भिन्न और मिश्रित भिन्न के बुनियादी हिसाब

भिन्न ab\frac{a}{b} में ऊपर वाली संख्या aa को अंश कहते हैं और नीचे वाली संख्या bb को हर। आगे कुछ नाम बार-बार आएँगे, इन्हें अभी पहचान लीजिए।

  • उचित भिन्न, जैसे 37\frac{3}{7}। इसमें अंश हर से छोटा होता है, इसलिए इसका मान 1 से कम रहता है।
  • विषम भिन्न (improper fraction), जैसे 114\frac{11}{4}। इसमें अंश हर से बड़ा होता है, या फिर हर के बराबर।
  • मिश्रित भिन्न, जैसे 2342\frac{3}{4}। इसमें एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न साथ-साथ लिखी होती हैं।
  • तुल्य भिन्न वे भिन्नें हैं जिनका मान बराबर होता है, जैसे 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12}। जब अंश और हर का म.स. (महत्तम समापवर्तक) 1 हो जाए, तब भिन्न अपने सरलतम रूप में होती है।

मिश्रित से विषम, और वापस: मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न बनाना हो, तो पूर्ण संख्या को हर से गुणा कीजिए और उसमें अंश जोड़ दीजिए। हर वही रहता है। जैसे 234=2×4+34=1142\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}। वापस जाना हो तो भाग दीजिए। 29 में 6 का भाग देने पर भागफल 4 आता है और 5 शेष बचता है, तो 296=456\frac{29}{6} = 4\frac{5}{6}।

जोड़ना और घटाना: हरों का ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य) लीजिए और सारी भिन्नों को उसी हर पर ले आइए। फिर अंशों को जोड़िए या घटाइए।

56+38−712=20+9−1424=1524=58\frac{5}{6} + \frac{3}{8} - \frac{7}{12} = \frac{20 + 9 - 14}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}

मिश्रित भिन्नें हों, तो पूर्ण भागों को अलग जोड़िए और भिन्न भागों को अलग। इससे संख्याएँ छोटी रहती हैं।

312+223−156=(3+2−1)+3+4−56=4+26=4133\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} - 1\frac{5}{6} = (3 + 2 - 1) + \frac{3 + 4 - 5}{6} = 4 + \frac{2}{6} = 4\frac{1}{3}

कभी भिन्न भाग ऋणात्मक निकल आता है। तब पूर्ण भाग में से 1 उधार ले लीजिए।

514−223=3+3−812=3−512=27125\frac{1}{4} - 2\frac{2}{3} = 3 + \frac{3 - 8}{12} = 3 - \frac{5}{12} = 2\frac{7}{12}

गुणा और भाग: यहाँ मिश्रित भिन्न को पहले विषम भिन्न बनाना ज़रूरी है। गुणा करने से पहले अंश और हर की आपस में काट कर लीजिए। भाग देना हो, तो दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम (reciprocal) लीजिए, यानी उसे उलट दीजिए, और फिर गुणा कीजिए।

214×179=94×169=4334÷178=154×815=22\frac{1}{4} \times 1\frac{7}{9} = \frac{9}{4} \times \frac{16}{9} = 4 \qquad 3\frac{3}{4} \div 1\frac{7}{8} = \frac{15}{4} \times \frac{8}{15} = 2

कई छात्र पूर्ण भागों का गुणा अलग करते हैं और भिन्न भागों का अलग। इस तरह 214×1792\frac{1}{4} \times 1\frac{7}{9} का मान 2+7362 + \frac{7}{36} लिख देते हैं, जो गलत है। सही मान 4 है।

भिन्न की भिन्न: यहाँ "का" का मतलब गुणा है, और BODMAS का क्रम यहाँ भी लागू होता है। यानी "का" वाला गुणा भाग से पहले होगा। जैसे 23\frac{2}{3} का 916\frac{9}{16} ÷ 34\frac{3}{4} = 38÷34=12\frac{3}{8} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2}।

जटिल भिन्न: जब अंश या हर के भीतर भी भिन्नें हों, तो उसे जटिल भिन्न (complex fraction) कहते हैं। इसमें पहले अंश को अलग से सरल कीजिए, फिर हर को अलग से, और उसके बाद भाग दीजिए।

12+1312−13=56÷16=5\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{5}{6} \div \frac{1}{6} = 5

ऋणात्मक मिश्रित भिन्न: ऋण चिह्न पूरी मिश्रित भिन्न पर लगता है, केवल पूर्ण भाग पर नहीं। यानी −213=−(2+13)=−73-2\frac{1}{3} = -\left(2 + \frac{1}{3}\right) = -\frac{7}{3}। इसे −2+13-2 + \frac{1}{3} समझना गलत है। मिश्रित भिन्न घटाते समय भी यही ध्यान रखिए। जैसे 6−213=3236 - 2\frac{1}{3} = 3\frac{2}{3}, क्योंकि 6 में से पूर्ण भाग भी घटता है और भिन्न भाग भी।

दो भिन्नों की तुलना

दो भिन्नों में कौन-सी बड़ी है, यह पाँच तरीकों से देखा जा सकता है। पहले वाले तरीके सबसे तेज़ हैं, पर हर जगह नहीं लगते। आख़िरी वाले थोड़े धीमे हैं, पर लगभग हर जगह चल जाते हैं।

1. हर समान: जिसका अंश बड़ा, वही भिन्न बड़ी। जैसे 711>511\frac{7}{11} > \frac{5}{11}।

2. अंश समान: अब जिसका हर छोटा, वह भिन्न बड़ी। वजह सीधी है। हर छोटा हो तो पूरी चीज़ कम टुकड़ों में बँटती है, इसलिए एक-एक टुकड़ा बड़ा होता है। जैसे 57>59\frac{5}{7} > \frac{5}{9}।

3. तिरछा गुणा: ab\frac{a}{b} और cd\frac{c}{d} की तुलना करनी हो, तो a×da \times d और b×cb \times c की तुलना कर लीजिए। जिस ओर का गुणनफल बड़ा, उसी ओर की भिन्न बड़ी। जैसे 712\frac{7}{12} और 59\frac{5}{9} में 7 × 9 = 63 और 12 × 5 = 60 है। 63 > 60, इसलिए 712>59\frac{7}{12} > \frac{5}{9}।

4. आधे या 1 से तुलना: कई बार बिना किसी हिसाब के काम चल जाता है। 613\frac{6}{13} आधे से कम है, क्योंकि 13 का आधा 6.5 होता है। 712\frac{7}{12} आधे से अधिक है। तो 712\frac{7}{12} ही बड़ी है।

5. दशमलव: भिन्न को तीन दशमलव स्थान तक भाग देकर दशमलव में बदल लीजिए। जब चारों विकल्प एक जैसे दिखें, तब यही आख़िरी सहारा है। जैसे 914\frac{9}{14} = 0.643 और 711\frac{7}{11} = 0.636 है।

