शॉर्टकट और तेज़ तरीके

BODMAS के जाल

टियर 1 के पेपर में सबसे जल्दी अंक सरलीकरण के प्रश्नों से ही मिलने चाहिए। एक प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड मिलते हैं, पर सीधा-सादा BODMAS वाला प्रश्न 15 से 20 सेकंड में ही हो जाना चाहिए।

इन प्रश्नों में समय दो वजहों से बर्बाद होता है। पहली, हल करने के क्रम में चूक हो जाती है और आप सीधे गलत विकल्प पर पहुँच जाते हैं। दूसरी, जो काम किसी छोटे पैटर्न से हो जाता, उसके लिए आप लंबा हल करने बैठ जाते हैं।

आगे हर तरीके के साथ एक हल किया हुआ उदाहरण देखेंगे, और यह भी कि वह तरीका कहाँ धोखा देता है। जैसे घनमूल वाला तरीका उस संख्या पर भी कोई उत्तर दे देता है जो पूर्ण घन नहीं है। या दो विकल्प बहुत पास-पास हों, तो गोल करने पर आप गलत विकल्प चुन लेते हैं।

हल करने का क्रम V B O D M A S है। सबसे पहले रेखा कोष्ठक (vinculum), फिर कोष्ठक, फिर "का", उसके बाद भाग और गुणा, और अंत में जोड़ और घटाव। पूरा नियम "BODMAS और सरलीकरण" वाले खंड में है। यहाँ केवल वे तीन जगहें देखेंगे जहाँ छात्र सबसे ज़्यादा चूकते हैं।

"का" पहले, ÷ और × बाद में

÷ के पास "का" दिखे, तो पढ़ते ही "A का B" के चारों ओर मन में कोष्ठक लगा लीजिए। जैसे 96 ÷ 4 का 6 = 96 ÷ (4 × 6) = 96 ÷ 24 = 4।

अब $\frac{1}{2} \div \frac{1}{2} \text{ का } \frac{1}{2}$ लीजिए। पहले "का" हल कीजिए। आधे का आधा $\frac{1}{4}$ होता है। फिर $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = 2$। जो छात्र सीधे बाएँ से दाएँ चल पड़ते हैं, उन्हें $\frac{1}{2}$ मिलता है, और विकल्पों में यही गलत उत्तर रखा होता है।

भाग से पहले केवल "का" हल होता है, × नहीं। × का कोई अलग दर्जा नहीं है। 96 ÷ 4 × 6 में बाएँ से दाएँ चलिए, तो 96 ÷ 4 × 6 = 24 × 6 = 144 आता है।

"का" केवल अपने ठीक आगे और पीछे वाली संख्या को बाँधता है। 16 का $\frac{3}{4}$ + 4 = 12 + 4 = 16 होगा। इसे 20 का $\frac{3}{4}$ नहीं समझना चाहिए।

पहले रेखा कोष्ठक, और उसके आगे का ऋण पूरी रेखा पर

किसी व्यंजक के कुछ हिस्से के ऊपर रेखा खिंची हो, जैसे $7 - \overline{8 - 3}$, तो वह रेखा भी कोष्ठक का ही काम करती है। पहले रेखा के नीचे वाला हिस्सा हल कीजिए, फिर भीतर से बाहर की ओर चलिए।

जैसे $18 - [5 - \{6 + (7 - \overline{8 - 3})\}]$ लीजिए। रेखा के नीचे 8 − 3 = 5 है। छोटे कोष्ठक में 7 − 5 = 2। मझले कोष्ठक में 6 + 2 = 8। बड़े कोष्ठक में 5 − 8 = −3। अंत में 18 − (−3) = 21।

गलती अक्सर रेखा के आगे वाले ऋण चिह्न में होती है। $7 - \overline{8 - 3}$ = 7 − 5 = 2 है। किसी ने रेखा हटाकर 7 − 8 − 3 = −4 लिख दिया, तो उत्तर गलत हो गया।

अगला कोष्ठक खोलते समय हर कदम का उत्तर उसके चिह्न के साथ ही आगे ले जाइए, ख़ासकर जब वह ऋणात्मक हो, जैसे ऊपर वाला −3।

÷ और × बराबर हैं, बाएँ से दाएँ चलिए

कभी बिना कोष्ठक के ÷ और × की लंबी कड़ी आती है, जैसे 96 ÷ 8 × 4 ÷ 2। ऐसी पूरी कड़ी को एक भिन्न बना लीजिए। × के ठीक बाद वाली संख्या अंश में जाती है और ÷ के ठीक बाद वाली हर में। फिर अंश और हर की संख्याएँ आपस में काट दीजिए।

$$96 \div 8 \times 4 \div 2 = \frac{96 \times 4}{8 \times 2} = 24$$

इससे भी जल्दी करना हो, तो पहले काटिए। 96 ÷ 16 = 6, और 6 × 4 = 24।

BODMAS में D पहले लिखा है और M बाद में, इसलिए कई छात्र मान लेते हैं कि भाग हमेशा गुणा से पहले होगा। यह सही नहीं है। कुछ छात्र उलटा गुणा पहले कर लेते हैं और 96 ÷ (8 × 4) ÷ 2 = 1.5 लिख देते हैं, जो गलत है।

जोड़ और घटाव भी बराबर दर्जे के हैं, इन्हें भी बाएँ से दाएँ कीजिए। 20 − 8 + 2 = 14 होता है, 10 नहीं।

एक बात और याद रखिए। ÷ के बाद केवल एक संख्या हर में जाती है। हाँ, ÷ के बाद "का" या कोष्ठक हो, तो पूरा समूह हर में जाएगा। जैसे 96 ÷ 4 का 6 = 96/24।

पूरे हल के बिना सही विकल्प

SSC के विकल्प पास-पास तो होते हैं, पर हर बात में एक-दूसरे से बहुत कम मिलते हैं। ये तीन जाँचें कर लें, तो पूरा हल करने से पहले ही कई विकल्प हट जाते हैं। अक्सर तो पूरा हल करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

अंक-योग (9 हटाकर)

मान लीजिए बड़ा गुणा या वर्ग निकालना है, या "? के स्थान पर क्या आएगा" वाला लुप्त संख्या का प्रश्न है, और सारे विकल्पों का अंतिम अंक भी एक ही है। तब अंक-योग (digit sum) से जाँच कीजिए।

हर संख्या के अंक जोड़िए, और जब तक एक अंक न बच जाए, दोबारा जोड़ते रहिए। 9 को 0 मानिए। अब प्रश्न में जो हिसाब है, वही इन छोटे अंकों पर कीजिए। जो अंक आए, सही उत्तर का अंक-योग भी वही होगा।

