BODMAS और सरलीकरण

क्रम का नियम: VBODMAS

सरलीकरण के प्रश्न में संख्याओं और चिह्नों की एक लंबी पंक्ति दी होती है। नीचे चार विकल्प दिए होते हैं, जिनके मान आपस में बहुत पास-पास होते हैं।

ऐसे प्रश्नों में हिसाब कभी कठिन नहीं होता। उत्तर सही तभी आता है, जब हर कदम सही क्रम में किया जाए। इसी क्रम को VBODMAS कहते हैं।

$5^2$ जैसी घात और $\sqrt{49}$ जैसे वर्गमूल इस तालिका में नहीं हैं। इन्हें कोष्ठक के ठीक बाद हल कीजिए, यानी "का" से भी पहले और भाग, गुणा, जोड़ या घटाने से भी पहले।

एक नियम जो अक्सर छूट जाता है: VBODMAS में D पहले आता है और M बाद में। इसे देखकर कई छात्र मान लेते हैं कि भाग हमेशा पहले होगा। ऐसा नहीं है। भाग और गुणा का दर्जा बराबर है। बाएँ से दाएँ पढ़ते हुए जो संक्रिया पहले आए, उसे पहले कीजिए। जोड़ और घटाने पर भी ठीक यही नियम लगता है।

$$60 \div 5 \times 3 = 12 \times 3 = 36$$

अगर किसी ने गुणा पहले कर दिया, तो 60 ÷ 15 = 4 आएगा, जो गलत है। इसी तरह 20 − 8 + 3 = 12 + 3 = 15 होता है। पहले 8 और 3 जोड़कर 20 − 11 = 9 लिखना गलत है।

"का" और × एक नहीं हैं: दोनों का मतलब गुणा ही है, पर "का" पहले हल होता है।

$$36 \div 4 \text{ का } 3 = 36 \div 12 = 3 \qquad 36 \div 4 \times 3 = 9 \times 3 = 27$$

संख्याएँ वही तीन हैं, फिर भी "का" के साथ 3 आता है और × के साथ 27। SSC के पेपर में ये दोनों मान विकल्पों में दिए होते हैं।

एक पूरा हल: अब 18 + 24 ÷ 3 का 2 − 5 × 2 को सरल करते हैं।

• सबसे पहले "का" हल कीजिए। 3 का 2 = 6।
• फिर भाग और गुणा, बाएँ से दाएँ। 24 ÷ 6 = 4 और 5 × 2 = 10।
• अंत में जोड़ और घटाना, बाएँ से दाएँ। 18 + 4 − 10 = 12।

मुख्य बात: क्रम हमेशा यही रहता है। पहले रेखा कोष्ठक, फिर कोष्ठक, फिर घात, फिर "का", फिर ÷ और × बाएँ से दाएँ, और अंत में + और − बाएँ से दाएँ। ज़्यादातर गलत विकल्प वही होते हैं जो बाएँ से दाएँ वाला नियम तोड़ने पर आते हैं।

कोष्ठक, रेखा कोष्ठक और चिह्न

कौन-सा कोष्ठक पहले: कोष्ठक हमेशा भीतर से बाहर की ओर खोलिए। पहले रेखा कोष्ठक, फिर छोटा ( ), फिर मझला { } और अंत में बड़ा [ ]। रेखा कोष्ठक भी कोष्ठक ही है, बस इसमें कोष्ठक लगाने के बजाय संख्याओं के ऊपर एक रेखा खींच दी जाती है। $\overline{15 - 6}$ का मतलब (15 − 6) ही है।

$$40 - \overline{15 - 6} = 40 - 9 = 31$$

जो रेखा को अनदेखा कर देते हैं, वे 40 − 15 − 6 = 19 लिख देते हैं। यह गलत उत्तर भी विकल्पों में दिया होता है।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक: मान लीजिए $50 - [24 - \{18 - (11 - \overline{6 - 2})\}]$ को सरल करना है। भीतर से शुरू कीजिए।

• पहले रेखा के नीचे वाला हिस्सा, 6 − 2 = 4।
• फिर छोटा कोष्ठक, 11 − 4 = 7।
• फिर मझला कोष्ठक, 18 − 7 = 11।
• फिर बड़ा कोष्ठक, 24 − 11 = 13।
• अंत में 50 − 13 = 37।

हर कोष्ठक का मान निकालते ही उसे रफ़ कागज़ पर लिखते चलिए। सारे कोष्ठक एक साथ खोलने की कोशिश मत कीजिए। चिह्नों की ज़्यादातर गलतियाँ वहीं से होती हैं।

कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न: कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न हो, तो कोष्ठक हटाते समय भीतर का हर चिह्न उलट जाता है, + का − और − का +। जैसे 30 − (12 − 5) = 30 − 12 + 5 = 23। पर इससे भी अच्छी आदत यह है कि पहले कोष्ठक का मान ही निकाल लें। कोष्ठक में 7 आया, तो 30 − 7 = 23। इसमें चिह्न उलटने की चिंता ही नहीं रहती।

