हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 35 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इन्हें जान-बूझकर किसी तय क्रम में नहीं रखा गया है, इसलिए एक आकृति के बाद सीधे कोई दूसरी आकृति आ जाती है। जैसे, मैदान के चारों ओर रास्ते वाले प्रश्न के बाद त्रिज्यखंड (sector) वाला प्रश्न आ सकता है, और पहिये वाले प्रश्न के बाद समलंब वाला।

इसलिए हर प्रश्न में सबसे पहले आकृति पहचानिए और तय कीजिए कि उसका कौन-सा सूत्र लगेगा। इतना हो गया, तो ज़्यादातर उत्तर दो-तीन पंक्तियों में निकल आते हैं।

उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न कागज़ पर ख़ुद हल कीजिए। एक कच्ची (रफ़) आकृति भी ख़ुद बनाइए, प्रश्न के साथ छपी हुई आकृति हो तब भी। जो भी लंबाई दी गई है, उसे आकृति पर लिख दीजिए।

हल शुरू करने से पहले इकाइयाँ देख लीजिए। कई बार एक ही प्रश्न में मीटर भी होते हैं और सेमी भी, और बहुत-से छात्र इसी में चूक जाते हैं। यह भी शुरू में ही तय कर लीजिए कि संख्याओं को देखकर $\pi$ का कौन-सा मान लेना ठीक रहेगा।

टियर 1 का सामान्य प्रश्न लगभग 45 सेकंड में हो जाना चाहिए। किसी प्रश्न में इससे काफ़ी ज़्यादा समय लगे, तो उसका तेज़ रास्ता खोजिए। इसके लिए "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाला खंड देखिए, और अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

अब देखिए कि किस तरह के कितने प्रश्न हैं। लगभग एक-तिहाई प्रश्न वृत्त, त्रिज्यखंड, वलय (ring) और छायांकित भाग (shaded region) के हैं। इतने ही प्रश्न त्रिभुज और चार भुजाओं वाली आकृतियों के हैं। बाकी प्रश्नों में रास्ते, टाइलें और लागत, सम बहुभुज (regular polygon), आकृति के अंदर आकृति, पहिये और क्षेत्रफल में परिवर्तन आते हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। इनमें सूत्र के अलावा एक तरकीब और सोचनी पड़ती है। कहीं समलंब को एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज में काटना होता है, तो कहीं समबाहु त्रिभुज के अंदर कोई बिंदु दिया होता है। एक प्रश्न में एक-दूसरे को काटती दो सड़कें हैं, और उसे लागत से उलटा चलकर हल करना पड़ता है। बाकी दो में सम अष्टभुज और अर्धचंद्राकार भाग (crescent) आते हैं। टियर 1 की तैयारी करने वाले छात्र भी इनमें से पहले तीन ज़रूर हल करें, क्योंकि यही तरकीबें आसान प्रश्नों में भी काम आती हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक वर्ग का विकर्ण 22 सेमी है। उसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विकर्ण दिया हो, तो वर्ग का क्षेत्रफल $= \frac{d^2}{2} = \frac{484}{2}$ = 242 वर्ग सेमी। परिमाप (perimeter) के लिए भुजा चाहिए, जो $\frac{22}{\sqrt{2}} = 11\sqrt{2}$ सेमी है। चारों भुजाएँ जोड़ें, तो परिमाप = $44\sqrt{2}$ सेमी, यानी लगभग 62.2 सेमी।

प्रश्न 2

किसी वृत्त की परिधि उसके व्यास से 45 सेमी अधिक है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परिधि में से व्यास घटाकर देखते हैं। $C - d = \pi d - d = (\pi - 1)d = \frac{15}{7}d$ आता है। यह अंतर 45 सेमी दिया है, तो $\frac{15}{7}d = 45$, जिससे $d = 21$ सेमी और $r = 10.5$ सेमी मिलता है। अब क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$ = 346.5 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

