शॉर्टकट और तेज़ तरीके

विकल्प देखकर पाई का मान

क्षेत्रमिति के ज़्यादातर प्रश्नों में एक ही सूत्र लगता है और थोड़ा-सा सीधा हिसाब करना पड़ता है। समय तीन तरह से बचता है। आकृति तुरंत पहचान लीजिए, विकल्प देखकर पाई का मान चुनिए, और संख्याओं को छोटा रखिए। हर तरीके के आख़िर में हम यह भी देखेंगे कि वह कहाँ गलत उत्तर दे देता है।

एक आदत शुरू से ही डाल लीजिए। हर प्रश्न में एक कच्ची आकृति बनाइए और जो लंबाइयाँ दी गई हैं, उन्हें उस पर लिख दीजिए।

अब पाई की बात। वृत्त, अर्धवृत्त, त्रिज्यखंड (sector) या वलय (ring) का कोई भी प्रश्न हो और उसमें $\pi$ का मान न दिया हो, तो हल शुरू करने से पहले विकल्प देख लीजिए। वहीं से पता चल जाता है कि कौन-सा मान लेना है।

• विकल्प 11 या 22 के गुणज हों, जैसे 44, 154, 616 या 1386, या उनके हर में 7 हो, तो $\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए। ऐसे प्रश्नों में त्रिज्या लगभग हमेशा 7 या 3.5 की गुणज होती है, तो हिसाब में 7 कट जाता है।
• विकल्प 31.4, 78.5, 125.6, 314 या 28.26 जैसे हों, तो $\pi = 3.14$ लीजिए। तब त्रिज्या प्रायः 5 या 10 की गुणज होती है।
• विकल्पों में $\pi$ लिखा हो, जैसे $49\pi$ वर्ग सेमी, तो $\pi$ को अक्षर ही रहने दीजिए। उसकी जगह कोई संख्या रखकर गुणा करने न बैठिए।

$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर ये मान ज़बानी याद होने चाहिए।

परिधि या क्षेत्रफल से त्रिज्या निकालनी हो, तो वह भी आसान है। परिधि $C$ दी हो, तो त्रिज्या $\frac{7C}{44}$ होती है। क्षेत्रफल $A$ दिया हो, तो $r^2 = \frac{7A}{22}$।

प्रश्न 1

एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल 1256 वर्ग सेमी है। उसकी परिधि कितनी है? (a) 125.6 सेमी (b) 132 सेमी (c) 62.8 सेमी (d) 251.2 सेमी

उत्तर: चार में से तीन विकल्प 3.14 के गुणज हैं, और 1256 भी $3.14 \times 400$ ही है। तो यहाँ $\pi = 3.14$ लेंगे। अब $r^2 = 400$, यानी $r = 20$ सेमी। परिधि $C = 2 \times 3.14 \times 20$ = 125.6 सेमी, जो विकल्प (a) है। 251.2 सेमी तब आता है, जब व्यास को ही त्रिज्या मान लिया जाए।

पूरा प्रश्न लगभग 15 सेकंड में हो जाता है।

पाई चुनते समय तीन बातों का ध्यान रखिए।

• प्रश्न में $\pi$ का मान दिया हो, तो वही लीजिए, चाहे संख्याएँ कितनी भी बेढंगी आएँ।
• पाई के इन दोनों मानों में 0.1% से भी कम का अंतर है, तो कभी-कभी दो विकल्प बहुत पास-पास होते हैं, जैसे 154 और 153.86। तब प्रश्न में दिया गया मान ही तय करता है कि कौन-सा विकल्प ठीक है। कुछ न दिया हो, तो SSC में $\frac{22}{7}$ ही माना जाता है।
• ऊपर की तालिका केवल $\frac{22}{7}$ के लिए है। 3.14 लें और त्रिज्या 10 हो, तो परिधि 62.8 और क्षेत्रफल 314 आता है।

[SSC टिप] परिधि पता हो, तो क्षेत्रफल $\frac{C^2}{4\pi}$ होता है। यह $\frac{1}{2} \times C \times r$ के ही बराबर है। जैसे परिधि 88 सेमी हो, तो त्रिज्या तालिका में ही दिख जाती है, और सीधे $\frac{1}{2} \times 88 \times 14 = 616$ वर्ग सेमी लिख दीजिए।

क्षेत्रफल का पैमाना और प्रतिशत परिवर्तन

कई प्रश्नों में आकृति की भुजाएँ या त्रिज्या किसी गुणक (multiplier) से गुणा कर दी जाती हैं, या कुछ प्रतिशत बढ़ा-घटा दी जाती हैं, और पूछा जाता है कि क्षेत्रफल कितना बदला। यहाँ नई आकृति का पूरा क्षेत्रफल निकालने की ज़रूरत नहीं होती। ये चार नियम काफ़ी हैं।

• आकृति की हर लंबाई को $k$ से गुणा कर दें, तो परिमाप भी $k$ गुना होता है, पर क्षेत्रफल $k^2$ गुना। त्रिज्या दोगुनी करें, तो क्षेत्रफल 4 गुना हो जाता है। वर्ग की भुजा तिगुनी करें, तो क्षेत्रफल 9 गुना।
• एक लंबाई $x\%$ बदले और दूसरी $y\%$, तो क्षेत्रफल में परिवर्तन इतना होगा।

$$x + y + \frac{xy}{100} \text{ प्रतिशत}$$

कमी हो, तो उसे ऋणात्मक संख्या के रूप में रखिए। यह सूत्र आयत (लंबाई और चौड़ाई), त्रिभुज (आधार और ऊँचाई) और समांतर चतुर्भुज, तीनों पर लगता है।

• हर लंबाई $x\%$ बढ़े, जैसे वर्ग की भुजा या वृत्त की त्रिज्या, तो $y = x$ रख दीजिए। क्षेत्रफल में $2x + \frac{x^2}{100}$ प्रतिशत की वृद्धि होगी। 10% बढ़ाने पर 21%, 20% पर 44% और 30% पर 69% की वृद्धि होती है।
• क्षेत्रफल वही रखना है और एक लंबाई $x\%$ बढ़ गई, तो दूसरी में $\frac{x}{100 + x} \times 100$ प्रतिशत की कमी करनी होगी। 25% वृद्धि हो तो 20% कमी, और 50% वृद्धि हो तो $33\frac{1}{3}\%$ कमी।

प्रश्न 2

एक आयत की लंबाई में 35% की वृद्धि और उसकी चौड़ाई में 20% की कमी की जाती है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत का परिवर्तन होता है?

