त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप

मूल सूत्र: आधार × ऊँचाई का आधा

इस अध्याय में त्रिभुज के लगभग सारे प्रश्न आख़िर में एक ही सूत्र से हल होते हैं।

त्रिभुज की कोई भी भुजा चुन लीजिए। वही उसका आधार है। सामने वाले शीर्ष से इस आधार वाली रेखा तक की लंब दूरी ऊँचाई कहलाती है। ऊँचाई को शीर्षलंब (altitude) भी कहते हैं।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$$

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए आम तौर पर $\Delta$ चिह्न लिखा जाता है।

आधा क्यों लेते हैं: एक ही त्रिभुज की दो प्रतियाँ लीजिए। एक को घुमाकर दोनों को किसी एक भुजा पर सटा दीजिए। एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है, जिसका आधार और ऊँचाई वही हैं जो त्रिभुज के हैं। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होता है, तो एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधा हुआ।

ऊँचाई कहाँ गिरती है: न्यूनकोण त्रिभुज में ऊँचाई का पाद आधार पर ही गिरता है, जैसे बाएँ चित्र में D। अगर आधार के किसी एक सिरे पर अधिक कोण हो, तो पाद त्रिभुज के बाहर, बढ़ाए गए आधार पर गिरता है, जैसे दाएँ चित्र में E। इससे सूत्र में कोई बदलाव नहीं आता। त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल तब भी QR × PE का आधा ही है।

एक सीधा-सा उदाहरण लीजिए। आधार 16 सेमी है और ऊँचाई 9 सेमी, तो क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 16 \times 9 = 72$ वर्ग सेमी हुआ।

क्षेत्रफल से ऊँचाई: कभी क्षेत्रफल दिया होता है और ऊँचाई पूछी जाती है। तब सूत्र को उलट दीजिए।

$$\text{ऊँचाई} = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}}$$

जैसे क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है और आधार 12 सेमी, तो ऊँचाई $\frac{2 \times 54}{12} = 9$ सेमी होगी। इसी तरह $\text{आधार} = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{ऊँचाई}}$ होता है।

परिमाप: तीनों भुजाओं का योग परिमाप कहलाता है, यानी a + b + c। इसके आधे को अर्धपरिमाप (semi-perimeter) कहते हैं और इसे s से दिखाते हैं। आगे हीरोन के सूत्र (Heron's formula) में भी s लगता है, और अंतःत्रिज्या (inradius) वाले सूत्र में भी। इसलिए सबसे पहले s निकाल लेने की आदत डाल लीजिए।

इकाइयाँ: लंबाइयाँ सेमी में हों तो क्षेत्रफल वर्ग सेमी में आता है, और मीटर में हों तो वर्ग मीटर में। गुणा करने से पहले दोनों लंबाइयाँ एक ही इकाई में कर लीजिए। लागत वाले प्रश्नों में दो रूपांतरण काम आते हैं। 1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेमी, और 1 हेक्टेयर = 10,000 वर्ग मीटर।

[SSC टिप] विकल्पों में लगभग हर बार दो गलत उत्तर रखे होते हैं। एक में आधा करना भूलकर सही मान का ठीक दोगुना लिखा होता है। दूसरे में तिरछी भुजा को ही ऊँचाई मान लिया गया होता है। याद रखिए, ऊँचाई आधार से 90° पर मिलती है।

हीरोन का सूत्र: तीन भुजाओं से क्षेत्रफल

जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पता हों और ऊँचाई न दी हो, तब हीरोन का सूत्र लगाइए। पहला कदम है अर्धपरिमाप निकालना, यानी परिमाप का आधा।

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

इसके बाद क्षेत्रफल इस सूत्र से निकलता है।

$$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$

पूरा उदाहरण: मान लीजिए भुजाएँ 10 सेमी, 17 सेमी और 21 सेमी हैं। परिमाप 48 सेमी है, तो s = 24। अब तीनों कोष्ठक निकालिए। s − a = 24 − 21 = 3, s − b = 24 − 17 = 7 और s − c = 24 − 10 = 14।

$$\Delta = \sqrt{24 \times 3 \times 7 \times 14}$$

यहाँ सारी संख्याओं का गुणा करने न बैठिए। गुणनखंडों के ऐसे जोड़े बनाइए कि वर्ग दिखने लगें। 24 × 3 = 72 = 36 × 2 और 7 × 14 = 98 = 49 × 2। तो पूरा गुणनफल 36 × 49 × 4 हुआ, और इसका वर्गमूल 6 × 7 × 2 = 84 वर्ग सेमी है।

दो झटपट जाँचें: हीरोन लगाते समय ये दो बातें देख लीजिए।

• तीनों कोष्ठकों का योग हमेशा s होता है, क्योंकि (s − a) + (s − b) + (s − c) = 3s − 2s = s। यहाँ 3 + 7 + 14 = 24 है, तो घटाव ठीक हुए हैं।
• कोई कोष्ठक शून्य या ऋणात्मक आए, तो ऐसा "त्रिभुज" होता ही नहीं। यही त्रिभुज असमिका है। हर भुजा बाकी दोनों भुजाओं के योग से छोटी होनी चाहिए।

हीरोन से ऊँचाइयाँ: क्षेत्रफल मिलते ही हर भुजा पर ऊँचाई $h = \frac{2\Delta}{\text{भुजा}}$ से निकल आती है। 10, 17, 21 वाले त्रिभुज में 21 सेमी वाली भुजा पर ऊँचाई $\frac{168}{21} = 8$ सेमी है, और 10 सेमी वाली भुजा पर 16.8 सेमी।

याद रखने लायक त्रिभुज: 13, 14, 15 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल भी 84 है। इसमें s = 21 है, और $21 \times 8 \times 7 \times 6 = 7056 = 84^2$। समद्विबाहु त्रिभुज 5, 5, 6 और 5, 5, 8 में दोनों का क्षेत्रफल 12 है। इनकी भुजाओं के गुणज वाले त्रिभुज भी उतनी ही जल्दी हल हो जाते हैं। हर भुजा दोगुनी हो, तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है। इस पर इसी खंड में आगे विस्तार से बात करेंगे, जहाँ त्रिभुज को बड़ा-छोटा करना देखेंगे।

