सर्वसमिकाओं से सरलीकरण और सन्निकटन

सर्वसमिका पहचानना

SSC में सरलीकरण के बहुत-से प्रश्न असल में किसी बीजीय सर्वसमिका (identity) पर ही बने होते हैं। बस उनमें अक्षरों की जगह असली संख्याएँ रखी होती हैं। सर्वसमिका पहचान में आ जाए, तो जिस गुणा में पूरा पन्ना भर जाता, वह एक पंक्ति में हो जाता है।

ज़रूरी सर्वसमिकाएँ नीचे की तालिका में हैं। इस खंड में $a$, $b$ और $c$ की जगह हमेशा कोई संख्या ही होगी, जैसे 4.7 या 997। अक्षरों के साथ इन्हीं सर्वसमिकाओं के प्रश्न और $x + \frac{1}{x}$ वाले सारे प्रश्न "बीजगणित" वाले अध्याय में आएँगे।

SSC इन्हें ऐसे छिपाता है। प्रश्न में सर्वसमिका सीधे-सीधे नहीं लिखी होती। उसे पहचानने के लिए ये चार बातें ध्यान में रखिए।

• वर्ग और घन गुणा के रूप में लिखे होते हैं। $4.7^2$ की जगह 4.7 × 4.7 लिखा मिलेगा, और $0.6^3$ की जगह 0.6 × 0.6 × 0.6।
• $2ab$ या $3ab$ वाला पद खोलकर लिखा होता है, जैसे 2 × 4.7 × 5.3। कभी-कभी इसका गुणा पहले ही करके केवल एक संख्या दे दी जाती है।
• दशमलवों के वर्ग और घन सीधे उनके मान के रूप में दिए होते हैं। $0.7^2$ की जगह 0.49 और $0.7^3$ की जगह 0.343 लिखा होगा।
• संख्याएँ ऐसी चुनी जाती हैं कि $a + b$ या $a - b$ कोई गोल संख्या हो, जैसे 1, 10 या 100।

यही आख़िरी बात असली संकेत है। प्रश्न की दो संख्याओं का योग या अंतर गोल आए, तो लगभग पक्का है कि पीछे कोई सर्वसमिका छिपी है।

जैसे 4.7 × 4.7 + 2 × 4.7 × 5.3 + 5.3 × 5.3 का मान निकालना है। यहाँ $a = 4.7$ और $b = 5.3$ लीजिए। तब यह व्यंजक $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ वाला ही है। 4.7 + 5.3 = 10, तो उत्तर 100 है। तीनों गुणा अलग-अलग करने बैठें, तो एक मिनट लग जाता है, और नतीजा फिर भी 100 ही आता है।

पूर्ण वर्ग और योग-अंतर जोड़ी

छिपे हुए पूर्ण वर्ग। प्रश्न में $a^2 + 2ab + b^2$ वाला रूप दिखे, तो उसे सीधे $(a + b)^2$ लिख दीजिए। इसी तरह $a^2 - 2ab + b^2$ की जगह $(a - b)^2$ लिखिए।

$$6.3^2 - 2 \times 6.3 \times 1.3 + 1.3^2 = (6.3 - 1.3)^2 = 5^2 = 25$$

कभी बीच वाला पद पहले से गुणा करके दिया होता है, जैसे $2.5^2 + 1.5^2 + 7.5$ में। तब देखिए कि 7.5, $2 \times 2.5 \times 1.5$ के बराबर है या नहीं। यहाँ बराबर है, तो उत्तर $(2.5 + 1.5)^2 = 16$ है।

लुप्त पद। कभी पूछा जाता है, "? के स्थान पर क्या आए कि $3.2^2$ + ? + $1.8^2$ पूर्ण वर्ग बन जाए?" यहाँ बीच वाला पद $2ab$ ही गायब है, जो 2 × 3.2 × 1.8 = 11.52 है। इसे रखने पर पूरा व्यंजक $(3.2 + 1.8)^2 = 25$ हो जाता है।

गोल संख्या के पास की संख्या का वर्ग। संख्या किसी गोल संख्या के पास हो, तो उसे उस गोल संख्या में थोड़ा जोड़कर या उसमें से थोड़ा घटाकर लिखिए। फिर सर्वसमिका लगा दीजिए।

• $1004^2 = (1000 + 4)^2$ = 10,00,000 + 8,000 + 16 = 10,08,016
• $9.98^2 = (10 - 0.02)^2$ = 100 − 0.4 + 0.0004 = 99.6004

वर्ग जल्दी निकालने की और तरकीबें "वर्ग, वर्गमूल और घनमूल" वाले खंड में हैं। यहाँ बस इतना देखना है कि लंबे व्यंजक के भीतर सर्वसमिका पहचान में आ जाए।

