चतुर्भुज: आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब

आयत: क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण

आयत के चारों कोण समकोण होते हैं। इसलिए लंबाई l को आधार मानें तो चौड़ाई b ही ऊँचाई है, और चौड़ाई को आधार मानें तो लंबाई ऊँचाई है। आयत के तीनों सूत्र ये हैं।

$$\text{क्षेत्रफल} = l \times b \qquad \text{परिमाप} = 2(l + b) \qquad \text{विकर्ण } d = \sqrt{l^2 + b^2}$$

विकर्ण को त्रिभुज ABC में पाइथागोरस लगाकर निकालते हैं। आयत के दोनों विकर्ण बराबर होते हैं।

जैसे 24 सेमी × 10 सेमी का आयत लीजिए। इसका क्षेत्रफल 240 वर्ग सेमी है और परिमाप 68 सेमी। विकर्ण $\sqrt{576 + 100} = 26$ सेमी आता है।

परिमाप और क्षेत्रफल से भुजाएँ निकालने का तरीका देखिए। मान लीजिए परिमाप 42 सेमी है और क्षेत्रफल 108 वर्ग सेमी। तो l + b = 21 हुआ और lb = 108। अब ऐसी दो संख्याएँ सोचिए जिनका योग 21 हो और गुणनफल 108। ये 12 और 9 हैं। तो आयत 12 सेमी × 9 सेमी का है, और उसका विकर्ण 15 सेमी है। परीक्षा में द्विघात समीकरण हल करने के बजाय विकल्प रखकर जाँच लीजिए। इसमें प्रायः कम समय लगता है।

एक बात ध्यान रखिए। यहाँ l + b परिमाप का आधा है, पूरा परिमाप नहीं। ऊपर वाले उदाहरण में कोई पूरा 42 ले ले, तो भुजाओं का कोई ठीक जोड़ा मिलता ही नहीं।

विकर्ण और क्षेत्रफल से भुजाएँ निकालनी हों, तो ये दो सर्वसमिकाएँ याद रखिए। सारा काम इन्हीं से हो जाता है।

$$(l + b)^2 = d^2 + 2 \times \text{क्षेत्रफल} \qquad (l - b)^2 = d^2 - 2 \times \text{क्षेत्रफल}$$

मान लीजिए विकर्ण 13 सेमी है और क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी। तो $(l + b)^2 = 169 + 120 = 289$, यानी l + b = 17। इसी तरह $(l - b)^2 = 169 - 120 = 49$, तो l − b = 7। इन दोनों से l = 12 सेमी और b = 5 सेमी आता है, और परिमाप 34 सेमी। ऐसे प्रश्नों में लोग अक्सर 2 × क्षेत्रफल वाला 2 भूल जाते हैं।

पहली सर्वसमिका उलटी तरफ़ से भी काम आती है। मान लीजिए परिमाप 34 सेमी और विकर्ण 13 सेमी दिया है। तब भुजाएँ निकाले बिना ही क्षेत्रफल मिल जाता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{(l + b)^2 - d^2}{2} = \frac{289 - 169}{2} = 60 \text{ सेमी}^2$$

भुजाएँ अनुपात में दी हों, तो उन्हें k के साथ लिखिए। मान लीजिए लंबाई : चौड़ाई = 4 : 3 है और परिमाप 84 सेमी। तो 2(4k + 3k) = 14k = 84, यानी k = 6। भुजाएँ 24 सेमी और 18 सेमी हुईं, और क्षेत्रफल 432 वर्ग सेमी। विकर्ण 5k = 30 सेमी है। यहाँ फिर से 3, 4, 5 वाला त्रिभुज आ गया।

वर्ग: भुजा, विकर्ण और नियत परिमाप पर सबसे बड़ा क्षेत्रफल

भुजा a वाले वर्ग के सूत्र ये हैं।

$$\text{क्षेत्रफल} = a^2 \qquad \text{परिमाप} = 4a \qquad \text{विकर्ण} = a\sqrt{2}$$

$d^2 = 2a^2$ होता है, इसलिए क्षेत्रफल सीधे विकर्ण से भी निकल आता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{d^2}{2}$$

जैसे किसी वर्ग का विकर्ण 24 सेमी है। तो क्षेत्रफल $\frac{576}{2} = 288$ वर्ग सेमी हुआ। भुजा $\frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$ सेमी है और परिमाप $48\sqrt{2}$ सेमी। सामान्य रूप में परिमाप = $2\sqrt{2}\,d$ होता है।

उलटा भी इसी तरह चलता है। किसी वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 3025 वर्ग मीटर है, तो उसकी भुजा $\sqrt{3025} = 55$ मीटर है। परिमाप 220 मीटर हुआ और विकर्ण $55\sqrt{2}$ मीटर।

विकर्ण पर बना वर्ग भी याद रखिए। किसी वर्ग के विकर्ण पर वर्ग बनाएँ, तो उसका क्षेत्रफल पहले वर्ग का दोगुना होता है, क्योंकि उसकी भुजा $a\sqrt{2}$ है।

तार को मोड़कर नई आकृति बनाने वाले प्रश्नों में एक बात पकड़ लीजिए। तार को एक आकृति से खोलकर दूसरी आकृति में मोड़ें, तब भी उसकी लंबाई वही रहती है। मतलब परिमाप नहीं बदलता। जैसे एक तार 18 सेमी × 12 सेमी के आयत के रूप में मुड़ा हुआ है। उसकी लंबाई 2(18 + 12) = 60 सेमी है। इसी तार को वर्ग में मोड़ें, तो हर भुजा 15 सेमी होगी और क्षेत्रफल 225 वर्ग सेमी। यह आयत के 216 वर्ग सेमी से अधिक है।

एक ही परिमाप वाले सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है। उस परिमाप वाले किसी भी आयत से वर्ग का क्षेत्रफल ठीक $\left(\frac{l - b}{2}\right)^2$ अधिक होता है। ऊपर वाले तार में $\left(\frac{18 - 12}{2}\right)^2 = 9$ है, और सच में 225 − 216 = 9 ही है। यही बात उलटकर भी कह सकते हैं। एक ही क्षेत्रफल वाले आयतों में वर्ग का परिमाप सबसे छोटा होता है। इससे यह भी निकलता है कि परिमाप P वाले आयत का अधिकतम क्षेत्रफल $\left(\frac{P}{4}\right)^2$ होता है।

ध्यान रखिए, विकर्ण से क्षेत्रफल $\frac{d^2}{2}$ होता है, $d^2$ नहीं। वर्ग का कोई भी सूत्र झटपट जाँचना हो, तो a = 1 रख दीजिए। तब विकर्ण $\sqrt{2}$, परिमाप 4 और क्षेत्रफल 1 आना चाहिए।