जैसे 4,387 × 236 = ? के विकल्प हैं (a) 10,35,332 (b) 10,35,342 (c) 10,34,332 (d) 10,35,432। चारों का अंतिम अंक 2 है, तो अंतिम अंक से कोई मदद नहीं मिलती। अब 4,387 के अंक जोड़िए। 22 आता है, और 22 से 4। इसी तरह 236 से 11 और फिर 2। 4 × 2 = 8। विकल्पों के अंक-योग 8, 9, 7 और 9 हैं। 8 केवल (a) का है।

पर यह जाँच हर बार काम नहीं करती। दो अंकों की अदला-बदली से अंक-योग नहीं बदलता, इसलिए 10,35,332 और 10,53,332 इस जाँच में एक जैसे दिखेंगे। जिन दो विकल्पों में 9 के किसी गुणज जितना अंतर हो, वे भी एक जैसे दिखते हैं। दशमलव वाली संख्याओं में भी ध्यान रखिए। अंक-योग दशमलव बिंदु को नहीं देखता, इसलिए उत्तर का आकार अलग से जाँचिए।

इकाई अंक

गुणनफल, गुणनफलों का योग या अंतर, या घातें हों, तो उत्तर का केवल इकाई अंक (unit digit) निकालिए। जिस विकल्प का अंतिम अंक अलग हो, वह तुरंत हट जाता है।

जैसे 368 × 47 − 1,289 = ? के विकल्प हैं (a) 16,013 (b) 16,007 (c) 16,105 (d) 16,009। अंतिम अंक के लिए 8 × 7 = 56 देखिए, यानी 6। अब 6 में से 9 नहीं घटता, तो उधार लेकर 16 − 9 = 7। अंतिम अंक 7 केवल (b) 16,007 का है।

अगर दो विकल्पों का अंतिम अंक एक ही हो, तो अंक-योग या आकार से फ़ैसला कीजिए।

दशमलव पर भी यह चलता है, बस दशमलव स्थान गिन लीजिए। 0.37 × 0.8 में 7 × 8 = 56, तो अंतिम अंक 6 है, और यह तीसरे दशमलव स्थान पर आएगा। उत्तर 0.296 है।

गोल करके सन्निकटन

"का निकटतम मान" वाले प्रश्नों में, या जब भी विकल्प दूर-दूर हों, गोल करके सन्निकटन (approximation) कीजिए। हर संख्या की जगह उसके पास की कोई आसान संख्या ले लीजिए।

गुणनफल में एक संख्या को ऊपर और दूसरी को नीचे गोल कीजिए, ताकि दोनों की त्रुटियाँ एक-दूसरे को काट दें। योग में त्रुटियाँ सीधे जुड़ती जाती हैं, इसलिए वहाँ हर संख्या को बस थोड़ा-सा गोल कीजिए।

जैसे 1,201 का 39.89% + 14.98 × 7.02 − $\sqrt{1443}$ का निकटतम मान पूछा है, और विकल्प हैं (a) 527 (b) 547 (c) 567 (d) 587। गोल करने पर 1,200 का 40% = 480, 15 × 7 = 105 और $\sqrt{1444} = 38$ मिलते हैं। तो 480 + 105 − 38 = 547। सटीक मान लगभग 546 है।

पर अगर विकल्पों में आपस में केवल 1 या 2% का अंतर हो, तो गोल करने से आप गलत विकल्प पर पहुँच सकते हैं। तब थोड़ा और सटीक हिसाब कीजिए।

लगभग बराबर दो संख्याओं का अंतर निकालना हो, तो बहुत सँभलकर गोल कीजिए। 50.4 − 49.6 = 0.8 है, पर दोनों को 50 कर दिया तो अंतर 0 आएगा।

[SSC टिप] जिस जाँच में सबसे कम समय लगे, वह पहले कीजिए। पहले अंतिम अंक देखिए, इसमें दो सेकंड लगते हैं। फिर उत्तर का आकार देखिए, और उसके बाद अंक-योग। ज़्यादातर प्रश्नों में पहली दो जाँचों से ही उत्तर मिल जाता है।

भिन्न, दशमलव और प्रतिशत ज़बानी याद रखिए

यह तालिका याद कर लीजिए

मान लीजिए किसी गुणा में 0.375, 0.0625 या 0.1666… जैसा दशमलव आया है। या व्यंजक के भीतर 12.5% या $16\frac{2}{3}\%$ जैसा प्रतिशत है। तब उसकी जगह भिन्न लिखिए और फिर संख्याएँ आपस में काट दीजिए।

इनके गुणज भी इन्हीं से सीधे मिल जाते हैं। 3/8 = 0.375, 5/8 = 0.625, 7/8 = 0.875, 3/16 = 0.1875, 5/6 = 0.8333… और 7/11 = 0.6363…।

जैसे 0.375 × 96 + 0.0625 × 80 = $\frac{3}{8} \times 96 + \frac{1}{16} \times 80$ = 36 + 5 = 41। दशमलव का एक भी गुणा नहीं करना पड़ा।

ध्यान रखिए, 0.33 ठीक-ठीक 1/3 नहीं है, और 0.16 भी 1/6 नहीं है। प्रश्न में 0.33 बिना बिंदुओं और बिना रेखा के लिखा हो, तो उसका मतलब 33/100 ही है। उसे 1/3 तभी मानिए जब विकल्प दूर-दूर हों।

दशमलव बिंदु की जगह पर भी नज़र रखिए। 1/8 = 0.125 है, पर 1/80 = 0.0125 और 1/800 = 0.00125।

सातवें और ग्यारहवें भाग

हर में 7 हो, तो दशमलव में वही छह अंक 142857 उसी क्रम में घूमते रहते हैं। बस यह देखना होता है कि शुरुआत किस अंक से करें। इसके लिए भिन्न का मोटा मान देखिए, और उसी से मेल खाने वाले अंक से शुरू कीजिए।

जैसे 5/7 का मान 0.7 से ज़रा ऊपर है, तो शुरुआत 7 से होगी, और 5/7 = 0.714285…। इसी तरह 3/7 लगभग 0.43 है, तो शुरुआत 4 से होगी, और 3/7 = 0.428571…। पहला अंक मान के आकार से तय होता है, अंश से नहीं। इसलिए 3/7 की शुरुआत 3 से नहीं होती।

हर में 11 हो, तो काम और भी आसान है। k/11 में 9 × k के दो अंक बार-बार आते हैं। 4/11 = 0.3636…, क्योंकि 9 × 4 = 36। इसी तरह 7/11 = 0.6363…, क्योंकि 9 × 7 = 63। और 2/11 में 18 बार-बार आता है, यानी 0.1818…।

1/11 और 10/11 में बार-बार आने वाले अंक 09 और 90 हैं। यहाँ शून्य छूटना नहीं चाहिए, 1/11 = 0.0909… है।

तालिका का प्रतिशत वाला स्तंभ बस दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर खिसकाने से मिल जाता है। $12\frac{1}{2}\%$ = 1/8 और $16\frac{2}{3}\%$ = 1/6 याद हों, तो "y का x%" वाले ज़्यादातर कदमों में बस एक भाग करना पड़ता है।