उत्तर: लंबाई बढ़ी है और चौड़ाई घटी है, तो $x = 35$ और $y = -20$ रखते हैं। $35 - 20 + \frac{35 \times (-20)}{100} = 15 - 7 = 8$, यानी क्षेत्रफल में 8% की वृद्धि हुई। गुणकों से जाँच भी हो जाती है, $1.35 \times 0.8 = 1.08$।

इसमें मुश्किल से 10 सेकंड लगते हैं।

इस तरीके में चार जगह सावधानी चाहिए।

• लंबाई किसी तय मात्रा से बदले, जैसे 3 सेमी बढ़ जाए, तो प्रतिशत वाला यह शॉर्टकट नहीं लगेगा। तब नया क्षेत्रफल सीधे निकालिए।
• परिमाप $k^2$ के हिसाब से नहीं बदलता। हर भुजा में 20% वृद्धि हो, तो परिमाप भी ठीक 20% ही बढ़ता है।
• वृत्त में एक ही लंबाई होती है, त्रिज्या। पर $\pi r^2$ में त्रिज्या दो बार आती है। तो वहाँ $2x + \frac{x^2}{100}$ लगाइए, केवल $x$ नहीं।
• उलटा प्रश्न भी आता है। क्षेत्रफल 44% बढ़ा और पूछा गया कि त्रिज्या कितनी बदली। तब गुणक का वर्गमूल लीजिए। $\sqrt{1.44} = 1.2$, यानी त्रिज्या 20% बढ़ी, 22% नहीं।

एक पंक्ति में समबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज के प्रश्न में भुजा, ऊँचाई, परिमाप या क्षेत्रफल में से कोई एक चीज़ दी होती है और कोई दूसरी पूछी जाती है। हर चीज़ को भुजा $a$ से जोड़कर सोचिए, यही सबसे सीधा रास्ता है। ऊँचाई आधार को दो बराबर भागों में बाँटती है, तो $h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ मिलता है।

बाकी सब इसी से निकल आता है।

• क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ और परिमाप $= 3a$।
• ऊँचाई दी हो, तो भुजा निकाले बिना क्षेत्रफल $= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$ लिखिए। भुजा चाहिए, तो वह $\frac{2h}{\sqrt{3}}$ होती है।
• परिमाप $P$ दिया हो, तो क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{36}P^2$। जैसे परिमाप 30 सेमी हो, तो क्षेत्रफल $25\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है।
• क्षेत्रफल $k\sqrt{3}$ दिया हो, तो $a^2 = 4k$।

प्रश्न 3

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 9 सेमी है। उसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ऊँचाई दी है, तो सीधे ऊँचाई वाला सूत्र लगाते हैं। क्षेत्रफल $= \frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{81}{\sqrt{3}} = 27\sqrt{3}$, यानी क्षेत्रफल $27\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है, जो लगभग 46.8 वर्ग सेमी होता है। परिमाप के लिए भुजा चाहिए। भुजा $\frac{2 \times 9}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ सेमी है, और तीनों भुजाएँ जोड़ें, तो परिमाप $18\sqrt{3}$ सेमी आता है।

दोनों चीज़ें करीब 15 सेकंड में निकल आती हैं।

इन सूत्रों के साथ दो गलतियाँ बहुत होती हैं।

• ये सूत्र केवल समबाहु त्रिभुज के हैं। समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ $a$ हों और आधार $b$, तो क्षेत्रफल $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$ होता है।
• वर्गमूल अंश में है या हर में, यह ध्यान से देखिए। ऊँचाई से क्षेत्रफल $\frac{h^2}{\sqrt{3}}$ है, $h^2\sqrt{3}$ नहीं। $h = 9$ पर गलत सूत्र $81\sqrt{3}$ देगा, जो ठीक मान से तीन गुना बड़ा है।

[SSC टिप] भुजा पूर्ण संख्या हो, तो समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल में हमेशा $\sqrt{3}$ आता है। प्रश्न दशमलव में उत्तर न माँगे, तो जिन विकल्पों में $\sqrt{3}$ नहीं है, उन्हें हटा दीजिए।

त्रिक वाले त्रिभुज और हीरोन का सूत्र

त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों और क्षेत्रफल या कोई शीर्षलंब (altitude) पूछा जाए, तो तुरंत हीरोन का सूत्र लगाने से पहले एक बार देख लीजिए कि भुजाएँ किसी जाने-पहचाने परिवार की तो नहीं हैं।

• समकोण त्रिभुज तो नहीं? देखिए कि $a^2 + b^2 = c^2$ है या नहीं। अगर है, तो क्षेत्रफल बस $\frac{1}{2}ab$ है। इसके लिए पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) पहचानने की आदत डालिए, जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 और 9-40-41, और इनके गुणज भी।
• 13-14-15 परिवार। यह त्रिभुज असल में दो समकोण त्रिभुजों, 5-12-13 और 9-12-15, से मिलकर बना है, जो 12 लंबे शीर्षलंब के दोनों ओर जुड़े हैं। इसलिए इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 14 \times 12 = 84$ है। भुजाएँ $13k$, $14k$ और $15k$ हों, तो क्षेत्रफल $84k^2$ होगा।

• ऐसे ही और जोड़े। 10-17-21 वाला त्रिभुज भी 6-8-10 और 8-15-17 से बना है, जो 8 लंबे शीर्षलंब के दोनों ओर जुड़े हैं। इसका क्षेत्रफल भी 84 है। समद्विबाहु त्रिभुज में एक जैसे दो समकोण त्रिभुज जुड़े होते हैं। 13-13-10 का क्षेत्रफल 60 है और 37-37-24 का 420।
• कुछ न मिले, तो हीरोन। पहले $s = \frac{a + b + c}{2}$ निकालिए, फिर क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$। गुणा करने से पहले हर गुणनखंड को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ लीजिए, तो वर्गमूल आसानी से निकल आता है।

प्रश्न 4

39 सेमी, 42 सेमी और 45 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा 42 सेमी वाली भुजा पर उसका शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 39, 42 और 45 ठीक 13, 14 और 15 के 3 गुने हैं। लंबाइयाँ 3 गुनी हुईं, तो क्षेत्रफल $84 \times 3^2$ = 756 वर्ग सेमी होगा। मूल त्रिभुज में 14 वाली भुजा पर शीर्षलंब 12 था, तो यहाँ 42 वाली भुजा पर वह $12 \times 3$ = 36 सेमी होगा। चाहें तो हीरोन से जाँच लीजिए, $s = 63$ और $\sqrt{63 \times 24 \times 21 \times 18} = 756$।

परिवार पहचान में आ जाए, तो यह 15 सेकंड का प्रश्न है।

पहचान करते समय तीन बातें ध्यान में रखिए।

• पैमाना बदलने पर क्षेत्रफल $k^2$ गुना होता है, $k$ गुना नहीं। जैसे 6.5, 7 और 7.5 भी इसी परिवार के हैं, जहाँ $k = \frac{1}{2}$ है। इनका क्षेत्रफल $\frac{84}{4} = 21$ है, 42 नहीं।
• 13, 14, 16 या 12, 14, 15 इस परिवार के नहीं हैं। इनके लिए हीरोन ही लगाइए।
• सबसे पहले यह जाँचिए कि त्रिभुज बनता भी है या नहीं, यानी किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा है या नहीं। 4, 6 और 11 से कोई त्रिभुज बनता ही नहीं, क्योंकि $4 + 6 < 11$ है।

