माध्य

मानों की सूची का माध्य

कुछ मान दिए हों, तो उनका माध्य (mean) निकालने के लिए सारे मान जोड़िए और योग को मानों की संख्या से भाग दे दीजिए। इसे समांतर माध्य (arithmetic mean) या केवल औसत भी कहते हैं।

$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

यहाँ $\sum x$ को "सिग्मा $x$" पढ़ते हैं। इसका मतलब है सारे मानों का योग। $n$ बताता है कि मान कितने हैं।

माध्य का मतलब ऐसे समझिए। मान लीजिए पूरा योग सब मानों में बराबर-बराबर बाँट दिया जाए। तब हर एक के हिस्से में जितना आएगा, वही माध्य है।

उदाहरण के लिए, आठ विद्यार्थियों ने 50 अंकों की परीक्षा दी। उनके अंक 34, 41, 28, 45, 37, 30, 42 और 39 हैं। इनका योग 296 है, तो माध्य $\frac{296}{8} = 37$ अंक हुआ।

उलटकर देखें, तो योग = माध्य $\times$ मानों की संख्या।

आगे कोई मान जोड़ना हो, हटाना हो या सुधारना हो, हर प्रश्न इसी से हल होता है। जैसे 12 संख्याओं का माध्य 15.5 है, तो उनका योग $12 \times 15.5 = 186$ है। इसी तरह ऊपर वाले आठ अंकों का माध्य 37 बताया गया हो, तो कुल 296 तुरंत मिल जाता है। उसी से कोई छूटा हुआ अंक भी निकल आता है।

छोटी संख्याओं से जोड़: मान आपस में पास-पास हों, तो पूरा जोड़ करने की ज़रूरत नहीं पड़ती। बीच के आसपास की कोई गोल संख्या चुन लीजिए। इस संख्या को कल्पित माध्य (working mean) कहते हैं। अब केवल हर मान का इस संख्या से अंतर जोड़िए, और उस जोड़ को सब मानों में बराबर बाँट दीजिए।

ऊपर वाले आठ अंकों में कल्पित माध्य 40 लेते हैं। तब अंतर $-6, +1, -12, +5, -3, -10, +2, -1$ आते हैं, जिनका जोड़ $-24$ है। यह जोड़ आठों में बाँटकर 40 में जोड़ दीजिए।

$$\bar{x} = 40 + \frac{-24}{8} = 40 - 3 = 37$$

बारंबारता (frequency) तालिका पर यही तरीका आगे इसी खंड में कल्पित माध्य विधि (assumed-mean method) के नाम से आएगा।

शून्य भी एक मान है: मान लीजिए किसी बल्लेबाज़ ने एक पारी में 0 रन बनाए। पारी तो उसने खेली थी, इसलिए वह गिनी जाएगी। 0 योग में कुछ नहीं जोड़ता, पर $n$ में ज़रूर गिना जाता है। परीक्षा में भी यही बात है। जो विद्यार्थी अनुपस्थित था, उसे बाहर रखिए, पर जिसने 0 अंक पाए, उसे गिनती में लीजिए।

माध्य कहाँ आता है: माध्य हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच में रहता है। पर ज़रूरी नहीं कि वह दिए गए मानों में से ही कोई हो। 3, 4 और 6 का माध्य $4\frac{1}{3}$ है, जो इनमें से कोई मान नहीं है।

कोई एक मान बहुत बड़ा या बहुत छोटा हो, तो वह माध्य को अपनी ओर खींच लेता है। इसीलिए आय जैसे आँकड़ों में कभी-कभी माध्यिका बेहतर औसत मानी जाती है। इसके बारे में "माध्यिका" वाले खंड में पढ़ेंगे।

मान जोड़ना, हटाना या बदलना

ऐसे हर प्रश्न में योग वाला नियम दो बार लगाइए। एक बार पुराना योग निकालिए, एक बार नया योग, और फिर दोनों की तुलना कीजिए।

आयु, वेतन और रन वाले शब्द-प्रश्न अध्याय 5 (औसत) में हैं। यहाँ केवल सांख्यिकी वाले सीधे प्रश्न देखेंगे।

एक मान जुड़ा हो: 14 मानों का माध्य 30 है। एक मान और जुड़ा, तो माध्य 31 हो गया। पुराना योग $14 \times 30 = 420$ था और नया योग $15 \times 31 = 465$ है। तो नया मान $465 - 420 = 45$ है।

इसे और जल्दी भी सोच सकते हैं। नए मान को अपने लिए तो नया माध्य 31 चाहिए ही। ऊपर से उसे 14 पुराने मानों में से हर एक को 1 और देना है। तो नया मान $31 + 14 \times 1 = 45$ हुआ।

$$\text{जोड़ा गया मान} = \text{नया माध्य} + (\text{मानों की पुरानी संख्या}) \times (\text{माध्य में वृद्धि})$$

माध्य घट जाए, तो वृद्धि ऋणात्मक होती है। तब जोड़ा गया मान नए माध्य से कम होता है।

एक मान हटाया गया हो: 25 मानों का माध्य 60 है। एक मान निकाल दिया, तो बाकी 24 का माध्य 59 रह गया। पुराना योग $25 \times 60 = 1500$ और नया योग $24 \times 59 = 1416$ है। हटाया गया मान $1500 - 1416 = 84$ है।

यहाँ भी छोटा रास्ता है। पुराने माध्य में, पीछे बचे हर मान के लिए 1 जोड़ दीजिए। $60 + 24 \times 1 = 84$, यानी वही उत्तर आ गया।

एक मान बदला गया हो: यहाँ मानों की संख्या वही रहती है, केवल योग बदलता है। माध्य में बदलाव $\frac{\text{नया मान} - \text{पुराना मान}}{n}$ होता है।

जैसे 16 मानों का माध्य 45 है, और 52 वाले मान की जगह 84 रख दिया गया। योग 32 बढ़ गया, तो माध्य $\frac{32}{16} = 2$ बढ़ा और 47 हो गया।

उलटा भी पूछा जाता है। एक मान बदलने से 20 मानों का माध्य 1.5 बढ़ गया। तो नया मान पुराने से $20 \times 1.5 = 30$ अधिक है।