गुणा और भाग में चिह्न: दो संख्याओं का गुणा करते समय उत्तर का चिह्न इस तरह तय होता है।

भाग में भी चिह्न इसी तरह तय होता है। (−18) ÷ (−3) = 6 और 18 ÷ (−3) = −6।

ऋणात्मक संख्याओं की घात: ऋणात्मक संख्या पर सम घात हो, तो उत्तर धनात्मक आता है, और विषम घात हो तो ऋणात्मक। जैसे $(-2)^4 = 16$ और $(-2)^3 = -8$। यहाँ कोष्ठक पर ध्यान दीजिए। $-3^2$ का मतलब $-(3^2) = -9$ है, क्योंकि घात केवल 3 पर लगी है। पर $(-3)^2 = 9$ होता है।

चिह्न और क्रम साथ-साथ: अब (−12) ÷ (−3) × (−2) + 5 देखिए। बाएँ से दाएँ चलते हैं। (−12) ÷ (−3) = 4, फिर 4 × (−2) = −8, और अंत में −8 + 5 = −3।

भिन्न की रेखा भी कोष्ठक है: $\frac{12 + 8}{4 \times 5}$ जैसी भिन्न में पहले अंश का मान अलग निकालिए और हर का अलग। उसके बाद भाग कीजिए, $\frac{20}{20} = 1$।

लंबे व्यंजकों में होने वाली गलतियाँ

SSC के पेपर में गलत विकल्प हमेशा कुछ गिनी-चुनी गलतियों से ही बनाए जाते हैं। इन गलतियों को पहचानना आ जाए, तो BODMAS के ज़्यादातर प्रश्न एक मिनट से कम में हो जाते हैं।

पहली दो पंक्तियों से दो काम की बातें निकलती हैं। लगातार भाग हो, तो पहली संख्या को बाकी संख्याओं के गुणनफल से एक बार में भाग दे सकते हैं, यानी a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)। इसी तरह लगातार घटाना हो, तो बाकी संख्याओं का योग एक बार में घटा सकते हैं, मतलब a − b − c = a − (b + c)।

BODMAS में भिन्न: $\frac{3}{4}$ जैसी भिन्न को एक ही संख्या मानिए। क्रम के नियम लगाते समय उसे तोड़ा नहीं जाता। अब यह व्यंजक सरल करते हैं।

$$\frac{5}{6} \text{ का } \frac{3}{10} \div \frac{1}{4} + 2 \times \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$$

• सबसे पहले "का", $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{4}$।
• फिर भाग, $\frac{1}{4} \div \frac{1}{4} = 1$।
• फिर गुणा, $2 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$।
• अंत में जोड़ और घटाना, $1 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$।

मिश्रित भिन्न और भिन्नों के बाकी प्रश्न इसी अध्याय के "भिन्न, सतत भिन्न और भिन्नों की श्रेणी" वाले खंड में करेंगे।

दो व्यंजकों से बनी भिन्न: अब इसे देखिए।

$$\frac{7 \times 6 - 4 \times 3 \div 2}{48 \div 4 \text{ का } 2 + 3}$$

अंश में 7 × 6 = 42 और 4 × 3 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6, तो अंश 36 हुआ। हर में पहले "का" हल होगा, 4 का 2 = 8। फिर 48 ÷ 8 = 6 और 6 + 3 = 9। तो पूरा मान 36 ÷ 9 = 4 है।

अगर "का" को साधारण × पढ़ लिया, तो हर 48 ÷ 4 × 2 + 3 = 27 आएगा। तब मान $\frac{36}{27} = \frac{4}{3}$ निकलेगा। यह गलत मान भी अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

[SSC टिप] हल शुरू करने से पहले विकल्पों पर एक नज़र डाल लीजिए। विकल्प दूर-दूर हों, तो मोटा अनुमान ही काफ़ी है। अगर दो विकल्प पास-पास हों, तो उनमें से एक लगभग हमेशा ऊपर की तालिका वाली किसी गलती से ही बना होता है। तब जिस कदम में गलती का डर हो, उसे धीरे और ध्यान से कीजिए।

दशमलव और भिन्न के रूपांतरण

दशमलव से भिन्न: दशमलव बिंदु के बाद वाले अंकों को 10, 100, 1000 आदि के ऊपर लिखिए। जितने दशमलव स्थान हों, नीचे उतने शून्य लगेंगे। फिर भिन्न को सरलतम रूप में ले आइए।

$$0.45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} \qquad 2.375 = \frac{2375}{1000} = \frac{19}{8}$$

भिन्न से दशमलव: या तो सीधा भाग कर दीजिए, या हर को 10 की घात बना लीजिए। जैसे $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0.28$ और $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0.375$।