योग-अंतर जोड़ी। तालिका की सर्वसमिका 4 और 5 में $(a + b)^2$ और $(a - b)^2$ साथ-साथ आते हैं। इनसे भिन्न वाले ये दो रूप सीधे मिलते हैं।

$$\frac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{a^2 + b^2} = 2 \qquad \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} = 4$$

जैसे $\frac{(376 + 124)^2 - (376 - 124)^2}{376 \times 124} = 4$, और इसमें एक भी गुणा नहीं करना पड़ता। इसी तरह $\frac{(0.9 + 0.4)^2 + (0.9 - 0.4)^2}{0.9^2 + 0.4^2} = 2$।

यहाँ भिन्न का हर ध्यान से देखिए। "+" वाले रूप में हर $a^2 + b^2$ होता है और उत्तर 2 आता है। "−" वाले रूप में हर $ab$ होता है और उत्तर 4 आता है। अगर हर $2(a^2 + b^2)$ या $4ab$ हो, तो उत्तर 1 होगा।

दो और रूप। यही बात दो और तरह से भी लिखी जाती है।

$$(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2 \qquad (a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$$

जैसे $(5.6 + 4.4)^2 - 4 \times 5.6 \times 4.4 = (5.6 - 4.4)^2 = 1.2^2 = 1.44$।

वर्गों का अंतर

हिसाब वाले प्रश्नों में वर्गों के अंतर (difference of squares) वाली सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ बार-बार काम आती है। इसे दोनों दिशाओं में लगा सकते हैं, बाएँ से दाएँ भी और दाएँ से बाएँ भी।

दिशा 1. दो वर्गों का घटाव। यहाँ कुछ भी वर्ग करने की ज़रूरत नहीं है। बस दोनों संख्याओं को जोड़िए, घटाइए और दोनों नतीजों का गुणा कर दीजिए।

$$67^2 - 33^2 = (67 + 33)(67 - 33) = 100 \times 34 = 3400 \qquad 8.5^2 - 1.5^2 = 10 \times 7 = 70$$

अगर आगे $a - b$ या $a + b$ से भाग देना हो, तो उत्तर तुरंत मिल जाता है।

$$\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b \qquad \frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b$$

जैसे $\frac{8.6^2 - 3.4^2}{5.2}$ में 8.6 − 3.4 ठीक 5.2 है। इसलिए उत्तर सीधे 8.6 + 3.4 = 12 है।

दिशा 2. बराबर दूरी वाली संख्याओं का गुणा। दो संख्याएँ किसी गोल संख्या से बराबर दूरी पर हों, एक ऊपर और एक नीचे, तो $(m + d)(m - d) = m^2 - d^2$ लगाइए। यहाँ $m$ बीच की संख्या है और $d$ दूरी।

बीच की संख्या 100 या 1000 ही हो, यह ज़रूरी नहीं। जिसका वर्ग आसानी से निकल आए, वही चलेगी। जैसे 32 × 28 = 900 − 4 = 896।

कोष्ठकों की कड़ी। $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ होता है। फिर $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4$, और आगे भी कड़ी इसी तरह चलती है। $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)$ जैसा गुणनफल दिखे, तो उसे $(2 - 1)$ से गुणा कर दीजिए। यह तो बस 1 है, इसलिए मान नहीं बदलता, पर कोष्ठक एक-एक करके सिमटने लगते हैं।

$$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) = (2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1 = 255$$

यहाँ अक्सर गलती होती है। आधार 2 न हो, तो जिस कोष्ठक से गुणा करते हैं, उसका मान 1 नहीं होता। आधार 3 हो, तो कड़ी समेटने के लिए $(3 - 1) = 2$ से गुणा करना पड़ता है, इसलिए अंत में उत्तर को आधा करना न भूलिए। आधार 5 हो, तो अंत में 4 से भाग दीजिए।

[SSC टिप] दो संख्याओं का योग गोल हो और वे वर्ग के रूप में आएँ, तो यह $a^2 - b^2$ का पक्का संकेत है। दो संख्याएँ किसी गोल संख्या से बराबर दूरी पर हों और आपस में गुणा हो रही हों, तब भी यही सर्वसमिका लगती है, बस उलटी ओर से।

आधार विधि से गुणा

दोनों संख्याएँ 10 की एक ही घात के पास हों, पर उससे बराबर दूरी पर न हों, तो आधार विधि (base method) लगाइए। असल में यह $(B + x)(B + y) = B(B + x + y) + xy$ वाली सर्वसमिका ही है, जिसे छोटे ढंग से लिखा जाता है। तरीका यह है।

1. हर संख्या की आधार से दूरी लिखिए। संख्या आधार से ऊपर हो तो दूरी + होगी, नीचे हो तो −।
2. बायाँ भाग निकालने के लिए किसी एक संख्या में दूसरी संख्या की दूरी जोड़िए। किसी भी संख्या से शुरू कीजिए, नतीजा वही आएगा।
3. दायाँ भाग दोनों दूरियों का गुणनफल होता है। इसमें उतने अंक होने चाहिए जितने आधार में शून्य हैं।
4. दोनों भागों को अगल-बगल लिख दीजिए।

