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BODMAS का क्रम और आम गलतियाँ

हल करने का क्रम याद रखिए। सबसे पहले रेखा कोष्ठक (vinculum), फिर कोष्ठक ( ), { } और [ ], और उसके बाद "का"। फिर ÷ और × आते हैं, और अंत में + और −। ÷ और × आपस में बाएँ से दाएँ हल होते हैं, और + और − भी।

• "का" को ÷ से पहले हल कीजिए। 36 ÷ 3 का 4 मतलब 36 ÷ 12, जो 3 है।
• ÷ और × का दर्जा बराबर है, तो जो पहले आए उसे पहले कीजिए। 48 ÷ 6 × 2 = 16 होता है, 4 नहीं।
• रेखा कोष्ठक के नीचे का पूरा भाग कोष्ठक की तरह एक साथ हल होता है। जैसे $10 - \overline{6 - 2} = 6$।
• कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न हो, तो कोष्ठक हटाते समय भीतर का हर चिह्न बदल जाता है।

[SSC टिप] विकल्पों में ज़्यादातर गलत उत्तर वही होते हैं जो ÷ से पहले × कर देने पर आते हैं।

दशमलव और प्रतिशत के शॉर्टकट

• गुणा करते समय दोनों संख्याओं के दशमलव स्थान गिनकर जोड़ लीजिए। उत्तर में उतने ही दशमलव स्थान होंगे, जैसे 0.3 × 0.02 = 0.006।
• भाग करते समय दोनों संख्याओं में दशमलव बराबर स्थान खिसकाइए, इतना कि भाजक पूर्ण संख्या हो जाए। जैसे 1.2 ÷ 0.03 = 120 ÷ 3 = 40।
• कुछ प्रतिशत सीधे भिन्न के रूप में याद रखिए। 12.5% = $\frac{1}{8}$, 37.5% = $\frac{3}{8}$, 62.5% = $\frac{5}{8}$, $16\frac{2}{3}$% = $\frac{1}{6}$ और 6.25% = $\frac{1}{16}$।
• y का x% और x का y% बराबर होते हैं। 50 का 18% निकालना हो, तो 18 का 50% निकाल लीजिए, जो 9 है।
• 25 से गुणा करना हो, तो 100 से गुणा करके 4 से भाग दे दीजिए। 125 से गुणा करना हो, तो 1000 से गुणा करके 8 से भाग दीजिए।
• दशमलव वाले योगों में पैटर्न पहचानिए, जैसे 0.1 + 0.11 + 0.111 + 0.1111 = 0.4321।

भिन्नों की तुलना

• अंश समान हों, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है। हर समान हों, तो बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।
• दो भिन्नों की तुलना तिरछा गुणा करके कीजिए। $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ तब होता है जब ad > bc हो।
• विकल्प चार हों, तो हर भिन्न को दशमलव में बदल लीजिए। दो-तीन दशमलव स्थान तक निकालना काफ़ी है।
• भिन्नें 1 के पास हों, तो देखिए कि हर भिन्न 1 से कितनी कम है। भिन्नें $\frac{1}{2}$ के पास हों, तो देखिए कि हर भिन्न $\frac{1}{2}$ से कितनी ज़्यादा है।
• उचित भिन्न के अंश और हर दोनों में एक ही संख्या जोड़ने पर भिन्न बड़ी हो जाती है। जैसे $\frac{3}{5} < \frac{4}{6} < \frac{5}{7}$।
• मिश्रित भिन्नों में पहले पूर्ण भागों की तुलना कीजिए।

[SSC टिप] हल शुरू करने से पहले देख लीजिए कि प्रश्न में आरोही क्रम पूछा है या अवरोही।

सतत भिन्न और श्रेणी

• सतत भिन्न (continued fraction) का मान सबसे नीचे से शुरू करके निकालिए। जोड़िए, पलटिए, फिर जोड़िए और पलटिए, जैसे $1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}} = 1 + \frac{3}{7} = \frac{10}{7}$।
• सतत भिन्न में x ज्ञात करना हो, तो ऊपर से शुरू कीजिए और एक-एक परत हटाते जाइए।
• $\frac{1}{n(n + k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}\right)$ याद रखिए। इससे लंबे योग में बीच के पद कट जाते हैं और केवल पहले और अंतिम का अंतर बचता है।
• ऐसी श्रेणियों में छिपे गुणनफल पहचानिए। 20 = 4 × 5 है, 30 = 5 × 6 है, और आगे 42, 56, 72, 90 भी ऐसे ही हैं।
• गुणनफल श्रेणी में $\left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}$ होता है, और $\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{n + 1}{2}$ होता है।