एक त्रिभुज की भुजाएँ 17 सेमी, 39 सेमी और 44 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल तथा सबसे लंबी भुजा पर खींचे गए शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले अर्धपरिमाप निकालते हैं, $s = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50$। फिर $s - a$, $s - b$ और $s - c$ के मान 33, 11 और 6 हैं। तो क्षेत्रफल $= \sqrt{50 \times 33 \times 11 \times 6}$। इतना बड़ा गुणा करने के बजाय गुणनफल को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ लेते हैं। तोड़ने पर $50 \times 33 \times 11 \times 6 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11^2$ मिलता है, और वर्गमूल सीधे निकल आता है। क्षेत्रफल = $2 \times 3 \times 5 \times 11$ = 330 वर्ग सेमी। अब 44 वाली भुजा पर शीर्षलंब (altitude) = $\frac{2 \times 330}{44}$ = 15 सेमी। शीर्षलंब पूरा 15 क्यों आया, यह आकृति देखकर समझ आ जाता है। यह त्रिभुज असल में एक 8-15-17 त्रिभुज और एक 15-36-39 त्रिभुज से मिलकर बना है, और दोनों 15 वाले शीर्षलंब पर जुड़े हैं।

प्रश्न 4

एक आयताकार पार्क 50 मीटर लंबा और 36 मीटर चौड़ा है। पार्क के अंदर उसकी सीमा के साथ-साथ 3 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। ₹25 प्रति वर्ग मीटर की दर से रास्ते को पक्का करने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रास्ता पार्क के अंदर की ओर है, तो अंदर वाले रास्ते का सूत्र लगाते हैं। रास्ते का क्षेत्रफल $= 2w(l + b - 2w) = 6 \times (86 - 6) = 6 \times 80 = 480$ वर्ग मीटर। जाँच भी कर लेते हैं। पूरे पार्क में से अंदर का खुला भाग घटाएँ, तो $50 \times 36 - 44 \times 30 = 1800 - 1320 = 480$ ही आता है। अब लागत $= 480 \times 25$ = ₹12,000।

प्रश्न 5

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $100\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। उसका परिमाप और उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र में रखें, तो $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 100\sqrt{3}$, यानी $a^2 = 400$ और $a = 20$ सेमी। तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए परिमाप = 60 सेमी। ऊँचाई = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 20$ = $10\sqrt{3}$ सेमी, जो लगभग 17.3 सेमी है।

प्रश्न 6

एक कार के पहियों का व्यास 1.26 मीटर है। यदि प्रत्येक पहिया एक मिनट में 250 चक्कर लगाता है, तो कार की चाल किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि जितनी दूरी तय करता है। यह दूरी $\frac{22}{7} \times 1.26 = 3.96$ मीटर है। एक मिनट में 250 चक्कर लगते हैं, तो कार $250 \times 3.96 = 990$ मीटर चलती है। एक घंटे में $990 \times 60 = 59400$ मीटर हुए, यानी कार की चाल 59.4 किमी/घंटा है।

प्रश्न 7

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ 15 सेमी और 20 सेमी हैं, तथा बड़ी भुजाओं के बीच की दूरी 9 सेमी है। उसका क्षेत्रफल और छोटी भुजाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बड़ी भुजा को आधार मान लेते हैं। उस पर ऊँचाई 9 सेमी है, तो क्षेत्रफल $= 20 \times 9$ = 180 वर्ग सेमी। अब छोटी भुजा को आधार लेते हैं। क्षेत्रफल तो वही रहेगा, इसलिए $15 \times h = 180$, और छोटी भुजाओं के बीच की दूरी = 12 सेमी। झटपट जाँच भी कर लेते हैं। हर ऊँचाई अपने पास वाली तिरछी भुजा से छोटी होनी चाहिए, और यहाँ 9 < 15 और 12 < 20 है।

