हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों का अभ्यास कैसे करें

नीचे 34 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनमें इस अध्याय के छहों विषयों के प्रश्न हैं, और सब मिला-जुलाकर रखे गए हैं, किसी तय क्रम में नहीं। BODMAS वाले प्रश्न के ठीक बाद करणी (surd) का प्रश्न आ सकता है, उसके बाद सतत भिन्न (continued fraction) का, और फिर 3 की घात वाला कोई प्रश्न।

इसलिए कोई भी तरीका लगाने से पहले देख लीजिए कि सामने किस तरह का प्रश्न है। प्रश्न में "का" हो, तो वह सबसे पहले हल होगा। हर में करणी हो, तो परिमेयकरण (rationalisation) करना पड़ेगा। घातें दी हों, तो देखिए कि क्या सबको एक ही आधार पर ला सकते हैं।

प्रत्येक प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, और साथ में टाइमर चालू रखिए। उत्तर उसके बाद पढ़िए। एक प्रश्न पर लगभग 36 से 45 सेकंड लगने चाहिए। किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो देखिए कि किस कदम पर समय गया। अक्सर वह कोई लंबा गुणा निकलता है, जिसे किसी पैटर्न या सर्वसमिका (identity) से टाला जा सकता था। वह पैटर्न "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में ढूँढिए, और अगले दिन वही प्रश्न फिर से कीजिए।

इनमें से लगभग पाँचवाँ हिस्सा BODMAS और दशमलव के प्रश्नों का है, और लगभग इतना ही करणी का। बाकी प्रश्न भिन्न और श्रेणी, वर्गमूल और घनमूल, घातांक (indices), तथा सर्वसमिका और सन्निकटन के हैं। हाल के पेपरों में भी प्रश्न लगभग इसी हिसाब से आए हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। इनमें एक कदम ज़्यादा होता है, जैसे तीन पदों वाले हर का परिमेयकरण, या अलग-अलग कोटि की करणियों को क्रम में लगाना। फिर भी इनमें तरीके वही हैं जो टियर 1 के प्रश्नों में चलते हैं, इसलिए सारे प्रश्न कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

सरल कीजिए: $\frac{5}{6} \div \frac{5}{6} \text{ का } \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}$

उत्तर: यहाँ सबसे पहले "का" हल होगा। $\frac{5}{6}$ का $\frac{3}{5}$ मतलब $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}$। अब भाग कीजिए, $\frac{5}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$। फिर गुणा, $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$। अंत में दोनों को जोड़ दीजिए, $\frac{5}{3} + \frac{3}{2} = \frac{10 + 9}{6} = \mathbf{\frac{19}{6}}$, यानी $3\frac{1}{6}$। जो छात्र "का" वाला नियम भूलकर सीधे बाएँ से दाएँ चलते हैं, वे $\frac{3}{5} + \frac{3}{2} = \frac{21}{10}$ पर पहुँचते हैं। यह गलत उत्तर विकल्पों में भी दिया होता है।

प्रश्न 2

सरल कीजिए: $\frac{\sqrt{98} + \sqrt{50} - \sqrt{32}}{\sqrt{18}}$

उत्तर: प्रत्येक वर्गमूल में से पूर्ण वर्ग वाला गुणनखंड बाहर निकाल लेते हैं। $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}$, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ और $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$। अब अंश $7\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ हो गया। इसे $3\sqrt{2}$ से भाग देने पर $\sqrt{2}$ कट जाता है, और उत्तर $\mathbf{\frac{8}{3}}$ आता है।

प्रश्न 3

$\sqrt{0.000169} + \sqrt{1.69}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों में अंक वही हैं, 169, और 169 = $13^2$ है। वर्गमूल लेने पर दशमलव स्थान आधे हो जाते हैं। 0.000169 में 6 दशमलव स्थान हैं, तो इसके वर्गमूल में 3 होंगे, यानी 0.013। 1.69 में 2 स्थान हैं, तो वर्गमूल में 1 होगा, यानी 1.3। दोनों को जोड़ने पर 1.313 आता है। यहाँ बहुत-से छात्र पहला वर्गमूल 0.13 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि $0.13^2 = 0.0169$ होता है, 0.000169 नहीं।