भिन्नों की तुलना

दो भिन्नों का तिरछा गुणा

जब दो भिन्नें बहुत पास-पास हों और पूछा जाए कि बड़ी कौन है, या क्रम वाले प्रश्न में किसी एक जोड़े की जाँच करनी हो, तब तिरछा गुणा कीजिए।

$\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ में a × d और b × c निकालिए। हर गुणनफल को उसी ओर लिखिए जिस ओर उसका अंश है। जिस ओर बड़ा गुणनफल आए, वही भिन्न बड़ी है।

जैसे $\frac{7}{12}$ और $\frac{11}{19}$ में से बड़ी भिन्न निकालनी है। 7 × 19 = 133 और 12 × 11 = 132। 133 बड़ा है, तो $\frac{7}{12}$ बड़ी है, पर बस ज़रा-सी।

एक बार में केवल दो भिन्नों की तुलना होती है। चार भिन्नें हों, तो छह गुणनफल तक निकालने पड़ सकते हैं। इसलिए "क्रम में लगाइए" वाले प्रश्नों में याद किए हुए दशमलव लगाइए, या आगे वाले तरीके से 1 या 1/2 से तुलना कीजिए। एक बात और, तिरछा गुणा तभी सही चलता है जब दोनों हर धनात्मक हों।

1 से (या 1/2 से) दूरी

कभी सब भिन्नों में हर और अंश का अंतर एक ही होता है, जैसे $\frac{23}{27}$, $\frac{31}{35}$, $\frac{47}{51}$। या सब भिन्नें $\frac{1}{2}$ से ज़रा ऊपर या ज़रा नीचे होती हैं।

पहली हालत में हर भिन्न को 1 − (अंतर ÷ हर) लिखिए। अंतर सबमें एक ही है, तो हर जितना बड़ा होगा, 1 में से उतना ही कम घटेगा। मतलब सबसे बड़े हर वाली भिन्न सबसे बड़ी है। यहाँ 1 में से $\frac{4}{27}$, $\frac{4}{35}$ और $\frac{4}{51}$ घट रहे हैं। तो $\frac{47}{51}$ सबसे बड़ी है और $\frac{23}{27}$ सबसे छोटी।

अब आधे वाला उदाहरण देखिए। $\frac{5}{9}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{11}{20}$ और $\frac{13}{24}$, ये सब आधे से ज़रा ऊपर हैं। हर एक में से 1/2 घटाइए।

$$\frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{1}{18}, \quad \frac{7}{12} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}, \quad \frac{11}{20} - \frac{1}{2} = \frac{1}{20}, \quad \frac{13}{24} - \frac{1}{2} = \frac{1}{24}$$

आधे से ऊपर का सबसे बड़ा हिस्सा $\frac{1}{12}$ है। तो बड़े से छोटे का क्रम है $\frac{7}{12}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{11}{20}$, $\frac{13}{24}$।

यहाँ दो गलतियों से बचिए।

• 1 से बड़ी भिन्नों पर नियम उलट जाता है। $\frac{15}{13} = 1 + \frac{2}{13}$ और $\frac{19}{17} = 1 + \frac{2}{17}$। यहाँ जिसका हर छोटा है, वही बड़ी है, यानी $\frac{15}{13}$।
• अंतर अलग-अलग हों, तो अंतरों की तुलना भिन्न के रूप में कीजिए, सादी संख्या की तरह नहीं। $\frac{5}{8}$ में अंतर 3 है और $\frac{11}{15}$ में 4। पर $\frac{3}{8}$ बड़ा है और $\frac{4}{15}$ छोटा, इसलिए बड़ी भिन्न $\frac{11}{15}$ है।

दो छोटे नियम

ये दो नियम भी बहुत काम आते हैं।

• अंश एक जैसा हो, तो जिसका हर छोटा है वह भिन्न बड़ी है, जैसे $\frac{7}{9} > \frac{7}{11}$।
• अंश और हर में एक ही संख्या जोड़ने पर भिन्न 1 की ओर खिसकती है। 1 से छोटी भिन्न बढ़ती है, जैसे $\frac{3}{5} < \frac{4}{6} < \frac{5}{7}$। 1 से बड़ी भिन्न घटती है, जैसे $\frac{7}{5} > \frac{8}{6}$।

[SSC टिप] "सबसे बड़ा कौन" वाले प्रश्नों में पहले मोटे-मोटे दशमलव से दो सबसे बड़ी भिन्नें छाँट लीजिए। फिर तिरछा गुणा केवल उसी जोड़े पर कीजिए।

सतत भिन्न और पद कटने वाली श्रेणी

सतत भिन्न को नीचे से ऊपर हल कीजिए

सतत भिन्न (continued fraction) को हमेशा सबसे नीचे की पंक्ति से शुरू करके ऊपर की ओर हल कीजिए। इसमें बस दो काम बार-बार करने होते हैं। पहला, जोड़ना, यानी पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़कर एक भिन्न बनाना। दूसरा, पलटना। 1 ÷ भिन्न करने पर वही भिन्न उलटी हो जाती है। ऊपर 1 न हो, तो भिन्न को पलटकर ऊपर वाली संख्या से गुणा कर दीजिए।

जैसे यह सतत भिन्न लीजिए।

$$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4}}}$$

पहले सबसे नीचे वाला हिस्सा जोड़िए, $3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$। इसे पलटा, तो $\frac{4}{13}$ मिला। अब $2 + \frac{4}{13} = \frac{30}{13}$, और इसे पलटा तो $\frac{13}{30}$। अंत में $1 + \frac{13}{30} = \frac{43}{30}$।

अगर x ज्ञात करना हो, तो उलटी दिशा में चलिए, यानी ऊपर से एक-एक परत हटाइए। पूर्ण भाग घटाइए, फिर पलटिए, और यही दोहराते रहिए। जैसे यह समीकरण देखिए।

$$2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{x}} = \frac{29}{13}$$

दोनों ओर से 2 घटाया, तो $\frac{3}{13}$ बचा। इसे पलटा, तो $3 + \frac{1}{x} = \frac{13}{3}$। अब 3 घटाया, तो $\frac{1}{x} = \frac{4}{3}$, यानी $x = \frac{3}{4}$।

एक गलती तब होती है जब ऊपर 1 न हो। $\cfrac{2}{3 + \cfrac{4}{5}}$ का मान $2 \times \frac{5}{19} = \frac{10}{19}$ है, केवल $\frac{5}{19}$ नहीं। और मान निकालना हो तो ऊपर से कभी शुरू न कीजिए, क्योंकि पहली पंक्ति के नीचे अभी और भिन्नें बाकी होती हैं।

पद कटने वाली श्रेणी

जब $\frac{1}{n(n+1)}$ जैसे पदों का योग पूछा जाए, तो यह पद कटने वाली श्रेणी (telescoping series) है। कभी हर में 6, 12, 20, 30 दिखते हैं। ये असल में 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5 और 5 × 6 हैं।

