वृत्त: परिधि, क्षेत्रफल, वलय और पहिए

वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल

वृत्त का कोई भी प्रश्न हो, शुरुआत त्रिज्या से होती है। केंद्र O से वृत्त तक की दूरी को त्रिज्या $r$ कहते हैं।

व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, यानी $d = 2r$। वृत्त के चारों ओर की पूरी दूरी को परिधि (circumference) कहते हैं, और इसे $C$ से लिखते हैं।

वृत्त छोटा हो या बड़ा, उसकी परिधि को व्यास से भाग दें तो हर बार एक ही संख्या आती है। इसी संख्या को $\pi$ (पाई) कहते हैं। इसका मान लगभग 3.1416 है। इसलिए

$$C = \pi d = 2\pi r$$

क्षेत्रफल $\pi r^2$ क्यों होता है: वृत्त को पिज़्ज़ा की तरह बहुत-सी पतली फाँकों में काट लीजिए। अब इन फाँकों को अगल-बगल बिछाइए, बारी-बारी से एक की नोक ऊपर और अगली की नीचे। मुड़े हुए किनारों का आधा भाग ऊपर आ जाता है और आधा नीचे। जो आकृति बनती है, वह लगभग एक आयत है। इसकी लंबाई आधी परिधि, यानी $\pi r$ है, और ऊँचाई $r$। फाँकें जितनी ज़्यादा होंगी, आकृति उतनी ही ठीक आयत जैसी दिखेगी।

तो क्षेत्रफल लंबाई × ऊँचाई हुआ।

$$\text{क्षेत्रफल} = \pi r \times r = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$$

ज़बानी याद रखने लायक मान ($\pi = \frac{22}{7}$ से): ये मान पक्के याद कर लीजिए।

विकल्पों में 154, 616 या 1386 दिखे, तो बहुत संभव है कि त्रिज्या 7, 14 या 21 हो। एक बात और देखिए। त्रिज्या दोगुनी करने पर परिधि दोगुनी होती है, पर क्षेत्रफल 4 गुना हो जाता है (616 = 4 × 154)।

$\pi$ का कौन-सा मान लें

$\pi$ ठीक-ठीक न तो $\frac{22}{7}$ है, न 3.14। इसका असली मान 3.14159… है। हिसाब आसान रखने के लिए हम उसकी जगह इन दोनों में से कोई एक ले लेते हैं। $\frac{22}{7}$ = 3.142857… होता है, यानी असली मान से ज़रा-सा बड़ा।

कौन-सा मान लेना है, यह प्रश्न और विकल्प देखकर तय कीजिए।

एक ही वृत्त, तीनों मानों से: मान लीजिए r = 10 सेमी है। तब

• 3.14 से C = 62.8 सेमी और A = 314 वर्ग सेमी आता है।
• $\frac{22}{7}$ से $C = \frac{440}{7}$ (लगभग 62.86) सेमी और $A = \frac{2200}{7}$ (लगभग 314.29) वर्ग सेमी आता है।
• $\pi$ के रूप में लिखें, तो $C = 20\pi$ सेमी और $A = 100\pi$ वर्ग सेमी रहता है।

विकल्पों में 314 और 314.29 अगल-बगल दिए हों, तो उत्तर-कुंजी में वही सही माना जाता है जो प्रश्न में बताए गए $\pi$ के मान से आता है। प्रश्न में कोई मान न बताया हो, तो विकल्प देखकर तय कीजिए।

त्रिज्या या व्यास: इस अध्याय में एक बहुत आम चूक है व्यास को ही त्रिज्या मान लेना। जैसे प्रश्न में "28 सेमी व्यास वाली एक वृत्ताकार प्लेट" लिखा है। तो r = 14 सेमी है और क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी। 28 सेमी को त्रिज्या मान लिया, तो 2464 वर्ग सेमी आएगा, जो चार गुना बड़ा है। और यह संख्या विकल्पों में ज़रूर मिलेगी।

$\frac{22}{7}$ के साथ तेज़ हिसाब: गुणा करने से पहले 7 काट दीजिए। जैसे $\frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386$, और $2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 44 \times 7 = 308$। 3.14 के साथ पहले 3 से गुणा कीजिए, फिर 0.14 वाला भाग जोड़ दीजिए। जैसे 3.14 × 25 = 75 + 3.5 = 78.5।

[SSC टिप] अगर आपके उत्तर के हर में अब भी 7 बचा है, पर हर विकल्प एक साफ़ संख्या है, तो शायद $\pi$ का गलत मान लग गया है, या त्रिज्या की जगह व्यास ले लिया गया है। सबसे पास वाला विकल्प चुनने से पहले यही जाँच लीजिए।

उलटी दिशा: परिधि या क्षेत्रफल से त्रिज्या

कई प्रश्नों में एक माप देकर दूसरा पूछा जाता है। ऐसे में हमेशा पहले त्रिज्या निकालिए। जो माप पूछा गया है, वह उसी से निकलेगा।

$$r = \frac{C}{2\pi} \qquad r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

• मान लीजिए C = 132 सेमी है। तो $r = \frac{132 \times 7}{44} = 21$ सेमी, और फिर $A = \frac{22}{7} \times 441 = 1386$ वर्ग सेमी।
• अब A = 616 वर्ग सेमी दिया हो। तो $r^2 = \frac{616 \times 7}{22} = 196$, यानी r = 14 सेमी, और C = 88 सेमी।

दोनों के बीच सीधा संबंध भी है, $A = \frac{C^2}{4\pi}$, और $\frac{A}{C} = \frac{r}{2}$। इससे एक प्रश्न तुरंत हो जाता है। किसी वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) संख्या में उसकी परिधि (सेमी में) के बराबर हो, तो $\frac{r}{2} = 1$, यानी r = 2 सेमी। इसी तरह क्षेत्रफल परिधि का $k$ गुना हो, तो r = 2k होगा।

