शॉर्टकट और तेज़ तरीके

कल्पित माध्य से माध्य

सांख्यिकी के प्रश्न में आम तौर पर एक सूची या बारंबारता तालिका दी होती है, और उससे कोई एक संख्या पूछी जाती है। यह संख्या माध्य हो सकती है, माध्यिका, बहुलक या फिर मानक विचलन।

ऐसे प्रश्नों में ज़्यादातर समय लंबे जोड़, गुणनफल और वर्ग निकालने में जाता है। आगे का हर तरीका इनमें से किसी एक काम को छोटा कर देता है। हर तरीके के साथ यह भी देखेंगे कि वह कब काम आता है, और कुछ तरीकों में यह भी कि वे कहाँ काम नहीं आते।

पहला तरीका कल्पित माध्य (working mean) का है। सारे मान एक-दूसरे के पास-पास हों, जैसे रोज़ की बिक्री, भार या अंक, तो यह तरीका सबसे अच्छा चलता है। बीच के आसपास की कोई गोल संख्या $A$ चुन लीजिए। अब हर मान के लिए देखिए कि वह $A$ से कितना ऊपर है या कितना नीचे। ऊपर वाले विचलन को धन लिखिए और नीचे वाले को ऋण। फिर इन विचलनों को जोड़िए और योग को मानों की गिनती से भाग दे दीजिए।

$$\bar{x} = A + \frac{\text{विचलनों का योग}}{n}$$

एक डेयरी ने आठ दिनों में 142, 138, 151, 147, 135, 149, 144 और 146 लीटर दूध बेचा। यहाँ $A = 145$ लेना ठीक रहेगा। विचलन $-3, -7, +6, +2, -10, +4, -1, +1$ आते हैं, जिनका योग $-8$ है। तो माध्य $145 - \frac{8}{8} = 144$ लीटर हुआ।

संख्या-पैटर्नों के माध्य

कुछ प्रश्नों में मान बराबर अंतर से बढ़ते जाते हैं। कभी प्रश्न में प्रथम $n$ प्राकृत, सम या विषम संख्याएँ होती हैं, या फिर उनके वर्ग या घन। ऐसे में मानों को जोड़ने बैठने की ज़रूरत नहीं है। नीचे के नतीजे सीधे लगा दीजिए।

• मान बराबर अंतर पर हों, तो माध्य $= \frac{\text{पहला} + \text{अंतिम}}{2}$। बीच वाला मान भी यही होता है।
• प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का माध्य $\frac{n + 1}{2}$ होता है। प्रथम $n$ सम संख्याओं का माध्य $n + 1$ होता है, और प्रथम $n$ विषम संख्याओं का $n$।
• प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों का माध्य $\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$ होता है, और उनके घनों का $\frac{n(n + 1)^2}{4}$।

जैसे 18 से 180 तक 9 के गुणजों का माध्य चाहिए। ये गुणज बराबर अंतर पर हैं, तो माध्य $\frac{18 + 180}{2} = 99$ है। गुणज कितने हैं, यह गिनने की भी ज़रूरत नहीं पड़ती।

इसी तरह प्रथम 25 विषम संख्याओं का माध्य 25 ही है। और $1^2, 2^2, \ldots, 11^2$ का माध्य $\frac{12 \times 23}{6} = 46$ है।

बस इतना देख लीजिए कि अंतर सच में बराबर हो। अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 लीजिए। पहली और अंतिम संख्या को जोड़कर आधा करें, तो 6.5 आता है, पर इनका असली माध्य $\frac{28}{5} = 5.6$ है।

एक मान गलत, जुड़ा या हटा

कभी सूची का कोई मान गलत लिख लिया जाता है, कभी कोई नया मान जुड़ जाता है और कभी कोई मान हट जाता है। ऐसे प्रश्नों में पूरा योग दोबारा निकालने की ज़रूरत नहीं होती। हिसाब केवल उस परिवर्तन से कीजिए।

विद्यार्थियों की आयु में शिक्षक की आयु जुड़ने जैसे शब्द-प्रश्न अध्याय 5 (औसत) में हैं। यहाँ वे तीन रूप देखते हैं जो सांख्यिकी के प्रश्नों में आते हैं।

