दो कोण और गतिमान वस्तुएँ

एक ही ओर दो बिंदु

"उन्नयन कोण और अवनमन कोण" वाले खंड में आपने देखा कि एक ही कोण दिया हो, तो ऊँचाई निकालने के लिए एक लंबाई भी ज़रूरी होती है। पर बहुत-से प्रश्नों में लंबाई की जगह दो उन्नयन कोण (angle of elevation) दिए होते हैं।

जैसे एक व्यक्ति किसी मीनार का शिखर देखता है। फिर वह सीधा मीनार की ओर चलता है और दोबारा शिखर देखता है। प्रश्न में बस इतना बताया होता है कि वह कितना चला। किसी भी बिंदु की मीनार से दूरी नहीं दी होती।

मीनार को AB मान लीजिए, जिसका शिखर A है और आधार B। पहला बिंदु C है और दूसरा D। याद रखिए, जो बिंदु मीनार के पास है, वहाँ से शिखर हमेशा बड़े कोण पर दिखता है।

अब त्रिभुज ABC और ABD देखिए। किसी में भी दो लंबाइयाँ ज्ञात नहीं हैं, इसलिए कोई भी त्रिभुज अकेले हल नहीं होता। पर ऊँचाई AB = h दोनों में एक ही है। तो आधार से हर दूरी को h के रूप में लिख लेते हैं।

$$BC = h\cot\alpha, \quad BD = h\cot\beta$$

यहाँ $\alpha$ बिंदु C पर बना कोण है और $\beta$ बिंदु D पर बना कोण। व्यक्ति जितना चला, वह इन दोनों दूरियों का अंतर है।

$$CD = BC - BD = h(\cot\alpha - \cot\beta)$$

संख्याएँ रखकर देखिए: मान लीजिए कोण 30° से 60° हो जाता है और व्यक्ति 36 मीटर चलता है। तब $BC = h\sqrt{3}$ और $BD = \frac{h}{\sqrt{3}}$ होते हैं।

$$h\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 36 \Rightarrow h \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 36 \Rightarrow h = 18\sqrt{3}$$

तो मीनार की ऊँचाई $18\sqrt{3}$ मीटर है, लगभग 31.18 मीटर।

यही प्रश्न x से: बहुत-से छात्र छोटी दूरी को x मान लेते हैं, जैसा आकृति में है। त्रिभुज ABD से $h = x\tan 60^\circ = x\sqrt{3}$ आता है, और त्रिभुज ABC से $h = (x + 36)\tan 30^\circ = \frac{x + 36}{\sqrt{3}}$। दोनों बराबर हैं, तो 3x = x + 36, यानी x = 18। फिर से वही $h = 18\sqrt{3}$ मीटर मिलता है। दोनों में से जो रास्ता आसान लगे, वही लीजिए।

h या x मिलते ही बाकी सब निकल आता है। D आधार से 18 मीटर दूर है, और C आधार से 18 + 36 = 54 मीटर।

प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि उसमें दिया क्या है। "मीनार की ओर 36 मीटर चलता है" का मतलब है दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी, यानी CD। पर "मीनार से 36 मीटर दूर खड़ा है" का मतलब है BC या BD, और तब यह एक कोण वाला ही प्रश्न है।

30° और 60° की जोड़ी: चली दूरी, बची दूरी की दुगुनी

कोण 30° और 60° हों, तो आधार से दोनों दूरियाँ $h\sqrt{3}$ और $\frac{h}{\sqrt{3}}$ होती हैं। पहली दूरी दूसरी की ठीक तीन गुनी है। मान लीजिए व्यक्ति को अभी x और चलना है। तो उसने आधार से 3x दूर से चलना शुरू किया था, और 2x चल चुका है। इससे एक नियम मिलता है। चली गई दूरी, आधार तक बची दूरी की दुगुनी होती है।

इसका कारण आकृति में भी दिख जाता है। त्रिभुज ACD में C पर कोण 30° है। कोण ADB = 60° इस त्रिभुज का बाह्य कोण (exterior angle) है, और बाह्य कोण दोनों अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। तो $\angle CAD + 30^\circ = 60^\circ$, यानी $\angle CAD = 30^\circ$।

अब त्रिभुज ACD में दो कोण 30° के हैं। इसलिए वह समद्विबाहु है, और AD = CD। मतलब D से दृष्टि रेखा (line of sight) ठीक उतनी ही लंबी है, जितना व्यक्ति चला। फिर समकोण त्रिभुज ABD में

$$h = AD\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times CD$$

इसलिए 30° और 60° वाले प्रश्न में हर लंबाई चली दूरी से सीधे, एक ही कदम में निकल आती है। जैसे व्यक्ति 50 मीटर चला हो, तो

यह नियम उलटा भी चलता है। मान लीजिए 60° के समय व्यक्ति आधार से 25 मीटर दूर है, और उसी रेखा पर पहले कोण 30° था। तो वह 50 मीटर चला है।

इसी जोड़ी में आधार से दोनों दूरियों का अनुपात 3 : 1 होता है, और दोनों दृष्टि रेखाओं का अनुपात AC : AD = $\sqrt{3} : 1$।

दूसरी जोड़ियाँ: 30° और 45°, 45° और 60°

घटाने वाला तरीका हर जोड़ी पर चलता है। बस cot के मान बदल जाते हैं।

हर में मूल आ जाए, तो अंश और हर, दोनों को $\sqrt{3} + 1$ से गुणा कर दीजिए। इससे हर में मूल नहीं बचता, क्योंकि $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = 2$।