समकोण त्रिभुज: क्षेत्रफल और शीर्षलंब ab/c

समकोण त्रिभुज में अक्सर क्षेत्रफल, कर्ण या कर्ण पर शीर्षलंब पूछा जाता है। मान लीजिए समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a$ और $b$ हैं और कर्ण $c$ है। क्षेत्रफल दो तरह से लिखा जा सकता है, $\frac{1}{2}ab$ और $\frac{1}{2} \times c \times h$, जहाँ $h$ कर्ण पर शीर्षलंब है। दोनों को बराबर रखें, तो सीधा सूत्र मिल जाता है।

$$h = \frac{ab}{c}$$

इसी त्रिभुज से दो चीज़ें और मिलती हैं।

• अंतःत्रिज्या (inradius) $r = \frac{a + b - c}{2}$ और परित्रिज्या (circumradius) $R = \frac{c}{2}$, क्योंकि त्रिभुज के चारों ओर बने वृत्त का व्यास कर्ण ही होता है।
• कर्ण और क्षेत्रफल पता हों, तो $(a + b)^2 = c^2 + 4 \times \text{क्षेत्रफल}$ और $(a - b)^2 = c^2 - 4 \times \text{क्षेत्रफल}$। इनसे दोनों भुजाएँ निकल आती हैं, द्विघात समीकरण हल नहीं करना पड़ता।

प्रश्न 5

एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 33 सेमी और 44 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल और कर्ण पर शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 33 और 44 ठीक 3 और 4 के 11 गुने हैं, यानी यह 33-44-55 वाला त्रिभुज है, जो 3-4-5 का ही बड़ा रूप है। तो कर्ण $c = 55$ है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 33 \times 44$ = 726 वर्ग सेमी। कर्ण पर शीर्षलंब $= \frac{33 \times 44}{55} = \frac{1452}{55}$ = 26.4 सेमी। हाथों-हाथ अंतःत्रिज्या भी निकल आती है, $\frac{33 + 44 - 55}{2} = 11$ सेमी।

क्षेत्रफल और शीर्षलंब, दोनों निकालने में लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

यहाँ तीन बातें जाँच लीजिए।

• $a$ और $b$ समकोण बनाने वाली भुजाएँ ही होनी चाहिए। कर्ण और एक भुजा दी हो, तो पहले दूसरी भुजा निकालिए।
• $\frac{ab}{c}$ केवल कर्ण पर शीर्षलंब देता है। किसी एक भुजा पर शीर्षलंब तो सीधे दूसरी भुजा ही है।
• कर्ण पर शीर्षलंब दोनों भुजाओं से छोटा होता है। उत्तर किसी भुजा से बड़ा आए, तो कहीं चूक हुई है।

दो सुरागों से आयत की भुजाएँ

कभी आयत की भुजाएँ नहीं दी होतीं। परिमाप, क्षेत्रफल और विकर्ण में से दो चीज़ें दी होती हैं, और भुजाएँ या तीसरी चीज़ पूछी जाती है। ऐसे में द्विघात समीकरण बनाने की जगह $l + b$ और $lb$ से काम चलाइए। $l^2 + b^2 = d^2$ होता है, इसलिए ये दो सूत्र मिलते हैं।

$$(l + b)^2 = d^2 + 2 \times \text{क्षेत्रफल}, \qquad (l - b)^2 = d^2 - 2 \times \text{क्षेत्रफल}$$

• परिमाप $P$ और क्षेत्रफल दिए हों, तो $l + b = \frac{P}{2}$ लीजिए, फिर $(l - b)^2 = (l + b)^2 - 4 \times \text{क्षेत्रफल}$। जैसे $P = 46$ और क्षेत्रफल 120 हो, तो $l + b = 23$ और $(l - b)^2 = 529 - 480 = 49$। भुजाएँ 15 और 8 हैं, और विकर्ण 17।
• परिमाप और विकर्ण दिए हों, तो $2 \times \text{क्षेत्रफल} = (l + b)^2 - d^2$।
• $l + b$ और $l - b$ मिल गए, तो दोनों को जोड़कर आधा कर दीजिए। $l$ आ जाएगा।

प्रश्न 6

एक आयताकार भूखंड का विकर्ण 41 मीटर और उसका क्षेत्रफल 360 वर्ग मीटर है। उसका परिमाप और उसकी भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विकर्ण और क्षेत्रफल दिए हैं, तो पहले योग निकालते हैं। $(l + b)^2 = 41^2 + 2 \times 360 = 1681 + 720 = 2401$, तो $l + b = 49$ और परिमाप 98 मीटर है। अब $(l - b)^2 = 1681 - 720 = 961$, यानी $l - b = 31$। दोनों को जोड़ने पर $2l = 80$ आता है, तो भुजाएँ 40 मीटर और 9 मीटर हैं।

यह थोड़ा लंबा है, फिर भी लगभग 30 सेकंड में हो जाता है।

इस तरीके में तीन बातें याद रखिए।

• परिमाप $2(l + b)$ होता है। वर्ग करने से पहले उसे आधा करना न भूलिए।
• $(l - b)^2$ ऋणात्मक आ जाए, तो ऐसे आँकड़े हो ही नहीं सकते। प्रश्न दोबारा पढ़िए।
• वर्ग में $l - b = 0$ होता है। तब $d^2 = 2 \times \text{क्षेत्रफल}$, यानी वही जाना-पहचाना सूत्र, क्षेत्रफल $= \frac{d^2}{2}$।

एक बात और। बराबर परिमाप वाले सब आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है। वह आयत से ठीक $\left(\frac{l - b}{2}\right)^2$ अधिक होता है।

मैदान के बाहर या अंदर रास्ता, एक सूत्र

आयताकार मैदान की चारों भुजाओं के साथ-साथ एक ही चौड़ाई $w$ का रास्ता बना हो, तो यह तरीका लगाइए। रास्ता मैदान के बाहर हो या अंदर, और उसे किनारी, बरामदा या हाशिया कुछ भी कहा जाए, हिसाब एक ही है। रास्ते का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और उसकी बीच वाली रेखा की लंबाई का गुणा होता है। आकृति में यह बीच वाली रेखा टूटी रेखा से दिखाई गई है।

• $l \times b$ वाले मैदान के बाहर रास्ता हो, तो क्षेत्रफल $= 2w(l + b + 2w)$।
• अंदर रास्ता हो, तो क्षेत्रफल $= 2w(l + b - 2w)$।
• भुजा $a$ वाला वर्गाकार मैदान हो, तो बाहर वाले रास्ते का क्षेत्रफल $4w(a + w)$ और अंदर वाले का $4w(a - w)$।

सूत्र क्यों सही है, यह भी समझ लीजिए। बड़े आयत में से मैदान घटाएँ, तो $(l + 2w)(b + 2w) - lb = 2w(l + b) + 4w^2$ आता है, जो ऊपर वाला सूत्र ही है। इसमें $4w^2$ कोनों पर बने चार छोटे वर्ग हैं।

प्रश्न 7

60 मीटर लंबे और 40 मीटर चौड़े एक आयताकार बगीचे के चारों ओर बाहर की तरफ़ 2.5 मीटर चौड़ा रास्ता बना है। ₹12 प्रति वर्ग मीटर की दर से रास्ते को पक्का करने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रास्ता बाहर की तरफ़ है, तो बाहर वाला सूत्र लगेगा। क्षेत्रफल $= 2 \times 2.5 \times (60 + 40 + 5) = 5 \times 105 = 525$ वर्ग मीटर। लागत $= 525 \times 12$ = ₹6,300। जाँच के लिए बड़े आयत में से बगीचा घटा लेते हैं, $65 \times 45 - 60 \times 40 = 2925 - 2400 = 525$।

बाहर वाला सूत्र याद हो, तो लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