परिधि और व्यास साथ में: परिधि 3 व्यासों से थोड़ी अधिक होती है। SSC प्रायः इन दोनों का योग या अंतर देता है।

$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर ये रूप काम आते हैं।

$$C - d = (\pi - 1)d = \frac{15}{7}d \qquad C + d = \frac{29}{7}d \qquad C + r = \frac{51}{7}r \qquad C - r = \frac{37}{7}r$$

जैसे परिधि व्यास से 30 सेमी अधिक है। तो $\frac{15}{7}d = 30$, यानी d = 14 सेमी और r = 7 सेमी। या C + r = 102 सेमी दिया है। तो $\frac{51}{7}r = 102$, और r = 14 सेमी।

परिमाप का अर्थ परिधि: पूरे वृत्त के लिए इन दोनों शब्दों का एक ही अर्थ है। "वृत्ताकार मैदान का परिमाप" पूछा जाए, तो $2\pi r$ निकालिए, $\pi r^2$ नहीं।

C − d वाले प्रश्न में तुरंत $C - d = \frac{15}{7}d$ लिखिए और भाग दे दीजिए। कोई $2\pi r - 2r$ लिखकर हल करने बैठे, तो तीन पंक्तियाँ लगती हैं, और हिसाब की गलतियाँ वहीं होती हैं।

अर्धवृत्त

किसी वृत्त को उसके किसी व्यास पर काट दें, तो दो अर्धवृत्त मिलते हैं। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल पूरे वृत्त का आधा होता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\pi r^2}{2}$$

परिमाप में थोड़ा ध्यान रखिए। अर्धवृत्त के परिमाप में मुड़ा हुआ चाप (आधी परिधि, $\pi r$) और सीधा व्यास $2r$, दोनों आते हैं।

$$\text{परिमाप} = \pi r + 2r = r(\pi + 2) = \frac{36}{7}r \qquad \left(\pi = \frac{22}{7}\right)$$

जैसे r = 14 सेमी हो, तो क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 616 = 308$ वर्ग सेमी। चाप 44 सेमी है, तो परिमाप = 44 + 28 = 72 सेमी।

उलटी दिशा में भी यही चलता है। परिमाप 54 सेमी दिया हो, तो $\frac{36}{7}r = 54$, यानी r = 10.5 सेमी। अब क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 346.5 = 173.25$ वर्ग सेमी हुआ।

अर्धवृत्त कहाँ-कहाँ मिलते हैं: प्रश्नों में अर्धवृत्ताकार चाँदा, खिड़की, भूखंड या बगीचा आता है। अर्धवृत्ताकार भूखंड पर बाड़ लगानी हो, तो परिमाप चाहिए। कोई तार मोड़कर अर्धवृत्त बनाया गया हो, तो तार की लंबाई पूरा परिमाप है, चाप और व्यास दोनों। पर बाड़ केवल मुड़े किनारे पर लगनी हो, या प्रश्न में "चाप की लंबाई" पूछी गई हो, तो $2r$ नहीं जोड़ना है।

• 36 सेमी लंबा तार मोड़कर अर्धवृत्त बनाया गया। तो $\frac{36}{7}r = 36$, यानी r = 7 सेमी, और तार से घिरा क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 154 = 77$ वर्ग सेमी है।
• 35 मीटर त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार भूखंड के चारों ओर ₹12 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगानी है। सीमा 110 + 70 = 180 मीटर है, तो लागत ₹2,160 हुई। बाड़ केवल मुड़े किनारे पर लगे, तो 110 मीटर बाड़ लगेगी और लागत ₹1,320 होगी।

[SSC टिप] "अर्धवृत्त का परिमाप" में व्यास हमेशा जुड़ता है। दो गलत विकल्प लगभग हमेशा यही होते हैं, $\pi r$ (केवल चाप) और $2\pi r$ (पूरा वृत्त)। r = 14 सेमी पर ये 44 सेमी और 88 सेमी हैं, जबकि सही उत्तर 72 सेमी है।

चतुर्थांश और तीन-चौथाई वृत्त

वृत्त का चौथाई भाग चतुर्थांश (quadrant) कहलाता है। यह आपस में समकोण बनाने वाली दो त्रिज्याओं से कटता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\pi r^2}{4} \qquad \text{परिमाप} = \frac{\pi r}{2} + 2r = \frac{25}{7}r \qquad \left(\pi = \frac{22}{7}\right)$$

परिमाप में चौथाई चाप के साथ दो त्रिज्याएँ भी आती हैं। जैसे r = 14 सेमी हो, तो क्षेत्रफल = 154 वर्ग सेमी, चाप = 22 सेमी और परिमाप = 22 + 28 = 50 सेमी।

वृत्त में से एक चतुर्थांश निकाल दें, तो तीन-चौथाई वृत्त बचता है। इसका क्षेत्रफल $\frac{3\pi r^2}{4}$ होता है और परिमाप $\frac{3\pi r}{2} + 2r$। जैसे r = 7 सेमी हो, तो क्षेत्रफल = 115.5 वर्ग सेमी और परिमाप = 33 + 14 = 47 सेमी।

अब चारों आकृतियाँ एक साथ देख लीजिए। सारे मान $\pi = \frac{22}{7}$ से हैं।

वृत्त का कोई और टुकड़ा हो, जैसे 60° या 120° वाला, तो वह त्रिज्यखंड है। उसे "चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड और छायांकित भाग" वाले खंड में पढ़ेंगे। वहाँ भी तरीका यही है। वृत्त का उतना भाग लीजिए जितना वह टुकड़ा है, और परिमाप में दो त्रिज्याएँ जोड़िए।

याद रखिए, इनमें से सिर्फ़ पूरे वृत्त में कोई सीधा किनारा नहीं होता। वृत्त कटते ही परिमाप में सीधे किनारे जुड़ जाते हैं। अर्धवृत्त में एक व्यास जुड़ता है, और चतुर्थांश या तीन-चौथाई वृत्त में दो त्रिज्याएँ।