आगे शून्य लगाना और हासिल। आधार 1000 हो, तो दायाँ भाग तीन अंकों का होना चाहिए। इसीलिए ऊपर 44 को 044 लिखा है। दाएँ भाग में अंक ज़्यादा हो जाएँ, तो जो अंक ज़्यादा है, उसे हासिल मानकर बाएँ भाग में जोड़ दीजिए। जैसे 88 × 87 में दूरियाँ −12 और −13 हैं। बायाँ भाग 75 आता है और दायाँ भाग 156। आधार 100 है, तो दाएँ भाग में केवल दो अंक रह सकते हैं। 156 का 1 हासिल के रूप में बाएँ भाग में जाएगा, तो बायाँ भाग 75 + 1 = 76 हुआ, और उत्तर 7,656 है।

एक ऊपर, एक नीचे। एक संख्या आधार से ऊपर हो और दूसरी नीचे, तो दायाँ भाग ऋणात्मक आता है, और उसे घटाना पड़ता है। जैसे 104 × 97 में दूरियाँ +4 और −3 हैं। बायाँ भाग 104 − 3 = 101 है। आधार 100 है, तो इसका मतलब 10,100 हुआ। दायाँ भाग −12 है, तो उत्तर 10,100 − 12 = 10,088 है।

दशमलव। दशमलव बिंदु हटाकर गुणा कीजिए और अंत में बिंदु वापस लगा दीजिए। जैसे 9.8 × 9.7 के लिए 98 × 97 कीजिए। बायाँ भाग 95 और दायाँ भाग 06 आता है, तो 9506 मिला। दोनों संख्याओं में कुल दो दशमलव स्थान हैं, इसलिए उत्तर 95.06 है।

दोनों दूरियाँ बराबर हों पर चिह्न उलटे हों, जैसे 98 × 102 में, तो आधार विधि से वही नतीजा आता है जो $a^2 - b^2$ से आता है, यानी 10,000 − 4 = 9,996।

"? के स्थान पर क्या आएगा" वाले प्रश्नों में अक्सर लंबे व्यंजक के भीतर 100 या 1000 के पास का कोई गुणनफल होता है। वहाँ यह विधि बहुत काम आती है।

उत्तर की जाँच इकाई अंक से कर लीजिए। 96 × 89 का उत्तर 4 पर ही ख़त्म होना चाहिए, क्योंकि 6 × 9 = 54।

दशमलवों के साथ घन सर्वसमिकाएँ

पूरा घन। याद कीजिए कि $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ होता है। SSC में अक्सर ऐसी संख्याएँ दी जाती हैं जिनमें $a + b = 1$ हो। तब आख़िरी पद में $(a + b)$ लिखा ही नहीं जाता, क्योंकि वह 1 है।

$$0.62^3 + 0.38^3 + 3 \times 0.62 \times 0.38 = (0.62 + 0.38)^3 = 1$$

अगर $a + b = 2$ हो, तो आख़िरी पद में × 2 भी होना चाहिए। जैसे $1.3^3 + 0.7^3 + 3 \times 1.3 \times 0.7 \times 2 = 2^3 = 8$। प्रश्न में यह × 2 न हो, तो व्यंजक पूरा घन नहीं है। इसलिए पद ध्यान से पढ़िए।

ऋण वाला रूप भी ऐसे ही चलता है, $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3$। जैसे $1.6^3 - 0.6^3 - 3 \times 1.6 \times 0.6 = 1^3 = 1$, क्योंकि यहाँ $a - b = 1$ है।

घनों का योग या अंतर। घनों के योग या अंतर को उसकी जोड़ी वाले कोष्ठक से भाग दिया गया हो, तो उत्तर सीधे मिल जाता है।

$$\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b \qquad \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$$

$$\frac{7.3^3 + 2.7^3}{7.3^2 - 7.3 \times 2.7 + 2.7^2} = 7.3 + 2.7 = 10 \qquad \frac{2.4^3 - 1.4^3}{2.4^2 + 2.4 \times 1.4 + 1.4^2} = 2.4 - 1.4 = 1$$

यहाँ चिह्नों की जोड़ी याद रखिए। $a^3 + b^3$ में धन है, तो उसके साथ $a^2 - ab + b^2$ वाला कोष्ठक आता है, जिसके बीच में ऋण है। घनों के अंतर में इसका उलटा होता है। हर में दूसरा कोष्ठक हो, तो कोई शॉर्टकट नहीं लगता।

मान के रूप में दिए घन और वर्ग। 0.1 से 0.9 तक के घन याद कर लीजिए, ताकि प्रश्न के भीतर दिखते ही पहचान में आ जाएँ।

