चाप, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड और छायांकित भाग

चाप और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

किसी वृत्त में केंद्र से दो त्रिज्याएँ खींचिए। इन दोनों के बीच वृत्त का जो टुकड़ा कटता है, उसे त्रिज्यखंड (sector) कहते हैं। पिज़्ज़ा का एक टुकड़ा सोचिए, उसका आकार ठीक ऐसा ही होता है। इस टुकड़े का मुड़ा हुआ किनारा चाप (arc) कहलाता है। केंद्र पर दोनों त्रिज्याओं के बीच जो कोण होता है, उसे केंद्रीय कोण (central angle) $\theta$ कहते हैं।

केंद्र के चारों ओर पूरा कोण 360° होता है। इसलिए कोण $\theta$ वाला त्रिज्यखंड सीधे-सीधे वृत्त का $\frac{\theta}{360}$ भाग है। उसका चाप परिधि का इतना ही भाग होता है, और उसका क्षेत्रफल भी वृत्त के क्षेत्रफल का इतना ही भाग।

$$\text{चाप की लंबाई } l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$

$$\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$$

इन्हें नए सूत्र मानकर रटने की ज़रूरत नहीं है। पहले पूरा वृत्त सोचिए, फिर देखिए कि उसका कितना भाग चाहिए। आम कोणों के लिए यह भाग नीचे दिया है।

अब तीन उदाहरण देखिए।

• $r = 21$ सेमी और $\theta = 60^\circ$ हो, तो पूरे वृत्त की परिधि $2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132$ सेमी है और क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 441 = 1386$ वर्ग सेमी। यह कोण वृत्त का एक-छठा है, तो दोनों का एक-छठा ले लीजिए। चाप 22 सेमी आता है और त्रिज्यखंड 231 वर्ग सेमी।
• $r = 14$ सेमी और $\theta = 45^\circ$ हो, तो परिधि 88 सेमी है और क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी। दोनों का आठवाँ भाग लीजिए। चाप 11 सेमी आता है और त्रिज्यखंड 77 वर्ग सेमी।
• $r = 10$ सेमी, $\theta = 72^\circ$ और $\pi = 3.14$ हो, तो परिधि 62.8 सेमी है और क्षेत्रफल 314 वर्ग सेमी। दोनों का पाँचवाँ भाग लेने पर चाप 12.56 सेमी और त्रिज्यखंड 62.8 वर्ग सेमी आता है।

"वृत्त: परिधि, क्षेत्रफल, वलय और पहिए" वाले खंड में अर्धवृत्त और वृत्त के चौथाई भाग के जो सूत्र आए थे, वे इसी तालिका की 180° और 90° वाली पंक्तियों से सीधे निकल आते हैं।

कुछ आम त्रिज्याओं के लिए पूरे वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल पहले से याद रखिए, $\pi = \frac{22}{7}$ लेकर। $r = 7$ हो तो 44 और 154, $r = 14$ हो तो 88 और 616, $r = 21$ हो तो 132 और 1386, $r = 28$ हो तो 176 और 2464, और $r = 35$ हो तो 220 और 3850। ये मान याद हों, तो त्रिज्यखंड वाले ज़्यादातर प्रश्नों में बस एक भाग करना पड़ता है।

चाप से क्षेत्रफल, और उलटी गणना

क्षेत्रफल वाले सूत्र को चाप वाले सूत्र से भाग देकर देखिए। $\frac{\theta}{360}\pi r^2 \div \left(\frac{\theta}{360} \times 2\pi r\right) = \frac{r}{2}$ आता है। मतलब त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल चाप और त्रिज्या से सीधे निकल आता है।

$$\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times l \times r$$

आधार $l$ और ऊँचाई $r$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल भी ठीक यही होता है। यह कोई संयोग नहीं है। त्रिज्यखंड को बहुत पतली-पतली फाँकों में काट लीजिए। हर फाँक लगभग एक पतला त्रिभुज है, जिसकी ऊँचाई $r$ है। और सब फाँकों के आधार जोड़ें, तो $l$ आता है।

दो उदाहरण देखिए।

• चाप 22 सेमी और त्रिज्या 21 सेमी हो, तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 22 \times 21 = 231$ वर्ग सेमी। यह वही उत्तर है जो ऊपर आया था, और यहाँ $\pi$ की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।
• क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी और चाप 22 सेमी हो, तो $r = \frac{2 \times 154}{22} = 14$ सेमी।

उलटी गणना: SSC में अक्सर चाप या क्षेत्रफल देकर कोण या त्रिज्या पूछी जाती है। ऐसे में वृत्त के भाग वाला यही तरीका उलटा लगा दीजिए।

• चाप से कोण: $\theta = \frac{l}{2\pi r} \times 360^\circ$। जैसे 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 22 सेमी का चाप है। यह परिधि का $\frac{22}{88} = \frac{1}{4}$ है, तो $\theta = 90^\circ$।
• चाप और कोण से त्रिज्या: 33 सेमी का चाप केंद्र पर 135° का कोण बनाता है। 135° वृत्त का $\frac{3}{8}$ है, तो पूरी परिधि $33 \times \frac{8}{3} = 88$ सेमी हुई, और $r = 14$ सेमी।
• क्षेत्रफल और कोण से त्रिज्या: 160° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी है। 160° वृत्त का $\frac{4}{9}$ है, तो पूरा वृत्त $616 \times \frac{9}{4} = 1386$ वर्ग सेमी हुआ। इससे $r^2 = 441$ आता है, यानी $r = 21$ सेमी।

कोण एक, वृत्त अलग: कोण बराबर हो और वृत्त अलग-अलग हों, तो चाप $r$ के अनुपात में बढ़ता है और क्षेत्रफल $r^2$ के अनुपात में। जैसे कोण बराबर है और त्रिज्याएँ 2 : 3 में हैं, तो चाप भी 2 : 3 में होंगे, पर क्षेत्रफल 4 : 9 में।

चाप एक, वृत्त अलग: दो वृत्तों में चाप बराबर हों, तो दोनों में $\frac{\theta}{360} \times 2\pi r$ बराबर है। तब $\theta \times r$ भी बराबर होगा। इसलिए त्रिज्याएँ कोणों के व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं। जिस वृत्त में कोण छोटा है, उसकी त्रिज्या बड़ी होगी।

[Tier 2] रेडियन में कोण: कोण $\theta$ रेडियन में दिया हो, तो सूत्रों में से 360 हट जाता है। तब $l = r\theta$ और क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}r^2\theta$ होता है। जैसे त्रिज्या 10 सेमी और कोण 1.2 रेडियन हो, तो चाप 12 सेमी आता है और क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी।

चाप और त्रिज्या दोनों दिए हों, तो पहले कोण निकालने के बजाय सीधे $\frac{1}{2}lr$ लगा दीजिए। यह जल्दी होता है, और इसमें $\pi$ का कोई मान भी नहीं चाहिए।

त्रिज्यखंड का परिमाप; लघु और दीर्घ त्रिज्यखंड

त्रिज्यखंड का परिमाप उसकी पूरी सीमा है। इसमें चाप भी आता है और दोनों त्रिज्याएँ भी।

$$\text{त्रिज्यखंड का परिमाप} = l + 2r = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r + 2r$$

इसके दो उदाहरण लीजिए।

• $r = 21$ सेमी और $\theta = 60^\circ$ हो, तो परिमाप $22 + 42 = 64$ सेमी है।
• 28 सेमी त्रिज्या वाले चतुर्थांश (quadrant) का परिमाप $44 + 56 = 100$ सेमी है।