वलय: दो वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल

एक ही केंद्र वाले दो वृत्तों को संकेंद्रीय वृत्त (concentric circles) कहते हैं। इनके बीच का भाग वलय (annulus) कहलाता है।

मान लीजिए बाहरी त्रिज्या $R$ है और भीतरी त्रिज्या $r$। तो

$$\text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r)$$

वलय की चौड़ाई $w = R - r$ होती है।

गुणनखंड वाले रूप से मेहनत कम लगती है। जैसे R = 21 सेमी और r = 14 सेमी हो, तो क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 35 \times 7 = 770$ वर्ग सेमी आता है। कोई वर्ग निकालना ही नहीं पड़ा।

परिधियाँ: दोनों परिधियों का अंतर $2\pi R - 2\pi r = 2\pi w$ होता है। मतलब यह अंतर केवल वलय की चौड़ाई पर निर्भर है, वृत्त छोटे हों या बड़े। जैसे दोनों परिधियों में 44 सेमी का अंतर है। तो वलय $\frac{44}{2\pi} = 7$ सेमी चौड़ा है, त्रिज्याएँ चाहे जो भी हों। परिधियों का योग दिया हो, तो इसी तरह $R + r$ निकल आता है।

एक और काम का रूप है। वलय का क्षेत्रफल = दोनों परिधियों का औसत × चौड़ाई। यह इसलिए सही है, क्योंकि $\pi(R + r) = \frac{2\pi R + 2\pi r}{2}$, यानी दोनों परिधियों का औसत। जैसे परिधियाँ 132 सेमी और 88 सेमी हैं। इनका अंतर 44 सेमी है, तो यहाँ भी चौड़ाई 7 सेमी आती है, और औसत परिधि 110 सेमी है। इसलिए क्षेत्रफल 110 × 7 = 770 वर्ग सेमी।

[Tier 2] बाहरी वृत्त की जीवा, जो भीतरी वृत्त को स्पर्श करे: मान लीजिए बाहरी वृत्त की जीवा AB भीतरी वृत्त को T पर स्पर्श करती है। तब AB भीतरी वृत्त की स्पर्शरेखा है, और त्रिज्या OT उस पर लंब है। इसलिए T, AB का मध्य-बिंदु भी है। अब समकोण त्रिभुज OTB में पाइथागोरस प्रमेय लगाइए।

$$R^2 - r^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \qquad \text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi\left(\frac{AB}{2}\right)^2$$

मतलब अकेली जीवा से ही वलय का क्षेत्रफल निकल आता है। जैसे जीवा 14 सेमी की है, तो वलय $\frac{22}{7} \times 49 = 154$ वर्ग सेमी का है। कोई भी त्रिज्या जानने की ज़रूरत नहीं पड़ी।

[SSC टिप] $\pi(R - r)^2$ वलय का क्षेत्रफल नहीं है। यह तो उस छोटे वृत्त का क्षेत्रफल है, जिसकी त्रिज्या वलय की चौड़ाई के बराबर है। पहले वर्ग कीजिए, फिर घटाइए। या सीधे $(R + r)(R - r)$ लगाइए।

वृत्ताकार रास्ते, पथ और उनकी लागत

किसी वृत्ताकार पार्क के चारों ओर बराबर चौड़ाई का रास्ता हो, तो वह रास्ता एक वलय ही है। बस प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि रास्ता सीमा के बाहर है या अंदर।

• बाहर रास्ता: पार्क की त्रिज्या $r$ है, तो रास्ते की चौड़ाई जुड़कर बाहरी त्रिज्या $r + w$ हो जाती है। रास्ते का क्षेत्रफल $\pi[(r + w)^2 - r^2]$ है।
• अंदर रास्ता: रास्ता सीमा के साथ-साथ अंदर की ओर हो, तो भीतरी त्रिज्या $r - w$ होती है। तब रास्ते का क्षेत्रफल $\pi[r^2 - (r - w)^2]$ है।

जैसे 35 मीटर त्रिज्या वाले पार्क के बाहर 7 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times (42^2 - 35^2) = \frac{22}{7} \times 77 \times 7 = 1694$ वर्ग मीटर। इस पर ₹15 प्रति वर्ग मीटर की दर से बजरी बिछानी हो, तो लागत 1694 × 15 = ₹25,410 होगी। बाहरी किनारे पर बाड़ लगानी हो, तो उसकी लंबाई $2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264$ मीटर है। ₹30 प्रति मीटर की दर से इसकी लागत ₹7,920 आएगी।

अब वही 7 मीटर का रास्ता पार्क के अंदर मान लीजिए। तब क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times (35^2 - 28^2) = \frac{22}{7} \times 63 \times 7 = 1386$ वर्ग मीटर आता है, जो पहले से कम है।

दौड़ने के पथ: कोई वृत्ताकार पथ $w$ चौड़ा हो, तो उसका बाहरी किनारा भीतरी किनारे से $2\pi w$ लंबा होता है। जैसे भीतरी परिधि 440 मीटर है और पथ 7 मीटर चौड़ा। तो बाहरी किनारा 440 + 44 = 484 मीटर हुआ। पथ का क्षेत्रफल = औसत परिधि × चौड़ाई = 462 × 7 = 3234 वर्ग मीटर।

प्रति मीटर दर या प्रति वर्ग मीटर दर: बाड़, जंगला या किनारी की पट्टी लंबाई के हिसाब से, प्रति मीटर लगती है। इनके लिए परिधि चाहिए। बजरी, घास, टाइलें या पेंट प्रति वर्ग मीटर के हिसाब से लगते हैं। इनके लिए क्षेत्रफल चाहिए। ध्यान रखिए, गलत वाले हिसाब से जो उत्तर आता है, वह भी विकल्पों में हमेशा दिया होता है।

हिसाब छोटा करने के लिए ये रूप याद रखिए। बाहर रास्ता हो, तो $(r + w)^2 - r^2 = w(2r + w)$। अंदर रास्ता हो, तो $r^2 - (r - w)^2 = w(2r - w)$। ऊपर वाले उदाहरण में ये 7 × 77 = 539 और 7 × 63 = 441 हैं। इसके बाद बस $\frac{22}{7}$ से गुणा करना बाकी रहता है।