जैसे $\frac{0.343 + 0.125}{0.49 - 0.35 + 0.25}$ देखिए। यह $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$ ही है, जहाँ $a = 0.7$ और $b = 0.5$ हैं। बीच वाला 0.35 भी 0.7 × 0.5 ही है। तो उत्तर 0.7 + 0.5 = 1.2 है।

हर जोड़ी में एक ही गुना। कभी ऊपर की हर संख्या, नीचे वाली अपनी जोड़ीदार संख्या की $k$ गुनी होती है, और यह गुना हर जोड़ी में एक ही रहता है। तब घनों के योगों का अनुपात $k^3$ होता है। वर्गों के योग हों, तो अनुपात $k^2$ होगा।

$$\frac{0.24^3 + 0.08^3}{0.6^3 + 0.2^3} = 0.4^3 = 0.064$$

ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि 0.24 = 0.4 × 0.6 और 0.08 = 0.4 × 0.2 है। तो अंश $0.4^3 \times (0.6^3 + 0.2^3)$ के बराबर है, और कोष्ठक हर से कट जाता है।

[Tier 2] चौथी घात वाली सर्वसमिका। इन्हीं से मिलती-जुलती एक सर्वसमिका चौथी घात की भी है, $a^4 + a^2 b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$। जैसे $\frac{3^4 + 3^2 \times 2^2 + 2^4}{3^2 + 3 \times 2 + 2^2} = 3^2 - 3 \times 2 + 2^2 = 7$। जाँच कर लीजिए, 133 ÷ 19 = 7।

तीन संख्याएँ: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

तीन संख्याओं वाली यह सर्वसमिका याद रखिए।

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

दूसरे कोष्ठक को एक आसान रूप में भी लिख सकते हैं। हिसाब लगाने में यही रूप सरल पड़ता है।

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$$

स्थिति 1. तीनों संख्याओं का योग 0 हो। तब पहला कोष्ठक 0 हो जाता है, इसलिए पूरा दायाँ पक्ष भी 0 है। बस इतना बचता है।

$$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$

यह स्थिति आसानी से पहचान में आती है। तीन संख्याओं में से एक, बाकी दोनों के योग के बराबर हो पर ऋण चिह्न के साथ, तो तीनों का योग 0 होगा। एक उदाहरण देखिए।

$$\frac{0.5^3 + 0.4^3 - 0.9^3}{3 \times 0.5 \times 0.4 \times 0.9}$$

यहाँ $a = 0.5$, $b = 0.4$ और $c = -0.9$ लीजिए। इनका योग 0 है, तो अंश $3abc = 3 \times 0.5 \times 0.4 \times (-0.9)$ है। हर में भी यही संख्याएँ हैं, बस ऋण चिह्न नहीं है। इसलिए उत्तर $-1$ है।

यहाँ दो बातों का ध्यान रखिए। पहली, ऋण चिह्न इसलिए आया, क्योंकि $c$ ऋणात्मक है। दूसरी, उत्तर −1 तभी आता है जब हर में 3 भी हो। अगर हर केवल 0.5 × 0.4 × 0.9 होता, तो उत्तर $-3$ आता।

यही बात अंतरों पर भी लागू होती है, क्योंकि $(x - y) + (y - z) + (z - x)$ हमेशा 0 होता है।

$$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)$$

जैसे $x = 5$, $y = 2$ और $z = 9$ लीजिए। तब बायाँ पक्ष $3^3 + (-7)^3 + 4^3$ = 27 − 343 + 64 = −252 है। दायाँ पक्ष 3 × 3 × (−7) × 4 भी −252 ही आता है।

स्थिति 2. तीन पास-पास की संख्याएँ। यहाँ दूसरे कोष्ठक का वह आसान रूप काम आता है, जिसमें अंतरों के वर्ग जोड़कर आधा करते हैं। जैसे 41, 42 और 43 में अंतर 1, 1 और 2 हैं। तो दूसरा कोष्ठक (1 + 1 + 4) का आधा, यानी 3 है। संख्याओं का योग 126 है। इसलिए $41^3 + 42^3 + 43^3 - 3 \times 41 \times 42 \times 43$ = 126 × 3 = 378।

स्थिति 3. लंबा कोष्ठक हर में हो। तब उत्तर सीधे तीनों संख्याओं का योग होता है।

$$\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} = a + b + c$$

स्थिति 4. तीनों संख्याएँ बराबर हों। अगर $a = b = c$ हो, तो पूरा व्यंजक 0 होता है।

तीन संख्याओं के योग का वर्ग। यह सर्वसमिका भी याद रखिए, $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$। जैसे $2.3^2 + 1.4^2 + 0.3^2 + 2(2.3 \times 1.4 + 1.4 \times 0.3 + 0.3 \times 2.3)$ देखने में लंबा लगता है, पर यह बस $(2.3 + 1.4 + 0.3)^2 = 4^2 = 16$ है।