अंतर वाला पैटर्न: कभी प्रत्येक भिन्न में अंश और हर का अंतर एक-सा होता है। तब यह देखिए कि भिन्न 1 से कितनी कम है।

35=1−2557=1−2779=1−29\frac{3}{5} = 1 - \frac{2}{5} \qquad \frac{5}{7} = 1 - \frac{2}{7} \qquad \frac{7}{9} = 1 - \frac{2}{9}

संख्याएँ जितनी बड़ी होती जाती हैं, 1 से कमी वाला टुकड़ा उतना ही छोटा होता जाता है। इसलिए 35<57<79<911\frac{3}{5} < \frac{5}{7} < \frac{7}{9} < \frac{9}{11}।

1 से बड़ी भिन्नों में इसका उलटा होता है। 53=1+23\frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3} और 97=1+27\frac{9}{7} = 1 + \frac{2}{7}। यहाँ 1 के ऊपर वाला टुकड़ा बड़ी संख्याओं में छोटा हो जाता है, तो बड़ी संख्याओं वाली भिन्न छोटी होती है। यानी 53>75>97\frac{5}{3} > \frac{7}{5} > \frac{9}{7}।

इसी से एक और बात निकलती है। अंश और हर, दोनों में एक ही धनात्मक संख्या जोड़ दें, तो भिन्न 1 के और पास आ जाती है। 1 से कम वाली भिन्न बढ़ जाती है, जैसे 25<36<47\frac{2}{5} < \frac{3}{6} < \frac{4}{7}। और 1 से बड़ी भिन्न घट जाती है।

कदम वाली जाँच: [Tier 2] मान लीजिए ab\frac{a}{b} की तुलना ऐसी भिन्न से करनी है जिसका अंश भी बड़ा है और हर भी। तब कदम देखिए, यानी अंश में हुई बढ़त को हर में हुई बढ़त से भाग दीजिए। कदम ab\frac{a}{b} से बड़ा हो तो नई भिन्न बड़ी है, और छोटा हो तो नई भिन्न छोटी।

जैसे 35\frac{3}{5} से 47\frac{4}{7} पर जाने में अंश 1 बढ़ा और हर 2, तो कदम 12\frac{1}{2} है। यह 35\frac{3}{5} से कम है, इसलिए 47<35\frac{4}{7} < \frac{3}{5}। अब 35\frac{3}{5} से 58\frac{5}{8} पर जाइए। अंश 2 बढ़ा और हर 3, तो कदम 23\frac{2}{3} है। यह 35\frac{3}{5} से अधिक है, इसलिए 58>35\frac{5}{8} > \frac{3}{5}।

तिरछे गुणा से एक बार में केवल दो भिन्नों की तुलना होती है। चार विकल्प हों, तो पहले दो की तुलना कीजिए, उनमें से बड़ी भिन्न रखिए और उसकी तुलना अगली से कीजिए। इस तरह तीन तुलनाओं में फ़ैसला हो जाता है।

सबसे बड़ी-छोटी भिन्न, क्रम और बीच की भिन्न

चार में सबसे बड़ी या सबसे छोटी: हर भिन्न को तीन दशमलव स्थान तक दशमलव में बदल लीजिए, या जोड़ों में तिरछा गुणा कीजिए। मान लीजिए 58\frac{5}{8}, 35\frac{3}{5}, 711\frac{7}{11} और 914\frac{9}{14} दी हैं।

भिन्न 58\frac{5}{8} 35\frac{3}{5} 711\frac{7}{11} 914\frac{9}{14}
दशमलव 0.625 0.600 0.636 0.643

तो आरोही क्रम 35<58<711<914\frac{3}{5} < \frac{5}{8} < \frac{7}{11} < \frac{9}{14} है।

सबसे बड़ी और सबसे छोटी का योग या अंतर: दशमलव से क्रम तय हो जाए, तो आगे के हिसाब के लिए वापस सटीक भिन्नें लीजिए। गोल किए हुए दशमलव केवल क्रम देखने के लिए हैं। ऊपर वाली भिन्नों में सबसे बड़ी और सबसे छोटी का अंतर 914−35=45−4270=370\frac{9}{14} - \frac{3}{5} = \frac{45 - 42}{70} = \frac{3}{70} है।

मिली-जुली सूची: कभी भिन्नों के बीच दशमलव और प्रतिशत भी दिए होते हैं। तब सबको दशमलव में लिख लीजिए। जैसे 0.63, 58\frac{5}{8}, 711\frac{7}{11} और 62% दिए हों, तो ये 0.630, 0.625, 0.636 और 0.620 हुए। सबसे बड़ी 711\frac{7}{11} है और सबसे छोटा 62% है।

दो भिन्नों के बीच की भिन्न: दो धनात्मक भिन्नें ab<cd\frac{a}{b} < \frac{c}{d} हों, तो a+cb+d\frac{a + c}{b + d} हमेशा इन दोनों के बीच आती है। मतलब अंशों का योग ऊपर और हरों का योग नीचे। जैसे 25\frac{2}{5} और 37\frac{3}{7} के बीच 512\frac{5}{12} आती है। जाँच कर लीजिए, 0.400 < 0.417 < 0.429 है। दोनों का औसत भी बीच में आता है, और वह ठीक बीचोंबीच होता है। यहाँ औसत 12(25+37)=2970\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5} + \frac{3}{7}\right) = \frac{29}{70} है।

विकल्पों में से बीच वाली भिन्न: कभी प्रश्न में पूछा जाता है कि दी हुई दो भिन्नों के बीच कौन-सी भिन्न है। तब दोनों छोर वाली भिन्नों को दशमलव में बदलिए और फिर हर विकल्प को जाँचिए। दो विकल्प पास-पास भी हो सकते हैं, इसलिए पहला ठीक लगने वाला विकल्प मिलते ही रुकना नहीं है। बाकी विकल्प भी देख लीजिए।

पैटर्न से क्रम: भिन्नें अंतर वाले पैटर्न पर हों, तो कोई हिसाब नहीं करना पड़ता। यह पैटर्न हमने ऊपर "दो भिन्नों की तुलना" में देखा था। जैसे 1113\frac{11}{13}, 1315\frac{13}{15}, 1517\frac{15}{17} और 1719\frac{17}{19} पहले से ही आरोही क्रम में हैं, क्योंकि हर अगली भिन्न में 1 से कमी वाला टुकड़ा और छोटा हो जाता है।

[SSC टिप] विकल्प अक्सर पूरे क्रम के रूप में दिए होते हैं, जैसे "A < B < C < D"। ऐसे में पूरी सूची बनाने की ज़रूरत शायद ही पड़ती है। पहले सबसे छोटी भिन्न ढूँढिए। ज़्यादातर एक या दो विकल्प ही उससे शुरू होते हैं। फिर एक और तुलना कीजिए, और प्रश्न हो गया।