प्रश्न 8

एक वर्ग के अंदर एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि वह वर्ग की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है, और यह वर्ग एक बड़े वृत्त के अंदर इस प्रकार खींचा गया है कि उसके चारों शीर्ष उस वृत्त पर हैं। यदि छोटे वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है, तो वर्ग का क्षेत्रफल और बड़े वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छोटे वृत्त से शुरू करते हैं। $\pi r^2 = 154$ से $r = 7$ सेमी आता है। यह वृत्त वर्ग की चारों भुजाओं को छूता है, तो वर्ग की भुजा इसके व्यास जितनी, यानी 14 सेमी है। वर्ग का क्षेत्रफल = 196 वर्ग सेमी। बड़े वृत्त की त्रिज्या वर्ग के विकर्ण की आधी है, यानी $7\sqrt{2}$ सेमी। तो बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 98$ = 308 वर्ग सेमी। यहाँ दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल 1 : 2 के अनुपात में आए। "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड की तालिका में भी यही अनुपात दिया है।

प्रश्न 9

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई 33 सेमी है और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी है। त्रिज्या और केंद्र पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ चाप और क्षेत्रफल दोनों दिए हैं, तो त्रिज्यखंड वाला सीधा सूत्र सबसे अच्छा रहेगा। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{चाप} \times r$ होता है। मान रखने पर $231 = \frac{1}{2} \times 33 \times r$, तो $r$ = 14 सेमी। अब पूरी परिधि (circumference) 88 सेमी हुई। चाप पूरी परिधि का जितना भाग है, कोण भी पूरे वृत्त के कोण का उतना ही भाग होगा। तो कोण = $\frac{33}{88} \times 360^\circ$ = 135°।

प्रश्न 10

एक आयत की लंबाई में 40% की वृद्धि और उसकी चौड़ाई में 30% की कमी की जाती है। उसके क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दो परिवर्तनों वाला सूत्र लगाते हैं, और कमी को ऋण चिह्न के साथ रखते हैं। इससे $40 - 30 + \frac{40 \times (-30)}{100} = 10 - 12 = -2$ आता है। मतलब क्षेत्रफल 2% घटता है। गुणक से भी यही मिलता है, क्योंकि $1.4 \times 0.7 = 0.98$ है।

प्रश्न 11

7 सेमी त्रिज्या वाले तीन सिक्के एक मेज़ पर इस प्रकार रखे गए हैं कि प्रत्येक सिक्का अन्य दो सिक्कों को स्पर्श करता है। उनके बीच घिरे स्थान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: तीनों सिक्कों के केंद्र मिलाने पर त्रिभुज ABC मिलता है। इसकी हर भुजा दो त्रिज्याओं के बराबर, यानी 14 सेमी है, तो यह समबाहु त्रिभुज है। इसका क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 196 = 49\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। त्रिभुज के अंदर हर कोने पर एक सिक्के का $60^\circ$ वाला त्रिज्यखंड आता है। ऐसे तीन $60^\circ$ त्रिज्यखंड मिलकर एक अर्धवृत्त के बराबर होते हैं, जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 77$ वर्ग सेमी है। तो सिक्कों के बीच घिरा स्थान = $49\sqrt{3} - 77 = 84.868 - 77$ = 7.868 वर्ग सेमी।

प्रश्न 12

एक अर्धवृत्ताकार चाँदे का परिमाप 72 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चाँदे के किनारे में दो हिस्से होते हैं, ऊपर का वक्र भाग और नीचे का सीधा व्यास। तो परिमाप $\pi r + 2r = \frac{22}{7}r + 2r = \frac{36}{7}r$ है। अब $\frac{36}{7}r = 72$ से $r = 14$ सेमी आता है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 196$ = 308 वर्ग सेमी।

प्रश्न 13

10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के अंदर एक सम षट्भुज इस प्रकार खींचा गया है कि उसके छहों शीर्ष वृत्त पर हैं। वृत्त के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो षट्भुज के बाहर है। ($\pi = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.732$ लीजिए।)