40 मीटर चलकर 30° से 45°: D पर कोण 45° है, तो BD = h। मतलब ऊँचाई और बची दूरी बराबर हैं। फिर BC = h + 40 हुआ, और त्रिभुज ABC से

$$\tan 30^\circ = \frac{h}{h + 40} \Rightarrow h\sqrt{3} = h + 40 \Rightarrow h = \frac{40}{\sqrt{3} - 1} = 20(\sqrt{3} + 1)$$

$\sqrt{3} = 1.732$ लेने पर यह 20 × 2.732 = 54.64 मीटर आता है।

30 मीटर चलकर 45° से 60°: अब पहला बिंदु आधार से h दूर है और दूसरा $\frac{h}{\sqrt{3}}$। तो $h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 30$, जिससे $h = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 15(3 + \sqrt{3})$ मीटर, यानी $45 + 15\sqrt{3}$ मीटर। यह लगभग 70.98 मीटर है।

एक नियम बना लीजिए। $\sqrt{3}$ का दशमलव मान आख़िरी कदम पर ही लगाइए। पहले उदाहरण में कोई $\sqrt{3} - 1$ को शुरू में ही 0.7 कर दे, तो 54.64 मीटर की जगह 57.14 मीटर आता है। इतने फ़र्क से आप गलत विकल्प पर पहुँच जाएँगे।

विपरीत ओर दो बिंदु

अब मीनार दोनों बिंदुओं के बीच में है। एक प्रेक्षक उसके आगे खड़ा है और दूसरा पीछे। या फिर प्रकाश स्तंभ के दोनों ओर एक-एक जहाज़ है। ऐसे में आधार से दूरियाँ घटती नहीं, जुड़ती हैं।

$$CD = BC + BD = h(\cot\alpha + \cot\beta)$$

एक उदाहरण: एक ओर C से कोण 30° है, दूसरी ओर D से 60°, और C और D के बीच 120 मीटर की दूरी है। तब

$$h\left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 120 \Rightarrow h \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 120 \Rightarrow h = 30\sqrt{3}$$

तो मीनार $30\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है। आधार से दूरियाँ BD = 30 मीटर और BC = 90 मीटर हैं।

विपरीत ओर 30° और 60° हों, तो दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{4h}{\sqrt{3}}$ होती है। यानी ऊँचाई इस दूरी का $\frac{\sqrt{3}}{4}$ है।

दो स्थितियाँ झटपट याद कर लीजिए। दोनों ओर 45° हो, तो हर बिंदु आधार से h दूर है, और दोनों के बीच 2h की दूरी है। 30° और 45° हों, तो दोनों के बीच $h(\sqrt{3} + 1)$ की दूरी होती है। जैसे यह दूरी 150 मीटर हो, तो $h = \frac{150}{\sqrt{3} + 1} = 75(\sqrt{3} - 1)$ मीटर, लगभग 54.9 मीटर।

आकृति में C और D के कोणों का योग 90° है। इसलिए शिखर पर कोण CAD समकोण है, जिसे हरे रंग से दिखाया गया है। अगले भाग में ऐसे ही कोणों की बात है, जिनका योग 90° होता है। वहाँ यह बात फिर आएगी।

[SSC टिप] प्रश्न में "एक ही ओर", "विपरीत ओर", "दोनों ओर" या "के बीच" जैसे शब्दों पर नज़र रखिए। संख्याएँ वही हों, पर प्रश्न को दूसरी तरह पढ़ लें, तो ऊँचाई बदल जाती है। जैसे 30°, 60° और 120 मीटर की दूरी हो, तो एक ही ओर वाली स्थिति में ऊँचाई $60\sqrt{3}$ मीटर आती है और विपरीत ओर वाली में $30\sqrt{3}$ मीटर। मानकर चलिए कि विकल्पों में ये दोनों मान दिए होंगे।

कोटिपूरक कोण: $h = \sqrt{ab}$

मान लीजिए दो बिंदु मीनार के आधार से a और b मीटर दूर हैं, और दोनों आधार से होकर जाने वाली एक ही सीधी रेखा पर हैं। इन दोनों बिंदुओं से उन्नयन कोणों का योग 90° है, यानी दोनों कोटिपूरक कोण (complementary angles) हैं। तब ऊँचाई दोनों दूरियों के गुणनफल का वर्गमूल होती है।

$$h = \sqrt{ab}$$

ऐसा क्यों: दूर वाले बिंदु Q पर कोण $\theta$ मान लीजिए। तो पास वाले बिंदु P पर कोण $90^\circ - \theta$ होगा। दोनों त्रिभुजों से $\tan\theta = \frac{h}{b}$ और $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{h}{a}$ मिलते हैं। पर कोटिपूरक कोण के लिए $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta = \frac{b}{h}$ होता है (अध्याय 15, त्रिकोणमिति देखिए)। इसलिए $\frac{h}{a} = \frac{b}{h}$, यानी $h^2 = ab$।

आकृति की संख्याएँ लें, तो $h = \sqrt{12 \times 27} = \sqrt{324} = 18$ मीटर। ध्यान दीजिए, $\theta$ ख़ुद निकालने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।

बिंदु विपरीत ओर हों तो: ऊपर के प्रमाण में यह बात कहीं आई ही नहीं कि बिंदु मीनार की किस ओर हैं। इसलिए मीनार दोनों बिंदुओं के बीच हो, तब भी $h = \sqrt{ab}$ ही रहता है। ऐसे में दोनों आधार-कोणों का योग 90° होता है, तो शिखर पर बना कोण भी 90° का होगा।

उलटा प्रश्न: मीनार 20 मीटर ऊँची है और एक बिंदु आधार से 16 मीटर दूर है। अब वह बिंदु ढूँढना है, जहाँ उन्नयन कोण इस बिंदु वाले कोण का कोटिपूरक हो। वह उसी रेखा पर आधार से $\frac{20^2}{16} = 25$ मीटर दूर होगा।