रास्ते वाले प्रश्नों में चार बातों पर नज़र रखिए।

• बाहर या अंदर, इससे केवल कोष्ठक में $2w$ का चिह्न बदलता है। इसलिए प्रश्न में यह शब्द दो बार पढ़िए।
• रास्ता केवल कुछ भुजाओं के साथ हो, तो कोनों वाले वर्ग नहीं बनते। तब हर पट्टी अलग से निकालकर जोड़िए।
• अंदर वाला रास्ता छोटी भुजा के आधे से कम ही चौड़ा हो सकता है। 40 मीटर चौड़े बगीचे के अंदर 25 मीटर चौड़ा रास्ता असंभव है।
• बाहर वाले रास्ते की बाहरी सीमा $2(l + b + 4w)$ होती है। बाड़ इसी पर लगती है।

बीचोंबीच एक-दूसरे को काटती सड़कें

आयताकार मैदान के बीचोंबीच से $w$ चौड़ाई की दो सड़कें जाती हैं, एक लंबाई के समांतर और दूसरी चौड़ाई के समांतर, और दोनों एक-दूसरे को काटती हैं। सड़कों की जगह रास्ते या कालीन की पट्टियाँ भी हो सकती हैं। इनका क्षेत्रफल इस सूत्र से निकालिए।

$$\text{सड़कों का क्षेत्रफल} = w(l + b) - w^2$$

दोनों पट्टियाँ $w \times l$ और $w \times b$ की हैं। पर जहाँ दोनों काटती हैं, वह वर्ग (आकृति में पीला) दोनों पट्टियों में आता है। मतलब वह दो बार गिना गया, तो उसे एक बार घटा देते हैं। बची हुई घास चार टुकड़ों में होती है, और उसका कुल क्षेत्रफल $(l - w)(b - w)$ है।

प्रश्न 8

एक पार्क की माप 80 मीटर × 55 मीटर है। पार्क के बीचोंबीच से होकर 4 मीटर चौड़ी दो सड़कें जाती हैं, जिनमें से एक पार्क की एक भुजा के समांतर है और दूसरी उससे लगी भुजा के समांतर। ₹15 प्रति वर्ग मीटर की दर से सड़कों पर बजरी बिछाने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्याएँ सीधे सूत्र में रख देते हैं। क्षेत्रफल $= 4 \times (80 + 55) - 4^2 = 540 - 16 = 524$ वर्ग मीटर। लागत $= 524 \times 15$ = ₹7,860। बची घास से जाँच कर लेते हैं। घास $76 \times 51 = 3876$ वर्ग मीटर है, और पूरे पार्क में से सड़कें घटाने पर भी $4400 - 524 = 3876$ ही आता है।

एक ही सूत्र है, तो 15 सेकंड के आसपास में हो जाता है।

इस सूत्र के साथ तीन बातें और समझ लीजिए।

• $-w^2$ भूल जाना सबसे आम गलती है, और उससे आने वाला गलत मान अक्सर विकल्पों में होता है। यहाँ यह गलती 540 वर्ग मीटर और ₹8,100 देती।
• दोनों सड़कें एक ही दिशा में हों, जैसे दोनों लंबाई के समांतर, तो वे कभी नहीं काटतीं। तब क्षेत्रफल बस $2wl$ है।
• दो सड़कें एक कोने पर मिलने वाले दो किनारों के साथ-साथ हों, तो वे भी एक $w \times w$ वर्ग में एक-दूसरे पर चढ़ती हैं। वहाँ भी यही सूत्र लगता है।

म.स. से सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल

फ़र्श पर एक जैसी वर्गाकार टाइलें लगानी हैं और कोई टाइल काटनी नहीं है। पूछा जाता है कि सबसे बड़ी टाइल कितनी बड़ी हो सकती है, या कम से कम कितनी टाइलें लगेंगी। ऐसे प्रश्न इस क्रम में कीजिए।

• दोनों भुजाओं को एक ही इकाई में लिखिए, प्रायः सेमी में।
• सबसे बड़ी टाइल की भुजा लंबाई और चौड़ाई का महत्तम समापवर्तक (म.स., HCF) होती है। म.स. जल्दी निकालने के तरीके अध्याय 1 में संख्या पद्धति के साथ दिए गए हैं।
• टाइलों की न्यूनतम संख्या $= \frac{l}{\text{म.स.}} \times \frac{b}{\text{म.स.}}$। यह फ़र्श का क्षेत्रफल ÷ टाइल का क्षेत्रफल ही है, पर इस तरह संख्याएँ छोटी रहती हैं।
• टाइल का माप पहले से दिया हो, तो टाइलों की संख्या = फ़र्श का क्षेत्रफल ÷ एक टाइल का क्षेत्रफल, बशर्ते टाइलें ठीक-ठीक आ जाएँ।
• $w$ चौड़ा कालीन बिछाना हो, तो कालीन की लंबाई = फ़र्श का क्षेत्रफल ÷ $w$। लागत उस लंबाई को प्रति मीटर दर से गुणा करके निकलती है।

प्रश्न 9

एक कमरा 6 मीटर 24 सेमी लंबा और 4 मीटर 32 सेमी चौड़ा है। उसके फ़र्श को ठीक-ठीक ढकने वाली एक जैसी वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले सब कुछ सेमी में बदलते हैं, तो भुजाएँ 624 सेमी और 432 सेमी हुईं। अब $\text{म.स.}(624, 432) = 48$, तो सबसे बड़ी टाइल 48 सेमी × 48 सेमी की होगी। टाइलें $\frac{624}{48} \times \frac{432}{48} = 13 \times 9$ = 117 लगेंगी।

कुल मिलाकर लगभग 30 सेकंड लगते हैं, और उनमें से ज़्यादातर म.स. निकालने में जाते हैं।

टाइल वाले प्रश्नों में छात्र तीन जगह चूकते हैं।

• इकाइयों का घालमेल। 6 मीटर 24 सेमी का मतलब 624 सेमी है, 6.24 सेमी या 62.4 सेमी नहीं। म.स. निकालने से पहले ही इकाई बदल लीजिए।
• म.स. और लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स., LCM) में उलझ जाना। न्यूनतम टाइलों के लिए सबसे बड़ी टाइल चाहिए, और वह म.स. से मिलती है। ल.स. का यहाँ कोई काम नहीं है।
• टाइल का माप तय हो और वह किसी भुजा को पूरा-पूरा न बाँटे, तो कुछ टाइलें काटनी पड़ेंगी। तब क्षेत्रफल ÷ टाइल का क्षेत्रफल केवल न्यूनतम गिनती बताता है।

कालीन वाले प्रश्न में पहले कालीन की चौड़ाई मीटर में बदलिए। जैसे 12 मीटर × 9 मीटर के कमरे में 75 सेमी चौड़ा कालीन बिछाना हो, तो $\frac{108}{0.75} = 144$ मीटर कालीन लगेगा।

ऊँचाई के बिना समचतुर्भुज और समलंब

समचतुर्भुज में ऊँचाई शायद ही कभी दी जाती है। उसके विकर्ण या भुजा दिए होते हैं। समलंब में भी कई बार ऊँचाई छिपी रहती है। दोनों के लिए अलग-अलग छोटा रास्ता है।

समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा-आधा काटते हैं। इसलिए उसकी भुजा उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ दोनों विकर्णों के आधे हैं।