[SSC टिप] हीरोन शुरू करने से पहले देख लीजिए कि भुजाएँ कोई पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) तो नहीं हैं। जैसे भुजाएँ 11, 60, 61 हों, तो $11^2 + 60^2 = 61^2$ है। यानी त्रिभुज समकोण है, और क्षेत्रफल बस $\frac{1}{2} \times 11 \times 60 = 330$ वर्ग सेमी। भुजाएँ बराबर हों, तब भी हीरोन से छोटा रास्ता है। आगे आने वाले समबाहु और समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र उससे जल्दी काम करते हैं।

समकोण त्रिभुज: भुजाएँ, कर्ण और कर्ण पर शीर्षलंब

समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 90° पर मिलती हैं। इन्हें समकोण बनाने वाली भुजाएँ कहते हैं। इनमें से एक को आधार और दूसरी को ऊँचाई मान लीजिए, क्षेत्रफल तुरंत निकल आता है।

$$\Delta = \frac{1}{2} \times a \times b \qquad c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

यहाँ a और b समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं, और c कर्ण है, जो पाइथागोरस से निकलता है।

जैसे समकोण बनाने वाली भुजाएँ 15 सेमी और 20 सेमी हों, तो कर्ण $\sqrt{225 + 400} = 25$ सेमी होगा। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$ वर्ग सेमी और परिमाप 15 + 20 + 25 = 60 सेमी।

कर्ण पर शीर्षलंब: अब कर्ण को आधार मान लीजिए। क्षेत्रफल तो वही रहेगा, इसलिए $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$। इससे शीर्षलंब निकल आता है।

$$h = \frac{ab}{c} = \frac{\text{समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल}}{\text{कर्ण}}$$

चित्र वाले त्रिभुज में $h = \frac{15 \times 20}{25} = 12$ सेमी है। यही शीर्षलंब कर्ण को दो भागों में बाँटता है, $\frac{a^2}{c} = 9$ और $\frac{b^2}{c} = 16$। साथ में $h^2 = 9 \times 16$ भी होता है। इसकी वजह अध्याय 12 (ज्यामिति) में देखिए।

त्रिक से समय की बचत: SSC के ज़्यादातर समकोण त्रिभुज कुछ गिने-चुने त्रिकों पर बने होते हैं, या उनके किसी गुणज पर। ये त्रिक हैं (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (12, 35, 37) और (11, 60, 61)। त्रिक पहचान लिया, तो वर्गमूल निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

कर्ण और परिमाप दिए हों, क्षेत्रफल चाहिए: परिमाप में से c घटा दीजिए, a + b मिल जाएगा। साथ में $a^2 + b^2 = c^2$ तो पता ही है। अब $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ होता है, और $2ab = 4\Delta$। इसलिए क्षेत्रफल सीधे इस सूत्र से निकल आता है।

$$\Delta = \frac{(a + b)^2 - c^2}{4}$$

जैसे परिमाप 84 सेमी है और कर्ण 37 सेमी। तो a + b = 47, और $\Delta = \frac{2209 - 1369}{4} = 210$ वर्ग सेमी। भुजाएँ 12 और 35 हैं, पर उनकी ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

यही सर्वसमिका उलटी भी चलती है। क्षेत्रफल और कर्ण दिए हों, तो इससे पहले a + b निकलता है और फिर परिमाप। "क्षेत्रफल और कर्ण दिए हैं, परिमाप ज्ञात कीजिए" वाला प्रश्न देखने में कठिन लगता है, पर है दो पंक्तियों का काम। $(a + b)^2 = c^2 + 4\Delta$ लिखिए, वर्गमूल लेकर a + b निकालिए और उसमें c जोड़ दीजिए। हर भुजा अलग-अलग निकालने की कोशिश न कीजिए।

समबाहु त्रिभुज: क्षेत्रफल, ऊँचाई और परिमाप

समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ a होती हैं और तीनों कोण 60°। किसी भी शीर्ष से ऊँचाई डालिए, वह सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु पर गिरती है। इससे त्रिभुज दो समकोण त्रिभुजों में बँट जाता है। हर एक का कर्ण a है और आधार $\frac{a}{2}$। अब पाइथागोरस से ऊँचाई निकाल लेते हैं।

$$h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

फिर आधार × ऊँचाई का आधा लेने पर क्षेत्रफल मिलता है।

$$\Delta = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

जैसे भुजा 12 सेमी हो, तो ऊँचाई $6\sqrt{3}$ सेमी होगी, जो लगभग 10.39 सेमी है। क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}$ वर्ग सेमी होगा, यानी लगभग 62.35 वर्ग सेमी। परिमाप 3a = 36 सेमी।

सीधे ऊँचाई से क्षेत्रफल: ऊँचाई दी हो, तो $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ में रख दीजिए।

$$\Delta = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$

जैसे ऊँचाई 9 सेमी हो, तो क्षेत्रफल $\frac{81}{\sqrt{3}} = 27\sqrt{3}$ वर्ग सेमी आता है। हर से वर्गमूल हटाने के लिए परिमेयकरण करते हैं, यानी अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा करते हैं। $\frac{81\sqrt{3}}{3}$ आता है, और इसे सरल करने पर यही उत्तर मिलता है।

क्षेत्रफल से भुजा और परिमाप: अब उलटा चलिए। मान लीजिए क्षेत्रफल $144\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। तो $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 144\sqrt{3}$, जिससे $a^2 = 576$ आता है। यानी a = 24 सेमी और परिमाप 72 सेमी। ध्यान दीजिए, जब क्षेत्रफल में $\sqrt{3}$ होता है, तो वह दोनों ओर से कट जाता है। तब $a^2$ बस उसके साथ लिखी संख्या का 4 गुना होता है।

तीनों में से जो भी दिया हो, बाकी चीज़ें इस तालिका से सीधे लिख सकते हैं।

समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ होती है और परित्रिज्या (circumradius) $\frac{a}{\sqrt{3}}$। ये दोनों आगे अंतःत्रिज्या वाले सूत्र के साथ फिर आएँगी।

विकल्प दशमलव में दिए हों, तो $\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$ लीजिए।

एक गलती से बचिए। कुछ छात्र $\frac{h^2}{\sqrt{3}}$ की जगह $h^2\sqrt{3}$ लिख देते हैं। इससे उत्तर तीन गुना बड़ा आता है, और यह गलत मान अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज: $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$