हर पद को दो टुकड़ों में तोड़िए। बीच के सारे टुकड़े आपस में कट जाते हैं।

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$$

मतलब योग = $\frac{1}{k}$ × (1 ÷ पहली संख्या − 1 ÷ अंतिम संख्या)। जैसे $\frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \cdots + \frac{1}{11 \times 12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$।

अब अंतर 3 वाला उदाहरण देखिए। $\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \cdots + \frac{1}{19 \times 22} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{22}\right) = \frac{7}{22}$।

अंतर 1 से ज़्यादा हो, तो कई छात्र आगे वाला $\frac{1}{k}$ लगाना भूल जाते हैं। ऊपर वाले प्रश्न में उन्हें $\frac{21}{22}$ मिलेगा, और यह संख्या विकल्पों में पक्का दी होगी।

यह तरीका तभी चलता है जब हर पद में अंतर एक ही हो, और एक पद की दूसरी संख्या अगले पद की पहली संख्या हो।

गुणनफल श्रेणी

जब $\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdots$ या $\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdots$ जैसी कड़ी हो, तो हर कोष्ठक को एक भिन्न बना लीजिए। पास-पास की भिन्नों में एक का हर और अगली का अंश आपस में कट जाते हैं, और अंत में केवल एक अंश और एक हर बचता है।

जैसे $\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{20}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{19}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$।

हर में वर्ग हो तो ध्यान रखिए। $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$ होता है, इसलिए यहाँ दो कड़ियाँ एक साथ कटती हैं। k = 2 से n तक ऐसे पदों का गुणनफल $\frac{n+1}{2n}$ आता है, $\frac{1}{n}$ नहीं। [Tier 2]

आधार के पास वाले वर्ग और गुणनफल

5 पर ख़त्म होने वाली संख्याओं का वर्ग

5 से पहले वाले अंकों को a मान लीजिए। a × (a + 1) लिखिए और उसके बाद 25 लगा दीजिए। जैसे $85^2$ में 8 × 9 = 72, फिर 25 लगाया, तो 7,225 आया। $115^2$ में 11 × 12 = 132, फिर 25, तो 13,225।

यह केवल तब चलता है जब अंतिम अंक 5 हो, और अंत में हमेशा 25 ही आता है।

दशमलव हो, तो अंकों का वर्ग निकालिए और फिर दशमलव बिंदु ठीक जगह लगाइए। $4.5^2$ के लिए $45^2 = 2025$ लीजिए। एक दशमलव स्थान वाली संख्या के वर्ग में दो दशमलव स्थान आते हैं, तो उत्तर 20.25 है।

50 के पास की संख्याएँ

लगभग 40 से 60 तक की किसी संख्या का वर्ग निकालना हो, तो उसे 50 + d या 50 − d लिखिए। 50 + d के लिए आगे का भाग 25 + d होगा और अंतिम दो अंक $d^2$। 50 − d के लिए आगे का भाग 25 − d होगा।

जैसे $53^2$ में आगे 25 + 3 = 28 और पीछे $3^2$ = 09, तो 2,809। $46^2$ में आगे 25 − 4 = 21 और पीछे $4^2$ = 16, तो 2,116।

पीछे का भाग ठीक दो अंकों का होना चाहिए, इसलिए $3^2$ को 09 लिखिए। और d = 10 या उससे ज़्यादा हो, तो $d^2$ दो अंकों में नहीं समाता और हासिल आगे ले जाना पड़ता है। तब यह तरीका तेज़ नहीं रहता।

100 या 1000 के पास

$97^2$, $106^2$, 104 × 107, 96 × 93 या 998 × 1004 जैसे प्रश्नों में आधार विधि लगाइए। दोनों संख्याओं को आधार + a और आधार + b के रूप में लिखिए। a या b ऋणात्मक भी हो सकते हैं। आगे का भाग आधार + a + b होता है। पीछे का भाग a × b होता है, और उसे उतने अंकों में लिखते हैं जितने आधार में शून्य हैं।

जैसे 104 × 107 में आगे 100 + 4 + 7 = 111 और पीछे 4 × 7 = 28, तो उत्तर 11,128 है। 96 × 93 में दूरियाँ −4 और −7 हैं। आगे 100 − 11 = 89 और पीछे (−4) × (−7) = 28, तो 8,928। $106^2$ में आगे 112 और पीछे 36, तो 11,236।

एक संख्या आधार से ऊपर हो और दूसरी नीचे, तो पीछे का भाग ऋणात्मक आता है। उसे घटाना होता है। जैसे 998 × 1004 में आगे 1000 − 2 + 4 = 1002 है, तो पहले 10,02,000 लिखिए। पीछे −8 है, तो 10,02,000 − 8 = 10,01,992।

इस विधि में तीन बातें और याद रखिए।

• पीछे का भाग लंबा हो जाए, तो हासिल आगे भेजिए। 112 × 115 में आगे 127 और पीछे 12 × 15 = 180 है। जगह केवल दो अंकों की है, इसलिए 1 हासिल आगे जाएगा और उत्तर 12,880 होगा।
• पीछे का भाग छोटा पड़े, तो आगे शून्य लगाइए। आधार 1000 हो, तो 4 × 7 = 28 को 028 लिखिए। इस तरह 1004 × 1007 = 10,11,028।
• दो संख्याएँ आधार के दोनों ओर बराबर दूरी पर हों, तो वर्गों का अंतर और भी जल्दी काम करता है। 103 × 97 = $100^2 - 3^2$ = 9,991।

वर्ग निकालने के सारे तरीके "वर्ग, वर्गमूल और घनमूल" वाले खंड में हैं। आधार के पास वाली संख्याएँ और उनके गुणनफल "सर्वसमिकाओं से सरलीकरण और सन्निकटन" वाले खंड में भी मिलेंगे।

घनमूल और मूल के भीतर मूल

अंतिम अंक से पूर्ण घन का घनमूल

जब संख्या पूर्ण घन हो, यानी प्रश्न में ऐसा लिखा हो या हर विकल्प पूर्ण संख्या हो, तब घन के अंतिम अंक से घनमूल का अंतिम अंक तय हो जाता है।

बस 2 और 8 आपस में बदलते हैं, और 3 और 7 आपस में। बाकी हर अंक वही रहता है।

अब अंतिम तीन अंक ढक दीजिए। बचे हुए भाग में जो सबसे बड़ा घन समा जाए, उसका घनमूल उत्तर का आगे वाला भाग है।

जैसे $\sqrt[3]{175616}$ लीजिए। अंत में 6 है, तो घनमूल के अंत में भी 6 होगा। 616 ढका, तो 175 बचा। इसमें $5^3 = 125$ समाता है, $6^3 = 216$ नहीं। तो घनमूल 56 है।