• कोई मान गलती से लिखा गया हो, तो नया माध्य $=$ पुराना माध्य $+ \frac{\text{सही मान} - \text{गलत मान}}{n}$।
• एक मान जुड़ा हो और सभी $n + 1$ मानों का नया माध्य दिया हो, तो जुड़ने वाला मान निकालने के लिए माध्य जितना बढ़ा है, उसका $n$ गुना नए माध्य में जोड़ दीजिए।
• एक मान हटा हो और बाकी $n - 1$ मानों का माध्य दिया हो, तो हटाया गया मान निकालने के लिए माध्य जितना घटा है, उसका $(n - 1)$ गुना पुराने माध्य में जोड़ दीजिए।

मान लीजिए 40 अंकों का माध्य 62 निकला। बाद में पता चला कि एक अंक 86 की जगह 41 दर्ज हो गया था। तो योग 45 कम रह गया था, और माध्य $\frac{45}{40} = 1.125$ कम। सही माध्य 63.125 है।

अब एक मान जुड़ने का उदाहरण देखिए। 20 श्रमिकों की माध्य दैनिक कमाई ₹ 600 है। एक पर्यवेक्षक उनके साथ जुड़ता है, और सभी 21 की माध्य कमाई ₹ 615 हो जाती है। तो पर्यवेक्षक की कमाई $615 + 20 \times 15 = 915$ रुपये प्रतिदिन है।

दो या तीन समूहों का संयुक्त माध्य

दो समूहों को मिलाने पर उनका संयुक्त माध्य (combined mean) $\frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ होता है। इसके बारे में एक बात पक्की है। यह हमेशा दोनों माध्यों के बीच में आता है, और बड़े समूह के माध्य के ज़्यादा पास रहता है।

पूरा सूत्र लगाए बिना भी काम चल जाता है। पहले समूह के माध्य से शुरू कीजिए, और दोनों माध्यों के अंतर का $\frac{n_2}{n_1 + n_2}$ भाग दूसरे समूह के माध्य की ओर बढ़ जाइए।

एक कक्षा लीजिए। 45 लड़कों के माध्य अंक 56 हैं और 15 लड़कियों के 64। दोनों माध्यों का अंतर 8 है। लड़कियाँ कक्षा का $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ भाग हैं, तो संयुक्त माध्य $56 + \frac{1}{4} \times 8 = 58$ है।

प्रश्न उलटा भी पूछा जाता है। संयुक्त माध्य $M$ दिया होता है, और पूछा जाता है कि दोनों समूहों के सदस्यों की संख्या किस अनुपात में है। यह अनुपात $(\bar{x}_2 - M) : (M - \bar{x}_1)$ होता है। उसी कक्षा में माध्य 56 और 64 हैं और $M = 58$ है। तो लड़के : लड़कियाँ = $(64 - 58) : (58 - 56) = 3 : 1$, और 45 : 15 भी यही अनुपात है।

तीन समूह हों, तब भी यही तरीका चलता है। किसी एक समूह के माध्य को आधार मानकर बाकी के विचलन लीजिए। मान लीजिए तीन अनुभागों में 40, 35 और 25 विद्यार्थी हैं, और उनके माध्य 62, 70 और 58 हैं। 62 से विचलन लेने पर संयुक्त माध्य $62 + \frac{35 \times 8 - 25 \times 4}{100} = 63.8$ आता है।

पद-विचलन से वर्गीकृत माध्य

वर्गीकृत आँकड़ों में सारे वर्गों का वर्ग माप (class width) बराबर हो, और वर्ग चिह्न (class mark) बड़ी-बड़ी संख्याएँ हों, जैसे मज़दूरी या भार के प्रश्नों में, तो पद-विचलन विधि (step-deviation method) सबसे जल्दी काम करती है।

बीच के पास का कोई वर्ग चिह्न चुनकर उसे $A$ कहिए, और वर्ग माप को $h$। अब हर वर्ग के लिए $u = \frac{x - A}{h}$ निकालिए। यह एक छोटी पूर्ण संख्या आती है। फिर यह सूत्र लगाइए।

$$\bar{x} = A + h \times \frac{\sum fu}{\sum f}$$

नीचे 50 आमों के भार दिए हैं।

वर्ग चिह्न 320, 360, 400, 440 और 480 हैं। $A = 400$ और $h = 40$ लेने पर $u$ के मान वही आते हैं जो तालिका की आख़िरी पंक्ति में हैं। अब $\sum fu = -12 - 11 + 0 + 10 + 10 = -3$, तो $\bar{x} = 400 + 40 \times \frac{-3}{50} = 397.6$ ग्राम।

यह विधि तभी तक साथ देती है जब सारे वर्ग माप बराबर हों। वर्गों के माप अलग-अलग हों, तो $u$ के मान पूर्ण संख्याएँ नहीं रहेंगे। तब $h$ से भाग दिए बिना सीधे $d = x - A$ लेकर काम कीजिए।