परिमाप से क्षेत्रफल: 7 सेमी त्रिज्या वाले एक त्रिज्यखंड का परिमाप 25 सेमी है। इसमें से दोनों त्रिज्याएँ हटा दीजिए, तो चाप $25 - 14 = 11$ सेमी बचता है। अब क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 11 \times 7 = 38.5$ वर्ग सेमी हुआ। कोण भी निकल आता है। परिधि 44 सेमी है और चाप 11 सेमी, यानी परिधि का $\frac{1}{4}$। तो कोण 90° है।

दो त्रिज्याएँ, दो त्रिज्यखंड: दो त्रिज्याएँ वृत्त को दो त्रिज्यखंडों में बाँटती हैं। छोटा त्रिज्यखंड, जिसका कोण $\theta$ है, लघु त्रिज्यखंड (minor sector) कहलाता है। बाकी बड़ा भाग, जिसका कोण $360^\circ - \theta$ है, दीर्घ त्रिज्यखंड (major sector) कहलाता है। इसी तरह परिधि भी दो भागों में बँटती है, लघु चाप (minor arc) और दीर्घ चाप (major arc)।

$$\text{दीर्घ त्रिज्यखंड} = \pi r^2 - \text{लघु त्रिज्यखंड}, \qquad \text{दीर्घ चाप} = 2\pi r - \text{लघु चाप}$$

मान लीजिए $r = 21$ सेमी है और लघु कोण 60° है। लघु त्रिज्यखंड 231 वर्ग सेमी का है, तो दीर्घ त्रिज्यखंड $1386 - 231 = 1155$ वर्ग सेमी हुआ। लघु चाप 22 सेमी है, तो दीर्घ चाप $132 - 22 = 110$ सेमी है, और दीर्घ त्रिज्यखंड का परिमाप $110 + 42 = 152$ सेमी। दोनों त्रिज्यखंडों का अनुपात $60 : 300 = 1 : 5$ है।

[SSC टिप] "चाप की लंबाई" और "त्रिज्यखंड का परिमाप" दो अलग-अलग प्रश्न हैं। परिमाप में $2r$ भी जुड़ता है। $2r$ जोड़े बिना वाला उत्तर भी लगभग हर बार विकल्पों में दिया होता है। दीर्घ त्रिज्यखंड का परिमाप चाहिए, तो दीर्घ चाप में यही $2r$ जोड़िए।

वृत्तखंड का क्षेत्रफल

वृत्त में एक जीवा (chord) $AB$ खींचिए। यह वृत्त को दो टुकड़ों में बाँट देती है, और हर टुकड़ा एक वृत्तखंड (segment) कहलाता है। जीवा और लघु चाप के बीच वाला छोटा टुकड़ा लघु वृत्तखंड (minor segment) है। जीवा की दूसरी ओर वाला बड़ा टुकड़ा दीर्घ वृत्तखंड (major segment) है।

आकृति में त्रिज्यखंड $OAB$ देखिए। इसमें दो टुकड़े हैं, एक त्रिभुज $OAB$ और दूसरा वृत्तखंड। इसलिए लघु वृत्तखंड निकालने के लिए त्रिज्यखंड में से त्रिभुज घटा देते हैं।

$$\text{लघु वृत्तखंड} = \text{त्रिज्यखंड } OAB - \triangle OAB$$

त्रिभुज की दो भुजाएँ $r$ के बराबर हैं और उनके बीच कोण $\theta$ है, तो उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2\sin\theta$ है। यह "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड का $\frac{1}{2}ab\sin C$ वाला सूत्र ही है। SSC में केवल मानक कोण आते हैं। उनके लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल यह है।

दोनों को मिलाकर सूत्र ऐसे लिखते हैं।

$$\text{लघु वृत्तखंड} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 - \frac{1}{2}r^2\sin\theta$$

$$\text{दीर्घ वृत्तखंड} = \pi r^2 - \text{लघु वृत्तखंड}$$

मान लीजिए $r = 14$ सेमी और $\theta = 90^\circ$ है। त्रिज्यखंड $\frac{1}{4} \times 616 = 154$ वर्ग सेमी है और त्रिभुज $\frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98$ वर्ग सेमी। तो लघु वृत्तखंड $154 - 98 = 56$ वर्ग सेमी हुआ, और दीर्घ वृत्तखंड $616 - 56 = 560$ वर्ग सेमी।

वृत्तखंड का परिमाप: यह चाप + जीवा होता है। ऊपर वाले 90° के वृत्तखंड में चाप 22 सेमी है और जीवा $14\sqrt{2}$ सेमी। तो परिमाप $(22 + 14\sqrt{2})$ सेमी है, लगभग 41.8 सेमी।

ज़्यादातर गलती त्रिभुज में होती है, त्रिज्यखंड में नहीं। $\frac{1}{2}r^2$ केवल 90° पर सही है। 60° और 120° पर त्रिभुज $\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ होता है, और 30° और 150° पर $\frac{1}{4}r^2$।

90°, 60° और 120° वाले वृत्तखंड

SSC में वृत्तखंड के लगभग हर प्रश्न में यही तीन कोण आते हैं। इन तीनों में जीवा और त्रिभुज, दोनों केवल $r$ से तय हो जाते हैं।

90° वाला वृत्तखंड: यहाँ त्रिभुज $OAB$ समकोण समद्विबाहु है। उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2$ है और जीवा $r\sqrt{2}$ है।

$$\text{वृत्तखंड} = \frac{\pi r^2}{4} - \frac{r^2}{2} = r^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो कोष्ठक $\frac{11}{14} - \frac{7}{14} = \frac{2}{7}$ हो जाता है। यानी 90° वाला वृत्तखंड बस $\frac{2}{7}r^2$ है। जैसे $r = 35$ सेमी हो, तो वृत्तखंड $\frac{2}{7} \times 1225 = 350$ वर्ग सेमी है, और दीर्घ वृत्तखंड $3850 - 350 = 3500$ वर्ग सेमी।

60° वाला वृत्तखंड: यहाँ त्रिभुज समबाहु है, जिसकी भुजा $r$ है। कारण सीधा है। $OA = OB$ है और बीच का कोण 60° है, तो बाकी दोनों कोण भी 60° के होंगे। इसलिए जीवा त्रिज्या के बराबर है।

$$\text{वृत्तखंड} = \frac{\pi r^2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

जैसे $r = 14$ सेमी हो, तो वृत्तखंड $\frac{616}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \times 196 = \frac{308}{3} - 49\sqrt{3}$ है, लगभग 102.67 − 84.87 = 17.80 वर्ग सेमी।

120° वाला वृत्तखंड: त्रिभुज की दो भुजाएँ $r$ हैं और उनके बीच 120° है। इसका क्षेत्रफल भी $\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ ही है, क्योंकि $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$। जीवा $r\sqrt{3}$ है और केंद्र से जीवा की दूरी $\frac{r}{2}$।

$$\text{वृत्तखंड} = \frac{\pi r^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

जैसे $r = 6$ सेमी हो, तो वृत्तखंड $(12\pi - 9\sqrt{3})$ वर्ग सेमी है, लगभग 37.70 − 15.59 = 22.11 वर्ग सेमी।

जीवा से कोण पहचानना: कभी प्रश्न में कोण की जगह जीवा दी होती है। जीवा = $r$ हो तो कोण 60° है, जीवा $r\sqrt{2}$ हो तो 90°, और जीवा $r\sqrt{3}$ हो तो 120°।