• क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}d_1d_2$, भुजा $= \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$ और परिमाप $= 2\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$।
• भुजा $a$ और एक विकर्ण $d_1$ पता हो, तो दूसरे विकर्ण का आधा $\sqrt{a^2 - \left(\frac{d_1}{2}\right)^2}$ होता है।
• ऊँचाई चाहिए, तो ऊँचाई $= \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{भुजा}}$।

समलंब का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(a + b)h$ होता है, यानी समांतर भुजाओं के योग के आधे को ऊँचाई से गुणा करते हैं। क्षेत्रफल दिया हो, तो ऊँचाई $h = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{a + b}$। समद्विबाहु समलंब में ऊँचाई न दी हो, तो छोटी समांतर भुजा के दोनों सिरों से बड़ी भुजा पर लंब डालिए। हर ओर $\frac{a - b}{2}$ का हिस्सा बाहर निकला रहता है। अब तिरछी भुजा के साथ पाइथागोरस लगाइए, ऊँचाई आ जाएगी।

प्रश्न 10

एक समचतुर्भुज की भुजा 41 सेमी और उसका एक विकर्ण 18 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिए गए विकर्ण का आधा 9 है। तो दूसरे विकर्ण का आधा $\sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$ हुआ, जो 9-40-41 त्रिक से सीधे भी दिख जाता है। दूसरा विकर्ण 80 सेमी है, और क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 18 \times 80$ = 720 वर्ग सेमी।

प्रश्न 11

एक समद्विबाहु समलंब की समांतर भुजाएँ 26 सेमी और 8 सेमी हैं तथा उसकी प्रत्येक तिरछी भुजा 15 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर ओर बाहर निकला हिस्सा $\frac{26 - 8}{2} = 9$ सेमी है। तिरछी भुजा यहाँ कर्ण है, तो ऊँचाई $\sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ सेमी। अब क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (26 + 8) \times 12$ = 204 वर्ग सेमी।

पर ये दोनों तरीके हर जगह नहीं चलते।

• $\frac{1}{2}d_1d_2$ तभी लगता है, जब विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटें, जैसे समचतुर्भुज, वर्ग या पतंग में। समांतर चतुर्भुज या आयत में आधार × ऊँचाई ही लीजिए।
• बाहर निकले हिस्से वाला तरीका तभी चलता है, जब दोनों तिरछी भुजाएँ बराबर हों। असमान हों, तो एक तिरछी भुजा को खिसकाकर एक त्रिभुज बनाइए, जिसकी भुजाएँ पहली तिरछी भुजा, दूसरी तिरछी भुजा और $a - b$ हों। हीरोन से इस त्रिभुज की ऊँचाई निकालिए। वही समलंब की ऊँचाई है।

छह समबाहु त्रिभुजों वाला सम षट्भुज

सम षट्भुज (regular hexagon) की भुजा, परिमाप, कोई विकर्ण या उससे जुड़ा कोई वृत्त दिया हो, तो सबसे पहले उसे टुकड़ों में बाँट लीजिए। केंद्र को छहों शीर्षों से मिलाइए। हर टुकड़े का केंद्र पर कोण $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ होता है। ये छहों टुकड़े समबाहु त्रिभुज हैं, और हर एक की भुजा $a$ है।

अब हर बात इन्हीं त्रिभुजों से निकलती है।

• क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ और परिमाप $= 6a$।
• सबसे लंबा विकर्ण $= 2a$, क्योंकि उसमें दो त्रिभुजों की भुजाएँ एक सीधी रेखा में आती हैं। आकृति में यह नीली रेखा है। छोटा विकर्ण $= \sqrt{3}a$ होता है।
• शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या $a$ है। अंदर वाले वृत्त की त्रिज्या $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ है, जो एक त्रिभुज की ऊँचाई ही है।
• एक छोड़कर एक शीर्ष मिलाएँ, तो एक समबाहु त्रिभुज बनता है, जिसका क्षेत्रफल षट्भुज का ठीक आधा होता है।

प्रश्न 12

एक सम षट्भुज का सबसे लंबा विकर्ण 16 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे लंबा विकर्ण भुजा का दोगुना होता है, तो भुजा $\frac{16}{2} = 8$ सेमी है। अब क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ = $96\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

भुजा पता चलते ही उत्तर आ जाता है, लगभग 10 सेकंड में।

षट्भुज में दो बातों का ध्यान रखिए।

• छोटा विकर्ण $\sqrt{3}a$ होता है, $2a$ नहीं। प्रश्न पढ़ते समय देख लीजिए कि कौन-सा विकर्ण दिया है।
• केंद्र से जोड़ने पर समबाहु त्रिभुजों में केवल षट्भुज ही बँटता है। बाकी सम बहुभुजों में केंद्र पर कोण $60^\circ$ नहीं होता। [Tier 2] भुजा $a$ वाले सम अष्टभुज का क्षेत्रफल $2(1 + \sqrt{2})a^2$ होता है।

सम आकृतियों के अंदर और बाहर वृत्त

वर्ग, समबाहु त्रिभुज या सम षट्भुज के अंदर ऐसा वृत्त बना हो जो हर भुजा को छूता है, तो वह अंतःवृत्त (incircle) है। बाहर ऐसा वृत्त हो जो हर शीर्ष से होकर जाता है, तो वह परिवृत्त (circumcircle) है। इनके लिए नीचे की तालिका एक बार याद कर लीजिए। अंदर वाले वृत्त की त्रिज्या $r$ है और बाहर वाले की $R$।

दो बातें और काम आती हैं।

• त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के अंदर वर्ग बना हो, तो उसका विकर्ण $2r$ होता है, और क्षेत्रफल $2r^2$।
• समकोण त्रिभुज में $R = \frac{c}{2}$ और $r = \frac{a + b - c}{2}$।

प्रश्न 13

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 21 सेमी है। उसके परिवृत्त और अंतःवृत्त के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समबाहु त्रिभुज में $R^2 = \frac{a^2}{3} = \frac{441}{3} = 147$ आता है। तो बाहर वाले वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 147$ = 462 वर्ग सेमी है। तालिका में अनुपात 1 : 4 है, तो अंदर वाले वृत्त का क्षेत्रफल इसका एक-चौथाई, यानी 115.5 वर्ग सेमी है।

दोनों क्षेत्रफल निकालने में करीब 20 सेकंड जाते हैं।

यहाँ तीन बातें और जान लीजिए।

• आयत में ऐसा कोई वृत्त नहीं होता, जो चारों भुजाओं को छुए। उसके अंदर सबसे बड़ा वृत्त बनाएँ, तो उसका व्यास आयत की चौड़ाई के बराबर होगा।
• त्रिभुज न समबाहु हो, न समकोण, तो क्षेत्रफल $= rs$ और क्षेत्रफल $= \frac{abc}{4R}$ लगाइए, जहाँ s अर्धपरिमाप है। ये सूत्र "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में हैं।
• समबाहु त्रिभुज में $R = 2r$ होता है, पर वर्ग में $R = \sqrt{2}r$। एक की जगह दूसरा लगा देना आम चूक है।

तार को मोड़कर दूसरी आकृति

किसी आकृति में मुड़ा तार खोलकर दूसरी आकृति में मोड़ा जाए, तो नई भुजा, त्रिज्या या क्षेत्रफल पूछा जाता है। यहाँ बस एक बात याद रखनी है। तार की लंबाई, यानी परिमाप, वही रहती है। क्षेत्रफल बदल जाता है।