जब कोण पूछे जाएँ: पहले h निकालिए। जैसे a = 4 मीटर और b = 12 मीटर हों, तो $h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ मीटर। अब दूर वाले बिंदु पर $\tan\theta = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, तो $\theta = 30^\circ$। पास वाले बिंदु पर कोण 60° है।

ध्यान रखिए, ऊँचाई दोनों दूरियों का औसत नहीं होती। 12 मीटर और 27 मीटर का औसत 19.5 मीटर है। यह 18 मीटर के पास तो है, पर गलत है।

कोण निकालना, और दुगुना होने वाला कोण

दो दूरियों से कोण: पहले एक त्रिभुज से ऊँचाई निकालिए, फिर दूसरे त्रिभुज से दूसरा कोण। जैसे आधार से 84 मीटर दूर एक बिंदु से उन्नयन कोण 30° है। तो $h = \frac{84}{\sqrt{3}} = 28\sqrt{3}$ मीटर। अब व्यक्ति मीनार की ओर 56 मीटर चलता है, तो वह आधार से 28 मीटर दूर रह जाता है। वहाँ $\tan\beta = \frac{28\sqrt{3}}{28} = \sqrt{3}$, यानी $\beta = 60^\circ$।

दूरियों का अनुपात: आधार से दूरियाँ $h\cot\alpha$ और $h\cot\beta$ हैं, तो उनका अनुपात $\cot\alpha : \cot\beta$ है। ऊँचाई इसमें कट जाती है। 30° और 60° पर यह $\sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}} = 3 : 1$ आता है। 30° और 45° पर, और 45° और 60° पर भी, यह $\sqrt{3} : 1$ है।

दुगुना होने वाला कोण: कभी दूर वाले बिंदु C पर कोण $\theta$ होता है और पास वाले बिंदु D पर $2\theta$। जैसे 15° और 30°, या 22.5° और 45°। इन कोणों के tan के मान याद हों, यह ज़रूरी नहीं। यहाँ फिर बाह्य कोण काम आता है। $\angle ADB = 2\theta = \theta + \angle CAD$, तो $\angle CAD = \theta$। अब त्रिभुज ACD में दो कोण बराबर हैं, इसलिए AD = CD।

अब त्रिभुज ABD लीजिए। इसका कर्ण AD = CD है और D पर कोण $2\theta$ है। तो

$$h = CD\sin 2\theta$$

जैसे कोण 15° से 30° हो और व्यक्ति 80 मीटर चले, तो $h = 80\sin 30^\circ = 40$ मीटर। कोण 22.5° से 45° हो और वह 60 मीटर चले, तो $h = 60\sin 45^\circ = 30\sqrt{2}$ मीटर। देखिए, $\tan 15^\circ$ का मान कहीं नहीं लगा। 30° से 60° वाला नियम भी असल में यही बात है, बस वहाँ $\theta = 30^\circ$ है।

एक मीनार से दिखती दो नावें या दो कारें

अब प्रेक्षक नीचे नहीं, शिखर पर है। मान लीजिए h ऊँची एक खड़ी चट्टान है। उसके शिखर A से नाव P, $\alpha$ के अवनमन कोण (angle of depression) पर दिखती है और नाव Q, $\beta$ पर। A पर बना अवनमन कोण उतना ही होता है, जितना हर नाव से A का उन्नयन कोण, क्योंकि दोनों एकांतर कोण (alternate angles) हैं ("उन्नयन कोण और अवनमन कोण" वाला खंड देखिए)। तो आकृति वही दो बिंदुओं वाली है, बस उलटी। सूत्र भी वही रहते हैं।

• नावें एक ही ओर हों, तो $PQ = h(\cot\alpha - \cot\beta)$। यहाँ $\beta$ बड़ा कोण है, जो पास वाली नाव का है।
• नावें विपरीत ओर हों, तो $PQ = h(\cot\alpha + \cot\beta)$।

एक ही ओर: चट्टान 150 मीटर ऊँची है और अवनमन कोण 30° और 45° हैं। पास वाली नाव (45°) आधार से 150 मीटर दूर है और दूर वाली $150\sqrt{3}$ मीटर। तो दोनों नावों के बीच $150(\sqrt{3} - 1)$ मीटर की दूरी है, लगभग 109.8 मीटर।

विपरीत ओर: 75 मीटर ऊँची एक मीनार है। उसके शिखर से दो कारें दिखती हैं, जो मीनार के विपरीत ओर, आधार के साथ एक सीधी रेखा में हैं। अवनमन कोण 60° और 30° हैं। आधार से दूरियाँ $\frac{75}{\sqrt{3}} = 25\sqrt{3}$ मीटर और $75\sqrt{3}$ मीटर हैं, तो दोनों कारों के बीच $100\sqrt{3}$ मीटर की दूरी है।

यही आकृति एक और प्रश्न में काम आती है। एक ही नाव दो बार दिखे, तो पूछा जाता है कि वह कितनी आगे बढ़ी। जैसे पहले अवनमन कोण 30° था और बाद में 45°। तो नाव इस चट्टान के $150(\sqrt{3} - 1)$ मीटर और पास आ गई। साथ में समय भी दिया हो, तो यह चाल का प्रश्न हो जाता है। ऐसे प्रश्न आगे देखेंगे।

[SSC टिप] अवनमन कोण आँख से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर नापा जाता है, चट्टान की ऊर्ध्वाधर सतह से कभी नहीं। प्रश्न में लिखा हो कि "दृष्टि रेखा चट्टान या मीनार से 60° बनाती है", तो अवनमन कोण 30° है।

