सम बहुभुज और संयुक्त आकृतियाँ

सम बहुभुज: $n$ त्रिभुजों से परिमाप और क्षेत्रफल

किसी बहुभुज की सब भुजाएँ बराबर हों और सब कोण भी बराबर हों, तो उसे सम बहुभुज (regular polygon) कहते हैं। समबाहु त्रिभुज और वर्ग ऐसे ही बहुभुज हैं, जिन्हें आप पहले से जानते हैं। त्रिभुज में 3 भुजाएँ होती हैं और वर्ग में 4। SSC में इनके अलावा सम षट्भुज भी आता है, जिसकी 6 भुजाएँ होती हैं। टियर 2 में 8 भुजाओं वाला सम अष्टभुज भी पूछा जाता है। इन सबके लिए एक ही तरीका काम आता है।

परिमाप: सम बहुभुज में $n$ भुजाएँ हों और हर भुजा की लंबाई $a$ हो, तो परिमाप $P = n \times a$ होता है। प्रश्न में $n$ प्रायः सीधे नहीं दिया होता। उसकी जगह कोई कोण दिया होता है। इसके लिए याद रखिए कि सम बहुभुज का हर बाह्य कोण $\frac{360^\circ}{n}$ होता है, और हर अंतः कोण = 180° − बाह्य कोण।

जैसे किसी सम बहुभुज का हर अंतः कोण 150° है। तो बाह्य कोण 30° हुआ, और $n = \frac{360}{30} = 12$। अब अगर भुजा 5 सेमी है, तो परिमाप 12 × 5 = 60 सेमी होगा।

$n$ त्रिभुजों से क्षेत्रफल: केंद्र O को हर शीर्ष से मिला दीजिए। बहुभुज $n$ एक-जैसे समद्विबाहु त्रिभुजों में बँट जाता है। हर त्रिभुज का आधार एक भुजा $a$ है। उसकी ऊँचाई केंद्र से भुजा पर लंब (apothem) है, यानी O से उस भुजा पर डाला गया लंब। बहुभुज के अंदर जो वृत्त सब भुजाओं को छूता है, उसकी त्रिज्या $r$ भी यही लंब है।

सारे त्रिभुजों को जोड़ दें, तो क्षेत्रफल यह आता है।

$$\text{क्षेत्रफल} = n \times \frac{1}{2} \times a \times r = \frac{1}{2} \times \text{परिमाप} \times r$$

त्रिभुज के लिए "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में $\Delta = rs$ पढ़ा था। यहाँ भी वही बात है, यानी क्षेत्रफल = अंतःत्रिज्या × अर्धपरिमाप।

उदाहरण के लिए एक सम पंचभुज लीजिए, जिसकी भुजा 8 सेमी है और केंद्र से भुजा पर लंब लगभग 5.5 सेमी। इसका क्षेत्रफल लगभग $\frac{1}{2} \times 40 \times 5.5 = 110$ वर्ग सेमी होगा।

परित्रिज्या से क्षेत्रफल: केंद्र O से किसी भी शीर्ष तक की दूरी को परित्रिज्या (circumradius) $R$ कहते हैं। अब $n$ त्रिभुजों में से हर एक की दो भुजाएँ $R$ के बराबर हैं, और उनके बीच का कोण $\frac{360^\circ}{n}$ है। तो एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}R^2 \sin \frac{360^\circ}{n}$ हुआ। यह $\frac{1}{2}ab\sin C$ वाला ही नियम है। ज्या के मान "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में दिए हैं। अब इस क्षेत्रफल को $n$ से गुणा कर दीजिए, तो नीचे की तालिका मिलती है।

जैसे 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर 12 भुजाओं वाली एक सम आकृति बनी है, जिसके शीर्ष वृत्त पर हैं। उसका क्षेत्रफल 3 × 100 = 300 वर्ग सेमी है। यह वृत्त के 314 वर्ग सेमी से थोड़ा ही कम है।

[SSC टिप] केंद्र से बने ये त्रिभुज समद्विबाहु होते हैं, समबाहु नहीं। केवल षट्भुज में O पर कोण 60° होता है, और उसी में भुजा = $R$ होती है। पंचभुज या अष्टभुज के ऐसे किसी एक त्रिभुज के लिए $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ कभी न लगाइए।

सम षट्भुज: छह समबाहु त्रिभुज

सम षट्भुज में केंद्र पर हर त्रिभुज का कोण $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ होता है। O से बने छहों त्रिभुज समद्विबाहु हैं और उनका ऊपर वाला कोण 60° है, इसलिए वे समबाहु हैं। यानी उनकी हर भुजा षट्भुज की भुजा $a$ के बराबर है। षट्भुज के लगभग सारे प्रश्न इसी एक चित्र से हल होते हैं।

इसलिए षट्भुज का क्षेत्रफल छह समबाहु त्रिभुजों के बराबर है।

$$\text{क्षेत्रफल} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$

बाकी सब बातें भी इसी चित्र से सीधे दिख जाती हैं।

• परिमाप: छह भुजाएँ हैं, तो परिमाप 6a है।
• परित्रिज्या: R = a, क्योंकि O हर शीर्ष से बराबर दूरी $a$ पर है।
• सबसे लंबा विकर्ण: AD जैसा विकर्ण O से होकर जाता है और छोटे त्रिभुजों की दो भुजाओं जितना लंबा होता है। तो AD = 2a। ऐसे तीन विकर्ण होते हैं।
• छोटा विकर्ण: AC जैसा विकर्ण बीच का एक शीर्ष छोड़कर जाता है। इसकी लंबाई AC = $\sqrt{3}a$ है।
• आमने-सामने की भुजाओं के बीच की दूरी: BC और EF के बीच की दूरी छोटे त्रिभुजों की दो ऊँचाइयों के बराबर है, यानी $2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3}a$। यह अंतःत्रिज्या का दोगुना भी है।
• हर अंतः कोण 120° होता है।

जैसे भुजा 7 सेमी हो, तो क्षेत्रफल = $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 49 = \frac{147\sqrt{3}}{2}$ वर्ग सेमी, यानी लगभग 127.3 वर्ग सेमी। परिमाप 42 सेमी है और सबसे लंबा विकर्ण 14 सेमी। आमने-सामने की भुजाओं के बीच की दूरी $7\sqrt{3}$ सेमी है।

उलटी दिशा से: कभी क्षेत्रफल देकर भुजा पूछी जाती है। मान लीजिए क्षेत्रफल $150\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। तो $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 150\sqrt{3}$, जिससे $a^2 = 100$ और a = 10 सेमी आता है। सबसे लंबा विकर्ण $d$ दिया हो, तो भुजा $\frac{d}{2}$ है और क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{8}d^2$। आमने-सामने की भुजाओं के बीच की दूरी $h$ दी हो, तो भुजा $\frac{h}{\sqrt{3}}$ है।