दो भाग, बीच का मान साझा: 11 मानों का माध्य 50 है। पहले छह मानों का माध्य 49 है और आख़िरी छह का 52। दोनों भागों को मिलाएँ तो सारे 11 मान आ जाते हैं, पर छठा मान दो बार गिना जाता है। इसलिए दोनों भागों के योग जोड़कर उसमें से पूरा योग घटा दीजिए।

$$6 \times 49 + 6 \times 52 - 11 \times 50 = 294 + 312 - 550 = 56$$

जो बचा, वही छठा मान है, यानी 56।

गलती से लिखे गए मान और संशोधित माध्य

कभी माध्य निकालने के बाद पता चलता है कि कोई मान गलत लिख लिया गया था। गलती से लिखे गए मान (wrongly copied value) वाले प्रश्न में माध्य को सीधे नहीं सुधारते। पहले योग ठीक करते हैं, फिर दोबारा भाग देते हैं। इस तरह जो माध्य मिलता है, उसे संशोधित माध्य (corrected mean) कहते हैं।

$$\text{सही योग} = \text{गलत योग} - \text{गलत मान} + \text{सही मान}$$

एक मान गलत पढ़ा गया: 30 मानों का माध्य 42 निकला। बाद में पता चला कि 57 को 75 लिख लिया गया था। गलत योग $30 \times 42 = 1260$ है। सही योग $1260 - 75 + 57 = 1242$ हुआ, तो सही माध्य $\frac{1242}{30} = 41.4$ है।

जल्दी करना हो तो ऐसे सोचिए। योग 18 ज़्यादा था, तो माध्य $\frac{18}{30} = 0.6$ ज़्यादा था। सही माध्य $42 - 0.6 = 41.4$ है।

$$\text{सही माध्य} = \text{गलत माध्य} + \frac{\text{सही मान} - \text{गलत मान}}{n}$$

दो मान गलत पढ़े गए: पहले दोनों भूलों का कुल असर निकाल लीजिए। मान लीजिए 40 मानों का माध्य 25 आया, पर 36 को 63 और 18 को 12 ले लिया गया था। पहली भूल से योग 27 ज़्यादा हुआ और दूसरी से 6 कम। यानी योग कुल मिलाकर 21 ज़्यादा था। सही माध्य $25 - \frac{21}{40} = 25 - 0.525 = 24.475$ है।

कोई मान गलती से शामिल हो गया: 20 मानों का माध्य 18 निकाला गया। बाद में पता चला कि इनमें 37 वाला मान गिनना ही नहीं था। अब मानों की संख्या भी बदल जाती है। योग से 37 हटाइए, और मान भी एक कम गिनिए।

$$\frac{20 \times 18 - 37}{19} = \frac{323}{19} = 17$$

कोई मान छूट गया: 24 मानों का माध्य 50 निकाला गया, पर 25वाँ मान 75 छूट गया था। तो सही माध्य $\frac{24 \times 50 + 75}{25} = \frac{1275}{25} = 51$ है।

[SSC टिप] हिसाब शुरू करने से पहले तय कर लीजिए कि हुआ क्या है। कोई मान गलत पढ़ा गया हो, तो $n$ वही रहता है और केवल योग बदलता है। कोई मान फ़ालतू जुड़ गया हो या छूट गया हो, तो योग और $n$ दोनों बदलते हैं। तब पुराने $n$ से भाग देना गलती है।

प्राकृत, सम और विषम संख्याओं तथा समांतर श्रेणी का माध्य

कोई सूची बराबर कदमों में बढ़ती हो, यानी समांतर श्रेणी (arithmetic progression) हो, तो माध्य निकालने के लिए सारे मान जोड़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

$$\text{समांतर श्रेणी का माध्य} = \frac{\text{पहला मान} + \text{अंतिम मान}}{2}$$

इसकी वजह आसान है। दोनों सिरों से मानों के जोड़े बनाइए। पहले मान को अंतिम के साथ रखिए, दूसरे को अंतिम से पहले वाले के साथ, और इसी तरह आगे। हर जोड़े का योग बराबर आता है। इसलिए माध्य दोनों सिरों का औसत ही होता है। यही सूची का मध्य मान भी है।

उदाहरण के लिए, प्रथम 40 प्राकृत संख्याओं का माध्य $\frac{41}{2} = 20.5$ है। प्रथम 40 सम संख्याओं का माध्य 41 है और प्रथम 40 विषम संख्याओं का 40।

पहले दोनों सिरे देखिए: 1 और 100 के बीच 7 के सारे गुणजों का माध्य चाहिए। पहला गुणज 7 है और आख़िरी 98। तो माध्य $\frac{7 + 98}{2} = 52.5$ है। गुणज 14 हैं, पर यह गिनने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

दो अंकों वाली सारी संख्याओं का माध्य भी ऐसे ही निकलता है। सिरे 10 और 99 हैं, तो माध्य 54.5 है।

क्रमागत संख्याएँ: संख्याओं की गिनती विषम हो, तो माध्य बीच वाली संख्या ही होती है। जैसे पाँच क्रमागत सम संख्याओं का माध्य 26 है, तो संख्याएँ 22, 24, 26, 28 और 30 हैं। गिनती सम हो, तो माध्य दोनों बीच वाली संख्याओं के ठीक बीच में होता है।

माध्य से $n$ निकालना: प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का माध्य 15 है। तो $\frac{n+1}{2} = 15$ लिखिए। इससे $n = 29$ आता है।

वर्ग और घन: इन सूचियों में मान बराबर कदमों में नहीं बढ़ते, इसलिए दोनों सिरों वाला नियम यहाँ नहीं चलता। प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों का माध्य $\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है। $n = 10$ हो, तो यह $\frac{11 \times 21}{6} = 38.5$ आता है। यहाँ $\frac{1 + 100}{2}$ लिख देना गलत है। प्रथम $n$ घनों का माध्य $\frac{n(n+1)^2}{4}$ होता है।

भारित माध्य और संयुक्त माध्य

कभी सारे मान बराबर महत्त्व के नहीं होते। तब हर मान को उसके भार से गुणा करते हैं। यहाँ भार का मतलब है कि उस मान को कितना महत्त्व देना है। इस तरह निकले माध्य को भारित माध्य (weighted mean) कहते हैं।

$$\bar{x}_w = \frac{\sum wx}{\sum w}$$

एक उदाहरण लीजिए। एक दुकान ने 20 किग्रा चावल ₹ 40 प्रति किग्रा के भाव से ख़रीदा, 30 किग्रा ₹ 45 प्रति किग्रा से और 50 किग्रा ₹ 52 प्रति किग्रा से। औसत मूल्य $\frac{40 + 45 + 52}{3}$ नहीं होगा, क्योंकि सबसे ऊँचे भाव पर चावल कहीं ज़्यादा ख़रीदा गया है। यहाँ हर मूल्य का भार यह है कि उस मूल्य पर कितने किलोग्राम चावल लिया गया।

$$\frac{20 \times 40 + 30 \times 45 + 50 \times 52}{20 + 30 + 50} = \frac{800 + 1350 + 2600}{100} = 47.5$$

