वर्ग, वर्गमूल और घनमूल

वर्ग, घन, वर्गमूल और घनमूल ज़बानी याद रखिए

SSC में वर्गमूल (square root) और घनमूल (cube root) के प्रश्न कुछ गिनी-चुनी संख्याओं पर ही बनते हैं। अगर 30 तक के वर्ग और 20 तक के घन आपको ज़बानी याद हैं, तो $\sqrt[3]{0.004913}$ या $\sqrt{218 + \sqrt{37 + \sqrt{144}}}$ जैसा प्रश्न कुछ ही सेकंड में हो जाता है।

ये वर्ग याद कर लीजिए।

और ये घन।

याद रखने लायक वर्गमूल

अनुमान लगाते समय दो घनमूल भी बहुत काम आते हैं, $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$ और $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$।

वर्गमूल के चिह्न का अर्थ। $\sqrt{49}$ का मतलब केवल धनात्मक वर्गमूल है, यानी 7। समीकरण $x^2 = 49$ के दो हल होते हैं, 7 और −7। पर जब केवल वर्गमूल का चिह्न लगा हो, तो उसका मतलब हमेशा धनात्मक वर्गमूल ही होता है। इसीलिए $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$ होता है, −6 नहीं।

घनमूल में संख्या का चिह्न बना रहता है, जैसे $\sqrt[3]{-64} = -4$। और ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल तो वास्तविक संख्याओं में मिलता ही नहीं।

वर्गों की एक जाँच। $n^2$ और $(50 - n)^2$ के आख़िरी दो अंक एक जैसे होते हैं। $n^2$ और $(100 - n)^2$ के भी। जैसे $23^2 = 529$ और $27^2 = 729$, दोनों के अंत में 29 है। इसी तरह $18^2 = 324$ और $82^2 = 6724$, दोनों के अंत में 24 है। अभी-अभी कोई वर्ग निकाला हो, तो इससे उसकी झटपट जाँच हो जाती है।

वर्ग जल्दी निकालने के तरीके

अंत में 5 वाली संख्याएँ। 5 से पहले वाले भाग को उससे अगली संख्या से गुणा कीजिए और उसके बाद 25 लिख दीजिए। जैसे $65^2$ में 6 × 7 = 42, तो वर्ग 4225 हुआ। $105^2$ में 10 × 11 = 110, तो वर्ग 11025 है। दशमलव के बाद 5 हो, तब भी यही चलता है। $7.5^2$ = 56.25, क्योंकि 7 × 8 = 56।

50 के पास की संख्याएँ। यहाँ $(50 + d)^2 = 2500 + 100d + d^2$ काम आता है। मतलब पहले 25 + d लिखिए और उसके बाद $d^2$ को दो अंकों में।

• $53^2$ में 25 + 3 = 28 और $3^2$ = 09, तो वर्ग 2809 है।
• $46^2$ में 25 − 4 = 21 और $4^2$ = 16, तो वर्ग 2116 है।
• $62^2$ में 25 + 12 = 37 और $12^2$ = 144। पर अंत में जगह दो ही अंकों की है, इसलिए 144 का 1, 37 में जुड़ जाएगा। यानी 3700 + 144 = 3844।

100 के पास की संख्याएँ। यहाँ $(100 + d)^2 = 10000 + 200d + d^2$ लगता है। पहले संख्या में d जोड़िए, फिर उसके बाद $d^2$ दो अंकों में लिख दीजिए। संख्या 100 से छोटी हो, तो d ऋणात्मक होगा, यानी जोड़ने की जगह घटाना है।

• $104^2$ में 104 + 4 = 108 और $4^2$ = 16, तो वर्ग 10816 है।
• $97^2$ में 97 − 3 = 94 और $3^2$ = 09, तो वर्ग 9409 है।
• $112^2$ में 112 + 12 = 124 और $12^2$ = 144, तो 12400 + 144 = 12544।
• $89^2$ में 89 − 11 = 78 और $11^2$ = 121, तो 7800 + 121 = 7921।

1000 के पास की संख्याएँ। तरीका वही है, बस अंत में तीन अंक लिखने होते हैं। $996^2$ में संख्या 1000 से 4 कम है। 4 घटाकर 992 लिखिए और उसके बाद 4 का वर्ग तीन अंकों में, यानी 016। वर्ग 9,92,016 हुआ। $1007^2$ में 7 जोड़कर 1014 लिखिए, फिर 7 का वर्ग तीन अंकों में, यानी 049। वर्ग 10,14,049 है।

कोई भी दूसरी संख्या। संख्या को एक गोल संख्या और एक छोटी संख्या में तोड़ लीजिए। फिर $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ लगाइए।

• $67^2 = (70 - 3)^2$ = 4900 − 420 + 9 = 4489
• $312^2 = (300 + 12)^2$ = 90000 + 7200 + 144 = 97,344

दशमलव वाली संख्याएँ। दशमलव बिंदु हटाकर अंकों का वर्ग निकाल लीजिए। उत्तर में दशमलव स्थान दोगुने हो जाएँगे। जैसे $1.3^2$ = 1.69, $0.07^2$ = 0.0049 और $2.05^2$ = 4.2025।