[SSC टिप] एक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ है। विकल्पों में सही मान के साथ प्रायः यही मान, या इसका तीन गुना, भी दिया होता है। इसलिए त्रिभुज गिन लीजिए, षट्भुज में छह होते हैं। उत्तर का मोटा अंदाज़ा भी लगा लीजिए। $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ लगभग 2.6 है, तो भुजा $a$ वाला षट्भुज लगभग $2.6a^2$ होता है।

षट्भुज के अंदर: विकर्ण, त्रिभुज, कटे कोने

छह त्रिभुजों वाला यही चित्र उन प्रश्नों में भी काम आता है जिनमें षट्भुज के किसी टुकड़े का क्षेत्रफल पूछा जाता है। मान लीजिए षट्भुज ABCDEF की भुजा $a$ है और क्षेत्रफल $H$ है।

त्रिभुज ACE: एक छोड़कर एक शीर्ष मिलाइए, तो समबाहु त्रिभुज ACE बनता है। इसकी हर भुजा एक छोटा विकर्ण है, इसलिए भुजा $\sqrt{3}a$ है। इसका क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 3a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$ है, जो ठीक षट्भुज का आधा है। बाकी आधा भाग कोनों वाले तीन त्रिभुजों ABC, CDE और EFA में बराबर बँटा है। तो इनमें से हर एक षट्भुज का $\frac{1}{6}$ है, यानी ठीक एक केंद्रीय त्रिभुज जितना।

दूसरे टुकड़े: सबसे लंबा विकर्ण AD षट्भुज को दो बराबर समलंबों में बाँटता है। समलंब ABCD की समांतर भुजाएँ $a$ और $2a$ हैं, और ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ है। इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(a + 2a) \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$ है, यानी फिर से आधा। BCEF एक आयत है, जिसकी भुजाएँ $a$ और $\sqrt{3}a$ हैं।

जैसे H = 90 वर्ग सेमी हो, तो त्रिभुज ABC 15 वर्ग सेमी का होगा, त्रिभुज ACE 45 वर्ग सेमी का और आयत BCEF 60 वर्ग सेमी का।

त्रिभुज से षट्भुज काटना: भुजा $3a$ वाला एक समबाहु त्रिभुज लीजिए और उसके हर कोने से भुजा $a$ वाला समबाहु त्रिभुज काट दीजिए। बचे भाग की छह भुजाएँ हैं, हर एक की लंबाई $a$, और सब कोण 120° हैं। मतलब यह भुजा $a$ वाला सम षट्भुज है। बड़े त्रिभुज में भुजा $a$ वाले 9 छोटे त्रिभुज आते हैं, क्योंकि क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के अनुसार बढ़ता है और $3^2 = 9$। इनमें से 3 कोनों में हैं और 6 षट्भुज में। तो षट्भुज बड़े त्रिभुज का $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ भाग है।

जैसे त्रिभुज की भुजा 12 सेमी हो, तो षट्भुज की भुजा 4 सेमी होगी और उसका क्षेत्रफल $24\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। यह त्रिभुज के $36\sqrt{3}$ वर्ग सेमी का दो-तिहाई है।

षट्भुज के किसी टुकड़े का प्रश्न आए, तो सबसे जल्दी हल यही है कि भुजा $a$ वाले छोटे समबाहु त्रिभुज गिन लीजिए। क्षेत्रफल के हिसाब से षट्भुज ऐसे 6 त्रिभुजों के बराबर है, त्रिभुज ACE 3 के, कोने वाला हर त्रिभुज 1 के, और आयत BCEF 4 के।

[Tier 2] सम अष्टभुज

सम अष्टभुज का हर अंतः कोण 135° होता है और हर बाह्य कोण 45°। इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए अष्टभुज को एक वर्ग के अंदर ऐसे रखकर देखिए कि उसकी चार भुजाएँ वर्ग की भुजाओं पर पड़ें। यही सबसे आसान तरीका है। वर्ग के चारों कोनों पर चार त्रिभुज बचते हैं, और ये समकोण समद्विबाहु त्रिभुज हैं। इनकी लंबी भुजा, यानी कर्ण, अष्टभुज की भुजा $a$ है। तो इनकी हर छोटी भुजा $\frac{a}{\sqrt{2}}$ है, और वर्ग की भुजा $\frac{a}{\sqrt{2}} + a + \frac{a}{\sqrt{2}} = a(1 + \sqrt{2})$।

अब अष्टभुज का क्षेत्रफल = वर्ग − चार कोने।

$$a^2(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{a}{\sqrt{2}} \times \frac{a}{\sqrt{2}} = a^2(3 + 2\sqrt{2}) - a^2 = 2(1 + \sqrt{2})a^2$$

इसी चित्र से ये बातें भी मिल जाती हैं।

• आमने-सामने की दो भुजाओं के बीच की दूरी वर्ग की भुजा के बराबर है, यानी $a(1 + \sqrt{2})$। यह अंतःत्रिज्या का दोगुना भी है।
• परिमाप = 8a।
• परित्रिज्या से क्षेत्रफल = $2\sqrt{2}R^2$, जो इस खंड की पहली तालिका में भी दिया है।

जैसे भुजा 3 सेमी हो, तो क्षेत्रफल = $2(1 + \sqrt{2}) \times 9 = 18(1 + \sqrt{2})$ वर्ग सेमी, यानी लगभग 43.5 वर्ग सेमी। आमने-सामने की भुजाओं के बीच की दूरी $3(1 + \sqrt{2})$ सेमी है, लगभग 7.24 सेमी।

वर्ग से कटा अष्टभुज: SSC यही चित्र उलटकर भी पूछता है। मान लीजिए भुजा $s$ वाले वर्ग के चारों कोने बराबर काटने हैं, ताकि सम अष्टभुज बचे। हर कटे कोने की छोटी भुजा $x$ मान लीजिए, तो अष्टभुज की भुजा $x\sqrt{2}$ होगी। वर्ग की एक भुजा में पहले एक कटे कोने का हिस्सा आता है, फिर अष्टभुज की भुजा, फिर दूसरे कोने का हिस्सा। तो $s = x + x\sqrt{2} + x = x(2 + \sqrt{2})$। इससे ये दोनों मान निकलते हैं।

$$x = \frac{s}{2 + \sqrt{2}} \qquad \text{अष्टभुज की भुजा} = x\sqrt{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = s(\sqrt{2} - 1)$$

जैसे वर्ग की भुजा 10 सेमी हो, तो अष्टभुज की भुजा $10(\sqrt{2} - 1)$ सेमी होगी, लगभग 4.14 सेमी।