पहिए: दूरी, चक्कर और चाल

पहिया बिना फिसले लुढ़कता है, तो हर पूरे घुमाव में वह ठीक अपनी परिधि जितना आगे बढ़ता है। एक पूरे घुमाव को एक चक्कर (revolution) कहते हैं। मान लीजिए शुरुआत में पहिये का बिंदु P सड़क को छू रहा है। एक परिधि जितना आगे जाकर यही बिंदु P फिर से सड़क को छूता है।

$$\text{दूरी} = \text{चक्करों की संख्या} \times 2\pi r \qquad \text{चक्कर} = \frac{\text{दूरी}}{2\pi r}$$

जैसे किसी पहिये का व्यास 70 सेमी है। उसकी परिधि $\frac{22}{7} \times 70 = 220$ सेमी, यानी 2.2 मीटर है। 1.1 किमी = 1100 मीटर तय करने में यह $\frac{1100}{2.2} = 500$ चक्कर लगाएगा। और 750 चक्करों में यह 750 × 2.2 = 1650 मीटर चलेगा।

पहले इकाइयाँ: परिधि प्रायः सेमी में आती है और दूरी मीटर या किमी में। भाग देने से पहले दोनों को एक ही इकाई में बदल लीजिए (1 किमी = 1000 मीटर = 100000 सेमी)। पहिये वाले प्रश्नों के ज़्यादातर गलत विकल्प सही उत्तर से 10 या 100 गुना इधर-उधर होते हैं।

प्रति मिनट चक्करों से चाल: मान लीजिए पहिया हर मिनट $N$ चक्कर लगाता है। इसे चक्कर प्रति मिनट (rpm) कहते हैं। तो हर मिनट वह $N$ परिधियों जितना आगे बढ़ता है।

$$\text{प्रति मिनट दूरी} = N \times 2\pi r$$

वही 70 सेमी वाला पहिया लीजिए, जो 300 चक्कर प्रति मिनट लगाता है। एक मिनट में यह 300 × 2.2 = 660 मीटर चलता है। एक घंटे में 660 × 60 = 39600 मीटर, यानी चाल 39.6 किमी/घंटा है।

उलटी दिशा में भी हिसाब ऐसे ही होता है। इन्हीं पहियों पर कोई गाड़ी 33 किमी/घंटा से चल रही है। तो वह एक मिनट में 33000 ÷ 60 = 550 मीटर चलती है, और हर पहिया एक मिनट में $\frac{550}{2.2} = 250$ चक्कर लगाता है।

याद रखिए, चक्कर हमेशा परिधि से निकलते हैं, क्षेत्रफल से कभी नहीं। और त्रिज्या दी हो, तो एक चक्कर की दूरी $2\pi r$ है, $\pi r$ नहीं। $\pi r$ ले लिया, तो चक्करों की गिनती दोगुनी आ जाएगी।

दो पहिए, और घड़ी की सुई की नोक

अगला और पिछला पहिया: गाड़ी हो या साइकिल, उसके दोनों पहिए बराबर दूरी $D$ तय करते हैं। इसलिए छोटे पहिये को ज़्यादा चक्कर लगाने पड़ते हैं।

$$\frac{\text{पहिया 1 के चक्कर}}{\text{पहिया 2 के चक्कर}} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{r_2}{r_1}$$

जैसे त्रिज्याएँ 3 : 5 के अनुपात में हों, तो चक्कर 5 : 3 के अनुपात में होंगे।

एक प्रश्न बहुत आता है, "कितनी दूरी तय करने में अगला पहिया, पिछले पहिये से 50 चक्कर अधिक लगाएगा?" इसके लिए सीधे यह लिखिए।

$$\frac{D}{C_{\text{अगला}}} - \frac{D}{C_{\text{पिछला}}} = 50$$

मान लीजिए अगले पहिये की त्रिज्या 21 सेमी है (परिधि 132 सेमी = 1.32 मीटर) और पिछले की 42 सेमी (परिधि 2.64 मीटर)। तो $\frac{D}{1.32} - \frac{D}{2.64} = \frac{D}{2.64} = 50$, यानी D = 132 मीटर। जाँच कर लीजिए। 132 मीटर में अगला पहिया 100 चक्कर लगाता है और पिछला 50।

घड़ी की सुई की नोक: $L$ लंबाई वाली सुई की नोक $L$ त्रिज्या वाले वृत्त पर घूमती है। मिनट की सुई हर 60 मिनट में एक चक्कर लगाती है, घंटे की सुई हर 12 घंटे में एक, और सेकंड की सुई हर मिनट एक।

• $t$ मिनट में मिनट की सुई की नोक $\frac{t}{60} \times 2\pi L$ दूरी तय करती है।
• $t$ घंटे में घंटे की सुई की नोक $\frac{t}{12} \times 2\pi L$ दूरी तय करती है।

जैसे मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। तो उसकी नोक एक घंटे में 44 सेमी चलती है, 15 मिनट में 11 सेमी, और एक दिन में 24 × 44 = 1056 सेमी। घंटे की सुई 3.5 सेमी लंबी हो, तो वह दिन में दो चक्कर लगाती है। उसकी नोक एक दिन में 2 × 22 = 44 सेमी चलती है।

सुई घूमकर जो भाग घेरती है, वह त्रिज्यखंड होता है। उसे अगले खंड, "चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड और छायांकित भाग", में देखेंगे।

त्रिज्या बदलने पर क्षेत्रफल में परिवर्तन

त्रिज्या $k$ गुना हो जाए, तो परिधि और व्यास भी $k$ गुना होते हैं, पर क्षेत्रफल $k^2$ गुना हो जाता है।

$$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$$

इसलिए त्रिज्या में $x$% परिवर्तन हो, तो क्षेत्रफल में इतना परिवर्तन होता है।

$$\left(2x + \frac{x^2}{100}\right)\% \qquad (\text{कमी के लिए } -x \text{ लें})$$