तो औसत मूल्य ₹ 47.50 प्रति किग्रा है।

बारंबारता तालिका में भी यही विचार चलता है। वहाँ बारंबारताएँ ही भार का काम करती हैं।

दो समूहों का माध्य: दो समूहों को एक साथ मिलाकर जो माध्य निकलता है, उसे संयुक्त माध्य (combined mean) कहते हैं। इसका सूत्र यह है।

$$\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$$

मान लीजिए कक्षा A में 30 विद्यार्थी हैं, जिनके माध्य अंक 64 हैं। कक्षा B में 45 विद्यार्थी हैं और उनके माध्य अंक 54 हैं। दोनों कक्षाओं का एक साथ माध्य ऐसे निकलेगा।

$$\frac{30 \times 64 + 45 \times 54}{75} = \frac{1920 + 2430}{75} = \frac{4350}{75} = 58$$

64 और 54 का सीधा औसत 59 है, पर यह उत्तर नहीं है। B में विद्यार्थी ज़्यादा हैं, इसलिए संयुक्त माध्य B के 54 के अधिक पास आता है।

तीन समूह: तरीका वही है। सारे समूहों के योग जोड़िए और कुल सदस्यों की संख्या से भाग दीजिए। समूहों में 20, 30 और 50 सदस्य हों और उनके माध्य 50, 60 और 70 हों, तो संयुक्त माध्य $\frac{1000 + 1800 + 3500}{100} = 63$ है।

माध्य दिए हों, तो समूहों का अनुपात: संयुक्त माध्य दोनों समूहों के माध्यों के बीच कहीं आता है। वहाँ से दोनों माध्यों तक की दूरियाँ समूहों के आकार के उलटे अनुपात में होती हैं।

$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\bar{x}_2 - \bar{x}}{\bar{x} - \bar{x}_1}$$

ऊपर वाली दोनों कक्षाओं में यह $\frac{54 - 58}{58 - 64} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$ आता है, जो $30 : 45$ ही है। मतलब जिस समूह का माध्य संयुक्त माध्य के अधिक पास हो, वही समूह बड़ा होता है।

[SSC टिप] संयुक्त माध्य हमेशा समूहों के माध्यों के बीच में होता है, और बड़े समूह के माध्य के अधिक पास। कोई विकल्प इस दायरे से बाहर हो, या सीधे औसत की गलत ओर हो, तो उसे बिना हिसाब किए काट दीजिए।

असतत बारंबारता तालिका का माध्य

जब मान बार-बार आएँ, तो आँकड़ों को तालिका में लिखते हैं। हर मान $x$ के सामने उसकी बारंबारता $f$ लिखी होती है, यानी वह मान कितनी बार आया। ऐसी तालिका को असतत बारंबारता तालिका (discrete frequency table) कहते हैं।

तालिका की हर पंक्ति में एक ही मान $f$ बार आया है। तो उस पंक्ति से योग में $fx$ जुड़ता है।

$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{\sum fx}{N}$$

मान लीजिए एक टीम ने 40 मैच खेले और उनमें गोल इस तरह किए।

माध्य $\frac{80}{40} = 2$ गोल प्रति मैच है।

इन गलत उत्तरों से बचिए: ऐसी तालिका में ये तीन गलतियाँ बहुत होती हैं।

• केवल 0 से 5 तक के मानों का औसत ले लेना, $\frac{15}{6} = 2.5$। इसमें हर मान को ऐसे गिन लिया जाता है, मानो वह एक ही बार आया हो।
• $\sum fx$ को पंक्तियों की संख्या से भाग दे देना, $\frac{80}{6}$। यह तो 13 गोल प्रति मैच से भी ज़्यादा है, यानी तालिका के हर मान से बड़ा। माध्य कभी मानों के दायरे से बाहर नहीं जाता।
• बारंबारताओं का औसत ले लेना, $\frac{40}{6}$। इससे गोलों के बारे में कुछ पता ही नहीं चलता।

पहले $f$ का कुल जाँचिए: $N = \sum f$ को कुल बारंबारता (total frequency) कहते हैं। यह प्रेक्षणों (observations) की कुल संख्या है, जो यहाँ मैचों की संख्या है। प्रश्न में यह संख्या दी भी हो सकती है, जैसे "40 मैचों में"। $f$ वाले स्तंभ का योग इससे न मिले, तो समझिए कि कोई संख्या गलत पढ़ी गई है।

शून्य वाली पंक्ति: $x = 0$ वाली पंक्तियाँ $\sum fx$ में कुछ नहीं जोड़तीं, पर उनकी बारंबारता $N$ में गिनी जाती है। बिना गोल वाले 5 मैच भी 40 में शामिल हैं।

तालिका पर कल्पित माध्य: कल्पित माध्य 2 लेते हैं। तब हर मान का विचलन (deviation) $d = x - 2$ होगा, यानी $-2, -1, 0, 1, 2, 3$। अब हर विचलन को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़िए।

$$\sum fd = -10 - 10 + 0 + 8 + 6 + 6 = 0$$

योग शून्य आया, तो माध्य ठीक 2 है। यही कल्पित माध्य विधि है, बस छोटी तालिका पर।

वर्ग चिह्न और प्रत्यक्ष विधि

वर्गीकृत आँकड़ों (grouped data) में किसी वर्ग के भीतर के असली मान नहीं दिए होते। उदाहरण के लिए, तालिका बस इतना बताती है कि 15 श्रमिक प्रतिदिन ₹ 300 से ₹ 350 के बीच कमाते हैं। हर श्रमिक ठीक कितना कमाता है, यह पता नहीं चलता।

इसलिए हर वर्ग की जगह एक प्रतिनिधि मान लेते हैं। यह उस वर्ग का वर्ग चिह्न (class mark) होता है, यानी वर्ग का मध्य।

$$\text{वर्ग चिह्न} = \frac{\text{निम्न वर्ग सीमा} + \text{उच्च वर्ग सीमा}}{2}$$

फिर वर्ग चिह्नों को $x$ की जगह रख दीजिए। बाकी हिसाब असतत तालिका जैसा ही है। इसी को प्रत्यक्ष विधि (direct method) कहते हैं।