आयत या वर्ग के क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई होता है। इसलिए भुजाएँ बदलने पर क्षेत्रफल दोनों भुजाओं के गुणकों से गुणा हो जाता है। मान लीजिए लंबाई में x% और चौड़ाई में y% परिवर्तन हुआ। तब क्षेत्रफल में परिवर्तन इतना होता है।

$$x + y + \frac{xy}{100} \text{ प्रतिशत}$$

कमी हो, तो उस प्रतिशत को ऋणात्मक लीजिए। यह वही क्रमिक परिवर्तन वाला नियम है, जो अध्याय 3 (प्रतिशत) में आ चुका है।

यह सूत्र सही क्यों है, चित्र देखकर समझ आ जाता है। मान लीजिए लंबाई 20% बढ़ी और चौड़ाई 30% बढ़ी। नए आयत में पुराना क्षेत्रफल तो है ही। उसके साथ पुराने क्षेत्रफल के 20% वाली एक पट्टी जुड़ी, 30% वाली एक और पट्टी जुड़ी, और कोने में एक छोटा टुकड़ा भी आ गया। यह टुकड़ा $\frac{20 \times 30}{100} = 6\%$ है। तो कुल वृद्धि 20 + 30 + 6 = 56% हुई। गुणकों से जाँच कर लीजिए, 1.2 × 1.3 = 1.56 आता है।

वर्ग में दोनों भुजाएँ साथ-साथ बदलती हैं, तो x = y लीजिए। भुजा 10% बढ़े, तो क्षेत्रफल 10 + 10 + 1 = 21% बढ़ता है। भुजा 10% घटे, तो −10 − 10 + 1 = −19%, यानी क्षेत्रफल 19% घटता है। वर्ग का विकर्ण या परिमाप 20% बढ़े, तो भुजा भी 20% ही बढ़ती है, और क्षेत्रफल 44% बढ़ जाता है।

एक ही प्रतिशत से बढ़ना और घटना हो, तो क्षेत्रफल हमेशा घटता है। लंबाई x% बढ़े और चौड़ाई x% घटे, तो क्षेत्रफल $\frac{x^2}{100}$ प्रतिशत घटता है। जैसे लंबाई 30% बढ़ी और चौड़ाई 30% घटी, तो क्षेत्रफल में 9% की कमी हुई (1.3 × 0.7 = 0.91)।

क्षेत्रफल वही रखना हो, तो एक भुजा बढ़ने पर दूसरी घटानी पड़ती है। लंबाई x% बढ़े, तो चौड़ाई में इतने प्रतिशत की कमी करनी पड़ती है।

$$\frac{x}{100 + x} \times 100 \text{ प्रतिशत}$$

जैसे लंबाई 25% बढ़ी, तो चौड़ाई $\frac{25}{125} \times 100 = 20\%$ घटनी चाहिए। लंबाई घटी हो, तो नीचे 100 − x रखिए। लंबाई 20% घटी, तो चौड़ाई $\frac{20}{80} \times 100 = 25\%$ बढ़नी चाहिए।

[SSC टिप] दोनों प्रतिशत कभी सीधे नहीं जुड़ते। 20% की वृद्धि और 30% की वृद्धि से 56% आता है, 50% नहीं। इसी तरह 20% की वृद्धि के साथ 20% की कमी हो, तो 4% की कमी होती है। "कोई परिवर्तन नहीं" वाला विकल्प गलत है।

आयताकार मैदान के चारों ओर और अंदर रास्ता

मान लीजिए लंबाई l और चौड़ाई b वाला एक आयताकार मैदान है। उसके किनारों के साथ-साथ चारों ओर एक रास्ता बना है, जिसकी चौड़ाई हर जगह w है। प्रश्न जो भी पूछे, रास्ते का क्षेत्रफल हमेशा एक ही तरह निकलता है, बड़ा आयत − छोटा आयत।

मैदान के बाहर रास्ता हो, तो हर भुजा के दोनों सिरों पर w जुड़ जाता है। तब बाहरी आयत (l + 2w) × (b + 2w) का होता है।

$$\text{रास्ता} = (l + 2w)(b + 2w) - lb = 2w(l + b + 2w)$$

जैसे 46 मीटर × 28 मीटर के बगीचे के बाहर चारों ओर 2 मीटर का रास्ता है। बाहरी आयत 50 मीटर × 32 मीटर का हुआ। तो रास्ता 1600 − 1288 = 312 वर्ग मीटर है। सूत्र से भी 2 × 2 × (46 + 28 + 4) = 4 × 78 = 312 ही आता है।

मैदान के अंदर रास्ता हो, तो मैदान ख़ुद बाहरी आयत है। अंदर बचा भाग (l − 2w) × (b − 2w) का होता है।

$$\text{रास्ता} = lb - (l - 2w)(b - 2w) = 2w(l + b - 2w)$$

अब वही बगीचा लीजिए, पर 2 मीटर का रास्ता अंदर है। बचा लॉन 42 मीटर × 24 मीटर = 1008 वर्ग मीटर का है। तो रास्ता 1288 − 1008 = 280 वर्ग मीटर हुआ। सूत्र से देखें, तो 4 × (74 − 4) = 280।

वर्गाकार मैदान हो, तो l = b = a रख दीजिए। बाहर वाले रास्ते का क्षेत्रफल 4w(a + w) होता है और अंदर वाले का 4w(a − w)। जैसे 25 मीटर भुजा वाले वर्गाकार लॉन के चारों ओर 1.5 मीटर का रास्ता है। रास्ता 4 × 1.5 × 26.5 = 159 वर्ग मीटर हुआ। जाँच भी कर लीजिए, $28^2 - 25^2 = 784 - 625 = 159$।

रास्ते की लागत चाहिए, तो उसके क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर दर से गुणा कर दीजिए। कभी रास्ते का क्षेत्रफल देकर चौड़ाई निकालना होता है। तब w में एक द्विघात समीकरण आता है। परीक्षा में उसे हल करने के बजाय हर विकल्प सूत्र में रखकर देखिए कि किससे दिया हुआ क्षेत्रफल आता है।

[SSC टिप] यहाँ ज़्यादातर गलती कोनों में होती है। भुजाओं के साथ केवल चार पट्टियाँ लें, तो 2w(l + b) आता है। बाहर वाले रास्ते में चार कोनों के वर्ग भी होते हैं, तो $4w^2$ और जुड़ता है। अंदर वाले रास्ते में कोने दो बार गिने जाते हैं, तो $4w^2$ घटता है। 2w(l + b) वाला विकल्प लगभग हर बार फँसाने के लिए दिया होता है।

मैदान को काटती दो सड़कें

मान लीजिए किसी आयताकार मैदान से होकर w चौड़ाई की दो सड़कें जाती हैं। एक लंबाई के समांतर है और दूसरी चौड़ाई के समांतर। लंबाई वाली सड़क l × w की पट्टी है और चौड़ाई वाली b × w की। दोनों जहाँ कटती हैं, वहाँ w × w का एक छोटा वर्ग है, जो दोनों पट्टियों में आता है। इसे केवल एक बार गिनना है।

$$\text{सड़कों का क्षेत्रफल} = lw + bw - w^2 = w(l + b - w)$$

जैसे 70 मीटर × 50 मीटर के लॉन में 4 मीटर चौड़ी दो सड़कें हैं। सड़कों का क्षेत्रफल 4 × 70 + 4 × 50 − 16 = 480 − 16 = 464 वर्ग मीटर है। ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से सड़कों पर बजरी बिछानी हो, तो लागत 464 × 20 = ₹9,280 होगी।

