करणी और परिमेयकरण

करणी क्या है

करणी (surd) एक ख़ास तरह की अपरिमेय संख्या है। किसी धनात्मक परिमेय संख्या का वर्गमूल, घनमूल आदि पूरा न निकले, तो उसे करणी कहते हैं। जैसे $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{5}$ और $\sqrt[4]{10}$ करणियाँ हैं। पर $\sqrt{49} = 7$ और $\sqrt[3]{27} = 3$ करणी नहीं हैं, क्योंकि इनका मान पूरा निकल आता है।

$\pi$ भी अपरिमेय संख्या है, फिर भी वह करणी नहीं है, क्योंकि वह किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल या घनमूल नहीं है।

प्रश्नों में आने वाले शब्द। करणी के प्रश्नों में ये चार शब्द बार-बार आते हैं।

• कोटि: $\sqrt[n]{a}$ में ऊपर जो छोटा $n$ लिखा होता है, वही करणी की कोटि (order) है। वर्गमूल $\sqrt{a}$ की कोटि 2 होती है और घनमूल $\sqrt[3]{a}$ की कोटि 3।
• √ के नीचे की संख्या (radicand): जिस संख्या का वर्गमूल या घनमूल लिया जाता है, वह √ के नीचे लिखी होती है। $5\sqrt{3}$ में यह संख्या 3 है।
• शुद्ध करणी (pure surd): इसमें पूरी संख्या √ के नीचे होती है, जैसे $\sqrt{50}$ या $\sqrt[3]{24}$।
• मिश्रित करणी (mixed surd): इसमें करणी को किसी परिमेय संख्या से गुणा किया होता है, जैसे $5\sqrt{2}$ या $2\sqrt[3]{3}$।

मिश्रित से शुद्ध करणी। बाहर वाली संख्या पर उतनी घात लगाइए जितनी करणी की कोटि है, और फिर उसे √ के नीचे ले जाइए।

$$5\sqrt{2} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50} \qquad 2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \times 3} = \sqrt[3]{24}$$

शुद्ध करणी का सरलतम रूप। अब उलटा काम करते हैं। √ के नीचे की संख्या को दो हिस्सों में तोड़िए, और ऐसे तोड़िए कि एक हिस्सा सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग हो। घनमूल हो, तो सबसे बड़ा पूर्ण घन लीजिए। फिर उस हिस्से का वर्गमूल या घनमूल बाहर निकाल दीजिए।

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \qquad \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \qquad \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$$

सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग न दिखे और आप कोई छोटा पूर्ण वर्ग ले लें, तब भी उत्तर वही आता है। बस कदम ज़्यादा लगते हैं, जैसे $\sqrt{72} = 2\sqrt{18} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$। पूर्ण वर्ग ढूँढने के लिए 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 और 144 से भाग देकर देखिए।

सजातीय और विजातीय करणी। सरल करने के बाद दो करणियों की कोटि भी एक हो और √ के नीचे की संख्या भी एक हो, तो वे सजातीय करणियाँ (like surds) कहलाती हैं। नहीं तो वे विजातीय करणियाँ (unlike surds) हैं। जैसे $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है और $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$। दोनों में √ के नीचे 3 बचता है, इसलिए ये सजातीय हैं। वहीं $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ विजातीय हैं, क्योंकि √ के नीचे की संख्याएँ अलग-अलग हैं। $\sqrt{2}$ और $\sqrt[3]{2}$ भी विजातीय हैं, क्योंकि इनकी कोटि अलग-अलग है।

[SSC टिप] दो करणियाँ सजातीय हैं या नहीं, यह केवल देखकर कभी तय मत कीजिए। $\sqrt{18}$ और $\sqrt{50}$ आपस में बेमेल लगती हैं, पर $3\sqrt{2}$ और $5\sqrt{2}$ लिखते ही बात साफ़ हो जाती है। इसलिए प्रश्न में जो भी करणी हो, कुछ और करने से पहले उसे सरल कर लीजिए।

करणी को घात के रूप में भी लिख सकते हैं, जैसे $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$। यह रूप "घातांक और घात" वाले खंड में आता है। SSC में करणी के प्रश्न प्रायः √ वाले रूप में ही आते हैं, इसलिए यहाँ भी हम वही रूप लेकर चलेंगे।

करणियों का जोड़, गुणा, भाग

जोड़ और घटाव। केवल सजातीय करणियाँ ही आपस में जुड़ती या घटती हैं। यह ठीक वैसा ही है जैसे बीजगणित में $3x + 7x = 10x$ होता है।

$$3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \qquad \sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{12} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

विजातीय करणियों को जैसी हैं वैसी ही छोड़ दीजिए। $2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$ को एक पद में नहीं लिखा जा सकता।

इस अध्याय में सबसे ज़्यादा गलती एक ही जगह होती है। याद रखिए, $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ≠ $\sqrt{a + b}$। पूर्ण वर्ग लेकर जाँचें, तो गलती तुरंत पकड़ में आ जाती है। $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, पर $\sqrt{25} = 5$। SSC ठीक इसी वजह से $\sqrt{a + b}$ को विकल्पों में रख देता है।

गुणा और भाग। दो करणियों की कोटि एक ही हो, तो √ के नीचे वाली संख्याओं का सीधे गुणा या भाग कर दीजिए। बाहर लिखी संख्याओं का गुणा अलग से कीजिए।

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \qquad \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$$

$$2\sqrt{6} \times 3\sqrt{10} = 6\sqrt{60} = 6 \times 2\sqrt{15} = 12\sqrt{15} \qquad \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{9} = 3$$

कोष्ठक भी बीजगणित की तरह ही खुलते हैं। बस यह याद रखिए कि $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ होता है।

$$(2 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 8 - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3 = 5 + 2\sqrt{3}$$