• भुजा $a$ वाले वर्ग से वृत्त बने, तो $2\pi r = 4a$, यानी $r = \frac{2a}{\pi} = \frac{7a}{11}$। जैसे भुजा 11 वाले वर्ग से त्रिज्या 7 वाला वृत्त बनता है।
• त्रिज्या $r$ वाले वृत्त से वर्ग बने, तो भुजा $= \frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2}$।
• समबाहु त्रिभुज बने, तो भुजा = परिमाप ÷ 3। भुजाओं के अनुपात $m : n$ वाला आयत बने, तो $l + b$ = परिमाप ÷ 2, और फिर इसे उसी अनुपात में बाँट दीजिए।
• तार की लंबाई एक ही हो, तो सबसे ज़्यादा क्षेत्रफल वृत्त घेरता है, फिर वर्ग, फिर समबाहु त्रिभुज।

प्रश्न 14

वर्ग के आकार में मुड़ा एक तार 484 वर्ग सेमी क्षेत्रफल घेरता है। इस तार को सीधा करके फिर मोड़कर एक वृत्त बनाया जाता है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल 484 है, तो उसकी भुजा 22 सेमी हुई। मतलब तार 88 सेमी लंबा है। यही तार अब वृत्त की परिधि बनेगा, तो $2\pi r = 88$ से $r = 14$ सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 196$ = 616 वर्ग सेमी। यह वर्ग से 132 वर्ग सेमी ज़्यादा है, और ऐसा होना ही था, क्योंकि एक ही तार से वृत्त हमेशा सबसे ज़्यादा जगह घेरता है।

तार की लंबाई निकलते ही बाकी हिसाब सीधा है, और लगभग 20 सेकंड में प्रश्न पूरा हो जाता है।

तार वाले प्रश्नों में दो जाल अक्सर मिलते हैं।

• अर्धवृत्त की सीमा में व्यास भी आता है। $\pi = \frac{22}{7}$ पर यह सीमा $\pi r + 2r = \frac{36}{7}r$ होती है। केवल $\pi r$ ले लेना बहुत आम गलती है।
• तार का कुछ हिस्सा पहले ही काट दिया गया हो, या किसी विकर्ण या तीली में लगा हो, तो नया परिमाप निकालने से पहले वह हिस्सा घटा दीजिए।

(R + r)(R - r) से वलय का क्षेत्रफल

दो वृत्तों का केंद्र एक ही हो, तो उनके बीच का भाग वलय होता है। वृत्ताकार रास्ता या पथ, वृत्ताकार पार्क के चारों ओर की किनारी, या वॉशर, सब इसी के उदाहरण हैं। इसका क्षेत्रफल ऐसे निकालिए।

$$\text{वलय का क्षेत्रफल} = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r)$$

यहाँ $R - r$ वलय की चौड़ाई है और $R + r$ दोनों त्रिज्याओं का योग। इन दो छोटी संख्याओं का गुणा करना दोनों त्रिज्याओं के वर्ग निकालने से कहीं तेज़ है।

• त्रिज्या $r$ वाले वृत्ताकार पार्क के चारों ओर $w$ चौड़ा रास्ता हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi w(2r + w)$।
• दोनों परिधियाँ दी हों, तो $R - r = \frac{C_1 - C_2}{2\pi}$। यानी चौड़ाई सीधे परिधियों के अंतर से मिल जाती है।

प्रश्न 15

दौड़ने के एक वृत्ताकार पथ के भीतरी और बाहरी किनारों की लंबाइयाँ क्रमशः 264 मीटर और 308 मीटर हैं। पथ की चौड़ाई और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों किनारों की लंबाइयाँ असल में दो परिधियाँ हैं। इनसे त्रिज्याएँ निकाल लेते हैं, $r = \frac{7 \times 264}{44} = 42$ मीटर और $R = \frac{7 \times 308}{44} = 49$ मीटर। तो पथ की चौड़ाई 7 मीटर है। अब वलय वाला सूत्र लगाते हैं, क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (49 + 42) \times 7 = 22 \times 91$ = 2002 वर्ग मीटर।

यहाँ भी करीब 20 सेकंड में काम हो जाता है।

वलय में दो गलतियाँ आम हैं।

• $\pi(R - r)^2$ लिख देना गलत है। यह उस छोटे वृत्त का क्षेत्रफल है, जिसकी त्रिज्या वलय की चौड़ाई के बराबर है। ऊपर वाले प्रश्न में यह 154 वर्ग मीटर देता।
• रास्ता पार्क के बाहर है या अंदर, यह देखिए। अंदर वाले रास्ते में पार्क की त्रिज्या $R$ होती है, और $r = R - w$।

पहिये: चक्कर = दूरी ÷ परिधि

पहिया सड़क पर लुढ़कता है और पूछा जाता है कि उसने कितने चक्कर (revolution) लगाए, कितनी दूरी तय की, उसकी त्रिज्या कितनी है या चाल कितनी है। ऐसे हर प्रश्न का आधार एक ही है। एक पूरे चक्कर में पहिया अपनी परिधि जितना आगे बढ़ता है।

$$\text{चक्करों की संख्या} = \frac{\text{दूरी}}{2\pi r}$$

• पहले दूरी और त्रिज्या एक ही इकाई में लिखिए। याद रखिए, 1 किमी = 1000 मीटर = 100000 सेमी।
• चाल निकालनी हो, तो एक मिनट में तय दूरी = प्रति मिनट चक्कर × परिधि। मीटर प्रति मिनट को किमी/घंटा में बदलने के लिए $\frac{60}{1000}$ से गुणा कीजिए।
• एक ही सड़क पर दो पहिये चलें, तो उनके चक्करों की संख्याएँ त्रिज्याओं के व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं। छोटा पहिया ज़्यादा चक्कर लगाता है।

प्रश्न 16

एक साइकिल के पहिये का व्यास 70 सेमी है। 1.32 किमी की दूरी तय करने में वह कितने चक्कर लगाता है? यदि पहिया एक मिनट में 300 चक्कर लगाता है, तो साइकिल की चाल किमी/घंटा में कितनी है?