उत्तर का अंदाज़ा भी लगा लीजिए। $2(1 + \sqrt{2})$ लगभग 4.83 है, तो भुजा $a$ वाला अष्टभुज $5a^2$ से थोड़ा कम होता है। भुजा 3 सेमी हो, तो उत्तर 45 वर्ग सेमी से थोड़ा कम ही आएगा। विकल्पों में $9(1 + \sqrt{2})$, यानी लगभग 21.7, भी दिया होता है। इसमें 2 का गुणक छूट गया है।

वृत्त और वर्ग, एक-दूसरे के अंदर

वर्ग और वृत्त वाले प्रश्नों में दो ही तरह के चित्र आते हैं। ध्यान बस इतना रखना है कि कौन-सी लंबाई व्यास के बराबर है।

वर्ग के अंदर वृत्त: यह वृत्त वर्ग का अंतःवृत्त (incircle) है, जो चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। इसका व्यास एक भुजा से सामने वाली भुजा तक जाता है, इसलिए व्यास = भुजा $a$।

$$r = \frac{a}{2} \qquad \text{वृत्त का क्षेत्रफल} = \frac{\pi a^2}{4}$$

वर्ग के चारों ओर वृत्त: यह वर्ग का परिवृत्त (circumcircle) है, जो चारों कोनों से होकर जाता है। इसका व्यास वर्ग का विकर्ण है, यानी $\sqrt{2}a$।

$$R = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \qquad \text{वृत्त का क्षेत्रफल} = \frac{\pi a^2}{2}$$

त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के अंदर वर्ग: अब शुरुआत वृत्त से होती है। वर्ग का विकर्ण व्यास के बराबर है, यानी $2r$। और वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण के वर्ग का आधा होता है।

$$\text{वर्ग का क्षेत्रफल} = \frac{(2r)^2}{2} = 2r^2 \qquad \text{भुजा} = \sqrt{2}r$$

जैसे 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में बने वर्ग का क्षेत्रफल 98 वर्ग सेमी है, और 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 200 वर्ग सेमी।

याद रखने लायक अनुपात: ये अनुपात आकार पर निर्भर नहीं करते।

• एक ही वर्ग के परिवृत्त और अंतःवृत्त के क्षेत्रफल $\frac{a^2}{2} : \frac{a^2}{4}$ = 2 : 1 में होते हैं। उनकी त्रिज्याएँ $\sqrt{2} : 1$ में होती हैं।
• वर्ग और उसके अंतःवृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात $a^2 : \frac{\pi a^2}{4} = 4 : \pi$ है। $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर यह 14 : 11 होता है।
• वर्ग और उसके परिवृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात $2r^2 : \pi r^2 = 2 : \pi$ है, यानी 7 : 11।

जैसे वर्ग की भुजा 20 सेमी है और $\pi$ = 3.14 लेना है। तो अंतःवृत्त 3.14 × 100 = 314 वर्ग सेमी है और परिवृत्त 3.14 × 200 = 628 वर्ग सेमी। दोनों के बीच का वलय 314 वर्ग सेमी हुआ, यानी ठीक अंतःवृत्त जितना। यह संयोग नहीं है, क्योंकि $R^2 - r^2 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} = r^2$।

[SSC टिप] वर्ग का विकर्ण $d$ दिया हो, तो परिवृत्त की त्रिज्या सीधे $\frac{d}{2}$ है, भुजा निकालने की ज़रूरत ही नहीं। भुजा दी हो, तो अंतःवृत्त की त्रिज्या $\frac{a}{2}$ है। एक की जगह दूसरी त्रिज्या ले ली, तो क्षेत्रफल या तो ठीक 2 गुना आएगा या आधा। यह गलत मान विकल्पों में हमेशा दिया होता है।

समबाहु त्रिभुज के साथ वृत्त

समबाहु त्रिभुज में केंद्रक, अंतःकेंद्र और परिकेंद्र एक ही बिंदु O होते हैं। O हर ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ पर पड़ता है और उसे 2 : 1 में बाँटता है। इसी से दोनों त्रिज्याएँ एक साथ मिल जाती हैं।

$$r = \frac{h}{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \qquad R = \frac{2h}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} \qquad R = 2r$$

क्षेत्रफल: अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \frac{\pi a^2}{12}$ है और परिवृत्त का $\pi R^2 = \frac{\pi a^2}{3}$। R = 2r है, इसलिए परिवृत्त अंतःवृत्त का 4 गुना है, यानी अंतःवृत्त : परिवृत्त = 1 : 4। दोनों के बीच का वलय इतना है।

$$\pi(R^2 - r^2) = \pi\left(\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{12}\right) = \frac{\pi a^2}{4}$$

जैसे a = $6\sqrt{3}$ सेमी हो, तो h = 9 सेमी, r = 3 सेमी और R = 6 सेमी। अंतःवृत्त $9\pi$ वर्ग सेमी है, परिवृत्त $36\pi$ वर्ग सेमी और वलय $27\pi$ वर्ग सेमी।

वृत्त से शुरुआत: त्रिज्या $R$ वाले वृत्त के अंदर समबाहु त्रिभुज बना हो, तो उसकी भुजा $\sqrt{3}R$ होती है। उसका क्षेत्रफल यह है।

$$\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}R)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$

त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के चारों ओर समबाहु त्रिभुज बना हो, तो भुजा $2\sqrt{3}r$ होती है और क्षेत्रफल $3\sqrt{3}r^2$। जैसे वृत्त की त्रिज्या 12 सेमी हो, तो अंदर वाला त्रिभुज $108\sqrt{3}$ वर्ग सेमी का है और बाहर वाला $432\sqrt{3}$ वर्ग सेमी का। यहाँ भी अनुपात 1 : 4 ही है।

त्रिभुज की ऊँचाई $3r$ भी है और $\frac{3R}{2}$ भी। इसलिए अगर ऊँचाई दी हो, तो दोनों त्रिज्याएँ सीधे मिल जाती हैं। छोटी त्रिज्या ऊँचाई का एक-तिहाई है और बड़ी त्रिज्या दो-तिहाई। कोई वर्गमूल नहीं निकालना पड़ता।

भुजा दी हो, तो छोटी त्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ याद रखिए। अंतःवृत्त के लिए $\frac{a}{\sqrt{3}}$ लगा दिया, तो उत्तर 4 गुना बड़ा आएगा।

सम षट्भुज और समकोण त्रिभुज के साथ वृत्त

भुजा $a$ वाला सम षट्भुज: इसका परिवृत्त शीर्षों से होकर जाता है, और छह त्रिभुजों वाले चित्र से R = a है। अंतःवृत्त हर भुजा को उसके मध्य-बिंदु पर स्पर्श करता है, इसलिए $r$ एक छोटे समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है, यानी $r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$।