अलग-अलग कोटि की करणियाँ। $\sqrt{2}$ को $\sqrt[3]{3}$ से सीधे गुणा नहीं कर सकते। पहले दोनों की कोटि एक करनी पड़ती है, और इसके लिए दोनों कोटियों का ल.स. लिया जाता है। नियम यह है कि कोटि को किसी संख्या $k$ से गुणा करें, तो √ के नीचे की संख्या पर भी घात $k$ लगानी पड़ती है।

$$\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$$

जैसे कोटियाँ 2 और 3 हैं, तो उनका ल.स. 6 है। अब $\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$ और $\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$ लिख सकते हैं। तब

$$\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{8 \times 9} = \sqrt[6]{72}$$

एक और उदाहरण देखिए, $\sqrt[3]{4} \times \sqrt{2} = \sqrt[6]{16} \times \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{128} = \sqrt[6]{64 \times 2} = 2\sqrt[6]{2}$।

कोटि बराबर करने का यही तरीका $\sqrt{3}$ और $\sqrt[3]{5}$ जैसे मानों की तुलना में भी काम आता है। ऐसी पूरी तुलना "घातांक और घात" वाले खंड में है।

एक बात और। विकल्प प्रायः सरलतम रूप में दिए होते हैं। मान लीजिए आपका उत्तर $\sqrt{108}$ आया और विकल्प में $6\sqrt{3}$ दिया है। दोनों एक ही संख्या हैं। इसलिए "कोई विकल्प मेल नहीं खाता" मानने से पहले अपना उत्तर सरल करके देख लीजिए।

हर का परिमेयकरण

परिमेयकरण (rationalisation) का मतलब है भिन्न को ऐसे रूप में लिखना कि उसके हर में कोई करणी न बचे। इसके लिए अंश और हर, दोनों को एक ही चीज़ से गुणा करते हैं, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता। जिस चीज़ से गुणा करते हैं, उसे परिमेयकारी गुणक (rationalising factor) कहते हैं।

हर में एक करणी। अंश और हर को उसी करणी से गुणा कर दीजिए।

$$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \qquad \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$$

करणी को पहले सरल कर लें, तो संख्याएँ छोटी रहती हैं। जैसे $\frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।

ध्यान दीजिए, $\sqrt{12}$ का सबसे छोटा परिमेयकारी गुणक $\sqrt{3}$ है, $\sqrt{12}$ नहीं। कारण यह है कि $\sqrt{12} \times \sqrt{3} = 6$, जो पहले ही परिमेय है।

घनमूल हो, तो उस चीज़ से गुणा कीजिए जिससे √ के नीचे पूर्ण घन आ जाए। $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$ होता है, इसलिए $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$। इसी तरह $\sqrt[3]{4}$ का परिमेयकारी गुणक $\sqrt[3]{2}$ है, और $\sqrt[3]{9}$ का $\sqrt[3]{3}$।

हर में दो पद। अब अंश और हर को हर की संयुग्मी करणी (conjugate) से गुणा करते हैं। संयुग्मी में वही दो पद रहते हैं, बस बीच का चिह्न उलट जाता है। किसी करणी और उसकी संयुग्मी का गुणनफल हमेशा परिमेय होता है।

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b \qquad (p + \sqrt{b})(p - \sqrt{b}) = p^2 - b$$

$$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$$

अगर अंश में भी वही दोनों पद हों, पर बीच में धन चिह्न हो, तो गुणा करने पर अंश में उनके योग का वर्ग आ जाता है।

$$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a - b} \qquad \text{जैसे } \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{4} = 2 + \sqrt{3}$$

जब हर 1 हो जाए। अगर $a - b = 1$ हो या $p^2 - b = 1$, तो हर पूरी तरह गायब हो जाता है।

$$\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \sqrt{6} + \sqrt{5} \qquad \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$$

दूसरे उदाहरण में हर 1 इसलिए हुआ, क्योंकि $(2\sqrt{2})^2 = 8$ है और 9 − 8 = 1।

ऐसी जोड़ियाँ पहचानना सीख लीजिए। आगे पद कटने वाले योग और संयुग्मी वाले प्रश्न इन्हीं पर टिके होते हैं। ये जोड़ियाँ हैं $2 \pm \sqrt{3}$, $3 \pm 2\sqrt{2}$, $5 \pm 2\sqrt{6}$, $4 \pm \sqrt{15}$ और $\sqrt{n + 1} \pm \sqrt{n}$।

हर में तीन पद। किन्हीं दो पदों को एक समूह मानकर एक ही पद की तरह देखिए। अब परिमेयकरण दो बार करना पड़ता है। समूह ऐसा चुनिए कि पहली बार में ही सादी संख्याएँ कट जाएँ।

$$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \frac{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

यहाँ $(1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}$ है। इसका 3, $(\sqrt{3})^2$ वाले 3 को काट देता है। अब एक कदम और बचा है। अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा कीजिए, तो $\frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}$ मिलता है।

[Tier 2] हर में घनमूल। यहाँ ये दो सर्वसमिकाएँ काम आती हैं, $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ और $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$। जैसे $(\sqrt[3]{2} - 1)(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1) = 2 - 1 = 1$ होता है, इसलिए $\frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1} = \sqrt[3]{2} - 1$।

संयुग्मी युग्म और x के मान

मान लीजिए करणी $x = p + \sqrt{q}$ है। तब उसकी संयुग्मी $y = p - \sqrt{q}$ होगी। किसी संख्या और उसकी संयुग्मी का योग भी परिमेय होता है और गुणनफल भी। "यदि $x$ यह करणी है, तो वह ज्ञात कीजिए" जैसे ज़्यादातर प्रश्न इन्हीं दो बातों से हल होते हैं।

$$x + y = 2p \qquad xy = p^2 - q \qquad x - y = 2\sqrt{q}$$

जब गुणनफल 1 हो। $5 \pm 2\sqrt{6}$ जैसी जोड़ियों में गुणनफल 25 − 24 = 1 आता है। ऐसे में संयुग्मी ही व्युत्क्रम भी होती है। जैसे $x = 5 + 2\sqrt{6}$ हो, तो $\frac{1}{x} = 5 - 2\sqrt{6}$। इसलिए

$$x + \frac{1}{x} = 10 \qquad x - \frac{1}{x} = 4\sqrt{6} \qquad x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = 98$$

