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त्रिभुज का क्षेत्रफल

• त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है। कोई भी भुजा आधार मानी जा सकती है, बस ऊँचाई उसी भुजा पर डाली गई होनी चाहिए।
• तीनों भुजाएँ दी हों, तो हीरोन का सूत्र (Heron's formula) लगाइए। पहले अर्धपरिमाप $s = \frac{a + b + c}{2}$ निकालिए, फिर क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ $a$ हों और आधार $b$, तो क्षेत्रफल $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$ होता है।
• दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो, तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2}ab\sin C$ होता है।
• अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या से क्षेत्रफल $= rs = \frac{abc}{4R}$ होता है।
• 13-14-15 भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 होता है, इसे याद रखिए। भुजाएँ $k$ गुना हो जाएँ, तो क्षेत्रफल $k^2$ गुना हो जाता है।
• माध्यिका त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधा-आधा बाँट देती है। तीनों भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाएँ, तो बीच वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज का एक-चौथाई होता है।
• क्षेत्रफल से शीर्षलंब (altitude) निकालना हो, तो शीर्षलंब $= \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}}$ लगाइए। जल्दी में अंश वाला 2 छूट जाता है, इसका ध्यान रखिए।

समबाहु और समकोण त्रिभुज

• भुजा $a$ वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है और क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$।
• ऊँचाई पता हो, तो क्षेत्रफल $= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$ होता है। परिमाप पता हो, तो क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{36}P^2$ होता है।
• समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ और परित्रिज्या $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होती है। इसकी ऊँचाई $= 3r$ होती है।
• समबाहु त्रिभुज के अंदर कोई भी बिंदु लीजिए। उससे तीनों भुजाओं पर लंब डालें, तो उन लंबों का योग ऊँचाई के बराबर होता है।
• समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}ab$ होता है और कर्ण पर शीर्षलंब $\frac{ab}{c}$। इसकी अंतःत्रिज्या $r = \frac{a + b - c}{2}$ और परित्रिज्या $R = \frac{c}{2}$ होती है।
• इसी समकोण त्रिभुज में $(a + b)^2 = c^2 + 4 \times \text{क्षेत्रफल}$ भी होता है।
• 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29, 9-40-41 और 12-35-37, ये पाइथागोरस त्रिक (triplets) पक्के याद रखिए।
• ऊँचाई से क्षेत्रफल निकालते समय ध्यान रखिए कि क्षेत्रफल $\frac{h^2}{\sqrt{3}}$ है, $h^2\sqrt{3}$ नहीं।

आयत और वर्ग

• आयत का क्षेत्रफल $lb$, परिमाप $2(l + b)$ और विकर्ण $\sqrt{l^2 + b^2}$ होता है।
• आयत में $(l + b)^2 = d^2 + 2lb$ और $(l - b)^2 = d^2 - 2lb$ होता है। ये दोनों संबंध बहुत काम आते हैं।
• वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = \frac{d^2}{2}$, परिमाप $4a$ और विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।
• परिमाप बराबर हो, तो सबसे बड़ा क्षेत्रफल वर्ग का होता है। उसी परिमाप वाले आयत से वर्ग का क्षेत्रफल $\left(\frac{l - b}{2}\right)^2$ अधिक होता है।
• तार को मोड़कर नई आकृति बनाई जाए, तो परिमाप वही रहता है, पर क्षेत्रफल बदल जाता है।
• परिमाप दिया हो, तो वर्ग करने से पहले उसे आधा करके $l + b$ निकालिए। पूरे परिमाप का वर्ग कर देना आम गलती है।
• प्रश्न क्षेत्रफल का हो और कोई विकल्प परिमाप के बराबर दिखे, तो समझ लीजिए कि वह धोखे वाला विकल्प है।

रास्ते, टाइलें और लागत

• मैदान के चारों ओर बाहर की तरफ़ रास्ता हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल $2w(l + b + 2w)$ होता है। रास्ता अंदर की तरफ़ हो, तो $2w(l + b - 2w)$।
• वर्गाकार मैदान में बाहर वाले रास्ते का क्षेत्रफल $4w(a + w)$ होता है और अंदर वाले का $4w(a - w)$।
• एक-दूसरे को काटती दो सड़कों का क्षेत्रफल $w(l + b) - w^2$ होता है, क्योंकि बीच का वर्ग दोनों सड़कों में आता है और उसे एक ही बार गिनना है। नीचे के चित्र में यह वर्ग पीला है।

