घातांक और घात

घातांक के नियम

$a^n$ में नीचे वाली संख्या $a$ को आधार (base) कहते हैं और ऊपर वाली $n$ को घातांक (index या exponent)। घातांक को कई लोग घात (power) भी कहते हैं।

घातांक के नियम (laws of indices) कुल छह हैं, और इस विषय के लगभग सारे प्रश्न इन्हीं से हल होते हैं।

पहले तीन नियम तभी लगते हैं जब आधार एक ही हो। आख़िरी तीन नियमों के लिए घातांक एक ही होना चाहिए। जहाँ न आधार एक हो, न घातांक, जैसे $2^3 \times 3^4$ में, वहाँ इन्हें सीधे नहीं मिला सकते। पहले संख्याओं को किसी दूसरे रूप में लिखना पड़ता है।

आम गलतियाँ: इन नियमों में छात्र अक्सर इन चार जगहों पर चूकते हैं।

• जोड़ को गुणा न समझिए: $2^5 + 2^5 = 2 \times 2^5 = 2^6$ होता है, $2^{10}$ नहीं। इसी तरह $3^4 + 3^4 + 3^4 = 3 \times 3^4 = 3^5$। यानी $a^n$ को $a$ बार जोड़ने पर $a^{n+1}$ मिलता है।
• घात के ऊपर घात हो, तो ऊपर से शुरू कीजिए: $\left(2^3\right)^2 = 2^6 = 64$, पर $2^{3^2} = 2^9 = 512$। कोष्ठक न हो, तो सबसे ऊपर वाली घात पहले हल होती है।
• योग की घात हर पद पर अलग से नहीं लगती: $(2 + 3)^2 = 25$ होता है, न कि $2^2 + 3^2 = 13$।
• ऋण चिह्न: $-3^2 = -9$ होता है, क्योंकि घात केवल 3 पर लगी है, जबकि $(-3)^2 = 9$। ऋणात्मक संख्या की सम घात धनात्मक होती है और विषम घात ऋणात्मक, जैसे $(-2)^6 = 64$ और $(-2)^5 = -32$। इसलिए $(-1)^n$ सम $n$ पर 1 होता है और विषम $n$ पर −1।

उभयनिष्ठ घात बाहर निकालिए: घातांक के नियम केवल × और ÷ पर लगते हैं। बीच में + या − हो, तो पहले सबसे छोटी घात बाहर निकाल लीजिए।

$$2^{10} + 2^{11} + 2^{12} = 2^{10}(1 + 2 + 4) = 7 \times 2^{10} = 7168$$

शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक

शून्य घातांक: शून्य को छोड़कर किसी भी संख्या की घात शून्य हो, तो उसका मान 1 होता है। यानी $a \neq 0$ के लिए $a^0 = 1$। यह भाग वाले नियम से ही निकलता है। $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$, और किसी संख्या को उसी संख्या से भाग दें तो 1 आता है। जैसे $7^0 = 1$, $(-5)^0 = 1$ और $\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$।

यहाँ कोष्ठक पर ध्यान दीजिए। $3x^0 = 3$ होता है, क्योंकि शून्य घात केवल अक्षर पर लगी है। पर $(3x)^0 = 1$, क्योंकि यहाँ पूरे कोष्ठक की घात शून्य है।

ऋणात्मक घातांक (negative index): घातांक ऋणात्मक हो, तो संख्या का व्युत्क्रम लीजिए और घातांक धनात्मक कर दीजिए। सूत्र है $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$।

• $2^{-3} = \frac{1}{8}$ और $10^{-2} = 0.01$।
• भिन्न पर ऋणात्मक घातांक हो, तो भिन्न उलट जाती है। $\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$।
• कोई घात अंश से हर में जाए या हर से अंश में, तो उसके घातांक का चिह्न बदल जाता है। $\frac{3^{-2}}{2^{-3}} = \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$।

एक बात याद रखिए। ऋणात्मक घातांक से संख्या कभी ऋणात्मक नहीं होती। $2^{-3}$ एक छोटी धनात्मक संख्या है, −8 नहीं।

भिन्नात्मक घातांक (fractional index): $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ और $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$। घातांक वाली भिन्न का हर बताता है कि कौन-सा मूल लेना है। इसे मूल की कोटि (order) कहते हैं। अंश बताता है कि कौन-सी घात लेनी है। हिसाब करते समय पहले मूल निकालिए और फिर घात लगाइए। इससे संख्याएँ छोटी रहती हैं।

• $8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$
• $32^{\frac{3}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$
• $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^3} = \frac{1}{27}$
• $\left(\frac{27}{125}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{125}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$

$a^{-\frac{m}{n}}$ जैसी घात का मान इसी क्रम में निकालिए। पहले ऋण चिह्न की वजह से संख्या को उलट दीजिए। फिर हर $n$ देखकर मूल निकालिए, और अंत में अंश $m$ की घात लगाइए।