शाब्दिक प्रश्नों में हिस्से, टुकड़े और बर्तन

"का" मतलब गुणा: शाब्दिक प्रश्न में "का" आए, तो गुणा कीजिए। जैसे 640 का 38\frac{3}{8} = 240।

हिस्से से पूरा: मान लीजिए किसी संख्या का 35\frac{3}{5} = 54 है। तो संख्या = 54 ÷ 35\frac{3}{5} = 54 × 53\frac{5}{3} = 90। यानी हिस्से को उसकी भिन्न से भाग दीजिए, पूरा मिल जाएगा।

कितने टुकड़े या कितने हिस्से: कुल मात्रा को एक टुकड़े के माप से भाग दीजिए। उत्तर का पूर्ण संख्या वाला भाग बताता है कि कितने पूरे टुकड़े बनेंगे। जो बच जाए, वह बचा हुआ हिस्सा है।

  • 25 मीटर रस्सी से 1341\frac{3}{4} मीटर के टुकड़े काटने हैं। 25 ÷ 74\frac{7}{4} = 1007\frac{100}{7} = 142714\frac{2}{7}, तो 14 पूरे टुकड़े बनेंगे। इनमें 14 × 74\frac{7}{4} = 241224\frac{1}{2} मीटर रस्सी लगी, तो 12\frac{1}{2} मीटर बची।
  • 6 लीटर दूध है और हर गिलास में 38\frac{3}{8} लीटर जाता है। 6 ÷ 38\frac{3}{8} = 6 × 83\frac{8}{3} = 16, तो 16 गिलास भरेंगे।

बचा हुआ हिस्सा हमेशा कुल − (टुकड़े × माप) से निकालिए। यहाँ आम चूक यह होती है कि लोग भिन्न वाले हिस्से 27\frac{2}{7} को ही बची हुई लंबाई मान लेते हैं। पर यह 27\frac{2}{7} असल में एक टुकड़े की भिन्न है। 1341\frac{3}{4} मीटर का 27\frac{2}{7} निकालिए, तो 12\frac{1}{2} मीटर आता है, जो ऊपर वाले उत्तर से मेल खाता है।

बर्तन के दो स्तर: टंकी किसी भिन्न तक भरी हो और कुछ पानी डालने या निकालने पर दूसरी भिन्न तक पहुँच जाए, तो दोनों भिन्नों का अंतर उतने ही लीटर के बराबर होता है जितने डाले या निकाले गए। जैसे टंकी 25\frac{2}{5} भरी है और 36 लीटर डालने पर 45\frac{4}{5} भर जाती है। 36 लीटर से टंकी का 45−25=25\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{2}{5} हिस्सा भरा। तो टंकी में 36 ÷ 25\frac{2}{5} = 90 लीटर पानी आता है।

पूरी भरी और कुछ भरी का भार: पानी से पूरी भरी बाल्टी का भार 17 किग्रा है और आधी भरी का 9.5 किग्रा। बाल्टी तो दोनों भारों में शामिल है, इसलिए 7.5 किग्रा का अंतर केवल आधे पानी का है। पूरा पानी 15 किग्रा हुआ, और खाली बाल्टी 17 − 15 = 2 किग्रा की है।

एक ही पूरे के हिस्से: एक खंभे की लंबाई का 16\frac{1}{6} कीचड़ में है, 12\frac{1}{2} पानी में और 4 मीटर पानी के ऊपर। कीचड़ और पानी वाले हिस्से मिलाकर 16+12=23\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} हुए। बाकी 13\frac{1}{3} ही 4 मीटर है, तो खंभा 12 मीटर लंबा है।

शाब्दिक प्रश्न में भिन्नें जोड़ने से पहले देख लीजिए कि हर भिन्न "पूरे की" है या "बचे हुए की"। पूरे की भिन्नें जोड़ी जा सकती हैं, बचे हुए की नहीं। ऐसा क्यों है, यह ठीक आगे देखेंगे।

बचे हुए की भिन्न, गलती वाले प्रश्न और बदलती भिन्न

बचे हुए की भिन्नें: यहाँ उन भिन्नों का गुणा कीजिए जो बचीं, खर्च हुई भिन्नों का नहीं। मान लीजिए किसी ने वेतन का 14\frac{1}{4} किराए पर खर्च किया और बचे हुए का 23\frac{2}{3} भोजन पर। उसकी बचत ₹ 6,500 है। किराए के बाद 34\frac{3}{4} बचा। उसका 23\frac{2}{3} भोजन पर गया, तो 34\frac{3}{4} का 13\frac{1}{3} बचा, जो वेतन का 14\frac{1}{4} है। तो वेतन = 6,500 × 4 = ₹ 26,000।

यहाँ सबसे ज़्यादा होने वाली गलती है सीधे 14+23\frac{1}{4} + \frac{2}{3} कर देना। ऐसा करना गलत है, क्योंकि 23\frac{2}{3} पूरे वेतन का नहीं, किराए के बाद बची छोटी रकम का है।

पूरे की भिन्नें: जब हर हिस्सा एक ही कुल की भिन्न हो, तो भिन्नें सीधे जोड़ दीजिए। मान लीजिए एक रकम बाँटी गई। A को 13\frac{1}{3} मिला, B को 14\frac{1}{4}, C को 15\frac{1}{5} और D को बाकी बचे ₹ 1,300 मिले। A, B और C को मिलाकर 20+15+1260=4760\frac{20 + 15 + 12}{60} = \frac{47}{60} मिला। तो D के ₹ 1,300 कुल का 1360\frac{13}{60} हैं, और कुल रकम ₹ 6,000 है।

गलती वाले प्रश्न: प्रश्न कुछ ऐसा होता है, "एक छात्र को किसी संख्या का 47\frac{4}{7} ज्ञात करना था, पर उसने उसका 74\frac{7}{4} ज्ञात कर लिया। उसका उत्तर सही उत्तर से 165 अधिक आया।" यहाँ जो 165 ज़्यादा आए, वे संख्या के 74−47=49−1628=3328\frac{7}{4} - \frac{4}{7} = \frac{49 - 16}{28} = \frac{33}{28} के बराबर हैं। तो संख्या = 165 × 2833\frac{28}{33} = 140।

कभी 34\frac{3}{4} से गुणा करने की जगह भाग दे दिया जाता है। भाग देना असल में 43\frac{4}{3} से गुणा करना है, तो अंतर संख्या का 43−34=712\frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{7}{12} होता है।