एक ही ऊँचाई पर उड़ता हवाई जहाज़

हवाई जहाज़ क्षैतिज दिशा में उड़ रहा हो, तो उसकी ऊँचाई h वही रहती है। भूमि पर प्रेक्षक O खड़ा है। उसे हवाई जहाज़ पहले 60° के उन्नयन कोण पर दिखता है, और t सेकंड बाद 30° पर। हवाई जहाज़ की दोनों स्थितियों P और Q से भूमि पर लंब PM और QN डालिए। दोनों लंब h के बराबर हैं, और हवाई जहाज़ जितना उड़ा, वह दूरी PQ = MN है।

दोनों त्रिभुजों से $OM = h\cot 60^\circ$ और $ON = h\cot 30^\circ$ मिलते हैं। तो

$$PQ = MN = h(\cot 30^\circ - \cot 60^\circ)$$

यह फिर वही "एक ही ओर" वाला सूत्र है। फ़र्क बस इतना है कि अब ऊँचाई दोनों बिंदुओं के ऊपर खड़ी है, नीचे नहीं। चाल $\frac{PQ}{t}$ होती है।

एक उदाहरण: ऊँचाई $900\sqrt{3}$ मीटर है, और 12 सेकंड में कोण 60° से 30° हो जाता है। तब OM = 900 मीटर, ON = 2700 मीटर और PQ = 1800 मीटर। चाल $\frac{1800}{12} = 150$ मीटर/सेकंड हुई।

इकाई बदलना: 1 मीटर/सेकंड = 3.6 किमी/घंटा होता है (अध्याय 10, समय, चाल और दूरी देखिए)। मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलना हो, तो $\frac{18}{5}$ से गुणा कीजिए। वापस बदलना हो, तो $\frac{5}{18}$ से। जैसे 150 मीटर/सेकंड = 150 × 3.6 = 540 किमी/घंटा।

चाल से ऊँचाई: अब उलटा प्रश्न लीजिए। एक हवाई जहाज़ 720 किमी/घंटा, यानी 200 मीटर/सेकंड की चाल से उड़ रहा है। वह पहले 60° पर दिखता है और 10 सेकंड बाद 30° पर। इतने में वह 2000 मीटर उड़ा, तो $h \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2000$, और $h = 1000\sqrt{3}$ मीटर।

एक स्थिति अलग है। दोनों बार देखने के बीच हवाई जहाज़ प्रेक्षक के सिर के ऊपर से गुज़र जाए, तो दोनों स्थितियाँ O के विपरीत ओर होती हैं। तब दूरियाँ जुड़ती हैं, $PQ = h(\cot\alpha + \cot\beta)$।

[SSC टिप] भाग देने से पहले विकल्पों की इकाई देख लीजिए। मीटर को सेकंड से भाग देंगे, तो चाल मीटर/सेकंड में आएगी। सही मान 540 किमी/घंटा हो, तो विकल्पों में उसके साथ 150 किमी/घंटा भी दिया होता है। इकाई बदलना भूल जाएँ, तो यही संख्या आती है।

मीनार की ओर आती कार या नाव

मीनार के शिखर से एक कार दिखती है, जो मीनार के आधार तक जाने वाली सीधी सड़क पर है। पहले उसका अवनमन कोण $\alpha$ है और कुछ समय बाद $\beta$। कार मीनार की ओर आ रही है, इसलिए $\beta$, $\alpha$ से बड़ा है। ऐसे प्रश्नों में कार की चाल पूछी जाती है, या आधार तक पहुँचने में बचा समय।

चाल: कार ने जितनी दूरी तय की, वह दो नावों वाले सूत्र से ही निकलती है, $PQ = h(\cot\alpha - \cot\beta)$। जैसे मीनार $45\sqrt{3}$ मीटर ऊँची है, और 6 सेकंड में अवनमन कोण 30° से 60° हो जाता है। तब $PQ = 45\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 90$ मीटर, और चाल 15 मीटर/सेकंड, यानी 54 किमी/घंटा है।

बचा समय: कार एकसमान चाल से चल रही है, तो समय दूरी के अनुपात में लगता है। इसके लिए ऊँचाई की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

$$\text{बचा समय} = t \times \frac{\text{बची दूरी}}{\text{तय दूरी}} = t \times \frac{\cot\beta}{\cot\alpha - \cot\beta}$$

जैसे कार को 30° से 60° तक आने में 14 मिनट लगे, तो उसे 7 मिनट और लगेंगे। किसी नाव को 30° से 45° तक आने में 10 मिनट लगे, तो उसे $5(\sqrt{3} + 1)$ मिनट और लगेंगे, लगभग 13.66 मिनट। यह अब तक लगे समय से भी ज़्यादा है, क्योंकि 45° पर नाव अब भी चट्टान से ठीक उसकी ऊँचाई जितनी दूर है।

तालिका की आख़िरी दो पंक्तियाँ एक-सी इसलिए हैं, क्योंकि दोनों में तय दूरी, बची दूरी की $\sqrt{3} - 1$ गुनी है।

यह भी देख लीजिए कि प्रश्न में बचा समय पूछा है या पहली बार देखने से लेकर कुल समय। 30° से 60° तक 14 मिनट लगें, तो बचा समय 7 मिनट है और कुल समय 21 मिनट।

ऊपर उठता गुब्बारा, और मीनार की ओर चलता व्यक्ति

गुब्बारा: भूमि पर बिंदु B से एक गुब्बारा एकसमान चाल से सीधा ऊपर उठता है। प्रेक्षक O, B से d मीटर दूर खड़ा है। इस बार क्षैतिज दूरी स्थिर है और ऊँचाई बदलती है, इसलिए यहाँ tan लगाते हैं।

$$BP = d\tan\alpha, \quad BQ = d\tan\beta, \quad PQ = d(\tan\beta - \tan\alpha)$$