50 या 100 के दोनों ओर की जोड़ियाँ। ऐसी जोड़ी के वर्गों का योग सीधे निकल आता है, $(50 - d)^2 + (50 + d)^2 = 5000 + 2d^2$। जैसे $47^2 + 53^2$ में दोनों संख्याएँ 50 से 3 दूर हैं, तो योग 5000 + 18 = 5018 है। दोनों में से किसी का भी वर्ग अलग से नहीं निकालना पड़ा। जोड़ी 100 के आसपास हो, तो $20000 + 2d^2$ लगाइए।

घन जल्दी निकालना, वर्गों और घनों का योग

दो अंकों वाली संख्या का घन। संख्या को दो भागों में तोड़िए और $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ लगाइए। जैसे

$$23^3 = 8000 + 3 \times 400 \times 3 + 3 \times 20 \times 9 + 27 = 8000 + 3600 + 540 + 27 = 12167$$

संख्या किसी गोल संख्या से ठीक नीचे हो, तो $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ लेना आसान रहता है। जैसे $29^3$ = 27000 − 2700 + 90 − 1 = 24,389।

पंक्ति विधि। दो अंकों वाली संख्या के अंक $a$ और $b$ हों, तो एक पंक्ति में $a^3$, $a^2b$, $ab^2$ और $b^3$ लिखिए। हर पद पिछले पद का $\frac{b}{a}$ गुना होता है। फिर बीच वाले दोनों पदों का दोगुना ठीक उनके नीचे लिखिए और स्तंभ जोड़ लीजिए। अब दाईं ओर से चलिए। हर स्तंभ में एक ही अंक रखिए और बाकी हासिल आगे ले जाइए।

$23^3$ को इसी तरह निकालकर देखते हैं।

दाईं ओर से शुरू कीजिए। 27 में से 7 रखिए, हासिल 2। फिर 54 + 2 = 56, इसमें 6 रखिए, हासिल 5। फिर 36 + 5 = 41, इसमें 1 रखिए, हासिल 4। आख़िर में 8 + 4 = 12। तो $23^3$ = 12167।

100 के पास के घन। सूत्र है $(100 + d)^3 = 1000000 + 30000d + 300d^2 + d^3$। मतलब पहले 1 लिखिए, फिर $3d$, फिर $3d^2$ और फिर $d^3$। हर एक को दो अंकों के समूह में लिखना है।

• $102^3$ में d = 2 है, तो 1 | 06 | 12 | 08, यानी 10,61,208।
• $103^3$ में d = 3 है, तो 1 | 09 | 27 | 27, यानी 10,92,727।
• संख्या 100 से नीचे हो, तो चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं। $98^3$ = 1000000 − 60000 + 1200 − 8 = 9,41,192।

दशमलव वाली संख्याएँ। अंकों का घन निकालिए। उत्तर में दशमलव स्थान तीन गुने होंगे। जैसे $0.3^3$ = 0.027, $1.2^3$ = 1.728 और $0.05^3$ = 0.000125।

वर्गों और घनों का योग। पूरे योग इन सूत्रों से निकलते हैं, $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$। सरलीकरण के प्रश्नों में SSC अक्सर एक योग देता है और उससे जुड़ा दूसरा योग पूछता है।

• हर पद दोगुना। $2^2 + 4^2 + \cdots + 20^2 = 2^2\left(1^2 + 2^2 + \cdots + 10^2\right)$। कोष्ठक वाला योग सूत्र से 385 आता है, तो कुल 4 × 385 = 1540। घनों में गुणक $2^3 = 8$ होगा और कोष्ठक वाला योग 3025, तो $2^3 + 4^3 + \cdots + 20^3$ = 8 × 3025 = 24,200।
• बीच का हिस्सा। $11^2 + 12^2 + \cdots + 20^2$ = 2870 − 385 = 2485। यहाँ 2870, $20^2$ तक के सारे वर्गों का योग है।
• केवल विषम संख्याओं के वर्ग। $1^2 + 3^2 + \cdots + 19^2$ = ($20^2$ तक के सारे वर्ग) − (सम संख्याओं वाले) = 2870 − 1540 = 1330।

सामान्य नियम याद रख लीजिए। पद हर बार $k$ बढ़ें, जैसे $k$, $2k$, $3k$, …, तो वर्गों के योग में से $k^2$ बाहर आ जाता है और घनों के योग में से $k^3$। जैसे पद हर बार 3 बढ़ें, तो वर्गों के योग को 9 से गुणा करेंगे और घनों के योग को 27 से।

अभाज्य गुणनखंड और लंबी भाग विधि से वर्गमूल

अभाज्य गुणनखंड से। संख्या के अभाज्य गुणनखंड (prime factors) निकालिए। एक जैसे अभाज्यों के जोड़े बनाइए और हर जोड़े में से एक अभाज्य बाहर ले आइए।

$$7056 = 2^4 \times 3^2 \times 7^2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{7056} = 2^2 \times 3 \times 7 = 84$$

गुणनफल दिया हो, तो पहले उसे गुणा करके खोलने की ज़रूरत नहीं है। जैसे $\sqrt{18 \times 32 \times 49}$ में 18 = $2 \times 3^2$, 32 = $2^5$ और 49 = $7^2$ लिखिए। पूरा गुणनफल $2^6 \times 3^2 \times 7^2$ हुआ, तो वर्गमूल $2^3 \times 3 \times 7$ = 168 है।

अगर कोई अभाज्य बिना जोड़ीदार के बच जाए, तो संख्या पूर्ण वर्ग (perfect square) नहीं है। तब वर्गमूल करणी (surd) के रूप में ही रहेगा, जैसे $\sqrt{72} = \sqrt{2^3 \times 3^2} = 6\sqrt{2}$। करणियों के साथ ऐसे हिसाब "करणी और परिमेयकरण" वाले खंड में विस्तार से देखेंगे।