परिवृत्त का क्षेत्रफल $\pi a^2$ है और अंतःवृत्त का $\frac{3}{4}\pi a^2$। तो परिवृत्त : अंतःवृत्त = 4 : 3। षट्भुज और उसके परिवृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 : \pi a^2 = 3\sqrt{3} : 2\pi$ है। मतलब षट्भुज अपने परिवृत्त का लगभग 83% भाग घेरता है।

जैसे भुजा 4 सेमी हो, तो परिवृत्त $16\pi$ वर्ग सेमी है, अंतःवृत्त $12\pi$ वर्ग सेमी, और दोनों के बीच का वलय $4\pi$ वर्ग सेमी।

समकोण त्रिभुज (समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a$, $b$ और कर्ण $c$): अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है, इसलिए कर्ण ही परिवृत्त का व्यास है।

$$R = \frac{c}{2} \qquad r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{ab}{a + b + c}$$

$r$ का पहला रूप हर शीर्ष से खींची गई बराबर स्पर्शरेखाओं से आता है, और दूसरा रूप क्षेत्रफल = $rs$ से।

जैसे 5, 12 और 13 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज में R = 6.5 सेमी है और $r = \frac{5 + 12 - 13}{2}$ = 2 सेमी। जाँच के लिए दोनों सूत्र जोड़ दीजिए, तो $r + R = \frac{a + b}{2}$ आता है। यहाँ 2 + 6.5 = 8.5 है, जो 5 + 12 का आधा है।

कोई दूसरा त्रिभुज: त्रिभुज समकोण न हो, तो $r = \frac{\Delta}{s}$ और $R = \frac{abc}{4\Delta}$ लगाइए, और क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से निकालिए। ये दोनों बातें "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में हैं। जैसे भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हों, तो Δ = 84 वर्ग सेमी और s = 21 सेमी है। इससे r = 4 सेमी आता है, और $R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8}$ सेमी।

याद रखिए, समकोण त्रिभुज में R हमेशा कर्ण का आधा होता है, और परिकेंद्र कर्ण का मध्य-बिंदु होता है। कई छात्र समकोण बनाने वाली किसी भुजा का आधा ले लेते हैं, या $\frac{a}{\sqrt{3}}$ लगा देते हैं, मानो त्रिभुज समबाहु हो। विकल्प इन्हीं चूकों को ध्यान में रखकर बनाए जाते हैं।

वर्ग में वर्ग, और बार-बार अंदर बनती आकृतियाँ

वर्ग के मध्य-बिंदु मिलाना: भुजा $a$ वाले वर्ग ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु P, Q, R और S मिला दीजिए। PQRS भी एक वर्ग है। उसकी हर भुजा कोने में बने एक त्रिभुज का कर्ण है, और उस त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{a}{2}$ हैं। तो PQRS की भुजा $\frac{a}{\sqrt{2}}$ है।

$$\text{PQRS का क्षेत्रफल} = \frac{a^2}{2}$$

कोनों वाले चार त्रिभुज बाकी आधा भाग घेरते हैं, और इनमें से हर एक $\frac{a^2}{8}$ है।

यही कदम दोहराते जाइए, तो हर बार क्षेत्रफल आधा होता जाता है। क्षेत्रफल क्रम से $a^2, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{4}, \frac{a^2}{8}$ होते जाते हैं, और आगे भी इसी तरह। भुजाएँ हर बार $\sqrt{2}$ गुना छोटी होती हैं, और परिमाप भी।

जैसे भुजा 12 सेमी हो, तो क्षेत्रफल 144 वर्ग सेमी है। अगले तीन वर्ग 72, 36 और 18 वर्ग सेमी के होंगे। इनमें आख़िरी वर्ग की भुजा $3\sqrt{2}$ सेमी है।

दूसरी आकृतियाँ: आयत के मध्य-बिंदु मिलाने पर समचतुर्भुज बनता है। उसके विकर्ण आयत की भुजाओं के बराबर हैं, इसलिए उसका क्षेत्रफल $\frac{lb}{2}$ है, यानी फिर आधा। किसी भी चतुर्भुज के मध्य-बिंदु मिलाएँ, तो समांतर चतुर्भुज बनता है, जिसका क्षेत्रफल आधा होता है। त्रिभुज के मध्य-बिंदु मिलाने पर फिर त्रिभुज बनता है, जिसका क्षेत्रफल एक-चौथाई होता है। यह "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में है।

बारी-बारी से वृत्त और वर्ग: मान लीजिए वर्ग में वृत्त बना है, उस वृत्त में फिर वर्ग, फिर उस वर्ग में वृत्त, और इसी तरह आगे। हर नए वृत्त की त्रिज्या पिछले वृत्त की त्रिज्या की $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होती है। तो क्षेत्रफल आधा होता जाता है, ठीक वर्गों की तरह।

जैसे 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में बना वर्ग 200 वर्ग सेमी का है। उस वर्ग के अंदर के वृत्त की त्रिज्या $5\sqrt{2}$ सेमी है और क्षेत्रफल $50\pi$ वर्ग सेमी, जो $100\pi$ का आधा है।

[Tier 2] अर्धवृत्त में और चतुर्थांश में वर्ग: भुजा $s$ वाला एक वर्ग त्रिज्या $r$ वाले अर्धवृत्त के व्यास पर खड़ा है, और उसके ऊपर के दोनों कोने चाप पर हैं। केंद्र O से ऊपर का कोना $\frac{s}{2}$ बगल में है और $s$ ऊपर। तो

$$\left(\frac{s}{2}\right)^2 + s^2 = r^2 \Rightarrow \text{क्षेत्रफल} = s^2 = \frac{4r^2}{5}$$

चतुर्थांश (वृत्त का चौथाई भाग) में वर्ग हो, तो उसका एक कोना केंद्र पर होता है और सामने वाला कोना चाप पर। तब वर्ग का विकर्ण $r$ है, और क्षेत्रफल $\frac{r^2}{2}$।

जैसे r = 5 सेमी हो, तो अर्धवृत्त वाला वर्ग 20 वर्ग सेमी का है और चतुर्थांश वाला वर्ग 12.5 वर्ग सेमी का।

अंतर्निहित और परिगत आकृतियाँ: अनुपात एक नज़र में

कई बार पूछा जाता है कि किसी आकृति के परिवृत्त और अंतःवृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है। ऐसे प्रश्नों में कोई संख्या चाहिए ही नहीं। इनके लिए नीचे की तालिका याद रखिए। इसमें $a$ = भुजा है।