अंश और हर में बदलाव: ऐसे प्रश्न दो तरह से आते हैं।

  • एक ही संख्या से: प्रश्न आता है, "किसी भिन्न के अंश और हर, दोनों में 3 जोड़ने पर भिन्न 23\frac{2}{3} हो जाती है। दोनों में से 2 घटाने पर वह 12\frac{1}{2} हो जाती है।" सबसे तेज़ रास्ता है विकल्प रखकर देखना। यहाँ 712\frac{7}{12} सही निकलती है, क्योंकि 1015=23\frac{10}{15} = \frac{2}{3} और 510=12\frac{5}{10} = \frac{1}{2}। दोनों शर्तें हमेशा जाँचिए, क्योंकि गलत विकल्प अक्सर ऐसा रखा जाता है जो केवल एक शर्त पर खरा उतरे।
  • प्रतिशत से: अंश 25% बढ़े और हर 20% घटे, तो भिन्न 1.250.8=2516\frac{1.25}{0.8} = \frac{25}{16} से गुणा हो जाती है। अब नई भिन्न 54\frac{5}{4} दी हो, तो मूल भिन्न 54×1625=45\frac{5}{4} \times \frac{16}{25} = \frac{4}{5} थी।

भिन्न और उसका व्युत्क्रम: प्रश्न आता है, "किसी भिन्न और उसके व्युत्क्रम का योग 21122\frac{1}{12} है।" यहाँ भी विकल्प रखकर देखिए। 34+43=9+1612=2512=2112\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9 + 16}{12} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}, यानी शर्त पूरी हो गई।

कड़ी वाले प्रश्नों में हर कदम के बाद एक पंक्ति लिख लीजिए कि कितना भाग बचा। यह दस सेकंड का काम है, और इससे आप अलग-अलग रकमों की भिन्नें जोड़ने की गलती से बच जाते हैं।

सतत भिन्न

जब किसी भिन्न के भीतर परत-दर-परत और भिन्नें रखी हों, तो उसे सतत भिन्न (continued fraction) कहते हैं। नीचे ऐसी ही एक भिन्न है।

2+13+14+122 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{2}}}

मान निकालना हो तो नीचे से शुरू कीजिए: सबसे निचली पंक्ति से चलिए और एक-एक परत करके ऊपर की ओर बढ़िए। बस एक ही नियम याद रखना है। 1 को किसी भिन्न से भाग दें, तो वही भिन्न उलट जाती है, यानी 1a/b=ba\frac{1}{a/b} = \frac{b}{a}। ऊपर वाली सतत भिन्न ऐसे हल होगी।

  • सबसे निचली परत 4+12=924 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} है। इसका व्युत्क्रम 29\frac{2}{9} है।
  • अगली परत 3+29=2993 + \frac{2}{9} = \frac{29}{9} है। इसका व्युत्क्रम 929\frac{9}{29} है।
  • सबसे ऊपर 2+929=67292 + \frac{9}{29} = \frac{67}{29} आता है।

यह सीधा उलटना तभी चलता है जब अंश 1 हो। अंश 1 न हो, तो अंश को नीचे वाली परत से भाग दीजिए, जैसे 32+14=3÷94=43\cfrac{3}{2 + \cfrac{1}{4}} = 3 \div \frac{9}{4} = \frac{4}{3}। घटाव वाली परतें भी ठीक इसी तरह हल होती हैं, जैसे 2−12−12=2−23=432 - \cfrac{1}{2 - \cfrac{1}{2}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}।

x निकालना हो तो ऊपर से परतें उतारिए: यहाँ कदम उलटे क्रम में चलते हैं। पूर्ण संख्या घटाइए, जो बचे उसे उलटिए, और यही दोहराते जाइए जब तक xx अकेला न रह जाए। यह प्रश्न देखिए।

1+12+11+1x=15111 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}} = \frac{15}{11}

  • 1 घटाने पर 411\frac{4}{11} बचता है। इसे उलटिए, तो 2+11+1x=1142 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} = \frac{11}{4} मिलता है।
  • अब 2 घटाइए और बचे हुए 34\frac{3}{4} को उलटिए, तो 1+1x=431 + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} आता है।
  • फिर 1 घटाइए, तो 1x=13\frac{1}{x} = \frac{1}{3}, यानी x=3x = 3।

भिन्न को सतत भिन्न के रूप में लिखना: SSC में उलटी दिशा से भी प्रश्न आते हैं। जैसे, "यदि 4330=1+1a+1b+1c\frac{43}{30} = 1 + \cfrac{1}{a + \cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c}}} है, तो aa, bb और cc ज्ञात कीजिए।" तरीका वही है। पूर्ण संख्या अलग कीजिए, बची भिन्न को उलटिए, और यही दोहराइए।

  • पहले 4330=1+1330\frac{43}{30} = 1 + \frac{13}{30} लिखिए। बची भिन्न को उलटने पर 3013=2+413\frac{30}{13} = 2 + \frac{4}{13} आता है।
  • अब बची हुई भिन्न को फिर उलटिए, तो 134=3+14\frac{13}{4} = 3 + \frac{1}{4} मिलता है।

तो a=2a = 2, b=3b = 3 और c=4c = 4 है।

पहचानने लायक पैटर्न: सतत भिन्न में सारी संख्याएँ 1 हों, तो उत्तर में 1, 2, 3, 5, 8, 13, … वाली संख्याएँ ही आती हैं। इनमें हर संख्या पिछली दो संख्याओं का योग है। जैसे 11+11+11+12=58\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}}} = \frac{5}{8}।

[Tier 2] कभी न ख़त्म होने वाली सतत भिन्न: पैटर्न अनंत तक चलता रहे, तो पहली परत के नीचे वाला हिस्सा फिर से पूरी भिन्न ही होता है। जैसे x=2+12+12+⋯x = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} हो, तो इसे x=2+1xx = 2 + \frac{1}{x} लिख सकते हैं। इससे x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0 मिलता है, जिसका धनात्मक हल x=1+2x = 1 + \sqrt{2} है। इसी तरह जब सारी संख्याएँ 1 हों, तो 1+11+11+⋯=1+521 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} होता है।

[SSC टिप] विकल्पों में अक्सर तीन तरह के मान होते हैं। एक सही मान, एक उसकी उलटी भिन्न, और एक ऐसा जिसमें किसी परत पर चूक हुई हो। जैसे 6729\frac{67}{29}, 2967\frac{29}{67} और 679\frac{67}{9}। इसलिए हर परत कागज़ पर लिखिए। जो छात्र दोनों बार का उलटना मन में ही कर लेते हैं, वे अक्सर यहीं चूकते हैं।

पद कटने वाली श्रेणी

पद कटने वाली श्रेणी (telescoping series) में हर पद को दो हिस्सों में तोड़ा जाता है। ये हिस्से आगे-आगे आपस में कटते जाते हैं, और अंत में केवल पहला और आख़िरी हिस्सा बचता है।