दशमलव की जगह उसकी भिन्न लिख दें, तो सरलीकरण के ज़्यादातर प्रश्न बहुत छोटे हो जाते हैं। नीचे वाले मान ज़बानी याद कर लीजिए।

इन्हीं से उनके गुणज भी सीधे मिल जाते हैं। $\frac{3}{8}$ = 0.375, $\frac{5}{8}$ = 0.625, $\frac{7}{8}$ = 0.875 और $\frac{3}{16}$ = 0.1875।

जैसे 0.875 × 64 बस $\frac{7}{8}$ × 64 है, जो 56 होता है। इसी तरह 0.125 × 0.64 का मतलब 0.64 ÷ 8 है, यानी 0.08।

दशमलवों की तुलना: सब संख्याओं के आख़िर में शून्य लगाकर दशमलव स्थान बराबर कर लीजिए। फिर उनकी तुलना पूर्ण संख्याओं की तरह कीजिए। मान लीजिए 0.07, 0.7, 0.077 और 0.707 को क्रम में लगाना है। इन्हें 0.070, 0.700, 0.077 और 0.707 लिखिए। अब साफ़ दिखता है कि 0.07 < 0.077 < 0.7 < 0.707।

दशमलव में स्थानीय मान: 63.2048 में 6 दहाई का अंक है, 3 इकाई का, 2 दशांश का, 0 शतांश का, 4 सहस्रांश का और 8 दस-सहस्रांश का। इसलिए

$$63.2048 = 6 \times 10 + 3 \times 1 + \frac{2}{10} + \frac{4}{1000} + \frac{8}{10000}$$

SSC में यही बात उलटकर पूछी जाती है। प्रश्न में 63.2048 = 6 × A + 3 × B + 2 ÷ C + 4 ÷ D + 8 ÷ E जैसा कुछ दिया होता है, और A से E तक के अक्षरों से बना कोई व्यंजक पूछा जाता है। हर अंक को उसके स्थान से मिलाइए, अक्षरों के मान अपने-आप निकल आएँगे। A = 10, B = 1, C = 10, D = 1000 और E = 10000। शतांश का अंक 0 है, इसलिए उसके लिए कोई पद लिखा ही नहीं जाता।

दशमलव की गणना बिना गलती के

जोड़ना और घटाना: दशमलव बिंदु एक सीध में रखिए और खाली जगह में शून्य भर दीजिए। 12.4 + 3.086 + 0.97 को 12.400 + 3.086 + 0.970 लिखिए, योग 16.456 आता है। 7 − 2.358 को 7.000 − 2.358 लिखिए, तो 4.642 बचता है।

गुणा: पहले दशमलव बिंदु पर ध्यान दिए बिना संख्याओं का गुणा कर लीजिए। फिर गिनिए कि प्रश्न की संख्याओं में कुल कितने दशमलव स्थान हैं। उत्तर में उतने ही दशमलव स्थान रखिए।

• 0.6 × 0.05 में 6 × 5 = 30 आता है। दशमलव स्थान 1 + 2 = 3 हैं, तो उत्तर 0.030 = 0.03।
• 0.12 × 0.3 × 0.02 में 12 × 3 × 2 = 72 आता है। दशमलव स्थान 2 + 1 + 2 = 5 हैं, तो उत्तर 0.00072।
• $(0.03)^2$ में 3 × 3 = 9 आता है और दशमलव स्थान 4 हैं, तो उत्तर 0.0009। किसी दशमलव का वर्ग करने पर दशमलव स्थान दोगुने हो जाते हैं।

भाग: दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु बराबर स्थान दाईं ओर खिसकाइए, ताकि भाजक पूर्ण संख्या हो जाए। दोनों में बराबर खिसकाने से उत्तर नहीं बदलता।

• 0.0084 ÷ 0.12 = 0.84 ÷ 12 = 0.07
• 4.5 ÷ 0.009 = 4500 ÷ 9 = 500

10 की घातें: $10^k$ से गुणा करने पर दशमलव बिंदु $k$ स्थान दाईं ओर खिसकता है, और भाग देने पर $k$ स्थान बाईं ओर। जैसे 3.47 × 1000 = 3470 और 52 ÷ $10^4$ = 0.0052।

भिन्न से दशमलव हटाना: अंश और हर में दशमलव हों, तो पहले अंश और हर का मान अलग-अलग निकालिए। फिर दोनों को 10 की एक ही घात से गुणा कर दीजिए।

$$\frac{0.2 \times 0.2 + 0.01}{0.1 \times 0.1 + 0.02} = \frac{0.04 + 0.01}{0.01 + 0.02} = \frac{0.05}{0.03} = \frac{5}{3}$$

दशमलव से अनुपात: मान लीजिए $0.5a = 0.02b$ दिया है। तब $\frac{a}{b} = \frac{0.02}{0.5} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$, यानी $b = 25a$। अब अगर $\frac{b - a}{b + a}$ पूछा जाए, तो $\frac{24a}{26a} = \frac{12}{13}$ आता है। मान रखने से पहले यह तय कर लीजिए कि कौन-सा अक्षर बड़ा है। कई छात्र यहीं अनुपात उलट देते हैं।

