उन्नयन और अवनमन

  • दृष्टि रेखा (line of sight) आँख को वस्तु से जोड़ती है। उन्नयन और अवनमन, दोनों कोण आँख से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा से ही नापे जाते हैं।
  • वस्तु आँख से ऊपर हो, तो यह कोण उन्नयन कोण (angle of elevation) कहलाता है। वस्तु आँख से नीचे हो, तो यह अवनमन कोण (angle of depression) कहलाता है।
  • ऊपर वाले बिंदु A से नीचे वाले बिंदु B का अवनमन कोण उतना ही होता है, जितना B से A का उन्नयन कोण, क्योंकि ये एकांतर कोण (alternate angles) हैं। इसलिए आकृति में अवनमन कोण भी नीचे वाले बिंदु पर ही अंकित कीजिए।
  • समकोण मीनार के आधार पर होता है।

एक ही दृष्टि रेखा पर बराबर उन्नयन कोण और अवनमन कोण

दो विशेष त्रिभुज

  • 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ त्रिभुज की भुजाएँ 1:3:21 : \sqrt{3} : 2 के अनुपात में होती हैं। इनमें सबसे छोटी भुजा 30∘30^\circ के सामने होती है।
  • 45∘45^\circ-45∘45^\circ-90∘90^\circ त्रिभुज की भुजाएँ 1:1:21 : 1 : \sqrt{2} के अनुपात में होती हैं।
  • मीनार के आधार से दूरी और उन्नयन कोण पता हों, तो ऊँचाई h=dtan⁡θh = d\tan\theta से निकलती है। इस तरह 30∘30^\circ पर h=d3h = \frac{d}{\sqrt{3}}, 45∘45^\circ पर h=dh = d और 60∘60^\circ पर h=3dh = \sqrt{3}d होती है।
  • दृष्टि रेखा की लंबाई 30∘30^\circ पर 2h2h, 45∘45^\circ पर 2h\sqrt{2}h और 60∘60^\circ पर 2h3\frac{2h}{\sqrt{3}} होती है।
  • ऊँचाई और दूरी बराबर हों, तो कोण 45∘45^\circ होता है। दूरी ऊँचाई की 3\sqrt{3} गुना हो, तो कोण 30∘30^\circ होता है।

उदाहरण: मीनार के आधार से 15 मीटर दूर किसी बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60∘60^\circ हो, तो मीनार 15315\sqrt{3} मीटर ऊँची है।

एक प्रेक्षक, एक वस्तु

  • प्रेक्षक की आँख भूमि से e ऊँचाई पर हो, तो त्रिभुज में ऊँचाई h−eh - e लीजिए। वस्तु की पूरी ऊँचाई चाहिए, तो अंत में e वापस जोड़ दीजिए।
  • कोई अनुपात दिया हो, जैसे tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}, तो ऊँचाई : दूरी : दृष्टि रेखा =3:4:5= 3 : 4 : 5 होगा।
  • मानक कोणों के अलावा कोई कोण आए, तो उसका मान प्रश्न में ही दिया होता है, जैसे tan⁡15∘=2−3\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} और tan⁡75∘=2+3\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}।
  • उत्तर दशमलव में चाहिए, तो 3=1.732\sqrt{3} = 1.732 और 2=1.414\sqrt{2} = 1.414 लीजिए। पर ये मान बिल्कुल आखिरी कदम पर ही रखिए।
  • कोण ऊर्ध्वाधर से दिया हो, तो उसे 90∘90^\circ में से घटा दीजिए। इससे उन्नयन या अवनमन कोण मिल जाता है।

छाया

  • वस्तु की ऊँचाई पता हो, तो उसकी छाया की लंबाई =hcot⁡θ= h\cot\theta होती है। यहाँ θ\theta सूर्य का उन्नयन कोण (sun's altitude) है।
  • एक ही समय पर हर वस्तु की ऊँचाई और छाया का अनुपात एक ही होता है।
  • सूर्य का उन्नयन कोण 60∘60^\circ से 30∘30^\circ हो जाए, तो छाया तीन गुनी हो जाती है और 2h3\frac{2h}{\sqrt{3}} बढ़ जाती है। कोण पहले 60∘60^\circ से 45∘45^\circ हो और फिर 45∘45^\circ से 30∘30^\circ, तो हर बार छाया 3\sqrt{3} गुनी लंबी हो जाती है।
  • कोण 45∘45^\circ से 30∘30^\circ हो जाए, तो छाया h(3−1)h(\sqrt{3} - 1) बढ़ जाती है।
  • [Tier 2] लैंप L ऊँचाई पर है और p ऊँचाई का व्यक्ति खंभे से x दूरी पर खड़ा है। उसकी छाया की लंबाई s हो, तो ps=Lx+s\frac{p}{s} = \frac{L}{x + s} होता है।