मान लीजिए समद्विबाहु त्रिभुज की दोनों बराबर भुजाएँ a हैं और आधार b। ऊपरी शीर्ष से डाली गई ऊँचाई यहाँ माध्यिका भी होती है, यानी वह आधार के मध्य-बिंदु पर गिरती है। इससे त्रिभुज दो बराबर हिस्सों में बँट जाता है। हर हिस्सा एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कर्ण a है और आधार $\frac{b}{2}$।

$$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} \qquad \Delta = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$

जैसे बराबर भुजाएँ 15 सेमी हों और आधार 18 सेमी, तो ऊँचाई $\sqrt{225 - 81} = 12$ सेमी आती है। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$ वर्ग सेमी। सीधे सूत्र से करें, तो $\frac{18}{4}\sqrt{900 - 324} = 4.5 \times 24 = 108$ वर्ग सेमी। दोनों रास्तों से उत्तर एक ही आता है। पर पहले ऊँचाई निकालने में आम तौर पर गलती की गुंजाइश कम रहती है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज: इसमें समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ बराबर होती हैं, मान लीजिए a और a। तब कर्ण $a\sqrt{2}$ होता है और क्षेत्रफल $\frac{a^2}{2}$। कर्ण c दिया हो, तो यही क्षेत्रफल $\frac{c^2}{4}$ है। जैसे समकोण बनाने वाली भुजाएँ 9 सेमी हों, तो क्षेत्रफल 40.5 वर्ग सेमी और कर्ण $9\sqrt{2}$ सेमी होगा।

क्षेत्रफल से आधार, जब दो उत्तर निकलें: मान लीजिए बराबर भुजाएँ 10 सेमी हैं और क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी। आधा आधार x और ऊँचाई h लीजिए। तो $x^2 + h^2 = 100$ और $xh = 48$। अब पहले समीकरण में दूसरे का दोगुना जोड़िए, और फिर घटाइए।

$$(x + h)^2 = 196 \qquad (x - h)^2 = 4$$

तो x + h = 14 है और दोनों का अंतर 2। अब या तो x = 8 और h = 6, जिससे आधार 16 सेमी आता है। या फिर x = 6 और h = 8, जिससे आधार 12 सेमी आता है। जाँचकर देखिए, 10, 10, 16 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सच में 48 वर्ग सेमी है, और 10, 10, 12 वाले का भी।

परिमाप वाले प्रश्न: परिमाप और आधार दिए हों, तो हर बराबर भुजा $\frac{P - b}{2}$ होती है। परिमाप और एक बराबर भुजा दी हो, तो आधार P − 2a होता है। इसके बाद ऊँचाई निकालकर आगे बढ़िए।

जब दो उत्तर निकलें, तो विकल्पों में अक्सर इनमें से एक ही आधार दिया होता है। जो विकल्प में है, वही लीजिए। दोनों दिए हों, तो प्रश्न दोबारा पढ़िए और कोई संकेत ढूँढिए, जैसे "आधार बराबर भुजाओं से लंबा है"।

दो भुजाएँ और अंतर्गत कोण: $\frac{1}{2}ab\sin C$

कभी प्रश्न में दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया होता है, पर ऊँचाई नहीं। तब A से भुजा CB पर ऊँचाई डालिए। जो समकोण त्रिभुज बनता है, उसमें यह ऊँचाई $b \sin C$ के बराबर होती है। अब आधार × ऊँचाई का आधा लीजिए।

$$\Delta = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$$

यहाँ C वह कोण है जो भुजाओं a और b के बीच में है। इसे अंतर्गत कोण (included angle) कहते हैं।

इस सूत्र के लिए बस छह sin मान याद होने चाहिए। sin अनुपात क्या होता है, यह अध्याय 15 (त्रिकोणमिति) में पढ़ेंगे।

ध्यान दीजिए, 120° का sin वही है जो 60° का है, और 150° का वही जो 30° का। इसलिए अधिक कोण से भी उतना ही क्षेत्रफल आता है जितना उसके संपूरक कोण से।

उदाहरण: ये तीन स्थितियाँ देखिए।

• भुजाएँ 8 सेमी और 10 सेमी हैं, और उनके बीच 30° का कोण है। तो $\Delta = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \frac{1}{2} = 20$ वर्ग सेमी।
• भुजाएँ 6 सेमी और 10 सेमी हैं, और बीच में 120° का कोण है। तो $\Delta = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।
• a = b और C = 60° रख दीजिए। $\frac{1}{2}a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ मिलता है, जो समबाहु त्रिभुज वाला सूत्र ही है।

सबसे बड़ा क्षेत्रफल: $\sin C$ का मान अधिक से अधिक 1 हो सकता है, और यह 90° पर होता है। इसलिए 8 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40$ वर्ग सेमी से ज़्यादा नहीं हो सकता। यह सबसे बड़ा क्षेत्रफल तब मिलता है जब दोनों भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब हों। "दी गई दो भुजाओं वाले त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल" पूछा जाए, तो हमेशा यही स्थिति लीजिए।

यही बात समांतर चतुर्भुज में भी चलती है, जिसका क्षेत्रफल $ab\sin C$ होता है। इसे अगले खंड "चतुर्भुज: आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब" में देखेंगे।

[SSC टिप] कोण वही लीजिए जो दोनों दी गई भुजाओं के बीच का हो। भुजाएँ AB और AC दी हों, तो कोण A चाहिए। अगर उसकी जगह कोण B दिया हो, तो पहले बची हुई भुजा या कोण निकालिए, उसके बाद सूत्र लगाइए।

अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या से क्षेत्रफल: $\Delta = rs$ और $\Delta = \frac{abc}{4R}$

अंतःत्रिज्या: अंतःवृत्त त्रिभुज की तीनों भुजाओं को छूता है। उसका केंद्र I हर भुजा से एक ही दूरी r पर होता है। अब I को तीनों शीर्षों से मिला दीजिए। त्रिभुज तीन त्रिभुजों IBC, ICA और IAB में बँट जाता है। इनके आधार a, b और c हैं, और तीनों की ऊँचाई r है। तीनों के क्षेत्रफल जोड़ दीजिए।

$$\Delta = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \times \frac{a + b + c}{2} = rs$$