उत्तर: वृत्त के अंदर बने सम षट्भुज की भुजा त्रिज्या के बराबर होती है, यानी 10 सेमी। षट्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 100 = 150\sqrt{3} = 259.8$ वर्ग सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल $3.14 \times 100 = 314$ वर्ग सेमी है। तो षट्भुज के बाहर वाला भाग = $314 - 259.8$ = 54.2 वर्ग सेमी।

प्रश्न 14

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 26 सेमी है और उसका क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी है। उसकी अन्य दो भुजाएँ और उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले समकोण बनाने वाली भुजाओं का योग और अंतर निकाल लेते हैं। सूत्र से $(a + b)^2 = c^2 + 4 \times \text{क्षेत्रफल} = 676 + 480 = 1156$ आता है, तो $a + b = 34$। इसी तरह $(a - b)^2 = 676 - 480 = 196$, तो $a - b = 14$। योग और अंतर को जोड़कर आधा करें तो बड़ी भुजा मिलती है, और घटाकर आधा करें तो छोटी। भुजाएँ 24 सेमी और 10 सेमी हैं। परिमाप = $34 + 26$ = 60 सेमी।

प्रश्न 15

एक कमरा 15 मीटर लंबा और 8.4 मीटर चौड़ा है। उसके फ़र्श पर 70 सेमी चौड़ा कालीन बिछाना है, जिसका मूल्य ₹45 प्रति मीटर है। आवश्यक कालीन की लंबाई और कुल लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: फ़र्श का क्षेत्रफल $= 15 \times 8.4 = 126$ वर्ग मीटर है। कालीन की चौड़ाई 70 सेमी, यानी 0.7 मीटर है। तो कालीन की लंबाई = $\frac{126}{0.7}$ = 180 मीटर। अब लागत $= 180 \times 45$ = ₹8,100।

प्रश्न 16

एक त्रिभुज की भुजाएँ 21 सेमी, 45 सेमी और 60 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल, उसकी अंतःत्रिज्या और उसकी परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अर्धपरिमाप $s = 63$ है, और $s - a$, $s - b$, $s - c$ के मान 42, 18 और 3 हैं। क्षेत्रफल $= \sqrt{63 \times 42 \times 18 \times 3} = \sqrt{142884}$ = 378 वर्ग सेमी। अंतःत्रिज्या (inradius) $= \frac{\text{क्षेत्रफल}}{s} = \frac{378}{63}$ = 6 सेमी। परित्रिज्या (circumradius) $= \frac{abc}{4 \times \text{क्षेत्रफल}} = \frac{21 \times 45 \times 60}{1512} = \frac{56700}{1512}$ = 37.5 सेमी।

प्रश्न 17

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 20 सेमी और 21 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, तथा उस वृत्त की त्रिज्या भी ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

उत्तर: पहले क्षेत्रफल वाला वृत्त लेते हैं। $\pi R^2 = \pi(20^2 + 21^2) = 841\pi$, तो $R$ = 29 सेमी। अब परिधि वाला वृत्त लेते हैं। $2\pi R = 2\pi(20 + 21)$, तो $R$ = 41 सेमी। कई छात्र इन दोनों बातों को आपस में मिला देते हैं। क्षेत्रफल जोड़ने पर त्रिज्याओं के वर्ग जुड़ते हैं, जबकि परिधियाँ जोड़ने पर त्रिज्याएँ सीधे जुड़ जाती हैं।

प्रश्न 18

एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 7 सेमी अधिक है। यदि लंबाई में 4 सेमी की कमी और चौड़ाई में 3 सेमी की वृद्धि की जाए, तो क्षेत्रफल वही रहता है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चौड़ाई $b$ मान लेते हैं। लंबाई में से 4 घटाने और चौड़ाई में 3 जोड़ने पर दोनों बराबर हो जाती हैं, तो क्षेत्रफल वाला समीकरण $(b + 7)b = (b + 3)(b + 3)$ होगा। खोलने पर $b^2 + 7b = b^2 + 6b + 9$, यानी $b = 9$। मतलब आयत 16 सेमी लंबा और 9 सेमी चौड़ा है, और उसका क्षेत्रफल 144 वर्ग सेमी है। बदलने के बाद यह 12 सेमी भुजा वाला वर्ग बन जाता है, जिसका क्षेत्रफल भी उतना ही है।