सन्निकटन: "का निकटतम मान"

प्रश्न में "लगभग" या "का निकटतम मान" लिखा हो, तो समझ लीजिए कि सटीक उत्तर कोई अटपटी-सी संख्या है। ऐसे प्रश्न सन्निकटन (approximation) के होते हैं। इनमें विकल्प अक्सर इतने दूर-दूर होते हैं कि संख्याएँ गोल करने से ही उत्तर मिल जाता है। सटीक मान निकालने बैठेंगे, तो बस समय बर्बाद होगा।

कदम 1. पहले विकल्प देखिए। विकल्प 380, 400, 420, 440 हों, तो इतना ध्यान से गोल करना होगा कि आपका अनुमान सही मान से लगभग 10 से ज़्यादा दूर न जाए। विकल्प 200, 400, 600, 800 हों, तो मोटे तौर पर गोल करना काफ़ी है।

कदम 2. हर संख्या को आसान संख्या में गोल कीजिए। इसमें ये चार बातें काम आती हैं।

• दशमलव वाली संख्या को निकटतम पूर्ण या गोल संख्या कर दीजिए। जैसे 39.97 को 40, 4.98 को 5 और 124.98 को 125।
• प्रतिशत को आसान भिन्न में बदलिए। 19.97% को 20% यानी $\frac{1}{5}$ मान लीजिए, 33.4% को $\frac{1}{3}$ और 12.4% को $\frac{1}{8}$।
• वर्गमूल के लिए निकटतम पूर्ण वर्ग लीजिए। जैसे $\sqrt{168} \approx \sqrt{169} = 13$ और $\sqrt{401} \approx 20$।
• अटपटी भिन्नों की जगह उनके जाने-पहचाने दशमलव रखिए, जैसे $\frac{1}{7} \approx 0.143$ और $\frac{2}{3} \approx 0.667$।

कदम 3. गोल करने की दिशा पर ध्यान दीजिए। गुणा में एक संख्या ऊपर और दूसरी नीचे गोल की हो, तो दोनों का असर कुछ हद तक आपस में कट जाता है। भाग में यही बात तब होती है, जब अंश और हर दोनों एक ही दिशा में गोल किए हों। पर गुणा में सारी संख्याएँ ऊपर गोल कर दीं, तो असली उत्तर आपके उत्तर से थोड़ा कम होगा।

उदाहरण के लिए $39.97 \times 5.02 + 15.03^2 - 124.98 \div 4.99$ लीजिए। गोल करने पर 40 × 5 + $15^2$ − 125 ÷ 5 = 200 + 225 − 25 = 400 आता है। सटीक मान लगभग 401.5 है, तो निकटतम विकल्प 400 ही है।

जब बदलाव बहुत छोटा हो। $x$ कोई छोटी संख्या हो, जैसे 0.01 या 0.02, तो ये तीन बातें काम आती हैं।

• $(1 + x)^2 \approx 1 + 2x$ होता है। जैसे $1.02^2 \approx 1.04$, जबकि सटीक मान 1.0404 है।
• $\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x$ होता है। जैसे $\frac{1}{0.98} \approx 1.02$।
• $\sqrt{n^2 + d} \approx n + \frac{d}{2n}$ होता है, जब $d$ छोटा हो। जैसे $\sqrt{50} \approx 7 + \frac{1}{14} \approx 7.07$।

मोटे तौर पर वर्गमूल निकालने का तरीका "वर्ग, वर्गमूल और घनमूल" वाले खंड में विस्तार से दिया है।

कदम 4. यहाँ भी सर्वसमिकाएँ देखिए। 49.9 × 50.1 को $50^2 - 0.1^2$ लिख सकते हैं, जो 2500 से ज़रा-सा कम है। सन्निकटन वाले प्रश्न में भी अक्सर कोई सटीक शॉर्टकट छिपा होता है।

[SSC टिप] दो विकल्प पास-पास हों, जैसे 398 और 412, तो संख्याओं को बहुत ज़्यादा गोल न कीजिए। सबसे बड़े पद में एक दशमलव स्थान रहने दीजिए, क्योंकि ज़्यादातर गलती उसी पद से आती है। ऊपर वाले उदाहरण में 15.03 को 15 कर देने से $15.03^2$ लगभग 1 बदल जाता है, जबकि भाजक में 4.99 को 5 करने से लगभग कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

अंक-योग से उत्तर की जाँच

अंक-योग (digit sum) की मदद से गुणनफल वाले विकल्प गुणा किए बिना ही हटाए जा सकते हैं। सरलीकरण के प्रश्नों में लगभग हर कदम पर यह जाँच काम आती है, और इसमें कुछ सेकंड ही लगते हैं।

अंक-योग निकालना। किसी संख्या के अंक जोड़ते जाइए, जब तक एक ही अंक न बच जाए। 9 को 0 मान लीजिए। जैसे 7,846 के अंकों का योग 25 है, और 25 से 7 मिलता है।