तो अंतःत्रिज्या वाले सूत्र ये हैं।

$$\Delta = rs \qquad r = \frac{\Delta}{s}$$

10, 17, 21 वाला त्रिभुज फिर से लीजिए। उसका क्षेत्रफल 84 है और s = 24, तो अंतःत्रिज्या $\frac{84}{24} = 3.5$ सेमी है। एक और उदाहरण देखिए। किसी त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है और अंतःत्रिज्या 3 सेमी। तो क्षेत्रफल 3 × 18 = 54 वर्ग सेमी होगा, भुजाएँ चाहे जो भी हों।

परित्रिज्या: परिवृत्त त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर जाता है। उसकी त्रिज्या R और क्षेत्रफल का संबंध यह है।

$$\Delta = \frac{abc}{4R} \qquad R = \frac{abc}{4\Delta}$$

इस सूत्र की उपपत्ति अध्याय 12 (ज्यामिति) में है। 10, 17, 21 वाले उसी त्रिभुज में $R = \frac{10 \times 17 \times 21}{4 \times 84} = \frac{3570}{336} = \frac{85}{8}$ सेमी आती है, यानी 10.625 सेमी।

दो ख़ास स्थितियाँ: इन्हें ज़बानी याद कर लीजिए।

• समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाएँ a, b हों और कर्ण c, तो $r = \frac{a + b - c}{2}$ और $R = \frac{c}{2}$ होते हैं। यहाँ कर्ण ही परिवृत्त का व्यास होता है। 5, 12, 13 वाले त्रिभुज के लिए r = 2 सेमी और R = 6.5 सेमी। $\Delta = rs$ से जाँच भी कर लीजिए, 30 = 2 × 15।
• समबाहु त्रिभुज की भुजा a हो, तो $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ और $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = 2r$। r से सीधे क्षेत्रफल चाहिए, तो वह $3\sqrt{3}\,r^2$ होता है। जैसे भुजा $6\sqrt{3}$ सेमी हो, तो r = 3 सेमी, R = 6 सेमी और क्षेत्रफल $27\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

एक बात ध्यान रखिए। $\Delta = rs$ में आधा पहले से शामिल है, क्योंकि s अर्धपरिमाप है, पूरा परिमाप नहीं। यहाँ पूरा परिमाप ले लिया, तो अंतःत्रिज्या सही मान की आधी आएगी, या क्षेत्रफल सही मान का दोगुना। यह गलत मान हमेशा विकल्पों में मौजूद रहता है।

भुजा या शीर्षलंब, और अनुपात में भुजाएँ

तीन ऊँचाइयाँ, एक क्षेत्रफल: त्रिभुज की हर भुजा की अपनी ऊँचाई होती है। भुजा a पर $h_a$, भुजा b पर $h_b$ और भुजा c पर $h_c$। कोई भी भुजा और उसकी ऊँचाई लीजिए, क्षेत्रफल वही आएगा।

$$a \times h_a = b \times h_b = c \times h_c = 2\Delta$$

इससे दो काम की बातें निकलती हैं।

• ऊँचाई से भुजा, या भुजा से ऊँचाई: $\text{भुजा} = \frac{2\Delta}{\text{उसकी ऊँचाई}}$। मान लीजिए क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है और दो ऊँचाइयाँ 10 सेमी और 12 सेमी हैं। तो ये ऊँचाइयाँ $\frac{300}{10} = 30$ सेमी और $\frac{300}{12} = 25$ सेमी वाली भुजाओं पर हैं।
• ऊँचाइयाँ भुजाओं के उलटे अनुपात में होती हैं: $h_a : h_b : h_c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$। यानी सबसे लंबी भुजा पर सबसे छोटी ऊँचाई होती है। भुजाएँ 4, 5, 6 हों, तो ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{1}{4} : \frac{1}{5} : \frac{1}{6}$ है। इसे 60 से गुणा कीजिए, जो 4, 5 और 6 का ल.स. (LCM) है। 15 : 12 : 10 मिल जाता है।

अनुपात में भुजाएँ: भुजाएँ किसी अनुपात में दी हों, तो उन्हें किसी अज्ञात संख्या k के गुणज मान लीजिए।

परिमाप दिया हो: अनुपात 3 : 4 : 5 है और परिमाप 48 सेमी। तो 3k + 4k + 5k = 12k = 48, यानी k = 4। भुजाएँ 12, 16 और 20 सेमी हैं। ये 3, 4, 5 वाले त्रिक के गुणज हैं, तो त्रिभुज समकोण है। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$ वर्ग सेमी।

क्षेत्रफल दिया हो: पहले उस "अनुपात वाले त्रिभुज" का क्षेत्रफल निकालिए, जिसकी भुजाएँ अनुपात की संख्याएँ ही हों। फिर याद रखिए कि असली क्षेत्रफल इसका $k^2$ गुना होता है। इसकी वजह अगले भाग में देखेंगे। जैसे भुजाओं का अनुपात 10 : 17 : 21 है। 10, 17, 21 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 है, तो इस त्रिभुज का क्षेत्रफल $84k^2$ होगा। असली क्षेत्रफल 1344 वर्ग सेमी दिया है, तो $k^2 = 16$ और k = 4। भुजाएँ 40, 68 और 84 सेमी हैं, और परिमाप 192 सेमी।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। क्षेत्रफल से पहले $k^2$ मिलता है, k नहीं। ऊपर वाले उदाहरण में कोई k = 16 ले ले, तो भुजाएँ 160, 272 और 336 सेमी आएँगी, जो चार गुना लंबी हैं। इसलिए अनुपात से गुणा करने से पहले हमेशा वर्गमूल लीजिए।

त्रिभुज को बड़ा-छोटा करना, और क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन

त्रिभुज की हर भुजा को k से गुणा कर दीजिए। आकृति वैसी ही रहती है, और हर ऊँचाई भी k गुनी हो जाती है। इसलिए क्षेत्रफल और परिमाप इस तरह बदलते हैं।

$$\text{नया क्षेत्रफल} = k^2 \times \text{पुराना क्षेत्रफल} \qquad \text{नया परिमाप} = k \times \text{पुराना परिमाप}$$

चित्र में k = 3 है। बड़ा त्रिभुज छोटे त्रिभुज की 9 प्रतियों के बराबर है। समरूप त्रिभुजों का नियम भी यही है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