[SSC टिप] दशमलव का गुणा या भाग करने के बाद एक बार ज़रूर देख लीजिए कि उत्तर मोटे तौर पर कितना होना चाहिए। 0.0084 ÷ 0.12 लगभग 0.01 ÷ 0.1 = 0.1 है। तो 0.07 ही ठीक है, 0.7 या 0.007 नहीं। दशमलव वाले प्रश्नों में अक्सर विकल्पों के अंक वही होते हैं, बस दशमलव बिंदु की जगह अलग होती है। ऐसे में अकेली यही जाँच उत्तर बता देती है।

सरलीकरण में प्रतिशत

सरलीकरण में प्रतिशत को बस 100 हर वाली भिन्न समझिए। y का x% = $\frac{x}{100} \times y$। "y का x%" को एक ही संख्या मानिए और "का" की तरह इसे भी शुरू में ही हल कर लीजिए।

प्रतिशत की जगह भिन्न: ऊपर वाली भिन्न की तालिका याद हो, तो कई प्रतिशत बस एक भाग में निकल आते हैं।

• 640 का 12.5% = $\frac{1}{8}$ × 640 = 80
• 96 का 37.5% = $\frac{3}{8}$ × 96 = 36
• 162 का $16\frac{2}{3}$% = $\frac{1}{6}$ × 162 = 27
• 56 का 62.5% = $\frac{5}{8}$ × 56 = 35

संख्याओं की अदला-बदली: y का x% = x का y%, क्योंकि दोनों का मान $\frac{xy}{100}$ है। जैसे 75 का 4% = 4 का 75% = 3, और 25 का 28% = 28 का 25% = 7। एक तरह से निकालना मुश्किल लगे, तो संख्याओं की जगह बदलकर देखिए।

टुकड़ों में: 460 का 35% निकालना है, तो 35% को तीन बार 10% और एक बार 5% में तोड़ लीजिए। 46 × 3 + 23 = 161। इसी तरह 350 का 18% चाहिए, तो 20% में से 2% घटाइए। 70 − 7 = 63।

प्रतिशत का प्रतिशत: c के b% का a% = $\frac{a \times b \times c}{10000}$। जैसे 800 के 15% का 20% = $\frac{20 \times 15 \times 800}{10000}$ = 24।

कितना प्रतिशत? प्रश्न हो कि "250 का कितना प्रतिशत 45 है?", तो $\frac{45}{250} \times 100$ कीजिए। 18% आता है।

एक पूरा प्रश्न: अब 640 का 45% + 480 का 12.5% − 250 का 18% हल करते हैं।

• 640 का 10% = 64 है, तो 40% = 256 और 5% = 32। यानी 640 का 45% = 288।
• 480 का 12.5% = 480 ÷ 8 = 60।
• 250 का 18% = 18 का 250% = 45।
• कुल = 288 + 60 − 45 = 303।

प्रतिशत वृद्धि, कमी और एक के बाद एक होने वाले परिवर्तन "प्रतिशत" वाले अध्याय में पढ़ेंगे। यहाँ प्रतिशत से बस एक संख्या निकालनी होती है, जो आगे के हिसाब में काम आती है।

जब प्रतिशत ही निकालना हो: जैसे "840 का ?% = 126"। पहले भाग कीजिए, 126 ÷ 840 = 0.15, तो ? = 15।

प्रश्नचिह्न की जगह कौन-सी संख्या?

टियर 1 में ऐसे प्रश्न अक्सर आते हैं। समीकरण के किसी हिस्से की जगह "?" लिखा होता है, और वही लुप्त संख्या ज्ञात करनी होती है।

तरीका: ऐसे प्रश्न तीन कदमों में हल होते हैं।

1. जिस पक्ष में "?" नहीं है, उसे पूरा हल कर लीजिए।
2. "?" वाले पक्ष को भी जितना हो सके, सरल कर लीजिए।
3. "?" के आसपास की संक्रियाएँ उलटे क्रम में हटाइए। "?" पर जो संक्रिया सबसे आख़िर में हुई थी, उसे सबसे पहले हटाइए।

कदम उलटना: मान लीजिए (? ÷ 8) × 5 − 17 = 48 में ? ज्ञात करना है।

• आख़िरी कदम "− 17" था, तो दोनों ओर 17 जोड़िए। (? ÷ 8) × 5 = 65।
• अब "× 5" हटाने के लिए 5 से भाग दीजिए। ? ÷ 8 = 13।
• अंत में "÷ 8" हटाने के लिए 8 से गुणा कीजिए। ? = 104।

"?" अलग-अलग जगह पर: "?" समीकरण में कहीं भी हो, तरीका वही रहता है।

विकल्पों का सहारा: हर बार पूरा हल करना ज़रूरी नहीं है। इन दो जाँचों से ज़्यादातर प्रश्नों का उत्तर जल्दी मिल जाता है।