[SSC टिप] 60° और 120° वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है, पर 120° वाला त्रिज्यखंड 60° वाले का दोगुना होता है। गलत विकल्प प्रायः $\frac{1}{3}$ की जगह $\frac{1}{6}$ लेकर बनाया जाता है, या इसका उलटा। इसलिए त्रिभुज का हिसाब शुरू करने से पहले पक्का कर लीजिए कि वृत्त का कौन-सा भाग लेना है।

घड़ी की सुइयाँ, लोलक और वाइपर

जो चीज़ किसी स्थिर बिंदु के चारों ओर घूमती है, वह घूमते हुए एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल तय करती है। ऐसे प्रश्नों में पहले समय से या झूलने से कोण निकालिए, फिर त्रिज्यखंड वाले सूत्र लगाइए।

घड़ी की सुइयाँ: सबसे पहले यह याद रखिए कि कौन-सी सुई कितना घूमती है।

• मिनट की सुई 60 मिनट में 360° घूमती है, यानी 6° प्रति मिनट।
• घंटे की सुई 12 घंटे में 360° घूमती है, यानी 30° प्रति घंटा, या 0.5° प्रति मिनट।
• सेकंड की सुई 6° प्रति सेकंड घूमती है।

यहाँ सुई ही त्रिज्या है। सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल एक त्रिज्यखंड है, और उसकी नोक द्वारा तय की गई दूरी एक चाप।

अब इसे दो उदाहरणों में देखते हैं।

• 28 सेमी लंबी मिनट की सुई 15 मिनट में $15 \times 6^\circ = 90^\circ$ घूमती है, जो वृत्त का $\frac{1}{4}$ है। तो सुई द्वारा तय क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 2464 = 616$ वर्ग सेमी है, और नोक $\frac{1}{4} \times 176 = 44$ सेमी चलती है।
• 10.5 सेमी लंबी घंटे की सुई 8 बजे से 12 बजे तक, यानी 4 घंटे में, $4 \times 30^\circ = 120^\circ$ घूमती है। तय क्षेत्रफल $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5^2 = 115.5$ वर्ग सेमी है, और नोक $\frac{1}{3} \times 66 = 22$ सेमी चलती है।

लोलक: लोलक का गोलक एक चाप पर चलता है, और इस चाप की त्रिज्या लोलक की लंबाई होती है। जैसे 42 सेमी लंबा लोलक 30° के कोण से झूलता है, तो एक बार झूलने में गोलक $\frac{1}{12} \times 264 = 22$ सेमी चलता है।

वाइपर और स्प्रिंकलर: रबर की पत्ती पूरी भुजा पर लगी हो, तो पूरा त्रिज्यखंड साफ़ होता है। पर अक्सर पत्ती भुजा के केवल बाहरी हिस्से पर लगी होती है। तब साफ़ होने वाला भाग दो चापों के बीच होता है, यानी वलय का एक हिस्सा।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360} \times \pi\left(R^2 - r^2\right)$$

यहाँ $R$ धुरी से पत्ती के दूर वाले सिरे की दूरी है और $r$ पास वाले सिरे की। आकृति में पत्ती 7 सेमी से 21 सेमी तक लगी है और भुजा 90° घूमती है। तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (441 - 49) = \frac{1}{4} \times 1232 = 308$ वर्ग सेमी है। दो वाइपर हों और उनके साफ़ किए भाग एक-दूसरे पर न चढ़ें, तो इसका दोगुना भाग साफ़ होता है।

[SSC टिप] सबसे आम गलती घंटे की सुई में होती है। 35 मिनट में वह केवल $35 \times 0.5^\circ = 17.5^\circ$ घूमती है, 30° नहीं। और प्रश्न में "नोक द्वारा तय दूरी" पूछी हो, तो चाप निकालना है, क्षेत्रफल नहीं।

छायांकित भाग: वर्ग और चतुर्थांश

छायांकित भाग (shaded region) वाले हर प्रश्न का तरीका एक ही है। छायांकित क्षेत्रफल = पूरी आकृति का क्षेत्रफल − बिना छाया वाले टुकड़ों का क्षेत्रफल। कभी टुकड़ों को जोड़ना आसान होता है, तब उनका योग ले लीजिए।

हर टुकड़े का हिसाब अलग से कीजिए। कच्ची आकृति बनाकर उस पर त्रिज्याएँ लिख लीजिए, और उसके बाद ही घटाइए। SSC की ज़्यादातर छायांकित आकृतियाँ वर्ग, चतुर्थांश और अर्धवृत्त से ही बनी होती हैं।

वर्ग के कोनों पर चतुर्थांश: भुजा $a$ वाले वर्ग के हर कोने पर त्रिज्या $\frac{a}{2}$ वाला एक चतुर्थांश है। हर चतुर्थांश अपने पड़ोसी चतुर्थांशों को भुजाओं के मध्य-बिंदुओं पर स्पर्श करता है।

चारों कोनों के कोणों का योग 360° है, इसलिए चारों चतुर्थांश मिलकर एक पूरा वृत्त हैं, जिसकी त्रिज्या $\frac{a}{2}$ है। बीच में जो छायांकित तारा बचता है, उसका क्षेत्रफल यह है।

$$a^2 - \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो यह $\frac{3}{14}a^2$ होता है। जैसे $a = 14$ सेमी हो, तो तारा $196 - 154 = 42$ वर्ग सेमी है। तारे की सीमा पर चारों चौथाई चाप हैं, जो मिलकर एक पूरी परिधि हैं, यानी $2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ सेमी।

छोटे चतुर्थांश: कोनों वाले चतुर्थांशों की त्रिज्या $r$ हो, जो $\frac{a}{2}$ से कम है, तब भी चारों मिलकर एक पूरा वृत्त ही होते हैं। तब छायांकित भाग $a^2 - \pi r^2$ है। जैसे 20 सेमी भुजा वाले वर्ग के कोनों पर 7 सेमी त्रिज्या वाले चतुर्थांश हों, तो $400 - 154 = 246$ वर्ग सेमी बचता है।

एक कोने से एक चतुर्थांश: इसका केंद्र वर्ग के एक कोने पर है और त्रिज्या वर्ग की भुजा $a$ के बराबर। यह चतुर्थांश वर्ग का $\frac{\pi a^2}{4}$ भाग ढक लेता है। बचा हुआ टुकड़ा सामने वाले कोने पर है, और उसका एक किनारा मुड़ा हुआ है। उसका क्षेत्रफल $a^2 - \frac{\pi a^2}{4}$ है। जैसे $a = 21$ सेमी हो, तो $441 - 346.5 = 94.5$ वर्ग सेमी।

[SSC टिप] टुकड़े गिनने के बजाय केंद्रों पर बने कोण जोड़िए। वर्ग या आयत के 4 कोनों पर बराबर चतुर्थांश हों, तो वे मिलकर एक पूरा वृत्त (360°) होते हैं। किसी भी त्रिभुज के 3 कोनों पर बराबर त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड हों, तो वे मिलकर एक अर्धवृत्त (180°) होते हैं। आगे इसी खंड में चराई वाले प्रश्न भी इसी विचार से हल होंगे।

पत्ती और फूल

दो चतुर्थांशों से पत्ती: भुजा $a$ वाला एक वर्ग $ABCD$ लीजिए। एक चतुर्थांश $B$ को केंद्र मानकर खींचिए और दूसरा $D$ को केंद्र मानकर, दोनों की त्रिज्या $a$। दोनों चतुर्थांश $A$ और $C$ से होकर जाते हैं। जहाँ दोनों एक-दूसरे पर चढ़ते हैं, वहाँ विकर्ण $AC$ के साथ-साथ पत्ती के आकार का एक भाग होता है।