आकृति में 50 श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी दिखाई गई है। हर दंड के नीचे उसका वर्ग चिह्न लिखा है।

$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{16450}{50} = 329$$

यानी माध्य दैनिक मज़दूरी ₹ 329 है।

केवल वर्ग चिह्नों का औसत: पाँचों वर्ग चिह्नों का सीधा औसत 325 है। पर इसमें यह छूट जाता है कि हर वर्ग में कितने श्रमिक हैं। यहाँ यह संयोग से 329 के पास आ गया, क्योंकि यह तालिका लगभग संतुलित है। जिस तालिका में ज़्यादातर बारंबारता एक तरफ़ हो, वहाँ यह बहुत दूर जा सकता है।

जब दोनों सीमाएँ शामिल हों: 10-19, 20-29, 30-39 जैसे वर्ग समावेशी वर्ग (inclusive classes) कहलाते हैं। इनमें भी वर्ग चिह्न लिखी हुई दोनों सीमाओं का औसत ही होता है, जैसे $\frac{10 + 19}{2} = 14.5$ और $\frac{20 + 29}{2} = 24.5$।

वर्गों को सतत बनाकर 9.5-19.5, 19.5-29.5 लिख लें, तब भी मध्य वही रहता है। इसलिए माध्य के लिए वर्ग परिसीमाओं (class boundaries) की ज़रूरत नहीं पड़ती। हाँ, माध्यिका और बहुलक निकालते समय वर्ग परिसीमाएँ ज़रूरी होती हैं। यह "माध्यिका" वाले खंड में देखेंगे।

उत्तर एक अनुमान है: यहाँ हर वर्ग की जगह उसका मध्य मान रख दिया गया है। इसलिए वर्गीकृत आँकड़ों से निकला माध्य, श्रमिकों की मज़दूरी के असली माध्य का अनुमान भर है। आगे आने वाली कल्पित माध्य विधि और पद-विचलन विधि (step-deviation method) भी ठीक यही अनुमान देती हैं, बस उनमें हिसाब कम करना पड़ता है।

कल्पित माध्य विधि

वर्ग चिह्न बड़े हों, तो हर $fx$ निकालने में बड़ा गुणा करना पड़ता है। ऐसे में कल्पित माध्य विधि लगाते हैं, जिसमें छोटे विचलनों से काम चल जाता है।

तालिका के बीच के आसपास का कोई वर्ग चिह्न $a$ चुन लीजिए। प्रायः सबसे बड़ी बारंबारता वाला वर्ग चिह्न लिया जाता है। फिर हर वर्ग के लिए $d = x - a$ लिखिए और यह सूत्र लगाइए।

$$\bar{x} = a + \frac{\sum fd}{\sum f}$$

अब 50 विद्यार्थियों के अंकों पर इसे लगाते हैं। यहाँ $a = 45$ लिया है।

$$\bar{x} = 45 + \frac{-150}{50} = 45 - 3 = 42$$

यह क्यों चलता है: हर मान, $a$ में उसका विचलन जोड़ने से मिलता है। तो माध्य भी $a$ में विचलनों का माध्य जोड़ने से मिलेगा।

$a$ कुछ भी चुनें, उत्तर नहीं बदलता। जाँच के लिए $a = 35$ लेकर देखिए। तब विचलन $-20, -10, 0, 10, 20, 30$ आते हैं। इन्हें बारंबारता से गुणा करके जोड़ें, तो यह आता है।

$$\sum fd = -60 - 60 + 0 + 160 + 160 + 150 = 350$$

माध्य $35 + \frac{350}{50} = 42$ ही आया। बीच के आसपास का वर्ग चिह्न केवल इसलिए चुनते हैं कि संख्याएँ छोटी रहें।

धन-ऋण चिह्नों का ध्यान: $a$ से नीचे वाले वर्गों में $fd$ ऋणात्मक आता है और ऊपर वाले वर्गों में धनात्मक। ऋणात्मक और धनात्मक $fd$ को अलग-अलग जोड़िए, फिर दोनों को मिलाइए। यहाँ ऋणात्मक वाले मिलकर $-330$ होते हैं और धनात्मक वाले $+180$। इससे चिह्नों में गलती नहीं होती।

मोटी जाँच: माध्य $a$ से 3 नीचे आया। तालिका में भी देखिए, 40-50 वाले वर्ग से नीचे 21 विद्यार्थी हैं और ऊपर केवल 13। तो माध्य का नीचे जाना ठीक ही है।

याद रखिए, $\sum fd$ ऋणात्मक हो तो माध्य $a$ से नीचे होता है, और धनात्मक हो तो $a$ से ऊपर।

पद-विचलन विधि

जब सारे वर्गों का वर्ग माप (class width) $h$ बराबर हो, तो हर विचलन $d$, $h$ का गुणज होता है। तब हर विचलन को $h$ से भाग दे दीजिए। इससे बहुत छोटी संख्याएँ रह जाती हैं। इसी को पद-विचलन विधि कहते हैं।

$$u = \frac{x - a}{h}, \qquad \bar{x} = a + h \times \frac{\sum fu}{\sum f}$$

तीनों विधियों में यह सबसे तेज़ है। परीक्षा में जब भी वर्ग चिह्न बड़े हों, यही लगाइए।

उदाहरण के लिए 50 घरों के मासिक बिजली बिल लेते हैं। यहाँ $a = 1100$ और $h = 200$ है।

$$\bar{x} = 1100 + 200 \times \frac{-35}{50} = 1100 - 140 = 960$$

तो माध्य बिल ₹ 960 है। यही तालिका प्रत्यक्ष विधि से करें, तो $15 \times 900$ और $6 \times 1300$ जैसे गुणा करने पड़ते हैं, और भाग देने से पहले 48,000 का योग निकालना पड़ता है।

$u$ वाला स्तंभ: इसे लिखना बहुत आसान है। चुने हुए वर्ग से ऊपर-नीचे बस गिनती करते जाइए, $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$। एक भी वर्ग चिह्न निकाले बिना यह स्तंभ लिखा जा सकता है।