गुणनफल 1 न हो, तो $\frac{1}{x}$ निकालने के लिए परिमेयकरण करना पड़ता है। जैसे $x = 3 + \sqrt{5}$ हो, तो $\frac{1}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$।

आपस में व्युत्क्रम दो भिन्नें। SSC में यह प्रश्न बहुत पूछा जाता है। जैसे $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ और $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ दिए हैं। पहले $x$ का परिमेयकरण कीजिए, $\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$। $y$ इसका व्युत्क्रम है, तो वह $4 - \sqrt{15}$ हुआ। आगे जो भी पूछा जाए, सब $x + y = 8$ और $xy = 1$ से निकल आता है।

पूछा गया	हल	मान
$x^2 + y^2$	$(x + y)^2 - 2xy = 64 - 2$	62
$x^2 + xy + y^2$	$62 + 1$	63
$x^2 - xy + y^2$	$62 - 1$	61
$x^3 + y^3$	$(x + y)^3 - 3xy(x + y) = 512 - 24$	488
$x - y$	$(4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15})$	$2\sqrt{15}$

इस भिन्न-जोड़ी के दो शॉर्टकट भी हैं। इन्हें जैसे हैं वैसे ही याद कर लीजिए।

$$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{2(a + b)}{a - b} \qquad \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{4\sqrt{ab}}{a - b}$$

जाँच कर लेते हैं। $a = 5$ और $b = 3$ रखें, तो पहले शॉर्टकट से 2 × 8 ÷ 2 = 8 आता है और दूसरे से $\frac{4\sqrt{15}}{2} = 2\sqrt{15}$। दोनों तालिका से मेल खाते हैं।

व्यंजक का मान। करणी $x$ से बना कोई व्यंजक दिया हो, तो मान रखकर सब कुछ फैलाने मत बैठिए। करणी को एक ओर अकेला कीजिए और दोनों ओर का वर्ग कर लीजिए। मान लीजिए $x = 3 + \sqrt{5}$ है।

$$x - 3 = \sqrt{5} \;\Rightarrow\; x^2 - 6x + 9 = 5 \;\Rightarrow\; x^2 - 6x + 4 = 0$$

अब $x^2 - 6x$ से बना कुछ भी सीधे निकल आता है। जैसे $x^2 - 6x + 7 = -4 + 7 = 3$।

परिमेय और अपरिमेय भागों का मिलान। मान लीजिए $p + q\sqrt{r} = s + t\sqrt{r}$ है, जहाँ $p, q, s, t$ परिमेय हैं और $\sqrt{r}$ अपरिमेय। तब दोनों ओर के परिमेय भाग बराबर होंगे और अपरिमेय भाग भी, यानी $p = s$ और $q = t$। जैसे $(3 + \sqrt{2})^2 = a + b\sqrt{2}$ दिया हो। बाईं ओर फैलाने पर $11 + 6\sqrt{2}$ आता है, तो $a = 11$ और $b = 6$।

$x + \frac{1}{x}$ वाली आम सर्वसमिकाएँ, जैसे $x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$, "बीजगणित" वाले अध्याय में विस्तार से समझाई गई हैं। करणी वाले प्रश्नों में नई बात बस एक है। आपको यह पहचानना है कि $\frac{1}{x}$ ही संयुग्मी है।

$a \pm 2\sqrt{b}$ और $a \pm \sqrt{b}$ का वर्गमूल

शुरुआत दो करणियों के योग और अंतर के वर्ग से करते हैं।

$$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy} \qquad (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$$

अब इसे उलटा पढ़िए। $\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ निकालना हो, तो ऐसी दो संख्याएँ खोजिए जिनका योग $a$ हो और गुणनफल $b$। मान लीजिए वे $x$ और $y$ हैं। तब उत्तर $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ होगा।

$\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ में उत्तर $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ होता है, और इसमें बड़ी संख्या पहले लिखी जाती है। कारण यह है कि वर्गमूल कभी ऋणात्मक नहीं होता।

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2} \qquad (5 + 2 = 7,\ 5 \times 2 = 10)$$

$$\sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2 \qquad (5 + 4 = 9,\ 5 \times 4 = 20)$$

पहले 2 लाइए। यह तरीका तभी चलता है जब करणी ठीक "2 × कोई वर्गमूल" के रूप में लिखी हो। ऐसा न हो, तो जो लिखा है उसे बदलकर इस रूप में लाइए। यहाँ दो स्थितियाँ आती हैं।

• 2 बिल्कुल न हो। तब √ के नीचे की संख्या को ऐसे तोड़िए कि 2 बाहर आ जाए, जैसे $\sqrt{48} = \sqrt{4 \times 12} = 2\sqrt{12}$।
• आगे कोई और संख्या हो। जैसे $4\sqrt{5} = 2\sqrt{20}$, $6\sqrt{2} = 2\sqrt{18}$ और $8\sqrt{3} = 2\sqrt{48}$। बाहर की संख्या को आधा कीजिए, और उस आधी संख्या का वर्ग √ के नीचे ले जाइए।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{8 + \sqrt{48}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$। इसी तरह $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{19 - 2\sqrt{48}} = \sqrt{16} - \sqrt{3} = 4 - \sqrt{3}$।

जब 2 पूरा न निकले। यह $a \pm \sqrt{b}$ वाला रूप है। जैसे $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$ में $\sqrt{15}$ को किसी पूर्ण संख्या के वर्गमूल का 2 गुना नहीं लिख सकते। ऐसे में √ के भीतर 2 से गुणा भी कीजिए और 2 से भाग भी।

$$\sqrt{4 + \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$$

जोड़ी का योग या अंतर। $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} + \sqrt{a - 2\sqrt{b}} = 2\sqrt{x}$ होता है, और इन दोनों का अंतर $2\sqrt{y}$। जैसे $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} - \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$।