प्रश्न 19 [Tier 2]

एक समलंब ABCD की समांतर भुजाएँ AB = 25 सेमी और DC = 11 सेमी हैं, तथा उसकी अन्य दो भुजाएँ AD = 13 सेमी और BC = 15 सेमी हैं। समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सूत्र लगाने के लिए ऊँचाई चाहिए, जो दी नहीं है। इसलिए C से DA के समांतर एक रेखा CE खींचते हैं, जो AB से E पर मिलती है। अब AECD एक समांतर चतुर्भुज है, तो CE = 13 सेमी और AE = 11 सेमी। बचा हुआ भाग EB $= 25 - 11 = 14$ सेमी है। त्रिभुज EBC की भुजाएँ 13, 14 और 15 हैं, और उसका क्षेत्रफल 84 वर्ग सेमी है। EB पर उसकी ऊँचाई = $\frac{2 \times 84}{14} = 12$ सेमी। यही समलंब (trapezium) की ऊँचाई भी है। तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (25 + 11) \times 12$ = 216 वर्ग सेमी।

प्रश्न 20

एक गाड़ी के अगले पहिये की त्रिज्या 28 सेमी और पिछले पहिये की त्रिज्या 49 सेमी है। जब अगला पहिया, पिछले पहिये से 150 चक्कर अधिक लगा चुका हो, तब तक गाड़ी कितनी दूरी तय कर चुकी होगी?

उत्तर: अगले पहिये की परिधि 176 सेमी है और पिछले की 308 सेमी। मान लेते हैं कि गाड़ी $D$ सेमी चली। अगले पहिये के चक्कर पिछले से 150 ज़्यादा हैं, तो $\frac{D}{176} - \frac{D}{308} = 150$। उभयनिष्ठ हर 1232 लेने पर $\frac{7D - 4D}{1232} = 150$ आता है, जिससे $D = 61600$ सेमी, यानी 616 मीटर। जाँच कर लेते हैं। इतनी दूरी में अगला पहिया 350 चक्कर लगाता है और पिछला 200, और इनका अंतर 150 ही है।

प्रश्न 21

एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 28 सेमी और 45 सेमी हैं। उसके अंतःवृत्त का क्षेत्रफल तथा त्रिभुज के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो अंतःवृत्त के बाहर है। ($\pi = 3.14$ लीजिए।)

उत्तर: 28-45-53 एक पाइथागोरस त्रिक (triplet) है, तो कर्ण (hypotenuse) 53 सेमी है। समकोण त्रिभुज में अंतःत्रिज्या निकालने के लिए समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं के योग में से कर्ण घटाकर आधा कर देते हैं। अंतःत्रिज्या = $\frac{28 + 45 - 53}{2} = 10$ सेमी। अंतःवृत्त (incircle) का क्षेत्रफल = $3.14 \times 100$ = 314 वर्ग सेमी। त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 28 \times 45 = 630$ वर्ग सेमी है। तो वृत्त के बाहर वाला भाग = $630 - 314$ = 316 वर्ग सेमी।

प्रश्न 22

21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है। लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है, तो उसका त्रिज्यखंड एक चतुर्थांश (quarter circle) है, यानी पूरे वृत्त का चौथाई। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल 1386 वर्ग सेमी है, तो चतुर्थांश = $\frac{1386}{4} = 346.5$ वर्ग सेमी। दोनों त्रिज्याओं और जीवा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 220.5$ वर्ग सेमी है। चतुर्थांश में से यह त्रिभुज घटाएँ, तो लघु वृत्तखंड (segment) $= 346.5 - 220.5$ = 126 वर्ग सेमी। पूरे वृत्त में से लघु वृत्तखंड घटाएँ, तो दीर्घ वृत्तखंड $= 1386 - 126$ = 1260 वर्ग सेमी।