आख़िर में $h$ से गुणा: $\frac{\sum fu}{\sum f}$ पर रुकना नहीं है। यहाँ यह $-0.7$ आता है। पर यह रुपयों में नहीं, वर्ग माप की इकाई में है। इसलिए $a$ में जोड़ने से पहले इसे 200 से गुणा करना ज़रूरी है। कई छात्र $1100 - 0.7 = 1099.3$ लिख देते हैं, जो गलत है। यह गलती पहचानना आसान है, क्योंकि तब उत्तर लगभग $a$ जितना ही आता है।

वर्ग माप बराबर न हों: कोई एक वर्ग बाकी से चौड़ा हो, तो उसके लिए $u$ का मान पूर्ण संख्या नहीं आता। ऐसी तालिका पर कल्पित माध्य विधि या प्रत्यक्ष विधि लगाइए।

[SSC टिप] परीक्षा में प्रश्न के बगल में केवल $f$ और $u$ वाले स्तंभ लिखिए। पाँच या छह वर्गों वाली तालिका हो, तो पूरा हल दो पंक्तियों में हो जाता है।

दिए गए माध्य से लुप्त बारंबारता

कभी माध्य दिया होता है, पर एक या दो बारंबारताएँ नहीं दी होतीं। ऐसी लुप्त बारंबारता (missing frequency) निकालने के लिए अज्ञात बारंबारता को कोई अक्षर मान लीजिए। उसी अक्षर के साथ $\sum f$ और $\sum fx$ लिखिए, या फिर $\sum fu$। अब माध्य वाले सूत्र को दिए गए माध्य के बराबर रख दीजिए।

एक अज्ञात, असतत तालिका: नीचे की तालिका का माध्य 31 है। $p$ ज्ञात करना है।

यहाँ $\sum f = 30 + p$ और $\sum fx = 50 + 160 + 30p + 480 + 250 = 940 + 30p$ है। अब माध्य को 31 के बराबर रखते हैं।

$$\frac{940 + 30p}{30 + p} = 31 \Rightarrow 940 + 30p = 930 + 31p \Rightarrow p = 10$$

इसका छोटा रास्ता भी है। विचलन उसी मान 30 से लीजिए, जिसकी बारंबारता लुप्त है। तब $\sum fd = 5(-20) + 8(-10) + 12(10) + 5(20) = 40$ आता है, और माध्य $30 + \frac{40}{30 + p}$ होता है। माध्य 31 होने के लिए यह भिन्न 1 के बराबर होनी चाहिए। तो $30 + p = 40$, यानी $p = 10$। यह इसलिए आसान पड़ता है कि अज्ञात बारंबारता उस पंक्ति में है जिसका विचलन 0 है। इसलिए वह हिसाब में केवल एक बार आती है।

दो अज्ञात, वर्गीकृत तालिका: नीचे की तालिका में कुल 50 प्रेक्षण हैं और उनका माध्य 34.4 है। $f_1$ और $f_2$ ज्ञात करने हैं।

कुल से एक समीकरण मिलता है, $25 + f_1 + f_2 = 50$, यानी $f_1 + f_2 = 25$।

दूसरा समीकरण माध्य से आएगा। $a = 35$ और $h = 10$ लेने पर $u = -2, -1, 0, 1, 2$ आते हैं, और $\sum fu = -12 - f_1 + f_2 + 8 = f_2 - f_1 - 4$ होता है। अब इसे माध्य वाले सूत्र में रखिए।

$$35 + 10 \times \frac{f_2 - f_1 - 4}{50} = 34.4 \Rightarrow f_2 - f_1 - 4 = -3 \Rightarrow f_2 - f_1 = 1$$

इसे $f_1 + f_2 = 25$ के साथ हल करने पर $f_2 = 13$ और $f_1 = 12$ मिलते हैं।

उत्तर वापस रखकर देखिए: दोनों मान आपस में बदल दें, यानी $f_1 = 13$ और $f_2 = 12$ लें, तो भी कुल 50 ही आता है, पर माध्य 34.4 नहीं आता। बारंबारताएँ तालिका में वापस रखकर देखने में बस दस सेकंड लगते हैं, और पक्का हो जाता है कि कौन-सी जोड़ी सही है।

हर मान में बदलाव और विचलनों का योग

हर मान में एक जैसा बदलाव किया जाए, तो माध्य में भी ठीक वैसा ही बदलाव होता है।

जैसे 12, 15, 18, 21, 24 का माध्य 18 है। हर एक में 5 जोड़ दें, तो माध्य 23 हो जाएगा। हर एक को 3 से गुणा करें, तो 54। हर $x$ की जगह $2x - 3$ रखें, तो नया माध्य $2 \times 18 - 3 = 33$ होगा। नई सूची बनाने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।

उलटा चलना: मान लीजिए हर मान में से 6 घटाया गया और फिर उसे आधा किया गया। नया माध्य 9 है। पुराना माध्य $\bar{x}$ मानिए, तो $\frac{\bar{x} - 6}{2} = 9$, जिससे $\bar{x} = 24$ आता है। ऐसे प्रश्न में आख़िरी कदम पहले उलटिए। यानी पहले दोगुना कीजिए, फिर 6 जोड़िए।

इकाई बदलना: सेल्सियस से फ़ारेनहाइट बनाने का सूत्र $F = \frac{9}{5}C + 32$ भी $ax + b$ वाला बदलाव ही है। माध्य तापमान $25^\circ\text{C}$ हो, तो फ़ारेनहाइट में माध्य $\frac{9}{5} \times 25 + 32 = 77^\circ\text{F}$ होगा। इसी तरह 1.6 मीटर की माध्य ऊँचाई सेमी में बदलें, तो 160 सेमी आती है।

माध्य से विचलन: हर मान का माध्य से विचलन लेकर जोड़ें, तो योग हमेशा शून्य आता है।

$$\sum (x - \bar{x}) = 0$$

इस खंड के शुरू वाले आठ अंक लीजिए, जिनका माध्य 37 है। उनके विचलन $-3, 4, -9, 8, 0, -7, 5, 2$ हैं, और इनका योग 0 है। माध्य से ऊपर वाले मान कुल मिलाकर जितना ऊपर हैं, नीचे वाले ठीक उतना ही नीचे हैं।

इसी से छूटा हुआ विचलन भी निकल आता है। पाँच मानों के उनके माध्य से विचलन $-5, 8, x, -1, 3$ हैं, तो $x = -5$ होगा।