करणी-जोड़ियों के वर्ग और घन। वर्ग वाले नतीजे ये हैं।

व्यंजक	मान
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$	$a + b + 2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$	$a + b - 2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$	$2(a + b)$
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$	$4\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$	$a - b$

घन के लिए $(p + q)^3 = p^3 + 3p^2 q + 3pq^2 + q^3$ लगाइए। जैसे $p = \sqrt{2}$ और $q = 1$ लें, तो $(\sqrt{2} + 1)^3 = 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1 = 7 + 5\sqrt{2}$।

[SSC टिप] विकल्पों में पहले से वर्गमूल दिए हों, तो पूरा हल निकालने की ज़रूरत ही नहीं है। हर विकल्प का वर्ग कीजिए और देखिए कि किसका वर्ग √ के नीचे वाले व्यंजक के बराबर आता है। जैसे $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ का वर्ग करने में बस पाँच सेकंड लगते हैं।

करणियों की तुलना और क्रम

"इनमें सबसे बड़ा कौन-सा है?" जैसे प्रश्न 2025 के पेपरों में बार-बार आए। ऐसे प्रश्न पाँच तरह के होते हैं, और हर तरह को जल्दी जाँचने का अपना तरीका है।

1. आगे संख्या वाली करणियाँ। बाहर की संख्या को वापस √ के नीचे ले जाइए, फिर √ के नीचे वाली संख्याओं की तुलना कीजिए। जैसे $3\sqrt{7} = \sqrt{63}$, $4\sqrt{5} = \sqrt{80}$, $2\sqrt{17} = \sqrt{68}$ और $6\sqrt{2} = \sqrt{72}$। तो क्रम यह हुआ।

$$3\sqrt{7} < 2\sqrt{17} < 6\sqrt{2} < 4\sqrt{5}$$

2. करणियों का योग। $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ और $\sqrt{c} + \sqrt{d}$ की तुलना करनी हो, तो दोनों का वर्ग कीजिए। अब $a + b + 2\sqrt{ab}$ और $c + d + 2\sqrt{cd}$ की तुलना करनी है। SSC लगभग हमेशा $a + b = c + d$ रखता है। तब केवल गुणनफल $ab$ और $cd$ देखने होते हैं। जिस जोड़ी की संख्याएँ एक-दूसरे के ज़्यादा पास हों, उसका गुणनफल बड़ा होता है, और उसी जोड़ी के वर्गमूलों का योग भी बड़ा होता है।

जैसे $\sqrt{10} + \sqrt{4}$ और $\sqrt{8} + \sqrt{6}$ में दोनों जोड़ियों का योग 14 है। 8 × 6 = 48, जो 10 × 4 = 40 से बड़ा है। इसलिए $\sqrt{8} + \sqrt{6}$ बड़ा है।

योग अलग-अलग हों, तब भी वर्ग करना काम आता है, पर फिर पूरे नतीजों की तुलना करनी पड़ती है। जैसे $(\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = 12 + 2\sqrt{35}$ और $(\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = 13 + 2\sqrt{30}$। यहाँ बड़े योग वाली जोड़ी ही बड़ी निकली, पर बहुत थोड़े अंतर से। पहला लगभग 4.882 है और दूसरा लगभग 4.894। इसलिए यह मान लेना गलत है कि हर बार बड़े योग वाली जोड़ी ही बड़ी होगी।

3. करणियों का अंतर, जब संख्याओं का अंतर एक ही हो। यहाँ परिमेयकरण काम आता है।

$$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

हर विकल्प में $a - b$ एक ही हो, तो सबसे छोटी संख्याओं वाले विकल्प का हर सबसे छोटा होगा, और वही अंतर सबसे बड़ा होगा। जैसे $\sqrt{3} - \sqrt{2} > \sqrt{6} - \sqrt{5} > \sqrt{10} - 3$। ध्यान रखिए, कई बार पूर्ण संख्या वर्गमूल के रूप में नहीं लिखी होती। $\sqrt{9}$ की जगह सीधे 3 लिखा होता है और $\sqrt{16}$ की जगह 4। ऐसे विकल्प को भी इसी तरह परखिए।

4. करणियों का अंतर, जब संख्याओं का अंतर अलग-अलग हो। यहाँ यह शॉर्टकट नहीं चलता, तो मोटे-मोटे मान लगाइए। $\sqrt{12} - \sqrt{7} \approx 3.46 - 2.65 = 0.81$ और $\sqrt{10} - \sqrt{6} \approx 3.16 - 2.45 = 0.71$, तो पहला बड़ा है। दशमलव के दो स्थान तक के मान लगभग हमेशा काफ़ी होते हैं।

5. अलग-अलग कोटि। पहले कोटि बराबर कीजिए। $\sqrt{3} = \sqrt[6]{27}$ और $\sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{25}$, तो $\sqrt{3}$ बड़ा है। इस तरह की पूरी तुलना "घातांक और घात" वाले खंड में है।

पाँचों तरीके एक साथ याद कर लीजिए।

किसकी तुलना	जल्दी जाँचने का तरीका
$a\sqrt{b}$ वाले रूप	संख्या भीतर ले जाकर √ के नीचे की संख्याओं की तुलना
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$, योग $a + b$ एक ही	जिसका गुणनफल $ab$ बड़ा, वही बड़ा
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$, अंतर $a - b$ एक ही	छोटी संख्याओं वाला बड़ा
योग या अंतर अलग-अलग	वर्ग, या मोटे दशमलव मान
कोटि अलग-अलग	कोटि बराबर करना

करणियों के पद कटने वाले योग

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots$ जैसे योग देखने में लंबे लगते हैं, पर इनमें लगभग सब कुछ कट जाता है। ऐसी श्रेणी को पद कटने वाली श्रेणी (telescoping series) कहते हैं।

मुख्य कदम। जब किसी पद में √ के नीचे की दोनों संख्याओं का अंतर 1 हो, तो परिमेयकरण करते ही हर 1 हो जाता है।

$$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$$

अब हर पद दो वर्गमूलों का अंतर है। एक पद में जो वर्गमूल + के साथ आता है, वही अगले पद में − के साथ आता है, इसलिए दोनों कट जाते हैं।

$$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) = \sqrt{n} - 1$$

केवल आख़िरी और पहला वर्गमूल बचते हैं। एक उदाहरण देखिए।

$$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{35} + \sqrt{36}} = \sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 = 4$$