जैसे प्रेक्षक B से $60\sqrt{3}$ मीटर दूर है, और उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। तब दोनों ऊँचाइयाँ $60\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 60$ मीटर और $60\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 180$ मीटर हैं। यानी गुब्बारा 120 मीटर ऊपर उठा। वह 3 मीटर/सेकंड से उठ रहा हो, तो इसमें 40 सेकंड लगे।

कई लोग 180 मीटर को ही चाल से भाग दे देते हैं। यह तो ऐसा मानना हुआ कि पहली बार देखते समय गुब्बारा भूमि पर ही था।

मीनार की ओर चलता व्यक्ति: यह वही "एक ही ओर" वाली आकृति है, बस दो बातें और हैं। पहली, उसकी चाल, जिससे चली दूरी से समय और समय से चली दूरी निकल आती है। दूसरी, उसकी आँखें भूमि से कुछ ऊपर होती हैं। कोण उसकी आँख पर नापे जाते हैं, इसलिए त्रिभुज नीचे आँख के स्तर तक ही जाते हैं, भूमि तक नहीं। आँख की ऊँचाई अंत में जोड़ दीजिए ("उन्नयन कोण और अवनमन कोण" वाला खंड देखिए)।

जैसे किसी की आँखें भूमि से 1.6 मीटर ऊपर हैं, और 40 मीटर चलने पर कोण 30° से 60° हो जाता है। तो शिखर उसकी आँख से $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 40 = 20\sqrt{3}$ मीटर ऊपर है, और मीनार $20\sqrt{3} + 1.6$ मीटर ऊँची है, लगभग 36.24 मीटर।

मान लीजिए वह 3.6 किमी/घंटा, यानी 1 मीटर/सेकंड से चल रहा था। तो 40 मीटर चलने में उसे 40 सेकंड लगे। 30° से 60° वाले नियम से बची दूरी इसकी आधी है, तो वह 20 सेकंड बाद मीनार तक पहुँच जाएगा।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

समतल भूमि पर खड़े एक व्यक्ति को किसी मीनार का शिखर 30° के उन्नयन कोण पर दिखाई देता है। वह मीनार की ओर सीधे 60 मीटर चलता है और यह कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) $60\sqrt{3}$ मीटर (b) $30\sqrt{3}$ मीटर (c) $20\sqrt{3}$ मीटर (d) 30 मीटर

उत्तर: पहले मीनार बनाकर दोनों बिंदु उसकी एक ही ओर दिखा देते हैं। कोण 30° और 60° हैं, तो चली दूरी बची दूरी की दुगुनी है, यानी व्यक्ति अब आधार से 30 मीटर दूर है। 60° वाले त्रिभुज से $h = 30\tan 60^\circ = 30\sqrt{3}$ मीटर, तो ऊँचाई (b) $30\sqrt{3}$ मीटर है। जाँच भी कर लेते हैं। पहला बिंदु आधार से 90 मीटर दूर था, और $90\tan 30^\circ = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}$ ही आता है।

प्रश्न 2

भूमि पर स्थित एक बिंदु से किसी खंभे के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। खंभे की ओर 52 मीटर चलने पर यह कोण 60° हो जाता है। अब वह व्यक्ति खंभे के आधार से कितनी दूर है? (a) 52 मीटर (b) 78 मीटर (c) $26\sqrt{3}$ मीटर (d) 26 मीटर

उत्तर: मान लेते हैं कि अब वह आधार से x मीटर दूर है। 60° वाले त्रिभुज में ऊँचाई $x\sqrt{3}$ है, और 30° वाले में $\frac{x + 52}{\sqrt{3}}$। दोनों बराबर हैं, तो 3x = x + 52, यानी x = 26। वह आधार से (d) 26 मीटर दूर है। यह चली दूरी का आधा है, जैसा 30° से 60° वाला नियम कहता है। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 78 मीटर चुन लेते हैं, पर वहाँ से तो उसने चलना शुरू किया था।

प्रश्न 3

जब कोई प्रेक्षक किसी मीनार की ओर 20 मीटर चलता है, तो उसके शिखर का उन्नयन कोण 45° से बदलकर 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए) (a) 47.32 मीटर (b) 27.32 मीटर (c) 34.64 मीटर (d) 54.64 मीटर

उत्तर: 45° वाले बिंदु पर आधार से दूरी ऊँचाई h के बराबर है, और 60° वाले बिंदु पर $\frac{h}{\sqrt{3}}$। चली दूरी इन दोनों का अंतर है, तो $h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 20$। इससे $h(\sqrt{3} - 1) = 20\sqrt{3}$, और $h = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$। अब अंश और हर को $\sqrt{3} + 1$ से गुणा कर देते हैं। $h = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2} = 10(3 + \sqrt{3}) = 30 + 17.32$, यानी (a) 47.32 मीटर।

प्रश्न 4

समतल भूमि पर खड़े एक व्यक्ति को किसी इमारत का शिखर 30° के उन्नयन कोण पर दिखाई देता है। इमारत की ओर 100 मीटर चलने के बाद उसे शिखर 45° पर दिखाई देता है। इमारत की ऊँचाई है: (a) $50(\sqrt{3} - 1)$ मीटर (b) $100(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (c) $50(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (d) $50\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: 45° पर बची दूरी ऊँचाई h के बराबर है। तो पहला बिंदु आधार से h + 100 दूर है, और $\tan 30^\circ = \frac{h}{h + 100}$। इससे $h\sqrt{3} = h + 100$, यानी $h = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} = \frac{100(\sqrt{3} + 1)}{2}$। उत्तर (c) $50(\sqrt{3} + 1)$ मीटर है, लगभग 136.6 मीटर। परिमेयकरण करते समय चिह्न गलत लग जाए, तो $50(\sqrt{3} - 1)$ मीटर, यानी लगभग 36.6 मीटर आ जाता है।