यह इसलिए चलता है, क्योंकि किसी संख्या और उसके अंक-योग को 9 से भाग दें, तो शेषफल एक ही आता है। नीचे के नियम इसी से निकलते हैं।

नियम। अलग-अलग क्रियाओं में अंक-योग ऐसे लगाते हैं।

• जोड़ में संख्याओं के अंक-योग जोड़ दीजिए और नतीजे को एक अंक तक ले आइए। उत्तर का अंक-योग यही होना चाहिए।
• घटाव में भी यही होता है, बस जोड़ने की जगह घटाइए। ऋणात्मक आए, तो 9 जोड़ दीजिए।
• गुणा में अंक-योगों का गुणा कीजिए, फिर उसे एक अंक तक ले आइए।
• वर्ग और घन में अंक-योग का वर्ग या घन लीजिए, फिर एक अंक तक ले आइए।
• भाग में अंक-योगों का भाग नहीं चलता। इसकी जगह भाजक × भागफल (+ शेषफल) = भाज्य से जाँच कीजिए।

दशमलव। दशमलव बिंदु खिसकाने से संख्या में बस 10 की किसी घात का गुणा हो जाता है, इसलिए अंक-योग नहीं बदलता। 3.86 × 2.7 को 386 × 27 की तरह जाँचिए। पर बिंदु सही जगह है या नहीं, यह दशमलव स्थान अलग से गिनकर ही पता चलेगा।

मान लीजिए तय करना है कि 738 × 46 का उत्तर 33,848 है या 33,948। दोनों के अंत में 8 है, तो इकाई अंक से कोई मदद नहीं मिलती। 738 के अंकों का योग 18 है, उससे 9 आता है, जिसे 0 मानते हैं। तो 46 से गुणा करने पर भी गुणनफल का अंक-योग 0, यानी 9 ही रहेगा। 33,948 के अंकों का योग 27 है, यानी 9, तो यह ठीक है। 33,848 का योग 26 है, यानी 8, तो यह नहीं हो सकता। उत्तर 33,948 है।

पूरे व्यंजक पर। मान लीजिए 12,000 − 457 × 23 का उत्तर आपने 1,489 निकाला। जाँच ऐसे कीजिए। 12,000 का अंक-योग 3 है। 457 का 7 है और 23 का 5, तो 457 × 23 के लिए 7 × 5 = 35, जिससे 8 आता है। अब 3 − 8 = −5, और इसमें 9 जोड़ने पर 4। उधर 1,489 के अंकों का योग 22 है, जिससे भी 4 आता है। दोनों मेल खाते हैं, तो उत्तर लगभग पक्का सही है।

अंक-योग की सीमा। तीन तरह की गलतियाँ इससे पकड़ में नहीं आतीं।

• दो अंकों की अदला-बदली। 33,948 और 39,348 का अंक-योग एक ही है।
• कोई 0 या 9 छूट जाए या ज़्यादा लग जाए।
• दशमलव बिंदु गलत जगह लग जाए।

दो विकल्पों का अंक-योग एक ही आए, तो इकाई अंक देखिए, या मोटा अंदाज़ा लगाइए कि उत्तर कितना बड़ा होना चाहिए। याद रखिए, अंक-योग का काम बस गलत विकल्प हटाना है। इसे आख़िर में जाँच के लिए लगाइए, हल करने के पहले तरीके के रूप में नहीं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

$3.68 \times 3.68 + 2 \times 3.68 \times 1.32 + 1.32 \times 1.32$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इसमें तीन पद हैं और बीच वाले में 2 है, तो यह पूर्ण वर्ग लगता है। $a = 3.68$ और $b = 1.32$ ले लेते हैं। तब यह व्यंजक $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ है। 3.68 + 1.32 = 5 आता है, इसलिए मान $5^2$ = 25 है।

प्रश्न 2

लंबा गुणा किए बिना $997^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 997 तो 1000 से बस 3 कम है। इसलिए इसे 1000 − 3 लिखकर $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ लगा देते हैं। तब मान 10,00,000 − 2 × 1000 × 3 + 9 = 10,00,000 − 6,000 + 9 = 9,94,009 आता है।

प्रश्न 3

$\frac{(0.87 + 0.13)^2 + (0.87 - 0.13)^2}{0.87^2 + 0.13^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंश $(a + b)^2 + (a - b)^2$ के रूप में है, जो हमेशा $2(a^2 + b^2)$ होता है। हर ठीक $a^2 + b^2$ है। इसलिए उत्तर 2 है, $a$ और $b$ कुछ भी हों। चाहें तो संख्याओं से भी जाँच लीजिए। अंश 1 + 0.5476 = 1.5476 आता है और हर 0.7569 + 0.0169 = 0.7738, और 1.5476 ÷ 0.7738 = 2 ही है।