अंतर $k$ हो तब। अगर √ के नीचे की संख्याएँ हर बार $k$ बढ़ती जाएँ, तो परिमेयकरण के बाद हर पद के हर में $k$ आता है।

$$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + k}} = \frac{\sqrt{n + k} - \sqrt{n}}{k}$$

तो पूरा योग = (आख़िरी वर्गमूल − पहला वर्गमूल) ÷ $k$। जैसे $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{48} + \sqrt{50}}$ का उत्तर $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ है।

भीतर ऋण, बाहर बारी-बारी से चिह्न। हर में ऋण चिह्न हो, तो परिमेयकरण के बाद हर पद एक योग हो जाता है।

$$\frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$$

ऐसे पद अपने-आप नहीं कटते। इसीलिए SSC इनके बीच बारी-बारी से + और − लगाता है। तब बीच का हर वर्गमूल एक बार + के साथ आता है और एक बार − के साथ, और केवल दोनों सिरे बचते हैं।

$$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{4} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{4}} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (2 + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + 2) = \sqrt{5} + \sqrt{2}$$

नियम यह है। पदों की संख्या विषम हो और शुरुआत + से हो, तो दोनों सिरों के वर्गमूल + चिह्न के साथ बचते हैं। पदों की संख्या सम हो, तो आख़िरी सिरा − चिह्न के साथ बचता है। संदेह हो, तो पहले दो और आख़िरी दो पद पूरे लिखकर देख लीजिए कि क्या कटता है।

पहले पैटर्न समझिए। कोई भी नियम लगाने से पहले ये तीन बातें देख लीजिए।

• क्या √ के नीचे की संख्याएँ हर बार बराबर-बराबर बढ़ रही हैं?
• क्या वे 1-1 करके बढ़ रही हैं? अगर नहीं, तो क्या आपने उस अंतर से भाग दिया?
• श्रेणी कहाँ से शुरू होकर कहाँ ख़त्म हो रही है? $\sqrt{9}$ से $\sqrt{100}$ तक का योग, $\sqrt{1}$ से शुरू होने वाले योग जैसा नहीं होता।

प्रश्न में यह श्रेणी अक्सर $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ के रूप में आती है। इसमें पहला 1 असल में $\sqrt{1}$ ही है, तो उत्तर $\sqrt{100} - \sqrt{1} = 9$ है।

करणी वाले समीकरण

अकेला करके वर्ग। वर्गमूल को समीकरण की एक ओर अकेला कीजिए, फिर दोनों ओर का वर्ग करके हल कर लीजिए।

$$\sqrt{3x - 2} = 5 \;\Rightarrow\; 3x - 2 = 25 \;\Rightarrow\; x = 9$$

एक नियम हमेशा याद रखिए। जो उत्तर मिले, उसे वापस समीकरण में रखकर जाँचिए। वर्ग करने से कभी ऐसा उत्तर भी निकल आता है जो असल में उस समीकरण का हल नहीं होता।

जैसे $\sqrt{x + 5} = x - 1$ है। वर्ग करने पर $x + 5 = x^2 - 2x + 1$, यानी $x^2 - 3x - 4 = 0$ आता है। इससे $x = 4$ या $x = -1$ मिलते हैं। अब जाँचिए। $x = 4$ रखने पर बाईं ओर $\sqrt{9} = 3$ आता है और दाईं ओर भी 3, तो यह ठीक है। $x = -1$ रखने पर बाईं ओर $\sqrt{4} = 2$ आता है, पर दाईं ओर $-2$। इसलिए यह उत्तर छोड़ दीजिए।

तय अंतर वाले दो वर्गमूल। जैसे $\sqrt{x + 24} + \sqrt{x} = 12$ है, और दोनों वर्गमूलों के भीतर की संख्याओं में तय अंतर है। यहाँ सीधे वर्ग करेंगे तो हिसाब उलझ जाएगा। इसकी जगह यह सर्वसमिका लगाइए।

$$(\sqrt{A} + \sqrt{B})(\sqrt{A} - \sqrt{B}) = A - B$$

यहाँ $A - B = (x + 24) - x = 24$ है। वर्गमूलों का योग 12 है, तो उनका अंतर 24 ÷ 12 = 2 होगा। अब योग और अंतर को जोड़िए, $2\sqrt{x + 24} = 14$। तो $\sqrt{x + 24} = 7$, और $x = 25$। रखकर देखें तो $\sqrt{49} + \sqrt{25} = 7 + 5 = 12$ आता है, यानी हल ठीक है।

योगांतरानुपात। अगर $\frac{m}{n} = \frac{p}{q}$ हो, तो

$$\frac{m + n}{m - n} = \frac{p + q}{p - q}$$

इसे योगांतरानुपात (componendo and dividendo) कहते हैं। $\frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = k$ जैसे समीकरणों में यह ख़ास तौर पर काम आता है। एक बार लगाते ही एक वर्गमूल अंश में और दूसरा हर में अलग हो जाता है।

$$\frac{2\sqrt{A}}{2\sqrt{B}} = \frac{k + 1}{k - 1} \;\Rightarrow\; \frac{A}{B} = \left(\frac{k + 1}{k - 1}\right)^2$$

उदाहरण के लिए $\frac{\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 6}}{\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 6}} = 3$ लीजिए। योगांतरानुपात से $\frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{4}{2} = 2$ आता है। वर्ग करने पर $x + 6 = 4(x - 6)$, तो $3x = 30$ और $x = 10$। जाँच के लिए 10 रखिए। $\sqrt{16} = 4$ और $\sqrt{4} = 2$, तो $\frac{4 + 2}{4 - 2} = 3$ आता है।