प्रश्न 4

$81^{\frac{3}{4}} \times 32^{-\frac{2}{5}} \times 125^{\frac{1}{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भिन्नात्मक घात हो, तो पहले मूल निकालिए, फिर घात लगाइए। 81 का चौथा मूल 3 है, तो $3^3 = 27$। 32 का पाँचवाँ मूल 2 है, तो $2^2 = 4$, और ऋण चिह्न की वजह से यह उलटकर $\frac{1}{4}$ हो जाता है। 125 का घनमूल 5 है। अब मान = $27 \times \frac{1}{4} \times 5 = \mathbf{\frac{135}{4}}$, यानी 33.75।

प्रश्न 5

$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \cdots + \frac{1}{380}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हरों को गुणनफल के रूप में लिखिए, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, और इसी तरह आगे। अंतिम हर 380 = 19 × 20 है। अब प्रत्येक पद $\frac{1}{n(n+1)}$ को $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ लिख सकते हैं। ऐसा करने पर बीच के सारे टुकड़े आपस में कट जाते हैं। केवल $\frac{1}{2} - \frac{1}{20} = \mathbf{\frac{9}{20}}$ बचता है।

प्रश्न 6

$\frac{8.6^3 - 3.4^3}{8.6^2 + 8.6 \times 3.4 + 3.4^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंश $a^3 - b^3$ के रूप में है, और यह $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ के बराबर होता है। हर ठीक यही दूसरा कोष्ठक है, जिसमें बीच में धन चिह्न है। इसलिए सब कट जाता है और केवल a − b बचता है, यानी 8.6 − 3.4 = 5.2। घन निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

प्रश्न 7

4.8 × 2.5 + ? ÷ 0.25 = 20.4 में प्रश्नचिह्न (?) के स्थान पर क्या आएगा?

उत्तर: BODMAS के हिसाब से ÷ केवल ? पर लगता है, पूरे बाएँ पक्ष पर नहीं। पहले 4.8 × 2.5 = 12 निकाल लीजिए। यह मन में 4.8 × 10 ÷ 4 करके तुरंत आ जाता है। तो ? ÷ 0.25 = 20.4 − 12 = 8.4। 0.25 से भाग देना 4 से गुणा करने जैसा है, इसलिए 4 × ? = 8.4, और ? = 2.1।

प्रश्न 8

यदि $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ और $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ है, तो $x^2 + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x और y एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए xy = 1। अब x के हर का परिमेयकरण कीजिए, $\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$। इसी तरह $y = 4 - \sqrt{15}$ आता है, तो x + y = 8। अब $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 64 - 2 =$ 62।

प्रश्न 9

$\sqrt[3]{1225043}$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि यह एक पूर्ण संख्या है।

उत्तर: पहले अंतिम अंक देखते हैं। यह 3 है, और जिस घन का अंतिम अंक 3 हो, वह ऐसी ही संख्या का घन होता है जिसका अंतिम अंक 7 हो। फिर अंतिम तीन अंक (043) ढक देते हैं, तो 1225 बचता है। $10^3 = 1000$ तो 1225 से छोटा है, पर $11^3 = 1331$ उससे बड़ा है। इसलिए आगे वाला भाग 10 है, और घनमूल 107 है। जाँच के लिए $107^3$ निकालें, तो 12,25,043 ही आता है।

प्रश्न 10

आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{11}{16}$

उत्तर: देखिए कि प्रत्येक भिन्न 1 से कितनी कम है। ये अंतर $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{7}$, $\frac{4}{13}$ और $\frac{5}{16}$ हैं। जिसका अंतर बड़ा, वह भिन्न छोटी। दशमलव में ये अंतर मोटे तौर पर 0.333, 0.286, 0.308 और 0.3125 हैं। बड़े से छोटे की ओर इनका क्रम $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{16}$, $\frac{4}{13}$, $\frac{2}{7}$ है। तो आरोही क्रम में भिन्नें इस तरह आएँगी, $\mathbf{\frac{2}{3} < \frac{11}{16} < \frac{9}{13} < \frac{5}{7}}$। इनमें $\frac{11}{16}$ और $\frac{9}{13}$ बहुत पास-पास हैं, इसलिए तिरछा गुणा करके पक्का कर लीजिए। 11 × 13 = 143 और 9 × 16 = 144, यानी क्रम ठीक है।