मूल विभाजन: सबसे ज़्यादा काम आने वाला सूत्र यह है।

1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

इसे एक उदाहरण में देखिए।

12×3+13×4+⋯+19×10=(12−13)+(13−14)+⋯+(19−110)=12−110=25\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{9 \times 10} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{2}{5}

व्यापक रूप में यही बात ऐसे लिखी जाती है, 11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−1n+1=nn+1\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}।

अंतर 1 न हो तब: दोनों गुणनखंडों में अंतर kk हो, तो सूत्र थोड़ा बदल जाता है।

1n(n+k)=1k(1n−1n+k)\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)

जैसे

11×4+14×7+⋯+119×22=13(1−122)=722\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \cdots + \frac{1}{19 \times 22} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{22}\right) = \frac{7}{22}

आगे वाला 1k\frac{1}{k} भूल गए, तो 2122\frac{21}{22} आएगा। SSC के विकल्पों में यह मान ज़रूर होता है।

अगर हर पद का अंश पहले से ही उस अंतर के बराबर हो, जैसे 31×4+34×7+⋯\frac{3}{1 \times 4} + \frac{3}{4 \times 7} + \cdots में, तो 1k\frac{1}{k} कट जाता है। तब योग बस पहले और आख़िरी हिस्से का अंतर रह जाता है।

छिपे हुए पद: प्रश्न में हर अक्सर गुणा करके एक ही संख्या के रूप में लिखे होते हैं। इन्हें पहचानना सीख लीजिए।

पद असल में पद असल में
12\frac{1}{2} 11×2\frac{1}{1 \times 2} 130\frac{1}{30} 15×6\frac{1}{5 \times 6}
16\frac{1}{6} 12×3\frac{1}{2 \times 3} 142\frac{1}{42} 16×7\frac{1}{6 \times 7}
112\frac{1}{12} 13×4\frac{1}{3 \times 4} 156\frac{1}{56} 17×8\frac{1}{7 \times 8}
120\frac{1}{20} 14×5\frac{1}{4 \times 5} 172\frac{1}{72} 18×9\frac{1}{8 \times 9}

जैसे 156+172+190+1110+1132=17−112=584\frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110} + \frac{1}{132} = \frac{1}{7} - \frac{1}{12} = \frac{5}{84}।

1n2−1\frac{1}{n^2 - 1} जैसे पद अंतर 2 वाले होते हैं, क्योंकि n2−1=(n−1)(n+1)n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)। जैसे

13+115+135+163=11×3+13×5+15×7+17×9=12(1−19)=49\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{9}\right) = \frac{4}{9}

[Tier 2] तीन गुणनखंड: हर में तीन क्रमागत गुणनखंड हों, तो यह सूत्र लगता है।

1n(n+1)(n+2)=12(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)

जैसे

11×2×3+12×3×4+⋯+18×9×10=12(12−190)=1145\frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{8 \times 9 \times 10} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{90}\right) = \frac{11}{45}

गुणनफल श्रेणी

गुणनफल श्रेणी (product series) में हर कोष्ठक को एक भिन्न में बदल दीजिए। फिर एक कोष्ठक का अंश अगले कोष्ठक के हर को काट देता है।

दो मूल कड़ियाँ: ये दो कड़ियाँ सबसे ज़्यादा आती हैं।

(1−12)(1−13)⋯(1−1n)=12×23×⋯×n−1n=1n\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}

(1+12)(1+13)⋯(1+1n)=32×43×⋯×n+1n=n+12\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\cdots\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \cdots \times \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 1}{2}

कड़ी कहाँ से शुरू हुई: अंत में केवल पहला हर और आख़िरी अंश बचते हैं, इसलिए शुरुआत देखना ज़रूरी है। कड़ी 12\frac{1}{2} की जगह 1d\frac{1}{d} से शुरू हो, तो ये सूत्र लगते हैं।

  • (1−1d)⋯(1−1n)=d−1n\left(1 - \frac{1}{d}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{d - 1}{n} होता है। जैसे (1−15)(1−16)⋯(1−140)=440=110\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{6}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{40}\right) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}।
  • (1+1d)⋯(1+1n)=n+1d\left(1 + \frac{1}{d}\right)\cdots\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{n + 1}{d} होता है। जैसे (1+14)(1+15)⋯(1+199)=1004=25\left(1 + \frac{1}{4}\right)\left(1 + \frac{1}{5}\right)\cdots\left(1 + \frac{1}{99}\right) = \frac{100}{4} = 25।

हर में वर्ग: यहाँ हर कोष्ठक को दो हिस्सों में तोड़िए, एक घटाव वाला और एक जोड़ वाला। 1−1k2=(1−1k)(1+1k)1 - \frac{1}{k^2} = \left(1 - \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{1}{k}\right)। घटाव वाले हिस्सों का गुणनफल पहली मूल कड़ी जैसा है और जोड़ वाले हिस्सों का दूसरी जैसा। इसलिए

(1−122)(1−132)⋯(1−1n2)=1n×n+12=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n} \times \frac{n + 1}{2} = \frac{n + 1}{2n}

जैसे कड़ी 1102\frac{1}{10^2} तक चले, तो मान 1120\frac{11}{20} होता है।

विषम संख्याओं वाली कड़ी: एक पैटर्न ऐसा भी आता है, (2−13)(2−35)(2−57)⋯\left(2 - \frac{1}{3}\right)\left(2 - \frac{3}{5}\right)\left(2 - \frac{5}{7}\right)\cdots। इसमें पहले हर कोष्ठक को सरल कीजिए। 2−13=532 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}, 2−35=752 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5} और 2−57=972 - \frac{5}{7} = \frac{9}{7}। अब गुणा करने पर बाकी सब कट जाता है, और गुणनफल आख़िरी अंश बटा 3 रह जाता है। जैसे आख़िरी कोष्ठक 2−1921=23212 - \frac{19}{21} = \frac{23}{21} हो, तो गुणनफल 233\frac{23}{3} है।

बेमेल कड़ी: कभी कड़ी बीच-बीच में संख्याएँ छोड़कर चलती है, जैसे (1−13)(1−15)(1−17)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{7}\right)। यहाँ अंश और हर आपस में नहीं मिलते, तो कोई छोटा रास्ता नहीं है। सीधा गुणा कीजिए, 23×45×67=48105=1635\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}। इसलिए सूत्र लगाने से पहले देख लीजिए कि कड़ी सचमुच लगातार संख्याओं पर चल रही है या नहीं।

क्या बचेगा, यह जानने के लिए पहले दो कोष्ठक और आख़िरी कोष्ठक को एक-एक भिन्न के रूप में लिख लीजिए। बीच वाले लिखे बिना ही साफ़ दिख जाता है कि क्या कटेगा।