हर सम बहुभुज के लिए एक नियम: चित्र की हर आकृति में अंतःत्रिज्या $r$ (लाल), आधी भुजा $\frac{a}{2}$ (हरी) और परित्रिज्या $R$ (नीली) मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इसलिए $R^2 - r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$ होता है। तो परिवृत्त और अंतःवृत्त के बीच के वलय का क्षेत्रफल हमेशा इतना आता है।

$$\pi(R^2 - r^2) = \frac{\pi a^2}{4}$$

यह उस वृत्त का क्षेत्रफल है जिसका व्यास एक भुजा है। जैसे 7 सेमी भुजा वाला वर्ग हो, त्रिभुज हो या षट्भुज, वलय हर बार $\frac{22}{7} \times \frac{49}{4} = 38.5$ वर्ग सेमी आता है।

परिवृत्त का कितना भाग: हर आकृति अपने परिवृत्त का कितना भाग घेरती है, यह इस तालिका में देखिए।

उलटी ओर से देखें, तो वर्ग के अंदर बने वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात $\pi : 4$ (11 : 14) होता है।

[SSC टिप] अनुपात आकृति के छोटे-बड़े होने से नहीं बदलता, इसलिए भुजा कोई भी आसान-सी मान लीजिए। समबाहु त्रिभुज में $a = 2\sqrt{3}$ लें, तो r = 1 और R = 2 आता है। क्षेत्रफल $\pi$ और $4\pi$ हुए, और 1 : 4 तुरंत दिख जाता है।

तार को मोड़कर दूसरी आकृति

तार को मोड़कर नई आकृति बनाई जाए, तो तार की लंबाई नहीं बदलती। मतलब नई आकृति का परिमाप पुरानी आकृति के परिमाप के बराबर होता है। हाँ, क्षेत्रफल प्रायः अलग होता है। इसलिए हर बार दो कदम कीजिए। पहली आकृति से तार की लंबाई निकालिए, फिर वही लंबाई दूसरी आकृति का परिमाप मान लीजिए।

लंबाई $P$ वाले तार से ये आकृतियाँ बनती हैं।

परिमाप एक जैसा हो, तो सम आकृति की भुजाएँ जितनी अधिक होंगी, क्षेत्रफल उतना अधिक होगा। सबसे अधिक क्षेत्रफल वृत्त का होता है। और एक ही परिमाप वाले आयतों में सबसे बड़ा क्षेत्रफल वर्ग का होता है।

वृत्त से वर्ग: मान लीजिए एक तार 49 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के आकार में मुड़ा है। उसकी लंबाई $2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 308$ सेमी है। इसे वर्ग में मोड़ें, तो हर भुजा 77 सेमी होगी और क्षेत्रफल 5929 वर्ग सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 2401 = 7546$ वर्ग सेमी था, यानी 1617 वर्ग सेमी अधिक। एक ही तार से बने वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफल हमेशा $4 : \pi$ में होते हैं, यानी 14 : 11 में।

त्रिभुज से वृत्त: एक तार 44 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के आकार में मुड़ा है। त्रिभुज का क्षेत्रफल $484\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है, लगभग 838.3 वर्ग सेमी, और तार 132 सेमी लंबा है। इसे वृत्त में मोड़ें, तो $2\pi r = 132$ से r = 21 सेमी आता है, और क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 441 = 1386$ वर्ग सेमी।

आयत से वर्ग: 20 सेमी × 12 सेमी के आयत में मुड़ा तार 240 वर्ग सेमी घेरता है, और उसकी लंबाई 64 सेमी है। इसे वर्ग में मोड़ें, तो भुजा 16 सेमी होगी और क्षेत्रफल 256 वर्ग सेमी। वर्ग बनाने पर क्षेत्रफल हमेशा बढ़ता है, और बढ़त $\left(\frac{l - b}{2}\right)^2$ होती है। यहाँ यह $4^2 = 16$ वर्ग सेमी है।

तार अर्धवृत्त में मुड़ा हो, तो ध्यान रखिए। उसमें मुड़ा हुआ चाप और सीधा व्यास, दोनों आते हैं। तो लंबाई $\pi r + 2r = \frac{36}{7}r$ होती है। केवल $\pi r$ ले लेना आम चूक है।

संयुक्त आकृतियाँ: L-आकार, फ़्रेम और किनारी

SSC में ज़्यादातर अटपटी दिखने वाली आकृतियाँ असल में कुछ आयतों या त्रिभुजों को जोड़कर बनी होती हैं। या फिर किसी बड़ी आकृति में से एक टुकड़ा गायब होता है। ऐसी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से निकल सकता है, और एक तरीके से दूसरे की जाँच हो जाती है।

L-आकार: नीचे के चित्र वाला भूखंड 16 मीटर × 12 मीटर का आयत है, जिसका 9 मीटर × 7 मीटर का एक कोना कटा हुआ है। इसका क्षेत्रफल दोनों तरह से निकालकर देखिए।

• पूरे आयत में से कोना घटा दीजिए, 16 × 12 − 9 × 7 = 192 − 63 = 129 वर्ग मीटर।
• या टूटी रेखा पर काटकर दो आयतों में बाँट लीजिए, 16 × 5 + 7 × 7 = 80 + 49 = 129 वर्ग मीटर।

छात्र गलती परिमाप में करते हैं। L के चारों ओर चलकर देखिए। अंदर वाले 9 मीटर और 7 मीटर के किनारे ठीक उतने ही लंबे हैं, जितना ऊपर वाली भुजा और दाईं भुजा से कटा है। मतलब जितना बाहर से घटा, उतना ही अंदर जुड़ गया। इसलिए परिमाप पूरे आयत के परिमाप जितना ही रहता है, 16 + 5 + 9 + 7 + 7 + 12 = 56 मीटर = 2(16 + 12)।

अगर टुकड़ा किसी भुजा के बीच से कटा हो, जैसे U-आकार में खाँचा, तो खाँचे की दो अंदरूनी दीवारें परिमाप में और जुड़ जाती हैं। तब परिमाप खाँचे की गहराई के दोगुने जितना बढ़ता है।

फ़्रेम और किनारी: $l$ × $b$ के फ़ोटो के चारों ओर $w$ चौड़ी किनारी हो, तो किनारी समेत बाहरी आयत $(l + 2w)$ × $(b + 2w)$ का होता है।

$$\text{किनारी का क्षेत्रफल} = (l + 2w)(b + 2w) - lb = 2w(l + b) + 4w^2$$

जैसे 30 सेमी × 20 सेमी के फ़ोटो पर 2.5 सेमी की किनारी हो, तो किनारी = 35 × 25 − 600 = 875 − 600 = 275 वर्ग सेमी। मैदान के चारों ओर रास्ते वाला हिसाब भी यही है, और लागत भी इसी तरह निकलती है।