प्रश्न 11

यदि $2^{2x-1} \times 4^{x+1} = 8^{x+3}$ है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सब कुछ आधार 2 पर ले आइए। $4^{x+1} = 2^{2x+2}$ और $8^{x+3} = 2^{3x+9}$। बाएँ पक्ष में गुणा है, तो घातें जुड़ेंगी, (2x − 1) + (2x + 2) = 4x + 1। अब दोनों पक्षों की घातें बराबर रखिए, 4x + 1 = 3x + 9, तो x = 8।

प्रश्न 12

$\sqrt{12 - \sqrt{140}}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: पहले भीतर वाले वर्गमूल के आगे 2 लाना है, इसलिए $\sqrt{140} = \sqrt{4 \times 35} = 2\sqrt{35}$ लिख लेते हैं। अब ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका योग 12 हो और गुणनफल 35। ये 7 और 5 हैं। बीच में ऋण चिह्न है, इसलिए बड़ी संख्या का वर्गमूल पहले आएगा, और उत्तर $\mathbf{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ है। जाँच भी कर लेते हैं, $(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 = 12 - 2\sqrt{35}$ ही आता है।

प्रश्न 13

सरल कीजिए: $9 - [6 - \{14 \div (11 - \overline{5 - 2}) \times 4\}]$

उत्तर: भीतर से बाहर की ओर चलिए। सबसे पहले रेखा कोष्ठक, 5 − 2 = 3। फिर छोटा कोष्ठक, 11 − 3 = 8। मझले कोष्ठक में 14 ÷ 8 × 4 है, जिसे बाएँ से दाएँ हल करेंगे, तो 1.75 × 4 = 7। बड़े कोष्ठक में 6 − 7 = −1 आता है। अंत में 9 − (−1) = 10। कई लोग भाग से पहले 8 × 4 कर देते हैं और 55/16 पर पहुँचते हैं। यह गलत उत्तर अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

प्रश्न 14

$\frac{2.5^3 - 1.5^3 - 1}{3 \times 2.5 \times 1.5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ 1 को $1^3$ की तरह देख लेते हैं। तब अंश $a^3 + b^3 + c^3$ के रूप में आ जाता है, जिसमें a = 2.5, b = −1.5 और c = −1 है। अब 2.5 − 1.5 − 1 = 0 है। इसलिए अंश = 3abc = 3 × 2.5 × (−1.5) × (−1) = 3 × 2.5 × 1.5। यह ठीक हर के बराबर है, तो उत्तर 1 है।

प्रश्न 15 [Tier 2]

x का मान ज्ञात कीजिए:

$$\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{x}}} = \frac{10}{23}$$

उत्तर: बाहर से एक-एक परत उतारते चलिए। पहले दोनों पक्षों को उलट दीजिए, $2 + \cfrac{1}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{23}{10}$। अब 2 घटाइए, $\cfrac{1}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{10}$। फिर से उलटिए, $3 + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$। अंत में 3 घटाने पर $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ आता है, यानी x = 3।

प्रश्न 16

$\sqrt{17 + \sqrt{57 + \sqrt{33 + \sqrt{256}}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे भीतर वाले वर्गमूल से शुरू करके बाहर की ओर चलिए। $\sqrt{256} = 16$। फिर 33 + 16 = 49, और $\sqrt{49} = 7$। फिर 57 + 7 = 64, और $\sqrt{64} = 8$। अंत में 17 + 8 = 25, और $\sqrt{25}$ = 5। ऐसे प्रश्न इस तरह बनाए जाते हैं कि प्रत्येक कदम पर पूर्ण वर्ग ही आए। किसी कदम पर पूर्ण वर्ग न आए, तो पिछला कदम दोबारा जाँचिए, गलती वहीं होगी।

प्रश्न 17

अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए: $\sqrt{8} + \sqrt{3}$, $\sqrt{7} + \sqrt{4}$, $\sqrt{6} + \sqrt{5}$, $\sqrt{9} + \sqrt{2}$

उत्तर: ध्यान दीजिए, चारों में वर्गमूल के भीतर की दोनों संख्याओं का योग 11 ही है। तो प्रत्येक का वर्ग 11 + $2\sqrt{ab}$ होगा, और फ़र्क केवल गुणनफल ab से पड़ेगा। ये गुणनफल 24, 28, 30 और 18 हैं। गुणनफल जितना बड़ा, मान उतना बड़ा। इसलिए क्रम है $\mathbf{\sqrt{6} + \sqrt{5} > \sqrt{7} + \sqrt{4} > \sqrt{8} + \sqrt{3} > \sqrt{9} + \sqrt{2}}$। याद रखिए, जिस जोड़ी की दोनों संख्याएँ आपस में सबसे पास हों, उसी का मान सबसे बड़ा होता है।