• इकाई अंक: 47 × 23 + ? = 1200 में 47 × 23 का इकाई अंक 1 है। तो ? का इकाई अंक 9 ही होना चाहिए। (47 × 23 = 1081, तो ? = 119।)
• मोटा अनुमान: ? = 2856 ÷ 24 है और विकल्प 109, 119, 129, 139 हैं। 24 × 120 = 2880, जो 2856 से ज़रा ऊपर है। तो ? 120 से थोड़ा कम होगा, यानी 119।

विकल्प रखकर देखना: जब "?" कोष्ठक के भीतर हो या उस पर कोई घात लगी हो, तब हर विकल्प को प्रश्न में रखकर देखिए। कई बार यह कदम उलटने से जल्दी हो जाता है। शुरुआत बीच वाले मान के विकल्प से कीजिए, ताकि एक ही जाँच से पता चल जाए कि उत्तर उससे बड़ा है या छोटा।

"सटीक मान" वाले प्रश्नों में हल भी सटीक ही होना चाहिए। संख्याओं को पास की गोल संख्या मान लेना केवल "लगभग मान" वाले प्रश्नों में चलता है, जहाँ संख्याएँ बेढब हों और विकल्प दूर-दूर हों। ऐसे प्रश्न "सर्वसमिकाओं से सरलीकरण और सन्निकटन" वाले खंड में हैं।

संख्याओं के पैटर्न का योग: 7 + 77 + 777 + …

स्तंभ विधि: संख्याओं को एक के नीचे एक लिखिए और गिनिए कि हर स्तंभ में अंक कितनी बार आया है। जैसे 7 + 77 + 777 + 7777 जोड़ना है।

• इकाई के स्तंभ में चार 7 हैं, जो मिलकर 28 हुए। 8 लिखिए और 2 हासिल।
• दहाई के स्तंभ में तीन 7 हैं, यानी 21। हासिल जोड़ने पर 21 + 2 = 23। 3 लिखिए और 2 हासिल।
• सैकड़े के स्तंभ में दो 7 हैं, तो 14 आया। हासिल जोड़ने पर 14 + 2 = 16। 6 लिखिए और 1 हासिल।
• हज़ार के स्तंभ में एक 7 है, और 1 हासिल जोड़कर 8।

योग 8638 आया।

123… वाला शॉर्टकट: 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234 होता है, और 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345। इसी से एक सूत्र मिलता है। अंक $a$ कोई भी हो और पद ज़्यादा से ज़्यादा नौ हों, तो

$$a + aa + aaa + \cdots \text{ (n पद)} = a \times 123\ldots n$$

जैसे 7 + 77 + 777 + 7777 = 7 × 1234 = 8638, और 5 + 55 + 555 + 5555 + 55555 = 5 × 12345 = 61725।

दस पद हों, तो यह शॉर्टकट काम नहीं करता, क्योंकि तब हासिल आगे जुड़ते जाते हैं। 1 + 11 + … के दस पदों का योग 1234567900 है, 1234567890 नहीं।

व्यापक सूत्र: [Tier 2] पद कितने भी हों, $n$ पदों का योग इस सूत्र से निकल आता है।

$$a + aa + aaa + \cdots = \frac{a}{81}\left(10^{n+1} - 10 - 9n\right)$$

जैसे 7 + 77 + 777 + 7777 में $n = 4$ है। तो $\frac{7}{81}(100000 - 10 - 36) = \frac{7}{81} \times 99954 = 8638$।

दशमलव वाले पैटर्न: दशमलव बिंदु एक सीध में रखकर जोड़िए, या फिर से हर स्तंभ में अंक गिनिए।

$$0.7 + 0.77 + 0.777 = 0.700 + 0.770 + 0.777 = 2.247$$

$n$ पदों के लिए इसका सूत्र यह है।

$$0.a + 0.aa + 0.aaa + \cdots = \frac{a}{81}\left(9n - 1 + 10^{-n}\right)$$

टियर 2 में कभी-कभी उत्तर ठीक इसी रूप में दिया होता है। 0.7 + 0.77 + 0.777 पर इसे जाँच लीजिए। $\frac{7}{81}(27 - 1 + 0.001) = \frac{7}{81} \times 26.001 = 2.247$।

नौ वाले पद: 9 से बनी हर संख्या 10 की किसी घात से 1 कम होती है। इसी से योग जल्दी निकल आता है।

$$9 + 99 + 999 + 9999 = (10 + 100 + 1000 + 10000) - 4 = 11110 - 4 = 11106$$

$$0.9 + 0.99 + 0.999 = 3 - (0.1 + 0.01 + 0.001) = 3 - 0.111 = 2.889$$

घटाव वाले पैटर्न: 4444 − 444 + 44 − 4 में पदों के जोड़े बना लीजिए। 4444 − 444 = 4000 और 44 − 4 = 40, तो उत्तर 4040 है।