प्रश्न 5

किसी मीनार के विपरीत ओर खड़े दो व्यक्ति उसके शिखर के उन्नयन कोण 30° और 60° मापते हैं। यदि दोनों व्यक्तियों के बीच की दूरी 200 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई है: (a) $50\sqrt{3}$ मीटर (b) $100\sqrt{3}$ मीटर (c) 50 मीटर (d) $\frac{200}{\sqrt{3}}$ मीटर

उत्तर: मीनार दोनों व्यक्तियों के बीच है, तो आधार से दोनों दूरियों का योग 200 मीटर है। ये दूरियाँ $h\sqrt{3}$ (30° वाली) और $\frac{h}{\sqrt{3}}$ (60° वाली) हैं। तो $h\left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4h}{\sqrt{3}} = 200$, जिससे $h = 50\sqrt{3}$। मीनार की ऊँचाई (a) $50\sqrt{3}$ मीटर है। अगर दोनों एक ही ओर खड़े होते, तो उत्तर $100\sqrt{3}$ मीटर आता।

प्रश्न 6

24 मीटर ऊँची एक मीनार समतल भूमि पर दो बिंदुओं C और D के बीच खड़ी है, और ये सभी एक ही सीधी रेखा में हैं। C और D से उसके शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। C और D के बीच की दूरी कितनी है? (a) $8(3 - \sqrt{3})$ मीटर (b) $24(1 + \sqrt{3})$ मीटर (c) 48 मीटर (d) $8(3 + \sqrt{3})$ मीटर

उत्तर: C से कोण 45° है, तो C की आधार से दूरी ऊँचाई के बराबर है, यानी 24 मीटर। D से कोण 60° है, तो D की दूरी $\frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ मीटर है। मीनार बिंदुओं के बीच है, इसलिए दोनों दूरियाँ जोड़ते हैं। $CD = 24 + 8\sqrt{3}$ मीटर, यानी (d) $8(3 + \sqrt{3})$ मीटर, लगभग 37.9 मीटर।

प्रश्न 7

दो बिंदु P और Q किसी मीनार के आधार से क्रमशः 4 मीटर और 25 मीटर दूर, आधार से होकर जाने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। P और Q से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण कोटिपूरक हैं। मीनार की ऊँचाई है: (a) 14.5 मीटर (b) 10 मीटर (c) 21 मीटर (d) 12.5 मीटर

उत्तर: Q पर कोण $\theta$ मान लेते हैं, तो P पर कोण $90^\circ - \theta$ होगा। अब $\tan\theta = \frac{h}{25}$ और $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta = \frac{h}{4}$। $\tan\theta \times \cot\theta = 1$ होता है, तो $\frac{h}{25} \times \frac{h}{4} = 1$। इससे $h^2 = 100$, यानी h = (b) 10 मीटर। 14.5 मीटर तो 4 और 25 का औसत है, कोटिपूरक कोणों से यह नहीं आता।

प्रश्न 8

20 मीटर ऊँची एक मीनार के आधार से 10 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण $\theta$ है। उसी रेखा पर आधार से कितनी दूरी पर उन्नयन कोण $90^\circ - \theta$ होगा? (a) 30 मीटर (b) $20\sqrt{2}$ मीटर (c) 40 मीटर (d) 5 मीटर

उत्तर: कोण कोटिपूरक हैं, तो ऊँचाई का वर्ग दोनों दूरियों के गुणनफल के बराबर है। नए बिंदु की दूरी b मान लें, तो $20^2 = 10 \times b$, यानी b = 40। नया बिंदु आधार से (c) 40 मीटर दूर है। तर्क से भी जाँच लेते हैं। $\tan\theta = 2$ है, तो $\theta$ 45° से बड़ा है। उसका कोटिपूरक कोण 45° से छोटा होगा, और छोटे कोण वाला बिंदु और दूर ही होगा।

प्रश्न 9

भूमि पर स्थित एक बिंदु P से 30 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। एक व्यक्ति P से मीनार की ओर $20\sqrt{3}$ मीटर चलता है। उसकी नई स्थिति से शिखर का उन्नयन कोण कितना है? (a) $60^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $75^\circ$ (d) $50^\circ$

उत्तर: P से आधार तक दूरी $30\cot 30^\circ = 30\sqrt{3}$ मीटर है। $20\sqrt{3}$ मीटर चलने के बाद वह आधार से $10\sqrt{3}$ मीटर दूर रह जाता है। अब $\tan\beta = \frac{30}{10\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, तो कोण (a) $60^\circ$ है।

प्रश्न 10

किसी मीनार के एक ही ओर, उसके आधार के साथ एक ही रेखा में स्थित दो बिंदुओं A और B से उसके शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। मीनार के आधार से A और B की दूरियों का अनुपात क्या है? (a) $\sqrt{3} : 1$ (b) $3 : 1$ (c) $2 : 1$ (d) $1 : 3$

उत्तर: आधार से किसी बिंदु की दूरी निकालने के लिए h को उस बिंदु के कोण के cot से गुणा करते हैं। तो A की दूरी $h\sqrt{3}$ है और B की $\frac{h}{\sqrt{3}}$। भाग देने पर $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ आता है, यानी अनुपात (b) $3 : 1$ है। 1 : 3 तब आता है, जब बिंदुओं का क्रम उलट जाए। याद रखिए, छोटे कोण वाला A ही दूर वाला बिंदु है।

प्रश्न 11

भूमि पर स्थित एक बिंदु से किसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 15° है। मीनार की ओर 120 मीटर चलने के बाद यह कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई है: (a) 120 मीटर (b) $60\sqrt{3}$ मीटर (c) $40\sqrt{3}$ मीटर (d) 60 मीटर