प्रश्न 18

$\frac{(0.0016)^{\frac{1}{4}} \times (0.000027)^{\frac{1}{3}}}{(0.0036)^{\frac{1}{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्गमूल हो, घनमूल हो या चौथा मूल, दशमलव स्थान उसी हिसाब से बँट जाते हैं। 0.0016 में 4 स्थान हैं और 16 = $2^4$, तो चौथा मूल 0.2 है। 0.000027 में 6 स्थान हैं और 27 = $3^3$, तो घनमूल 0.03 है। 0.0036 में 4 स्थान हैं और 36 = $6^2$, तो वर्गमूल 0.06 है। अब मान = 0.2 × 0.03 ÷ 0.06 = 0.006 ÷ 0.06 = 0.1।

प्रश्न 19

$\frac{0.0016 \times 0.25}{0.08 \times 0.002}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले दशमलव बिंदु छोड़कर केवल अंकों से हिसाब कर लेते हैं। अंश में 16 × 25 = 400 और हर में 8 × 2 = 16, तो 400 ÷ 16 = 25। अब दशमलव स्थान गिनिए। अंश में 4 + 2 = 6 स्थान हैं और हर में 2 + 3 = 5। 6 − 5 = 1 स्थान बचा, और वह अंश की ओर है। तो 25 में एक दशमलव स्थान लगाने पर उत्तर 2.5 आता है।

प्रश्न 20

$\frac{801 \text{ का } 29.98\% + 15.03^2}{\sqrt{48.9} + 2.97}$ का निकटतम मान है: (a) 39 (b) 47 (c) 55 (d) 63

उत्तर: यहाँ सब कुछ गोल कर लेते हैं। 800 का 30% = 240 और $15^2 = 225$, तो अंश लगभग 465 है। हर में $\sqrt{49} = 7$ और 2.97 लगभग 3, तो हर लगभग 10 है। मान लगभग 46.5 आया, इसलिए उत्तर (b) 47 है। वैसे सही मान लगभग 46.8 है।

प्रश्न 21 [Tier 2]

$\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

उत्तर: तीनों पदों से एक साथ निपटना मुश्किल है। इसलिए $2 + \sqrt{3}$ को एक ही पद मान लेते हैं। अब अंश और हर दोनों को $(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}$ से गुणा कीजिए। हर में $(2 + \sqrt{3})^2 - 7 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 7 = 4\sqrt{3}$ आता है, और भिन्न $\frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$ हो जाती है। हर में अभी भी $\sqrt{3}$ बचा है। उसे हटाने के लिए एक कदम और कीजिए, अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा कर दीजिए। उत्तर $\mathbf{\frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}}$ है।

प्रश्न 22 [Tier 2]

$\left(1 - \frac{1}{9}\right)\left(1 - \frac{1}{16}\right)\left(1 - \frac{1}{25}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{225}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भिन्नों के हर $3^2, 4^2, 5^2, \ldots, 15^2$ हैं। ध्यान दीजिए, ये 3 से शुरू होते हैं, 2 से नहीं। प्रत्येक कोष्ठक को $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$ लिखिए। इससे पूरा गुणनफल दो हिस्सों में बँट जाता है।

$$\left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{14}{15}\right) \times \left(\frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \cdots \times \frac{16}{15}\right) = \frac{2}{15} \times \frac{16}{3}$$

तो उत्तर $\mathbf{\frac{32}{45}}$ है। यहाँ शॉर्टकट से सावधान रहिए। $\frac{n+1}{2n}$ वाला सूत्र तभी लगता है जब गुणनफल $1 - \frac{1}{4}$ से शुरू हो। यहाँ n = 15 रख देंगे, तो $\frac{16}{30}$ आएगा, जो गलत है। दरअसल वह सूत्र पहला कोष्ठक भी गुणा कर लेता है, जो यहाँ है ही नहीं, यानी $\frac{3}{4} \times \frac{32}{45} = \frac{16}{30}$।