बचा लॉन $(l - w)(b - w)$ होता है। चारों हरे टुकड़ों को खिसकाकर आपस में सटा दें, तो एक ही आयत बन जाता है। यहाँ यह 66 × 46 = 3036 वर्ग मीटर है। 3500 − 464 = 3036 से भी यही आता है।

सड़कें कहाँ हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। सड़कों का बीचोंबीच से जाना ज़रूरी नहीं है। बस हर सड़क किसी भुजा के समांतर हो, एक किनारे से दूसरे किनारे तक जाए, और दोनों आपस में एक बार कटें। तब क्षेत्रफल वही w(l + b − w) रहता है।

अलग-अलग चौड़ाई की सड़कें भी हो सकती हैं। मान लीजिए लंबाई वाली सड़क $w_1$ चौड़ी है और चौड़ाई वाली $w_2$ चौड़ी। तब दोनों का साझा भाग $w_1$ × $w_2$ का आयत है।

$$\text{क्षेत्रफल} = lw_1 + bw_2 - w_1w_2$$

केवल एक सड़क हो, या दो सड़कें हों जो आपस में न कटें (जैसे दोनों लंबाई के समांतर), तो कुछ घटाना नहीं है। बस पट्टियाँ जोड़ दीजिए।

सड़कें और रास्ता साथ में भी आते हैं। कुछ प्रश्नों में मैदान के अंदर काटती सड़कें भी होती हैं और बाहर चारों ओर रास्ता भी। दोनों भाग अलग-अलग, अपने-अपने सूत्र से निकालिए, फिर जोड़ दीजिए। सड़कें मैदान के किनारे पर ख़त्म हो जाती हैं, इसलिए दोनों में कुछ भी साझा नहीं होता।

यहाँ लोग अक्सर $w^2$ घटाना भूल जाते हैं। तब उत्तर w(l + b) आता है, और यह लगभग हमेशा विकल्पों में होता है। ऊपर वाले उदाहरण में यह 480 वर्ग मीटर है। इसमें कटान वाला वर्ग दो बार गिन लिया गया। लागत वाले प्रश्नों में भी यही होता है। तब ₹9,280 की जगह 480 × 20 = ₹9,600 आ जाता है।

बाड़, समतलीकरण, फ़र्श और फ़र्श की रंगाई

आयत और वर्ग पर लागत वाले प्रश्न दो तरह के होते हैं। प्रश्न किस तरह का है, यह दर की इकाई देखकर पता चल जाता है।

एक मैदान, दोनों काम वाला उदाहरण देखिए। मैदान 120 मीटर × 80 मीटर का है।

• परिमाप 2(120 + 80) = 400 मीटर है। ₹35 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत ₹14,000 होगी।
• क्षेत्रफल 9600 वर्ग मीटर है। ₹2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से समतलीकरण की लागत ₹24,000 होगी।

फाटक हो, तो उस पर बाड़ नहीं लगती। इस मैदान में 4 मीटर का फाटक हो, तो बाड़ 396 मीटर लगेगी, और लागत 396 × 35 = ₹13,860 आएगी।

तार के कई फेरे भी पूछे जाते हैं, जैसे "तार के 3 फेरों से बाड़"। तब तार की लंबाई = 3 × परिमाप। इस मैदान के लिए यह 1200 मीटर है।

उलटा हिसाब भी देखिए। किसी वर्गाकार पार्क के चारों ओर ₹15 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत ₹3,600 है। तो परिमाप $\frac{3600}{15} = 240$ मीटर हुआ, भुजा 60 मीटर, और क्षेत्रफल 3600 वर्ग मीटर, यानी 0.36 हेक्टेयर।

फ़र्श की रंगाई क्षेत्रफल वाला काम है। 6 मीटर × 4.5 मीटर का फ़र्श ₹80 प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगना हो, तो लागत 27 × 80 = ₹2,160 होगी। कमरे की चारों दीवारों की रंगाई अलग बात है। दीवारों का क्षेत्रफल $2h(l + b)$ होता है, और यह 3D क्षेत्रमिति का विषय है (अध्याय 14)।

एक प्रश्न, दो काम वाले प्रश्न भी बहुत आते हैं। इनमें एक काम की लागत देकर पहले मैदान निकलवाया जाता है, फिर दूसरे काम की लागत पूछी जाती है। हिसाब कदम-दर-कदम चलता है। बाड़ की लागत से परिमाप, परिमाप से भुजाएँ (अनुपात या किसी दूसरी जानकारी से), भुजाओं से क्षेत्रफल, और क्षेत्रफल से समतलीकरण की लागत। हर कदम पर इकाई देखते रहिए।

गुणा करने से पहले इकाइयाँ एक जैसी कर लीजिए। 1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर, 100 पैसे = ₹1 और 1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेमी। मान लीजिए दर प्रति हेक्टेयर दी है और किसी ने क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ही छोड़ दिया। तब उत्तर 10,000 गुना गलत आएगा।

तय चौड़ाई के कालीन से फ़र्श ढकना

कालीन तय चौड़ाई के रोल में आता है और लंबाई के हिसाब से बिकता है। फ़र्श ढकने के लिए कालीन का क्षेत्रफल फ़र्श के क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए। इसी से ये दो सूत्र निकलते हैं।

$$\text{कालीन की लंबाई} = \frac{\text{फ़र्श का क्षेत्रफल}}{\text{कालीन की चौड़ाई}} \qquad \text{लागत} = \text{लंबाई} \times \text{प्रति मीटर दर}$$

जैसे 10 मीटर × 7.2 मीटर के कमरे में 90 सेमी चौड़ा कालीन बिछाना है, जो ₹65 प्रति मीटर का है। पहले चौड़ाई को मीटर में बदलिए, 90 सेमी = 0.9 मीटर। फ़र्श 72 वर्ग मीटर का है, तो कालीन $\frac{72}{0.9} = 80$ मीटर लंबा चाहिए। लागत 80 × 65 = ₹5,200 हुई।

चित्र में यही बात पट्टियों के रूप में दिखती है। कालीन 10 मीटर वाली भुजा के साथ बिछाएँ, तो $\frac{7.2}{0.9} = 8$ पट्टियाँ लगती हैं, और हर पट्टी 10 मीटर लंबी है। 8 × 10 = 80 मीटर, यानी फिर वही लंबाई।

दर प्रति वर्ग मीटर हो, तो कालीन की चौड़ाई से कोई फ़र्क नहीं पड़ता। लागत बस फ़र्श का क्षेत्रफल × दर है।