यह वही क्रमिक परिवर्तन वाला नियम $a + b + \frac{ab}{100}$ है, जिसमें $a = b = x$ रख दिया गया है। यह नियम अध्याय 3 (प्रतिशत) में आ चुका है।

व्यास या परिधि बदले, तब भी यही तालिका लगती है, क्योंकि तीनों साथ-साथ बदलते हैं।

उलटी दिशा: मान लीजिए क्षेत्रफल 32.25% बढ़ा। तो अब वह पहले का 1.3225 गुना है, और त्रिज्या $\sqrt{1.3225} = 1.15$ गुना हुई। यानी त्रिज्या में 15% वृद्धि हुई। इसी तरह क्षेत्रफल 51% घटे, तो वह 0.49 गुना रह जाता है। तब त्रिज्या 0.7 गुना हुई, यानी 30% कमी।

त्रिज्या के साथ परिधि: त्रिज्या 20% बढ़े, तो परिधि भी 20% ही बढ़ती है, 44% नहीं। वर्ग केवल क्षेत्रफल में आता है।

[SSC टिप] "त्रिज्या 20% बढ़ी, क्षेत्रफल कितना बढ़ा?" वाले प्रश्न में 20% और 40% वाले विकल्प लगभग हमेशा होते हैं। सही हिसाब में त्रिज्या का परिवर्तन दो बार गिना जाता है, और ऊपर से $\frac{x^2}{100}$ भी जुड़ता है। यानी 20 + 20 + 4 = 44%।

वृत्तों की तुलना: अनुपात और बराबर परिमाप

मान लीजिए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $a : b$ के अनुपात में हैं। तब

• उनके व्यास और परिधियाँ भी $a : b$ में होती हैं।
• उनके क्षेत्रफल $a^2 : b^2$ में होते हैं।

जैसे क्षेत्रफल 16 : 25 में हों, तो त्रिज्याएँ और परिधियाँ 4 : 5 में होंगी। और परिधियाँ 2 : 3 में हों, तो क्षेत्रफल 4 : 9 में होंगे।

असली त्रिज्याएँ निकालना: मान लीजिए त्रिज्याएँ 2 : 5 के अनुपात में हैं और परिधियों में 132 सेमी का अंतर है। त्रिज्याएँ $2k$ और $5k$ लीजिए। तो $2\pi(5k - 2k) = 132$, यानी $6\pi k = 132$, जिससे k = 7 आता है। त्रिज्याएँ 14 सेमी और 35 सेमी हैं।

वृत्तों को जोड़ना: एक ऐसा वृत्त चाहिए, जिसका क्षेत्रफल 7 सेमी और 24 सेमी त्रिज्या वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर हो। तो $r^2 = 49 + 576 = 625$, और r = 25 सेमी। परिधियाँ जोड़नी हों, तो बात और आसान है। नए वृत्त की परिधि दोनों परिधियों के योग के बराबर चाहिए, तो उसकी त्रिज्या बस दोनों त्रिज्याओं का योग होगी।

बराबर परिमाप वाले वृत्त और वर्ग: मान लीजिए परिमाप 88 सेमी है। वर्ग की भुजा 22 सेमी होगी और क्षेत्रफल 484 वर्ग सेमी। वृत्त में r = 14 सेमी होगा और क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी। यानी वृत्त ज़्यादा जगह घेरता है। सामान्य रूप में परिमाप P हो, तो

$$\text{वृत्त} : \text{वर्ग} = \frac{P^2}{4\pi} : \frac{P^2}{16} = 4 : \pi = 14 : 11$$

उलटी ओर से देखें, तो बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग और वृत्त में वर्ग का परिमाप ज़्यादा होता है।

याद रखिए, क्षेत्रफलों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात का वर्ग करने से आता है। इसलिए क्षेत्रफल से त्रिज्या पर जाना हो, तो वर्गमूल लीजिए। जैसे क्षेत्रफल 49 : 64 में हैं, तो त्रिज्याएँ 7 : 8 में हैं, और परिधियाँ भी 7 : 8 में, 49 : 64 में नहीं।

आयत में सबसे बड़ा वृत्त, और शीट से कटे सिक्के

सबसे बड़ा वृत्त: आयत में जो सबसे बड़ा वृत्त समाता है, वह दोनों लंबी भुजाओं को छूता है। इसलिए उसका व्यास आयत की छोटी भुजा के बराबर होता है। जैसे 20 सेमी × 14 सेमी की शीट से सबसे बड़ा वृत्त काटना है। उसका व्यास 14 सेमी होगा, तो r = 7 सेमी और क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी। बेकार भाग 280 − 154 = 126 वर्ग सेमी बचता है।

भुजा $a$ वाले वर्ग में सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होती है। त्रिभुज में सबसे बड़ा वृत्त उसका अंतःवृत्त होता है। इसे "सम बहुभुज और संयुक्त आकृतियाँ" वाले खंड में देखेंगे।

एक शीट से कई सिक्के या चकतियाँ: $d$ व्यास वाली चकतियाँ सीधी पंक्तियों में काटी जाएँ, तो हर चकती $d$ × $d$ का एक वर्ग घेरती है।

$$\text{चकतियों की संख्या} = \left(\text{पूर्णांक भाग: } \frac{l}{d}\right) \times \left(\text{पूर्णांक भाग: } \frac{b}{d}\right)$$

जैसे 44 सेमी × 28 सेमी की शीट से 4 सेमी व्यास वाली चकतियाँ काटनी हैं। तो 11 × 7 = 77 चकतियाँ कटेंगी। इनका कुल क्षेत्रफल $77 \times \frac{22}{7} \times 4 = 968$ वर्ग सेमी है, इसलिए शीट का 1232 − 968 = 264 वर्ग सेमी बेकार जाता है।