प्रश्न 23

24 सेमी लंबा एक लोलक दोलन करते हुए $75^\circ$ का कोण बनाता है। उसके सिरे द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($\pi = 3.14$ लीजिए।)

उत्तर: लोलक की लंबाई ही त्रिज्या है, और दोलन करते हुए उसका सिरा एक चाप (arc) पर चलता है। चाप $= \frac{75}{360} \times 2 \times 3.14 \times 24 = \frac{5}{24} \times 48 \times 3.14 = 10 \times 3.14$ = 31.4 सेमी।

प्रश्न 24

किसी वृत्त की त्रिज्या में 4 सेमी की वृद्धि करने पर उसका क्षेत्रफल 125% बढ़ जाता है। वृत्त की मूल त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: क्षेत्रफल 125% बढ़ा, तो नया क्षेत्रफल पुराने का 2.25 गुना है। क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के हिसाब से बदलता है, इसलिए नई त्रिज्या पुरानी की $\sqrt{2.25} = 1.5$ गुना होगी। मतलब त्रिज्या में जो 4 सेमी जुड़े, वह पुरानी त्रिज्या का आधा है। तो त्रिज्या पहले 8 सेमी थी। जाँच कर लेते हैं। त्रिज्या 8 सेमी से 12 सेमी होने पर क्षेत्रफल $64\pi$ से $144\pi$ हो जाता है, जो 2.25 गुना ही है।

प्रश्न 25

एक वृत्ताकार पार्क का व्यास 63 मीटर है। पार्क के अंदर उसके किनारे के साथ-साथ 3.5 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। रास्ते का क्षेत्रफल तथा ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसे पक्का करने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पार्क की त्रिज्या $R = 31.5$ मीटर है। रास्ता अंदर की ओर है, तो अंदर वाले वृत्त की त्रिज्या $r = 31.5 - 3.5 = 28$ मीटर होगी। रास्ता एक वलय है, तो उसके क्षेत्रफल में दोनों त्रिज्याओं का योग और अंतर लगता है। रास्ते का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (31.5 + 28) \times 3.5 = 22 \times 59.5 \times 0.5$ = 654.5 वर्ग मीटर। अब लागत $= 654.5 \times 20$ = ₹13,090।

प्रश्न 26 [Tier 2]

P, एक समबाहु त्रिभुज ABC के अंदर स्थित एक बिंदु है। P से तीनों भुजाओं की लंबवत दूरियाँ 4 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P को A, B और C से मिला देते हैं। इससे बड़ा त्रिभुज तीन छोटे त्रिभुजों में बँट जाता है। हर छोटे त्रिभुज का आधार बड़े त्रिभुज की एक भुजा है, जिसे $a$ मान लेते हैं। तीनों छोटे त्रिभुज मिलकर पूरा त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए $\frac{1}{2}a(4 + 6 + 8) = \frac{1}{2}a \times h$ लिख सकते हैं। मतलब त्रिभुज की ऊँचाई तीनों दूरियों के योग के बराबर है, यानी $h = 18$ सेमी। अब क्षेत्रफल $= \frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{324}{\sqrt{3}}$ = $108\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। P त्रिभुज के अंदर कहीं भी हो, उत्तर पर इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

प्रश्न 27 [Tier 2]