किसी और संख्या से विचलन: किसी भी संख्या $A$ से विचलन लें, तो उनका योग यह होता है।

$$\sum (x - A) = n(\bar{x} - A)$$

जैसे 8 मानों के 50 से विचलनों का योग $-16$ है। तो $8(\bar{x} - 50) = -16$, जिससे $\bar{x} = 48$ आता है। यहाँ 50 असल में कल्पित माध्य का ही काम कर रहा है।

हर मान में एक ही संख्या जोड़ें, तो माध्यिका और बहुलक भी माध्य जितने ही खिसकते हैं, पर मानक विचलन वही रहता है। यह "परिसर, प्रसरण और मानक विचलन" वाले खंड में आएगा।

हल किए गए उदाहरण

अब इस खंड के तरीकों पर कुछ प्रश्न हल करते हैं।

प्रश्न 1

किसी बल्लेबाज़ ने आठ पारियों में 38, 71, 12, 66, 0, 49, 85 और 57 रन बनाए। प्रति पारी उसका माध्य स्कोर क्या है? (a) 47.25 (b) 54 (c) 53 (d) 47

उत्तर: आठों स्कोर जोड़ लेते हैं, $38 + 71 + 12 + 66 + 0 + 49 + 85 + 57 = 378$। उसने आठ बार बल्लेबाज़ी की, और 0 वाली पारी भी इन्हीं में से एक है। तो 8 से भाग देंगे, $\frac{378}{8} = 47.25$, यानी (a) 47.25। शून्य वाली पारी छोड़कर 7 से भाग दें, तो 54 आता है। यह गलत है, क्योंकि वह पारी खेली गई थी।

प्रश्न 2

11 परिणामों का माध्य 30 है। पहले छह परिणामों का माध्य 28 और अंतिम छह परिणामों का माध्य 33 है। छठा परिणाम क्या है? (a) 30 (b) 31 (c) 36 (d) 26

उत्तर: पहले छह का योग $6 \times 28 = 168$ है और अंतिम छह का $6 \times 33 = 198$। दोनों मिलाकर 366 हुए। पर सारे 11 परिणामों का योग केवल $11 \times 30 = 330$ है। ये 36 फ़ालतू इसलिए आए कि छठा परिणाम दोनों समूहों में गिना गया। तो छठा परिणाम (c) 36 है।

प्रश्न 3

24 प्रेक्षणों का माध्य 40 है। एक और प्रेक्षण सम्मिलित करने पर माध्य 41 हो जाता है। नया प्रेक्षण क्या है? (a) 41 (b) 65 (c) 64 (d) 66

उत्तर: यहाँ दो योग निकालने हैं। पुराना योग $24 \times 40 = 960$ और नया योग $25 \times 41 = 1025$ है। नया प्रेक्षण इन दोनों का अंतर है, यानी 65। बिना बड़े गुणा के भी यह निकलता है। नए मान को ख़ुद 41 चाहिए, और 24 पुराने मानों में से हर एक के लिए 1 और, ताकि उनका माध्य 40 से 41 हो जाए। तो $41 + 24 = 65$, यानी (b) 65।

प्रश्न 4

30 प्रेक्षणों का माध्य 52 है। यदि प्रेक्षण 81 को हटा दिया जाए, तो शेष प्रेक्षणों का माध्य क्या होगा? (a) 49.3 (b) 50 (c) 53 (d) 51

उत्तर: सबसे पहले 30 प्रेक्षणों का योग निकालते हैं, $30 \times 52 = 1560$। इसमें से 81 घटा दें, तो $1560 - 81 = 1479$ बचता है। अब प्रेक्षण 29 रह गए, तो माध्य $\frac{1479}{29} =$ (d) 51। ध्यान रहे, यहाँ भाग 29 से देना है, 30 से नहीं, क्योंकि एक प्रेक्षण हट चुका है।

प्रश्न 5

50 प्रेक्षणों का माध्य 61 पाया गया। बाद में ज्ञात हुआ कि प्रेक्षण 92 को भूल से 29 लिख लिया गया था। सही माध्य क्या है? (a) 62.26 (b) 59.74 (c) 62.5 (d) 61.9

उत्तर: गलत योग $50 \times 61 = 3050$ है। इसमें 29 की जगह 92 होना था, तो सही योग $3050 - 29 + 92 = 3113$ और सही माध्य $\frac{3113}{50} = 62.26$ हुआ। चाहें तो सीधे अंतर से कर लीजिए। योग $92 - 29 = 63$ कम था, तो माध्य $\frac{63}{50} = 1.26$ कम था। सही माध्य $61 + 1.26 = 62.26$, यानी (a) 62.26। असली मान लिखे गए मान से बड़ा है, इसलिए माध्य को ऊपर ही जाना था।

प्रश्न 6

20 प्रेक्षणों का माध्य 45 है। बाद में ज्ञात हुआ कि दो प्रेक्षण 38 और 52 भूल से 83 और 25 ले लिए गए थे। सही माध्य क्या है? (a) 45.9 (b) 44.55 (c) 45 (d) 44.1

उत्तर: पहले गलत योग निकालते हैं, $20 \times 45 = 900$। अब दोनों गलत मान हटाकर सही मान रखते हैं, $900 - 83 - 25 + 38 + 52 = 882$। सही माध्य $\frac{882}{20} = 44.1$, यानी (d) 44.1। इसे दूसरी तरह से भी जाँच सकते हैं। गलत मानों का योग 108 था और सही मानों का 90, यानी योग 18 ज़्यादा था। इससे माध्य $\frac{18}{20} = 0.9$ ज़्यादा आया था।

प्रश्न 7

20 और 200 के बीच 6 के सभी गुणजों का माध्य क्या है? (a) 110 (b) 102 (c) 111 (d) 105

उत्तर: 6 के गुणज बराबर कदमों में बढ़ते हैं, तो माध्य पहले और आख़िरी गुणज का औसत होगा। 20 के बाद 6 का पहला गुणज 24 है और 200 से पहले आख़िरी 198। माध्य $\frac{24 + 198}{2} = \frac{222}{2} =$ (c) 111। गुणज कितने हैं, यह गिनना ही नहीं पड़ा।

प्रश्न 8

पाँच क्रमागत विषम संख्याओं का माध्य 37 है। इनमें सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? (a) 39 (b) 45 (c) 43 (d) 41