किनारा खाली छोड़ना हो, तो ढका हुआ भाग छोटा हो जाता है। मान लीजिए कालीन बिछाते समय चारों ओर 50 सेमी जगह खाली छोड़नी है। तब वह केवल (10 − 1) मीटर × (7.2 − 1) मीटर = 9 × 6.2 = 55.8 वर्ग मीटर ढकता है। यह ऊपर वाले "अंदर रास्ता" जैसा ही हिसाब है, बस यहाँ रास्ते की जगह बीच वाला भाग चाहिए।

उलटा प्रश्न भी आता है। 16 मीटर लंबे कमरे में 80 सेमी चौड़ा कालीन ₹50 प्रति मीटर की दर से बिछा है, और कुल लागत ₹11,000 है। तो कालीन $\frac{11000}{50} = 220$ मीटर लंबा है। उसका क्षेत्रफल 220 × 0.8 = 176 वर्ग मीटर हुआ, इसलिए कमरे की चौड़ाई $\frac{176}{16} = 11$ मीटर है।

एक ही कालीन, दो कमरे हों, तो लंबाइयाँ जुड़ती हैं। दर एक ही हो, तो लागतें भी जुड़ती हैं। हर फ़र्श का क्षेत्रफल अलग-अलग निकालिए, उन्हें जोड़िए, फिर कालीन की चौड़ाई से भाग दीजिए।

[SSC टिप] कालीन की चौड़ाई लगभग हमेशा सेमी में दी होती है और दर प्रति मीटर। कोई 0.9 की जगह 90 से भाग दे दे, तो कालीन सौ गुना छोटा आता है। इसलिए एक बार देख लीजिए कि कालीन की लंबाई कमरे के हिसाब से ठीक लगती है या नहीं।

टाइलें: कितनी, और सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल

कितनी टाइलें लगेंगी, यह ऐसे निकालते हैं। टाइलें फ़र्श पर पूरी-पूरी आ जाएँ, तो

$$\text{टाइलों की संख्या} = \frac{\text{फ़र्श का क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}}$$

बस दोनों क्षेत्रफल एक ही इकाई में होने चाहिए। जैसे 8 मीटर × 6 मीटर के हॉल में 40 सेमी × 30 सेमी की टाइलें लगानी हैं। सेमी में फ़र्श 800 × 600 = 4,80,000 वर्ग सेमी है और एक टाइल 1200 वर्ग सेमी की। तो टाइलों की संख्या $\frac{480000}{1200} = 400$ है।

यहाँ टाइलें पूरी-पूरी इसलिए आती हैं, क्योंकि 800 ÷ 40 = 20 और 600 ÷ 30 = 20। इसी से झटपट जाँच भी हो जाती है, 20 × 20 = 400।

सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल वाले प्रश्न में पूरी वर्गाकार टाइलें लगानी होती हैं, बिना काटे। तब टाइल की भुजा ऐसी होनी चाहिए, जो लंबाई और चौड़ाई, दोनों को पूरा-पूरा बाँट दे। सबसे बड़ी ऐसी टाइल की भुजा लंबाई और चौड़ाई का म.स. (HCF) होती है। म.स. निकालना अध्याय 1 में आ चुका है। सबसे बड़ी टाइल लेने पर टाइलों की सबसे कम संख्या भी मिल जाती है।

$$\text{वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या} = \frac{l \times b}{(\text{म.स.})^2}$$

जैसे फ़र्श 9.60 मीटर × 6.72 मीटर का है। सेमी में ये 960 और 672 हुए। अब बार-बार घटाते हैं। 960 − 672 = 288, फिर 672 − 2 × 288 = 96। 96 से 288 पूरा बँट जाता है, तो म.स. = 96। मतलब सबसे बड़ी टाइल 96 सेमी भुजा वाली है। फ़र्श पर लंबाई के साथ 10 टाइलें आएँगी और चौड़ाई के साथ 7, यानी कुल 10 × 7 = 70 टाइलें।

टाइल लगाने की लागत = टाइलों की संख्या × एक टाइल का मूल्य। दर प्रति वर्ग मीटर दी हो, तो लागत = क्षेत्रफल × दर।

उलटे प्रश्न में टाइलें दी होती हैं और उनसे वर्ग बनाना होता है। मान लीजिए 12 सेमी × 8 सेमी की आयताकार टाइलें सटाकर सबसे छोटा वर्ग बनाना है। उसकी भुजा 12 और 8 का ल.स. (LCM) होगी, यानी ल.स.(12, 8) = 24 सेमी। इसमें $\frac{24 \times 24}{12 \times 8} = 6$ टाइलें लगेंगी।

दो नियम याद रखिए। पहला, म.स. निकालने से पहले मीटर को सेमी में बदल लीजिए। म.स.(9.60, 6.72) अटपटा लगता है, जबकि म.स.(960, 672) जल्दी निकल आता है। दूसरा, "सबसे बड़ी टाइल" या "सबसे कम टाइलें" पूछी जाएँ, तो दोनों में म.स. लगता है। "दी गई टाइलों से बना सबसे छोटा वर्ग" पूछा जाए, तो ल.स. लगता है।

समांतर चतुर्भुज: आधार × ऊँचाई, दोनों ऊँचाइयाँ और कोण

समांतर चतुर्भुज के एक सिरे से एक त्रिभुज काटकर दूसरे सिरे पर लगा दीजिए। आयत बन जाता है, और उसका आधार और ऊँचाई वही रहते हैं। इसलिए

$$\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$$

यहाँ ऊँचाई का मतलब है आधार और उसकी सामने वाली भुजा के बीच की लंब दूरी।

दो आधार, दो ऊँचाइयाँ होती हैं। समांतर भुजाओं के हर जोड़े की अपनी ऊँचाई है, और दोनों गुणनफलों से एक ही क्षेत्रफल आता है।

$$AB \times DE = AD \times BF$$

चित्र में AB = 12 सेमी, AD = 10 सेमी और AB पर ऊँचाई DE = 8 सेमी है। तो क्षेत्रफल 12 × 8 = 96 वर्ग सेमी हुआ, और AD पर ऊँचाई $\frac{96}{10} = 9.6$ सेमी। ध्यान दीजिए, लंबी भुजा पर ऊँचाई छोटी है, बिलकुल त्रिभुज की तरह।

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो, तब भी क्षेत्रफल निकल आता है। मान लीजिए भुजाएँ a और b हैं, और उनके बीच का कोण $\theta$ है। तो a पर ऊँचाई $b\sin\theta$ होगी, और

$$\text{क्षेत्रफल} = ab\sin\theta$$

यह त्रिभुज वाले सूत्र $\frac{1}{2}ab\sin C$ का दोगुना है, जो "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में आया था। वजह सीधी है। एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो बराबर त्रिभुजों में बाँट देता है। जैसे भुजाएँ 10 सेमी और 7 सेमी हों, तो 30° पर क्षेत्रफल 35 वर्ग सेमी है, 60° पर $35\sqrt{3}$ वर्ग सेमी और 45° पर $35\sqrt{2}$ वर्ग सेमी। 90° पर यह 70 वर्ग सेमी हो जाता है। तब समांतर चतुर्भुज आयत बन जाता है, और यही सबसे बड़ा संभव क्षेत्रफल है।