लुप्त बारंबारता: दिए हुए माध्य से विचलन

माध्य से हर मान का विचलन लीजिए और उसे उस मान की बारंबारता से गुणा कीजिए। इन सब गुणनफलों का योग हमेशा शून्य होता है।

लुप्त बारंबारता (missing frequency) वाले प्रश्न इसी बात से जल्दी हल होते हैं। माध्य दिया हो और एक बारंबारता न दी हो, तो विचलन उसी दिए हुए माध्य से लीजिए। $\sum f(x - \bar{x}) = 0$ लिखते ही अज्ञात के लिए एक सीधा समीकरण मिल जाता है। अंत में कोई भाग भी नहीं करना पड़ता।

उदाहरण के लिए, नीचे की तालिका का माध्य 16 है और $p$ ज्ञात करना है।

16 से विचलन $-11, -6, -1, 4$ और $9$ हैं। तो $4(-11) - 6p + 10(-1) + 9(4) + 6(9) = 0$, यानी $36 - 6p = 0$, और $p = 6$।

एक स्थिति में यह तरीका काम नहीं करता। लुप्त बारंबारता उसी मान की हो जो माध्य के बराबर है, तो उस मान का विचलन 0 होगा। तब माध्य से वह बारंबारता तय ही नहीं होती। ऐसे प्रश्न में कुल बारंबारता भी दी होनी चाहिए।

[SSC टिप] उत्तर पर निशान लगाने से पहले उसे तालिका में वापस रखकर जाँच लीजिए। $p = 6$ रखने पर कुल 35 आता है और $\sum fx = 560$, जो ठीक $16 \times 35$ है।

सूची की माध्यिका: पहले गिनती, फिर क्रम

सूची की माध्यिका निकालनी हो, तो सबसे पहले मान गिन लीजिए। $n$ विषम हो, तो माध्यिका क्रम में $\frac{n + 1}{2}$वाँ मान होती है। $n$ सम हो, तो $\frac{n}{2}$वें और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$वें मानों का माध्य लीजिए।

कौन-से स्थान चाहिए, यह पता चल जाए, तो पूरी सूची क्रम में लगाने की ज़रूरत नहीं रहती। बस उन स्थानों तक क्रम में लगा लीजिए।

एक बल्लेबाज़ ने दस पारियों में 38, 7, 66, 52, 0, 61, 25, 52, 84 और 15 रन बनाए। यहाँ $n = 10$ है, तो माध्यिका पाँचवें और छठे मानों का माध्य होगी। क्रम में लगाने पर 0, 7, 15, 25, 38, 52, 52, 61, 66, 84 आता है। माध्यिका $\frac{38 + 52}{2} = 45$ रन है।

कई छात्र लिखे हुए क्रम से ही पाँचवाँ और छठा मान उठा लेते हैं, यानी 0 और 61, और 30.5 लिख देते हैं। इसीलिए पहले क्रम में लगाना ज़रूरी है।

कोई मान दोबारा आए, जैसे यहाँ 52, तो वह जितनी बार आया है उतनी ही बार गिना जाता है।

वर्गीकृत तालिका की माध्यिका, चार कदमों में

वर्गीकृत तालिका की माध्यिका इन चार कदमों में निकलती है।

1. पहले $\frac{N}{2}$ निकालिए। वर्गीकृत आँकड़ों में $\frac{N}{2}$ ही लिया जाता है, $\frac{N + 1}{2}$ नहीं।
2. हर वर्ग तक की संचयी बारंबारता (cumulative frequency) लिखिए। जिस वर्ग पर संचयी बारंबारता पहली बार $\frac{N}{2}$ तक पहुँचे, वही माध्यिका वर्ग (median class) है।
3. उस वर्ग की निम्न वर्ग परिसीमा को $L$ कहिए, उसकी बारंबारता को $f$, उसके वर्ग माप को $h$ और उससे पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता को $cf$।
4. अब माध्यिका $= L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h$। इसमें जो भिन्न है, वह बताती है कि मध्य मान उस वर्ग में कितना अंदर है।

अब 60 परिवारों की मासिक बचत देखिए।

यहाँ $\frac{N}{2} = 30$ है। संचयी बारंबारता पहली बार 40-50 वाले वर्ग में 30 तक पहुँचती है, तो माध्यिका वर्ग यही है। इस वर्ग से पहले 20 परिवार हैं। मतलब 30वाँ परिवार इस वर्ग के 20 परिवारों में 10 स्थान अंदर है। तो माध्यिका $= 40 + \frac{10}{20} \times 10 = 45$, यानी ₹ 4,500।