तेज़ गुणा और भाग

सरलीकरण के कई प्रश्न ऐसे बनाए जाते हैं कि उनमें 25, 125 या 99 जैसी कोई संख्या काम छोटा कर दे। उसे पहचान लिया, तो लंबा गुणा करना ही नहीं पड़ता।

2.5 और 1.25 से गुणा करने में भी यही तरीका चलता है, क्योंकि 2.5 = 10 ÷ 4 और 1.25 = 10 ÷ 8। जैसे 2.5 × 36 = 360 ÷ 4 = 90 और 1.25 × 64 = 640 ÷ 8 = 80।

दो अंकों की संख्या × 11: पहले पहला अंक लिखिए, फिर दोनों अंकों का योग, और फिर आख़िरी अंक। जैसे 63 × 11 में पहले 6, फिर 6 + 3 = 9 और फिर 3। उत्तर 693 है। बीच का योग 10 या उससे अधिक हो, तो 1 हासिल पहले अंक में जोड़ दीजिए। 87 × 11 में 8, 15 और 7 आते हैं, तो उत्तर 957 है। तीन अंकों वाली संख्या हो, तो बीच में पास-पास वाले अंकों के योग लिखिए। 352 × 11 में 3, 3 + 5, 5 + 2 और 2 आते हैं, यानी 3872।

उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालना: कोई संख्या दो या ज़्यादा पदों में गुणा होकर आए, तो पहले उसे बाहर निकाल लीजिए।

$$47 \times 68 + 47 \times 32 = 47 \times (68 + 32) = 4700$$

$$999 \times 999 + 999 = 999 \times (999 + 1) = 999000$$

$$12.5 \times 7.2 + 12.5 \times 2.8 = 12.5 \times 10 = 125$$

SSC में अक्सर उभयनिष्ठ गुणनखंड की जगह बदलकर उसे छिपा दिया जाता है। जैसे 36 × 47 + 64 × 47 − 47 × 20 में 47 हर पद में है, बस कहीं आगे लिखा है और कहीं पीछे। तो 47 × (36 + 64 − 20) = 47 × 80 = 3760।

98 × 102 जैसे गुणनफल, जिनमें संख्याएँ किसी आधार के पास हों, और $997^2$ जैसे वर्ग सर्वसमिकाओं से और भी जल्दी होते हैं। इन्हें "सर्वसमिकाओं से सरलीकरण और सन्निकटन" वाले खंड में देखेंगे।

हल किए गए उदाहरण

अब ऊपर वाले तरीकों से कुछ प्रश्न हल करते हैं।

प्रश्न 1

64 ÷ 8 × 4 − 3 × 5 + 6 का मान ज्ञात कीजिए। (a) −7 (b) 23 (c) 11 (d) −1

उत्तर: ÷ और × का दर्जा बराबर है, तो बाएँ से दाएँ चलते हैं। 64 ÷ 8 = 8, फिर 8 × 4 = 32। उसके बाद 3 × 5 = 15। अब 32 − 15 + 6 बचा। बाएँ से दाएँ चलें, तो 17 + 6 = 23 आता है। उत्तर (b) 23 है। जो लोग 8 × 4 पहले कर लेते हैं, उन्हें 64 ÷ 32 = 2 मिलता है और फिर −7 आता है। यह गलत उत्तर विकल्प (a) में दिया है।

प्रश्न 2

72 ÷ 6 का 3 + 5 × 4 − 2 को सरल कीजिए।

उत्तर: "का" को ÷ से पहले हल करना है, तो सबसे पहले 6 का 3 = 18। अब 72 ÷ 18 = 4 और 5 × 4 = 20। अंत में 4 + 20 − 2 = 22। जो "का" को साधारण × पढ़ लेते हैं, उन्हें 72 ÷ 6 × 3 = 36 मिलता है और वे गलत उत्तर 54 लिख देते हैं।

प्रश्न 3

$48 - [20 - \{16 - (9 - \overline{7 - 4})\}]$ को सरल कीजिए।

उत्तर: रेखा से शुरू करके बाहर की ओर चलते हैं। रेखा के नीचे 7 − 4 = 3 है। छोटे कोष्ठक में 9 − 3 = 6, मझले में 16 − 6 = 10 और बड़े में 20 − 10 = 10। अंत में 48 − 10 = 38।

प्रश्न 4

−8 − (−5) × 3 + 12 ÷ (−4) का मान ज्ञात कीजिए। (a) 4 (b) −20 (c) 10 (d) −26

उत्तर: पहले × और ÷ करते हैं। (−5) × 3 = −15 और 12 ÷ (−4) = −3। अब व्यंजक −8 − (−15) + (−3) हो गया, यानी −8 + 15 − 3 = 4। उत्तर (a) 4 है। −(−15) को −15 मान लिया, तो −26 आएगा। विकल्प (d) में यही दिया है।