बना-बनाया सूत्र। $\frac{\sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}}{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}} = k$ वाले रूप पर योगांतरानुपात दूसरी बार लगाएँ, तो सीधा सूत्र मिल जाता है।

$$x = \frac{2ak}{k^2 + 1}$$

जैसे $a = 13$ और $k = 5$ हो, तो $x = \frac{2 \times 13 \times 5}{26} = 5$। जाँच कर लेते हैं। $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ और $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, तो $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ आता है।

[Tier 2] उलटा प्रश्न। कभी $x$ ही ऐसी भिन्न के रूप में दिया होता है, और $x$ में समीकरण पूछा जाता है। यदि $x = \frac{\sqrt{a + 2b} + \sqrt{a - 2b}}{\sqrt{a + 2b} - \sqrt{a - 2b}}$ हो, तो

$$bx^2 - ax + b = 0$$

जैसे $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ है। यहाँ $a + 2b = 5$ और $a - 2b = 3$, तो $a = 4$ और $b = \frac{1}{2}$। समीकरण $\frac{1}{2}x^2 - 4x + \frac{1}{2} = 0$ हुआ, यानी $x^2 - 8x + 1 = 0$। यह पहले वाले नतीजे से मेल खाता है, क्योंकि यही $x$ असल में $4 + \sqrt{15}$ है, और $x + \frac{1}{x} = 8$।

एक काम की बात। विकल्प दिए हों, तो करणी वाले समीकरण में हर विकल्प को वापस रखकर देखिए। यह अक्सर हल करने से तेज़ होता है। शुरुआत उस विकल्प से कीजिए जो √ के नीचे की संख्याओं को पूर्ण वर्ग कर दे।

दिए गए मान और आम जाल

कुछ प्रश्नों में $\sqrt{3} = 1.732$ जैसा मान दिया होता है, और उत्तर दशमलव में माँगा जाता है। ये मान वैसे भी याद रखने लायक हैं, क्योंकि करणियों की तुलना और मोटी जाँच भी इन्हीं से होती है।

$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{6}$	$\sqrt{7}$	$\sqrt{8}$	$\sqrt{10}$
1.414	1.732	2.236	2.449	2.646	2.828	3.162

पहले परिमेयकरण, फिर मान। लंबे दशमलव से भाग देने में समय लगता है। इसलिए मान रखने से पहले करणी को अंश में ले आइए।

• $\sqrt{6} = 2.449$ दिया हो, तो $\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0.408$। इसी तरह $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} = 1.2245$।
• $\sqrt{5} = 2.236$ दिया हो, तो $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = 2.618$।

जहाँ अंक कटते हैं। करणी के प्रश्नों में ये सात गलतियाँ सबसे ज़्यादा होती हैं।

• $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$, और $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \neq a + b$। लोग बीच वाला पद $2\sqrt{ab}$ भूल जाते हैं।
• वर्गमूल कभी ऋणात्मक नहीं होता। $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$ का मान $\sqrt{5} - 2$ है, $2 - \sqrt{5}$ नहीं, क्योंकि $2 - \sqrt{5}$ शून्य से कम है। इसी वजह से $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ में बड़ी संख्या पहले लिखी जाती है।
• $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ का परिमेयकरण करें, तो हर $a - b$ आता है, इसी क्रम में। $b - a$ लिख दिया, तो उत्तर का चिह्न उलट जाएगा।
• $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ वाली तुलना में √ के नीचे का बड़ा योग हमेशा बड़ा मान नहीं देता। पहले योग जाँचिए, फिर गुणनफल।
• पद कटने वाले योग में पहला पद अक्सर $\sqrt{1}$ नहीं होता। श्रेणी कहाँ से शुरू हो रही है, यह ध्यान से पढ़िए।
• करणी वाले समीकरण का वर्ग करने के बाद उत्तर को वापस रखकर जाँचिए। वर्ग करने से कई बार ऐसे उत्तर भी निकल आते हैं जो असल में हल नहीं होते।
• $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2}$ न तो $\sqrt{4}$ है, न $\sqrt[5]{4}$। पहले कोटि बराबर कीजिए, तो $\sqrt[6]{8} \times \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{32}$ आता है।

[SSC टिप] करणी वाले किसी भी उत्तर की मोटी दशमलव जाँच में दस सेकंड लगते हैं। मान लीजिए आपने $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ को सरल करके $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ पाया। इसका मान लगभग (5 + 4.58) ÷ 2 ≈ 4.8 है। दिया हुआ व्यंजक भी लगभग 4.38 ÷ 0.91 ≈ 4.8 आता है, तो हल ठीक है। दोनों मोटे मान न मिलें, तो देखिए कि कोई पद छूटा तो नहीं, या कहीं चिह्न तो नहीं उलट गया।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

$\sqrt{98} + \sqrt{50} - \sqrt{32}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: मैंने तीनों करणियों को पूर्ण वर्ग × 2 के रूप में तोड़ा। $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ और $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$। अब तीनों सजातीय हैं, तो बस आगे वाली संख्याओं का हिसाब करना है, 7 + 5 − 4 = 8। उत्तर $8\sqrt{2}$ है।

प्रश्न 2

निम्नलिखित में से कौन-सी करणी शेष तीन करणियों की सजातीय नहीं है? (a) $\sqrt{45}$ (b) $\sqrt{80}$ (c) $\sqrt{90}$ (d) $\sqrt{125}$

उत्तर: चारों को सरल करके देखते हैं। $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ और $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$, पर $\sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10}$। तीन करणियाँ $\sqrt{5}$ की गुणज निकलीं और एक $\sqrt{10}$ की। तो अलग वाली करणी (c) $\sqrt{90}$ है।

प्रश्न 3

$\sqrt{3} \times \sqrt[3]{2}$ को एक ही करणी के रूप में लिखिए।

उत्तर: यहाँ कोटियाँ 2 और 3 हैं, तो दोनों को कोटि 6 पर लाना होगा। $\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$ और $\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}$। अब दोनों की कोटि 6 है, तो √ के नीचे सीधे गुणा कर दिया, 27 × 4 = 108। इस तरह गुणनफल $\sqrt[6]{108}$ हुआ।