प्रश्न 23

यदि $\sqrt{5} = 2.236$ है, तो $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\sqrt{5}$ से भाग देना झंझट का काम है। इसलिए ऐसे पद को $\sqrt{5}$ के गुणज के रूप में लिख लेते हैं, $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0.2\sqrt{5}$। इसी तरह $\frac{\sqrt{5}}{2} = 0.5\sqrt{5}$। दोनों मिलाकर $0.7\sqrt{5}$ हुआ, यानी 0.7 × 2.236 = 1.5652। फ़ायदा यह हुआ कि 2.236 से लंबा भाग करने की जगह बस एक गुणा करना पड़ा।

प्रश्न 24 [Tier 2]

सरल कीजिए:

$$\frac{3\frac{1}{3} \div 2\frac{1}{2} \text{ का } 1\frac{1}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \text{ का } \frac{3}{4}}$$

उत्तर: पहले मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्न में बदल लीजिए, $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ और $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$। अंश में "का" पहले हल होगा, $\frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$, और फिर $\frac{10}{3} \div \frac{10}{3} = 1$। हर में भी पहले "का", $\frac{1}{3}$ का $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$, और फिर $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$। अंत में $1 \div \frac{3}{4} = \mathbf{\frac{4}{3}}$।

प्रश्न 25

$\frac{3^{n+3} - 4 \times 3^{n+1}}{7 \times 3^n - 3^{n+1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक पद में से $3^n$ बाहर निकाल लेते हैं। अंश $3^n(27 - 4 \times 3) = 3^n \times 15$ हो जाता है, और हर $3^n(7 - 3) = 3^n \times 4$। अब $3^n$ कट जाता है और उत्तर $\mathbf{\frac{15}{4}}$ बचता है। n कुछ भी हो, उत्तर यही रहेगा।

प्रश्न 26

$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{35} + \sqrt{36}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक पद में वर्गमूल के भीतर की दोनों संख्याओं का अंतर 1 है। इसलिए परिमेयकरण करने पर हर 1 हो जाता है, और $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ मिलता है। अब पूरा योग $(\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{36} - \sqrt{35})$ हो गया। बीच का सब कट जाता है, और बचता है $\sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 =$ 4।

प्रश्न 27 [Tier 2]

$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}$ को 3 की घात के रूप में लिखिए।

उत्तर: सबसे भीतर से शुरू कीजिए, $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$। अगली परत में $3 \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ है, और इसका वर्गमूल $3^{\frac{3}{4}}$। उसके बाद $3 \times 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{7}{4}}$, जिसका वर्गमूल $3^{\frac{7}{8}}$ है। अंतिम परत में $3 \times 3^{\frac{7}{8}} = 3^{\frac{15}{8}}$, और इसका वर्गमूल $\mathbf{3^{\frac{15}{16}}}$। चार वर्गमूल हों, तो घात $1 - \frac{1}{2^4} = \frac{15}{16}$ होती है। यह पैटर्न याद कर लीजिए, अगली बार पूरा हल नहीं करना पड़ेगा।

प्रश्न 28

$\frac{(8.73 + 1.27)^2 - (8.73 - 1.27)^2}{8.73 \times 1.27}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ सीधी सर्वसमिका लगती है, $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$। अंश = 4 × 8.73 × 1.27 और हर = 8.73 × 1.27, तो उत्तर 4 है। लंबे रास्ते से $10^2 - 7.46^2$ निकालें, तब भी यही उत्तर आता है, पर ढेर सारे दशमलव वाले हिसाब के बाद।

प्रश्न 29

3 + 33 + 333 + 3333 + 33333 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक-एक स्तंभ जोड़ते चलते हैं। इकाई के स्तंभ में पाँच 3 हैं, जिनका योग 15 है, तो 5 लिखा और 1 हासिल। दहाई में चार 3 का योग 12 है, और 1 हासिल जोड़ने पर 13, तो 3 लिखा और 1 हासिल। सैकड़े में तीन 3 का योग 9 है, और 1 हासिल जोड़ने पर 10, तो 0 लिखा और 1 हासिल। हज़ार में दो 3 का योग 6 है, और 1 हासिल जोड़ने पर 7। दस हज़ार के स्तंभ में बस एक 3 है। अब लिखे गए अंकों को दस हज़ार वाले स्तंभ से इकाई की ओर पढ़िए। उत्तर 37,035 है।