पर संख्या पूर्ण घन न हो, तब भी यह तरीका कोई न कोई उत्तर दे देता है, और वह उत्तर गलत होता है।

7 अंकों के घन में ढकने के बाद बचा भाग 1000 या उससे बड़ा भी हो सकता है। जैसे $\sqrt[3]{1092727}$ में 1092 बचता है। इसमें $10^3 = 1000$ समाता है, तो घनमूल 103 है।

अनंत तक चलने वाले मूल

$\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}}$ जैसे प्रश्न, या यही ऋण चिह्नों के साथ, बहुत आते हैं। इनमें x को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए, x = n(n − 1)। धन वाले रूप का मान बड़ी संख्या होता है और ऋण वाले का छोटी।

$$\sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}} = n \qquad \sqrt{x - \sqrt{x - \cdots}} = n - 1$$

जैसे 56 = 8 × 7, तो $\sqrt{56 + \sqrt{56 + \cdots}} = 8$ और $\sqrt{56 - \sqrt{56 - \cdots}} = 7$।

ऐसा क्यों होता है, यह भी देख लीजिए। धन वाले रूप को y मान लीजिए। पहले वर्गमूल के नीचे फिर से x + y ही है। तो $y^2 = x + y$, यानी $y(y - 1) = x$।

गुणा वाली कड़ी में $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdots}}} = x$ होता है, क्योंकि यहाँ $y^2 = xy$ आता है।

यहाँ तीन बातें ध्यान रखिए।

• x दो क्रमागत संख्याओं का गुणनफल न हो, तो उत्तर पूर्ण संख्या नहीं आता। $\sqrt{10 + \sqrt{10 + \cdots}}$ लगभग 3.70 है।
• धन और ऋण वाले रूप में गड़बड़ न कीजिए। धन वाले का मान हमेशा जोड़े की बड़ी संख्या होता है।
• जो कड़ी कहीं रुक जाती है, वह अलग प्रश्न है। $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$ में तीन वर्गमूल हैं, तो इसका मान $x^{\frac{7}{8}}$ है, x नहीं। n वर्गमूल हों, तो घात $1 - \frac{1}{2^n}$ होती है। [Tier 2]

[SSC टिप] क्रमागत संख्याओं के गुणनफल 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132 और 156 याद कर लीजिए। अनंत तक चलने वाले मूल के भीतर इनमें से कोई संख्या दिखे, तो उत्तर पूर्ण संख्या होगा।

घातांक में आधार या घात बराबर कीजिए

आधार बराबर करना

कई प्रश्नों में सारी संख्याएँ एक ही अभाज्य संख्या की घातें होती हैं, जैसे 2, 4, 8, 16, 32, या 3, 9, 27, 81, या 5, 25, 125। ऐसे में व्यंजक सरल करना हो या x निकालना हो, सब कुछ उसी अभाज्य संख्या की घात में लिख दीजिए। फिर गुणा में घातें जोड़िए, भाग में घटाइए, और घात की घात में गुणा कीजिए। दोनों ओर एक ही आधार आ जाए, तो घातें बराबर रख दीजिए।

जैसे $4^{x+1} = 8^{x-1}$ में आधार 2 कीजिए। $2^{2x+2} = 2^{3x-3}$, तो 2x + 2 = 3x − 3, और x = 5। जाँच भी कर लीजिए, $4^6 = 8^4 = 4096$।

भिन्नात्मक घातांक हो, तो पहले मूल निकालिए और फिर घात लगाइए। $27^{\frac{2}{3}} \times 81^{-\frac{1}{4}} = 9 \times \frac{1}{3} = 3$।

दो गलतियाँ बहुत होती हैं।

• घातें तभी बराबर रखी जाती हैं जब आधार एक हो। केवल $2^x = 3^y$ से x और y के बारे में कुछ पता नहीं चलता।
• घातें केवल गुणनफल में जुड़ती हैं। $2^x + 2^x = 2 \times 2^x = 2^{x+1}$ होता है, $2^{2x}$ नहीं। इसी तरह $2^x + 3^x$ भी $5^x$ नहीं होता।

सबसे छोटी घात बाहर

एक ही आधार की घातों का योग या अंतर हो, जैसे $3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x$, तो सबसे छोटी घात को उभयनिष्ठ गुणनखंड की तरह कोष्ठक के बाहर निकाल दीजिए। भीतर केवल सादी संख्याएँ बचेंगी।

$$\frac{2^{n+4} - 2 \times 2^n}{2 \times 2^{n+3}} = \frac{2^n(16 - 2)}{2^n \times 16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$$

देखिए, n पूरी तरह कट गया। इसीलिए ऐसे प्रश्नों का उत्तर सादी संख्या होता है। पर अलग-अलग आधार एक साथ बाहर नहीं निकलते। $2^{n+1} + 3^n$ को जैसा है वैसा ही रहने दीजिए।

घातांक बराबर करके तुलना

प्रश्न आता है, "सबसे बड़ा कौन है, $2^{300}$, $3^{200}$ या $5^{100}$?" या अलग-अलग कोटि की करणियाँ दी होती हैं, जैसे $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{6}$।

बड़ी घातों में घातांकों का म.स. बाहर निकालिए। $2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$ और $3^{200} = 9^{100}$, जबकि $5^{100}$ वैसा ही रहता है। अब बस 8, 9 और 5 की तुलना करनी है, तो $3^{200}$ सबसे बड़ा है।

करणियों में हर एक पर कोटियों के ल.स. जितनी घात लगाइए। जैसे $2^{\frac{1}{2}}$, $3^{\frac{1}{3}}$, $6^{\frac{1}{6}}$ में ल.स. 6 है। हर एक पर घात 6 लगाने से $2^3 = 8$, $3^2 = 9$ और $6^1 = 6$ आते हैं। तो $\sqrt[3]{3}$ सबसे बड़ा है और $\sqrt[6]{6}$ सबसे छोटा।

यह तभी चलता है जब घातांकों में काम का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो। न हो, तो हर घात की तुलना 10 की किसी घात से कीजिए। इसमें $2^{10} = 1024$ और $3^5 = 243$ बहुत मदद करते हैं।

कभी दो विकल्प देखने में अलग, पर असल में बराबर होते हैं, जैसे $4^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}$। तब इनमें से कोई अकेला "सबसे बड़ा" नहीं हो सकता।

करणियों का संयुग्मी और उनकी तुलना

संयुग्मी से परिमेयकरण

जब हर में करणी (surd) वाला योग या अंतर हो, जैसे $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ या $\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$, तो हर का परिमेयकरण (rationalisation) कीजिए। हर वाले दोनों पद वही रखिए, बस बीच का चिह्न बदल दीजिए। इसे संयुग्मी करणी (conjugate) कहते हैं। अब अंश और हर दोनों को इससे गुणा कीजिए। हर (पहला)² − (दूसरा)² हो जाता है, और उसमें कोई करणी नहीं बचती।