लंबी भाग विधि। संख्या बड़ी हो और उसके गुणनखंड अटपटे हों, या संख्या पूर्ण वर्ग ही न हो, तब लंबी भाग विधि (long division) लगाइए। 119716 का वर्गमूल इस तरह निकालते हैं।

1. दशमलव बिंदु से शुरू करके दो-दो अंकों के जोड़े बनाइए। पूर्णांक वाले भाग में बाईं ओर बढ़िए और दशमलव वाले भाग में दाईं ओर। 119716 के जोड़े 11 | 97 | 16 हैं।
2. वह सबसे बड़ा अंक लीजिए जिसका वर्ग पहले जोड़े में समा जाए। $3^2$ = 9, जो 11 में समा जाता है, तो वर्गमूल का पहला अंक 3 है। 11 में से 9 घटाने पर 2 बचा।
3. अगला जोड़ा नीचे उतारिए, तो 297 हुआ। अब तक के वर्गमूल का दोगुना लीजिए, 3 × 2 = 6। अब ऐसा अंक $x$ ढूँढिए कि "6$x$" × $x$ जितना हो सके उतना बड़ा हो, पर 297 से अधिक न हो। 64 × 4 = 256 चल जाता है, तो अगला अंक 4 है। घटाने पर 41 बचा।
4. 16 नीचे उतारिए, तो 4116 हुआ। अब तक का वर्गमूल 34 है, उसका दोगुना 34 × 2 = 68। फिर से $x$ ढूँढिए। 686 × 6 = 4116, यानी पूरी संख्या घट गई। तो अगला अंक 6 है और शेष कुछ नहीं बचा।

तो $\sqrt{119716}$ = 346।

आख़िर में शेषफल शून्य न आए, तो पूर्ण वर्ग पाने के लिए संख्या में से कम से कम यही शेषफल घटाना पड़ेगा।

संख्या पूर्ण वर्ग न हो तब। दशमलव बिंदु के बाद शून्यों के जोड़े लगाते जाइए और भाग आगे बढ़ाते जाइए। जैसे $\sqrt{5}$ में $2^2$ = 4, तो शेष 1 बचा। 00 नीचे उतारा, तो 100 हुआ। 42 × 2 = 84, शेष 16। फिर 00 उतारा, तो 1600 हुआ। 443 × 3 = 1329, शेष 271। इस तरह $\sqrt{5}$ = 2.23… आया। एक कदम और चलें, तो 2.236 मिलता है।

वर्गमूल के अंकों की गिनती। कदम 1 में जितने जोड़े बने, वर्गमूल में उतने ही अंक होते हैं। यानी पूर्ण वर्ग में $n$ अंक हों और $n$ सम हो, तो वर्गमूल में $\frac{n}{2}$ अंक होंगे। $n$ विषम हो, तो $\frac{n+1}{2}$ अंक होंगे। जैसे सात अंकों वाले वर्ग के वर्गमूल में चार अंक होते हैं।

[SSC टिप] बहुविकल्पीय प्रश्न में पूरा भाग करने की ज़रूरत शायद ही पड़ती है। पहले देख लीजिए कि वर्गमूल किन दो संख्याओं के बीच है। $300^2$ = 90,000 और $350^2$ = 1,22,500, तो $\sqrt{119716}$ 300 और 350 के बीच है। फिर आख़िरी अंक से विकल्प चुनिए। जिस वर्ग के अंत में 6 हो, उसके वर्गमूल के अंत में 4 या 6 होगा।

दशमलव और भिन्नों के वर्गमूल

दशमलव। किसी दशमलव संख्या का वर्गमूल ठीक-ठीक तभी निकलता है जब उसमें दशमलव स्थानों की संख्या सम हो। वर्गमूल में उनके आधे दशमलव स्थान आते हैं। घनमूल ठीक-ठीक निकलने के लिए दशमलव स्थान 3 के गुणज होने चाहिए, और घनमूल में उनका एक-तिहाई आता है।

• $\sqrt{0.0081}$ = 0.09 (चार स्थान थे, तो वर्गमूल में दो)
• $\sqrt{0.000169}$ = 0.013 (छह स्थान, तो तीन)
• $\sqrt[3]{0.000027}$ = 0.03 (छह स्थान, तो घनमूल में दो)

सबसे ज़्यादा गलती $\sqrt{0.9}$ में होती है। इसका मान 0.3 नहीं है, क्योंकि $0.3^2$ = 0.09 होता है। यहाँ एक ही दशमलव स्थान है, तो 0.9 को 0.90 लिखिए। अब $\sqrt{0.90} = \frac{\sqrt{90}}{10} \approx 0.949$। इसी तरह $\sqrt{0.4} \approx 0.632$ है, जबकि $\sqrt{0.04}$ = 0.2।

दशमलव बिंदु खिसकाना। एक वर्गमूल पता हो, तो उन्हीं अंकों वाली बाकी संख्याओं के वर्गमूल भी तुरंत निकल आते हैं। संख्या में दशमलव बिंदु दो स्थान खिसके, तो वर्गमूल में एक स्थान खिसकता है। मान लीजिए $\sqrt{5776}$ = 76 पता है।