हर भुजा में एक जैसा प्रतिशत परिवर्तन: हर भुजा 20% बढ़े, तो k = 1.2 है। क्षेत्रफल $1.2^2 = 1.44$ गुना हो जाता है, यानी 44% की वृद्धि। परिमाप में केवल 20% की वृद्धि होती है। हर भुजा 10% घटे, तो k = 0.9 और $0.9^2 = 0.81$। यानी क्षेत्रफल में 19% की कमी हुई। यह बात समबाहु त्रिभुज, समकोण त्रिभुज और किसी भी दूसरी आकृति पर लागू होती है।

क्षेत्रफल से भुजा का परिवर्तन: क्षेत्रफल 4 गुना हो गया, तो हर भुजा दोगुनी हुई, क्योंकि $\sqrt{4} = 2$। क्षेत्रफल में 21% की वृद्धि हुई, तो गुणक 1.21 है। यानी हर भुजा में 10% की वृद्धि हुई, क्योंकि $\sqrt{1.21} = 1.1$।

आधार और ऊँचाई में अलग-अलग परिवर्तन: क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई का आधा है, इसलिए दोनों के गुणक आपस में गुणा होते हैं। आधार में x% और ऊँचाई में y% परिवर्तन हो, तो क्षेत्रफल में परिवर्तन इतना होगा।

$$x + y + \frac{xy}{100} \text{ प्रतिशत}$$

कमी हो, तो उसे ऋणात्मक लीजिए। यह वही क्रमिक परिवर्तन वाला नियम है, जो अध्याय 3 (प्रतिशत) में पढ़ा था। जैसे आधार 20% बढ़ा और ऊँचाई 10% घटी। तो 20 − 10 + $\frac{20 \times (-10)}{100}$ = 10 − 2 = 8% की वृद्धि हुई। गुणकों से जाँचें, तो 1.2 × 0.9 = 1.08 आता है।

[SSC टिप] "हो जाता है" और "बढ़ जाता है" का फ़र्क समझिए। हर भुजा तीन गुनी करने पर क्षेत्रफल 9 गुना हो जाता है। मतलब वह पुराने क्षेत्रफल के 8 गुने जितना बढ़ जाता है, यानी 800%। विकल्पों में 900% और 800% दोनों होंगे। प्रश्न के शब्द ध्यान से पढ़िए, उनसे इनमें से एक ही मेल खाएगा।

माध्यिकाएँ, मध्य-बिंदु और एक ही समांतर रेखाओं के बीच त्रिभुज

इन प्रश्नों में लगभग कोई हिसाब नहीं करना पड़ता। सबकी जड़ में एक ही बात है। बराबर आधार और एक ही ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

माध्यिका क्षेत्रफल को आधा करती है: माध्यिका AD शीर्ष A से भुजा BC के मध्य-बिंदु तक जाती है। त्रिभुज ABD और ACD के आधार बराबर हैं, क्योंकि BD = DC, और A से दोनों की ऊँचाई एक ही है। इसलिए दोनों का क्षेत्रफल बराबर है, और हर एक त्रिभुज ABC का आधा है। तीनों माध्यिकाएँ खींच दें, तो छह छोटे त्रिभुज बनते हैं। सबका क्षेत्रफल बराबर होता है, और हर एक पूरे त्रिभुज का $\frac{1}{6}$ होता है।

मध्य-बिंदु मिलाने पर चौथाई: मान लीजिए D, E और F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। रेखाखंड DE, EF और FD खींचने पर त्रिभुज ABC चार त्रिभुजों में बँट जाता है, और चारों सर्वांगसम होते हैं।

$$\text{क्षेत्रफल } \triangle DEF = \frac{1}{4} \times \text{क्षेत्रफल } \triangle ABC$$

DEF के अंदर फिर से यही कीजिए, तो अगला त्रिभुज ABC का $\frac{1}{16}$ होगा। जैसे ABC = 100 वर्ग सेमी हो, तो DEF = 25 वर्ग सेमी, और DEF के अंदर वाला त्रिभुज 6.25 वर्ग सेमी। DEF का परिमाप ABC के परिमाप का आधा होता है, क्योंकि मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार DEF की हर भुजा ABC की किसी एक भुजा की आधी होती है।

एक ही आधार, एक ही समांतर रेखाएँ: मान लीजिए A और D, BC के समांतर एक ही रेखा पर हैं। तब त्रिभुज ABC और DBC का आधार भी वही है और ऊँचाई भी वही। इसलिए दोनों का क्षेत्रफल बराबर है, देखने में वे चाहे कितने भी अलग लगें।

एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच कोई त्रिभुज और कोई समांतर चतुर्भुज बने हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज का आधा होता है।

आधार पर कोई बिंदु: BC पर एक बिंदु D है, और BD : DC = 2 : 3। त्रिभुज ABD और ADC की A से ऊँचाई एक ही है, इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात भी 2 : 3 होगा। अगर त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है, तो दोनों के क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी और 36 वर्ग सेमी हैं।

[Tier 2] माध्यिकाओं से बना त्रिभुज: त्रिभुज ABC की तीनों माध्यिकाएँ लीजिए और मान लीजिए कि इन्हीं लंबाइयों की भुजाओं वाला एक नया त्रिभुज बनाया गया है। उसका क्षेत्रफल ABC का $\frac{3}{4}$ होता है। इसलिए जब केवल माध्यिकाएँ दी हों, तो पहले इस "माध्यिका-त्रिभुज" का क्षेत्रफल निकालिए, हीरोन से या त्रिक से। फिर उसे $\frac{4}{3}$ से गुणा कर दीजिए।

परिमाप, बाड़ और समतलीकरण या घास लगाने की लागत

लागत वाले प्रश्न असल में क्षेत्रफल या परिमाप के ही प्रश्न हैं, बस अंत में एक गुणा और करना पड़ता है। बस इतना तय करना है कि दर परिमाप पर लगेगी या क्षेत्रफल पर।

पूरा उदाहरण: एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ 25 मीटर, 51 मीटर और 52 मीटर हैं।