प्रश्न 4

यदि $\sqrt{3} = 1.732$ है, तो $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सीधे 1.732 रख दें, तो 0.732 ÷ 2.732 करना पड़ेगा, जो धीमा है। इसलिए मैंने पहले परिमेयकरण किया, यानी अंश और हर दोनों को $\sqrt{3} - 1$ से गुणा किया। अंश $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$ हो गया और हर 3 − 1 = 2। तो मान $2 - \sqrt{3}$ है, यानी 2 − 1.732 = 0.268।

प्रश्न 5

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ से गुणा करते हैं। हर 7 − 3 = 4 हो जाता है, और अंश में $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = 7 + 3 + 2\sqrt{21} = 10 + 2\sqrt{21}$ आता है। भिन्न $\frac{10 + 2\sqrt{21}}{4}$ हुई, और 2 से काटने पर $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ बचता है।

प्रश्न 6

यदि $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = a + b\sqrt{30}$ है, जहाँ $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हैं, तो $a + b$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ 6 − 5 = 1 है, तो संयुग्मी से गुणा करने पर हर बस 1 रह जाएगा। अंश में $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 = 6 + 5 + 2\sqrt{30} = 11 + 2\sqrt{30}$ आता है। अब $11 + 2\sqrt{30} = a + b\sqrt{30}$ है। मैंने परिमेय भाग आपस में मिलाए और $\sqrt{30}$ वाले भाग आपस में, तो $a = 11$ और $b = 2$ मिले। इसलिए $a + b$ = 13।

प्रश्न 7

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

उत्तर: मैंने $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ को एक समूह माना, क्योंकि 2 + 3 = 5 है। इसका वर्ग करने पर जो 5 आएगा, वह $(\sqrt{5})^2$ वाले 5 को काट देगा। अंश और हर को $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ से गुणा किया, तो हर यह आया।

$$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$$

अब $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$ बचा। एक कदम और करना है, अंश और हर को $\sqrt{6}$ से गुणा करना। अंश $\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}$ हो गया और हर 12। आख़िर में $\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30}}{12}$ मिला।

प्रश्न 8 [Tier 2]

$\frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}$ का परिमेयकरण कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $t = \sqrt[3]{3}$। तब $\sqrt[3]{9} = t^2$, और हर $t^2 + t + 1$ हो जाता है। हमें पता है कि $(t - 1)(t^2 + t + 1) = t^3 - 1$, और यहाँ $t^3 = 3$ है। तो अंश और हर को $t - 1$ से गुणा किया, जिससे हर 3 − 1 = 2 रह गया। तो भिन्न $\frac{\sqrt[3]{3} - 1}{2}$ हो गई।

प्रश्न 9

यदि $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ और $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ है, तो $x^2 + xy + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x$ और $y$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, तो $xy = 1$। अब $x$ का परिमेयकरण करते हैं। हर 7 − 5 = 2 आता है और अंश $(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = 12 + 2\sqrt{35}$, तो $x = 6 + \sqrt{35}$ और $y = 6 - \sqrt{35}$। इससे $x + y = 12$ मिला। फिर $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ = 144 − 2 = 142। इसमें $xy = 1$ जोड़ दिया, तो उत्तर 143 आया।

प्रश्न 10

यदि $x = 7 - 4\sqrt{3}$ है, तो $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले मैंने $4\sqrt{3}$ को $2\sqrt{12}$ लिखा। अब ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 7 और गुणनफल 12 हो। ये 4 और 3 हैं, तो $x = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$। इसलिए $\sqrt{x} = 2 - \sqrt{3}$, और यह धनात्मक है, क्योंकि 2, $\sqrt{3}$ से बड़ा है। फिर $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$, तो $\frac{1}{\sqrt{x}} = 2 + \sqrt{3}$। दोनों को जोड़ने पर $\sqrt{3}$ वाले भाग कट जाते हैं और 4 बचता है।

प्रश्न 11

यदि $x = \sqrt{5} + 2$ है, तो $x^3 - 4x^2 - x + 7$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\sqrt{5} + 2$ का घन निकालने में बहुत मेहनत लगेगी। इसलिए पहले मैंने $x$ का एक सरल समीकरण निकाला। $x - 2 = \sqrt{5}$, और वर्ग करने पर $x^2 - 4x + 4 = 5$, यानी $x^2 - 4x - 1 = 0$। अब ध्यान दीजिए कि $x^3 - 4x^2 - x = x(x^2 - 4x - 1)$ है, तो यह हिस्सा $x \times 0 = 0$ हो गया। पूरा व्यंजक 0 + 7 = 7 है।

प्रश्न 12

$\sqrt{9 + 2\sqrt{14}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 9 और गुणनफल 14 हो। ये 7 और 2 हैं। तो $9 + 2\sqrt{14} = (\sqrt{7} + \sqrt{2})^2$, और इसका वर्गमूल $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ है। झटपट जाँच भी कर ली, $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2 + 2\sqrt{14}$।

प्रश्न 13

$21 - 4\sqrt{5}$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस तरीके में करणी के आगे 2 चाहिए, तो मैंने $4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2\sqrt{20}$ लिखा। अब योग 21 और गुणनफल 20 वाली दो संख्याएँ 20 और 1 हैं। चिह्न ऋण है, इसलिए बड़ी संख्या पहले आएगी। वर्गमूल $\sqrt{20} - 1$ है, यानी $2\sqrt{5} - 1$। इसका वर्ग करके देखें तो $(2\sqrt{5} - 1)^2 = 20 - 4\sqrt{5} + 1 = 21 - 4\sqrt{5}$ ही आता है।

प्रश्न 14 [Tier 2]

$\sqrt{5 + \sqrt{21}} + \sqrt{5 - \sqrt{21}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $\sqrt{21}$ को किसी पूर्ण संख्या के वर्गमूल का 2 गुना नहीं लिख सकते। इसलिए मैंने भीतर 2 से गुणा भी किया और भाग भी, $5 + \sqrt{21} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{2}$। अब 7 + 3 = 10 और 7 × 3 = 21, तो अंश $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$ है। इसलिए

$$\sqrt{5 + \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \qquad \sqrt{5 - \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

दोनों को जोड़ने पर $\sqrt{3}$ वाले भाग कट जाते हैं, और $\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \times \sqrt{7}$ बचता है, जो $\sqrt{14}$ है। इससे तेज़ तरीका भी है। पूरे व्यंजक का वर्ग कीजिए, $(5 + \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{21}) + 2\sqrt{25 - 21} = 10 + 4 = 14$। तो योग $\sqrt{14}$ है।

प्रश्न 15

$\sqrt{10} + \sqrt{3}$ और $\sqrt{8} + \sqrt{5}$ में से कौन-सा बड़ा है?