हर चतुर्थांश $\frac{\pi a^2}{4}$ है। दोनों मिलकर पूरे वर्ग को एक बार ढकते हैं और पत्ती को दो बार। इसलिए दोनों चतुर्थांशों के योग में से वर्ग घटा दें, तो पत्ती बचती है।

$$\text{पत्ती} = 2 \times \frac{\pi a^2}{4} - a^2 = a^2\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो पत्ती $\frac{4}{7}a^2$ है। इसे दूसरी तरह भी देख सकते हैं। विकर्ण $AC$ पत्ती को दो टुकड़ों में बाँटता है, और दोनों टुकड़े त्रिज्या $a$ वाले 90° के वृत्तखंड हैं। हर एक $\frac{2}{7}a^2$ है।

जैसे $a = 14$ सेमी हो, तो पत्ती $\frac{4}{7} \times 196 = 112$ वर्ग सेमी है। कोनों पर बचे बिना छाया वाले दोनों टुकड़े मिलकर $196 - 112 = 84$ वर्ग सेमी हैं। पत्ती की सीमा पर दो चौथाई चाप हैं, तो उसका परिमाप $2 \times 22 = 44$ सेमी है।

चार अर्धवृत्तों से फूल: भुजा $a$ वाले वर्ग की हर भुजा पर अंदर की ओर एक अर्धवृत्त खींचिए। हर अर्धवृत्त की त्रिज्या $\frac{a}{2}$ है। पड़ोसी अर्धवृत्त एक-दूसरे पर चढ़कर चार पंखुड़ियाँ बनाते हैं, जो केंद्र पर मिलती हैं।

हर पंखुड़ी में त्रिज्या $\frac{a}{2}$ वाले दो 90° वृत्तखंड हैं। तो पूरे फूल में ऐसे आठ वृत्तखंड हुए।

$$\text{फूल} = 8 \times \frac{2}{7}\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{4}{7}a^2$$

यानी फूल का क्षेत्रफल पत्ती जितना ही है। $a = 14$ सेमी हो, तो फूल भी 112 वर्ग सेमी है, और वर्ग का पंखुड़ियों से बाहर वाला भाग भी 84 वर्ग सेमी।

चार पत्तियों वाला फूल: बड़े वर्ग को चार छोटे वर्गों में बाँट लीजिए। हर छोटे वर्ग में एक पत्ती है। जैसे बड़े वर्ग की भुजा 42 सेमी है, तो छोटे वर्ग की भुजा 21 सेमी है। हर पत्ती $\frac{4}{7} \times 441 = 252$ वर्ग सेमी है, तो चार पत्तियों वाला फूल $4 \times 252 = 1008$ वर्ग सेमी है।

$\pi = \frac{22}{7}$ पर 90° का वृत्तखंड $\frac{2}{7}r^2$ होता है। इसे पक्का याद कर लीजिए। पत्ती में ऐसे 2 वृत्तखंड हैं, पंखुड़ी में भी 2, और चार पंखुड़ियों वाले फूल में 8। फिर ऐसा हर प्रश्न एक पंक्ति में हो जाता है।

स्पर्श करते वृत्त और बीच का भाग

चार बराबर वृत्त: त्रिज्या $r$ वाले चार वृत्त वर्ग की तरह रखे हैं, और हर वृत्त अपने दो पड़ोसियों को स्पर्श करता है। केंद्रों को मिलाइए, तो भुजा $2r$ वाला वर्ग मिलता है। इस वर्ग के अंदर हर वृत्त का चौथाई भाग (90°) आता है।

$$\text{बीच का भाग} = (2r)^2 - 4 \times \frac{\pi r^2}{4} = (4 - \pi)r^2$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो यह $\frac{6}{7}r^2$ है। जैसे $r = 7$ सेमी हो, तो बीच का भाग $196 - 154 = 42$ वर्ग सेमी है।

यह चित्र कोनों पर चतुर्थांश वाले वर्ग जैसा ही है, बस यहाँ पूरे वृत्त बने हुए हैं। बीच के भाग की सीमा पर चार चौथाई चाप हैं, तो उसका परिमाप $2\pi r = 44$ सेमी है।

अब चारों वृत्तों के बाहर एक ऐसा वर्ग सोचिए जो सबको स्पर्श करे। उसकी भुजा $4r$ होगी, और वृत्तों से न ढका भाग $16r^2 - 4\pi r^2$। जैसे $r = 5$ सेमी और $\pi = 3.14$ हो, तो $400 - 314 = 86$ वर्ग सेमी बचता है।

तीन बराबर वृत्त: त्रिज्या $r$ वाले तीन वृत्त हैं, और हर वृत्त बाकी दोनों को स्पर्श करता है। इनके केंद्रों को मिलाने पर भुजा $2r$ वाला समबाहु त्रिभुज मिलता है। हर वृत्त का 60° वाला त्रिज्यखंड इस त्रिभुज के अंदर आता है। तीन 60° त्रिज्यखंड मिलकर 180° हुए, यानी आधा वृत्त।

$$\text{बीच का भाग} = \frac{\sqrt{3}}{4}(2r)^2 - \frac{\pi r^2}{2} = \sqrt{3}r^2 - \frac{\pi r^2}{2}$$

जैसे $r = 21$ सेमी हो, तो बीच का भाग $(441\sqrt{3} - 693)$ वर्ग सेमी है, लगभग 763.83 − 693 = 70.83 वर्ग सेमी। इसकी सीमा पर तीन 60° चाप हैं, जो मिलकर आधी परिधि हैं। तो परिमाप $\pi r = 66$ सेमी है।

वर्ग-वृत्त जोड़ियाँ और अर्धवृत्तों वाला आयत

वर्ग के अंदर वृत्त: भुजा $a$ वाले वर्ग में जो सबसे बड़ा वृत्त आ सकता है, उसकी त्रिज्या $\frac{a}{2}$ होती है। कोनों पर बचे चारों टुकड़ों का कुल क्षेत्रफल यह है।

$$a^2 - \frac{\pi a^2}{4}$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो यह $\frac{3}{14}a^2$ है, और हर कोना इसका चौथाई। जैसे $a = 20$ सेमी और $\pi = 3.14$ हो, तो $400 - 314 = 86$ वर्ग सेमी बचता है, यानी हर कोना 21.5 वर्ग सेमी।

अब इसकी तुलना पिछले भाग से कीजिए। वहाँ इसी 20 सेमी वाले वर्ग में 5 सेमी त्रिज्या के चार वृत्त थे। वे भी 86 वर्ग सेमी ही छोड़ते हैं। असल में वर्ग में $n \times n$ बराबर वृत्त भर दें, तो हमेशा उतना ही भाग बचता है जितना एक बड़े वृत्त से। कारण यह है कि वृत्तों का कुल क्षेत्रफल वही रहता है।

वृत्त के अंदर वर्ग: वर्ग के चारों शीर्ष त्रिज्या $r$ वाले वृत्त पर हैं। तो वर्ग का विकर्ण वृत्त का व्यास $2r$ है, और वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{(2r)^2}{2} = 2r^2$। वर्ग के बाहर बचे चारों टुकड़ों का कुल क्षेत्रफल यह है।

$$\pi r^2 - 2r^2$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो यह $\frac{8}{7}r^2$ है। जैसे $r = 7$ सेमी हो, तो $154 - 98 = 56$ वर्ग सेमी बचता है। ये चार 90° वृत्तखंड हैं, हर एक 14 वर्ग सेमी का। इसी तरह वृत्त के अंदर समबाहु त्रिभुज हो, तो $\pi r^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$ बचता है, जो तीन 120° वृत्तखंड हैं।