प्रश्न 30 [Tier 2]

अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए: $3^{\frac{1}{3}}$, $4^{\frac{1}{4}}$, $5^{\frac{1}{5}}$, $6^{\frac{1}{6}}$

उत्तर: चारों की तुलना एक साथ करनी हो, तो 3, 4, 5 और 6 का ल.स. (LCM) लेना पड़ेगा, जो 60 है। इतनी बड़ी घात से हिसाब बहुत लंबा हो जाएगा। इसलिए एक-एक करके पास-पास वाली दो संख्याओं की तुलना करते हैं।

• $3^{\frac{1}{3}}$ और $4^{\frac{1}{4}}$ की तुलना के लिए दोनों की 12वीं घात लीजिए। $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$, तो $3^{\frac{1}{3}}$ बड़ा है।
• $4^{\frac{1}{4}}$ और $5^{\frac{1}{5}}$ के लिए 20वीं घात लीजिए। $4^5 = 1024$ और $5^4 = 625$, तो $4^{\frac{1}{4}}$ बड़ा है।
• $5^{\frac{1}{5}}$ और $6^{\frac{1}{6}}$ के लिए 30वीं घात लीजिए। $5^6 = 15625$ और $6^5 = 7776$, तो $5^{\frac{1}{5}}$ बड़ा है।

इसलिए क्रम है $\mathbf{3^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}} > 5^{\frac{1}{5}} > 6^{\frac{1}{6}}}$। याद रखिए, 3 से आगे $n^{\frac{1}{n}}$ लगातार घटता जाता है।

प्रश्न 31 [Tier 2]

हल कीजिए: $\frac{\sqrt{x + 7} + \sqrt{x - 7}}{\sqrt{x + 7} - \sqrt{x - 7}} = 4$

उत्तर: दोनों पक्षों पर योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगाइए। बाएँ पक्ष में (अंश + हर) ÷ (अंश − हर) करने पर $\frac{\sqrt{x + 7}}{\sqrt{x - 7}}$ बचता है। दाएँ पक्ष में $\frac{4 + 1}{4 - 1} = \frac{5}{3}$ आता है। अब दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए, $\frac{x + 7}{x - 7} = \frac{25}{9}$। यही नियम एक बार और लगाइए, $\frac{2x}{14} = \frac{34}{16}$, यानी $\frac{x}{7} = \frac{17}{8}$। तो $x = \mathbf{\frac{119}{8}}$।

प्रश्न 32

एक टंकी $\frac{2}{5}$ भरी हुई है। उसमें 21 लीटर पानी और डालने पर वह $\frac{3}{4}$ भर जाती है। टंकी की धारिता कितनी है, और शुरू में उसमें कितना पानी था?

उत्तर: 21 लीटर पानी ने टंकी का वह हिस्सा भरा, जो $\frac{2}{5}$ और $\frac{3}{4}$ के बीच खाली था। यह हिस्सा $\frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20}$ टंकी है। टंकी का $\frac{7}{20}$ = 21 लीटर, तो $\frac{1}{20}$ = 3 लीटर, और पूरी टंकी की धारिता 60 लीटर है। शुरू में पानी 60 का $\frac{2}{5}$ था, यानी 24 लीटर।

प्रश्न 33

सरल कीजिए: 480 का 25% ÷ 6 का 4 + 3 × 7

उत्तर: दोनों "का" वाले भाग सबसे पहले हल होंगे। 480 का 25% = 120 और 6 का 4 = 24। फिर भाग, 120 ÷ 24 = 5। फिर 3 × 7 = 21। तो उत्तर 5 + 21 = 26 है। अगर कोई "का" को साधारण गुणा मानकर 120 ÷ 6 × 4 कर दे, तो 80 आता है, और फिर 80 + 21 = 101, जो गलत है।

प्रश्न 34 [Tier 2]

यदि a = 101, b = 102 और c = 103 है, तो $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 101, 102 और 103 के घन निकालने बैठें, तो बहुत समय लगेगा। इसकी जगह सर्वसमिका लगाते हैं, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$। दूसरा कोष्ठक आपसी अंतरों के वर्गों के योग का आधा होता है, $\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = \frac{1}{2}(1 + 1 + 4) = 3$। और a + b + c = 306 है। तो उत्तर 306 × 3 = 918।