उत्तर: पाँच क्रमागत विषम संख्याओं में माध्य बीच वाली संख्या ही होती है, तो बीच वाली संख्या 37 है। संख्याएँ 2-2 के अंतर से बढ़ती हैं, इसलिए वे 33, 35, 37, 39 और 41 हैं। सबसे बड़ी संख्या (d) 41 है।

प्रश्न 9

किसी परीक्षा के चार प्रश्नपत्रों के भार 3, 2, 4 और 1 हैं। एक परीक्षार्थी को इन प्रश्नपत्रों में क्रमशः 72, 65, 80 और 58 अंक मिलते हैं। अंकों का भारित माध्य क्या है? (a) 68.75 (b) 72.4 (c) 72 (d) 70.6

उत्तर: यहाँ भार बताता है कि किस प्रश्नपत्र को कितना महत्त्व मिलेगा। हर अंक को उसके भार से गुणा करके जोड़ते हैं, $3 \times 72 + 2 \times 65 + 4 \times 80 + 1 \times 58 = 216 + 130 + 320 + 58 = 724$। भारों का योग 10 है, तो भारित माध्य $\frac{724}{10} = 72.4$, यानी (b) 72.4। चारों अंकों का सीधा औसत 68.75 निकलता है, पर उसमें भार 1 वाले प्रश्नपत्र को भी भार 4 वाले जितना महत्त्व मिल जाता है।

प्रश्न 10

किसी कक्षा के खंड A में 40 विद्यार्थी हैं, जिनके माध्य अंक 62 हैं, और खंड B में 35 विद्यार्थी हैं, जिनके माध्य अंक 68 हैं। सभी 75 विद्यार्थियों के माध्य अंक क्या हैं? (a) 64.8 (b) 65 (c) 65.2 (d) 64

उत्तर: A के कुल अंक $40 \times 62 = 2480$ और B के कुल अंक $35 \times 68 = 2380$ हैं। सारे 75 विद्यार्थियों के अंक $2480 + 2380 = 4860$ हुए, तो माध्य $\frac{4860}{75} =$ (a) 64.8। यह उत्तर समझ में भी आता है। A में विद्यार्थी ज़्यादा हैं, इसलिए माध्य 62 और 68 के सीधे औसत 65 से थोड़ा नीचे खिंच गया।

प्रश्न 11

किसी कार्यालय के सभी कर्मचारियों का माध्य वेतन ₹ 24,000 है। पुरुषों का माध्य वेतन ₹ 26,000 और महिलाओं का ₹ 21,000 है। यदि महिलाएँ 60 हैं, तो पुरुष कितने हैं? (a) 40 (b) 75 (c) 90 (d) 100

उत्तर: कुल माध्य पुरुषों के माध्य से ₹ 2,000 नीचे है और महिलाओं के माध्य से ₹ 3,000 ऊपर। जिस समूह के माध्य से दूरी कम है, वही समूह बड़ा है। इसलिए समूहों का अनुपात दूरियों के अनुपात का उलटा होगा, यानी पुरुष : महिलाएँ $= 3 : 2$। महिलाएँ 60 हैं, इसलिए पुरुष $\frac{3}{2} \times 60 = 90$, यानी (c) 90। जाँच भी कर लेते हैं, $\frac{90 \times 26000 + 60 \times 21000}{150} = \frac{3600000}{150} = 24000$। कोई जल्दबाज़ी में दूरियों वाला अनुपात ही ले ले, यानी पुरुष : महिलाएँ $2 : 3$, तो 40 पुरुष आते हैं। पर तब कुल माध्य महिलाओं के माध्य के अधिक पास होता, जो यहाँ नहीं है।

प्रश्न 12

तीन कक्षाओं में क्रमशः 30, 25 और 45 विद्यार्थी हैं और उनके माध्य अंक क्रमशः 50, 60 और 48 हैं। सभी विद्यार्थियों के एक साथ माध्य अंक क्या हैं? (a) 52 (b) 51.6 (c) 50.4 (d) 53

उत्तर: हर कक्षा का कुल अलग-अलग निकाल लेते हैं, $30 \times 50 = 1500$, $25 \times 60 = 1500$ और $45 \times 48 = 2160$। सब मिलाकर $1500 + 1500 + 2160 = 5160$ अंक हैं, जो $30 + 25 + 45 = 100$ विद्यार्थियों के हैं। तो माध्य (b) 51.6 है। यह 50, 60 और 48 के सीधे औसत 52.67 से कम आया। वजह यह है कि 45 विद्यार्थियों वाली सबसे बड़ी कक्षा का माध्य ही सबसे कम है।

प्रश्न 13

तालिका में किसी गाँव के 50 परिवारों में बच्चों की संख्या दी गई है।

प्रति परिवार बच्चों की माध्य संख्या क्या है? (a) 1.96 (b) 2.5 (c) 2.04 (d) 1.86

उत्तर: बच्चों की हर संख्या को उतने बच्चों वाले परिवारों की संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं। कुल बच्चे $0 + 11 + 38 + 27 + 12 + 10 = 98$ आते हैं। परिवार 50 हैं, तो माध्य $\frac{98}{50} =$ (a) 1.96। बिना बच्चों वाले 6 परिवार 98 में कुछ नहीं जोड़ते, पर 50 में गिने जाते हैं।

प्रश्न 14

100 अंकों की एक परीक्षा में 50 विद्यार्थियों के अंक नीचे दर्शाए गए हैं।

माध्य अंक क्या है? (a) 50 (b) 52.8 (c) 56.4 (d) 54.4

उत्तर: वर्ग चिह्न 10, 30, 50, 70 और 90 हैं। पद-विचलन विधि से करते हैं, $a = 50$ और $h = 20$ लेकर। तब $u = -2, -1, 0, 1, 2$ आते हैं। इन्हें बारंबारता से गुणा करके जोड़ते हैं।

$$\sum fu = -8 - 10 + 0 + 13 + 16 = 11$$

अब माध्य निकालते हैं।

$$\bar{x} = 50 + 20 \times \frac{11}{50} = 50 + 4.4 = 54.4$$

तो माध्य अंक (d) 54.4 है। पाँचों वर्ग चिह्नों का सीधा औसत तो 50 है, पर उससे काम नहीं चलेगा। ऊपर वाले वर्गों में विद्यार्थी ज़्यादा हैं, इसलिए माध्य 50 से ऊपर होना ही चाहिए।