उत्तर: यहाँ $\tan 15^\circ$ की ज़रूरत नहीं पड़ती। दोनों बिंदुओं के नाम C और D रख लेते हैं, और शिखर का नाम A। D पर कोण 30° है, जो त्रिभुज ACD का बाह्य कोण है। तो $30^\circ = 15^\circ + \angle CAD$, यानी $\angle CAD = 15^\circ$। त्रिभुज में दो कोण 15° के हैं, इसलिए AD = CD = 120 मीटर। आधार वाले समकोण त्रिभुज में $h = AD\sin 30^\circ = 120 \times \frac{1}{2}$, यानी (d) 60 मीटर।

प्रश्न 12

90 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तंभ के शिखर से, उसके एक ही ओर तथा उसके आधार के साथ एक ही रेखा में स्थित दो नावों के अवनमन कोण 45° और 60° हैं। दोनों नावों के बीच की दूरी कितनी है? (a) $30(3 + \sqrt{3})$ मीटर (b) $30\sqrt{3}$ मीटर (c) $30(3 - \sqrt{3})$ मीटर (d) $90(\sqrt{3} - 1)$ मीटर

उत्तर: शिखर से अवनमन कोण उतना ही है, जितना हर नाव से शिखर का उन्नयन कोण। 45° वाली नाव आधार से 90 मीटर दूर है, और 60° वाली $\frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}$ मीटर। दोनों एक ही ओर हैं, तो अंतर लेते हैं, $90 - 30\sqrt{3}$ मीटर। यह (c) $30(3 - \sqrt{3})$ मीटर है, लगभग 38 मीटर।

प्रश्न 13

100 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तंभ के विपरीत ओर, उसके आधार के साथ एक ही रेखा में दो जहाज़ हैं। प्रकाश स्तंभ के शिखर से उनके अवनमन कोण 30° और 60° हैं। दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी है: (a) $\frac{400\sqrt{3}}{3}$ मीटर (b) $\frac{200\sqrt{3}}{3}$ मीटर (c) $100\sqrt{3}$ मीटर (d) $400\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: आधार से दूरियाँ $100\cot 30^\circ = 100\sqrt{3}$ मीटर और $100\cot 60^\circ = \frac{100}{\sqrt{3}}$ मीटर हैं। जहाज़ विपरीत ओर हैं, तो दोनों को जोड़ते हैं। $100\sqrt{3} + \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{300 + 100}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}}$। परिमेयकरण करने पर (a) $\frac{400\sqrt{3}}{3}$ मीटर आता है, लगभग 231 मीटर।

प्रश्न 14

किसी मीनार के शिखर से, मीनार के एक ही ओर एक सीधी सड़क पर स्थित दो कारों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। दोनों कारों के बीच की दूरी 60 मीटर है। मीनार की ऊँचाई है: (a) $30(\sqrt{3} - 1)$ मीटर (b) $30(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (c) $60(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (d) $20\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: 45° वाली कार आधार से h दूर है, और 30° वाली $h\sqrt{3}$। दोनों के बीच की दूरी $h\sqrt{3} - h = 60$ है। तो $h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2}$। मीनार की ऊँचाई (b) $30(\sqrt{3} + 1)$ मीटर है, लगभग 82 मीटर।

प्रश्न 15

$750\sqrt{3}$ मीटर की ऊँचाई पर क्षैतिज दिशा में उड़ता हुआ एक हवाई जहाज़ भूमि पर स्थित एक बिंदु से 60° के उन्नयन कोण पर दिखाई देता है। 12 सेकंड बाद उन्नयन कोण 30° हो जाता है। हवाई जहाज़ की चाल कितनी है? (a) 125 किमी/घंटा (b) 225 किमी/घंटा (c) 900 किमी/घंटा (d) 450 किमी/घंटा

उत्तर: बिंदु से हवाई जहाज़ की क्षैतिज दूरियाँ $750\sqrt{3}\cot 60^\circ = 750$ मीटर और $750\sqrt{3}\cot 30^\circ = 2250$ मीटर हैं। 12 सेकंड में वह 2250 − 750 = 1500 मीटर उड़ा, यानी 125 मीटर/सेकंड। किमी/घंटा में बदलने पर 125 × 3.6 = 450, तो चाल (d) 450 किमी/घंटा है। 125 किमी/घंटा वाले विकल्प में संख्या तो मीटर/सेकंड वाली है, पर इकाई गलत लगी है।

प्रश्न 16

एक हवाई जहाज़ 540 किमी/घंटा की चाल से क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है। भूमि पर स्थित एक बिंदु से उसका उन्नयन कोण 45° है, और 20 सेकंड बाद 30° है। वह कितनी ऊँचाई पर उड़ रहा है? (a) $1500(\sqrt{3} - 1)$ मीटर (b) $3000(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (c) $1500(\sqrt{3} + 1)$ मीटर (d) $1500\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: पहले चाल को मीटर/सेकंड में बदलते हैं, $540 \times \frac{5}{18} = 150$ मीटर/सेकंड। तो 20 सेकंड में हवाई जहाज़ 3000 मीटर उड़ा। 45° और 30° पर बिंदु से क्षैतिज दूरियाँ h और $h\sqrt{3}$ हैं। तो $h(\sqrt{3} - 1) = 3000$, जिससे $h = \frac{3000}{\sqrt{3} - 1} = 1500(\sqrt{3} + 1)$। ऊँचाई (c) $1500(\sqrt{3} + 1)$ मीटर है, लगभग 4098 मीटर।