समावेशी वर्ग (inclusive classes) हों, जैसे 10-19, 20-29, तो पहले उन्हें 9.5-19.5, 19.5-29.5 बना लीजिए। इससे $L$ 0.5 घट जाता है।

माध्यिका से दो लुप्त बारंबारताएँ

जब प्रश्न में कुल $N$ और माध्यिका दी हो और दो बारंबारताएँ लुप्त हों, तो सबसे पहले माध्यिका के मान से ही माध्यिका वर्ग पहचान लीजिए। फिर जो संख्याएँ पता हैं, उन्हें सूत्र में रख दीजिए। अब एक ही अज्ञात बचता है, जो $cf$ में छिपा होता है। सूत्र से एक बारंबारता निकल आती है और कुल से दूसरी।

मसलन, $N = 70$ है और माध्यिका 152 है।

152 तो 140-160 वाले वर्ग में आता है। इसलिए $L = 140$, $f = 25$, $h = 20$ और $cf = 7 + x$। सूत्र में रखने पर $152 = 140 + \frac{35 - 7 - x}{25} \times 20$, यानी $12 = \frac{4(28 - x)}{5}$। इससे $28 - x = 15$ और $x = 13$ आता है।

दूसरी बारंबारता कुल से निकल आती है, $y = 70 - 7 - 13 - 25 - 16 = 9$।

वर्गीकृत बहुलक: झुकाव किस ओर?

वर्गों में बँटे आँकड़ों का बहुलक इस सूत्र से निकलता है।

बहुलक $= L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$

यहाँ $f_1$ बहुलक वर्ग (modal class) की बारंबारता है, $f_0$ उससे पहले वाले वर्ग की और $f_2$ उसके बाद वाले वर्ग की।

सूत्र लगाने से पहले एक झटपट जाँच कर लीजिए। बहुलक हमेशा बहुलक वर्ग के भीतर ही आता है, और उस पड़ोसी वर्ग की ओर झुका रहता है जिसकी बारंबारता बड़ी हो। अगर $f_0 = f_2$ हो, तो बहुलक ठीक वर्ग के मध्य में होता है। इसी जाँच से कुछ विकल्प बिना हल किए ही हट जाते हैं।

70 विद्यार्थियों के अंक नीचे दिए हैं।

बहुलक वर्ग 40-60 है। उसके बाद वाले वर्ग में 18 विद्यार्थी हैं और पहले वाले में 15, यानी बाद वाला बड़ा है। तो बहुलक, वर्ग के मध्य 50 से ऊपर होना चाहिए। सूत्र से बहुलक $= 40 + \frac{24 - 15}{48 - 15 - 18} \times 20 = 40 + \frac{9}{15} \times 20 = 52$ आता है।

अगर गलती से $f_0$ और $f_2$ आपस में बदल जाएँ, तो सूत्र से 48 आता है, जो मध्य से नीचे है। ऊपर वाली जाँच से तुरंत पता चल जाता है कि कहीं कुछ गड़बड़ है।

आनुभविक संबंध के तीन रूप

मध्यम विषमता वाले बंटन (moderately skewed distribution) में माध्य, माध्यिका और बहुलक इस आनुभविक संबंध (empirical relation) से जुड़े होते हैं।

$\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$

इसी संबंध को थोड़ा उलट-पलटकर लिखें, तो ये तीन रूप मिलते हैं।

• $\text{माध्य} - \text{बहुलक} = 3(\text{माध्य} - \text{माध्यिका})$
• $\text{माध्यिका} = \frac{2\,\text{माध्य} + \text{बहुलक}}{3}$, यानी माध्यिका, माध्य से बहुलक की ओर एक-तिहाई रास्ते पर होती है।
• $\text{माध्य} = \frac{3\,\text{माध्यिका} - \text{बहुलक}}{2}$

मान लीजिए माध्य 45.6 है और माध्यिका 44.2। तो $\text{बहुलक} = 132.6 - 91.2 = 41.4$। इसी तरह बहुलक 30 और माध्य 36 हो, तो $\text{माध्यिका} = \frac{72 + 30}{3} = 34$।

3 हमेशा माध्यिका के साथ लगता है, और माध्यिका ही बाकी दोनों के बीच रहती है। जो छात्र $3\,\text{माध्य} - 2\,\text{माध्यिका}$ लिख देते हैं, उनका मान गलत आता है, और यही गलत मान अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