याद रखने लायक वर्ग और घन

30 तक के वर्ग और 15 तक के घन ज़बानी याद होने चाहिए।

• 5 पर ख़त्म होने वाली संख्या का वर्ग चाहिए, तो 5 से पहले वाली संख्या को उसकी अगली संख्या से गुणा कीजिए और अंत में 25 लगा दीजिए। $75^2$ के लिए 7 × 8 = 56, तो वर्ग 5625 है।
• 50 के पास की संख्या हो, तो $(50 \pm a)^2$ = (25 ± a) सैकड़े + $a^2$ लगाइए। जैसे $47^2$ = 2200 + 9 = 2209।
• 100 के पास भी ऐसा ही होता है। $96^2$ = (96 − 4) सैकड़े + 16 = 9216।
• $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ से भी वर्ग जल्दी निकलता है। जैसे $41^2$ = 1600 + 80 + 1 = 1681।
• किसी वर्ग का इकाई अंक कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं होता।

वर्गमूल और घनमूल

• संख्या के अभाज्य गुणनखंड कीजिए। वर्गमूल के लिए हर घातांक आधा कर दीजिए, और घनमूल के लिए हर घातांक को 3 से भाग दीजिए। जैसे 5184 = $2^6 \times 3^4$ है, तो उसका वर्गमूल $2^3 \times 3^2$ = 72 है।
• पूर्ण घन का इकाई अंक देखकर घनमूल का इकाई अंक मिल जाता है। बस 2 और 8 आपस में बदल जाते हैं, और 3 और 7 भी। अंतिम तीन अंक हटाकर जो संख्या बचे, उससे घनमूल का पहला अंक मिलता है, जैसे $\sqrt[3]{148877} = 53$।
• दशमलव वाली संख्या का वर्गमूल लेने पर दशमलव स्थान आधे रह जाते हैं, और घनमूल लेने पर एक-तिहाई। जैसे $\sqrt{0.0729} = 0.27$ और $\sqrt[3]{0.000343} = 0.07$।
• यहाँ गलती बहुत होती है। $\sqrt{0.4}$ लगभग 0.632 होता है, 0.2 नहीं।
• मिश्रित भिन्न का वर्गमूल या घनमूल निकालना हो, तो पहले उसे विषम भिन्न बना लीजिए।

मूल के भीतर मूल, सीमित और अनंत

• मूल के भीतर मूल अनंत तक न चलें, तो सबसे भीतर वाले मूल से शुरू कीजिए और फिर बाहर की ओर चलिए।
• $\sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}$ में x को n(n + 1) के रूप में लिखिए। उत्तर इन दोनों में से बड़ी संख्या होती है। जैसे 42 = 6 × 7, इसलिए $\sqrt{42 + \sqrt{42 + \cdots}} = 7$।
• $\sqrt{x - \sqrt{x - \cdots}}$ में उत्तर दोनों में से छोटी संख्या होती है। जैसे $\sqrt{42 - \sqrt{42 - \cdots}} = 6$।
• अनंत तक चलने वाले मूल में $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdots}}} = x$ होता है।
• n वर्गमूल हों, तो $\sqrt{x\sqrt{x \cdots \sqrt{x}}} = x^{\frac{2^n - 1}{2^n}}$ होता है। तीन वर्गमूल हों, तो उत्तर $x^{\frac{7}{8}}$ आता है।
• अनंत तक चलने वाले घनमूल में $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x \cdots}}} = \sqrt{x}$ होता है।

घातांक के नियम

• $a^m \times a^n = a^{m + n}$, $a^m \div a^n = a^{m - n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ और $(ab)^n = a^n b^n$, ये चार नियम सबसे पहले पक्के कर लीजिए।
• $a^0 = 1$ होता है (जब $a \neq 0$ हो)। साथ ही $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ और $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ होता है।
• भिन्नात्मक घातांक में $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$ होता है। जैसे $27^{\frac{2}{3}} = 9$।
• आधार बराबर हों, तो $a^x = a^y$ से x = y मिल जाता है। बस a न 0 हो, न 1 और न −1।
• पहले संख्याओं को अभाज्य संख्याओं की घात के रूप में लिख लीजिए, जैसे 8 = $2^3$ और 27 = $3^3$। दशमलव हो, तो 10 की घात लिखिए, जैसे 0.001 = $10^{-3}$।
• $2^{3^2} = 2^9$ होता है, क्योंकि ऊपर वाली घात पहले हल होती है। इसे $(2^3)^2 = 2^6$ समझने की गलती मत कीजिए।
• ऋणात्मक घातांक से उत्तर ऋणात्मक नहीं हो जाता।

घातों और करणियों की तुलना

• घातांकों का म.स. (HCF) लेकर सबके घातांक बराबर कर लीजिए। $2^{300} = 8^{100}$ और $3^{200} = 9^{100}$ है, इसलिए $3^{200}$ बड़ा है।
• या फिर आधार बराबर कीजिए। $4^{15} = 2^{30}$ है, जो $8^{11} = 2^{33}$ से छोटा है।
• अलग-अलग कोटि की करणियाँ हों, तो कोटियों का ल.स. (LCM) निकालिए और हर करणी की उतनी घात लीजिए। $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ और $\sqrt[4]{4}$ की 12वीं घातें 64, 81 और 64 हैं, इसलिए $\sqrt[3]{3}$ सबसे बड़ा है।
• n कोई भी पूर्ण संख्या हो, $\sqrt[n]{n}$ का सबसे बड़ा मान $\sqrt[3]{3}$ ही होता है।
• घातांक समान हों, तो जिसका आधार बड़ा है, वही संख्या बड़ी है।