• परिमाप = 25 + 51 + 52 = 128 मीटर, तो s = 64 मीटर।
• हीरोन से क्षेत्रफल $\sqrt{64 \times 12 \times 13 \times 39}$ है। इसमें 64 तो अपने-आप में वर्ग है। बाकी 12 × 13 × 39 = 12 × 3 × 13 × 13 = 36 × 169। तो क्षेत्रफल 8 × 6 × 13 = 624 वर्ग मीटर हुआ।
• ₹12 प्रति वर्ग मीटर की दर से घास लगाने की लागत 624 × 12 = ₹7,488 है।
• ₹35 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत 128 × 35 = ₹4,480 है।
• फाटक के लिए 3 मीटर जगह छोड़नी हो, तो बाड़ केवल 125 मीटर पर लगेगी। तब लागत 125 × 35 = ₹4,375 होगी।

लागत दी हो: तब उलटा चलिए। लागत और दर से क्षेत्रफल या परिमाप निकल आता है। समबाहु भूखंड में परिमाप से भुजा सीधे मिल जाती है। क्षेत्रफल से भुजा चाहिए, तो $a^2 = \frac{4\Delta}{\sqrt{3}}$ से निकालिए।

केवल परिमाप वाले प्रश्न: ऐसे ज़्यादातर प्रश्नों में इनमें से कोई एक चीज़ चाहिए होती है।

• परिमाप और दो भुजाओं से तीसरी भुजा। इसके बाद अक्सर हीरोन लगता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ, हर एक $\frac{P - b}{2}$।
• समबाहु त्रिभुज की भुजा, $\frac{P}{3}$।
• समकोण त्रिभुज का परिमाप, उसके क्षेत्रफल और कर्ण से। यह $(a + b)^2 = c^2 + 4\Delta$ के सहारे निकलता है।

लागत वाले प्रश्नों में इकाइयाँ: दर प्रति हेक्टेयर हो, तो क्षेत्रफल हेक्टेयर में चाहिए, यानी वर्ग मीटर ÷ 10,000। दर पैसों में हो, तो उसे रुपयों में बदलिए, 100 पैसे = ₹1। ये रूपांतरण गुणा करने से पहले कीजिए, बाद में नहीं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 135 वर्ग सेमी है और उसका आधार 18 सेमी है। इस आधार पर ऊँचाई कितनी है? (a) 7.5 सेमी (b) 15 सेमी (c) 30 सेमी (d) 17 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई का आधा होता है, तो ऊँचाई के लिए सूत्र उलट देते हैं। ऊँचाई = $\frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}} = \frac{270}{18}$ = (b) 15 सेमी। जल्दबाज़ी में कुछ लोग क्षेत्रफल को दोगुना किए बिना ही 18 से भाग देकर 7.5 सेमी लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

25 सेमी, 39 सेमी और 56 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 840 वर्ग सेमी (b) 210 वर्ग सेमी (c) 420 वर्ग सेमी (d) 480 वर्ग सेमी

उत्तर: ऊँचाई नहीं दी है, तो हीरोन लगेगा। परिमाप 120 सेमी है, यानी s = 60। तीनों कोष्ठक 60 − 25 = 35, 60 − 39 = 21 और 60 − 56 = 4 हैं। इनका योग 60 है, तो घटाव ठीक हुआ। अब संख्याओं को ऐसे तोड़ते हैं कि वर्ग दिख जाएँ। 60 = 4 × 15, 35 = 5 × 7 और 21 = 3 × 7। तो गुणनफल $4 \times 4 \times (15 \times 5 \times 3) \times (7 \times 7) = 16 \times 225 \times 49$ हुआ। इसका वर्गमूल 4 × 15 × 7 = (c) 420 वर्ग सेमी है। किसी एक कोष्ठक में भी चूक हुई, तो तीनों का योग s नहीं आएगा, इसलिए यह जाँच हर बार कर लेनी चाहिए।

प्रश्न 3

एक त्रिभुज की भुजाएँ 11 सेमी, 13 सेमी और 20 सेमी हैं। 11 सेमी वाली भुजा पर खींचे गए शीर्षलंब की लंबाई कितनी है? (a) 6 सेमी (b) 6.6 सेमी (c) 24 सेमी (d) 12 सेमी

उत्तर: पहले क्षेत्रफल निकालना होगा। s = $\frac{11 + 13 + 20}{2} = 22$, और कोष्ठक 11, 9 और 2 हैं। तो $\Delta = \sqrt{22 \times 11 \times 9 \times 2} = \sqrt{44 \times 99} = \sqrt{4356} = 66$ वर्ग सेमी। अब 11 सेमी वाली भुजा पर शीर्षलंब = $\frac{2 \times 66}{11}$ = (d) 12 सेमी।

प्रश्न 4

एक समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ 7 सेमी और 24 सेमी हैं। समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए। (a) 3.36 सेमी (b) 12.5 सेमी (c) 13.44 सेमी (d) 6.72 सेमी

उत्तर: कर्ण $\sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ सेमी है। यह 7, 24, 25 वाला त्रिक है। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ वर्ग सेमी हुआ। अब कर्ण को आधार मान लेते हैं। $\frac{1}{2} \times 25 \times h = 84$, तो $h = \frac{7 \times 24}{25} = \frac{168}{25}$ = (d) 6.72 सेमी। 12.5 सेमी कर्ण पर माध्यिका है, यानी 25 का आधा। वह शीर्षलंब नहीं है, इसलिए उसे चुनना गलत है।

प्रश्न 5

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 40 सेमी है और उसका कर्ण 17 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 60 वर्ग सेमी (b) 120 वर्ग सेमी (c) 240 वर्ग सेमी (d) 30 वर्ग सेमी

उत्तर: समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं का योग 40 − 17 = 23 सेमी है। अब इसका वर्ग लेते हैं। $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ से 529 = 289 + 2ab, यानी 2ab = 240 और ab = 120। क्षेत्रफल ab का आधा है, तो (a) 60 वर्ग सेमी। वैसे भुजाएँ 8 और 15 हैं, पर उन्हें जानने की ज़रूरत ही नहीं थी।

प्रश्न 6

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 15 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) $225\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $\frac{225\sqrt{3}}{4}$ वर्ग सेमी (c) $75\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $150\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: ऊँचाई दी है, तो सीधे $\Delta = \frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{225}{\sqrt{3}}$ लगाते हैं। अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर $\frac{225\sqrt{3}}{3}$ आता है, जो (c) $75\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। दूसरी तरह से जाँच भी कर लेते हैं। भुजा $\frac{2 \times 15}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ है, और $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 300 = 75\sqrt{3}$।