एक बात और याद रखिए। यह संबंध केवल लगभग सही है। प्रश्न में कच्चे आँकड़े दिए हों और असली बहुलक पूछा हो, तो मान गिनकर ही बहुलक निकालिए।

हर मान बदलने का असर

सूची के हर मान में एक ही परिवर्तन करने पर माध्य, परिसर और प्रसरण जैसी संख्याएँ इस तरह बदलती हैं।

यही बात एक सूत्र में भी लिखी जा सकती है। $y = ax + b$ हो, तो $\bar{y} = a\bar{x} + b$, $\sigma_y = \lvert a \rvert \sigma_x$ और $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2$।

एक सूची लेते हैं जिसका माध्य 40 है और मानक विचलन 6। हर मान को बदलकर $y = 15 - 2x$ कर दिया गया। अब माध्य $15 - 80 = -65$ होगा। मानक विचलन $2 \times 6 = 12$ होगा, क्योंकि मानक विचलन कभी ऋणात्मक नहीं होता। और प्रसरण 144 होगा। यहाँ जो 15 जुड़ा है, उससे प्रकीर्णन में कोई परिवर्तन नहीं हुआ।

[SSC टिप] विचरण गुणांक (coefficient of variation) निकालने के लिए मानक विचलन को माध्य से भाग देते हैं। इसलिए हर मान में कोई अचर जोड़ने पर विचरण गुणांक बदल जाता है, भले ही मानक विचलन वही रहे।

बड़े वर्गों के बिना प्रसरण: पहले खिसकाना

बड़े-बड़े मानों का प्रसरण निकालना हो, तो एक बात बहुत काम आती है। हर मान में से एक ही संख्या घटा दें, तो प्रसरण नहीं बदलता। इसलिए पहले हर मान में से कोई गोल संख्या $A$ घटा दीजिए। फिर छोटे विचलनों $d = x - A$ से काम कीजिए और यह सूत्र लगाइए।

$$\sigma^2 = \frac{\sum d^2}{n} - \left(\frac{\sum d}{n}\right)^2$$

सूत्र का दूसरा पद इस बात की भरपाई करता है कि $A$ असली माध्य नहीं है।

पाँच पैकेट लीजिए, जिनके भार 495, 499, 501, 503 और 507 ग्राम हैं। $A = 500$ लेने पर विचलन $-5, -1, 1, 3, 7$ आते हैं। इनसे $\sum d = 5$ और $\sum d^2 = 25 + 1 + 1 + 9 + 49 = 85$ मिलता है। अब $\sigma^2 = \frac{85}{5} - 1^2 = 16$, तो $\sigma = 4$ ग्राम। 495 और 507 का वर्ग करने की ज़रूरत कहीं पड़ी ही नहीं।

जल्दबाज़ी में दूसरा पद $\left(\frac{\sum d}{n}\right)^2$ छूट जाए, तो 17 आता है। 17 तभी सही होता, जब $A$ ख़ुद माध्य होता।

प्रकीर्णन के तैयार नतीजे

प्रकीर्णन के ये चार नतीजे सीधे लगाए जा सकते हैं।

• केवल दो मान $a$ और $b$ हों, तो मानक विचलन $= \frac{\lvert a - b \rvert}{2}$।
• $n$ क्रमागत पूर्ण संख्याएँ हों, जैसे प्रथम $n$ प्राकृत संख्याएँ, तो प्रसरण $= \frac{n^2 - 1}{12}$।
• $n$ मान $d$ के बराबर अंतर पर हों, तो प्रसरण $= \frac{d^2(n^2 - 1)}{12}$। मतलब इनका मानक विचलन, $1, 2, \ldots, n$ के मानक विचलन का $d$ गुना होता है।
• सारे मान बराबर हों, तो मानक विचलन $= 0$।

जैसे 18 और 30 का मानक विचलन $\frac{12}{2} = 6$ है। 31, 32, …, 37 सात मान हैं, तो इनका प्रसरण $\frac{49 - 1}{12} = 4$ और मानक विचलन 2 है। 5, 10, 15, …, 35 भी सात मान हैं, बस 5 के अंतर पर। इसलिए इनका मानक विचलन $5 \times 2 = 10$ है।

अधिक स्थिर कौन? मानक विचलन की माध्य से तुलना

दो समूहों में से कौन अधिक स्थिर (more consistent) है, यह विचरण गुणांक से तय होता है।