दशमलव घातांक: घातांक दशमलव में हो, तो उसे भिन्न में बदल लीजिए। जैसे $16^{0.75} = 16^{\frac{3}{4}} = 8$, $32^{0.2} = 32^{\frac{1}{5}} = 2$ और $9^{1.5} = 9^{\frac{3}{2}} = 27$।

ऋणात्मक आधार: ऋणात्मक संख्या का विषम कोटि वाला मूल आसानी से निकल आता है। जैसे $(-8)^{\frac{1}{3}} = -2$ और $(-32)^{\frac{2}{5}} = (-2)^2 = 4$। पर ऋणात्मक संख्या का सम कोटि वाला मूल कोई वास्तविक संख्या नहीं होता, इसलिए ऐसा मान कभी सही विकल्प के रूप में नहीं आता।

शुरुआत अभाज्य आधार से: कुछ भी करने से पहले आधार को किसी छोटे अभाज्य की घात के रूप में लिख लीजिए, जैसे $0.25 = 2^{-2}$, $\frac{1}{125} = 5^{-3}$ या $0.0016 = 0.2^4$। उसके बाद बस घातांकों का गुणा करना रह जाता है। जैसे $\left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(5^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}} = 5^2 = 25$।

घातांक रूप में करणी

हर मूल को भिन्नात्मक घातांक के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा लिखते ही घातांक के सारे नियम उस पर लागू हो जाते हैं।

$$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \qquad \frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-\frac{1}{2}}$$

• $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$ और $\sqrt[5]{x^{10}} = x^2$।
• मूल का मूल: कोटियों का गुणा कर दीजिए। जैसे $\sqrt[3]{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{6}}$। सूत्र है $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$।
• गुणनफल का मूल: पहले भीतर के गुणनफल को एक घात के रूप में लिखिए, फिर मूल वाला घातांक लगाइए। $\sqrt{x\sqrt[3]{x}} = \left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3}}$।

एक ही आधार वाले मूलों का गुणा: आधार एक हो, तो घातांक जोड़ दीजिए। $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}$। भाग हो, तो घातांक घटाइए। $\sqrt[3]{4} \div \sqrt{2} = 2^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{2}$।

अलग-अलग आधार वाले मूलों का गुणा: आधार अलग हों, तो कोटियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), यानी ल.स., लीजिए और सबको उसी कोटि पर ले आइए।

$$\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} = 2^{\frac{3}{6}} \times 3^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{2^3 \times 3^2} = \sqrt[6]{72}$$

मूल की कोटि बदलना: संख्या की घात और मूल की कोटि, दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर दें, तो मान नहीं बदलता। जैसे $\sqrt{3} = \sqrt[4]{9} = \sqrt[6]{27}$। आगे इसी खंड में मूलों की तुलना करेंगे, तो वहाँ यही सबसे ज़्यादा काम आएगा।

कोटि एक, आधार अलग: कोटि एक हो, तो संख्याओं को एक ही मूल के नीचे गुणा कर दीजिए, $a^{\frac{1}{n}} \times b^{\frac{1}{n}} = (ab)^{\frac{1}{n}}$। जैसे $\sqrt{8} \times \sqrt{18} = \sqrt{144}$, जो 12 है। इसी तरह $\sqrt[4]{27} \times \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{81}$, यानी 3।

बार-बार वर्गमूल: $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = x^{\frac{7}{8}}$। वजह यह है कि सबसे बाहर वाला $x$ एक वर्गमूल के नीचे है, अगला दो के नीचे और आख़िरी तीन के नीचे। मूल के भीतर मूल और अनंत तक चलने वाले मूल के सारे प्रकार "वर्ग, वर्गमूल और घनमूल" वाले खंड में दिए गए हैं।

[SSC टिप] विकल्पों में अक्सर एक ही संख्या कहीं मूल के रूप में लिखी होती है और कहीं घातांक के रूप में। $\sqrt[6]{32}$, $2^{\frac{5}{6}}$ और $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2}$, तीनों एक ही संख्या हैं। इसलिए तुलना से पहले हर विकल्प को किसी अभाज्य की घात में बदल लीजिए।

घातों वाले व्यंजकों का सरलीकरण

कदम 1: हर आधार को अभाज्यों में तोड़िए। फिर हर अभाज्य की घातें इकट्ठी कीजिए। ऊपर वाले घातांक जोड़िए और नीचे वाले घटा दीजिए।

$$\frac{15^3 \times 6^4}{10^3 \times 9^4} = \frac{\left(3^3 \times 5^3\right) \times \left(2^4 \times 3^4\right)}{\left(2^3 \times 5^3\right) \times 3^8}$$