• तब $\sqrt{57.76}$ = 7.6, $\sqrt{0.5776}$ = 0.76, $\sqrt{0.005776}$ = 0.076 और $\sqrt{577600}$ = 760।
• पर $\sqrt{577.6}$ का मान 76 में बस बिंदु खिसकाकर नहीं मिलेगा। यहाँ बिंदु केवल एक स्थान खिसका है। बिंदु विषम संख्या में स्थान खिसके, तो अंक ही बदल जाते हैं, और $\sqrt{577.6} \approx 24.03$ आता है।

घनमूल में यह गिनती तीन की है। संख्या में बिंदु तीन स्थान खिसके, तो घनमूल में एक स्थान खिसकता है। $\sqrt[3]{4913}$ = 17 है, तो $\sqrt[3]{4.913}$ = 1.7 और $\sqrt[3]{0.004913}$ = 0.17।

भिन्न। अंश और हर का वर्गमूल अलग-अलग निकालिए, जैसे $\sqrt{\frac{169}{625}} = \frac{13}{25}$। मिश्रित भिन्न हो, तो पहले उसे विषम भिन्न बनाइए। $\sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$। कई छात्र यहाँ केवल $\frac{4}{9}$ का वर्गमूल ले लेते हैं और 5 को वैसे ही छोड़ देते हैं। इससे $5\frac{2}{3}$ आता है, जो गलत है।

हर पूर्ण वर्ग न हो, तो अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करके हर को पूर्ण वर्ग बना लीजिए। $\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{15}{9}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$। अब अगर $\sqrt{15}$ = 3.873 दिया हो, तो $\sqrt{\frac{5}{3}}$ = 1.291 आ जाता है।

आवर्ती दशमलव। आवर्ती दशमलव (recurring decimal) का वर्गमूल निकालना हो, तो पहले उसे भिन्न में बदलिए। यह हम अध्याय 1 (संख्या पद्धति, म.स. और ल.स.) में सीख चुके हैं। $\sqrt{0.\overline{4}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} = 0.\overline{6}$ और $\sqrt{1.\overline{7}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} = 1.\overline{3}$।

0 और 1 के बीच वर्गमूल बड़ा होता है। 0 और 1 के बीच की किसी संख्या का वर्गमूल उस संख्या से बड़ा होता है, और वर्ग उससे छोटा। जैसे $0.25^2$ = 0.0625, जो 0.25 से छोटा है। और 0.25 ख़ुद $\sqrt{0.25}$ = 0.5 से छोटा है। संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में लगाने वाले प्रश्न ज़्यादातर इसी बात से हल होते हैं।

गुणनखंड, इकाई अंक और दशमलव से घनमूल

अभाज्य गुणनखंड से। यहाँ एक जैसे अभाज्यों के तीन-तीन के समूह बनाइए और हर समूह में से एक अभाज्य बाहर लाइए।

• $9261 = 3^3 \times 7^3$, तो $\sqrt[3]{9261} = 3 \times 7$ = 21।
• $13824 = 2^9 \times 3^3$, तो $\sqrt[3]{13824} = 2^3 \times 3$ = 24।

गुणनफल का घनमूल चाहें तो अलग-अलग लीजिए, चाहें तो एक साथ। जैसे $\sqrt[3]{54} \times \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{1728}$ = 12, और $\sqrt[3]{16} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{64}$ = 4।

पूर्ण घन के लिए इकाई अंक विधि। संख्या पूर्ण घन (perfect cube) हो, तो छह अंकों तक की किसी भी संख्या का घनमूल लगभग दस सेकंड में निकल आता है। इसके लिए इकाई अंक (unit digit) की यह तालिका याद रखिए।

घन का अंतिम अंक देखते ही घनमूल का अंतिम अंक पक्का हो जाता है। वर्गों में ऐसा नहीं होता। अदला-बदली केवल 2 ↔ 8 और 3 ↔ 7 में होती है, बाकी अंक वैसे ही रहते हैं। तरीका यह है।

1. घन का अंतिम अंक देखिए। इससे घनमूल का अंतिम अंक तय हो जाता है।
2. अंतिम तीन अंक हटा दीजिए। जो संख्या बची, उसमें समाने वाला सबसे बड़ा घन ढूँढिए। उस घन का घनमूल उत्तर का पहला भाग है।

दो उदाहरण देखिए।

• $\sqrt[3]{185193}$ में अंत में 3 है, तो घनमूल के अंत में 7 होगा। 193 हटाने पर 185 बचा। $5^3$ = 125 इसमें समा जाता है, पर $6^3$ = 216 नहीं। तो घनमूल 57 है।
• $\sqrt[3]{778688}$ में अंत में 8 है, तो घनमूल के अंत में 2 होगा। 688 हटाने पर 778 बचा। $9^3$ = 729 इसमें समा जाता है, पर $10^3$ = 1000 नहीं। तो घनमूल 92 है।

यह तरीका तभी चलता है जब पता हो कि संख्या पूर्ण घन है। SSC के प्रश्न में यह या तो लिखा होता है, या विकल्पों से साफ़ हो जाता है।

दशमलव और भिन्न। दशमलव स्थान 3 के गुणज होने चाहिए, और घनमूल में उनका एक-तिहाई आता है। जैसे $\sqrt[3]{0.000343}$ = 0.07 और $\sqrt[3]{0.001728}$ = 0.12। भिन्न में अंश और हर का घनमूल अलग-अलग लीजिए, जैसे $\sqrt[3]{\frac{343}{1000}} = \frac{7}{10}$। मिश्रित भिन्न हो या कोई व्यंजक, तो पहले उसे एक ही भिन्न बना लीजिए।

$$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \qquad \sqrt[3]{1 - \frac{189}{216}} = \sqrt[3]{\frac{27}{216}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