त्रिभुजों के साथ आयत: घर के आकार की दीवार में नीचे आयत होता है और ऊपर त्रिभुज, तो दोनों के क्षेत्रफल जोड़ दीजिए। कहीं त्रिभुज के आकार का भाग कटा हो, तो उसे घटा दीजिए। जैसे 12 मीटर × 8 मीटर की दीवार के ऊपर 12 मीटर भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है। तो क्षेत्रफल $96 + 36\sqrt{3}$ वर्ग मीटर हुआ, लगभग 158.4 वर्ग मीटर।

किनारी वाले सूत्र में $4w^2$ पद चार कोनों के वर्गों का है। केवल $2w(l + b)$ लिख दिया, तो कोने छूट जाते हैं। यह गलत मान प्रायः विकल्पों में दिया होता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक सम बहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 140° है और उसका परिमाप 72 सेमी है। उसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई कितनी है? (a) 9 सेमी (b) 8 सेमी (c) 12 सेमी (d) 7.2 सेमी

उत्तर: अंतः कोण 140° है, तो हर बाह्य कोण 180° − 140° = 40° हुआ। बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है, इसलिए भुजाएँ 360 ÷ 40 = 9 हैं। 72 सेमी का परिमाप 9 बराबर भुजाओं में बँटा है, तो हर भुजा (b) 8 सेमी है। जल्दी में कई लोग 9 सेमी चुन लेते हैं, पर 9 तो भुजाओं की गिनती है, भुजा की लंबाई नहीं।

प्रश्न 2

एक सम पंचभुज की भुजा 12 सेमी है और उसके केंद्र से प्रत्येक भुजा की लंब दूरी 8.26 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 495.6 वर्ग सेमी (b) 99.12 वर्ग सेमी (c) 247.8 वर्ग सेमी (d) 49.56 वर्ग सेमी

उत्तर: केंद्र को पाँचों शीर्षों से मिला देते हैं। 5 बराबर त्रिभुज बन जाते हैं। हर एक का आधार 12 सेमी है और ऊँचाई 8.26 सेमी। एक त्रिभुज = $\frac{1}{2} \times 12 \times 8.26 = 49.56$ वर्ग सेमी, तो पाँचों मिलाकर (c) 247.8 वर्ग सेमी। चाहें तो सीधे $\frac{1}{2} \times \text{परिमाप} \times 8.26 = \frac{1}{2} \times 60 \times 8.26$ भी कर सकते हैं।

प्रश्न 3

8 सेमी भुजा वाले सम षट्भुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) $96\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (c) $48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $192\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: सम षट्भुज उसी भुजा वाले छह समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना है। 8 सेमी भुजा वाला एक त्रिभुज $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी का है। छहों मिलाकर $6 \times 16\sqrt{3}$ = (a) $96\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 4

एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल $\frac{27\sqrt{3}}{2}$ वर्ग सेमी है। उसके सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई कितनी है? (a) 3 सेमी (b) $3\sqrt{3}$ सेमी (c) 9 सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल के सूत्र को दिए गए क्षेत्रफल के बराबर रखते हैं, $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{27\sqrt{3}}{2}$। दोनों ओर से $\frac{\sqrt{3}}{2}$ कट जाता है, तो $3a^2 = 27$ और $a^2 = 9$, यानी a = 3 सेमी। सबसे लंबा विकर्ण केंद्र से होकर जाता है और दो भुजाओं जितना लंबा होता है। तो 2 × 3 = (d) 6 सेमी।

प्रश्न 5

एक सम षट्भुज की दो आमने-सामने की भुजाओं के बीच की दूरी 12 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) $72\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $54\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (c) $216\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $288\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: आमने-सामने की भुजाओं के बीच का फ़ासला छोटे समबाहु त्रिभुजों की दो ऊँचाइयों जितना होता है, यानी $\sqrt{3}a$। तो $\sqrt{3}a = 12$, जिससे $a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ सेमी और $a^2 = 48$ आता है। क्षेत्रफल = $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 48$ = (a) $72\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 6

ABCDEF एक सम षट्भुज है, जिसका परिमाप 132 सेमी है। त्रिभुज ACE का क्षेत्रफल कितना है? (a) $242\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $121\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (c) $363\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $726\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: हर भुजा 132 ÷ 6 = 22 सेमी है। तो षट्भुज का क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 484 = 726\sqrt{3}$ वर्ग सेमी हुआ। त्रिभुज ACE एक छोड़कर एक शीर्ष मिलाने से बना है, इसलिए यह षट्भुज का ठीक आधा है, यानी (c) $363\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। दूसरे तरीके से जाँच भी कर लेते हैं। ACE समबाहु है और उसकी भुजा $22\sqrt{3}$ है, तो क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1452 = 363\sqrt{3}$ ही आता है।

प्रश्न 7

15 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज से तीन बराबर कोने इस प्रकार काटे जाते हैं कि एक सम षट्भुज बचता है। षट्भुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) $\frac{225\sqrt{3}}{4}$ वर्ग सेमी (b) $\frac{75\sqrt{3}}{2}$ वर्ग सेमी (c) $\frac{75\sqrt{3}}{4}$ वर्ग सेमी (d) $\frac{675\sqrt{3}}{8}$ वर्ग सेमी

उत्तर: षट्भुज सम तभी होगा जब त्रिभुज की हर भुजा तीन बराबर भागों में कटे। तो षट्भुज की भुजा 15 ÷ 3 = 5 सेमी है। क्षेत्रफल = $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 25$ = (b) $\frac{75\sqrt{3}}{2}$ वर्ग सेमी। झटपट जाँच भी हो जाती है। षट्भुज बड़े त्रिभुज का दो-तिहाई होता है, और $\frac{2}{3} \times \frac{225\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$।

प्रश्न 8

[Tier 2] 5 सेमी भुजा वाले सम अष्टभुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) $25(1 + \sqrt{2})$ वर्ग सेमी (b) $25(3 + 2\sqrt{2})$ वर्ग सेमी (c) $100\sqrt{2}$ वर्ग सेमी (d) $50(1 + \sqrt{2})$ वर्ग सेमी

उत्तर: अष्टभुज का क्षेत्रफल $2(1 + \sqrt{2})a^2$ होता है। a = 5 रखने पर $2(1 + \sqrt{2}) \times 25$ = (d) $50(1 + \sqrt{2})$ वर्ग सेमी आता है, यानी लगभग 120.7 वर्ग सेमी। सूत्र कहाँ से आया, यह भी देख लेते हैं। अष्टभुज $5(1 + \sqrt{2})$ भुजा वाले वर्ग में ठीक समा जाता है। उसके कोनों से चार त्रिभुज कटते हैं, जिनमें हर एक की समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं, और चारों मिलाकर 25 वर्ग सेमी होते हैं। $25(3 + 2\sqrt{2})$ वाला विकल्प गलत है, क्योंकि वह कोने हटाने से पहले का पूरा वर्ग है।