[SSC टिप] सूर्य का उन्नयन कोण भी बाकी उन्नयन कोणों जैसा ही है, बस यह छाया के सिरे पर नापा जाता है।

सीढ़ी, डोरी, ढलान और पेड़

  • L लंबाई की सीढ़ी भूमि के साथ α\alpha कोण बनाए, तो उसका निचला सिरा दीवार से Lcos⁡αL\cos\alpha दूर होता है और ऊपरी सिरा भूमि से Lsin⁡αL\sin\alpha ऊँचाई पर। सीढ़ी का निचला सिरा उसी जगह रखकर उसे सड़क के दोनों ओर की दीवारों से टिकाएँ, तो सड़क की चौड़ाई L(cos⁡α+cos⁡β)L(\cos\alpha + \cos\beta) होती है।
  • सीढ़ी फिसल जाए, तब भी उसकी लंबाई वही रहती है। ऐसे प्रश्न पाइथागोरस प्रमेय से हल होते हैं।
  • पतंग की डोरी या तार कर्ण होता है। ऊँचाई हाथ से नापिए, भूमि से नहीं।
  • दो खंभों के बीच तार बँधा हो, तो दोनों खंभों की ऊँचाइयों का अंतर ऊर्ध्वाधर भुजा होता है।
  • हवा से टूटे पेड़ में खड़े भाग और टूटे भाग को जोड़ें, तो पूरे पेड़ की ऊँचाई मिलती है। शिखर आधार से d दूरी पर भूमि को छुए और टूटा भाग भूमि के साथ 30∘30^\circ का कोण बनाए, तो पेड़ 3d\sqrt{3}d ऊँचा था।
  • सड़क या रैंप θ\theta कोण पर हो, तो उस पर चलने से हम जितना ऊपर उठते हैं, वह चली गई लंबाई ×sin⁡θ\times \sin\theta होता है।

दो बिंदुओं से दो कोण

मीनार के एक ही ओर दो बिंदु, अल्फ़ा और बीटा कोण

  • दोनों बिंदु मीनार के एक ही ओर हों और आपस में d दूरी पर हों, तो d=h(cot⁡α−cot⁡β)d = h(\cot\alpha - \cot\beta) होता है। दोनों बिंदु मीनार के विपरीत ओर हों, तो d=h(cot⁡α+cot⁡β)d = h(\cot\alpha + \cot\beta) होता है।
  • मीनार की ओर चलने पर कोण 30∘30^\circ से 60∘60^\circ हो जाए, तो चली दूरी, आधार तक बची दूरी की दोगुनी होती है। मीनार की ऊँचाई चली दूरी की 32\frac{\sqrt{3}}{2} गुना होती है।
  • आधार से a और b दूरी वाले दो बिंदुओं से शिखर के उन्नयन कोण आपस में कोटिपूरक कोण (complementary angles) हों, तो h=abh = \sqrt{ab} होता है।
  • खड़ी चट्टान से दो नावें दिखें, तब भी आकृति यही होती है। बस हर अवनमन कोण को नीचे, उसकी अपनी नाव पर ले जाकर लिखिए।

चाल और समय

  • चाल निकालने के लिए दोनों स्थितियों के बीच की दूरी को समय से भाग दीजिए।
  • हवाई जहाज़ h ऊँचाई पर उड़ रहा हो और प्रेक्षक के एक ही ओर रहते हुए उसका उन्नयन कोण 60∘60^\circ से 30∘30^\circ हो जाए, तो वह 2h3\frac{2h}{\sqrt{3}} दूरी तय करता है। अगर वह प्रेक्षक के ठीक सिर के ऊपर से गुज़रकर दूसरी ओर चला जाए, तो दोनों कोणों के cot जोड़िए।
  • गुब्बारा प्रेक्षक से d दूर किसी बिंदु से सीधा ऊपर जाए, तो वह d(tan⁡β−tan⁡α)d(\tan\beta - \tan\alpha) ऊपर उठता है।
  • वस्तु एकसमान चाल से आधार की ओर आ रही हो और एक कोण से दूसरे कोण तक पहुँचने में t समय लगे, तो कोण 30∘30^\circ से 60∘60^\circ होने पर आधार तक पहुँचने में बचा समय t2\frac{t}{2} होता है। कोण 30∘30^\circ से 45∘45^\circ या 45∘45^\circ से 60∘60^\circ हो, तो यह समय 3+12t\frac{\sqrt{3} + 1}{2}t होता है।
  • किमी/घंटा को मीटर/सेकंड में बदलने के लिए ×518\times \frac{5}{18} कीजिए, और मीटर/सेकंड को किमी/घंटा में बदलने के लिए ×185\times \frac{18}{5}।