उत्तर: व्यास 70 सेमी है, तो परिधि $= \frac{22}{7} \times 70 = 220$ सेमी। 1.32 किमी = 132000 सेमी, तो चक्कर $\frac{132000}{220}$ = 600। अब चाल देखते हैं। पहिया एक मिनट में 300 चक्कर लगाता है और उसकी परिधि 2.2 मीटर है, तो हर मिनट $300 \times 2.2 = 660$ मीटर की दूरी तय होती है। किमी/घंटा में यह $660 \times \frac{60}{1000}$ = 39.6 किमी/घंटा है।

दोनों भाग मिलाकर यह लगभग 25 सेकंड का काम है।

पहिये के प्रश्नों में दो गलतियाँ खूब होती हैं।

• व्यास और त्रिज्या में उलझना। 70 सेमी को त्रिज्या मान लिया, तो परिधि 440 सेमी आएगी और चक्कर केवल 300, जो सही संख्या का आधा है।
• चक्कर पूरे घुमाव ही गिने जाते हैं। भाग देने पर शेष बचे और पूरे चक्कर पूछे गए हों, तो भिन्न वाला हिस्सा छोड़ दीजिए।

त्रिज्यखंड = वृत्त का एक भाग

चाप, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल या उसका परिमाप पूछा जाए और केंद्र पर कोण दिया हो, या त्रिज्या के साथ चाप दिया हो, तो सबसे पहले देखिए कि कोण $360^\circ$ का कौन-सा भाग है। फिर पूरे वृत्त का वही भाग ले लीजिए।

• चाप $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$।
• एक सूत्र ऐसा भी है जिसमें कोण की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times l \times r$, ठीक वैसे ही जैसे आधार $l$ और ऊँचाई $r$ वाले त्रिभुज का होता है।
• त्रिज्यखंड का परिमाप $= l + 2r$।
• चाप और त्रिज्या से कोण निकालना हो, तो $\theta = \frac{l}{2\pi r} \times 360^\circ$।

प्रश्न 17

63 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्र पर बना कोण $40^\circ$ है। उसके चाप की लंबाई, क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $40^\circ$ पूरे वृत्त का $\frac{1}{9}$ है। पूरी परिधि $2 \times \frac{22}{7} \times 63 = 396$ सेमी है, तो चाप $\frac{396}{9}$ = 44 सेमी। अब क्षेत्रफल के लिए बिना कोण वाला सूत्र लगाते हैं, क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 44 \times 63$ = 1386 वर्ग सेमी। इस तरह 63 का वर्ग करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। परिमाप $= 44 + 2 \times 63$ = 170 सेमी।

तीनों मान लगभग 20 सेकंड में निकल आते हैं।

त्रिज्यखंड में ये तीन गलतियाँ सबसे ज़्यादा होती हैं।

• त्रिज्यखंड का परिमाप केवल चाप नहीं है। उसमें दोनों त्रिज्याएँ भी जोड़िए।
• दीर्घ त्रिज्यखंड में $360^\circ - \theta$ लीजिए, $\theta$ नहीं।
• $\frac{1}{2} \times l \times r$ में चाप की लंबाई चाहिए, जीवा की नहीं।

घड़ी की सुइयों से बने त्रिज्यखंड

घड़ी की सुई घूमती है, तो वह एक त्रिज्यखंड बनाती है। प्रश्न में पूछा जाता है कि किसी तय समय में सुई ने कितना क्षेत्रफल तय किया, या उसकी नोक कितनी दूरी चली। यहाँ समय से ही पता चल जाता है कि वृत्त का कौन-सा भाग लेना है।

• मिनट की सुई 60 मिनट में एक चक्कर लगाती है, यानी हर मिनट $6^\circ$ घूमती है।
• घंटे की सुई 12 घंटे में एक चक्कर लगाती है। वह हर घंटे $30^\circ$ घूमती है, और हर मिनट $\frac{1}{2}^\circ$।
• लंबाई $L$ वाली मिनट की सुई $t$ मिनट घूमे, तो तय क्षेत्रफल $= \frac{t}{60} \times \pi L^2$ और नोक की तय दूरी $\frac{t}{60} \times 2\pi L$।
• घंटे की सुई $t$ घंटे घूमे, तो वृत्त का भाग $\frac{t}{12}$ होगा।

प्रश्न 18

एक घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। अपराह्न 2:05 बजे से अपराह्न 2:50 बजे तक इस सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल और इसकी नोक द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों समयों के बीच 45 मिनट हैं। यह $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ चक्कर है, यानी $270^\circ$। 7 सेमी त्रिज्या वाले पूरे वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि हमें याद हैं, तो क्षेत्रफल $= \frac{3}{4} \times 154$ = 115.5 वर्ग सेमी और नोक की दूरी $\frac{3}{4} \times 44$ = 33 सेमी।

पूरे वृत्त के मान याद हों, तो इसमें करीब 15 सेकंड लगते हैं।

घड़ी वाले प्रश्नों में तीन बातों का ध्यान रखिए।

• घंटे की सुई मिनट की सुई से 12 गुना धीमी चलती है। उसके लिए भी हर मिनट $6^\circ$ ले लेना आम जाल है।
• किसी समय पर दोनों सुइयों के बीच का कोण पूछा जाए, तो वह अलग तरह का प्रश्न है, जो तर्कशक्ति में आता है। यहाँ केवल एक सुई और उसका घूमना देखा जाता है।
• समय एक घंटे से ज़्यादा हो, तो मिनट की सुई एक से ज़्यादा चक्कर लगाती है। 1 घंटा 15 मिनट में वह $1\frac{1}{4}$ वृत्त घूम जाती है।

चार चतुर्थांश = एक वृत्त

छायांकित भाग वाले कई प्रश्नों में वर्ग के कोनों पर चतुर्थांश (quadrant) बने होते हैं, या वर्ग के अंदर एक वृत्त होता है, या वर्ग के अंदर बराबर वृत्त एक-दूसरे को छूते हैं। यहाँ गिनिए कि वृत्त के सारे टुकड़े मिलकर कितने पूरे वृत्त बनाते हैं, और उतना वर्ग में से घटा दीजिए। वर्ग का हर कोना $90^\circ$ का होता है। इसलिए एक ही त्रिज्या वाले चार कोने वाले टुकड़े मिलकर ठीक एक वृत्त बनाते हैं।

• भुजा $a$ वाले वर्ग के कोनों पर त्रिज्या $\frac{a}{2}$ वाले चतुर्थांश हों, तो बीच का छायांकित भाग $= a^2 - \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2$ होता है। $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर यह $\frac{3}{14}a^2$ है।
• वर्ग के अंदर वृत्त हो, तो बचे हुए चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल भी इतना ही है, $a^2 - \frac{\pi a^2}{4}$।
• त्रिज्या $r$ वाले चार बराबर वृत्त एक-दूसरे को छूते हों और उनके केंद्र भुजा $2r$ वाले वर्ग के कोनों पर हों, तो बीच का भाग $4r^2 - \pi r^2 = \frac{6}{7}r^2$ है।
• भुजा $a$ वाले वर्ग के आमने-सामने के कोनों से त्रिज्या $a$ वाले दो चतुर्थांश खींचें, तो बीच में एक पत्ती बनती है। पत्ती का क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{\pi a^2}{4} - a^2 = \frac{4}{7}a^2$।

प्रश्न 19

14 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने पर 7 सेमी त्रिज्या वाला एक चतुर्थांश खींचा गया है। वर्ग के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो इन चतुर्थांशों से ढका नहीं है। साथ ही, इसी वर्ग के आमने-सामने के कोनों से 14 सेमी त्रिज्या वाले दो चतुर्थांश खींचने पर बनी पत्ती का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चारों चतुर्थांश मिलकर त्रिज्या 7 वाला एक वृत्त बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। वर्ग का क्षेत्रफल 196 वर्ग सेमी है, तो न ढका भाग $= 196 - 154$ = 42 वर्ग सेमी। सूत्र से जाँच भी हो जाती है, $\frac{3}{14} \times 196 = 42$। अब पत्ती की बारी। त्रिज्या 14 वाला हर चतुर्थांश $\frac{616}{4} = 154$ वर्ग सेमी का है, तो पत्ती $2 \times 154 - 196$ = 112 वर्ग सेमी।