प्रश्न 4

98.5 × 101.5 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों संख्याएँ 100 से 1.5 दूर हैं, एक नीचे और एक ऊपर। तो गुणनफल $(100 - 1.5)(100 + 1.5) = 100^2 - 1.5^2$ है, यानी 10,000 − 2.25 = 9,997.75।

प्रश्न 5

$\frac{7.65^2 - 2.35^2}{5.3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे पहले ध्यान जाता है कि 7.65 − 2.35 = 5.3 है, जो ठीक हर के बराबर है। अंश $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ है, और इसे $a - b$ से भाग देने पर $a + b$ बचता है। तो उत्तर 7.65 + 2.35 = 10 है।

प्रश्न 6

आधार विधि से 97 × 94 और 1006 × 1013 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले 97 × 94 लेते हैं। आधार 100 है और दूरियाँ −3 और −6 हैं। बायाँ भाग 97 − 6 = 91 है, और दायाँ भाग (−3) × (−6) = 18। इसमें दो ही अंक हैं, जितने चाहिए, तो 97 × 94 = 9,118।

अब 1006 × 1013 लेते हैं। आधार 1000 है और दूरियाँ +6 और +13 हैं। बायाँ भाग 1006 + 13 = 1019 है, और दायाँ भाग 6 × 13 = 78। आधार 1000 है, तो दाएँ भाग में तीन अंक चाहिए, इसलिए 078 लिखेंगे। तो 1006 × 1013 = 10,19,078।

प्रश्न 7

$\frac{6.8^3 + 3.2^3}{6.8^2 - 6.8 \times 3.2 + 3.2^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंश $a^3 + b^3$ है और हर $a^2 - ab + b^2$, जहाँ $a = 6.8$ और $b = 3.2$ है। हम जानते हैं कि $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ होता है। तो पूरी भिन्न में बस $a + b$ बचता है, यानी 6.8 + 3.2 = 10।

प्रश्न 8

$\frac{0.85^3 - 0.35^3}{0.85^2 + 0.85 \times 0.35 + 0.35^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस बार अंश में $a^3 - b^3$ है और हर में $a^2 + ab + b^2$। अंश में ऋण है और कोष्ठक में धन, तो जोड़ी सही है। इसलिए भिन्न का मान $a - b$ है, यानी 0.85 − 0.35 = 0.5।

प्रश्न 9

$0.64^3 + 0.36^3 + 3 \times 0.64 \times 0.36$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ 0.64 + 0.36 = 1 है, और यही संकेत है। पूरा घन $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ होता है। यहाँ $a + b = 1$ है, तो आख़िरी पद बस $3ab$ रह जाता है। इसलिए व्यंजक $(0.64 + 0.36)^3 = 1^3$ = 1 है।

प्रश्न 10

$\frac{0.08^3 + 0.06^3}{0.4^3 + 0.3^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ऊपर और नीचे की संख्याओं को आपस में मिलाकर देखते हैं। 0.08 = 0.2 × 0.4 और 0.06 = 0.2 × 0.3, यानी ऊपर की हर संख्या नीचे वाली अपनी जोड़ीदार संख्या की 0.2 गुनी है। घन लेने पर ऊपर का हर घन, नीचे वाले घन का $0.2^3$ गुना हो जाता है। इसलिए पूरी भिन्न का मान $0.2^3$ = 0.008 है।

प्रश्न 11

$\frac{0.512 - 0.027}{0.64 + 0.24 + 0.09}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले जाने-पहचाने घन और वर्ग ढूँढ लेते हैं। 0.512 = $0.8^3$ और 0.027 = $0.3^3$ है। हर में 0.64 = $0.8^2$, 0.09 = $0.3^2$, और 0.24 = 0.8 × 0.3 है। यानी यह $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ है, जहाँ $a = 0.8$ और $b = 0.3$। इसका मान $a - b$ होता है, जो 0.8 − 0.3 = 0.5 है।

प्रश्न 12

$\frac{0.5^3 + 0.2^3 - 0.7^3}{0.5 \times 0.2 \times 0.7}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a = 0.5$, $b = 0.2$ और $c = -0.7$ ले लेते हैं। इनका योग 0 है, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होगा। यानी अंश $3 \times 0.5 \times 0.2 \times (-0.7)$ है। हर में न 3 है, न ऋण चिह्न, इसलिए उत्तर $-3$ है।

प्रश्न 13

$101^3 + 102^3 + 103^3 - 3 \times 101 \times 102 \times 103$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यह $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ वाला रूप है। इसका मान (संख्याओं का योग) × (अंतरों के वर्गों के योग का आधा) होता है। अंतर 1, 1 और 2 हैं, तो दूसरा भाग (1 + 1 + 4) का आधा, यानी 3 है। संख्याओं का योग 101 + 102 + 103 = 306 है। इसलिए मान 306 × 3 = 918 है।