प्रश्न 15

40 दिनों में किसी दुकान की दैनिक बिक्री नीचे दी गई है।

माध्य दैनिक बिक्री क्या है? (a) ₹ 2,250.25 (b) ₹ 2,400 (c) ₹ 2,375 (d) ₹ 2,350

उत्तर: हर वर्ग 500 चौड़ा है, तो $h = 500$ लेते हैं। कल्पित माध्य $a = 2250$ रखते हैं, जो 2000-2500 वाले वर्ग का मध्य है। तब $u = -2, -1, 0, 1, 2$ आते हैं।

$$\sum fu = -8 - 7 + 0 + 9 + 16 = 10$$

$$\bar{x} = 2250 + 500 \times \frac{10}{40} = 2250 + 125 = 2375$$

यानी माध्य दैनिक बिक्री (c) ₹ 2,375 है। आख़िरी कदम में 500 से गुणा करना भूल जाएँ, तो उत्तर 2250.25 आता है, जो लगभग $a$ जितना ही है। इसी से पता चल जाता है कि कोई कदम छूट गया।

प्रश्न 16

किसी क्लब के 50 सदस्यों की आयु नीचे दी गई है।

सदस्यों की माध्य आयु क्या है? (a) 43.4 वर्ष (b) 42.9 वर्ष (c) 44.5 वर्ष (d) 42.4 वर्ष

उत्तर: वर्ग चिह्न लिखी हुई सीमाओं का मध्य लेते हैं, $\frac{20 + 29}{2} = 24.5$, फिर 34.5, 44.5, 54.5 और 64.5। अब $a = 44.5$ और $h = 10$ लेने पर $u = -2, -1, 0, 1, 2$ आते हैं।

$$\sum fu = -12 - 14 + 0 + 10 + 8 = -8$$

$$\bar{x} = 44.5 + 10 \times \frac{-8}{50} = 44.5 - 1.6 = 42.9$$

तो माध्य आयु (b) 42.9 वर्ष है। कोई वर्ग चिह्न 25, 35, 45 आदि ले ले, तो हर एक 0.5 ऊपर चला जाता है और उत्तर 43.4 आता है।

प्रश्न 17

निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य 11 है।

$p$ का मान क्या है? (a) 5 (b) 7 (c) 8 (d) 9

उत्तर: पहले $p$ को साथ रखकर दोनों योग लिखते हैं, $\sum f = 25 + p$ और $\sum fx = 24 + 72 + 12p + 112 + 60 = 268 + 12p$। माध्य 11 है, इसलिए

$$268 + 12p = 11(25 + p) = 275 + 11p \Rightarrow p = 7$$

यानी उत्तर (b) 7 है। जाँच के लिए 7 वापस रखते हैं। तब $\sum f = 32$ और $\sum fx = 352$ आते हैं, और $\frac{352}{32} = 11$, जो दिया गया माध्य ही है।

प्रश्न 18

निम्नलिखित बंटन का माध्य 24 है।

लुप्त बारंबारता $k$ का मान क्या है? (a) 20 (b) 18 (c) 12 (d) 24

उत्तर: विचलन 25 से लेते हैं, जो $k$ वाले वर्ग का वर्ग चिह्न है। इससे $k$ का गुणा 0 से होता है। बाकी वर्गों से $8(-20) + 12(-10) + 10(10) + 6(20) = -160 - 120 + 100 + 120 = -60$ मिलता है। तो माध्य $25 + \frac{-60}{36 + k}$ है, और यह 24 होना चाहिए। मतलब $\frac{60}{36 + k} = 1$, यानी $36 + k = 60$, और $k$ = (d) 24।

प्रश्न 19

नीचे दी गई तालिका में कुल 40 प्रेक्षण हैं और इनका माध्य 51.5 है।

$a$ और $b$ के मान क्या हैं? (a) $a = 10$, $b = 7$ (b) $a = 7$, $b = 10$ (c) $a = 9$, $b = 8$ (d) $a = 11$, $b = 6$

उत्तर: पहले कुल से समीकरण बनाते हैं, $4 + a + 12 + b + 7 = 40$, तो $a + b = 17$। माध्य के लिए कल्पित माध्य $a_0 = 50$ लेते हैं, जो बीच वाला वर्ग चिह्न है, और $h = 20$। तब $u = -2, -1, 0, 1, 2$ आते हैं और $\sum fu = -8 - a + 0 + b + 14 = 6 - a + b$ होता है। अब माध्य वाला सूत्र लगाते हैं।

$$50 + 20 \times \frac{6 - a + b}{40} = 51.5 \Rightarrow \frac{6 - a + b}{2} = 1.5 \Rightarrow a - b = 3$$

$a + b = 17$ और $a - b = 3$ को जोड़ने पर $2a = 20$ आता है। तो $a = 10$ और $b = 7$, यानी (a) $a = 10$, $b = 7$। यहाँ कल्पित माध्य को $a_0$ नाम दिया है, ताकि वह बारंबारता $a$ से न उलझे।

प्रश्न 20

15 प्रेक्षणों का माध्य 24 है। प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाता है और फिर उसमें से 5 घटाया जाता है। नया माध्य क्या है? (a) 72 (b) 67 (c) 57 (d) 69

उत्तर: हर प्रेक्षण के साथ जो किया गया, वही माध्य के साथ कर देते हैं। नया माध्य $3 \times 24 - 5 = 72 - 5 =$ (b) 67। प्रेक्षण 15 हैं, पर यहाँ इस संख्या की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

प्रश्न 21

10 प्रेक्षणों के 25 से विचलनों का योग 40 है। प्रेक्षणों का माध्य क्या है? (a) 29 (b) 65 (c) 4 (d) 21

उत्तर: विचलनों का योग 40 है, तो प्रेक्षणों का योग $10 \times 25 + 40 = 290$ होगा और माध्य $\frac{290}{10} = 29$। इसे एक कदम में भी कर सकते हैं। 25 में प्रति प्रेक्षण विचलन जोड़ दीजिए, $25 + \frac{40}{10} =$ (a) 29।

प्रश्न 22

छह प्रेक्षणों के उनके माध्य से विचलन $-4, 7, x, -2, 5$ और $-9$ हैं। $x$ का मान क्या है? (a) $-3$ (b) 0 (c) 3 (d) 1

उत्तर: माध्य से विचलनों का योग हमेशा 0 होता है। ज्ञात पाँच विचलनों का योग $-4 + 7 - 2 + 5 - 9 = -3$ है। कुल को वापस 0 पर लाने के लिए $x$ = (c) 3 चाहिए।