ऋणात्मक संख्याएँ। घनमूल में चिह्न बना रहता है। जैसे $\sqrt[3]{-2197} = -13$ और $\sqrt[3]{-0.008} = -0.2$।

मिले-जुले व्यंजक। हर वर्गमूल या घनमूल अलग से निकालिए, फिर उन्हें मिलाइए। जैसे $\sqrt[3]{0.000064} \div \sqrt{0.0016}$ = 0.04 ÷ 0.04 = 1। यहाँ 0.000064 का घनमूल 0.04 है, क्योंकि छह दशमलव स्थान घनमूल में दो रह जाते हैं। और 0.0016 का वर्गमूल भी 0.04 है, क्योंकि चार स्थान वर्गमूल में दो रह जाते हैं।

वर्गमूल और घनमूल का सन्निकट मान

जब वर्गमूल के चिह्न के नीचे वाली संख्या पूर्ण वर्ग न हो, तो विकल्पों में अक्सर "लगभग" या "का निकटतम मान" लिखा होता है। ऐसे करीब-करीब सारे प्रश्न दो कदमों में हो जाते हैं।

कदम 1: वर्गमूल किन दो संख्याओं के बीच है। संख्या के दोनों ओर के पूर्ण वर्ग देखिए। जैसे $\sqrt{150}$ में $12^2$ = 144 और $13^2$ = 169 है। तो वर्गमूल 12 और 13 के बीच है, और 12 के कहीं ज़्यादा पास है।

कदम 2: सुधार कीजिए। संख्या को $N = a^2 + d$ लिखिए, जहाँ $d$, $a^2$ के मुकाबले छोटा हो। तब

$$\sqrt{N} \approx a + \frac{d}{2a}$$

जैसे $\sqrt{150} \approx 12 + \frac{6}{24}$ = 12.25, जबकि असली मान 12.247 है। संख्या किसी पूर्ण वर्ग से ठीक नीचे हो, तो $d$ ऋणात्मक लीजिए। $\sqrt{80} = \sqrt{81 - 1} \approx 9 - \frac{1}{18} \approx 8.944$।

यह सूत्र क्यों चलता है, यह भी समझ लीजिए। $(a + e)^2 = a^2 + 2ae + e^2$ होता है। $e$ छोटा हो, तो $e^2$ बहुत ही छोटा होगा, इसलिए उसे छोड़ सकते हैं। तब $2ae \approx d$ रह जाता है, यानी $e \approx \frac{d}{2a}$।

घनमूल में भी यही बात चलती है, $\sqrt[3]{a^3 + d} \approx a + \frac{d}{3a^2}$। जैसे $\sqrt[3]{130} \approx 5 + \frac{5}{75} \approx 5.067$, और असली मान 5.066 है।

याद किए हुए वर्गमूलों से। संख्या में से पूर्ण वर्ग बाहर निकाल लीजिए। फिर इस खंड की शुरुआत में दी गई वर्गमूल की तालिका काम आती है।

• $\sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17.32$
• $\sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \approx 44.72$
• $\sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{50}}{10} = \frac{5\sqrt{2}}{10} \approx 0.707$
• $\sqrt{0.08} = \frac{\sqrt{8}}{10} \approx 0.283$

व्यंजक। हर वर्गमूल को गोल कर लीजिए, पर याद रखिए कि किस ओर गोल किया। जैसे $\sqrt{626} + \sqrt{399} \approx 25 + 20$ = 45। पहला वर्गमूल 25 से ज़रा ऊपर है और दूसरा 20 से ज़रा नीचे, तो दोनों की त्रुटियाँ लगभग कट जाती हैं। असली मान 44.995 है।

"निकटतम मान" वाले प्रश्नों में विकल्प अक्सर दूर-दूर होते हैं, तो कई बार पहले कदम से ही उत्तर मिल जाता है। $\frac{d}{2a}$ वाला सुधार तभी लगाइए जब दो विकल्प पास-पास हों।

मूल वाले व्यंजक और समीकरण

भीतर से बाहर की ओर। $\sqrt{218 + \sqrt{37 + \sqrt{144}}}$ जैसे मूल के भीतर मूल (nested roots) वाले प्रश्न में सबसे भीतर वाला वर्गमूल पहले निकालिए, फिर बाहर की ओर चलिए। परीक्षा में आने वाले प्रश्नों में हर कदम पर पूर्ण वर्ग ही आता है।

$$\sqrt{144} = 12, \qquad \sqrt{37 + 12} = \sqrt{49} = 7, \qquad \sqrt{218 + 7} = \sqrt{225} = 15$$

दशमलव वाले प्रश्न भी इसी तरह होते हैं। $\sqrt{0.16 + \sqrt{0.0081}} = \sqrt{0.16 + 0.09} = \sqrt{0.25}$ = 0.5।

किसी कदम पर पूर्ण वर्ग न आए, तो समझ लीजिए कि पिछले कदम में कहीं चूक हुई है। उसे दोबारा देखिए।

वर्गमूल निकालने से पहले उन्हें मिला लीजिए। धनात्मक संख्याओं के लिए $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ और $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ होता है।