• फ़र्श पर सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल लगानी हो, तो उसकी भुजा लंबाई और चौड़ाई का म.स. (HCF) होती है। दोनों माप पहले एक ही इकाई में लिख लीजिए।
• कालीन की लंबाई निकालने के लिए फ़र्श के क्षेत्रफल को कालीन की चौड़ाई से भाग दीजिए।
• फ़र्श बनाने की लागत क्षेत्रफल को दर से गुणा करके निकलती है, और बाड़ लगाने की लागत परिमाप को दर से गुणा करके।
• माप मीटर और सेमी में मिले-जुले हों, तो पहले मीटर को सेमी में बदल लीजिए। सड़कों वाले सूत्र का $-w^2$ भी भूलिएगा नहीं।

समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब

• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होता है, बस जिस भुजा को आधार लें, ऊँचाई भी उसी पर डाली गई लीजिए। दो आसन्न भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो, तो क्षेत्रफल $ab\sin\theta$ होता है।
• समचतुर्भुज (rhombus) का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}d_1d_2$ होता है और भुजा $\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$। इसकी ऊँचाई निकालनी हो, तो क्षेत्रफल को भुजा से भाग दीजिए।
• समलंब (trapezium) का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(a + b)h$ होता है। समद्विबाहु समलंब में बड़ी समांतर भुजा छोटी वाली से दोनों ओर बराबर बाहर निकली होती है, हर ओर $\frac{a - b}{2}$ जितनी।
• असमांतर भुजाएँ बराबर न हों, तो दोनों असमांतर भुजाओं और $a - b$ से एक त्रिभुज बनाइए। उस त्रिभुज की ऊँचाई ही समलंब की ऊँचाई होती है।
• पतंग का क्षेत्रफल भी $\frac{1}{2}d_1d_2$ होता है। किसी भी चतुर्भुज में एक विकर्ण और बाकी दोनों शीर्षों से उस पर डाले गए लंब पता हों, तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2)$ होता है।
• ध्यान रखिए, $\frac{1}{2}d_1d_2$ वाला सूत्र समांतर चतुर्भुज या आयत पर नहीं लगता।

सम बहुभुज

• भुजा $a$ वाला सम षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना होता है। इसका क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ और परिमाप $6a$ होता है।
• इसका सबसे लंबा विकर्ण $2a$ होता है और छोटा विकर्ण $\sqrt{3}a$।
• षट्भुज के चारों ओर बने वृत्त की त्रिज्या $a$ होती है, और अंदर बने वृत्त की त्रिज्या $\frac{\sqrt{3}}{2}a$।
• एक छोड़कर एक शीर्ष मिलाने से जो त्रिभुज बनता है, उसका क्षेत्रफल षट्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
• किसी भी सम बहुभुज (regular polygon) का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{परिमाप} \times r$ होता है। यहाँ परिमाप को केंद्र से भुजा पर डाले गए लंब से गुणा करते हैं।
• सम षट्भुज और समबाहु त्रिभुज का परिमाप बराबर हो, तो उनके क्षेत्रफल 3 : 2 के अनुपात में होते हैं।
• [Tier 2] सम अष्टभुज का क्षेत्रफल $2(1 + \sqrt{2})a^2$ होता है।
• छोटे विकर्ण को $2a$ मान लेना आम गलती है। इतना तो सबसे लंबा विकर्ण होता है।

अंतर्निहित और परिगत आकृतियाँ

• भुजा $a$ वाले वर्ग में अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ और परिवृत्त की $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$ होती है। अंदर वाले और बाहर वाले वृत्त के क्षेत्रफल 1 : 2 में होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज में $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ और $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होता है। यहाँ दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल 1 : 4 में होते हैं।
• सम षट्भुज में $r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ और $R = a$ होता है। यहाँ क्षेत्रफल 3 : 4 में होते हैं।
• $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर वर्ग बना हो और उसके चारों शीर्ष वृत्त पर हों, तो वर्ग का क्षेत्रफल $2r^2$ होता है।
• वर्ग की भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाने से जो वर्ग बनता है, उसका क्षेत्रफल पहले वर्ग का आधा होता है।
• आयत के अंदर सबसे बड़ा वृत्त बनाना हो, तो उसका व्यास आयत की चौड़ाई के बराबर होता है।
• एक ही तार से सबसे अधिक क्षेत्रफल वृत्त घेरता है, फिर वर्ग और फिर त्रिभुज।
• वर्ग में $R = \sqrt{2}r$ होता है, पर समबाहु त्रिभुज में $R = 2r$। इन दोनों में घालमेल न कीजिए।

वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि

• वृत्त की परिधि (circumference) $C = 2\pi r = \pi d$ होती है और क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{1}{2}Cr$।
• विकल्प 22 के गुणज हों तो $\frac{22}{7}$ लीजिए, और 3.14 के गुणज हों तो 3.14 लीजिए। विकल्पों में $\pi$ लिखा हो, तो उसे वैसा ही रहने दीजिए।
• $r = 7$ हो, तो परिधि 44 और क्षेत्रफल 154 होता है। $r = 14$ पर ये 88 और 616 होते हैं, और $r = 21$ पर 132 और 1386।
• परिधि और व्यास का अंतर $C - d = \frac{15}{7}d$ होता है।
• दो वृत्तों के क्षेत्रफल जोड़कर एक नया वृत्त बनाना हो, तो $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ होता है। परिधियाँ जोड़नी हों, तो $R = r_1 + r_2$।
• चादर से वृत्ताकार टुकड़े काटने हों, तो हर टुकड़े के लिए $2r \times 2r$ का वर्ग लगता है।
• बहुत से छात्र व्यास को ही त्रिज्या मान लेते हैं। प्रश्न में व्यास दिया हो, तो पहले उसे आधा कीजिए।

अर्धवृत्त, चतुर्थांश और वलय

• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}\pi r^2$ होता है और परिमाप $\pi r + 2r = \frac{36}{7}r$।
• चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल $\frac{1}{4}\pi r^2$ होता है और परिमाप $\frac{\pi r}{2} + 2r = \frac{25}{7}r$।
• वलय (ring) का क्षेत्रफल बाहर वाले और अंदर वाले वृत्त के क्षेत्रफलों का अंतर होता है, यानी $\pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r)$।

• $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के चारों ओर $w$ चौड़ा रास्ता हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल $\pi w(2r + w)$ होता है।
• बाहर वाले और अंदर वाले वृत्त की परिधियाँ पता हों, तो वलय की चौड़ाई $\frac{C_1 - C_2}{2\pi}$ होती है।
• वलय का क्षेत्रफल $\pi(R - r)^2$ लिख देना गलत है। पहले दोनों त्रिज्याओं के वर्ग लीजिए, फिर घटाइए।
• अर्धवृत्त के परिमाप में व्यास भी जुड़ता है। केवल घुमावदार भाग लेकर रुक जाना गलत है।

पहिए और चक्कर

• पहिया एक चक्कर में अपनी एक परिधि जितनी दूरी तय करता है, यानी $2\pi r$।
• कुल चक्कर $= \frac{\text{दूरी}}{2\pi r}$ होते हैं, पर दूरी और त्रिज्या एक ही इकाई में होनी चाहिए। याद रखिए, 1 किमी = 100000 सेमी।
• एक मिनट में तय दूरी निकालनी हो, तो एक मिनट के चक्करों को परिधि से गुणा कीजिए। मीटर प्रति मिनट को किमी/घंटा में बदलना हो, तो $\frac{60}{1000}$ से गुणा कीजिए।
• एक ही सड़क पर दो पहिए चल रहे हों, तो उनके चक्करों की संख्या त्रिज्याओं के उलटे अनुपात में होती है।
• आगे वाला पहिया पीछे वाले से $n$ चक्कर अधिक लगाए, तो $\frac{D}{C_1} - \frac{D}{C_2} = n$ लिखिए। यानी तय की गई दूरी को दोनों पहियों की परिधि से अलग-अलग भाग देते हैं, फिर घटाते हैं।
• व्यास को त्रिज्या मान लेंगे, तो चक्कर आधे निकलेंगे।
• किमी को सेमी में बदलना भूल जाना भी आम गलती है।

चाप और त्रिज्यखंड

• चाप और त्रिज्यखंड (sector), दोनों में वृत्त का $\frac{\theta}{360}$ भाग लिया जाता है। चाप $= \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$ होता है और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$।
• चाप की लंबाई पता हो, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{चाप} \times r$ होता है।
• त्रिज्यखंड का परिमाप चाप की लंबाई और $2r$ का योग होता है।
• घड़ी में मिनट की सुई हर मिनट $6^\circ$ घूमती है और घंटे की सुई हर घंटे $30^\circ$।
• चराई वाले प्रश्नों में आयत के कोने पर बँधा पशु चौथाई वृत्त में चरता है। रस्सियाँ बराबर हों, तो त्रिभुज के तीनों कोनों पर बँधे पशु कुल मिलाकर एक अर्धवृत्त जितना चरते हैं, और चतुर्भुज के चारों कोनों पर बँधे पशु एक पूरे वृत्त जितना।
• दीर्घ त्रिज्यखंड में कोण $360^\circ - \theta$ लेना होता है।
• त्रिज्यखंड के परिमाप में चाप के साथ दोनों त्रिज्याएँ भी जोड़िए। अकेला चाप परिमाप नहीं होता।