गणना में आवर्ती दशमलव

आवर्ती दशमलव (recurring decimal) को भिन्न में बदलने का तरीका अध्याय 1 ("संख्या पद्धति, म.स. और ल.स.") में आ चुका है। जैसे 0.7‾=790.\overline{7} = \frac{7}{9}, 0.45‾=45990.\overline{45} = \frac{45}{99} और 0.16‾=16−1900.1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90}। यहाँ देखेंगे कि जोड़-घटाव या गुणा-भाग के बीच ये आ जाएँ, तो क्या करें।

नियम सीधा है। हर आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलिए और फिर हिसाब कीजिए। वापस दशमलव में तभी जाइए जब विकल्प उसी रूप में दिए हों।

  • जोड़: 0.6‾+0.7‾+0.8‾=6+7+89=219=2.3‾0.\overline{6} + 0.\overline{7} + 0.\overline{8} = \frac{6 + 7 + 8}{9} = \frac{21}{9} = 2.\overline{3}
  • घटाव: 3.4‾−1.7‾=319−169=159=1.6‾3.\overline{4} - 1.\overline{7} = \frac{31}{9} - \frac{16}{9} = \frac{15}{9} = 1.\overline{6}
  • गुणा: 0.3‾×0.6‾=13×23=29=0.2‾0.\overline{3} \times 0.\overline{6} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9} = 0.\overline{2}
  • भाग: 0.36‾÷0.12‾=3699÷1299=30.\overline{36} \div 0.\overline{12} = \frac{36}{99} \div \frac{12}{99} = 3
  • मिश्रित आवर्ती: 0.23‾+0.4‾=2190+4090=6190=0.67‾0.2\overline{3} + 0.\overline{4} = \frac{21}{90} + \frac{40}{90} = \frac{61}{90} = 0.6\overline{7}

अंक-दर-अंक जोड़ना गलत क्यों है: मान लीजिए किसी ने 0.777… और 0.555… को बिना हासिल के स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़ दिया। उसे 1.222… दिखेगा। पर हर स्तंभ में दाईं ओर वाले स्तंभ से 1 हासिल भी आता है, इसलिए सही उत्तर 129=1.3‾\frac{12}{9} = 1.\overline{3} है। भिन्न में बदल लें, तो यह झंझट पूरी तरह ख़त्म हो जाता है।

ऐसे जोड़े जिनका योग 1 हो: दो शुद्ध आवर्ती दशमलव लीजिए जिनके आवर्ती अंक-समूह बराबर लंबाई के हों। दोनों समूहों को जोड़ने पर सारे अंक 9 आएँ, तो दशमलवों का योग ठीक 1 होता है। जैसे 0.37‾+0.62‾=9999=10.\overline{37} + 0.\overline{62} = \frac{99}{99} = 1। समूहों का योग 101 हो, तो उत्तर 10199=1.02‾\frac{101}{99} = 1.\overline{02} आता है, जैसे 0.45‾+0.56‾0.\overline{45} + 0.\overline{56} में।

सातवें भाग: 17=0.142857‾\frac{1}{7} = 0.\overline{142857} है। बाकी हर सातवें भाग में यही छह अंक आते हैं, बस उनका क्रम घूम जाता है। जैसे 27=0.285714‾\frac{2}{7} = 0.\overline{285714} और 37=0.428571‾\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}। इसीलिए 0.285714‾×7=20.\overline{285714} \times 7 = 2 होता है।

[SSC टिप] विकल्प अक्सर बार वाले रूप में दिए होते हैं, इसलिए दो तरह की भिन्नें याद रखिए। नौवें भागों में एक ही अंक दोहराता है, जैसे 49=0.4‾\frac{4}{9} = 0.\overline{4}। ग्यारहवें भागों में 9 का कोई दो अंकों वाला गुणज दोहराता है, जैसे 311=0.27‾\frac{3}{11} = 0.\overline{27} और 511=0.45‾\frac{5}{11} = 0.\overline{45}। ये याद हों, तो अपनी भिन्न को तुरंत बार वाले रूप में लिख सकते हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

425+234−3124\frac{2}{5} + 2\frac{3}{4} - 3\frac{1}{2} को सरल कीजिए।

उत्तर: पूर्ण भाग और भिन्न भाग अलग-अलग हल कर लेते हैं। पूर्ण भागों से 4 + 2 − 3 = 3 आता है। भिन्न भागों से 25+34−12=8+15−1020=1320\frac{2}{5} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{8 + 15 - 10}{20} = \frac{13}{20} आता है। दोनों को साथ लिख दें, तो मान 313203\frac{13}{20} हुआ।

प्रश्न 2

2132\frac{1}{3} ÷ 1341\frac{3}{4} का 23\frac{2}{3} + 12×34\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} को सरल कीजिए। (a) 119721\frac{19}{72} (b) 2382\frac{3}{8} (c) 2142\frac{1}{4} (d) 78\frac{7}{8}

उत्तर: "का" भाग से पहले हल होता है, इसलिए सबसे पहले 1341\frac{3}{4} का 23\frac{2}{3} निकालते हैं, जो 74×23=76\frac{7}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{6} है। अब 73÷76=73×67=2\frac{7}{3} \div \frac{7}{6} = \frac{7}{3} \times \frac{6}{7} = 2 आता है। इसमें 12×34=38\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} जोड़ दें, तो 2382\frac{3}{8} मिलता है। जो लोग "का" को साधारण × की तरह पढ़ लेते हैं, उन्हें 89+38=11972\frac{8}{9} + \frac{3}{8} = 1\frac{19}{72} मिलता है, यानी विकल्प (a), जो गलत है। मान (b) 2382\frac{3}{8} है।

प्रश्न 3

13+1412−15\dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} को सरल कीजिए।

उत्तर: यहाँ अंश और हर को अलग-अलग सरल करना है। अंश 13+14=712\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} हुआ और हर 12−15=310\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}। अब भाग देने पर 712÷310=712×103=7036=3518\frac{7}{12} \div \frac{3}{10} = \frac{7}{12} \times \frac{10}{3} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18} मिलता है। मिश्रित भिन्न में लिखें, तो यह 117181\frac{17}{18} है।

प्रश्न 4

निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन-सा है? (a) 58\frac{5}{8} (b) 711\frac{7}{11} (c) 914\frac{9}{14} (d) 35\frac{3}{5}

उत्तर: हर भिन्न को दशमलव में बदल लेते हैं। 58\frac{5}{8} = 0.625, 711\frac{7}{11} = 0.636, 914\frac{9}{14} = 0.643 और 35\frac{3}{5} = 0.6 है। सबसे बड़ी दो भिन्नें बहुत पास-पास हैं, तो पक्का करने के लिए 914\frac{9}{14} और 711\frac{7}{11} का तिरछा गुणा कर लेते हैं। 9 × 11 = 99 और 14 × 7 = 98, यानी 914\frac{9}{14} बड़ी है। सबसे बड़ी भिन्न (c) 914\frac{9}{14} है।