दो ऊँचाइयाँ

इमारत की आँख वाली क्षैतिज रेखा से दो भागों में बँटी मीनार

  • h ऊँची इमारत के शिखर से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण और उसके आधार का अवनमन कोण नापें, तो मीनार की ऊँचाई H−hh=tan⁡αtan⁡β\frac{H - h}{h} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} से निकलती है। उन्नयन कोण 60∘60^\circ और अवनमन कोण 30∘30^\circ हो, तो H=4hH = 4h आता है।
  • भूमि के एक ही बिंदु से चबूतरे का ऊपरी सिरा और उस पर खड़ी मूर्ति का ऊपरी सिरा देखें, तो चबूतरे की ऊँचाई ÷\div मूर्ति समेत पूरी ऊँचाई =tan⁡α÷tan⁡β= \tan\alpha \div \tan\beta होता है। कोण 30∘30^\circ और 60∘60^\circ हों, तो चबूतरा मूर्ति से आधा ऊँचा होता है।
  • दो मीनारें आमने-सामने हों और छोटी मीनार के शिखर से बड़ी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण दिया हो, तो ऊँचाइयों का अंतर =dtan⁡θ= d\tan\theta होता है। इसमें दूरी दोनों मीनारों के बीच की लीजिए।
  • दो खंभों के बीच कोई बिंदु हो, तो उससे दोनों खंभों की दूरियों का योग, खंभों के बीच की दूरी के बराबर होता है।

टियर 2 के अतिरिक्त प्रकार

  • [Tier 2] बादल झील की सतह से H ऊँचाई पर है और प्रेक्षक पानी से h ऊँचाई पर। बादल का उन्नयन कोण α\alpha है और झील में उसके प्रतिबिंब (reflection) का अवनमन कोण β\beta। प्रेक्षक से बादल की क्षैतिज दूरी x लें, तो H−h=xtan⁡αH - h = x\tan\alpha और H+h=xtan⁡βH + h = x\tan\beta होते हैं। इनसे H=htan⁡β+tan⁡αtan⁡β−tan⁡αH = h\frac{\tan\beta + \tan\alpha}{\tan\beta - \tan\alpha} निकलता है। कोण 30∘30^\circ और 60∘60^\circ हों, तो H=2hH = 2h आता है।
  • [Tier 2] मीनार के एक ही ओर, आपस में d दूरी पर दो बिंदु हों, तो उनसे ऊँचाई h=dtan⁡αtan⁡βtan⁡β−tan⁡αh = \frac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} निकलती है।
  • उत्तर α\alpha और β\beta वाले सूत्र में हो, तो उसे α=30∘\alpha = 30^\circ और β=60∘\beta = 60^\circ रखकर जाँच लीजिए। फिर किसी दूसरी जोड़ी पर भी जाँचिए, जैसे 30∘30^\circ और 45∘45^\circ, क्योंकि दो अलग-अलग सूत्र किसी एक जोड़ी पर बराबर मान दे सकते हैं।

परीक्षा से पहले

  • सबसे पहले आकृति बनाइए। उसमें समकोण, दिया हुआ कोण और ज्ञात भुजा अंकित कीजिए।
  • सबसे आम चूकें हैं tan और cot की अदला-बदली करके h3\frac{h}{\sqrt{3}} की जगह h3h\sqrt{3} लिख देना, आँख की ऊँचाई भूल जाना, दो बिंदुओं के बीच की दूरी को आधार से दूरी मान लेना, अवनमन कोण को क्षैतिज रेखा की जगह ऊर्ध्वाधर से अंकित करना, दूरी की जगह दृष्टि रेखा की लंबाई लिख देना, और किमी/घंटा तथा मीटर/सेकंड का घालमेल कर देना।
  • जाँच के लिए याद रखिए कि कोण 45∘45^\circ से कम हो, तो ऊँचाई दूरी से कम होती है।

CGL 2025 टियर 1 की लगभग हर दो-तीन पालियों में से एक में इस अध्याय का एक प्रश्न आया था। अंत में इस अध्याय के PYQ अभ्यास सेट हल कीजिए।