अब हर अभाज्य का हिसाब अलग-अलग देखिए।

तो व्यंजक का मान $2 \times 3^{-1} = \frac{2}{3}$ है।

कदम 2: + या − हो, तो सबसे छोटी घात बाहर निकालिए। घातांक के नियम केवल × और ÷ पर लगते हैं। इसलिए योग या अंतर हो, तो पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकाल लीजिए।

$$\frac{2^{n+4} - 2 \times 2^n}{2 \times 2^{n+3}} = \frac{2^n(16 - 2)}{2^n \times 16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$$

$$\frac{5^{n+2} - 6 \times 5^{n+1}}{13 \times 5^n - 2 \times 5^{n+1}} = \frac{5^n(25 - 30)}{5^n(13 - 10)} = -\frac{5}{3}$$

ऐसे प्रश्नों में $n$ हमेशा कट जाता है। इसलिए जाँच के लिए $n$ = 0 रखकर सादी संख्याओं से हिसाब कर लीजिए। $n$ = 0 पर पहला व्यंजक $\frac{16 - 2}{2 \times 8} = \frac{7}{8}$ आता है, यानी उत्तर वही है।

कदम 3: दशमलव और भिन्न वाले आधार बदल लीजिए। दशमलव को भिन्न में या किसी घात के रूप में लिखिए। जैसे $(0.25)^{-1.5} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = 8$।

अक्षरों पर भी यही: आधार में अक्षर हों, तब भी नियम वही रहते हैं।

$$\left(a^2 b^{-3}\right)^{-2} \times \left(a^{-1} b^2\right)^3 = a^{-4} b^6 \times a^{-3} b^6 = a^{-7} b^{12} = \frac{b^{12}}{a^7}$$

योग के भीतर ऋणात्मक घातांक: $\left(2^{-1} + 3^{-1}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}$। कई छात्र यहाँ हर पद को अलग से उलटकर 2 + 3 = 5 लिख देते हैं, जो गलत है। बाहर वाला घातांक पूरे योग को उलटता है, हर पद को अलग-अलग नहीं।

घातांकीय समीकरण हल करना

घातांकीय समीकरण (exponential equation) में अज्ञात संख्या घातांक में होती है।

आधार एक हो, तो घातांक बराबर: अगर $a^x = a^y$ है, जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$, तो $x = y$ होगा। इसलिए करना बस इतना है कि दोनों पक्षों को एक ही आधार की घात में लिख दें।

• $2^{x+3} = 32 = 2^5$, तो $x + 3 = 5$ और $x$ = 2।
• $4^{x+1} = 8^{x-1}$ को 2 की घातों में लिखिए, $2^{2x+2} = 2^{3x-3}$। अब $2x + 2 = 3x - 3$, यानी $x$ = 5।
• $\left(\sqrt{3}\right)^x = 81$ का मतलब है $3^{\frac{x}{2}} = 3^4$, तो $x$ = 8।
• $2^x \times 8^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}$ से $2^{x + \frac{3}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}$ मिलता है, इसलिए $x = -\frac{2}{5}$।

व्युत्क्रम आधार: एक ओर का आधार दूसरी ओर के आधार का व्युत्क्रम हो, तो एक पक्ष को उलट दीजिए और उसके घातांक का चिह्न बदल दीजिए।

• $\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^{-3}$, इसलिए $x$ = −3।
• $\left(\frac{a}{b}\right)^{x-1} = \left(\frac{b}{a}\right)^{x-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^{3-x}$, तो $x - 1 = 3 - x$ और $x$ = 2।

जब घात 1 के बराबर हो: $a \neq 1$ हो, तो $a^x = 1$ तभी होता है जब $x = 0$ हो। जैसे $7^{x-2} = 1$ से $x$ = 2 आता है। दो अलग-अलग आधारों पर एक ही घातांक हो, तो दोनों घातें तभी बराबर होती हैं जब वह घातांक 0 हो। जैसे $2^{x-3} = 5^{x-3}$ में $x$ = 3।

घातों का योग: समीकरण में घातों का योग या अंतर हो, तो सबसे छोटी घात बाहर निकालिए।

• $2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 112$ को $2^x(1 + 2 + 4) = 112$ लिखिए। तो $2^x$ = 16 और $x$ = 4।
• $4^x - 4^{x-1} = 24$ में $4^{x-1}(4 - 1) = 24$, यानी $4^{x-1}$ = 8। अब 2 की घातों में लिखिए, $2^{2x-2} = 2^3$। इससे $x = \frac{5}{2}$ आता है।

[Tier 2] छिपा हुआ द्विघात समीकरण: $9^x - 4 \times 3^x + 3 = 0$ में $t = 3^x$ मान लीजिए। तब $9^x = t^2$ होगा और समीकरण $t^2 - 4t + 3 = 0$ हो जाता है। इसे हल करने पर $t$ = 1 या 3 आता है, तो $x$ = 0 या 1।