प्रश्न 14

$(47 - 32)^3 + (32 - 19)^3 + (19 - 47)^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों कोष्ठक 15, 13 और −28 हैं, और इनका योग 0 है। इस पैटर्न में योग हमेशा 0 ही आता है। तो घनों का योग उनके गुणनफल का 3 गुना होगा, यानी 3 × 15 × 13 × (−28) = −16,380।

प्रश्न 15

$(3.79 + 2.21)^2 - 4 \times 3.79 \times 2.21$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$ लगता है। $a - b$ = 3.79 − 2.21 = 1.58, तो उत्तर $1.58^2$ है। यह वर्ग जल्दी निकालने के लिए इसे $(1.6 - 0.02)^2$ लिख लेते हैं। तब 2.56 − 0.064 + 0.0004 = 2.4964 आता है।

प्रश्न 16

$(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पूरे गुणनफल को $(3 - 1)$ से गुणा कर देते हैं। अब कोष्ठक एक के बाद एक सिमटते जाते हैं। $(3 - 1)(3 + 1) = 3^2 - 1$, फिर $(3^2 - 1)(3^2 + 1) = 3^4 - 1$, और फिर $(3^4 - 1)(3^4 + 1) = 3^8 - 1$, जो 6560 है। पर यहाँ तक पहुँचने के लिए हमने 2 से गुणा किया था, इसलिए अंत में आधा करना होगा। 6560 ÷ 2 = 3280। सीधे गुणा करके भी जाँच सकते हैं, 4 × 10 × 82 = 3280।

प्रश्न 17

29.97 × 40.02 ÷ 5.99 का निकटतम मान क्या है? (a) 180 (b) 200 (c) 220 (d) 240

उत्तर: गोल करने पर 30 × 40 ÷ 6 = 1200 ÷ 6 = 200 आता है। विकल्पों में 20 का अंतर है, तो इतना गोल करना आराम से काफ़ी है। उत्तर (b) 200 है।

प्रश्न 18

निम्नलिखित का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए: $\sqrt{325} \times 4.98$ + 501 का 19.8% (a) 190 (b) 210 (c) 230 (d) 250

उत्तर: $\sqrt{325}$ का मान $\sqrt{324} = 18$ से ज़रा ऊपर है। तो पहला भाग लगभग 18 × 5 = 90 है। 501 का 19.8% लगभग 500 का 20% है, यानी 100। कुल लगभग 190 हुआ, तो उत्तर (a) 190 है। सटीक मान लगभग 189 आता है।

प्रश्न 19

$15.02^2 + 7.98 \times 12.03 - \sqrt{399}$ का निकटतम मान क्या है? (a) 280 (b) 290 (c) 300 (d) 310

उत्तर: $15^2$ = 225 है, और 8 × 12 = 96। $\sqrt{399}$ का मान $\sqrt{400} = 20$ से ज़रा कम है। तो कुल लगभग 225 + 96 − 20 = 301 हुआ। विकल्पों में केवल 10 का अंतर है, फिर भी 301 साफ़ तौर पर (c) 300 के सबसे पास है।

प्रश्न 20

4,876 × 239 = ? (a) 11,65,264 (b) 11,65,364 (c) 11,65,354 (d) 11,66,364

उत्तर: चारों विकल्पों के अंत में 4 है, क्योंकि 6 × 9 = 54। तो इकाई अंक से मदद नहीं मिलेगी, अंक-योग लगाना होगा। 4876 के अंकों का योग 4 + 8 + 7 + 6 = 25 है, जिससे 7 आता है। 239 से 14 आता है, यानी 5। तो गुणनफल का अंक-योग 7 × 5 = 35, यानी 8 होना चाहिए। अब विकल्प देखिए। (a) का अंक-योग 25 से 7 है, (b) का 26 से 8, (c) का 25 से 7, और (d) का 27 से 9। अंक-योग 8 केवल (b) 11,65,364 का है।

प्रश्न 21

8,46,264 ÷ 74 = ? (a) 11,446 (b) 11,426 (c) 11,436 (d) 11,336

उत्तर: चारों के अंत में 6 है, तो इकाई अंक से ये अलग नहीं होते। भाग में अंक-योग सीधे नहीं चलता, इसलिए उलटा गुणा करके जाँचते हैं। 846264 के अंकों का योग 30 है, यानी 3। 74 से 11 आता है, यानी 2। तो 2 × (उत्तर का अंक-योग) को एक अंक तक लाने पर 3 आना चाहिए।

अब विकल्प जाँचिए। (a) 11446 का अंक-योग 7 है, और 2 × 7 = 14, यानी 5। (b) 11426 का 5 है, और 2 × 5 = 10, यानी 1। (c) 11436 का 6 है, और 2 × 6 = 12, यानी 3। (d) 11336 का भी 5 है, तो फिर से 1 आता है। केवल (c) 11,436 ठीक है।