• $\sqrt{12} \times \sqrt{27} = \sqrt{324}$ = 18
• $\sqrt{0.2} \times \sqrt{0.8} = \sqrt{0.16}$ = 0.4
• $\sqrt{98} \div \sqrt{2} = \sqrt{49}$ = 7

पर जोड़ में बात अलग है। $\sqrt{a + b}$ ≠ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$। जैसे $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}$ = 5, जबकि $\sqrt{16} + \sqrt{9}$ = 7।

लुप्त संख्या। "? के स्थान पर क्या आएगा" वाले प्रश्नों में वर्गमूल को एक ओर अकेला कीजिए, फिर दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए। घनमूल हो, तो घन कीजिए।

• $\sqrt{?} + \sqrt{529} = 41$ में $\sqrt{529}$ = 23, तो $\sqrt{?}$ = 18 और ? = 324।
• $\sqrt[3]{?} = 0.4$ में दोनों पक्षों का घन करने पर ? = 0.064 आता है।
• $\sqrt{?} \div \sqrt{441} = 0.02$ में $\sqrt{441}$ = 21, तो $\sqrt{?}$ = 0.42 और ? = 0.1764।

वर्गमूल वाले समीकरण। यहाँ भी यही तरीका है। वर्गमूल को अकेला कीजिए और फिर वर्ग कीजिए।

$$\sqrt{1 + \frac{x}{121}} = \frac{12}{11} \;\Rightarrow\; 1 + \frac{x}{121} = \frac{144}{121} \;\Rightarrow\; x = 144 - 121 = 23$$

एक बात याद रखिए। वर्गमूल का चिह्न कभी ऋणात्मक मान नहीं देता, इसलिए दूसरा पक्ष ऋणात्मक नहीं हो सकता। जैसे $\sqrt{x + 5} = -3$ का कोई हल नहीं है, भले ही वर्ग करने पर $x = 4$ निकल आए।

[SSC टिप] $\sqrt{1 + \frac{x}{k^2}} = \frac{m}{k}$ में उत्तर हमेशा $x = m^2 - k^2$ होता है। जैसे $\sqrt{1 + \frac{x}{169}} = \frac{14}{13}$ में सीधे $x$ = 196 − 169 = 27।

अनंत तक चलने वाले मूल

$\sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots}}}$ में अंत के बिंदुओं का मतलब है कि यह पैटर्न कभी रुकता नहीं। ऐसे व्यंजकों को अनंत तक चलने वाले मूल (infinite roots) कहते हैं। इनमें पहले वर्गमूल के नीचे वाला हिस्सा फिर से वही पूरा व्यंजक होता है, और इसी से ये प्रश्न आसान हो जाते हैं।

धन वाला रूप। व्यंजक का मान $y$ मान लीजिए। तब $y = \sqrt{20 + y}$, यानी $y^2 = 20 + y$। इससे $y^2 - y - 20 = 0$ और $(y - 5)(y + 4) = 0$ मिलता है। मान धनात्मक है, तो $y$ = 5।

इसका छोटा रास्ता भी है। वर्गमूल के भीतर वाली संख्या को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए, यानी $x = n(n + 1)$। तब

$$\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}} = n + 1 \qquad \sqrt{x - \sqrt{x - \sqrt{x - \cdots}}} = n$$

मतलब धन वाले रूप का मान बड़ा गुणनखंड होता है और ऋण वाले रूप का मान छोटा गुणनखंड। जैसे 20 = 4 × 5, तो धन वाले रूप का मान 5 और ऋण वाले का 4। 12 = 3 × 4 हो, तो मान 4 और 3 होंगे। 2 = 1 × 2 है, इसलिए $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}$ = 2।

[Tier 2] अगर संख्या $n(n + 1)$ के रूप में न हो, तो $y^2 - y - x = 0$ हल कीजिए और धनात्मक हल रखिए। जैसे $x$ = 1 हो, तो मान $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ आता है।

गुणा वाला रूप। $y = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdots}}}$ हो, तो $y = \sqrt{xy}$, यानी $y^2 = xy$ और $y = x$। जैसे $\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6 \cdots}}}$ = 6।

गुणा वाला रूप, जब वर्गमूलों की गिनती तय हो। यहाँ घातांक लगाइए। घातांक के नियम "घातांक और घात" वाले खंड में हैं। व्यंजक को बाहर से पढ़िए। पहला $x$ एक वर्गमूल के नीचे है, अगला दो वर्गमूलों के नीचे, और आगे इसी तरह। तो इनके घातांक $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, … होते हैं।

$$\sqrt{x\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{4}} \qquad \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = x^{\frac{7}{8}} \qquad \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = x^{\frac{15}{16}}$$

सीधा सूत्र यह है कि $n$ वर्गमूल हों, तो घातांक $\frac{2^n - 1}{2^n}$ होता है। जैसे $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} = 2^{\frac{7}{8}}$।

भाग वाला रूप। $y = \sqrt{x \div \sqrt{x \div \sqrt{x \div \cdots}}}$ हो, तो $y^2 = \frac{x}{y}$, यानी $y^3 = x$ और $y = \sqrt[3]{x}$। जैसे $\sqrt{27 \div \sqrt{27 \div \cdots}}$ = 3।

घनमूल वाले रूप [Tier 2] $y = \sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x \cdots}}}$ हो, तो $y^3 = xy$ और $y = \sqrt{x}$। धन वाले घनमूल में $\sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \cdots}} = n$ होता है, जब $x = n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ हो। जैसे $\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \cdots}}$ = 3, क्योंकि 24 = 2 × 3 × 4।