$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

अगर हर 1 निकले, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी ही होता है। $(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$ है। इसलिए अगर $x = 3 + 2\sqrt{2}$ है, तो $\frac{1}{x} = 3 - 2\sqrt{2}$, और $x + \frac{1}{x} = 6$ एक ही पंक्ति में निकल आता है।

इसी से $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ मिलता है। ऐसे पदों की कड़ी हो, तो पद कटते जाते हैं और केवल दोनों सिरे बचते हैं।

$$\frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{48} + \sqrt{49}} = \sqrt{49} - \sqrt{9} = 4$$

यहाँ दो गलतियाँ होती हैं।

• परिमेयकरण के बाद अंश में चिह्न पलट जाता है। $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ के हर में ऋण था, पर परिमेयकरण के बाद अंश में धन आता है।
• वर्गमूल के आगे वाली संख्या का भी वर्ग होता है। $(2\sqrt{3})^2 = 12$ है, 6 नहीं। इसलिए $(2\sqrt{3} + 3)(2\sqrt{3} - 3) = 12 - 9 = 3$।

वर्ग करके करणियों के योग की तुलना

प्रश्न आता है, "सबसे बड़ा कौन है, $\sqrt{10} + \sqrt{3}$, $\sqrt{8} + \sqrt{5}$, $\sqrt{7} + \sqrt{6}$ या $\sqrt{9} + \sqrt{4}$?" सारे मान धनात्मक हैं, इसलिए वर्ग करने पर भी उनका क्रम वही रहता है। और $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ होता है।

यहाँ हर विकल्प में a + b एक ही है, 13। तो बस गुणनफल ab देखना है, जो 30, 40, 42 और 36 हैं। जिसका गुणनफल सबसे बड़ा है, वही सबसे बड़ा है, यानी $\sqrt{7} + \sqrt{6}$। मतलब योग एक हो, तो दोनों संख्याएँ जितनी पास होंगी, उनके वर्गमूलों का योग उतना बड़ा होगा।

अंतर के लिए $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ लिखिए। अंतर a − b एक जैसा हो, तो संख्याएँ जितनी बड़ी, हर उतना बड़ा और अंतर उतना छोटा। इसीलिए $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ छोटा है और $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ बड़ा।

a + b बराबर न हों, तो पूरे वर्गों की तुलना कीजिए, केवल गुणनफलों की नहीं। और तुलना के लिए अंतर का वर्ग न कीजिए। अंतर ऋणात्मक भी हो सकता है, और वर्ग करने से उसका चिह्न छिप जाता है। अंतर के लिए परिमेयकरण वाला रूप ही लीजिए।

क्रम वाले और प्रश्न "करणी और परिमेयकरण" वाले खंड में हैं।

करणियों के वर्गमूल और योगांतरानुपात

$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ में योग a और गुणनफल b

करणियों के योग या अंतर पर वर्गमूल हो, जैसे $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}$ या $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$, तो पहले भीतर वाले वर्गमूल के आगे की संख्या ठीक 2 बनाइए। फिर ऐसी दो संख्याएँ p और q खोजिए (p बड़ी) जिनका योग a हो और गुणनफल b।

$$\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{p} + \sqrt{q} \qquad \sqrt{a - 2\sqrt{b}} = \sqrt{p} - \sqrt{q}$$

जैसे $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}$ में 6 + 5 = 11 और 6 × 5 = 30, तो उत्तर $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ है।

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ में पहले $4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$ लिखिए। अब 4 + 3 = 7 और 4 × 3 = 12, तो उत्तर $\sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$ है।

तीन बातें ध्यान रखिए।

• "2 बनाने" वाला कदम न छोड़िए। $6\sqrt{2} = 2\sqrt{18}$ और $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ लिखना पड़ता है। $\sqrt{24}$ को वैसा ही छोड़ दिया, तो आप गुणनफल 24 वाली जोड़ी खोजते रहेंगे और कहीं नहीं पहुँचेंगे।
• ऋण वाले रूप में बड़ा वर्गमूल पहले लिखिए, वरना उत्तर ऋणात्मक हो जाएगा। $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ = $2 - \sqrt{3}$ है, $\sqrt{3} - 2$ नहीं।
• पूर्ण संख्याएँ p और q न मिलें, तो यह इस तरह सरल नहीं होता। तब शायद प्रश्न कुछ और पूछ रहा है।

योगांतरानुपात

जब योग और अंतर से बना अनुपात दिखे, जैसे $\frac{x + y}{x - y}$, तो योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगाइए। इस आकार के करणी वाले समीकरण भी इसी से हल होते हैं।

$$\frac{\sqrt{x + 5} + \sqrt{x - 5}}{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 5}} = 3$$

नियम यह है कि $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$ हो, तो $\frac{p + q}{p - q} = \frac{a + b}{a - b}$। यह दोनों दिशाओं में लगता है।

ऊपर वाला समीकरण लीजिए। बाईं ओर (अंश + हर) ÷ (अंश − हर) करने पर $\frac{2\sqrt{x+5}}{2\sqrt{x-5}}$ आता है, और दाईं ओर $\frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$। तो $\frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x-5}} = 2$। वर्ग करने पर $\frac{x + 5}{x - 5} = 4$। अब नियम दोबारा लगाइए, $\frac{2x}{10} = \frac{5}{3}$, यानी $x = \frac{25}{3}$।

सरल उदाहरण भी देख लीजिए। $\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ हो, तो सीधे $\frac{x + y}{x - y} = \frac{8}{2} = 4$।

इसमें भी तीन बातें ध्यान रखिए।

• पहले कदम के बाद भी वर्गमूल बचा हो, तो वर्ग करना न भूलिए।
• अंश और हर उन्हीं दो पदों के योग और अंतर न हों, तो यह नियम नहीं लगता।
• अनुपात 1 हो, तो a − b = 0 आता है, और नियम में शून्य से भाग करना पड़ेगा।

संख्याओं पर सर्वसमिकाएँ

सारी सर्वसमिकाएँ "सर्वसमिकाओं से सरलीकरण और सन्निकटन" वाले खंड में पूरी दी गई हैं। यहाँ केवल वे देखेंगे जिनसे लंबा हिसाब एक पंक्ति में निपट जाता है।

a + b + c = 0 हो तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

तीन घन हों और उनकी संख्याएँ चिह्न सहित जोड़ने पर शून्य आए, जैसे $17^3 - 12^3 - 5^3$ या $0.5^3 + 0.3^3 - 0.8^3$, तो यह सर्वसमिका लगाइए। पहले योग जाँचिए। योग 0 हो, तो घनों का योग 3 × गुणनफल होता है, चिह्नों सहित।

जैसे 17 − 12 − 5 = 0 है, तो $17^3 - 12^3 - 5^3 = 3 \times 17 \times (-12) \times (-5) = 3060$।