उत्तर: दोनों में √ के नीचे की संख्याओं का योग 13 है। तो केवल गुणनफल देखने हैं, 10 × 3 = 30 और 8 × 5 = 40। 8 और 5 एक-दूसरे के ज़्यादा पास हैं, इसलिए उनका गुणनफल बड़ा है, और $\sqrt{8} + \sqrt{5}$ बड़ा है। वर्ग करके भी यही आता है, क्योंकि $13 + 2\sqrt{30}$ और $13 + 2\sqrt{40}$ में दूसरा बड़ा है।

प्रश्न 16

निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन-सा है? (a) $\sqrt{13} - \sqrt{11}$ (b) $\sqrt{11} - 3$ (c) $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ (d) $\sqrt{17} - \sqrt{15}$

उत्तर: 3 को $\sqrt{9}$ लिख दें, तो हर विकल्प दो वर्गमूलों का अंतर है, और हर बार √ के नीचे की संख्याओं में 2 का अंतर है। परिमेयकरण करने पर हर विकल्प 2 ÷ (उसके दोनों वर्गमूलों का योग) हो जाता है। जिसकी संख्याएँ सबसे छोटी हैं, उसके हर में योग सबसे छोटा होगा और मान सबसे बड़ा। तो उत्तर (c) $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ है।

प्रश्न 17

निम्नलिखित को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए: $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{3}$, $2\sqrt{11}$, $5\sqrt{2}$

उत्तर: मैंने बाहर की हर संख्या को वापस √ के नीचे लिखा। $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$, $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$, $2\sqrt{11} = \sqrt{44}$ और $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$। अब बस 44 < 45 < 48 < 50 देखना है। तो क्रम $2\sqrt{11}, 3\sqrt{5}, 4\sqrt{3}, 5\sqrt{2}$ है।

प्रश्न 18

$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{80} + \sqrt{81}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर पद में √ के नीचे की दोनों संख्याओं का अंतर 1 है, तो परिमेयकरण से हर 1 हो जाता है, $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$। पूरा लिखने पर $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{81} - \sqrt{80})$ आता है, और बीच का सब कट जाता है। बचता है $\sqrt{81} - 1$, यानी 9 − 1 = 8।

प्रश्न 19

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{47} + \sqrt{49}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस बार संख्याएँ 2-2 करके बढ़ रही हैं, तो हर पद $\frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}{2}$ हो जाता है। बीच के पद फिर भी कट जाते हैं, और $\frac{\sqrt{49} - \sqrt{3}}{2}$ बचता है। यानी योग $\frac{7 - \sqrt{3}}{2}$ है।

प्रश्न 20

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

$$\frac{1}{4 - \sqrt{15}} - \frac{1}{\sqrt{15} - \sqrt{14}} + \frac{1}{\sqrt{14} - \sqrt{13}} - \frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{12} - \sqrt{11}} - \frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$$

उत्तर: हर पद के हर में दो वर्गमूलों का अंतर है, और उनके नीचे की संख्याओं में 1 का अंतर है। 4 को $\sqrt{16}$ और 3 को $\sqrt{9}$ समझ लेते हैं। तो हर पद एक योग हो जाता है, $\frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$। व्यंजक $(4 + \sqrt{15}) - (\sqrt{15} + \sqrt{14}) + (\sqrt{14} + \sqrt{13}) - \cdots + (\sqrt{10} + 3)$ हो गया। बीच का हर वर्गमूल एक बार + के साथ आया और एक बार − के साथ, तो सब कट गए। पद 7 हैं, यानी विषम संख्या में, इसलिए दोनों सिरे धनात्मक बचे, 4 + 3 = 7।

प्रश्न 21

हल कीजिए: $\frac{\sqrt{10 + x} + \sqrt{10 - x}}{\sqrt{10 + x} - \sqrt{10 - x}} = 3$

उत्तर: यहाँ योगांतरानुपात लगाया। बाईं ओर (अंश + हर) ÷ (अंश − हर) करने पर $\frac{2\sqrt{10 + x}}{2\sqrt{10 - x}}$ आता है, और दाईं ओर $\frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$। यानी $\sqrt{10 + x} = 2\sqrt{10 - x}$। वर्ग करने पर 10 + x = 4(10 − x) = 40 − 4x, तो 5x = 30 और x = 6। 6 रखें तो $\sqrt{16} = 4$ और $\sqrt{4} = 2$ आते हैं, और $\frac{4 + 2}{4 - 2} = 3$ मिल जाता है। बना-बनाया सूत्र लगाएँ, तो $x = \frac{2ak}{k^2 + 1} = \frac{2 \times 10 \times 3}{10}$ से भी वही 6 आता है।

प्रश्न 22

हल कीजिए: $\sqrt{x + 12} + \sqrt{x} = 6$

उत्तर: भीतर की संख्याओं में 12 का अंतर है, और $(\sqrt{x + 12} + \sqrt{x})(\sqrt{x + 12} - \sqrt{x}) = 12$। योग 6 है, तो अंतर 12 ÷ 6 = 2 होगा। योग और अंतर जोड़ने पर $2\sqrt{x + 12} = 8$, यानी $\sqrt{x + 12} = 4$ और x = 4। जाँच भी तुरंत हो जाती है, $\sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$।