[SSC टिप] विकल्पों में लगभग हमेशा छोटी संख्याएँ होती हैं। बीजगणित लंबा लगे, तो हर विकल्प को समीकरण में रखकर देखिए। अक्सर दूसरी कोशिश तक सही विकल्प मिल जाता है।

10 की घातें, दशमलव और अंकों की गिनती

दशमलव से 10 की घात: 0.1 = $10^{-1}$, 0.01 = $10^{-2}$ और 0.001 = $10^{-3}$। मतलब जितने दशमलव स्थान, उतना ही ऋणात्मक घातांक। जैसे $(0.001)^2 \times 10^5 = 10^{-6} \times 10^5 = 10^{-1}$ = 0.1।

दशमलव में छिपी घात: पहले पहचानिए कि अंकों में कौन-सी घात छिपी है, फिर दशमलव स्थान गिनिए।

• 0.0081 = $0.3^4$, क्योंकि $3^4$ = 81 है और दशमलव के बाद चार स्थान हैं। इसलिए $(0.0081)^{\frac{1}{4}}$ = 0.3 और $(0.0081)^{-\frac{1}{4}} = \frac{10}{3}$।
• 0.008 = $0.2^3$, तो $(0.008)^{\frac{2}{3}} = 0.2^2$ = 0.04।
• 0.0036 = $0.06^2$, तो $(0.0036)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{0.06} = \frac{50}{3}$।

एक आधार, दशमलव घातांक: SSC के प्रश्नों में ऐसे दशमलव घातांक अलग-अलग देखने में अटपटे लगते हैं, पर जोड़ने पर कोई सीधी भिन्न निकल आती है। जैसे $243^{0.12} \times 243^{0.08} = 243^{0.2} = 243^{\frac{1}{5}}$ = 3। इसी तरह $(6.25)^{0.5}$ = 2.5 और $(1.44)^{1.5} = 1.2^3$ = 1.728।

वैज्ञानिक रूप (scientific form): इसमें संख्या को $a \times 10^n$ के रूप में लिखते हैं, जहाँ $1 \le a < 10$ हो। जैसे 0.000045 = $4.5 \times 10^{-5}$ और 3,20,000 = $3.2 \times 10^5$। ऐसी संख्याओं का गुणा करना हो, तो आगे वाली संख्याओं का आपस में गुणा कीजिए और घातांक जोड़ दीजिए। $\left(4 \times 10^5\right) \times \left(6 \times 10^{-8}\right) = 24 \times 10^{-3}$ = 0.024।

अंक गिनने का तरीका: हर 2 के साथ एक 5 की जोड़ी बनाइए। हर जोड़ी से एक 10 मिलता है। जो बच जाए, वह संख्या के शुरू में आता है और उसके बाद जोड़ियों जितने शून्य लगते हैं।

• $4^{11} \times 5^{25} = 2^{22} \times 5^{25} = 5^3 \times 10^{22} = 125 \times 10^{22}$। यानी 125 के बाद 22 शून्य, कुल 25 अंक।
• $8^5 \times 5^{12} = 2^{15} \times 5^{12} = 2^3 \times 10^{12} = 8 \times 10^{12}$, यानी 13 अंक।

[Tier 2] मोटा अंदाज़ा: $2^{10}$ = 1024 है, जो $10^3$ से ज़रा-सा ऊपर है। इसलिए $2^{40}$ भी $10^{12}$ से थोड़ा ऊपर होगा, लगभग $1.1 \times 10^{12}$, और इसमें 13 अंक होंगे। इसी तरह $2^{100}$, $10^{30}$ से थोड़ा ऊपर है, तो इसमें 31 अंक हैं।

अंत के शून्यों को कुल अंक न समझ लीजिए। $125 \times 10^{22}$ के अंत में 22 शून्य हैं, पर अंक 25 हैं।

बड़ी घातों की तुलना

$3^{200}$ जैसी संख्या कोई पूरी नहीं निकालता। ऐसी घातों की तुलना करनी हो, तो या तो आधार बराबर कीजिए या घातांक। फिर जो हिस्सा अलग रह जाए, उसकी तुलना कीजिए।

आधार बराबर करना: सबको एक ही अभाज्य की घात में लिखिए। जैसे $4^{50} = 2^{100}$, $8^{34} = 2^{102}$ और $16^{25} = 2^{100}$। आधार एक हो और 1 से बड़ा हो, तो जिसका घातांक बड़ा है, वही संख्या बड़ी है। इसलिए $8^{34}$ सबसे बड़ी है, और $4^{50} = 16^{25}$।