यहाँ क्षेत्रफलों से भाग देना गलत है। ऐसा करें, तो $1232 \div \left(\frac{22}{7} \times 4\right) = 98$ चकतियाँ आती हैं, जो कट ही नहीं सकतीं। गोल चकतियों के बीच की खाली जगह किसी काम नहीं आती।

सीधी पंक्तियों वाली इस बनावट में बेकार भाग हमेशा शीट का $1 - \frac{\pi}{4}$ होता है। $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर यह $\frac{3}{14}$ है, यानी लगभग 21%। यहाँ भी $\frac{3}{14} \times 1232 = 264$ ही आता है।

भुजा व्यास का गुणज न हो, तो बची हुई पट्टी बेकार जाती है। 45 सेमी × 30 सेमी की शीट से भी 4 सेमी व्यास वाली केवल 11 × 7 = 77 चकतियाँ ही कटती हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक वृत्त की परिधि 132 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1386 वर्ग सेमी (b) 693 वर्ग सेमी (c) 5544 वर्ग सेमी (d) 2772 वर्ग सेमी

उत्तर: पहले त्रिज्या निकालते हैं। $2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$, तो $r = \frac{132 \times 7}{44} = 21$ सेमी। अब क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21$ = (a) 1386 वर्ग सेमी। कोई भूल से $\pi r = 132$ लिख दे, तो r = 42 सेमी आएगा और क्षेत्रफल 5544 वर्ग सेमी, जो गलत है।

प्रश्न 2

एक वृत्त का क्षेत्रफल 2464 वर्ग सेमी है। उसकी परिधि कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 88 सेमी (b) 352 सेमी (c) 176 सेमी (d) 132 सेमी

उत्तर: यहाँ भी पहले त्रिज्या चाहिए। $\frac{22}{7} \times r^2 = 2464$, तो $r^2 = \frac{2464 \times 7}{22} = 784$, यानी r = 28 सेमी। परिधि = $2 \times \frac{22}{7} \times 28 = 44 \times 4$ = (c) 176 सेमी।

प्रश्न 3

एक वृत्ताकार बगीचे की त्रिज्या 15 मीटर है। ₹20 प्रति मीटर की दर से उसके चारों ओर बाड़ लगाने की लागत कितनी होगी? ($\pi$ = 3.14 लीजिए।) (a) ₹942 (b) ₹1,884 (c) ₹14,130 (d) ₹3,768

उत्तर: बाड़ किनारे के चारों ओर लगती है, तो परिधि चाहिए। परिधि = 2 × 3.14 × 15 = 94.2 मीटर। लागत = 94.2 × 20 = (b) ₹1,884। लंबाई की जगह क्षेत्रफल (706.5 वर्ग मीटर) ले लें, तो गलत उत्तर ₹14,130 आता है।

प्रश्न 4

किसी वृत्त की परिधि उसके व्यास से 45 सेमी अधिक है। वृत्त की त्रिज्या कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 21 सेमी (b) 22.5 सेमी (c) 7 सेमी (d) 10.5 सेमी

उत्तर: परिधि और व्यास का अंतर C − d = $\pi d - d = \left(\frac{22}{7} - 1\right)d = \frac{15}{7}d$ होता है। तो $\frac{15}{7}d = 45$, यानी d = 21 सेमी, और त्रिज्या इसकी आधी, (d) 10.5 सेमी। जाँच कर लेते हैं। C = 66 सेमी है, और 66 − 21 = 45।

प्रश्न 5

किसी वृत्त की परिधि और त्रिज्या का योग 51 सेमी है। वृत्त का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 616 वर्ग सेमी (b) 154 वर्ग सेमी (c) 44 वर्ग सेमी (d) 38.5 वर्ग सेमी

उत्तर: परिधि और त्रिज्या का योग $2\pi r + r = r\left(\frac{44}{7} + 1\right) = \frac{51}{7}r$ है। तो $\frac{51}{7}r = 51$, यानी r = 7 सेमी। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 49$ = (b) 154 वर्ग सेमी।

प्रश्न 6

एक अर्धवृत्त का परिमाप 126 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 943.25 वर्ग सेमी (b) 1886.5 वर्ग सेमी (c) 471.625 वर्ग सेमी (d) 600.25 वर्ग सेमी

उत्तर: अर्धवृत्त के परिमाप में चाप और व्यास दोनों आते हैं, $\pi r + 2r = \frac{36}{7}r$। तो $\frac{36}{7}r = 126$, यानी r = 24.5 सेमी। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 24.5 \times 24.5 = 11 \times 3.5 \times 24.5$ = (a) 943.25 वर्ग सेमी।

प्रश्न 7

एक भूखंड अर्धवृत्त के आकार का है, जिसका क्षेत्रफल 2772 वर्ग मीटर है। उसके चारों ओर पूरी बाड़ लगाने के लिए कितनी लंबी बाड़ चाहिए? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 132 मीटर (b) 264 मीटर (c) 216 मीटर (d) 174 मीटर

उत्तर: क्षेत्रफल से त्रिज्या निकाल लेते हैं। $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times r^2 = 2772$, तो $r^2 = \frac{2772 \times 7}{11} = 1764$, यानी r = 42 मीटर। बाड़ चारों ओर लगनी है, तो मुड़ा किनारा और सीधा किनारा, दोनों लेने होंगे। लंबाई = $\frac{22}{7} \times 42 + 2 \times 42 = 132 + 84$ = (c) 216 मीटर।

प्रश्न 8

35 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक चतुर्थांश का परिमाप कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 55 सेमी (b) 90 सेमी (c) 110 सेमी (d) 125 सेमी

उत्तर: चतुर्थांश के परिमाप में चौथाई चाप और दो सीधी त्रिज्याएँ आती हैं। चाप = $\frac{1}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 55$ सेमी। परिमाप = 55 + 35 + 35 = (d) 125 सेमी।