अर्धवृत्तों वाला आयत: दौड़ने का पथ या गोल सिरों वाला मैदान ऐसा ही होता है। एक $l \times b$ आयत है, और उसकी दोनों छोटी भुजाओं पर एक-एक अर्धवृत्त। दोनों अर्धवृत्त मिलकर व्यास $b$ वाला एक पूरा वृत्त हैं।

$$\text{क्षेत्रफल} = lb + \pi\left(\frac{b}{2}\right)^2, \qquad \text{परिमाप} = 2l + \pi b$$

जैसे $l = 50$ मीटर और $b = 14$ मीटर हो, तो क्षेत्रफल $= 700 + 154 = 854$ वर्ग मीटर और परिमाप $= 100 + 44 = 144$ मीटर है। चित्र में लंबाई $b$ वाली जो भुजाएँ टूटी रेखा से दिखाई गई हैं, वे आकृति के अंदर हैं, इसलिए परिमाप में नहीं गिनी जातीं। अगर दोनों अर्धवृत्त आयत में से काट दिए जाएँ, तो क्षेत्रफल $700 - 154 = 546$ वर्ग मीटर रह जाता है, पर परिमाप फिर भी $2l + \pi b$ ही रहता है।

[SSC टिप] परिमाप वाले प्रश्नों में आकृति की सीमा पर उँगली चलाकर देखिए। अंदर की रेखाएँ, जैसे पथ की छोटी भुजाएँ, नहीं गिनी जातीं। और बराबर व्यास वाले दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूरी परिधि होते हैं।

अर्धचंद्राकार भाग

एक वृत्त के अंदर दूसरा वृत्त: त्रिज्या $R$ वाले बड़े वृत्त के अंदर त्रिज्या $r$ वाला छोटा वृत्त है, और दोनों एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं। दोनों के बीच जो चाँद जैसा भाग बचता है, उसे अर्धचंद्राकार भाग (crescent) कहते हैं।

$$\text{अर्धचंद्राकार भाग} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right)$$

इसका क्षेत्रफल इन्हीं त्रिज्याओं वाले वलय जितना है, बस आकार अलग है। जैसे $R = 21$ सेमी और $r = 14$ सेमी हो, तो क्षेत्रफल $1386 - 616 = 770$ वर्ग सेमी है। परिमाप में दोनों परिधियाँ आती हैं, यानी $132 + 88 = 220$ सेमी।

एक रेखा पर तीन अर्धवृत्त: रेखाखंड $AB$ पर एक बिंदु $C$ है। $AB$, $AC$ और $CB$ पर अर्धवृत्त खींचे गए हैं, तीनों एक ही ओर। छायांकित भाग बड़े अर्धवृत्त के अंदर है, पर दोनों छोटे अर्धवृत्तों के बाहर। इसका क्षेत्रफल यह है।

$$\frac{\pi}{8}\left(AB^2 - AC^2 - CB^2\right) = \frac{\pi}{4} \times AC \times CB$$

जैसे $AC = 14$ सेमी और $CB = 7$ सेमी हो, तो $AB = 21$ सेमी है। छायांकित भाग $\frac{22}{7} \times \frac{441 - 196 - 49}{8} = 77$ वर्ग सेमी है। छोटे सूत्र से भी यही आता है, $\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 7 = 77$ वर्ग सेमी।

इसकी सीमा पर तीनों अर्धवृत्ताकार चाप हैं। $\frac{\pi}{2}(AC + CB) = \frac{\pi}{2} \times AB$ है, यानी दोनों छोटे चाप मिलकर बड़े चाप के बराबर हैं। तो परिमाप $\pi \times AB = 66$ सेमी है।

[Tier 2] समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर अर्धवृत्त: $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें समकोण $C$ पर है। समकोण बनाने वाली भुजाओं $AC$ और $BC$ पर बाहर की ओर अर्धवृत्त खींचे गए हैं। कर्ण $AB$ पर वह अर्धवृत्त है जो $C$ से होकर जाता है, क्योंकि तीनों शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त का व्यास $AB$ ही होता है। बड़े अर्धवृत्त के बाहर जो दो चाँद जैसे टुकड़े बचते हैं, वे भी अर्धचंद्राकार भाग (lune) कहलाते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय से दोनों छोटे अर्धवृत्त मिलकर बड़े अर्धवृत्त के बराबर होते हैं। इसलिए वक्र भाग आपस में कट जाते हैं, और यह बचता है।

$$\text{अर्धचंद्राकार भाग 1} + \text{अर्धचंद्राकार भाग 2} = \text{क्षेत्रफल } \triangle ABC$$

जैसे समकोण बनाने वाली भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हों, तो दोनों अर्धचंद्राकार भाग मिलकर $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ वर्ग सेमी हैं।

चतुर्थांश पर भी यही होता है। त्रिज्या $r$ वाले चतुर्थांश की जीवा पर बाहर की ओर अर्धवृत्त खींचिए। जो अर्धचंद्राकार भाग बनता है, वह चतुर्थांश के समकोण त्रिभुज के बराबर होता है, यानी $\frac{1}{2}r^2$।

अर्धचंद्राकार भाग वाले प्रश्नों में वक्र भाग कट जाते हैं, इसलिए उत्तर में $\pi$ नहीं आता। उत्तर में अब भी $\pi$ दिख रहा हो, तो दोबारा देखिए कि कौन-से टुकड़े जोड़े और कौन-से घटाए।

चराई: रस्सी से बँधे पशु

कोई पशु लंबाई $r$ की रस्सी से खूँटे पर बँधा है। वह खूँटे से $r$ दूरी तक के हर बिंदु तक पहुँच सकता है। इसलिए उसकी चराई का भाग एक वृत्त होता है, या उस वृत्त का वह हिस्सा जो मैदान के अंदर आता है। हर टुकड़ा एक त्रिज्यखंड होता है।

• खुले में खूँटा: पशु पूरा वृत्त चरता है, $\pi r^2$।
• आयताकार या वर्गाकार मैदान के कोने पर: कोना 90° का है, तो गाय एक चतुर्थांश चरती है, $\frac{\pi r^2}{4}$। शर्त यह है कि रस्सी किसी भी भुजा से लंबी न हो।
• त्रिभुजाकार मैदान के कोने पर: उस कोने का कोण $A$ हो, तो पशु $\frac{A}{360} \times \pi r^2$ वाला त्रिज्यखंड चरता है। शर्त यह है कि रस्सी उस कोने से सामने वाली भुजा तक की दूरी से लंबी न हो।
• हर कोने पर एक पशु: सबकी रस्सी बराबर हो, तो कोनों के कोण जोड़ने पर आकृति के कोणों का योग ही आता है। त्रिभुज के कोनों पर तीन पशु हों, तो कुल चराई $\frac{180}{360} \times \pi r^2 = \frac{\pi r^2}{2}$ है। चतुर्भुज के कोनों पर चार पशु हों, तो $\pi r^2$। कोण कुछ भी हों, बस कोई दो चराई वाले टुकड़े एक-दूसरे पर न चढ़ें। इसके लिए $2r$ किसी भी भुजा से अधिक नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, 30 मीटर × 20 मीटर के मैदान के एक कोने पर गाय 14 मीटर की रस्सी से बँधी है। वह $\frac{1}{4} \times 616 = 154$ वर्ग मीटर चरती है, और $600 - 154 = 446$ वर्ग मीटर बचता है।

अब एक त्रिभुजाकार मैदान लीजिए, जिसकी भुजाएँ 13 मीटर, 14 मीटर और 15 मीटर हैं। इसके कोनों पर तीन घोड़े बँधे हैं, और हर एक की रस्सी 6 मीटर है।