घातांक बराबर करना: घातांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF), यानी म.स., निकालिए। $2^{300}$ और $3^{200}$ में म.स. 100 है।

$$2^{300} = \left(2^3\right)^{100} = 8^{100} \qquad 3^{200} = \left(3^2\right)^{100} = 9^{100}$$

घातांक एक हो, तो जिसका आधार बड़ा है, वही संख्या बड़ी है। इसलिए $3^{200}$ बड़ी है। पूरी सूची को क्रम में लगाना हो, तब भी यही कीजिए। $2^{60}$, $3^{40}$, $5^{30}$ और $7^{20}$ के घातांकों का म.स. 10 है। इन्हें $64^{10}$, $81^{10}$, $125^{10}$ और $49^{10}$ लिख सकते हैं, तो क्रम $7^{20} < 2^{60} < 3^{40} < 5^{30}$ है।

बड़ा आधार या बड़ा घातांक: मान लीजिए $100^{50}$ और $50^{100}$ की तुलना करनी है। $50^{100} = \left(50^2\right)^{50} = 2500^{50}$ लिखिए। अब दोनों का घातांक 50 है, और 2500 के सामने 100 बहुत छोटा है। इसलिए $50^{100}$ कहीं बड़ी है। आम तौर पर घातांक दोगुना करने का असर आधार दोगुना करने से ज़्यादा होता है।

0 और 1 के बीच के आधार: यहाँ नियम उलट जाता है। घातांक जितना बड़ा, संख्या उतनी छोटी। $(0.5)^3 = 0.125$ है, जो $(0.5)^2 = 0.25$ से कम है।

[Tier 2] कुछ बराबर न हो, तो बीच में 2 की घात रखिए: हर संख्या की तुलना उसके पास वाली 2 की घात से कीजिए। जैसे $31^{11}$ और $17^{14}$ में $31^{11} < 32^{11} = 2^{55}$ और $17^{14} > 16^{14} = 2^{56}$। तो $31^{11} < 2^{55} < 2^{56} < 17^{14}$।

"सबसे बड़ी कौन-सी" वाले प्रश्नों में घातांकों का म.स. अक्सर 10, 12, 50 या 100 होता है। तब जो आधार मिलते हैं, वे इतने छोटे होते हैं कि एक नज़र में तुलना हो जाती है।

अलग-अलग कोटि के मूलों की तुलना

मान लीजिए $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$ और $\sqrt[6]{6}$ की तुलना करनी है। हर संख्या की उतनी घात निकालिए, जितना कोटियों का ल.स. है। धनात्मक संख्याओं की एक ही धनात्मक घात लेने पर उनका क्रम नहीं बदलता, और सारे मूल हट जाते हैं। यहाँ 2, 3, 4 और 6 का ल.स. 12 है।

तो $\sqrt[3]{3}$ सबसे बड़ा है और $\sqrt[6]{6}$ सबसे छोटा। $\sqrt{2}$ और $\sqrt[4]{4}$ बराबर हैं, और इन्हें बराबर होना ही था, क्योंकि $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$।

$\sqrt[n]{n}$ वाला पैटर्न: जब संख्या और कोटि एक ही हों, तो मान $n$ = 3 पर सबसे ज़्यादा होता है और उसके बाद घटता जाता है, $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2} = \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \sqrt[6]{6} > \cdots$। यह पैटर्न केवल तभी चलता है जब संख्या और कोटि एक हों। बाकी संख्याओं में हिसाब करके ही देखिए। जैसे $\sqrt[6]{12}$ की कोटि $\sqrt[3]{3}$ से बड़ी है, फिर भी यही बड़ा है। इसकी 12वीं घात 144 है, जबकि दूसरे की 12वीं घात केवल 81 है।

एक और उदाहरण: $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt{3}$ और $\sqrt[6]{10}$ लीजिए। कोटियों का ल.स. 6 है, तो 6वीं घातें निकालिए। $4^2$ = 16, $3^3$ = 27 और $10^1$ = 10। इसलिए $\sqrt{3} > \sqrt[3]{4} > \sqrt[6]{10}$।

संख्या एक, कोटियाँ अलग-अलग: संख्या 1 से बड़ी हो, तो ऊँची कोटि वाला मूल छोटा होता है, जैसे $\sqrt{5} > \sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{5}$। संख्या 0 और 1 के बीच हो, तो उलटा होता है, जैसे $\sqrt{0.5} < \sqrt[3]{0.5}$।

कोटि एक, संख्याएँ अलग-अलग: यहाँ बड़ी संख्या का मूल बड़ा होता है, जैसे $\sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{6}$।

मूलों के योग या अंतर की तुलना करनी हो, जैसे $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ और $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ की, तो वर्ग करना पड़ता है या परिमेयकरण। इसे "करणी और परिमेयकरण" वाले खंड में देखेंगे।