इसी तरह 0.5 + 0.3 − 0.8 = 0 है, तो

$$\frac{0.5^3 + 0.3^3 - 0.8^3}{0.5 \times 0.3 \times 0.8} = \frac{3 \times 0.5 \times 0.3 \times (-0.8)}{0.5 \times 0.3 \times 0.8} = -3$$

यहाँ दो बातें ध्यान रखिए।

• चिह्न देखिए। यहाँ केवल एक संख्या ऋणात्मक है, तो गुणनफल ऋणात्मक है और उत्तर −3 है, 3 नहीं।
• योग 0 न हो, तो पूरी सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ लगाइए। बाईं ओर वाले व्यंजक को दूसरे कोष्ठक से भाग दें, तो सीधे a + b + c मिलता है। संख्याएँ 38, 27 और 35 हों, तो बिना कोई घन किए उत्तर 100 है।

हर मेल खाए तो घनों का योग या अंतर

$\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$ का मान a + b होता है और $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ का a − b। ऐसे प्रश्न अक्सर दशमलव के साथ आते हैं।

जैसे $\frac{0.87^3 + 0.13^3}{0.87^2 - 0.87 \times 0.13 + 0.13^2} = 0.87 + 0.13 = 1$ और $\frac{5.7^3 - 2.3^3}{5.7^2 + 5.7 \times 2.3 + 2.3^2} = 5.7 - 2.3 = 3.4$।

हर के बीच वाला चिह्न घनों के बीच वाले चिह्न का उलटा होना चाहिए। $\frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2}$ सरल नहीं होता। ऐसा प्रश्न जान-बूझकर दिया जाता है, यह देखने के लिए कि आप चिह्न पर ध्यान देते हैं या नहीं।

वर्ग वाली सर्वसमिकाएँ, एक पंक्ति में

दो वर्ग हों और पास में उनसे मेल खाता योग, अंतर या गुणनफल हो, तो ये सर्वसमिकाएँ लगाइए। $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$, $\frac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{a^2 + b^2} = 2$ और $\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} = 4$।

जैसे $\frac{7.4^2 - 2.6^2}{4.8} = 7.4 + 2.6 = 10$, क्योंकि 4.8 ठीक 7.4 − 2.6 है। पर पहले जाँच लीजिए कि हर सच में मेल खाता है। 4.8 की जगह 4.6 हो, तो उत्तर अब साफ़ 10 नहीं आएगा।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं। हर प्रश्न पहले तेज़ रास्ते से करेंगे, फिर देखेंगे कि लंबे तरीके के मुक़ाबले कितना समय बचा।

प्रश्न 1

सरल कीजिए: $84 \div 7 \text{ का } 4 \times 6 - \overline{12 - 7}$

उत्तर: पहले "7 का 4" निकाल लेते हैं, यह 28 हुआ। अब 84 ÷ 28 = 3, और 3 × 6 = 18। रेखा कोष्ठक के नीचे 12 − 7 = 5 है, और यह एक ही संख्या की तरह घटेगा। तो 18 − 5 = 13। कुछ छात्र "का" को अनदेखा करके 84 ÷ 7 × 4 × 6 − 5 = 283 लिख देते हैं, जो गलत है। विकल्पों में 283 भी ज़रूर दिया होगा।

यह 15 सेकंड के आसपास का काम है।

प्रश्न 2

5,876 × 384 = ? (a) 22,56,384 (b) 22,56,284 (c) 22,55,384 (d) 22,57,384

उत्तर: 6 × 4 = 24, तो उत्तर का अंतिम अंक 4 होगा। पर चारों विकल्पों का अंतिम अंक 4 ही है, इसलिए अंक-योग देखते हैं। 5,876 के अंक जोड़ने पर 26 आता है, और 26 से 8। 384 से 15, और फिर 6। 8 × 6 = 48, और 48 से 12, फिर 3। विकल्पों के अंक-योग 30, 29, 29 और 31 हैं, जिनसे 3, 2, 2 और 4 आते हैं। मेल केवल (a) 22,56,384 से है।

अंक-योग से यह करीब 15 सेकंड में हो जाता है, जबकि पूरा गुणा करने में 45 सेकंड या उससे भी ज़्यादा लगते हैं।

प्रश्न 3

$\sqrt{4100} \times 2.98 + 24.97\%$ का 803 − 9.02 × 11.9 का निकटतम मान क्या है? (a) 264 (b) 284 (c) 304 (d) 324

उत्तर: यहाँ सब कुछ गोल कर लेते हैं। $\sqrt{4100}$ बस $\sqrt{4096} = 64$ से ज़रा ऊपर है, और 2.98 लगभग 3 है, तो पहला पद लगभग 192 हुआ। 800 का 25% = 200, और 9 × 12 = 108। अब 192 + 200 − 108 = 284, यानी विकल्प (b)। सटीक मान भी लगभग 284.0 ही आता है।

गोल करके यह करीब 20 सेकंड का प्रश्न है। दिए हुए दशमलवों के साथ पूरा हिसाब करने बैठें, तो दो मिनट लग जाते हैं।

प्रश्न 4

निम्नलिखित में से कौन-सा मान सबसे बड़ा है: $\frac{19}{23}$, $\frac{27}{31}$, $\frac{35}{39}$, $\frac{14}{17}$?

उत्तर: पहली तीन भिन्नों में हर और अंश का अंतर 4 है। तो इन्हें 1 − $\frac{4}{23}$, 1 − $\frac{4}{31}$ और 1 − $\frac{4}{39}$ लिख सकते हैं। हर जितना बड़ा, 1 में से उतना कम घटता है, इसलिए इन तीनों में $\frac{35}{39}$ सबसे बड़ी है। चौथी भिन्न 1 से $\frac{3}{17}$ कम है। इसे $\frac{4}{39}$ से तिरछा गुणा करके मिलाते हैं। 3 × 39 = 117 और 4 × 17 = 68, तो $\frac{3}{17}$ वाला अंतर बड़ा है, और $\frac{14}{17}$ छोटी पड़ती है। सबसे बड़ी भिन्न $\mathbf{\frac{35}{39}}$ है।

इस तरह करीब 20 सेकंड लगते हैं। चारों भिन्नों के दशमलव निकालने में लगभग एक मिनट चला जाता है।

प्रश्न 5

$0.875 \times 48 + 0.4375 \times 32 - 0.1\overline{6} \times 54$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों दशमलव जानी-पहचानी भिन्नें हैं। 0.875 = 7/8, 0.4375 = 7/16 और $0.1\overline{6}$ = 1/6। अब 7/8 × 48 + 7/16 × 32 − 1/6 × 54 = 42 + 14 − 9 = 47।

भिन्नों से यह 15 सेकंड में हो जाता है। दशमलवों का पूरा गुणा करें, तो लगभग एक मिनट लगता है, और $0.1\overline{6}$ से तो सटीक गुणा हो ही नहीं सकता।