प्रश्न 9

[Tier 2] 12 सेमी भुजा वाले एक वर्ग से चार बराबर समकोणीय कोने इस प्रकार काटे जाते हैं कि एक सम अष्टभुज बचता है। अष्टभुज की भुजा कितनी है? (a) $12(\sqrt{2} - 1)$ सेमी (b) 4 सेमी (c) $6(2 - \sqrt{2})$ सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: कटे कोने की हर छोटी भुजा $x$ मान लेते हैं। हर कोना समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है, तो अष्टभुज की भुजा, जो कोने की लंबी भुजा है, $x\sqrt{2}$ होगी। वर्ग की एक भुजा के दोनों सिरों पर कटे हिस्से हैं और बीच में अष्टभुज की भुजा, तो $x + x\sqrt{2} + x = 12$, जिससे $x = \frac{12}{2 + \sqrt{2}} = 6(2 - \sqrt{2})$ आता है। अब अष्टभुज की भुजा = $x\sqrt{2} = 6(2\sqrt{2} - 2)$ = (a) $12(\sqrt{2} - 1)$ सेमी, यानी लगभग 4.97 सेमी। कुछ लोग भुजा के तीन बराबर भाग करके 4 सेमी लिख देते हैं। पर ऐसा करने पर तिरछी भुजाएँ 4 सेमी से लंबी हो जाती हैं, और अष्टभुज सम नहीं रहता।

प्रश्न 10

एक वर्ग की भुजा 14 सेमी है। उसके परिवृत्त और अंतःवृत्त के बीच के वलय का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 308 वर्ग सेमी (b) 616 वर्ग सेमी (c) 154 वर्ग सेमी (d) 77 वर्ग सेमी

उत्तर: अंतःवृत्त की त्रिज्या भुजा का आधा है, r = 7 सेमी, तो $r^2 = 49$। परिवृत्त का व्यास वर्ग का विकर्ण है, यानी $14\sqrt{2}$, तो $R = 7\sqrt{2}$ और $R^2 = 98$। वलय = $\frac{22}{7} \times (98 - 49) = \frac{22}{7} \times 49$ = (c) 154 वर्ग सेमी। ध्यान दीजिए, यह अंतःवृत्त के अपने क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग में हमेशा ऐसा ही होता है।

प्रश्न 11

88 सेमी परिधि वाले एक वृत्त के अंदर एक वर्ग इस प्रकार खींचा गया है कि उसके चारों शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं। वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 196 वर्ग सेमी (b) 392 वर्ग सेमी (c) 616 वर्ग सेमी (d) 784 वर्ग सेमी

उत्तर: $2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$ से r = 14 सेमी आता है, यानी व्यास 28 सेमी है। वर्ग के चारों शीर्ष वृत्त पर हैं, इसलिए यही व्यास वर्ग का विकर्ण है। वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण के वर्ग का आधा होता है, तो $\frac{28^2}{2} = \frac{784}{2}$ = (b) 392 वर्ग सेमी। $2r^2 = 2 \times 196$ से भी यही आता है। 784 वर्ग सेमी तब आता है जब व्यास को ही भुजा मान लिया जाए, जो गलत है।

प्रश्न 12

21 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 462 वर्ग सेमी (b) 231 वर्ग सेमी (c) 346.5 वर्ग सेमी (d) 115.5 वर्ग सेमी

उत्तर: समबाहु त्रिभुज में $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है, तो $r^2 = \frac{a^2}{12} = \frac{441}{12} = \frac{147}{4}$। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times \frac{147}{4} = \frac{231}{2}$ = (d) 115.5 वर्ग सेमी। 462 वर्ग सेमी वाला विकल्प परिवृत्त का क्षेत्रफल है, जो अंतःवृत्त का 4 गुना होता है।

प्रश्न 13

8 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के अंदर एक समबाहु त्रिभुज इस प्रकार खींचा गया है कि उसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) $16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ वर्ग सेमी (c) $48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $24\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: त्रिभुज के शीर्ष वृत्त पर हैं, तो यह वृत्त त्रिभुज का परिवृत्त है। $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ से $a = 8\sqrt{3}$ सेमी आता है। क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 192$ = (c) $48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। सीधे सूत्र से भी यही आता है, क्षेत्रफल = $\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 64$।

प्रश्न 14

12 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त और अंतःवृत्त के बीच के वलय का क्षेत्रफल कितना है? (a) $36\pi$ वर्ग सेमी (b) $48\pi$ वर्ग सेमी (c) $12\pi$ वर्ग सेमी (d) $144\pi$ वर्ग सेमी

उत्तर: पहले दोनों त्रिज्याओं के वर्ग निकाल लेते हैं, $R^2 = \frac{a^2}{3} = 48$ और $r^2 = \frac{a^2}{12} = 12$। वलय = $\pi(48 - 12)$ = (a) $36\pi$ वर्ग सेमी। झटपट नियम से भी यही आता है। किसी भी सम बहुभुज में परिवृत्त और अंतःवृत्त के बीच का वलय सीधे भुजा से निकल आता है। यहाँ वह $\frac{\pi a^2}{4} = \frac{144\pi}{4}$ है।

प्रश्न 15

14 सेमी भुजा वाले सम षट्भुज के अंतःवृत्त का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 616 वर्ग सेमी (b) 154 वर्ग सेमी (c) 231 वर्ग सेमी (d) 462 वर्ग सेमी

उत्तर: अंतःवृत्त हर भुजा को उसके मध्य-बिंदु पर स्पर्श करता है। इसलिए उसकी त्रिज्या एक छोटे समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है, $r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 14 = 7\sqrt{3}$ सेमी, और $r^2 = 147$। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 147$ = (d) 462 वर्ग सेमी।

प्रश्न 16

एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 21 सेमी और 28 सेमी हैं। उसके अंतःवृत्त का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 616 वर्ग सेमी (b) 154 वर्ग सेमी (c) 962.5 वर्ग सेमी (d) 38.5 वर्ग सेमी

उत्तर: पहले कर्ण निकालते हैं, $\sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$ सेमी। समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{21 + 28 - 35}{2} = 7$ सेमी है। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 49$ = (b) 154 वर्ग सेमी।

प्रश्न 17

ABCD एक वर्ग है, जिसकी भुजा 16 सेमी है। इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से वर्ग PQRS बनता है, और PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से वर्ग WXYZ बनता है। WXYZ का क्षेत्रफल कितना है? (a) 64 वर्ग सेमी (b) 128 वर्ग सेमी (c) 32 वर्ग सेमी (d) 192 वर्ग सेमी