[SSC टिप] ल.स. लेने पर घातें बहुत बड़ी हो जाएँ, तो दो-दो संख्याओं की तुलना कीजिए। जैसे $\sqrt[4]{10}$ और $\sqrt[3]{6}$ के लिए केवल 12वीं घातें चाहिए। $10^3$ = 1000 और $6^4$ = 1296, तो $\sqrt[3]{6}$ बड़ा है।

अक्षरों वाली घातांक सर्वसमिकाएँ [Tier 2]

ये सर्वसमिकाएँ ज़्यादातर टियर 2 में पूछी जाती हैं। हर एक घातांक जोड़कर सिद्ध हो जाती है, इसलिए यह कदम आता हो तो इन्हें रटने की ज़रूरत नहीं।

चक्रीय घातांक: ऐसे गुणनफल में घातांक जोड़ें, तो सारे पद कट जाते हैं और घातांक शून्य बचता है।

$$\left(x^{a-b}\right)^{a+b} \times \left(x^{b-c}\right)^{b+c} \times \left(x^{c-a}\right)^{c+a} = x^{(a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2)} = x^0 = 1$$

इसी तरह $\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^a \times \left(\frac{x^c}{x^a}\right)^b \times \left(\frac{x^a}{x^b}\right)^c = x^{(ab - ac) + (bc - ab) + (ac - bc)} = 1$।

व्युत्क्रम जोड़ियों का योग 1: दो भिन्नों के घातांकों में केवल चिह्न का फ़र्क हो, तो उनका योग हमेशा 1 होता है।

$$\frac{1}{1 + x^{a-b}} + \frac{1}{1 + x^{b-a}} = 1$$

दूसरी भिन्न के अंश और हर को $x^{a-b}$ से गुणा कीजिए। वह $\frac{x^{a-b}}{x^{a-b} + 1}$ हो जाती है। अब दोनों भिन्नों का हर एक है, और उनका योग 1 है।

तीन पदों वाला यह योग भी 1 ही होता है, $\frac{1}{1 + x^{b-a} + x^{c-a}} + \frac{1}{1 + x^{a-b} + x^{c-b}} + \frac{1}{1 + x^{a-c} + x^{b-c}}$। पहली भिन्न के अंश और हर को $x^a$ से गुणा करें, तो $\frac{x^a}{x^a + x^b + x^c}$ मिलता है। बाकी दोनों भिन्नें भी इसी हर पर आ जाती हैं, और उनके अंश $x^b$ और $x^c$ होते हैं। तीनों अंशों का जोड़ हर के बराबर है, इसलिए योग 1 आता है।

जब $a^x = b^y = c^z$ हो: इस बराबर मान को $k$ मान लीजिए। तब $a = k^{\frac{1}{x}}$, $b = k^{\frac{1}{y}}$ और $c = k^{\frac{1}{z}}$। अब $a$, $b$ और $c$ के बीच जो भी संबंध दिया हो, वह $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ और $\frac{1}{z}$ के बीच के संबंध में बदल जाता है।

• $abc = 1$ हो, तो $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$, यानी $xy + yz + zx = 0$।
• $b^2 = ac$ हो, तो $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$।
• $2^x = 3^y = 6^z$ में 6 = 2 × 3 है, इसलिए $\frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$।
• $2^x = 3^y = 12^z$ में 12 = $2^2 \times 3$ है, इसलिए $\frac{1}{z} = \frac{2}{x} + \frac{1}{y}$।

कड़ी वाले संबंध: $a = b^x$, $b = c^y$ और $c = a^z$ हों, तो एक को दूसरे में रखते जाइए। $a = b^x = c^{xy} = a^{xyz}$, इसलिए $xyz = 1$।

[SSC टिप] ये संबंध हर मान पर सही होते हैं, इसलिए विकल्पों को आसान संख्याएँ रखकर जाँच लीजिए। $2^x = 4^y = 8^z$ में हर एक को 64 मान लीजिए। तब $x$ = 6, $y$ = 3 और $z$ = 2। अब मान लीजिए किसी विकल्प में $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{2}{y}$ दिया है। मन में ही देख लीजिए, $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$, तो यह संबंध सही है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

सरल कीजिए: $\frac{16^3 \times 8^2}{32^4}$

उत्तर: तीनों संख्याएँ 2 की घातें हैं। $16^3 = 2^{12}$, $8^2 = 2^6$ और $32^4 = 2^{20}$। ऊपर के घातांक जुड़ेंगे और नीचे वाला घटेगा, तो मान $\frac{2^{12 + 6}}{2^{20}} = 2^{-2}$ = $\frac{1}{4}$ है।