प्रश्न 6

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: $$3 - \cfrac{2}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{3}{4}}}$$

उत्तर: नीचे से शुरू करते हैं। $2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$, इसे पलटा तो $\frac{4}{11}$ मिला। फिर $1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}$। अब ऊपर 1 नहीं, 2 है, तो इसे पलटकर 2 से गुणा करते हैं, $2 \times \frac{11}{15} = \frac{22}{15}$। अंत में $3 - \frac{22}{15} = \mathbf{\frac{23}{15}}$। इसमें दो जगह रुककर देखना चाहिए। पहली, सबसे नीचे का $\frac{3}{4}$, जो 3 बटा 4 है, 1 बटा 4 नहीं। दूसरी, ऊपर वाला 2।

पूरे हल में करीब 25 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 7

$\frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \cdots + \frac{1}{29 \times 32}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर जोड़े की दोनों संख्याओं में अंतर 3 है, और हर जोड़े की दूसरी संख्या से अगला जोड़ा शुरू होता है। तो पद कटते जाएँगे। $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{32}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{15}{32} = \mathbf{\frac{5}{32}}$। कई लोग आगे का $\frac{1}{3}$ छोड़ देते हैं और $\frac{15}{32}$ लिख देते हैं, जो गलत है।

पद काटने से करीब 15 सेकंड लगते हैं। दसों भिन्नें सीधे जोड़ने बैठें, तो कई मिनट लग जाएँगे।

प्रश्न 8

104 × 109 + $97^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों संख्याएँ 100 के पास हैं। 104 × 109 में आगे 100 + 4 + 9 = 113 और पीछे 4 × 9 = 36, तो 11,336 आया। $97^2$ में आगे 100 − 3 − 3 = 94 और पीछे 09, तो 9,409। दोनों का योग 20,745 है।

आधार विधि से लगभग 15 सेकंड लगते हैं, जबकि दोनों गुणा पूरे करने में लगभग एक मिनट।

प्रश्न 9

$\sqrt[3]{474552} + \sqrt[3]{0.003375}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 474,552 का अंतिम अंक 2 है, तो घनमूल का अंतिम अंक 8 होगा। 552 ढक दिया, तो 474 बचा। इसमें $7^3 = 343$ समाता है, $8^3 = 512$ नहीं, तो घनमूल 78 है। दशमलव वाले में 3375 = $15^3$ है। यहाँ छह दशमलव स्थान हैं, तो घनमूल में दो होंगे, यानी $\sqrt[3]{0.003375} = 0.15$। कुल 78.15।

दोनों घनमूल मिलाकर करीब 20 सेकंड लगते हैं। 4,74,552 के अभाज्य गुणनखंड करने बैठें, तो एक मिनट से कहीं ज़्यादा लगेगा।

प्रश्न 10

$\sqrt{132 + \sqrt{132 + \sqrt{132 + \cdots}}} + \sqrt{132 - \sqrt{132 - \sqrt{132 - \cdots}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 132 = 12 × 11 है। धन वाली कड़ी का मान जोड़े की बड़ी संख्या है, यानी 12, और ऋण वाली का छोटी संख्या, यानी 11। तो योग 23 है।

अगर 132 = 12 × 11 पता हो, तो यह 10 सेकंड का काम है। दो द्विघात समीकरण बनाकर हल करें, तो एक मिनट लगता है।

प्रश्न 11

यदि $3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x = 1053$ है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे छोटी घात $3^x$ को बाहर निकाल लेते हैं। कोष्ठक में 9 + 3 + 1 = 13 बचता है, तो $13 \times 3^x = 1053$। इससे $3^x = 81 = 3^4$, यानी x = 4। चाहें तो x = 1, 2, 3, 4 एक-एक करके रखकर भी देख सकते हैं। यह भी चलता है, पर इसमें समय ज़्यादा लगता है और चूक का ख़तरा भी रहता है।

सबसे छोटी घात बाहर निकालकर यह करीब 15 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 12

निम्नलिखित में से कौन-सा मान सबसे बड़ा है: $5^{100}$, $2^{250}$, $3^{150}$, $6^{50}$?

उत्तर: चारों घातांकों का म.स. 50 है। तो संख्याओं को $(5^2)^{50}$, $(2^5)^{50}$, $(3^3)^{50}$ और $6^{50}$ लिख लेते हैं। अब बस 25, 32, 27 और 6 की तुलना करनी है। सबसे बड़ा 32 है, इसलिए $2^{250}$ सबसे बड़ा है।

इसमें 15 सेकंड के आसपास लगते हैं। बिना कैलकुलेटर के इसके सिवा कोई ढंग का रास्ता है भी नहीं।

प्रश्न 13

निम्नलिखित में से कौन-सा मान सबसे छोटा है: $\sqrt{15} - \sqrt{13}$, $\sqrt{11} - \sqrt{9}$, $\sqrt{19} - \sqrt{17}$, $\sqrt{7} - \sqrt{5}$?

उत्तर: हर जोड़े में वर्गमूल के नीचे की संख्याओं का अंतर 2 है। तो हर मान को 2 ÷ (दोनों वर्गमूलों का योग) लिख सकते हैं, $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$। जिसका हर सबसे बड़ा होगा, उसका मान सबसे छोटा होगा। सबसे बड़ा हर $\sqrt{19} + \sqrt{17}$ है, इसलिए $\sqrt{19} - \sqrt{17}$ सबसे छोटा है। इसका मान लगभग 0.24 है, जबकि $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ लगभग 0.41 है।

यह 10 सेकंड में हो जाता है, जबकि वर्गमूल तीन दशमलव स्थान तक निकालने में एक मिनट लग जाता है।

प्रश्न 14

$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले वर्गमूल में $6\sqrt{5} = 2\sqrt{45}$ लिखते हैं। अब ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 14 और गुणनफल 45 हो। ये 9 और 5 हैं, तो पहला $\sqrt{9} + \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5}$ हुआ। दूसरे में योग 6 और गुणनफल 5 चाहिए, यानी 5 और 1, तो दूसरा $\sqrt{5} - 1$ हुआ। अब $(3 + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 1) =$ 4।

दोनों वर्गमूल सरल करने में करीब 25 सेकंड लगते हैं। विकल्पों का एक-एक करके वर्ग करें, तो कहीं ज़्यादा समय जाएगा।

प्रश्न 15

$\frac{13^3 - 8^3 - 5^3}{13 \times 8 \times 5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 13 − 8 − 5 = 0 है। तो अंश = 3 × 13 × (−8) × (−5) = 3 × 13 × 8 × 5, क्योंकि दोनों ऋण मिलकर धन बन जाते हैं। अब 13 × 8 × 5 से भाग दिया, तो 3 बचा।

इसमें बस 10 सेकंड लगते हैं। 13, 8 और 5 के घन निकालकर फिर 520 से भाग दें, तो लगभग एक मिनट लगता है।