प्रश्न 9

एक बगीचा 14 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त के तीन-चौथाई भाग के आकार का है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। ₹25 प्रति मीटर की दर से उसकी पूरी सीमा पर बाड़ लगाने की लागत कितनी होगी? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹2,350 (b) ₹1,650 (c) ₹2,200 (d) ₹2,000

उत्तर: सीमा में परिधि का तीन-चौथाई भाग और दो सीधी त्रिज्याएँ आती हैं। चाप = $\frac{3}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{3}{4} \times 88 = 66$ मीटर। सीमा = 66 + 14 + 14 = 94 मीटर, और लागत = 94 × 25 = (a) ₹2,350।

प्रश्न 10

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 17.5 सेमी और 10.5 सेमी हैं। उनके बीच के वलय का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 962.5 वर्ग सेमी (b) 616 वर्ग सेमी (c) 346.5 वर्ग सेमी (d) 154 वर्ग सेमी

उत्तर: यहाँ $\pi(R + r)(R - r)$ लेते हैं, ताकि दशमलव वाली संख्याओं का वर्ग न करना पड़े। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times (17.5 + 10.5) \times (17.5 - 10.5) = \frac{22}{7} \times 28 \times 7 = 22 \times 28$ = (b) 616 वर्ग सेमी। 154 वर्ग सेमी वाला विकल्प $\pi(R - r)^2$ से आता है। यह तो 7 सेमी त्रिज्या वाले एक छोटे वृत्त का क्षेत्रफल है, वलय का नहीं।

प्रश्न 11

दो संकेंद्रीय वृत्तों की परिधियाँ 154 सेमी और 110 सेमी हैं। उनके बीच के वलय का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 154 वर्ग सेमी (b) 1886.5 वर्ग सेमी (c) 924 वर्ग सेमी (d) 962.5 वर्ग सेमी

उत्तर: दोनों त्रिज्याएँ निकाल लेते हैं, $\frac{154}{2\pi} = 24.5$ सेमी और $\frac{110}{2\pi} = 17.5$ सेमी। वलय = $\frac{22}{7} \times (24.5 + 17.5)(24.5 - 17.5) = \frac{22}{7} \times 42 \times 7$ = (c) 924 वर्ग सेमी। औसत परिधि से झटपट जाँच भी हो जाती है, 132 × 7 = 924।

प्रश्न 12

दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच के वलय का क्षेत्रफल 1386 वर्ग सेमी है और वलय 7 सेमी चौड़ा है। बाहरी वृत्त की त्रिज्या कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 28 सेमी (b) 31.5 सेमी (c) 63 सेमी (d) 35 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल = $\pi(R + r)(R - r)$, और यहाँ R − r = 7 है। तो $\frac{22}{7} \times (R + r) \times 7 = 1386$, जिससे R + r = 63 आता है। अब R + r = 63 और R − r = 7 से R = 35 सेमी और r = 28 सेमी मिलते हैं। तो उत्तर (d) 35 सेमी है। 28 सेमी तो भीतरी त्रिज्या है, जबकि प्रश्न बाहरी त्रिज्या पूछ रहा है।

प्रश्न 13

49 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पार्क के चारों ओर बाहर की तरफ़ 7 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। ₹12 प्रति वर्ग मीटर की दर से रास्ते पर बजरी बिछाने की लागत कितनी होगी? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹27,720 (b) ₹24,024 (c) ₹1,848 (d) ₹4,224

उत्तर: रास्ता एक वलय है, जिसकी भीतरी त्रिज्या 49 मीटर और बाहरी 49 + 7 = 56 मीटर है। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times (56 + 49) \times 7 = 22 \times 105 = 2310$ वर्ग मीटर। लागत = 2310 × 12 = (a) ₹27,720।

प्रश्न 14

एक वृत्ताकार बगीचे की परिधि 220 मीटर है। उसके अंदर सीमा के साथ-साथ 3.5 मीटर चौड़ा एक रास्ता बना है। रास्ते का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 808.5 वर्ग मीटर (b) 38.5 वर्ग मीटर (c) 731.5 वर्ग मीटर (d) 770 वर्ग मीटर

उत्तर: बगीचे की त्रिज्या = $\frac{220}{2\pi} = 35$ मीटर। रास्ता अंदर है, तो भीतरी त्रिज्या 35 − 3.5 = 31.5 मीटर होगी। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times (35 + 31.5)(35 - 31.5) = \frac{22}{7} \times 66.5 \times 3.5 = 22 \times 33.25$ = (c) 731.5 वर्ग मीटर। बाहरी परिधि को सीधे चौड़ाई से गुणा कर दें, तो 770 वर्ग मीटर आता है। यह गलत है, क्योंकि यहाँ औसत परिधि लेनी होती है।

प्रश्न 15

एक पहिये का व्यास 84 सेमी है। 792 मीटर की दूरी तय करने में वह कितने चक्कर लगाएगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 150 (b) 300 (c) 600 (d) 3000

उत्तर: एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि जितना चलता है, यानी $\frac{22}{7} \times 84 = 264$ सेमी। 792 मीटर को सेमी में बदलें, तो 79200 सेमी हुए। चक्कर = $\frac{79200}{264}$ = (b) 300।

प्रश्न 16

35 सेमी त्रिज्या वाला एक पहिया एक मिनट में 225 चक्कर लगाता है। वाहन की चाल किमी/घंटा में कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 14.85 किमी/घंटा (b) 59.4 किमी/घंटा (c) 2.97 किमी/घंटा (d) 29.7 किमी/घंटा

उत्तर: एक चक्कर = $2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220$ सेमी = 2.2 मीटर। एक मिनट में पहिया 225 × 2.2 = 495 मीटर चलता है। एक घंटे में 495 × 60 = 29700 मीटर, यानी चाल (d) 29.7 किमी/घंटा है।

प्रश्न 17

एक कार 99 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। उसके पहियों का व्यास 70 सेमी है। प्रत्येक पहिया एक मिनट में कितने चक्कर लगाता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 375 (b) 750 (c) 1500 (d) 45,000