बाकी तथ्य भी याद रखिए।

• परिमाप = 2(a + b) होता है।
• हर विकर्ण इसे आधे-आधे क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटता है। दोनों विकर्ण मिलकर इसे बराबर क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
• [Tier 2] विकर्णों के लिए $AC^2 + BD^2 = 2(a^2 + b^2)$ होता है। एक विकर्ण दिया हो और दूसरा चाहिए, तब यह काम आता है।

यहाँ छात्र अक्सर तिरछी भुजा को ही ऊँचाई मान लेते हैं। दोनों भुजाओं का गुणा (उदाहरण में 12 × 10 = 120) केवल आयत के लिए सही है। बाकी हर समांतर चतुर्भुज में इससे उत्तर ज़्यादा आता है।

समचतुर्भुज: विकर्ण, भुजा, ऊँचाई और परिमाप

समचतुर्भुज वह समांतर चतुर्भुज है, जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। इससे समचतुर्भुज चार बराबर समकोण त्रिभुजों में बँट जाता है। इन त्रिभुजों की समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{d_1}{2}$ और $\frac{d_2}{2}$ हैं। समचतुर्भुज का हर सूत्र इसी से आता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}d_1d_2 \qquad \text{भुजा} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2} \qquad \text{परिमाप} = 2\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$$

जैसे विकर्ण 24 सेमी और 18 सेमी हैं। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 24 \times 18 = 216$ वर्ग सेमी हुआ। आधे विकर्ण 12 और 9 हैं, तो भुजा 15 सेमी है (9, 12, 15 वाला त्रिभुज)। परिमाप 60 सेमी हुआ।

ऊँचाई भी निकाली जा सकती है, क्योंकि समचतुर्भुज भी एक समांतर चतुर्भुज है। तो क्षेत्रफल = भुजा × ऊँचाई भी होता है। यहाँ ऊँचाई $\frac{216}{15} = 14.4$ सेमी है।

एक विकर्ण और भुजा दी हो, तो दूसरा विकर्ण पाइथागोरस से निकालिए। मान लीजिए भुजा 25 सेमी है और एक विकर्ण 30 सेमी। उस विकर्ण का आधा 15 है, तो दूसरा आधा विकर्ण $\sqrt{625 - 225} = 20$ हुआ। दूसरा विकर्ण 40 सेमी है, और क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600$ वर्ग सेमी।

भुजा और एक कोण दिया हो, तो क्षेत्रफल = $a^2\sin\theta$। कोण 60° हो, तो छोटा विकर्ण भुजा के बराबर होता है, क्योंकि वह समचतुर्भुज को दो समबाहु त्रिभुजों में बाँट देता है। तब क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$ होता है। भुजा 8 सेमी हो, तो यह $32\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है।

काम की सर्वसमिका $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$ है। पहले उदाहरण में देखिए, 576 + 324 = 900 = 4 × 225।

परिमाप दिया हो, तो उसे 4 से भाग देकर भुजा निकालिए। फिर ऊपर की तरह एक विकर्ण से दूसरा विकर्ण निकाल लीजिए।

[SSC टिप] क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है, पूरा गुणनफल नहीं। भुजा आधे विकर्णों से निकलती है। कोई पूरे विकर्ण पाइथागोरस में रख दे, तो भुजा दोगुनी आ जाती है (यहाँ 15 सेमी की जगह 30 सेमी)।

समलंब: समांतर भुजाएँ और ऊँचाई

समलंब में समांतर भुजाओं का एक जोड़ा होता है। मान लीजिए ये भुजाएँ a और b हैं, और इनके बीच की दूरी h है। एक विकर्ण खींचें, तो समलंब दो त्रिभुजों में बँट जाता है। उनके आधार a और b हैं, और दोनों की ऊँचाई h है। इसलिए

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}(a + b) \times h$$

मतलब समांतर भुजाओं का औसत × ऊँचाई। जैसे समांतर भुजाएँ 18 सेमी और 12 सेमी हैं, और उनके बीच की दूरी 7 सेमी है। तो क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 30 \times 7 = 105$ वर्ग सेमी।

उलटकर ऊँचाई भी निकलती है, $h = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{a + b}$। कोई एक समांतर भुजा पूछी जाए, तो $\frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{h}$ में से दूसरी समांतर भुजा घटा दीजिए।

समद्विबाहु समलंब में दोनों असमांतर भुजाएँ बराबर होती हैं। छोटी समांतर भुजा के दोनों सिरों से लंब डालिए। तो लंबी भुजा के दोनों सिरों पर $\frac{a - b}{2}$ का हिस्सा बाहर निकला रहता है।

जैसे समांतर भुजाएँ 20 सेमी और 8 सेमी हैं, और दोनों असमांतर भुजाएँ 10 सेमी की। हर ओर 6 सेमी का हिस्सा बाहर निकला है, तो $h = \sqrt{100 - 36} = 8$ सेमी। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 28 \times 8 = 112$ वर्ग सेमी हुआ, और परिमाप 20 + 8 + 10 + 10 = 48 सेमी।

समकोण समलंब में एक असमांतर भुजा समांतर भुजाओं पर लंब होती है। वही भुजा ऊँचाई है।

[Tier 2] चारों भुजाएँ ज्ञात हों, तो C से DA के समांतर CE खींचिए। AECD एक समांतर चतुर्भुज है, तो AE = DC = b और EC = AD। अब त्रिभुज EBC की भुजाएँ a − b, AD और BC हैं, और उसकी ऊँचाई ही समलंब की ऊँचाई है।

जैसे समांतर भुजाएँ 33 सेमी और 12 सेमी हैं, और असमांतर भुजाएँ 13 सेमी और 20 सेमी। तो त्रिभुज EBC की भुजाएँ 21, 13 और 20 हुईं। हीरोन के सूत्र से s = 27, और त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{27 \times 6 \times 7 \times 14} = 126$ वर्ग सेमी। तो $h = \frac{2 \times 126}{21} = 12$ सेमी, और समलंब का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 45 \times 12 = 270$ वर्ग सेमी।

[SSC टिप] दोनों समांतर भुजाएँ जोड़नी हैं, एक समांतर भुजा और एक असमांतर भुजा कभी नहीं। साथ में आधा लगाना भी न भूलिए। केवल (a + b) × h लेने पर क्षेत्रफल का दोगुना आता है, और यह मान प्रायः विकल्पों में दिया होता है।

पतंग और कोई भी चतुर्भुज

पतंग में पास-पास वाली बराबर भुजाओं के दो जोड़े होते हैं (AB = AD और CB = CD)। इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, इसलिए समचतुर्भुज की तरह

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}d_1d_2$$

जैसे विकर्ण 16 सेमी और 9 सेमी हों, तो क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी है।

असल में जिस भी चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब हों, उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}d_1d_2$ होता है। परीक्षा में ऐसे चतुर्भुज वर्ग, समचतुर्भुज और पतंग ही आते हैं। वर्ग में दोनों विकर्ण d होते हैं, तो फिर से $\frac{d^2}{2}$ आता है।