प्रश्न 5

45\frac{4}{5}, 67\frac{6}{7}, 23\frac{2}{3} और 79\frac{7}{9} को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

उत्तर: ध्यान से देखें, तो इनमें से तीन भिन्नें 23\frac{2}{3}, 45\frac{4}{5} और 67\frac{6}{7} अंतर वाले पैटर्न पर हैं। ये 1 से 13\frac{1}{3}, 15\frac{1}{5} और 17\frac{1}{7} कम हैं, इसलिए इसी क्रम में बढ़ती जाती हैं। 79\frac{7}{9} भी 1 से 29\frac{2}{9} कम है। यह कमी 15\frac{1}{5} और 13\frac{1}{3} के बीच है, तो इसकी जगह 23\frac{2}{3} और 45\frac{4}{5} के बीच होगी। अवरोही क्रम 67>45>79>23\frac{6}{7} > \frac{4}{5} > \frac{7}{9} > \frac{2}{3} है।

प्रश्न 6

37\frac{3}{7}, 59\frac{5}{9}, 411\frac{4}{11} और 712\frac{7}{12} में से सबसे बड़ी और सबसे छोटी भिन्न का अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दशमलव में ये 0.429, 0.556, 0.364 और 0.583 हैं। तो सबसे बड़ी 712\frac{7}{12} है और सबसे छोटी 411\frac{4}{11}। अंतर निकालने के लिए वापस सटीक भिन्नें लेते हैं। 712−411=77−48132\frac{7}{12} - \frac{4}{11} = \frac{77 - 48}{132} = 29132\frac{29}{132}।

प्रश्न 7

निम्नलिखित में से कौन-सी भिन्न 38\frac{3}{8} और 25\frac{2}{5} के बीच स्थित है? (a) 411\frac{4}{11} (b) 513\frac{5}{13} (c) 717\frac{7}{17} (d) 37\frac{3}{7}

उत्तर: पहले दोनों छोर दशमलव में लिख लेते हैं, 38\frac{3}{8} = 0.375 और 25\frac{2}{5} = 0.4। अब एक-एक विकल्प जाँचिए। 411\frac{4}{11} = 0.364 बहुत छोटी है और 513\frac{5}{13} = 0.385 बीच में आती है। 717\frac{7}{17} = 0.412 और 37\frac{3}{7} = 0.429 बहुत बड़ी हैं। वैसे 513\frac{5}{13} सीधे भी मिल जाती है, क्योंकि यह 38\frac{3}{8} और 25\frac{2}{5} के अंशों का योग बटा हरों का योग है। तो बीच वाली भिन्न (b) 513\frac{5}{13} है।

प्रश्न 8

35 मीटर लंबे एक तार को 2142\frac{1}{4} मीटर लंबे टुकड़ों में काटा जाता है। कितने पूरे टुकड़े बनेंगे, और कितना तार बच जाएगा?

उत्तर: कुल लंबाई को एक टुकड़े की लंबाई से भाग देते हैं। 35 ÷ 94\frac{9}{4} = 35 × 49\frac{4}{9} = 1409\frac{140}{9} = 155915\frac{5}{9}, तो 15 पूरे टुकड़े बनेंगे। इनमें 15 × 94\frac{9}{4} = 1354\frac{135}{4} = 333433\frac{3}{4} मीटर तार लगा। बचा तार 35 − 333433\frac{3}{4} = 1141\frac{1}{4} मीटर है। यानी 15 टुकड़े बनेंगे, और 1141\frac{1}{4} मीटर तार बचेगा।

प्रश्न 9

एक टंकी 38\frac{3}{8} भरी हुई है। उसमें 33 लीटर पानी और डालने पर वह 56\frac{5}{6} भर जाती है। टंकी की क्षमता कितनी है?

उत्तर: पहले यह देखते हैं कि 33 लीटर से टंकी का कितना हिस्सा भरा। यह 56−38=20−924=1124\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20 - 9}{24} = \frac{11}{24} है। तो पूरी टंकी 33 ÷ 1124\frac{11}{24} = 33 × 2411\frac{24}{11} = 72 लीटर की है।

प्रश्न 10

पानी से पूरी भरी एक बाल्टी का भार 3.6 किग्रा है। जब वह 13\frac{1}{3} भरी होती है, तब उसका भार 1.6 किग्रा होता है। खाली बाल्टी का भार कितना है?

उत्तर: बाल्टी तो दोनों भारों में शामिल है, इसलिए 2 किग्रा का अंतर केवल पानी का है। 13\frac{1}{3} भरी से पूरी भरी होने तक पानी का 23\frac{2}{3} और जुड़ा। मतलब पानी का 23\frac{2}{3} = 2 किग्रा, तो पूरा पानी 3 किग्रा हुआ। खाली बाल्टी = 3.6 − 3 = 0.6 किग्रा।

प्रश्न 11

एक व्यक्ति अपने वेतन का 14\frac{1}{4} भाग किराए पर, शेष का 13\frac{1}{3} भाग भोजन पर और उसके बाद बची राशि का 25\frac{2}{5} भाग यात्रा पर खर्च करता है। वह ₹ 9,000 बचाता है। उसका वेतन कितना है?

उत्तर: हर कदम के बाद लिखते चलिए कि कितना बचा। किराए के बाद 34\frac{3}{4} बचा, भोजन के बाद उसका 23\frac{2}{3} और यात्रा के बाद उसका 35\frac{3}{5}। तो बचत वेतन का 34×23×35=310\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} है। वेतन = 9,000 × 103\frac{10}{3} = ₹ 30,000।

प्रश्न 12

एक छात्र से किसी संख्या का 712\frac{7}{12} ज्ञात करने को कहा गया। गलती से उसने उस संख्या का 74\frac{7}{4} ज्ञात कर लिया, और उसका उत्तर सही उत्तर से 168 अधिक आया। वह संख्या कौन-सी है?