उत्तर: पहले देखते हैं कि कार एक मिनट में कितना चलती है, $\frac{99000}{60} = 1650$ मीटर। एक चक्कर = $\frac{22}{7} \times 70 = 220$ सेमी = 2.2 मीटर। तो प्रति मिनट चक्कर = $\frac{1650}{2.2}$ = (b) 750। 45,000 तो एक घंटे के चक्कर हैं, एक मिनट के नहीं।

प्रश्न 18

एक गाड़ी के अगले पहिये का व्यास 70 सेमी और पिछले पहिये का व्यास 1.05 मीटर है। कितनी दूरी तय करने में अगला पहिया, पिछले पहिये से 50 चक्कर अधिक लगाएगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 165 मीटर (b) 660 मीटर (c) 330 मीटर (d) 110 मीटर

उत्तर: दोनों पहियों की परिधि चाहिए। अगले पहिये की परिधि $\frac{22}{7} \times 0.7 = 2.2$ मीटर है और पिछले की $\frac{22}{7} \times 1.05 = 3.3$ मीटर। दूरी D हो, तो $\frac{D}{2.2} - \frac{D}{3.3} = 50$। साझा हर 6.6 लेने पर $\frac{3D - 2D}{6.6} = 50$, तो D = (c) 330 मीटर। जाँचें तो 330 मीटर में अगला पहिया 150 चक्कर लगाता है और पिछला 100।

प्रश्न 19

एक घड़ी की मिनट की सुई 3.5 सेमी लंबी है। पूर्वाह्न 9:00 बजे से पूर्वाह्न 11:30 बजे के बीच उसकी नोक कितनी दूरी तय करती है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 22 सेमी (b) 27.5 सेमी (c) 110 सेमी (d) 55 सेमी

उत्तर: मिनट की सुई की नोक हर घंटे 3.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चक्कर लगाती है, यानी $2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 = 22$ सेमी चलती है। 9:00 से 11:30 तक 2.5 घंटे होते हैं। तो नोक 2.5 × 22 = (d) 55 सेमी चलती है।

प्रश्न 20

एक वृत्त की त्रिज्या में 30% की वृद्धि की जाती है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है? (a) 60% (b) 30% (c) 69% (d) 169%

उत्तर: नई त्रिज्या पुरानी की 1.3 गुना है, तो नया क्षेत्रफल पुराने का $1.3^2 = 1.69$ गुना होगा। यानी वृद्धि (c) 69% है। सूत्र से भी यही आता है, $2 \times 30 + \frac{30^2}{100} = 60 + 9 = 69$।

प्रश्न 21

एक वृत्त की परिधि में 10% की कमी की जाती है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की कमी होती है? (a) 19% (b) 20% (c) 10% (d) 21%

उत्तर: परिधि और त्रिज्या साथ-साथ बदलती हैं, तो त्रिज्या भी अब 0.9 गुना है। क्षेत्रफल $0.9^2 = 0.81$ गुना रह गया, यानी कमी (a) 19% है। सूत्र से भी $-10 - 10 + \frac{100}{100} = -19$ आता है। 21% वाला विकल्प 10% वृद्धि का उत्तर है, कमी का नहीं।

प्रश्न 22

एक वृत्त के क्षेत्रफल में 96% की वृद्धि होती है। उसकी परिधि में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है? (a) 48% (b) 96% (c) 20% (d) 40%

उत्तर: नया क्षेत्रफल पुराने का 1.96 गुना है। तो त्रिज्या, और उसके साथ परिधि भी, $\sqrt{1.96} = 1.4$ गुना हुई। मतलब परिधि में वृद्धि (d) 40% है।

प्रश्न 23

दो वृत्तों के क्षेत्रफल 9 : 16 के अनुपात में हैं और उनकी परिधियों में 44 सेमी का अंतर है। बड़े वृत्त की त्रिज्या कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 21 सेमी (b) 28 सेमी (c) 7 सेमी (d) 16 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल 9 : 16 में हैं, तो वर्गमूल लेकर त्रिज्याएँ 3 : 4 में हुईं। त्रिज्याएँ 3k और 4k मान लेते हैं। परिधियों का अंतर $2\pi(4k - 3k) = 2\pi k = 44$, तो k = 7। बड़ी त्रिज्या = 4 × 7 = (b) 28 सेमी।

प्रश्न 24

66 सेमी × 42 सेमी की एक आयताकार शीट से 6 सेमी व्यास वाली कितनी वृत्ताकार चकतियाँ पंक्तियों में काटी जा सकती हैं? (a) 98 (b) 308 (c) 77 (d) 24

उत्तर: हर चकती शीट का 6 सेमी × 6 सेमी वाला एक वर्ग घेरती है। 66 सेमी वाली भुजा पर 66 ÷ 6 = 11 चकतियाँ आती हैं, और 42 सेमी वाली भुजा पर 42 ÷ 6 = 7। कुल = 11 × 7 = (c) 77। शीट के क्षेत्रफल को एक चकती के क्षेत्रफल से भाग दें, तो 98 आता है। यह गलत है, क्योंकि गोल चकतियों के बीच जो खाली जगह बचती है, उससे कोई चकती नहीं कटती।

प्रश्न 25

28 सेमी × 20 सेमी की एक आयताकार शीट से सबसे बड़ा संभव वृत्त काटा जाता है। शीट का कितना क्षेत्रफल बचता है? ($\pi$ = 3.14 लीजिए।) (a) 246 वर्ग सेमी (b) 314 वर्ग सेमी (c) 497.2 वर्ग सेमी (d) 280 वर्ग सेमी

उत्तर: सबसे बड़े वृत्त का व्यास छोटी भुजा के बराबर, यानी 20 सेमी होगा। तो r = 10 सेमी। वृत्त = 3.14 × 100 = 314 वर्ग सेमी, और शीट = 28 × 20 = 560 वर्ग सेमी। बचा भाग = 560 − 314 = (a) 246 वर्ग सेमी।