कोई भी चतुर्भुज हो, तो उसे विकर्ण से बाँट लीजिए। विकर्ण AC चतुर्भुज ABCD को त्रिभुज ABC और ADC में बाँटता है, और दोनों का आधार AC साझा है। मान लीजिए B और D से विकर्ण AC पर डाले गए लंब (offsets) $h_1$ और $h_2$ हैं। तो

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AC \times (h_1 + h_2)$$

जैसे विकर्ण 18 मीटर है और लंब 5 मीटर और 7 मीटर। तो क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$ वर्ग मीटर। ज़मीन नापने वाले (सर्वेक्षक) खेत इसी तरह नापते हैं।

चार भुजाएँ और एक विकर्ण दिए हों, तो विकर्ण से चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटिए और हर त्रिभुज पर हीरोन का सूत्र लगाइए, या कोई जानी-पहचानी त्रिक हो तो उसे पहचान लीजिए। जैसे ABCD में AB = 5 सेमी, BC = 12 सेमी, CD = 14 सेमी, DA = 15 सेमी और विकर्ण AC = 13 सेमी है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ 5, 12, 13 हैं, तो यह समकोण त्रिभुज है और इसका क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है। त्रिभुज ACD की भुजाएँ 13, 14, 15 हैं, और इसका क्षेत्रफल 84 वर्ग सेमी है। कुल क्षेत्रफल 114 वर्ग सेमी हुआ।

किस आकृति के लिए कौन-सा सूत्र

ध्यान रखिए, $\frac{1}{2}d_1d_2$ तभी लगता है जब विकर्ण लंबवत हों। आयत या सामान्य समांतर चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत नहीं होते, इसलिए उन पर यह सूत्र गलत उत्तर देता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक आयत की लंबाई 63 सेमी और उसका विकर्ण 65 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 4095 वर्ग सेमी (b) 1008 वर्ग सेमी (c) 504 वर्ग सेमी (d) 1040 वर्ग सेमी

उत्तर: लंबाई, चौड़ाई और विकर्ण से एक समकोण त्रिभुज बनता है। तो चौड़ाई = $\sqrt{65^2 - 63^2}$। इसे झटपट निकालने के लिए वर्गों का अंतर लेते हैं, $65^2 - 63^2 = (65 + 63)(65 - 63) = 128 \times 2 = 256$, यानी चौड़ाई 16 सेमी। क्षेत्रफल = 63 × 16 = (b) 1008 वर्ग सेमी। 4095 वर्ग सेमी लंबाई × विकर्ण से आता है, जो गलत है, क्योंकि विकर्ण आयत की भुजा नहीं है।

प्रश्न 2

एक आयत का विकर्ण 25 सेमी और उसका क्षेत्रफल 168 वर्ग सेमी है। उसका परिमाप कितना है? (a) 31 सेमी (b) 50 सेमी (c) 62 सेमी (d) 74 सेमी

उत्तर: यहाँ सर्वसमिका सीधे लगती है, $(l + b)^2 = d^2 + 2 \times \text{क्षेत्रफल} = 625 + 336 = 961$। तो l + b = 31 सेमी। परिमाप इसका दोगुना है, 2 × 31 = (c) 62 सेमी। 31 तो परिमाप का आधा ही है। भुजाएँ 24 और 7 हैं, पर उन्हें निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

प्रश्न 3

एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 5 : 3 है और उसका परिमाप 96 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 540 वर्ग सेमी (b) 2160 वर्ग सेमी (c) 480 वर्ग सेमी (d) 600 वर्ग सेमी

उत्तर: भुजाएँ 5k और 3k मान लेते हैं। परिमाप = 2(5k + 3k) = 16k = 96, तो k = 6। भुजाएँ 30 सेमी और 18 सेमी हुईं, और क्षेत्रफल 30 × 18 = (a) 540 वर्ग सेमी। कुछ लोग 8k = 96 लिख देते हैं, मानो परिमाप में एक ही लंबाई और एक ही चौड़ाई आती हो। तब 2160 वर्ग सेमी आता है, जो गलत है।

प्रश्न 4

एक वर्ग का विकर्ण 26 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 676 वर्ग सेमी (b) 169 वर्ग सेमी (c) $338\sqrt{2}$ वर्ग सेमी (d) 338 वर्ग सेमी

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = $\frac{d^2}{2} = \frac{676}{2}$ = (d) 338 वर्ग सेमी। भुजा से जाँच कर लेते हैं। भुजा $\frac{26}{\sqrt{2}} = 13\sqrt{2}$ है, और $(13\sqrt{2})^2 = 169 \times 2 = 338$।

प्रश्न 5

एक वर्ग और एक आयत के परिमाप बराबर हैं। आयत 40 सेमी × 24 सेमी का है। वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल से कितना अधिक है? (a) 8 वर्ग सेमी (b) 64 वर्ग सेमी (c) 256 वर्ग सेमी (d) 128 वर्ग सेमी

उत्तर: परिमाप 2(40 + 24) = 128 सेमी है, तो वर्ग की भुजा 32 सेमी और क्षेत्रफल 1024 वर्ग सेमी हुआ। आयत का क्षेत्रफल 40 × 24 = 960 वर्ग सेमी है। अंतर (b) 64 वर्ग सेमी है। इसका छोटा रास्ता भी है। यह अंतर हमेशा $\left(\frac{l - b}{2}\right)^2 = 8^2 = 64$ होता है।

प्रश्न 6

एक तार को मोड़कर 26 सेमी लंबा और 18 सेमी चौड़ा आयत बनाया गया है। फिर इसी तार को मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है। वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? (a) 468 वर्ग सेमी (b) 1936 वर्ग सेमी (c) 484 वर्ग सेमी (d) 121 वर्ग सेमी

उत्तर: तार की लंबाई आयत के परिमाप के बराबर है, यानी 2(26 + 18) = 88 सेमी। वर्ग में हर भुजा $\frac{88}{4} = 22$ सेमी होगी, तो क्षेत्रफल $22^2$ = (c) 484 वर्ग सेमी।

प्रश्न 7

एक आयत की लंबाई में 35% की वृद्धि और उसकी चौड़ाई में 20% की कमी की जाती है। उसके क्षेत्रफल में क्या परिवर्तन होता है? (a) 8% की वृद्धि (b) 15% की वृद्धि (c) 8% की कमी (d) 12% की वृद्धि

उत्तर: दोनों गुणकों का गुणा कर लेते हैं, 1.35 × 0.8 = 1.08, यानी (a) 8% की वृद्धि। नियम लगाएँ, तो भी 35 − 20 + $\frac{35 \times (-20)}{100}$ = 15 − 7 = 8 ही मिलता है। जल्दबाज़ी में लोग 35 में से बस 20 घटाकर "15% की वृद्धि" लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 8

एक आयत की लंबाई में 25% की वृद्धि की जाती है। क्षेत्रफल को अपरिवर्तित रखने के लिए उसकी चौड़ाई में कितने प्रतिशत की कमी करनी होगी? (a) 25% (b) 15% (c) $33\frac{1}{3}\%$ (d) 20%