वृत्तखंड और छायांकित भाग

• वृत्तखंड (segment) निकालने के लिए त्रिज्यखंड में से त्रिभुज घटाइए। केंद्रीय कोण $90^\circ$ हो तो इस त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{r^2}{2}$ होता है, और $60^\circ$ या $120^\circ$ हो तो $\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$।
• दीर्घ वृत्तखंड निकालना हो, तो पूरे वृत्त में से लघु वृत्तखंड घटा दीजिए।
• वर्ग के चारों कोनों पर आधी भुजा जितनी त्रिज्या वाले चार चतुर्थांश हों, तो वे मिलकर एक पूरे वृत्त के बराबर होते हैं। बीच का छायांकित भाग $\frac{3}{14}a^2$ होता है।
• एक-दूसरे को छूते तीन बराबर वृत्तों के बीच की खाली जगह निकालनी हो, तो केंद्रों को मिलाकर समबाहु त्रिभुज बनाइए। उसके क्षेत्रफल में से एक अर्धवृत्त घटा दीजिए।
• वर्ग के आमने-सामने के दो कोनों पर भुजा जितनी त्रिज्या वाले चतुर्थांश खींचें, तो बीच में बनी पत्ती का क्षेत्रफल $\frac{4}{7}a^2$ होता है।
• [Tier 2] समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाओं पर बने अर्धचंद्राकार भाग (crescent) मिलकर त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होते हैं।
• छायांकित भाग में हर टुकड़ा अलग निकालिए, फिर ज़रूरत के हिसाब से जोड़िए या घटाइए। सब एक साथ निकालने की कोशिश में गलती होती है।

क्षेत्रफल में परिवर्तन

• हर लंबाई $k$ गुना हो जाए, तो परिमाप भी $k$ गुना होता है, पर क्षेत्रफल $k^2$ गुना।
• एक लंबाई $x\%$ बढ़े और दूसरी $y\%$, तो क्षेत्रफल में $x + y + \frac{xy}{100}$ प्रतिशत परिवर्तन होता है। कोई लंबाई घटी हो, तो उसका मान ऋण चिह्न के साथ रखिए।
• हर लंबाई $x\%$ बढ़े, तो क्षेत्रफल $2x + \frac{x^2}{100}$ प्रतिशत बढ़ता है। जैसे 10% पर 21%, 20% पर 44% और 30% पर 69%।
• एक लंबाई बढ़ जाए और क्षेत्रफल फिर भी उतना ही रखना हो, तो दूसरी लंबाई $\frac{x}{100 + x} \times 100\%$ घटानी पड़ती है।
• क्षेत्रफल से लंबाई का गुणक भी उलटा निकाला जा सकता है। क्षेत्रफल 2.25 गुना हुआ हो, तो लंबाइयाँ $\sqrt{2.25} = 1.5$ गुना हुई हैं।
• सारी लंबाइयाँ एक ही प्रतिशत बढ़ें, तो परिमाप भी उतने ही प्रतिशत बढ़ता है, यानी $x\%$ ही, $2x\%$ नहीं।

परीक्षा से पहले

• प्रश्न पढ़ते ही सबसे पहले इकाइयाँ देखिए। माप सेमी में हैं या मीटर में, पूछा क्षेत्रफल गया है या परिमाप, और दर प्रति वर्ग मीटर है या प्रति मीटर।
• $\pi$ का मान विकल्प देखकर चुनिए। फिर झट से एक कच्चा चित्र बनाइए और हर लंबाई उस पर लिख दीजिए।
• उत्तर कितना बड़ा आया है, यह भी देख लीजिए। किसी आकृति का हिस्सा पूरी आकृति से छोटा ही होगा, और शीर्षलंब अपने दोनों ओर वाली भुजाओं से छोटा होता है।
• विकल्पों में अक्सर वही उत्तर दिए होते हैं जो किसी गलती से आते हैं। जैसे क्षेत्रफल की जगह परिमाप, त्रिज्या की जगह व्यास, $k^2$ की जगह $k$, $\frac{\theta}{360}$ या $-w^2$ छोड़ देना, और अर्धवृत्त का परिमाप बिना व्यास के लेना।
• अभ्यास के लिए इस अध्याय के PYQ अभ्यास सेट हल कीजिए। हर प्रश्न पर लगभग 45 सेकंड लगाइए।