हीरोन के सूत्र से मैदान 84 वर्ग मीटर का है ($s = 21$, यह सूत्र "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में आया था)। घोड़े $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 36 = \frac{396}{7}$, यानी लगभग 56.57 वर्ग मीटर चरते हैं। तो लगभग 27.43 वर्ग मीटर बचता है। रस्सियों की लंबाई ठीक है या नहीं, यह भी जाँच लीजिए। दो रस्सियाँ मिलकर 12 मीटर हैं, जो हर भुजा से कम है। मैदान की सबसे छोटी ऊँचाई 11.2 मीटर है, जो 15 मीटर वाली भुजा पर है, और यह भी 6 मीटर से अधिक है।

लंबी रस्सी: कोने पर बँधे पशु की रस्सी $r_1$ से बढ़कर $r_2$ हो जाए, तो अतिरिक्त क्षेत्रफल वलय का चौथाई होता है, यानी $\frac{1}{4}\pi\left(r_2^2 - r_1^2\right)$।

[Tier 2] शेड के बाहर बँधी गाय: 7 मीटर भुजा वाले वर्गाकार शेड के कोने $A$ पर, शेड के बाहर, एक गाय 14 मीटर की रस्सी से बँधी है। $A$ के चारों ओर वह 270° में चर सकती है, क्योंकि केवल शेड का अपना कोना छूटता है। रस्सी $B$ या $D$ पर लिपट जाए, तो 7 मीटर बचती है, और हर ओर एक चतुर्थांश और मिल जाता है।

$$\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 14^2 + 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 462 + 77 = 539$$

तो गाय 539 वर्ग मीटर चर सकती है।

हल किए गए उदाहरण

अब इस खंड के तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

28 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 45° है। उसके चाप की लंबाई कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 22 सेमी (b) 44 सेमी (c) 11 सेमी (d) 176 सेमी

उत्तर: 45° पूरे 360° का आठवाँ भाग है। तो चाप भी पूरी परिधि का आठवाँ भाग होगा। परिधि $2 \times \frac{22}{7} \times 28 = 176$ सेमी है, और $176 \div 8$ = (a) 22 सेमी।

प्रश्न 2

35 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केंद्र पर बना कोण 72° है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1540 वर्ग सेमी (b) 385 वर्ग सेमी (c) 770 वर्ग सेमी (d) 3850 वर्ग सेमी

उत्तर: 72° वृत्त का $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ भाग है। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 3850$ वर्ग सेमी है, तो त्रिज्यखंड $3850 \div 5$ = (c) 770 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

42 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में 44 सेमी लंबा एक चाप केंद्र पर कोण $\theta$ बनाता है। $\theta$ का मान क्या है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 60° (b) 30° (c) 120° (d) 45°

उत्तर: पूरी परिधि $2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264$ सेमी है। 44 सेमी का चाप इसका $\frac{44}{264} = \frac{1}{6}$ भाग है, तो कोण भी 360° का $\frac{1}{6}$ होगा, यानी (a) 60°। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 42 सेमी को व्यास मान लेते हैं और 120° लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 4

केंद्रीय कोण 80° वाले एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 308 वर्ग सेमी है। वृत्त की त्रिज्या कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 14 सेमी (b) 21 सेमी (c) 42 सेमी (d) 10.5 सेमी

उत्तर: 80° वृत्त का $\frac{80}{360} = \frac{2}{9}$ भाग है। तो पूरा वृत्त $308 \times \frac{9}{2} = 1386$ वर्ग सेमी का होगा। अब $\frac{22}{7} \times r^2 = 1386$ लिखते हैं। इससे $r^2 = 441$ आता है, तो $r$ = (b) 21 सेमी।

प्रश्न 5

12 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का चाप 33 सेमी लंबा है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कितना है? (a) 396 वर्ग सेमी (b) 99 वर्ग सेमी (c) 264 वर्ग सेमी (d) 198 वर्ग सेमी

उत्तर: यहाँ कोण निकालने की ज़रूरत ही नहीं है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल चाप × त्रिज्या का आधा होता है, तो $\frac{1}{2} \times 33 \times 12$ = (d) 198 वर्ग सेमी। आँकड़े ठीक हैं या नहीं, यह भी देख लेते हैं। चाप पूरी परिधि (लगभग 75.4 सेमी) से छोटा है, तो ऐसा त्रिज्यखंड हो सकता है।

प्रश्न 6

10.5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखंड का परिमाप कितना है, जिसका केंद्रीय कोण 120° है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 22 सेमी (b) 32.5 सेमी (c) 43 सेमी (d) 65 सेमी

उत्तर: पहले चाप निकालते हैं। 120° वृत्त का $\frac{1}{3}$ है और परिधि $2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 = 66$ सेमी है, तो चाप 22 सेमी हुआ। परिमाप में दोनों त्रिज्याएँ भी जुड़ती हैं, तो $22 + 10.5 + 10.5$ = (c) 43 सेमी।

प्रश्न 7

7 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का परिमाप 32 सेमी है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कितना है? (a) 112 वर्ग सेमी (b) 63 वर्ग सेमी (c) 126 वर्ग सेमी (d) 49 वर्ग सेमी

उत्तर: परिमाप में चाप और दो त्रिज्याएँ आती हैं। तो चाप $32 - 7 - 7 = 18$ सेमी है। अब क्षेत्रफल = चाप × त्रिज्या का आधा = $\frac{1}{2} \times 18 \times 7$ = (b) 63 वर्ग सेमी।

प्रश्न 8

42 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में लघु त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 60° है। दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 924 वर्ग सेमी (b) 5544 वर्ग सेमी (c) 2772 वर्ग सेमी (d) 4620 वर्ग सेमी

उत्तर: दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण बचा हुआ कोण है, $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$, जो वृत्त का $\frac{5}{6}$ है। पूरा वृत्त $\frac{22}{7} \times 42 \times 42 = 5544$ वर्ग सेमी है, तो दीर्घ त्रिज्यखंड $5544 \times \frac{5}{6}$ = (d) 4620 वर्ग सेमी। दूसरा रास्ता भी है। लघु त्रिज्यखंड $\frac{1}{6} \times 5544 = 924$ वर्ग सेमी निकालकर उसे 5544 में से घटा दें। ध्यान रहे, 924 वर्ग सेमी तो लघु त्रिज्यखंड है, और वह प्रश्न में पूछा ही नहीं गया।

प्रश्न 9

दो वृत्तों में समान लंबाई के चाप उनके केंद्रों पर क्रमशः 60° और 75° के कोण अंतरित करते हैं। दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है? (a) 25 : 16 (b) 16 : 25 (c) 5 : 4 (d) 4 : 5

उत्तर: चाप बराबर हैं, तो $\frac{60}{360} \times 2\pi r_1 = \frac{75}{360} \times 2\pi r_2$, यानी $60r_1 = 75r_2$। इससे $r_1 : r_2 = 75 : 60 = 5 : 4$ आता है। मतलब छोटे कोण वाला वृत्त बड़ा है, तभी उसमें उतना ही लंबा चाप आता है। क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के अनुपात में होते हैं, तो अनुपात (a) 25 : 16 है। 5 : 4 तो केवल त्रिज्याओं का अनुपात है।

प्रश्न 10

42 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1386 वर्ग सेमी (b) 504 वर्ग सेमी (c) 882 वर्ग सेमी (d) 5040 वर्ग सेमी