प्रश्न 2

$64^{-\frac{2}{3}} \times 16^{\frac{3}{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले मूल निकालेंगे, फिर घात लगाएँगे। $\sqrt[3]{64}$ = 4, तो $64^{\frac{2}{3}}$ = 16 और $64^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{16}$। इसी तरह $\sqrt[4]{16}$ = 2, तो $16^{\frac{3}{4}}$ = 8। दोनों का गुणा $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{2}$ है।

प्रश्न 3

$\left(\frac{27}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: घातांक में ऋण चिह्न है, तो भिन्न को उलटकर $\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{2}{3}}$ लिखते हैं। इसका घनमूल $\frac{4}{3}$ है, और उसका वर्ग $\frac{16}{9}$।

प्रश्न 4

$(-27)^{\frac{2}{3}}$ और $(-32)^{-\frac{3}{5}}$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों में ऋणात्मक संख्या का विषम कोटि वाला मूल लेना है, और वह आसानी से निकल आता है। $\sqrt[3]{-27} = -3$, तो पहला मान $(-3)^2$ = 9 है। दूसरे में $\sqrt[5]{-32} = -2$ और $(-2)^3 = -8$। घातांक ऋणात्मक है, इसलिए इसे उलटना होगा। तो दूसरा मान $-\frac{1}{8}$ है।

प्रश्न 5

सरल कीजिए: $\frac{12^4 \times 9^3 \times 4}{6^3 \times 8^2 \times 27}$

उत्तर: हर संख्या को अभाज्यों में तोड़ लेते हैं।

• अंश में $12^4 = 2^8 \times 3^4$, $9^3 = 3^6$ और $4 = 2^2$ हैं। सब मिलाकर $2^{10} \times 3^{10}$ हुआ।
• हर में $6^3 = 2^3 \times 3^3$, $8^2 = 2^6$ और $27 = 3^3$ हैं। सब मिलाकर $2^9 \times 3^6$ हुआ।

भाग देने के बाद $2^1 \times 3^4$ बचता है, यानी 2 × 81 = 162।

प्रश्न 6

सरल कीजिए: $\frac{3^{n+3} - 6 \times 3^{n+1}}{3^{n+2} + 3^{n+1}}$

उत्तर: अंश और हर, दोनों में से $3^{n+1}$ बाहर निकाल लेते हैं। अंश $3^{n+1}(9 - 6) = 3 \times 3^{n+1}$ हो जाता है और हर $3^{n+1}(3 + 1) = 4 \times 3^{n+1}$। अब $3^{n+1}$ कट जाता है और $\frac{3}{4}$ बचता है। जाँच के लिए $n$ = 0 रखकर देखते हैं। $\frac{27 - 18}{9 + 3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$, यानी वही उत्तर।

प्रश्न 7

$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[4]{2} \times \sqrt[12]{32}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों को 2 की घात में लिख लेते हैं, $2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{4}} \times 2^{\frac{5}{12}}$। आधार एक है, तो घातांक जोड़ने हैं। सबका हर 12 करने पर $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = 1$। इसलिए मान $2^1$ = 2 है।

प्रश्न 8

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^2}}$ को $x$ की घात के रूप में लिखिए, और $x$ = 64 होने पर इसका मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भीतर वाला घनमूल $x^{\frac{2}{3}}$ है। उसका चौथा मूल लेने का मतलब है घातांक को $\frac{1}{4}$ से गुणा करना, तो $x^{\frac{2}{12}} = x^{\frac{1}{6}}$ आता है। अब $x$ = 64 = $2^6$ रखें, तो मान $2^1$ = 2 मिलता है।

प्रश्न 9

सरल कीजिए: $\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}$

उत्तर: भीतर से शुरू करते हैं। $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$, और इसका घनमूल $x^{\frac{1}{2}}$ है। अब $x \times x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$। इसका वर्गमूल लेने पर $x^{\frac{3}{4}}$ मिलता है।

प्रश्न 10

हल कीजिए: $25^{x-1} = 125^{x-3}$

उत्तर: दोनों ओर के आधार 5 की घातें हैं, तो समीकरण $5^{2x-2} = 5^{3x-9}$ हो जाता है। आधार एक है, इसलिए घातांक भी बराबर होंगे। $2x - 2 = 3x - 9$ से $x$ = 7 आता है।

प्रश्न 11

यदि $\left(\frac{3}{5}\right)^x \times \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} = \frac{125}{27}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहली भिन्न को उलटकर लिखते हैं, $\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^{-x}$। अब बायाँ पक्ष $\left(\frac{5}{3}\right)^{-x + 2x} = \left(\frac{5}{3}\right)^x$ है, और दायाँ पक्ष $\left(\frac{5}{3}\right)^3$। आधार एक है, तो $x$ = 3।

प्रश्न 12

यदि $3^{x+2} + 3^x = 270$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छोटी घात बाहर निकाल लेते हैं। $3^x\left(3^2 + 1\right) = 270$, यानी $10 \times 3^x = 270$। तो $3^x$ = 27 = $3^3$, और $x$ = 3।