प्रश्न 7

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $121\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। उसका परिमाप कितना है? (a) 33 सेमी (b) 66 सेमी (c) 22 सेमी (d) 44 सेमी

उत्तर: $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 121\sqrt{3}$ रखते हैं। दोनों ओर का $\sqrt{3}$ कट जाता है, तो $a^2 = 4 \times 121 = 484$ और a = 22 सेमी। परिमाप 3 × 22 = (b) 66 सेमी।

प्रश्न 8

एक समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा 41 सेमी है और उसका आधार 18 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 369 वर्ग सेमी (b) 720 वर्ग सेमी (c) 180 वर्ग सेमी (d) 360 वर्ग सेमी

उत्तर: ऊपरी शीर्ष से ऊँचाई डालें, तो आधार दो बराबर भागों में बँट जाता है, हर भाग 9 सेमी का। किसी एक आधे में $h = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40$ सेमी। यह 9, 40, 41 वाला त्रिक है। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 18 \times 40$ = (d) 360 वर्ग सेमी। 369 वर्ग सेमी उन्हें मिलता है जो तिरछी भुजा 41 को ही ऊँचाई मान लेते हैं।

प्रश्न 9

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 64 सेमी है और उसका आधार 24 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 192 वर्ग सेमी (b) 240 वर्ग सेमी (c) 384 वर्ग सेमी (d) 96 वर्ग सेमी

उत्तर: परिमाप में से आधार घटाते हैं, तो दोनों बराबर भुजाओं के हिस्से में 64 − 24 = 40 सेमी आता है। यानी हर बराबर भुजा 20 सेमी है। आधा आधार 12 सेमी है, तो ऊँचाई $\sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ सेमी। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 24 \times 16$ = (a) 192 वर्ग सेमी।

प्रश्न 10

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी है। उसका परिमाप कितना है? (a) $12 + 12\sqrt{2}$ सेमी (b) $24 + 6\sqrt{2}$ सेमी (c) $24 + 12\sqrt{2}$ सेमी (d) 36 सेमी

उत्तर: समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ बराबर हैं, इन्हें a मान लेते हैं। क्षेत्रफल $\frac{a^2}{2} = 72$, तो $a^2 = 144$ और a = 12 सेमी। कर्ण $12\sqrt{2}$ सेमी हुआ। परिमाप = 12 + 12 + $12\sqrt{2}$ = (c) $24 + 12\sqrt{2}$ सेमी।

प्रश्न 11

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी और 9 सेमी हैं तथा उनके बीच का कोण 150° है। त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) 54 वर्ग सेमी (b) 27 वर्ग सेमी (c) $27\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) 13.5 वर्ग सेमी

उत्तर: क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}ab\sin C$, और $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$। तो क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \frac{1}{2}$ = (b) 27 वर्ग सेमी। कुछ लोग यहाँ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ले लेते हैं और $27\sqrt{3}$ लिख देते हैं। यह मान 60° या 120° का sin है, 150° का नहीं।

प्रश्न 12

20 सेमी, 21 सेमी और 29 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज की अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए। (a) 3 सेमी (b) 14.5 सेमी (c) 12 सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: पहले देख लेते हैं कि त्रिभुज समकोण तो नहीं। $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$, तो यह समकोण त्रिभुज है। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 20 \times 21 = 210$ वर्ग सेमी, और s = $\frac{70}{2} = 35$ सेमी। अब $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{210}{35}$ = (d) 6 सेमी। समकोण त्रिभुज वाले छोटे सूत्र से भी यही आता है, $\frac{20 + 21 - 29}{2} = 6$।

प्रश्न 13

10 सेमी, 10 सेमी और 12 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज की परित्रिज्या ज्ञात कीजिए। (a) 6.25 सेमी (b) 3 सेमी (c) 12.5 सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: पहले क्षेत्रफल निकालते हैं। आधा आधार 6 है, तो ऊँचाई $\sqrt{100 - 36} = 8$ सेमी और क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ वर्ग सेमी। फिर $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{10 \times 10 \times 12}{4 \times 48} = \frac{1200}{192}$ = (a) 6.25 सेमी।

प्रश्न 14

एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 4 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) $16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $12\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (c) $48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $96\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: समबाहु त्रिभुज में $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है। तो $a = 2\sqrt{3} \times 4 = 8\sqrt{3}$ सेमी। क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (8\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 192$ = (c) $48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। इसे और जल्दी करना हो, तो सीधे क्षेत्रफल = $3\sqrt{3}\,r^2 = 3\sqrt{3} \times 16$ लिख सकते हैं।

प्रश्न 15

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 7 : 24 : 25 है और उसका परिमाप 112 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 84 वर्ग सेमी (b) 336 वर्ग सेमी (c) 672 वर्ग सेमी (d) 168 वर्ग सेमी

उत्तर: भागों का योग 7 + 24 + 25 = 56 है, और 112 ÷ 56 = 2। तो भुजाएँ 14, 48 और 50 सेमी हैं। 7, 24, 25 एक त्रिक है, इसलिए त्रिभुज समकोण है और समकोण बनाने वाली भुजाएँ 14 और 48 हैं। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 14 \times 48$ = (b) 336 वर्ग सेमी। 7, 24, 25 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 है। कोई इसे k = 2 से गुणा कर दे, तो 168 वर्ग सेमी आएगा। यह गलत है, क्योंकि गुणा $k^2 = 4$ से करना था।

प्रश्न 16

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3 : 4 : 5 है और उसका क्षेत्रफल 216 वर्ग सेमी है। उसका परिमाप कितना है? (a) 432 सेमी (b) 36 सेमी (c) 48 सेमी (d) 72 सेमी

उत्तर: भुजाएँ 3k, 4k और 5k मान लेते हैं। त्रिभुज समकोण है, तो क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 3k \times 4k = 6k^2$। अब $6k^2 = 216$, यानी $k^2 = 36$ और k = 6। परिमाप 12k = (d) 72 सेमी।

प्रश्न 17

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 13 : 14 : 15 है और उसका परिमाप 210 सेमी है। उसका क्षेत्रफल कितना है? (a) 2100 वर्ग सेमी (b) 420 वर्ग सेमी (c) 84 वर्ग सेमी (d) 1050 वर्ग सेमी