सारे रूप एक जगह देख लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

$96^2 + 54^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों संख्याएँ किसी आधार के पास हैं। 96, 100 से 4 कम है, तो 96 − 4 = 92 लिखते हैं और उसके बाद $4^2$ = 16। इस तरह 96 का वर्ग 9216 हुआ। 54, 50 से 4 अधिक है, तो 25 + 4 = 29 और उसके बाद 16, यानी 2916। दोनों को जोड़ने पर 9216 + 2916 = 12,132 आता है।

प्रश्न 2

लंबा गुणा किए बिना $27^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 27 तो 30 से 3 कम है। इसलिए $(30 - 3)^3 = 30^3 - 3 \times 30^2 \times 3 + 3 \times 30 \times 3^2 - 3^3$ लिखते हैं। यह 27000 − 8100 + 810 − 27 = 19,683 आता है। जाँच भी कर लेते हैं। 27 = $3^3$ है, तो $27^3 = 3^9$, और $3^9$ भी 19683 ही है।

प्रश्न 3

यदि $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 15^2 = 1240$ है, तो $2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + 30^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दूसरे योग की हर संख्या पहले योग की किसी संख्या का दोगुना है, तो हर वर्ग 4 गुना हो जाता है। यानी $2^2 + 4^2 + \cdots + 30^2 = 2^2\left(1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2\right)$, और उत्तर 4 × 1240 = 4960 है। जल्दबाज़ी में कई लोग 4 की जगह 2 से गुणा कर देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 4

अभाज्य गुणनखंडों की सहायता से $\sqrt{5184}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 5184 को बार-बार आधा करते जाते हैं। 5184 → 2592 → 1296 → 648 → 324 → 162 → 81। यानी 2 से छह बार भाग गया, और 81 = $3^4$ है। तो $5184 = 2^6 \times 3^4$। वर्गमूल में हर घातांक आधा हो जाता है, इसलिए वर्गमूल $2^3 \times 3^2$ = 8 × 9 = 72 है।

प्रश्न 5

लंबी भाग विधि से $\sqrt{54756}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दाईं ओर से जोड़े बनाते हैं, 5 | 47 | 56।

• $2^2$ = 4, जो 5 में समा जाता है। तो वर्गमूल का पहला अंक 2 है और शेष 1 बचा।
• 47 नीचे उतारा, तो 147 हुआ। 2 का दोगुना 4 है। 43 × 3 = 129 समा जाता है, जबकि 44 × 4 = 176 बहुत बड़ा है। तो वर्गमूल अब 23 है और शेष 18।
• 56 नीचे उतारा, तो 1856 हुआ। 23 का दोगुना 46 है। 464 × 4 = 1856, यानी अब कुछ भी शेष नहीं बचा।

तो $\sqrt{54756}$ = 234।

प्रश्न 6

$\sqrt{12 \times 75 \times 49}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले गुणा करके संख्या खोलने की ज़रूरत नहीं है। 12 = $2^2 \times 3$, 75 = $3 \times 5^2$ और 49 = $7^2$। सब मिलाकर $2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2$ हुआ, जिसमें हर घातांक सम है। तो वर्गमूल = 2 × 3 × 5 × 7 = 210।

प्रश्न 7

$\sqrt{0.0169} + \sqrt{1.69} + \sqrt{169}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\sqrt{169}$ = 13 तो पता ही है। 1.69 में दो दशमलव स्थान हैं, तो वर्गमूल में एक होगा, यानी 1.3। 0.0169 में चार स्थान हैं, तो वर्गमूल में दो होंगे, यानी 0.13। तीनों का जोड़ 0.13 + 1.3 + 13 = 14.43 है।

प्रश्न 8

यदि $\sqrt{5329} = 73$ है, तो $\sqrt{53.29} + \sqrt{0.5329} + \sqrt{0.005329} + \sqrt{0.00005329}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर संख्या में 5329 के ही अंक हैं, बस दशमलव बिंदु दो, चार, छह और आठ स्थान खिसका है। इसलिए हर वर्गमूल में 73 के ही अंक आएँगे, और बिंदु उसका आधा खिसकेगा। चारों वर्गमूल 7.3, 0.73, 0.073 और 0.0073 हैं। इनका योग 8.1103 है।

प्रश्न 9

सरल कीजिए: $\sqrt{6\frac{1}{4}} + \sqrt{1\frac{9}{16}}$

उत्तर: पहले दोनों को विषम भिन्न में बदल लेते हैं, $6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$ और $1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$। इनके वर्गमूल $\frac{5}{2}$ और $\frac{5}{4}$ हैं। अब दोनों को जोड़ते हैं, $\frac{10}{4} + \frac{5}{4} = \frac{15}{4}$ = $3\frac{3}{4}$।

प्रश्न 10

$\sqrt{0.\overline{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए। (a) 0.2 (b) $0.\overline{2}$ (c) 0.6 (d) $0.\overline{6}$

उत्तर: यह आवर्ती दशमलव है, तो पहले इसे भिन्न में बदलते हैं, $0.\overline{4} = \frac{4}{9}$। इसका वर्गमूल $\frac{2}{3}$ है, यानी 0.666…। तो उत्तर (d) $0.\overline{6}$ है। कुछ लोग केवल अंक 4 का वर्गमूल लेकर ऊपर की बार वैसी ही रख देते हैं। इस तरह विकल्प (b) आता है, जो गलत है।