प्रश्न 17

किसी मीनार के शिखर से एक व्यक्ति एक सीधी सड़क पर मीनार की ओर आती हुई एक कार देखता है। कार का अवनमन कोण 16 मिनट में 30° से बदलकर 60° हो जाता है। उसी चाल से मीनार के आधार तक पहुँचने में कार को और कितना समय लगेगा? (a) 8 मिनट (b) 16 मिनट (c) 32 मिनट (d) 4 मिनट

उत्तर: 30° और 60° पर आधार से कार की दूरी $h\sqrt{3}$ से घटकर $\frac{h}{\sqrt{3}}$ रह जाती है, यानी 3 भाग से 1 भाग। 16 मिनट में कार ने 2 भाग तय किए, तो आख़िरी भाग में (a) 8 मिनट लगेंगे।

प्रश्न 18

किसी खड़ी चट्टान के शिखर से, चट्टान की ओर सीधी आ रही एक नाव का अवनमन कोण 8 मिनट में 45° से बदलकर 60° हो जाता है। चट्टान के आधार तक पहुँचने में नाव को और कितना समय लगेगा? (a) $4(\sqrt{3} - 1)$ मिनट (b) $4(\sqrt{3} + 1)$ मिनट (c) $8\sqrt{3}$ मिनट (d) 4 मिनट

उत्तर: चट्टान की ऊँचाई h मान लेते हैं। 45° पर नाव आधार से h दूर है, और 60° पर $\frac{h}{\sqrt{3}}$। 8 मिनट में उसने $h - \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{h(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3}}$ दूरी तय की, और अभी $\frac{h}{\sqrt{3}}$ बाकी है। तो बची दूरी : तय दूरी = $1 : (\sqrt{3} - 1)$। बचा समय $\frac{8}{\sqrt{3} - 1} = 4(\sqrt{3} + 1)$ मिनट है, लगभग 10.9 मिनट, यानी (b) $4(\sqrt{3} + 1)$ मिनट।

प्रश्न 19

$50\sqrt{3}$ मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से, उसकी ओर आ रही एक कार 30° के अवनमन कोण पर दिखाई देती है। दस सेकंड बाद अवनमन कोण 60° हो जाता है। कार की चाल ज्ञात कीजिए। (a) 10 किमी/घंटा (b) 72 किमी/घंटा (c) 36 किमी/घंटा (d) 18 किमी/घंटा

उत्तर: आधार से कार की दूरियाँ $50\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 150$ मीटर और $50\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 50$ मीटर हैं। 10 सेकंड में कार 100 मीटर चली, यानी 10 मीटर/सेकंड। 10 × 3.6 = 36, तो चाल (c) 36 किमी/घंटा है।

प्रश्न 20

एक गुब्बारा भूमि पर स्थित एक बिंदु B से सीधा ऊपर उठता है। B से $40\sqrt{3}$ मीटर दूर खड़े एक प्रेक्षक को वह 30° के उन्नयन कोण पर दिखाई देता है, और 50 सेकंड बाद 60° पर। गुब्बारा किस चाल से ऊपर उठ रहा है? (a) 2.4 मीटर/सेकंड (b) 0.8 मीटर/सेकंड (c) 3.2 मीटर/सेकंड (d) 1.6 मीटर/सेकंड

उत्तर: क्षैतिज दूरी $40\sqrt{3}$ मीटर पर स्थिर है, तो दोनों ऊँचाइयाँ tan से निकालते हैं। पहले $40\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 40$ मीटर, फिर $40\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 120$ मीटर। 50 सेकंड में गुब्बारा 80 मीटर ऊपर उठा, तो चाल (d) 1.6 मीटर/सेकंड है। कोई 120 मीटर को 50 सेकंड से भाग देकर 2.4 मीटर/सेकंड लिख दे, तो गलत होगा, क्योंकि पहली बार देखते समय गुब्बारा पहले ही 40 मीटर ऊपर था।

प्रश्न 21

एक लड़का, जिसकी आँखें भूमि से 1.5 मीटर ऊपर हैं, किसी मीनार के शिखर को 30° के उन्नयन कोण पर देखता है। मीनार की ओर $20\sqrt{3}$ मीटर चलने पर यह कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई कितनी है? (a) 31.5 मीटर (b) 30 मीटर (c) 28.5 मीटर (d) 33 मीटर

उत्तर: कोण लड़के की आँख पर नापे गए हैं। तो पहले यह निकालते हैं कि शिखर उसकी आँखों से कितना ऊपर है। कोण 30° और 60° हैं, तो यह ऊँचाई चली दूरी का $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है, $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 20\sqrt{3} = 30$ मीटर। अब इसमें आँख की ऊँचाई जोड़ते हैं। 30 + 1.5 मीटर से मीनार की ऊँचाई (a) 31.5 मीटर आती है।

प्रश्न 22

4.5 किमी/घंटा की चाल से किसी मीनार की ओर चल रहे एक व्यक्ति को 2 मिनट में मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° से बदलकर 60° होता दिखाई देता है। व्यक्ति की ऊँचाई की उपेक्षा करते हुए मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (a) $150\sqrt{3}$ मीटर (b) $75\sqrt{3}$ मीटर (c) 75 मीटर (d) $270\sqrt{3}$ मीटर

उत्तर: पहले चली दूरी निकालते हैं। 4.5 किमी/घंटा = $4.5 \times \frac{5}{18} = 1.25$ मीटर/सेकंड, और 2 मिनट = 120 सेकंड। तो वह 150 मीटर चला। कोण 30° और 60° हैं, तो ऊँचाई चली दूरी का $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है, यानी $75\sqrt{3}$ मीटर। उत्तर (b) $75\sqrt{3}$ मीटर है। कोई 4.5 को मीटर/सेकंड मान ले, तो उसे चली दूरी 540 मीटर और ऊँचाई $270\sqrt{3}$ मीटर मिलेगी।