उत्तर: भागों का योग 42 है, और 210 ÷ 42 = 5। तो भुजाएँ 65, 70 और 75 सेमी हैं। 13, 14, 15 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग सेमी होता है। यहाँ हर भुजा 5 गुनी है, तो क्षेत्रफल $5^2 = 25$ गुना होगा। क्षेत्रफल = 84 × 25 = (a) 2100 वर्ग सेमी। सीधे हीरोन से भी देख सकते हैं। s = 105, और $\sqrt{105 \times 40 \times 35 \times 30} = 2100$।

प्रश्न 18

एक त्रिभुज की प्रत्येक भुजा में 25% की वृद्धि की जाती है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है? (a) 25% (b) 50% (c) 56.25% (d) 62.5%

उत्तर: हर भुजा 1.25 गुनी हुई, तो क्षेत्रफल $1.25^2 = 1.5625$ गुना हो जाएगा। यानी वह पुराने क्षेत्रफल के 0.5625 गुने जितना बढ़ा, जो (c) 56.25% है। क्रमिक परिवर्तन वाले नियम से भी 25 + 25 + $\frac{25 \times 25}{100}$ = 56.25 आता है।

प्रश्न 19

एक त्रिभुज के आधार में 20% की वृद्धि और उसकी ऊँचाई में 20% की कमी की जाती है। उसके क्षेत्रफल में क्या परिवर्तन होता है? (a) कोई परिवर्तन नहीं (b) 4% की कमी (c) 4% की वृद्धि (d) 40% की कमी

उत्तर: क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई का आधा है, तो दोनों गुणकों का गुणा करते हैं। 1.2 × 0.8 = 0.96। नया क्षेत्रफल पुराने का 96% है, यानी (b) 4% की कमी। नियम से भी 20 − 20 + $\frac{20 \times (-20)}{100}$ = −4 आता है। "कोई परिवर्तन नहीं" चुनना गलत है, क्योंकि +20% और −20% एक-दूसरे को काटते नहीं।

प्रश्न 20

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल में 69% की वृद्धि होती है। उसकी प्रत्येक भुजा में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई है? (a) 30% (b) 13% (c) 34.5% (d) 69%

उत्तर: क्षेत्रफल 1.69 गुना हुआ। क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के साथ बदलता है, तो भुजा $\sqrt{1.69} = 1.3$ गुनी हुई। यानी हर भुजा में (a) 30% की वृद्धि हुई।

प्रश्न 21

D, E और F, 160 वर्ग सेमी क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। P, Q और R, त्रिभुज DEF की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल कितना है? (a) 40 वर्ग सेमी (b) 20 वर्ग सेमी (c) 5 वर्ग सेमी (d) 10 वर्ग सेमी

उत्तर: किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाने पर उसके चौथाई क्षेत्रफल वाला त्रिभुज बनता है। तो DEF = $\frac{160}{4} = 40$ वर्ग सेमी। DEF के साथ फिर यही होता है, तो PQR = $\frac{40}{4}$ = (d) 10 वर्ग सेमी।

प्रश्न 22

त्रिभुज ABC की भुजा BC पर D एक ऐसा बिंदु है कि BD : DC = 3 : 5 है, तथा E, AD का मध्य-बिंदु है। यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज BED का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 36 वर्ग सेमी (b) 30 वर्ग सेमी (c) 18 वर्ग सेमी (d) 24 वर्ग सेमी

उत्तर: त्रिभुज ABD और ADC की A से ऊँचाई एक ही है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात आधारों के अनुपात 3 : 5 के बराबर है। ABD = $\frac{3}{8} \times 96 = 36$ वर्ग सेमी। अब E, AD का मध्य-बिंदु है, तो त्रिभुज ABD में BE एक माध्यिका है। माध्यिका क्षेत्रफल को आधा करती है, इसलिए BED = $\frac{36}{2}$ = (c) 18 वर्ग सेमी।

प्रश्न 23

एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 51 मीटर, 52 मीटर और 53 मीटर हैं। ₹8 प्रति वर्ग मीटर की दर से उस पर घास लगाने की लागत कितनी होगी? (a) ₹4,680 (b) ₹9,360 (c) ₹1,248 (d) ₹18,720

उत्तर: घास लगाने की लागत क्षेत्रफल पर लगती है। s = $\frac{156}{2} = 78$, और कोष्ठक 27, 26 और 25 हैं। गुणनफल को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं। 78 × 26 × 27 × 25 = $(2 \times 3 \times 13) \times (2 \times 13) \times 27 \times 25 = 2^2 \times 3^4 \times 13^2 \times 5^2$। इसका वर्गमूल 2 × 9 × 13 × 5 = 1170 वर्ग मीटर है। लागत = 1170 × 8 = (b) ₹9,360। ₹1,248 परिमाप 156 मीटर को दर से गुणा करने पर आता है। वह बाड़ की लागत होती, इसलिए यहाँ गलत है।

प्रश्न 24

एक समबाहु त्रिभुजाकार भूखंड का क्षेत्रफल $400\sqrt{3}$ वर्ग मीटर है। ₹25 प्रति मीटर की दर से उसके चारों ओर बाड़ लगाने की लागत कितनी होगी? (a) ₹1,000 (b) ₹1,500 (c) ₹4,500 (d) ₹3,000

उत्तर: $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 400\sqrt{3}$ से $a^2 = 1600$ आता है, तो a = 40 मीटर। बाड़ के लिए परिमाप चाहिए, जो 3 × 40 = 120 मीटर है। लागत = 120 × 25 = (d) ₹3,000।

प्रश्न 25

[Tier 2] एक त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ 9 सेमी, 12 सेमी और 15 सेमी लंबी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) 72 वर्ग सेमी (b) 54 वर्ग सेमी (c) 40.5 वर्ग सेमी (d) 96 वर्ग सेमी

उत्तर: माध्यिकाओं के बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{3}{4}$ होता है। 9, 12, 15 वाला त्रिभुज समकोण है, क्योंकि यह 3, 4, 5 का 3 गुना है। इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ वर्ग सेमी है। तो मूल त्रिभुज = $\frac{4}{3} \times 54$ = (a) 72 वर्ग सेमी। 54 वर्ग सेमी पर ही रुक जाना गलत है, क्योंकि वह माध्यिका-त्रिभुज का क्षेत्रफल है।