उत्तर: लंबाई 25% बढ़ी, मतलब लंबाई × $\frac{5}{4}$ हुई। गुणनफल वही रखना है, तो चौड़ाई × $\frac{4}{5}$ करनी होगी। यह $\frac{1}{5}$ की कमी है, यानी (d) 20%। सूत्र से भी $\frac{25}{125} \times 100 = 20$ आता है। चौड़ाई 25% घटा दें, तो क्षेत्रफल 1.25 × 0.75 = 0.9375 गुना ही बचेगा, जो ज़रूरत से कम है।

प्रश्न 9

48 मीटर लंबे और 30 मीटर चौड़े एक आयताकार बगीचे के चारों ओर बाहर की तरफ़ 3.5 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। ₹12 प्रति वर्ग मीटर की दर से रास्ते पर बजरी बिछाने की लागत कितनी होगी? (a) ₹6,552 (b) ₹7,140 (c) ₹5,964 (d) ₹24,420

उत्तर: रास्ता बाहर है, तो हर भुजा में दोनों ओर 3.5 मीटर जुड़ेंगे। रास्ते समेत बगीचा (48 + 7) मीटर × (30 + 7) मीटर, यानी 55 मीटर × 37 मीटर = 2035 वर्ग मीटर का है। केवल बगीचा 48 × 30 = 1440 वर्ग मीटर है, तो रास्ता 2035 − 1440 = 595 वर्ग मीटर हुआ। सूत्र से जाँच लेते हैं, 2 × 3.5 × (48 + 30 + 7) = 7 × 85 = 595। लागत = 595 × 12 = (b) ₹7,140।

प्रश्न 10

52 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार लॉन के अंदर उसके किनारों के साथ-साथ 3 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। रास्ते का क्षेत्रफल कितना है? (a) 624 वर्ग मीटर (b) 660 वर्ग मीटर (c) 588 वर्ग मीटर (d) 552 वर्ग मीटर

उत्तर: रास्ता अंदर है, तो बीच में बचा भाग भी एक वर्ग है, जिसकी भुजा 52 − 2 × 3 = 46 मीटर है। रास्ता = $52^2 - 46^2 = 2704 - 2116$ = (c) 588 वर्ग मीटर। वर्ग वाला सूत्र लगाएँ, तो 4w(a − w) = 12 × 49 = 588, वही उत्तर।

प्रश्न 11

96 मीटर लंबे और 64 मीटर चौड़े एक पार्क के बीचोंबीच से होकर दो सड़कें जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 4 मीटर चौड़ी है। एक सड़क लंबाई के समांतर है और दूसरी चौड़ाई के समांतर। ₹25 प्रति वर्ग मीटर की दर से सड़कों को पक्का करने की लागत कितनी होगी? (a) ₹15,600 (b) ₹16,000 (c) ₹15,200 (d) ₹7,800

उत्तर: लंबाई वाली सड़क 96 × 4 = 384 वर्ग मीटर की है और चौड़ाई वाली 64 × 4 = 256 वर्ग मीटर की। जहाँ दोनों कटती हैं, वहाँ 4 मीटर × 4 मीटर का वर्ग दोनों में गिना गया है। उसे एक ही बार गिनना है, तो सड़कें 384 + 256 − 16 = 624 वर्ग मीटर की हुईं। लागत = 624 × 25 = (a) ₹15,600।

प्रश्न 12

42 मीटर लंबे और 28 मीटर चौड़े एक आयताकार मैदान के चारों ओर बाहर की तरफ़ एक समान चौड़ाई का रास्ता बना है। रास्ते का क्षेत्रफल 456 वर्ग मीटर है। रास्ते की चौड़ाई कितनी है? (a) 2 मीटर (b) 4 मीटर (c) 2.5 मीटर (d) 3 मीटर

उत्तर: बाहर वाले रास्ते का क्षेत्रफल 2w(l + b + 2w) होता है, यहाँ 2w(70 + 2w)। अब विकल्प रखकर देखते हैं। w = 2 पर 4 × 74 = 296, w = 4 पर 8 × 78 = 624, w = 2.5 पर 5 × 75 = 375 और w = 3 पर 6 × 76 = 456 आता है। तो चौड़ाई (d) 3 मीटर है। सीधे हल करना हो, तो $4w^2 + 140w - 456 = 0$ लिखते हैं, यानी $w^2 + 35w - 114 = 0 = (w + 38)(w - 3)$। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए यहाँ से भी w = 3 ही आता है।

प्रश्न 13

एक आयताकार मैदान की भुजाओं का अनुपात 3 : 2 है और उसका क्षेत्रफल 5400 वर्ग मीटर है। ₹16 प्रति मीटर की दर से उसके चारों ओर बाड़ लगाने की लागत कितनी होगी? (a) ₹2,400 (b) ₹4,800 (c) ₹86,400 (d) ₹4,000

उत्तर: भुजाएँ 3k और 2k मान लेते हैं। तब क्षेत्रफल $6k^2 = 5400$, तो $k^2 = 900$ और k = 30। मैदान 90 मीटर × 60 मीटर का है, और परिमाप 2(90 + 60) = 300 मीटर। बाड़ की लागत 300 × 16 = (b) ₹4,800। ₹2,400 तब आता है, जब कोई केवल 90 + 60 पर बाड़ लगा दे, यानी सीमा के आधे हिस्से पर ही।

प्रश्न 14

₹12.50 प्रति मीटर की दर से एक वर्गाकार पार्क के चारों ओर बाड़ लगाने की लागत ₹5,000 है। पार्क का क्षेत्रफल कितना है? (a) 16 हेक्टेयर (b) 0.25 हेक्टेयर (c) 1 हेक्टेयर (d) 4 हेक्टेयर

उत्तर: परिमाप = $\frac{5000}{12.5} = 400$ मीटर, तो हर भुजा 100 मीटर है। क्षेत्रफल 100 × 100 = 10,000 वर्ग मीटर हुआ। 1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर होता है, इसलिए क्षेत्रफल (c) 1 हेक्टेयर है।

प्रश्न 15

एक कमरा 14 मीटर लंबा और 9 मीटर चौड़ा है। ₹55 प्रति मीटर की दर से 70 सेमी चौड़े कालीन से उसका फ़र्श ढकने की लागत कितनी होगी? (a) ₹6,930 (b) ₹99 (c) ₹4,851 (d) ₹9,900

उत्तर: फ़र्श का क्षेत्रफल = 14 × 9 = 126 वर्ग मीटर। कालीन 70 सेमी, यानी 0.7 मीटर चौड़ा है, तो उसकी लंबाई $\frac{126}{0.7} = 180$ मीटर होगी। लागत = 180 × 55 = (d) ₹9,900। सेमी को मीटर में बदले बिना 70 से भाग दे दें, तो ₹99 आता है, जो गलत है।