प्रश्न 11

यदि $\sqrt{15}$ = 3.873 है, तो $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $\sqrt{\frac{3}{5}}$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों में हर को पूर्ण वर्ग बना लेते हैं। $\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{15}{9}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ = 3.873 ÷ 3 = 1.291। इसी तरह $\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ = 3.873 ÷ 5 = 0.7746।

प्रश्न 12

438976 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्या के अंत में 6 है, तो घनमूल के अंत में भी 6 होगा। अंतिम तीन अंक हटाने पर 438 बचता है। $7^3$ = 343, 438 में समा जाता है, पर $8^3$ = 512 नहीं। तो पहला अंक 7 है, और घनमूल = 76।

प्रश्न 13

$\sqrt[3]{1 - \frac{61}{125}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले घटाव कर लेते हैं, $1 - \frac{61}{125} = \frac{125 - 61}{125} = \frac{64}{125}$। अंश और हर दोनों घन हैं, तो घनमूल $\frac{4}{5}$ है, यानी 0.8।

प्रश्न 14

$\sqrt[3]{0.003375} \times \sqrt[3]{-0.008}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3375 = $15^3$ है। 0.003375 में छह दशमलव स्थान हैं, तो घनमूल 0.15 होगा। −0.008 का घनमूल −0.2 है, क्योंकि $0.2^3$ = 0.008 और घनमूल में चिह्न बना रहता है। दोनों का गुणा करने पर 0.15 × (−0.2) = −0.03 आता है।

प्रश्न 15

$\sqrt{85}$ का निकटतम मान है: (a) 9.12 (b) 9.22 (c) 9.32 (d) 9.42

उत्तर: $9^2$ = 81, तो 85 = 81 + 4। अब $a + \frac{d}{2a}$ लगाते हैं। वर्गमूल लगभग 9 + $\frac{4}{18}$ = 9 + 0.22 = 9.22 आता है। तो उत्तर (b) 9.22 है। असली मान 9.2195 है।

प्रश्न 16

$\sqrt{2000}$ का निकटतम मान है: (a) 4.47 (b) 44.4 (c) 44.7 (d) 45.2

उत्तर: 2000 = 400 × 5 है, तो $\sqrt{2000} = 20\sqrt{5}$। यह लगभग 20 × 2.236 = 44.72 है, इसलिए उत्तर (c) 44.7 है। विकल्प (a) असल में $\sqrt{20}$ का मान है। दशमलव बिंदु में चूक हो जाए, तो लोग वही चुन लेते हैं।

प्रश्न 17

$\sqrt{353 + \sqrt{50 + \sqrt{196}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भीतर से शुरू करते हैं। $\sqrt{196}$ = 14। फिर 50 + 14 = 64, और $\sqrt{64}$ = 8। आख़िर में 353 + 8 = 361, और $\sqrt{361}$ = 19।

प्रश्न 18

$\sqrt{0.04 + \sqrt{0.0025}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\sqrt{0.0025}$ = 0.05, क्योंकि चार दशमलव स्थान वर्गमूल में दो रह जाते हैं। अब 0.04 + 0.05 = 0.09, और $\sqrt{0.09}$ = 0.3।

प्रश्न 19

यदि $\sqrt{1 + \frac{x}{196}} = \frac{15}{14}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, $1 + \frac{x}{196} = \frac{225}{196}$। तो $\frac{x}{196} = \frac{29}{196}$, और $x$ = 29। छोटे तरीके से यह तुरंत निकल आता है, 225 − 196 = 29।

प्रश्न 20

$\sqrt{0.0169 \times ?} = 5.2$ में प्रश्नवाचक चिह्न (?) के स्थान पर कौन-सी संख्या आएगी?

उत्तर: $\sqrt{0.0169}$ = 0.13 है। तो $\sqrt{?}$ = 5.2 ÷ 0.13 = 40, और ? = $40^2$ = 1600। दूसरा रास्ता यह है कि पहले दोनों पक्षों का वर्ग कर लें। तब 0.0169 × ? = 27.04 आता है, और 27.04 ÷ 0.0169 = 1600।

प्रश्न 21

$\sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \cdots}}}$ और $\sqrt{42 - \sqrt{42 - \sqrt{42 - \cdots}}}$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 42 = 6 × 7 है। धन वाले रूप में बड़ा गुणनखंड आता है और ऋण वाले में छोटा। तो मान 7 और 6 हैं। पहले वाले की जाँच कर लेते हैं। मान 7 रखें, तो $\sqrt{42 + 7} = \sqrt{49}$ = 7 आता है, यानी हल सही है।

प्रश्न 22

$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}$ को 7 की घात के रूप में लिखिए। यदि वर्गमूल अनंत तक चलते रहें, तो इसका मान क्या होगा?

उत्तर: बाहर वाला 7 एक वर्गमूल के नीचे है, तो उसका घातांक $\frac{1}{2}$ है। अगला 7 दो वर्गमूलों के नीचे है, तो $\frac{1}{4}$। आख़िरी 7 तीन के नीचे है, तो $\frac{1}{8}$। इनका जोड़ $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ हुआ, तो मान $7^{\frac{7}{8}}$ है। सूत्र से भी जाँच लीजिए, तीन वर्गमूलों पर $\frac{2^3 - 1}{2^3}$ आता है, जो वही है। अगर वर्गमूल कभी न रुकें, तो मान 7 ही होगा।