उत्तर: लघु वृत्तखंड = चतुर्थांश − समकोण त्रिभुज। चतुर्थांश $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = 1386$ वर्ग सेमी है, और त्रिभुज $= \frac{1}{2} \times 42 \times 42 = 882$ वर्ग सेमी। तो वृत्तखंड $1386 - 882$ = (b) 504 वर्ग सेमी। छोटे सूत्र से जाँच भी हो जाती है, $\frac{2}{7} \times 42^2 = 504$।

प्रश्न 11

18 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल कितना है? (a) $\left(54\pi - 162\right)$ वर्ग सेमी (b) $\left(108\pi - 81\sqrt{3}\right)$ वर्ग सेमी (c) $\left(54\pi - 81\sqrt{3}\right)$ वर्ग सेमी (d) $\left(81\pi - 81\sqrt{3}\right)$ वर्ग सेमी

उत्तर: जीवा त्रिज्या जितनी लंबी है, तो जीवा और दोनों त्रिज्याएँ मिलकर समबाहु त्रिभुज हैं। इसलिए केंद्र पर कोण 60° है। त्रिज्यखंड $= \frac{1}{6} \times \pi \times 324 = 54\pi$ और त्रिभुज $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 324 = 81\sqrt{3}$। तो वृत्तखंड = (c) $\left(54\pi - 81\sqrt{3}\right)$ वर्ग सेमी। $(54\pi - 162)$ वाला विकल्प तब आता है, जब त्रिभुज के लिए $\frac{1}{2}r^2$ ले लिया जाए। यह सूत्र केवल 90° पर लागू होता है।

प्रश्न 12

10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए।) (a) 61.42 वर्ग सेमी (b) 104.67 वर्ग सेमी (c) 252.58 वर्ग सेमी (d) 9.08 वर्ग सेमी

उत्तर: 120° वृत्त का एक-तिहाई है, तो त्रिज्यखंड $\frac{1}{3} \times 3.14 \times 100 = 104.67$ वर्ग सेमी हुआ। त्रिभुज की दो भुजाएँ 10 सेमी की हैं और उनके बीच 120° है, तो त्रिभुज $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25 \times 1.73 = 43.25$ वर्ग सेमी है। वृत्तखंड $= 104.67 - 43.25$ = (a) 61.42 वर्ग सेमी।

प्रश्न 13

एक घड़ी की मिनट की सुई 21 सेमी लंबी है। 9:10 बजे से 9:35 बजे के बीच यह सुई कितना क्षेत्रफल तय करती है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 55 वर्ग सेमी (b) 288.75 वर्ग सेमी (c) 1155 वर्ग सेमी (d) 577.5 वर्ग सेमी

उत्तर: 9:10 बजे से 9:35 बजे तक 25 मिनट होते हैं। मिनट की सुई हर मिनट 6° घूमती है, तो कोण $25 \times 6^\circ = 150^\circ$ हुआ। यह वृत्त का $\frac{150}{360} = \frac{5}{12}$ भाग है। पूरा वृत्त 1386 वर्ग सेमी का है, तो तय क्षेत्रफल $1386 \times \frac{5}{12}$ = (d) 577.5 वर्ग सेमी। 55 वाला विकल्प नोक द्वारा तय दूरी है, जो सेमी में होती है। वह चाप है, क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 14

एक लोलक 36° के कोण से झूलता है और उसका गोलक 17.6 सेमी लंबे चाप पर चलता है। लोलक की लंबाई कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 14 सेमी (b) 56 सेमी (c) 28 सेमी (d) 35 सेमी

उत्तर: लोलक की लंबाई ही चाप की त्रिज्या है। 36° पूरे 360° का $\frac{1}{10}$ है, तो पूरी परिधि $17.6 \times 10 = 176$ सेमी हुई। अब $2 \times \frac{22}{7} \times r = 176$ से $r$ = (c) 28 सेमी आता है।

प्रश्न 15

एक कार के वाइपर की भुजा 35 सेमी लंबी है। उसकी रबर की पत्ती भुजा के केवल बाहरी 21 सेमी भाग पर लगी है, और भुजा 120° घूमती है। पत्ती काँच का कितना क्षेत्रफल साफ़ करती है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $\frac{3850}{3}$ वर्ग सेमी (b) 1078 वर्ग सेमी (c) 462 वर्ग सेमी (d) 1617 वर्ग सेमी

उत्तर: पत्ती धुरी से $35 - 21 = 14$ सेमी की दूरी से शुरू होकर 35 सेमी तक जाती है। तो साफ़ होने वाला भाग 14 सेमी और 35 सेमी त्रिज्याओं के बीच वाले वलय का एक हिस्सा है। क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times (35^2 - 14^2) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 1029$ = (b) 1078 वर्ग सेमी। $\frac{3850}{3}$ वर्ग सेमी तो भुजा का पूरा त्रिज्यखंड है, मानो पत्ती धुरी तक लगी हो।

प्रश्न 16

एक वर्गाकार भूखंड की भुजा 35 मीटर है। उसके प्रत्येक कोने पर 14 मीटर त्रिज्या वाली, चतुर्थांश के आकार की एक फूलों की क्यारी है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, और भूखंड के बाकी भाग पर घास लगानी है। ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से घास लगाने की लागत कितनी होगी? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹12,180 (b) ₹12,320 (c) ₹21,420 (d) ₹24,500

उत्तर: चारों कोनों के कोणों का योग 360° है, इसलिए चारों क्यारियाँ मिलकर 14 मीटर त्रिज्या वाला एक पूरा वृत्त हैं। इसका क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 616$ वर्ग मीटर है। भूखंड $35 \times 35 = 1225$ वर्ग मीटर का है, तो घास वाला भाग $1225 - 616 = 609$ वर्ग मीटर बचा। लागत $= 609 \times 20$ = (a) ₹12,180।

प्रश्न 17

$ABCD$ 28 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है। $B$ और $D$ को केंद्र मानकर 28 सेमी त्रिज्या वाले चतुर्थांश खींचे गए हैं। पत्ती के आकार वाले छायांकित भाग का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 616 वर्ग सेमी (b) 336 वर्ग सेमी (c) 224 वर्ग सेमी (d) 448 वर्ग सेमी

उत्तर: हर चतुर्थांश $\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 784 = 616$ वर्ग सेमी का है। दोनों चतुर्थांश मिलकर वर्ग को एक बार और पत्ती को दो बार ढकते हैं। तो पत्ती $= 2 \times 616 - 784$ = (d) 448 वर्ग सेमी। $\frac{4}{7} \times 28^2 = 448$ से भी यही मिलता है।

प्रश्न 18

10 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के अंदर चार अर्धवृत्त खींचे गए हैं, प्रत्येक भुजा पर एक, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। फूल के आकार वाले छायांकित भाग का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = 3.14$ लीजिए।) (a) 43 वर्ग सेमी (b) 57 वर्ग सेमी (c) 78.5 वर्ग सेमी (d) 28.5 वर्ग सेमी

उत्तर: हर पंखुड़ी में 5 सेमी त्रिज्या वाले दो 90° वृत्तखंड हैं। एक वृत्तखंड $\frac{1}{4} \times 3.14 \times 25 - \frac{1}{2} \times 25 = 19.625 - 12.5 = 7.125$ वर्ग सेमी है। फूल में ऐसे 8 वृत्तखंड हैं, तो $8 \times 7.125$ = (b) 57 वर्ग सेमी।

प्रश्न 19

3.5 सेमी त्रिज्या वाले चार सिक्के एक मेज़ पर इस प्रकार रखे गए हैं कि प्रत्येक सिक्का दो अन्य सिक्कों को स्पर्श करता है और उनके केंद्र एक वर्ग बनाते हैं। उनके बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 10.5 वर्ग सेमी (b) 38.5 वर्ग सेमी (c) 42 वर्ग सेमी (d) 49 वर्ग सेमी