प्रश्न 16

18 मीटर लंबे एक कमरे में ₹40 प्रति मीटर की दर से 75 सेमी चौड़ा कालीन बिछाने की लागत ₹11,520 है। कमरे की चौड़ाई कितनी है? (a) 12 मीटर (b) 16 मीटर (c) 12.5 मीटर (d) 15 मीटर

उत्तर: कालीन की लंबाई = $\frac{11520}{40} = 288$ मीटर। कालीन 0.75 मीटर चौड़ा है, तो उसका क्षेत्रफल 288 × 0.75 = 216 वर्ग मीटर हुआ। यही फ़र्श का क्षेत्रफल है। तो चौड़ाई = $\frac{216}{18}$ = (a) 12 मीटर।

प्रश्न 17

24 मीटर लंबे और 15 मीटर चौड़े एक हॉल के फ़र्श पर 40 सेमी × 30 सेमी की आयताकार टाइलें लगानी हैं। कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी? (a) 300 टाइलें (b) 30,000 टाइलें (c) 3000 टाइलें (d) 2400 टाइलें

उत्तर: सारा हिसाब सेमी में करते हैं, तो हॉल 2400 सेमी × 1500 सेमी का है। लंबाई के साथ 2400 ÷ 40 = 60 टाइलें आएँगी और चौड़ाई के साथ 1500 ÷ 30 = 50 टाइलें। कुल 60 × 50 = (c) 3000 टाइलें। क्षेत्रफलों से जाँच कर लेते हैं, $\frac{2400 \times 1500}{40 \times 30} = \frac{3600000}{1200} = 3000$।

प्रश्न 18

एक कमरे का फ़र्श 10 मीटर 50 सेमी लंबा और 8 मीटर 25 सेमी चौड़ा है। इसे ठीक-ठीक ढकने के लिए एक ही माप की वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या कितनी होगी? (a) 75 टाइलें (b) 154 टाइलें (c) 1386 टाइलें (d) 308 टाइलें

उत्तर: टाइलें सबसे कम चाहिए, तो टाइल सबसे बड़ी होनी चाहिए। उसकी भुजा 1050 सेमी और 825 सेमी का म.स. होगी। 1050 − 825 = 225, फिर 825 = 3 × 225 + 150, फिर 225 = 150 + 75। 75 से 150 पूरा बँट जाता है, तो म.स. 75 सेमी है। टाइलें = (1050 ÷ 75) × (825 ÷ 75) = 14 × 11 = (b) 154 टाइलें।

प्रश्न 19

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ 18 सेमी और 12 सेमी हैं। लंबी भुजाओं के बीच की दूरी 10 सेमी है। छोटी भुजाओं के बीच की दूरी कितनी है? (a) 10 सेमी (b) 12 सेमी (c) 20 सेमी (d) 15 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल = लंबी भुजा × उस पर ऊँचाई = 18 × 10 = 180 वर्ग सेमी। यही क्षेत्रफल छोटी भुजा × उस पर ऊँचाई भी है, तो छोटी भुजाओं के बीच की दूरी $\frac{180}{12}$ = (d) 15 सेमी। उत्तर ठीक भी लगता है, क्योंकि छोटी भुजाएँ एक-दूसरे से ज़्यादा दूर होनी चाहिए।

प्रश्न 20

एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ 14 सेमी और 9 सेमी हैं तथा उनके बीच का कोण 150° है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 63 वर्ग सेमी (b) 126 वर्ग सेमी (c) $63\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) 31.5 वर्ग सेमी

उत्तर: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $ab\sin\theta$ = 14 × 9 × $\sin 150^\circ$ = 126 × $\frac{1}{2}$ = (a) 63 वर्ग सेमी। 31.5 वर्ग सेमी त्रिभुज वाले सूत्र से आता है, जिसमें एक आधा और लग जाता है।

प्रश्न 21

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 840 वर्ग सेमी है और उसका एक विकर्ण 40 सेमी है। उसका परिमाप कितना है? (a) 164 सेमी (b) 116 सेमी (c) 58 सेमी (d) 232 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}d_1d_2$ होता है, तो $d_2 = \frac{2 \times 840}{40} = 42$ सेमी। आधे विकर्ण 20 और 21 हैं, तो भुजा $\sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ सेमी। परिमाप = 4 × 29 = (b) 116 सेमी।

प्रश्न 22

एक समचतुर्भुज का परिमाप 100 सेमी है और उसका एक विकर्ण 14 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 672 वर्ग सेमी (b) 350 वर्ग सेमी (c) 336 वर्ग सेमी (d) 168 वर्ग सेमी

उत्तर: भुजा = $\frac{100}{4} = 25$ सेमी। दिए गए विकर्ण का आधा 7 है, तो दूसरा आधा विकर्ण $\sqrt{625 - 49} = 24$ और दूसरा विकर्ण 48 सेमी हुआ। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 14 \times 48$ = (c) 336 वर्ग सेमी।

प्रश्न 23

एक समलंब का क्षेत्रफल 405 वर्ग सेमी है और उसकी समांतर भुजाएँ 32 सेमी और 22 सेमी हैं। समांतर भुजाओं के बीच की दूरी कितनी है? (a) 7.5 सेमी (b) 30 सेमी (c) 13.5 सेमी (d) 15 सेमी

उत्तर: यहाँ क्षेत्रफल वाला सूत्र उलटकर लगाना है। $h = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{a + b} = \frac{810}{54}$ = (d) 15 सेमी।

प्रश्न 24

एक समद्विबाहु समलंब की समांतर भुजाएँ 30 सेमी और 14 सेमी हैं तथा उसकी प्रत्येक असमांतर भुजा 17 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 330 वर्ग सेमी (b) 660 वर्ग सेमी (c) 374 वर्ग सेमी (d) 352 वर्ग सेमी

उत्तर: हर ओर बाहर निकला हिस्सा $\frac{30 - 14}{2} = 8$ सेमी है। तो ऊँचाई $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$ सेमी हुई। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (30 + 14) \times 15 = 22 \times 15$ = (a) 330 वर्ग सेमी।

प्रश्न 25

[Tier 2] एक समलंब की समांतर भुजाएँ 30 सेमी और 9 सेमी हैं तथा उसकी असमांतर भुजाएँ 10 सेमी और 17 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 312 वर्ग सेमी (b) 195 वर्ग सेमी (c) 156 वर्ग सेमी (d) 84 वर्ग सेमी

उत्तर: C से 10 सेमी वाली भुजा के समांतर रेखा खींचते हैं। इससे एक त्रिभुज कट जाता है, जिसकी भुजाएँ 30 − 9 = 21, 10 और 17 हैं। हीरोन के सूत्र से s = 24, और त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{24 \times 3 \times 14 \times 7} = \sqrt{7056} = 84$ वर्ग सेमी। 21 सेमी वाली भुजा पर इसकी ऊँचाई $\frac{2 \times 84}{21} = 8$ सेमी है, और यही समलंब की भी ऊँचाई है। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 39 \times 8$ = (c) 156 वर्ग सेमी। 84 वर्ग सेमी पर रुक जाना गलत है, क्योंकि वह केवल छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल है।