एक आयताकार लॉन 90 मीटर लंबा और 60 मीटर चौड़ा है। लॉन के बीचोंबीच से होकर समान चौड़ाई की दो सड़कें जाती हैं, जिनमें से एक लंबाई के और दूसरी चौड़ाई के समांतर है। ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से सड़कों पर बजरी बिछाने की लागत ₹8,820 है। सड़कों की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ लागत से उलटा चलना है। सड़कों का क्षेत्रफल = $\frac{8820}{20} = 441$ वर्ग मीटर। बीच में जहाँ दोनों सड़कें एक-दूसरे को काटती हैं, वहाँ का छोटा वर्ग दो बार गिना जाता है, इसलिए उसे एक बार घटाते हैं। तो $w(90 + 60) - w^2 = 441$, यानी $w^2 - 150w + 441 = 0$। गुणनखंड करने पर $(w - 3)(w - 147) = 0$ मिलता है। 147 मीटर चौड़ी सड़क तो लॉन से भी चौड़ी होगी, जो संभव नहीं है। इसलिए सड़कों की चौड़ाई = 3 मीटर।

प्रश्न 28

एक समचतुर्भुज का परिमाप 52 सेमी है और उसका एक विकर्ण 10 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समचतुर्भुज (rhombus) की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, तो प्रत्येक भुजा 13 सेमी है। इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा-आधा बाँटते हैं। दिए गए विकर्ण का आधा 5 है, तो दूसरे विकर्ण का आधा = $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$। यानी दूसरा विकर्ण 24 सेमी है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 24$ = 120 वर्ग सेमी।

प्रश्न 29 [Tier 2]

4 सेमी भुजा वाले एक सम अष्टभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2} = 1.414$ लीजिए।)

उत्तर: सम अष्टभुज (regular octagon) को ऐसा वर्ग मान लेते हैं, जिसके चारों कोने काट दिए गए हों। हर कटा हुआ कोना एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसका कर्ण 4 है। इसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ सेमी हैं। तो वर्ग की भुजा = $2\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2}$ सेमी। वर्ग में से चारों कोने घटाएँ, तो क्षेत्रफल $= (4 + 4\sqrt{2})^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2})^2 = (48 + 32\sqrt{2}) - 16 = 32 + 32\sqrt{2}$। यानी क्षेत्रफल $32(1 + \sqrt{2})$ वर्ग सेमी है, जो लगभग 77.25 वर्ग सेमी होता है। सूत्र $2(1 + \sqrt{2})a^2$ से भी यही आता है।

प्रश्न 30

49 सेमी × 35 सेमी की एक आयताकार शीट से पंक्तियों और स्तंभों में 3.5 सेमी त्रिज्या वाली वृत्ताकार चकतियाँ काटी जाती हैं। कितनी चकतियाँ काटी जा सकती हैं, और शीट का कितना क्षेत्रफल बेकार जाता है?

उत्तर: चकती का व्यास 7 सेमी है, तो हर चकती के लिए 7 सेमी × 7 सेमी का वर्ग चाहिए। शीट में ऐसे $\frac{49}{7} \times \frac{35}{7} = 7 \times 5$ = 35 चकतियाँ आएँगी। ये चकतियाँ $35 \times 38.5 = 1347.5$ वर्ग सेमी ढकती हैं, और पूरी शीट $49 \times 35 = 1715$ वर्ग सेमी की है। तो बेकार जाने वाला क्षेत्रफल 367.5 वर्ग सेमी है। (दूसरी तरह से भी जाँच सकते हैं। हर वर्ग में चकती के बाहर चारों कोनों का भाग बेकार जाता है, जो उस वर्ग का $\frac{3}{14}$ है। पूरी शीट के लिए $\frac{3}{14} \times 1715 = 367.5$ आता है, यानी उत्तर मेल खाता है।)

प्रश्न 31 [Tier 2]

ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें $\angle A = 90^\circ$, AB = 18 सेमी और AC = 24 सेमी है। इसके तीनों शीर्ष उस वृत्त पर स्थित हैं, जिसका व्यास BC है। AB और AC पर बाहर की ओर अर्धवृत्त खींचे गए हैं। दोनों अर्धचंद्राकार भागों (छोटे अर्धवृत्तों के वे भाग, जो बड़े वृत्त के बाहर हैं) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले BC निकालते हैं, जो 30 सेमी है। दोनों छोटे अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल $\frac{\pi}{8}(18^2 + 24^2) = \frac{225\pi}{2}$ है। $18^2 + 24^2 = 30^2$ है, इसलिए यह ठीक BC के ऊपर वाले बड़े वृत्त के आधे भाग के बराबर है। बड़े वृत्त के इस आधे भाग में त्रिभुज है, और AB तथा AC के ऊपर दो पतले वृत्तखंड। छोटे अर्धवृत्तों में से ये दोनों वृत्तखंड हटा दें, तो अर्धचंद्राकार भाग बचते हैं। मतलब अर्धचंद्राकार भाग = आधा वृत्त − दोनों वृत्तखंड, और आधे वृत्त में से दोनों वृत्तखंड हटाने पर केवल त्रिभुज बचता है। तो क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 18 \times 24$ = 216 वर्ग सेमी। उत्तर में $\pi$ आया ही नहीं।

प्रश्न 32

8 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के अंदर एक समबाहु त्रिभुज इस प्रकार खींचा गया है कि उसके तीनों शीर्ष वृत्त पर हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा वृत्त के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो त्रिभुज के बाहर है। (उत्तर $\pi$ के पदों में दीजिए।)

उत्तर: समबाहु त्रिभुज के लिए $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होता है, तो $a = 8\sqrt{3}$ सेमी। त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 192$ = $48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल $64\pi$ वर्ग सेमी है। तो त्रिभुज के बाहर वाला भाग $64\pi - 48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है, जो लगभग 117.9 वर्ग सेमी होता है।

प्रश्न 33

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 50 सेमी है, और उसकी प्रत्येक समान भुजा 17 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परिमाप में से दोनों बराबर भुजाएँ घटा देते हैं, तो आधार = $50 - 34 = 16$ सेमी। आधार पर खींचा गया शीर्षलंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है, इसलिए शीर्षलंब = $\sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ सेमी। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 16 \times 15$ = 120 वर्ग सेमी। सूत्र $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2} = 4 \times \sqrt{900}$ से भी 120 ही आता है।

प्रश्न 34

50 मीटर × 35 मीटर के एक आयताकार मैदान के एक कोने पर एक घोड़ा 21 मीटर लंबी रस्सी से बँधा है। घोड़ा मैदान के कितने क्षेत्रफल में चर सकता है, और कितने क्षेत्रफल में नहीं चर सकता? यदि रस्सी 28 मीटर लंबी कर दी जाए, तो वह कितना अधिक क्षेत्रफल चर सकेगा?

उत्तर: मैदान का कोना समकोण है, तो घोड़ा 21 मीटर त्रिज्या वाले एक चतुर्थांश में चरता है। इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 441$ = 346.5 वर्ग मीटर है। पूरा मैदान 50 × 35 = 1750 वर्ग मीटर का है, तो जिस भाग में घोड़ा नहीं चर सकता, वह $1750 - 346.5$ = 1403.5 वर्ग मीटर है। रस्सी 28 मीटर की कर दें, तब भी वह मैदान की दोनों भुजाओं से छोटी है, तो चराई फिर एक चतुर्थांश में ही होगी। अब चराई का क्षेत्रफल $\frac{2464}{4} = 616$ वर्ग मीटर है, यानी घोड़ा 269.5 वर्ग मीटर अधिक चर सकेगा।

प्रश्न 35

एक वर्ग और एक आयत के परिमाप बराबर हैं। आयत 34 सेमी लंबा और 22 सेमी चौड़ा है। किसका क्षेत्रफल अधिक है, और कितना अधिक?

उत्तर: आयत का परिमाप $2(34 + 22) = 112$ सेमी है। वर्ग का परिमाप भी यही है, तो उसकी भुजा 28 सेमी और क्षेत्रफल 784 वर्ग सेमी है। आयत का क्षेत्रफल $34 \times 22 = 748$ वर्ग सेमी है। तो वर्ग का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी अधिक है। नियम से भी यही आता है, क्योंकि अंतर $\left(\frac{34 - 22}{2}\right)^2 = 6^2$ होता है।