प्रश्न 5

$\frac{1}{2}$ का $\frac{3}{4}$ ÷ $\frac{3}{8}$ × $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ को सरल कीजिए। (a) $\frac{11}{6}$ (b) 1 (c) $\frac{2}{3}$ (d) $\frac{3}{2}$

उत्तर: पहले "का" हल करते हैं, $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$। फिर ÷ और × बाएँ से दाएँ। $\frac{3}{8} \div \frac{3}{8} = 1$, और $1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$। इसमें $\frac{1}{3}$ जोड़ने पर 1 आता है, तो विकल्प (b) 1 सही है। भाग से पहले गुणा कर दिया, तो $\frac{3}{8} \div \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$ आएगा और फिर $\frac{11}{6}$, जो विकल्प (a) है।

प्रश्न 6

$\frac{0.4 \times 0.4 + 0.02}{0.3 \times 0.3 + 0.03}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: अंश में 0.4 × 0.4 = 0.16, और 0.16 + 0.02 = 0.18। हर में 0.3 × 0.3 = 0.09, और 0.09 + 0.03 = 0.12। अब अंश और हर दोनों को 100 से गुणा कर दिया, तो $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ मिला, यानी 1.5।

प्रश्न 7

0.0084 ÷ 0.12 + 2.5 × 0.04 × 0.3 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भाग में दोनों संख्याओं का बिंदु दो स्थान खिसका देते हैं, तो 0.84 ÷ 12 = 0.07। गुणनफल के लिए 25 × 4 × 3 = 300, और दशमलव स्थान 1 + 2 + 1 = 4 हैं। तो यह 0.0300 = 0.03 हुआ। कुल 0.07 + 0.03 = 0.1।

प्रश्न 8

0.125 × 0.64 ÷ 0.025 का मान ज्ञात कीजिए। (a) 0.32 (b) 3.2 (c) 32 (d) 0.032

उत्तर: 0.125 तो $\frac{1}{8}$ है, इसलिए 0.125 × 0.64 = 0.64 ÷ 8 = 0.08। अब 0.08 ÷ 0.025 में दोनों संख्याओं का बिंदु तीन स्थान खिसका देते हैं, तो 80 ÷ 25 = 3.2, यानी (b) 3.2।

प्रश्न 9

यदि 73.4602 = 7 × A + 3 × B + 4 ÷ C + 6 × D + 2 ÷ E है, तो A + B + C + D + E का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर अंक को उसके स्थान से मिलाते हैं। 7 दहाई में है, तो 7 × A = 70 और A = 10। 3 इकाई में है, तो B = 1। 4 दशांश में है, यानी उसका मान 0.4 है। तो 4 ÷ C = 0.4 और C = 10। 6 शतांश में है, यानी मान 0.06, तो 6 × D = 0.06 और D = 0.01। सहस्रांश का अंक 0 है, इसलिए उसका कोई पद नहीं है। 2 दस-सहस्रांश में है, यानी मान 0.0002, तो 2 ÷ E = 0.0002 और E = 10000। अब योग 10 + 1 + 10 + 0.01 + 10000 = 10021.01।

प्रश्न 10

यदि $2.4a = 0.06b$ है, तो $\frac{b - a}{b + a}$ का मान ज्ञात कीजिए। (a) $\frac{39}{41}$ (b) $\frac{41}{39}$ (c) $\frac{1}{40}$ (d) $\frac{19}{21}$

उत्तर: दिए गए संबंध से $\frac{a}{b} = \frac{0.06}{2.4}$ मिलता है। अंश और हर को 100 से गुणा किया, तो $\frac{6}{240} = \frac{1}{40}$, यानी $b = 40a$। तो b बड़ा है। अब $\frac{b - a}{b + a} = \frac{39a}{41a}$ है। अंश और हर दोनों से a कट जाता है, तो उत्तर (a) $\frac{39}{41}$ है। अनुपात उलटकर $a = 40b$ ले लिया, तो मान ऋणात्मक आएगा। इसलिए मान रखने से पहले देख लीजिए कि कौन-सा अक्षर बड़ा है।

प्रश्न 11

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: 840 का 35% − 640 का 12.5% + 50 का 18%

उत्तर: 840 का 10% = 84 है, तो 30% = 252, और 5% = 42। दोनों जोड़कर 840 का 35% = 294 हुआ। 12.5% मतलब $\frac{1}{8}$, तो 640 ÷ 8 = 80। 50 का 18% अदला-बदली से आसान हो जाता है, 18 का 50% = 9। अब मान 294 − 80 + 9 = 223।

प्रश्न 12

1800 के 35% का 20% ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1800 का 35% = 630। फिर 630 का 20%, यानी 630 ÷ 5 = 126। चाहें तो एक पंक्ति में भी कर सकते हैं, $\frac{20 \times 35 \times 1800}{10000} = 126$।

प्रश्न 13

(? ÷ 14) × 6 + 23 = 65 में प्रश्नचिह्न (?) के स्थान पर क्या आएगा?