प्रश्न 13

यदि $\left(\sqrt{2}\right)^7 \times 4^3 = 2^n \times 2\sqrt{2}$ है, तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बाएँ पक्ष में $\left(\sqrt{2}\right)^7 = 2^{\frac{7}{2}}$ और $4^3 = 2^6$ है, तो दोनों मिलाकर $2^{\frac{19}{2}}$ हुआ। दाएँ पक्ष में $2\sqrt{2} = 2^{\frac{3}{2}}$, तो पूरा दायाँ पक्ष $2^{n + \frac{3}{2}}$ है। अब $n + \frac{3}{2} = \frac{19}{2}$, इसलिए $n$ = 8।

प्रश्न 14

हल कीजिए: $5^{2x-1} - 25^{x-1} = 2500$

उत्तर: $5^{2x} = 25^x$ होता है, इसलिए दोनों पदों को $25^x$ के रूप में लिखते हैं। $5^{2x-1} = \frac{25^x}{5}$ और $25^{x-1} = \frac{25^x}{25}$। अब समीकरण $25^x\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{25}\right) = 2500$ है, यानी $25^x \times \frac{4}{25} = 2500$। तो $25^x$ = 15625 = $25^3$, और $x$ = 3।

प्रश्न 15 [Tier 2]

हल कीजिए: $4^x - 3 \times 2^{x+1} + 8 = 0$

उत्तर: $t = 2^x$ मान लीजिए। तब $4^x = t^2$ और $2^{x+1} = 2t$, और समीकरण $t^2 - 6t + 8 = 0$ हो जाता है। इसके गुणनखंड $(t - 2)(t - 4) = 0$ हैं। तो $2^x$ = 2 या 4, यानी $x$ = 1 या $x$ = 2।

प्रश्न 16

$(0.0016)^{-\frac{3}{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0.0016 = $0.2^4$ है, क्योंकि $2^4$ = 16 और दशमलव के बाद चार स्थान हैं। तो $(0.0016)^{-\frac{3}{4}} = (0.2)^{-3} = \frac{1}{0.008}$ = 125।

प्रश्न 17

$8^9 \times 5^{25}$ में कितने अंक हैं?

उत्तर: $8^9 = 2^{27}$ है। अब हर 2 के साथ एक 5 की जोड़ी बनाते हैं। 5 कुल 25 हैं, तो 25 जोड़ियाँ बनेंगी और इनसे $10^{25}$ मिलेगा। बाकी $2^2$ = 4 बच जाता है। तो संख्या $4 \times 10^{25}$ है, यानी 4 के बाद 25 शून्य। इसमें 26 अंक हैं।

प्रश्न 18

$2^{250}$, $3^{150}$ और $5^{100}$ में से सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है?

उत्तर: तीनों घातांक 50 के गुणज हैं। $2^{250} = \left(2^5\right)^{50} = 32^{50}$, $3^{150} = \left(3^3\right)^{50} = 27^{50}$ और $5^{100} = \left(5^2\right)^{50} = 25^{50}$। अब घातांक एक है, तो जिसका आधार सबसे बड़ा है, वही संख्या सबसे बड़ी है। इसलिए $2^{250}$ सबसे बड़ी है।

प्रश्न 19

$\sqrt[3]{5}$, $\sqrt{3}$ और $\sqrt[4]{7}$ को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

उत्तर: कोटियाँ 3, 2 और 4 हैं, और इनका ल.स. 12 है। तो हर एक की 12वीं घात निकालते हैं। $5^4$ = 625, $3^6$ = 729 और $7^3$ = 343। इसलिए अवरोही क्रम $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}$ है।

प्रश्न 20 [Tier 2]

$31^{12}$ और $17^{15}$ में से कौन-सी संख्या बड़ी है?

उत्तर: यहाँ न आधार मेल खाते हैं, न घातांक। इसलिए दोनों की तुलना 2 की एक ही घात से करते हैं। $31^{12} < 32^{12} = 2^{60}$, जबकि $17^{15} > 16^{15} = 2^{60}$। यानी $31^{12} < 2^{60} < 17^{15}$, और $17^{15}$ बड़ी है।

प्रश्न 21 [Tier 2]

यदि $3^a = 4^b = 12^c$ है, तो $c$ का मान $a$ और $b$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों को $k$ के बराबर मान लेते हैं। तब $3 = k^{\frac{1}{a}}$, $4 = k^{\frac{1}{b}}$ और $12 = k^{\frac{1}{c}}$। अब 12 = 3 × 4 है, तो $k^{\frac{1}{c}} = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$। इससे $\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ मिलता है। इसलिए $c = \frac{ab}{a + b}$।