न ढका भाग और पत्ती, दोनों के लिए करीब 20 सेकंड काफ़ी हैं।

यह गिनती हर बार काम नहीं आती।

• टुकड़े पूरे वृत्त तभी बनाते हैं, जब सबकी त्रिज्या बराबर हो। त्रिज्याएँ अलग हों, तो हर त्रिज्यखंड अलग से निकालिए।
• त्रिभुज में कोनों के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, $360^\circ$ नहीं। इसलिए वहाँ कोने वाले टुकड़े मिलकर केवल आधा वृत्त बनाते हैं। यही हम अगले तरीके में देखेंगे।

त्रिभुज के कोनों पर चराई

त्रिभुजाकार मैदान के हर कोने पर एक पशु बँधा हो और सबकी रस्सियाँ बराबर हों, तो हर पशु एक त्रिज्यखंड में चरता है। उस त्रिज्यखंड का कोण वही है, जो उस कोने पर मैदान का कोण है। पशु न हों, बस त्रिभुज के तीनों कोनों पर बराबर त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड बने हों, तब भी यही बात लागू होती है। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है, इसलिए तीनों त्रिज्यखंड मिलकर ठीक एक अर्धवृत्त बनाते हैं।

$$\text{कुल चरा गया क्षेत्रफल} = \frac{180}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{2}\pi r^2$$

अलग-अलग कोण जानने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।

• चार भुजाओं वाले मैदान में कोणों का योग $360^\circ$ है, तो चारों त्रिज्यखंड मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं, $\pi r^2$। $n$ भुजाओं वाले मैदान में यह $\frac{n - 2}{2}$ वृत्त होता है।
• बिना चरा भाग = मैदान का क्षेत्रफल − चरा गया क्षेत्रफल।
• आयताकार मैदान के एक ही कोने पर एक पशु बँधा हो, तो वह एक चतुर्थांश में चरता है, $\frac{\pi r^2}{4}$।

प्रश्न 20

एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 30 मीटर, 40 मीटर और 50 मीटर हैं। उसके प्रत्येक कोने पर एक घोड़ा 7 मीटर लंबी रस्सी से बँधा है। चरा गया क्षेत्रफल और बिना चरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 30-40-50 देखते ही समझ आता है कि यह समकोण त्रिभुज है। मैदान का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600$ वर्ग मीटर है। तीनों त्रिज्यखंड मिलकर त्रिज्या 7 वाला अर्धवृत्त बनाते हैं, तो चरा गया क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49$ = 77 वर्ग मीटर। बिना चरा भाग $= 600 - 77$ = 523 वर्ग मीटर।

समकोण त्रिभुज पहचान लिया, तो पूरा हल करीब 20 सेकंड का है।

पर यह शॉर्टकट हर बार नहीं चलता।

• रस्सी सबसे छोटी भुजा के आधे से ज़्यादा लंबी नहीं होनी चाहिए। वरना दो त्रिज्यखंड एक-दूसरे पर चढ़ जाते हैं, और शॉर्टकट एक भाग को दो बार गिन लेता है। यहाँ $2 \times 7 = 14 < 30$ है, तो कोई दिक्कत नहीं।
• रस्सियाँ बराबर न हों, तो हर त्रिज्यखंड को उसके अपने कोण से अलग-अलग निकालिए।
• वर्गाकार शेड के एक कोने पर बाहर की ओर पशु बँधा हो, तो वह शेड के बाहर-बाहर घूम सकता है। तब वह $270^\circ$ में चरता है, यानी वृत्त के तीन-चौथाई भाग में।

आकार देखकर विकल्प हटाना

विकल्प एक-दूसरे से काफ़ी दूर हों, तो पूरा हल करने से पहले उत्तर का मोटा अंदाज़ा लगा लीजिए। हर उत्तर की आख़िरी जाँच भी इसी से हो जाती है। अंदाज़ा इन बातों से लगता है।

• भाग पूरे से छोटा होता है। वृत्तखंड अपने त्रिज्यखंड से छोटा होता है, रास्ता मैदान से छोटा, और वलय बाहरी वृत्त से छोटा।
• वर्ग के अंदर वृत्त वर्ग का लगभग 79% भरता है, तो बचे हुए चारों कोने लगभग 21% होते हैं।
• मोटे माप। समबाहु त्रिभुज लगभग $0.43a^2$, सम षट्भुज लगभग $2.6a^2$ और वृत्त लगभग $3.14r^2$ होता है। $\sqrt{2} \approx 1.41$ और $\sqrt{3} \approx 1.73$ लीजिए।
• इकाइयाँ। क्षेत्रफल वर्ग सेमी या वर्ग मीटर में होता है, लंबाई सेमी या मीटर में। क्षेत्रफल वाले प्रश्न में जिस विकल्प की संख्या परिमाप के बराबर हो, वह जाल है।
• आकृति की पहचान। पूर्ण-संख्या भुजा वाले समबाहु त्रिभुज या षट्भुज के क्षेत्रफल में $\sqrt{3}$ आता है। वृत्त वाला उत्तर $\pi$ के साथ होगा, या 22 का गुणज होगा।

प्रश्न 21

14 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवा AB केंद्र O पर समकोण बनाती है। AB द्वारा काटे गए छोटे वृत्तखंड का क्षेत्रफल कितना है? (a) 154 वर्ग सेमी (b) 98 वर्ग सेमी (c) 56 वर्ग सेमी (d) 252 वर्ग सेमी

उत्तर: AB केंद्र पर समकोण बनाती है, तो उसका त्रिज्यखंड एक चतुर्थांश है, $\frac{616}{4} = 154$ वर्ग सेमी। वृत्तखंड इसका केवल एक भाग है, तो (a) और (d) तुरंत हट गए। (b) 98 वर्ग सेमी तो त्रिभुज OAB का ही क्षेत्रफल है, $\frac{1}{2} \times 14 \times 14$। बचा (c) 56 वर्ग सेमी, और $154 - 98 = 56$ से इसकी पुष्टि भी हो जाती है।

पूरा हल किए बिना यह करीब 10 सेकंड में हो गया।

अंदाज़े की भी दो सीमाएँ हैं।

• दो विकल्प पास-पास हों, जैसे 56 और 58, तो अंदाज़ा उनमें फ़र्क नहीं कर पाता। तब पूरा हल कीजिए।
• पेपर में छपी आकृति पैमाने पर बनी हो, यह ज़रूरी नहीं है। अंदाज़ा संख्याओं से लगाइए, चित्र देखकर नहीं।

[SSC टिप] क्षेत्रमिति के ज़्यादातर गलत विकल्प कुछ गिनी-चुनी गलतियों से बनते हैं। कोई क्षेत्रफल की जगह परिमाप लिख देता है, कोई त्रिज्या की जगह व्यास ले लेता है, तो कोई $k^2$ की जगह $k$ से गुणा कर देता है। कहीं $\frac{\theta}{360}$ छूट जाता है, कहीं काटती सड़कों में $-w^2$ भूल जाते हैं। अर्धवृत्त की सीमा में व्यास छूट जाता है, या वलय के लिए $\pi(R - r)^2$ लिख दिया जाता है। आपका उत्तर इनमें से किसी गलती से बने मान से मिलता हो, तो वह कदम एक बार और जाँच लीजिए।