उत्तर: मध्य-बिंदु मिलाने से जो वर्ग बनता है, उसका क्षेत्रफल बाहर वाले वर्ग का आधा होता है। ABCD 256 वर्ग सेमी का है, तो PQRS 128 वर्ग सेमी का हुआ, और WXYZ उसका भी आधा, यानी (a) 64 वर्ग सेमी। WXYZ की भुजा 8 सेमी है, ठीक 16 का आधा। हर कदम पर भुजा $\sqrt{2}$ गुना छोटी होती है, तो दो कदमों में $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ गुना। 128 वर्ग सेमी चुनने का मतलब है एक कदम पहले रुक जाना, क्योंकि वह PQRS का क्षेत्रफल है।

प्रश्न 18

[Tier 2] 10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्त के व्यास पर एक वर्ग खड़ा है, और उसके ऊपर के दोनों शीर्ष चाप पर स्थित हैं। वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? (a) 100 वर्ग सेमी (b) 200 वर्ग सेमी (c) 80 वर्ग सेमी (d) 50 वर्ग सेमी

उत्तर: वर्ग की भुजा $s$ मान लेते हैं। केंद्र O व्यास का मध्य-बिंदु है, तो ऊपर का कोना O से $\frac{s}{2}$ बगल में है और $s$ ऊपर। वह कोना चाप पर है, इसलिए $\left(\frac{s}{2}\right)^2 + s^2 = 10^2$, यानी $\frac{5s^2}{4} = 100$। तो क्षेत्रफल $s^2$ = (c) 80 वर्ग सेमी।

प्रश्न 19

एक तार को मोड़कर 35 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाया जाता है। यदि उसी तार को मोड़कर एक वर्ग बनाया जाए, तो वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 3850 वर्ग सेमी (b) 12100 वर्ग सेमी (c) 4900 वर्ग सेमी (d) 3025 वर्ग सेमी

उत्तर: तार की लंबाई वृत्त की परिधि जितनी है, $2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220$ सेमी। वर्ग में मोड़ने पर हर भुजा 220 ÷ 4 = 55 सेमी होगी, और क्षेत्रफल 55 × 55 = (d) 3025 वर्ग सेमी। 3850 वर्ग सेमी तो वृत्त का क्षेत्रफल है, वर्ग का नहीं। वृत्त हमेशा अधिक क्षेत्रफल घेरता है।

प्रश्न 20

32 सेमी × 18 सेमी के आयत के आकार वाले एक तार को मोड़कर वर्ग बनाया जाता है। घिरे हुए क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होती है? (a) 25 वर्ग सेमी (b) 49 वर्ग सेमी (c) 625 वर्ग सेमी (d) 100 वर्ग सेमी

उत्तर: तार की लंबाई 2(32 + 18) = 100 सेमी है। तो वर्ग की भुजा 25 सेमी होगी और क्षेत्रफल 625 वर्ग सेमी। आयत का क्षेत्रफल 32 × 18 = 576 वर्ग सेमी था। वृद्धि = 625 − 576 = (b) 49 वर्ग सेमी। छोटे रास्ते से बढ़त सीधे $\left(\frac{32 - 18}{2}\right)^2 = 7^2$ निकल आती है।

प्रश्न 21

समबाहु त्रिभुज के आकार में मुड़ा एक तार $1089\sqrt{3}$ वर्ग सेमी क्षेत्रफल घेरता है। उसी तार को मोड़कर एक वृत्त बनाया जाता है। वृत्त का क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 346.5 वर्ग सेमी (b) 12474 वर्ग सेमी (c) 3118.5 वर्ग सेमी (d) 1559.25 वर्ग सेमी

उत्तर: $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 1089\sqrt{3}$ से $a^2 = 4356$, यानी a = 66 सेमी। तार 3 × 66 = 198 सेमी लंबा है। वृत्त में $2 \times \frac{22}{7} \times r = 198$ से r = 31.5 सेमी आता है। क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 31.5 \times 31.5 = 99 \times 31.5$ = (c) 3118.5 वर्ग सेमी।

प्रश्न 22

एक वर्ग और एक समबाहु त्रिभुज के परिमाप बराबर हैं। वर्ग के क्षेत्रफल और त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है? (a) $3\sqrt{3} : 4$ (b) $4 : 3\sqrt{3}$ (c) 9 : 16 (d) 3 : 4

उत्तर: परिमाप 12 इकाई मान लेते हैं, क्योंकि 12, 3 और 4 दोनों से पूरा बँट जाता है। वर्ग की भुजा 3 होगी और क्षेत्रफल 9। त्रिभुज की भुजा 4 होगी और क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$। अनुपात = $9 : 4\sqrt{3}$। दोनों पदों को $\sqrt{3}$ से गुणा करें, तो $9\sqrt{3} : 12$ आता है, यानी (a) $3\sqrt{3} : 4$। वर्ग का क्षेत्रफल अधिक आया, और यह ठीक भी है, क्योंकि उसकी भुजाओं की संख्या अधिक है।

प्रश्न 23

20 मीटर × 15 मीटर के एक आयताकार भूखंड के एक कोने से 12 मीटर × 8 मीटर का एक आयताकार भाग हटा दिया गया है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। बचे हुए L-आकार के भूखंड का क्षेत्रफल कितना है? (a) 96 वर्ग मीटर (b) 204 वर्ग मीटर (c) 300 वर्ग मीटर (d) 140 वर्ग मीटर

उत्तर: पूरे आयत में से गायब कोना घटा देते हैं, 20 × 15 − 12 × 8 = 300 − 96 = (b) 204 वर्ग मीटर। बाँटकर जाँच भी कर लेते हैं। नीचे की पट्टी 20 मीटर × 7 मीटर की है (15 − 8 = 7), यानी 140 वर्ग मीटर। बाईं ओर ऊपर उठा भाग 8 मीटर × 8 मीटर का है (20 − 12 = 8), यानी 64 वर्ग मीटर। दोनों मिलाकर 140 + 64 = 204।

प्रश्न 24

36 सेमी × 24 सेमी के एक चित्र के चारों ओर 4 सेमी चौड़ा फ़्रेम लगा है। फ़्रेम का क्षेत्रफल कितना है? (a) 480 वर्ग सेमी (b) 1408 वर्ग सेमी (c) 240 वर्ग सेमी (d) 544 वर्ग सेमी

उत्तर: फ़्रेम चारों ओर 4 सेमी चौड़ा है, इसलिए लंबाई में दोनों सिरों के मिलाकर 8 सेमी जुड़ते हैं, और इसी तरह चौड़ाई में भी। फ़्रेम समेत बाहरी माप (36 + 8) × (24 + 8), यानी 44 सेमी × 32 सेमी है, और इसका क्षेत्रफल 1408 वर्ग सेमी। चित्र 36 × 24 = 864 वर्ग सेमी का है। तो फ़्रेम = 1408 − 864 = (d) 544 वर्ग सेमी। सूत्र से भी यही आता है, $2w(l + b) + 4w^2 = 480 + 64$।