, इसलिए $d(\sqrt{3} - 1) = 20$, और $d = 10(\sqrt{3} + 1)$। तो चट्टान (d) $10(\sqrt{3} + 1)$ मीटर ऊँची है, लगभग 27.3 मीटर।

प्रश्न 18

36 मीटर ऊँची एक खड़ी चट्टान पर 18 मीटर ऊँचा एक प्रकाश स्तंभ खड़ा है। प्रकाश स्तंभ के शिखर से, एक ही ओर तथा चट्टान के आधार के साथ एक ही रेखा में स्थित दो नावें 60° और 30° के अवनमन कोणों पर दिखाई देती हैं। दोनों नावों के बीच की दूरी कितनी है? (a) $24\sqrt{3}$ मीटर (b) $36\sqrt{3}$ मीटर (c) $72\sqrt{3}$ मीटर (d) $12\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: देखने वाले की आँख प्रकाश स्तंभ के शिखर पर है, यानी समुद्र से 36 + 18 = 54 मीटर ऊपर। नावें चट्टान के आधार से $54\cot 60^\circ = 18\sqrt{3}$ मीटर और $54\cot 30^\circ = 54\sqrt{3}$ मीटर दूर हैं। दोनों के बीच $36\sqrt{3}$ मीटर का फ़ासला है, यानी (b) $36\sqrt{3}$ मीटर। कोई केवल चट्टान की ऊँचाई लेने की गलती करे, तो उसे $24\sqrt{3}$ मीटर मिलेगा।

प्रश्न 19

[Tier 2] एक व्यक्ति किसी झील की सतह से 30 मीटर ऊपर है। उससे एक बादल का उन्नयन कोण 30° है और झील में बादल के प्रतिबिंब का अवनमन कोण 60° है। झील से बादल की ऊँचाई कितनी है? (a) 45 मीटर (b) 90 मीटर (c) 60 मीटर (d) $30\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: मान लेते हैं कि बादल पानी से H ऊपर है और व्यक्ति से उसकी क्षैतिज दूरी x है। बादल आँख के स्तर से H − 30 ऊपर है, तो $H - 30 = x\tan 30^\circ$। प्रतिबिंब पानी से H नीचे है, यानी आँख से H + 30 नीचे। इसलिए $H + 30 = x\tan 60^\circ$। एक समीकरण को दूसरे से भाग देने पर $\frac{H + 30}{H - 30} = 3$, तो H + 30 = 3H − 90, और H = (c) 60 मीटर।

प्रश्न 20

[Tier 2] किसी झील से 25 मीटर ऊपर स्थित एक बिंदु से एक हेलीकॉप्टर का उन्नयन कोण 45° है और झील में उसके प्रतिबिंब का अवनमन कोण 60° है। झील से हेलीकॉप्टर की ऊँचाई है: (a) $25(2 + \sqrt{3})$ मीटर (b) $25(2 - \sqrt{3})$ मीटर (c) $50\sqrt{3}$ मीटर (d) $25(\sqrt{3} + 1)$ मीटर

उत्तर: प्रेक्षक के स्तर से हेलीकॉप्टर H − 25 ऊपर है। कोण 45° है, तो यह ऊँचाई क्षैतिज दूरी x के बराबर है। प्रतिबिंब प्रेक्षक के स्तर से H + 25 नीचे है, और यह $x\sqrt{3}$ के बराबर है। तो $H + 25 = \sqrt{3}(H - 25)$, यानी $H(\sqrt{3} - 1) = 25(\sqrt{3} + 1)$। इससे $H = \frac{25(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 1} = 25(2 + \sqrt{3})$, यानी (a) $25(2 + \sqrt{3})$ मीटर, लगभग 93.3 मीटर।

प्रश्न 21

[Tier 2] h ऊँचाई की एक इमारत के शिखर से किसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $\alpha$ है और उसके आधार का अवनमन कोण $\beta$ है। मीनार की ऊँचाई है: (a) $h(1 + \cot\alpha\tan\beta)$ (b) $h(1 + \tan\alpha\cot\beta)$ (c) $h\tan\alpha\cot\beta$ (d) $h(1 - \tan\alpha\cot\beta)$

उत्तर: अवनमन कोण से दूरी निकलती है, $d = h\cot\beta$। छत के स्तर से ऊपर मीनार का भाग $d\tan\alpha = h\tan\alpha\cot\beta$ है। नीचे का भाग h जोड़ दें, तो मीनार $h + h\tan\alpha\cot\beta$ ऊँची है, यानी (b) $h(1 + \tan\alpha\cot\beta)$। जाँच के लिए h = 20, $\alpha = 60^\circ$ और $\beta = 30^\circ$ रखकर देखते हैं। $20(1 + 3) = 80$ मीटर आता है, और नोट्स में भी इन्हीं मानों से यही उत्तर निकला था।

प्रश्न 22

[Tier 2] s ऊँचाई की एक मूर्ति एक चबूतरे पर खड़ी है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से मूर्ति के निचले सिरे और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। चबूतरे की ऊँचाई है: (a) $\frac{s\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}$ (b) $\frac{s}{\tan\beta - \tan\alpha}$ (c) $\frac{s(\tan\beta - \tan\alpha)}{\tan\alpha}$ (d) $\frac{s\tan\alpha}{\tan\beta - \tan\alpha}$

उत्तर: बिंदु को चबूतरे से d दूर और चबूतरे को p ऊँचा मान लेते हैं। तब $p = d\tan\alpha$ और $p + s = d\tan\beta$। दूसरे में से पहला घटाएँ, तो $s = d(\tan\beta - \tan\alpha)$, यानी $d = \frac{s}{\tan\beta - \tan\alpha}$। इसे $p = d\tan\alpha$ में रखने पर चबूतरे की ऊँचाई (d) $\frac{s\tan\alpha}{\tan\beta - \tan\alpha}$ आती है। जिस विकल्प के अंश में $\tan\beta$ है, वह कुल ऊँचाई p + s है, चबूतरा नहीं।