उत्तर: केंद्रों को मिलाते हैं, तो $3.5 + 3.5 = 7$ सेमी भुजा वाला वर्ग मिलता है, जिसका क्षेत्रफल 49 वर्ग सेमी है। इस वर्ग के अंदर हर सिक्के का एक चतुर्थांश है। चार चौथाई मिलकर एक पूरा सिक्का हुए, यानी $\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5$ वर्ग सेमी। बीच का भाग $49 - 38.5$ = (a) 10.5 वर्ग सेमी।

प्रश्न 20

14 सेमी त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता है। उनके बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $\left(49\sqrt{3} - 77\right)$ वर्ग सेमी (b) $\left(392\sqrt{3} - 308\right)$ वर्ग सेमी (c) $\left(196\sqrt{3} - 308\right)$ वर्ग सेमी (d) $\left(196\sqrt{3} - 154\right)$ वर्ग सेमी

उत्तर: केंद्रों को मिलाने पर 28 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज मिलता है। इसका क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 28^2 = 196\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। हर वृत्त का 60° वाला त्रिज्यखंड त्रिभुज के अंदर है, और तीनों त्रिज्यखंड मिलकर एक अर्धवृत्त हैं, यानी $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 196 = 308$ वर्ग सेमी। तो बीच का भाग (c) $\left(196\sqrt{3} - 308\right)$ वर्ग सेमी है, जो लगभग 31.5 वर्ग सेमी होता है।

प्रश्न 21

एक वर्ग $ABCD$ इस प्रकार खींचा गया है कि उसके चारों शीर्ष 14 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर स्थित हैं। वृत्त के उस भाग का क्षेत्रफल कितना है, जो वर्ग के बाहर है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 392 वर्ग सेमी (b) 420 वर्ग सेमी (c) 56 वर्ग सेमी (d) 224 वर्ग सेमी

उत्तर: वर्ग का विकर्ण वृत्त का व्यास है, यानी 28 सेमी। तो वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{28^2}{2} = 392$ वर्ग सेमी है। वृत्त $\frac{22}{7} \times 196 = 616$ वर्ग सेमी का है। वर्ग के बाहर वाला भाग $616 - 392$ = (d) 224 वर्ग सेमी।

प्रश्न 22

एक खेल का मैदान 70 मीटर लंबा और 42 मीटर चौड़ा आयत है, जिसकी 42 मीटर वाली दोनों भुजाओं पर बाहर की ओर एक-एक अर्धवृत्त बना है। ₹12 प्रति मीटर की दर से खेल के मैदान के चारों ओर बाड़ लगाने की लागत कितनी होगी? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹4,272 (b) ₹3,264 (c) ₹4,848 (d) ₹1,680

उत्तर: सीमा पर चलकर देखते हैं। 70 मीटर की दो सीधी भुजाएँ हैं, और 42 मीटर व्यास वाले दो अर्धवृत्त, जो मिलकर एक पूरा वृत्त हैं। परिमाप $= 2 \times 70 + \frac{22}{7} \times 42 = 140 + 132 = 272$ मीटर। लागत $= 272 \times 12$ = (b) ₹3,264।

प्रश्न 23

रेखाखंड $AB$ पर एक बिंदु $C$ इस प्रकार है कि $AC = 21$ सेमी और $CB = 7$ सेमी। $AB$, $AC$ और $CB$ पर एक ही ओर अर्धवृत्त खींचे गए हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 115.5 वर्ग सेमी (b) 231 वर्ग सेमी (c) 308 वर्ग सेमी (d) 57.75 वर्ग सेमी

उत्तर: छायांकित भाग = बड़ा अर्धवृत्त (व्यास 28 सेमी) − दोनों छोटे अर्धवृत्त (व्यास 21 सेमी और 7 सेमी)। व्यास $d$ पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{\pi d^2}{8}$ होता है। तो छायांकित भाग $= \frac{22}{7} \times \frac{784 - 441 - 49}{8} = \frac{22}{7} \times \frac{294}{8}$ = (a) 115.5 वर्ग सेमी। छोटे सूत्र $\frac{\pi}{4} \times 21 \times 7$ से भी यही उत्तर आता है।

प्रश्न 24

[Tier 2] $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें समकोण $C$ पर है, $AC = 9$ सेमी और $BC = 12$ सेमी। $AC$ और $BC$ पर बाहर की ओर अर्धवृत्त खींचे गए हैं, और $AB$ पर बना अर्धवृत्त $C$ से होकर जाता है। दोनों छायांकित अर्धचंद्राकार भागों का कुल क्षेत्रफल कितना है? (a) 108 वर्ग सेमी (b) $\frac{225\pi}{8}$ वर्ग सेमी (c) 54 वर्ग सेमी (d) $\left(\frac{225\pi}{8} - 54\right)$ वर्ग सेमी

उत्तर: $9^2 + 12^2 = 15^2$ है, इसलिए दोनों छोटे अर्धवृत्त मिलकर बड़े अर्धवृत्त के बराबर हैं। अब दोनों छोटे अर्धवृत्त और त्रिभुज जोड़ते हैं, फिर बड़ा अर्धवृत्त घटा देते हैं। सारे वक्र भाग कट जाते हैं और केवल त्रिभुज बचता है, यानी $\frac{1}{2} \times 9 \times 12$ = (c) 54 वर्ग सेमी।

प्रश्न 25

एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 26 मीटर, 28 मीटर और 30 मीटर हैं। उसके प्रत्येक कोने पर एक घोड़ा 7 मीटर लंबी रस्सी से बँधा है। मैदान का कितना क्षेत्रफल बिना चरे रह जाता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 77 वर्ग मीटर (b) 182 वर्ग मीटर (c) 297.5 वर्ग मीटर (d) 259 वर्ग मीटर

उत्तर: पहले हीरोन के सूत्र से मैदान का क्षेत्रफल निकालते हैं। $s = \frac{26 + 28 + 30}{2} = 42$, और क्षेत्रफल $= \sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} = \sqrt{112896} = 336$ वर्ग मीटर। तीनों कोनों के कोणों का योग 180° है, तो तीनों घोड़े मिलकर 7 मीटर त्रिज्या वाला आधा वृत्त चरते हैं, यानी $\frac{1}{2} \times 154 = 77$ वर्ग मीटर। बिना चरा भाग $336 - 77$ = (d) 259 वर्ग मीटर। आख़िर में रस्सियों की लंबाई भी जाँच लेते हैं। दो रस्सियाँ मिलकर 14 मीटर हैं, जो हर भुजा से कम है।

प्रश्न 26

एक गाय 40 मीटर × 30 मीटर के एक आयताकार मैदान के एक कोने पर 14 मीटर लंबी रस्सी से बँधी है। यदि रस्सी 21 मीटर लंबी कर दी जाए, तो गाय कितना अधिक क्षेत्रफल चर सकेगी? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 192.5 वर्ग मीटर (b) 346.5 वर्ग मीटर (c) 154 वर्ग मीटर (d) 770 वर्ग मीटर

उत्तर: कोने पर बँधी गाय एक चतुर्थांश में चरती है। दोनों रस्सियाँ मैदान की भुजाओं से छोटी हैं, तो अतिरिक्त क्षेत्रफल 14 मीटर और 21 मीटर त्रिज्याओं के बीच वाले वलय का चौथाई है। यह $\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (21^2 - 14^2) = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 245$ = (a) 192.5 वर्ग मीटर है। 346.5 वर्ग मीटर तो पूरा नया चतुर्थांश है, केवल अतिरिक्त भाग नहीं।