उत्तर: जो 168 ज़्यादा आए, वे संख्या के 74−712=21−712=1412=76\frac{7}{4} - \frac{7}{12} = \frac{21 - 7}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} के बराबर हैं। तो संख्या = 168 × 67\frac{6}{7} = 144। जाँच भी कर लेते हैं। 144 का 74\frac{7}{4} = 252 और 144 का 712\frac{7}{12} = 84 है, और 252 − 84 = 168।

प्रश्न 13

किसी भिन्न के अंश में 20% की वृद्धि और हर में 25% की कमी की जाती है। इससे बनी नई भिन्न 45\frac{4}{5} है। मूल भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंश 20% बढ़ा और हर 25% घटा, तो पूरी भिन्न 1.20.75=12075=85\frac{1.2}{0.75} = \frac{120}{75} = \frac{8}{5} से गुणा हो गई। इसलिए नई भिन्न को इसी से भाग देंगे। मूल भिन्न = 45÷85=45×58\frac{4}{5} \div \frac{8}{5} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{8} = 12\frac{1}{2}। जाँच के लिए 1×1.22×0.75=1.21.5=45\frac{1 \times 1.2}{2 \times 0.75} = \frac{1.2}{1.5} = \frac{4}{5} आता है।

प्रश्न 14

यदि किसी भिन्न के अंश और हर, दोनों में 1 जोड़ दिया जाए, तो भिन्न 34\frac{3}{4} हो जाती है। यदि दोनों में से 3 घटा दिया जाए, तो वह 12\frac{1}{2} हो जाती है। वह भिन्न है: (a) 23\frac{2}{3} (b) 35\frac{3}{5} (c) 57\frac{5}{7} (d) 79\frac{7}{9}

उत्तर: विकल्प रखकर जाँचते हैं। 23\frac{2}{3} पहली शर्त तो पूरी करती है, क्योंकि 1 जोड़ने पर 34\frac{3}{4} आता है। पर 3 घटाने पर इसका हर 3 − 3 = 0 हो जाता है, तो यह बाहर। 35\frac{3}{5} में 1 जोड़ने पर 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3} आता है, तो यह भी बाहर। 57\frac{5}{7} से 68=34\frac{6}{8} = \frac{3}{4} और 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} आते हैं, यानी दोनों शर्तें पूरी होती हैं। वह भिन्न (c) 57\frac{5}{7} है।

प्रश्न 15

2+13+11+142 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4}}} का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: नीचे से शुरू करते हैं। सबसे निचली परत 1+14=541 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} है, जिसका व्युत्क्रम 45\frac{4}{5} है। अगली परत 3+45=1953 + \frac{4}{5} = \frac{19}{5} है, और इसका व्युत्क्रम 519\frac{5}{19}। सबसे ऊपर 2+519=43192 + \frac{5}{19} = \frac{43}{19} आता है। तो मान 4319\frac{43}{19} है, जिसे 25192\frac{5}{19} भी लिख सकते हैं।

प्रश्न 16

यदि 12+11+1x=513\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}} = \frac{5}{13} है, तो xx ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ ऊपर से परतें उतारनी हैं। बाईं ओर अंश 1 है, तो दोनों पक्षों को सीधे उलट देते हैं। इससे 2+11+1x=1352 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} = \frac{13}{5} मिलता है। 2 घटाने पर 11+1x=35\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} = \frac{3}{5} बचता है। इसे फिर उलटिए, तो 1+1x=531 + \frac{1}{x} = \frac{5}{3} आता है। अब 1 घटाएँ, तो 1x=23\frac{1}{x} = \frac{2}{3}, यानी x=32x = \frac{3}{2}।

प्रश्न 17

यदि 6127=2+1x+1y+1z\frac{61}{27} = 2 + \cfrac{1}{x + \cfrac{1}{y + \cfrac{1}{z}}} है, जहाँ xx, yy और zz प्राकृत संख्याएँ हैं, तो x+y+zx + y + z ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले पूर्ण संख्या अलग कर लेते हैं, 6127=2+727\frac{61}{27} = 2 + \frac{7}{27}। अब 727\frac{7}{27} को उलटने पर 277=3+67\frac{27}{7} = 3 + \frac{6}{7} आता है, यानी x=3x = 3। फिर 67\frac{6}{7} को उलटें, तो 76=1+16\frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{6} मिलता है। यहाँ पूर्ण भाग 1 है, इसलिए y=1y = 1 और z=6z = 6। अब x+y+zx + y + z = 3 + 1 + 6 = 10।

प्रश्न 18

112+120+130+⋯+1380\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \cdots + \frac{1}{380} का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ध्यान दीजिए, सारे हर दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल हैं। 12 = 3 × 4, 20 = 4 × 5, 30 = 5 × 6 और 380 = 19 × 20। तो हर पद 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} वाला है, n=3n = 3 से n=19n = 19 तक। बीच के सारे पद कट जाते हैं और 13−120=20−360\frac{1}{3} - \frac{1}{20} = \frac{20 - 3}{60} = 1760\frac{17}{60} बचता है।

प्रश्न 19

11×4+14×7+17×10+⋯+128×31\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \cdots + \frac{1}{28 \times 31} का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ हर बार दोनों गुणनखंडों में 3 का अंतर है। इसलिए हर पद को 13(1n−1n+3)\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\right) के रूप में लिखते हैं। बीच के पद कटने पर 13(1−131)=13×3031\frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{31}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{30}{31} = 1031\frac{10}{31} बचा। जल्दबाज़ी में लोग आगे वाला 13\frac{1}{3} भूल जाते हैं और 3031\frac{30}{31} लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 20

(1−13)(1−14)(1−15)⋯(1−150)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{50}\right) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर कोष्ठक को एक भिन्न में बदल लीजिए, 23×34×45×⋯×4950\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \cdots \times \frac{49}{50}। प्रत्येक भिन्न का अंश पिछली भिन्न के हर से कट जाता है, तो केवल पहला अंश 2 और आख़िरी हर 50 बचते हैं। मान 250\frac{2}{50} = 125\frac{1}{25} है।

प्रश्न 21

(1−14)(1−19)(1−116)⋯(1−1100)\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right)\left(1 - \frac{1}{16}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{100}\right) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ सारे हर वर्ग हैं, 222^2 से 10210^2 तक। यानी कड़ी (1−1k2)\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) वाली है, k=2k = 2 से k=10k = 10 तक। इसका मान n+12n\frac{n + 1}{2n} होता है, तो n=10n = 10 रखने पर 1120\frac{11}{20} आता है। खोलकर देखें, तो घटाव वाले हिस्सों से 110\frac{1}{10} आता है और जोड़ वाले हिस्सों से 112\frac{11}{2}, और 110×112=1120\frac{1}{10} \times \frac{11}{2} = \frac{11}{20}।

प्रश्न 22

0.36‾×2.2‾0.\overline{36} \times 2.\overline{2} का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों को भिन्न में बदल लेते हैं। 0.36‾=3699=4110.\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} और 2.2‾=2+29=2092.\overline{2} = 2 + \frac{2}{9} = \frac{20}{9}। गुणा करने पर 411×209=8099\frac{4}{11} \times \frac{20}{9} = \frac{80}{99} आता है। हर 99 हो और अंश दो अंकों का, तो दशमलव में वही दो अंक बार-बार आते हैं। इसलिए मान 0.80‾0.\overline{80} है।