उत्तर: कदम उलटे क्रम में हटाते हैं, आख़िरी कदम से शुरू करके। दोनों ओर से 23 घटाने पर (? ÷ 14) × 6 = 42 बचता है। फिर 6 से भाग देने पर ? ÷ 14 = 7, और अंत में 14 से गुणा करने पर ? = 98। जाँच भी कर लेते हैं। 98 ÷ 14 = 7, 7 × 6 = 42 और 42 + 23 = 65।

प्रश्न 14

यदि 380 का 45% + ? = 450 का 60% − 15 है, तो ? ज्ञात कीजिए। (a) 99 (b) 69 (c) 84 (d) 114

उत्तर: बाएँ पक्ष में 380 का 10% = 38 है, तो 40% = 152 और 5% = 19। यानी 380 का 45% = 171। दाएँ पक्ष में 450 का 60% = 270, और 270 − 15 = 255। अब 171 + ? = 255, तो ? = 84 और उत्तर (c) 84 है। जो "− 15" भूल जाते हैं, उन्हें 99 मिलता है, और यह भी विकल्प (a) में मौजूद है।

प्रश्न 15

यदि ? के $\frac{3}{4}$ का $\frac{2}{5}$ = 216 है, तो ? ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले दोनों भिन्नों का गुणा कर लेते हैं, $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$। तो ? का $\frac{3}{10}$ = 216 है। इसलिए ? = 216 × $\frac{10}{3}$ = 720।

प्रश्न 16

यदि $(?)^2 + 19 \times 4 = 15^2 - 5$ है, तो ? ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दाएँ पक्ष में $15^2 = 225$, और 225 − 5 = 220। बाएँ पक्ष में 19 × 4 = 76। तो $(?)^2 = 220 - 76 = 144$, और ? = 12। SSC के विकल्पों में धनात्मक मान ही दिया होता है, इसलिए 12 ही लेते हैं।

प्रश्न 17

6 + 66 + 666 + 6666 + 66666 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ पाँच पद हैं, और 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345। तो योग = 6 × 12345 = 74070। स्तंभों से जाँचें, तब भी यही आता है। इकाई में पाँच 6 मिलकर 30, तो 0 लिखा और 3 हासिल। दहाई में 24 + 3 = 27, तो 7 लिखा और 2 हासिल। सैकड़े में 18 + 2 = 20, तो 0 लिखा और 2 हासिल। हज़ार में 12 + 2 = 14, तो 4 लिखा और 1 हासिल। दस हज़ार में 6 + 1 = 7।

प्रश्न 18

0.4 + 0.44 + 0.444 + 0.4444 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर पद को चार दशमलव स्थानों में लिख लेते हैं, 0.4000 + 0.4400 + 0.4440 + 0.4444। अब दाईं ओर से स्तंभ जोड़ते हैं। दस-सहस्रांश में 4 और सहस्रांश में 8 आया। शतांश में 12 आया, तो 2 लिखा और 1 हासिल। दशांश में 16 + 1 = 17, तो 7 लिखा और 1 हासिल इकाई में गया। योग 1.7284 आया।

प्रश्न 19

3 + 33 + 333 + … के 8 पदों तक का योग ज्ञात कीजिए। (a) 37037037 (b) 3703701 (c) 37037034 (d) 37037340

उत्तर: 1 + 11 + 111 + … के आठ पदों का योग 12345678 है। तो योग = 3 × 12345678 = 37037034, यानी (c) 37037034। जो सात पदों पर ही रुक जाते हैं, उन्हें विकल्प (b) वाली संख्या मिलती है।

प्रश्न 20

लंबा गुणा या लंबा भाग किए बिना 368 × 125 और 2736 ÷ 25 के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: × 125 का मतलब है × 1000 और फिर ÷ 8। तो 368 × 125 = 368000 ÷ 8 = 46000। ÷ 25 का मतलब है × 4 और फिर ÷ 100। 2736 × 4 = 10944, तो 2736 ÷ 25 = 109.44।

प्रश्न 21

4783 × 99 और 642 × 101 के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: × 99 का मतलब है × 100 करके वही संख्या घटाना। तो 4783 × 99 = 478300 − 4783 = 473517। × 101 का मतलब है × 100 करके वही संख्या जोड़ना। तो 642 × 101 = 64200 + 642 = 64842।

प्रश्न 22

17.5 × 4.8 + 17.5 × 5.2 − 7.5 × 10 को सरल कीजिए। (a) 175 (b) 100 (c) 250 (d) 75

उत्तर: पहले दो पदों में 17.5 उभयनिष्ठ है। तो 17.5 × (4.8 + 5.2) = 17.5 × 10 = 175। फिर 175 − 75 = 100, तो विकल्प (b) 100 सही है।