करणी के नियम

• करणी (surd) का गुणा और भाग सीधे हो जाता है। $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ और $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$।
• $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ कभी $\sqrt{a + b}$ के बराबर नहीं होता। जैसे $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$, पर $\sqrt{25} = 5$ है।
• पूर्ण वर्ग वाला गुणनखंड बाहर निकालकर करणी को सरल कीजिए। जैसे $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ और $\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$।
• केवल सजातीय करणियाँ जुड़ती हैं, जैसे $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$। पर $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ को जैसा है वैसा ही छोड़ दीजिए।
• तुलना करनी हो, तो बाहर वाली संख्या को वर्गमूल के भीतर ले जाइए। जैसे $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ और $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$, तो दूसरी संख्या बड़ी है।
• अलग-अलग कोटि की करणियों को घातांक की मदद से एक ही कोटि में लाइए, जैसे $\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{4}$।

परिमेयकरण और संयुग्मी करणी

• हर का परिमेयकरण (rationalisation) करना हो और हर में केवल एक करणी हो, तो अंश और हर को उसी करणी से गुणा कीजिए। जैसे $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$।
• हर में दो पद हों, तो संयुग्मी करणी (conjugate) से गुणा कीजिए। जैसे $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$।
• $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$, और यह हमेशा परिमेय होता है।
• $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ होता है, इसलिए लंबे योग में पद कट जाते हैं। $\frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ तक का योग 10 − 1 = 9 आता है।
• यदि $x = 2 + \sqrt{3}$ है, तो $\frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}$ होगा।
• [Tier 2] हर में तीन पद हों, तो दो पदों को एक समूह मान लीजिए और संयुग्मी करणी से दो बार गुणा कीजिए।

करणियों की तुलना और करणी का वर्गमूल

• वर्गमूलों के भीतर की संख्याओं का योग समान हो, तो $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ तब सबसे बड़ा होता है जब a और b एक-दूसरे के सबसे पास हों। जैसे $\sqrt{4} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{7}$।
• संख्याएँ बढ़ती जाएँ, तो दो लगातार संख्याओं के वर्गमूलों का अंतर घटता जाता है। वजह यह है कि $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ में हर बढ़ता जाता है।
• $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ लिखने के लिए ऐसे x और y ढूँढिए कि x + y = a और xy = b हो। जैसे $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$।
• ऋण वाले रूप में पहले भीतरी भाग को $2\sqrt{b}$ वाले रूप में लाइए, और बड़ी करणी पहले लिखिए। जैसे $\sqrt{8 - \sqrt{60}} = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$।

सर्वसमिकाओं से संख्याओं का हिसाब

• $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ से दो वर्गों का अंतर तुरंत निकल आता है। जैसे $63^2 - 37^2 = 100 \times 26$।
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ भी याद रखिए। भिन्न वाले प्रश्नों में इससे लंबा कोष्ठक कट जाता है।
• तीन घनों के लिए $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ होता है।
• यदि a + b + c = 0 हो, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
• आधार के पास की संख्याओं का गुणा वर्गों के अंतर से कीजिए। जैसे 98 × 102 = $100^2 - 2^2$।
• दशमलव वाले प्रश्नों में पहले तय कर लीजिए कि a, b और c कौन-से हैं।

सन्निकटन और अंक-योग से जाँच

• संख्याओं को पास के आसान मानों तक गोल कर लीजिए, जैसे 49.98 → 50, 19.97% → 20% और $\sqrt{899}$ → 30।
• एक संख्या को ऊपर और दूसरी को नीचे गोल कीजिए, ताकि दोनों की त्रुटियाँ आपस में कट जाएँ।
• विकल्प अक्सर एक-दूसरे से दूर-दूर होते हैं, इसलिए मोटा हिसाब ही काम कर जाता है।
• अंक-योग से जाँच (digit-sum check): संख्या के अंक तब तक जोड़ते जाइए जब तक एक अंक न बचे। दोनों संख्याओं के अंक-योगों का गुणा कीजिए। उत्तर का अंक-योग इससे मेल खाना चाहिए। जैसे 238 × 47 के लिए 4 × 2 = 8 आता है, और 11,186 → 17 → 8 भी।
• जाँच की शुरुआत इकाई अंक से कीजिए। ये जाँचें गलत विकल्प हटा देती हैं, पर किसी विकल्प को सही सिद्ध नहीं करतीं।