$\text{विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$

जिस समूह का विचरण गुणांक छोटा हो, वह अधिक स्थिर है, यानी उसमें उतार-चढ़ाव कम है।

केवल यह चुनना हो कि दोनों में से कौन अधिक स्थिर है, तो कोई प्रतिशत निकालने की ज़रूरत नहीं। बस भिन्नें $\frac{\sigma_1}{\bar{x}_1}$ और $\frac{\sigma_2}{\bar{x}_2}$ लिखिए, और तिरछा गुणा करके उनकी तुलना कर लीजिए।

एक सत्र में विद्यार्थी P के टेस्ट अंकों का माध्य 48 और मानक विचलन 12 रहा। विद्यार्थी Q के अंकों का माध्य 36 और मानक विचलन 8 रहा। तिरछा गुणा करने पर $12 \times 36 = 432$ और $8 \times 48 = 384$ आते हैं। Q की भिन्न छोटी है, इसलिए Q अधिक स्थिर है। विचरण गुणांक निकालें, तो 25% और लगभग 22.2% आते हैं।

केवल मानक विचलन देखकर फ़ैसला तभी कीजिए, जब दोनों माध्य बराबर हों। यहाँ P का मानक विचलन सच में बड़ा है, पर Q इस वजह से नहीं चुना गया।

हल से पहले विकल्प हटाना

हल शुरू करने से पहले ये बातें देख लीजिए। इनसे कई विकल्प पहले ही हट जाते हैं।

• माध्य, माध्यिका और बहुलक, तीनों सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच ही आते हैं।
• प्रसरण और मानक विचलन कभी ऋणात्मक नहीं होते। ये 0 तभी होते हैं, जब हर मान एक ही हो।
• मानक विचलन अधिक से अधिक परिसर का आधा हो सकता है।
• आँकड़े सममित हों, जैसे बराबर अंतर वाले मान, तो माध्य और माध्यिका बराबर होते हैं।
• प्रसरण पूछा हो, तो मानक विचलन के बराबर वाला विकल्प भटकाने के लिए रखा होता है। मानक विचलन पूछा हो, तो प्रसरण वाला।

12, 15, 18, 20 और 25 को ही लीजिए। इनका मानक विचलन 8 नहीं हो सकता, क्योंकि परिसर 13 है और मानक विचलन अधिक से अधिक 6.5 होगा। हल करके देखें, तो माध्य 18 आता है, विचलनों के वर्गों का योग 98, प्रसरण 19.6 और मानक विचलन लगभग 4.43।

हल किए गए उदाहरण

नीचे पंद्रह प्रश्न हैं, और हर एक ऊपर के किसी एक तरीके से हल किया गया है। उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न को एक मिनट ख़ुद हल करके देखिए।

प्रश्न 1

नौ विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ (सेमी में) 152, 147, 158, 149, 161, 155, 146, 153 और 156 हैं। उनकी माध्य ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 150 को कल्पित माध्य ले लेते हैं। विचलन $+2, -3, +8, -1, +11, +5, -4, +3, +6$ आते हैं। इन्हें जोड़ने पर $2 - 3 + 8 - 1 + 11 + 5 - 4 + 3 + 6 = 27$ मिलता है। अब माध्य $150 + \frac{27}{9} = 150 + 3 =$ 153 सेमी।

प्रश्न 2

21 क्रमागत सम संख्याओं का माध्य 64 है। इनमें सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

उत्तर: क्रमागत सम संख्याएँ बराबर अंतर से बढ़ती हैं, इसलिए इनका माध्य बीच वाली संख्या के बराबर होता है। 21 संख्याओं में बीच वाली 11वीं है, तो 11वीं संख्या 64 है। इससे पहले 10 संख्याएँ हैं, और हर एक अपनी अगली संख्या से 2 कम है। तो सबसे छोटी संख्या $64 - 10 \times 2 =$ 44 है।

प्रश्न 3

30 प्रेक्षणों का माध्य 52 पाया गया। बाद में देखा गया कि उनमें से दो प्रेक्षण, 46 और 73, गलती से 64 और 37 लिख लिए गए थे। सही माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ कुल योग निकालने की ज़रूरत नहीं है। सही मानों का योग $46 + 73 = 119$ है और लिखे गए मानों का $64 + 37 = 101$। मतलब योग 18 कम रह गया था। इसे 30 मानों पर बाँटने से $\frac{18}{30} = 0.6$ आता है। तो सही माध्य $52 + 0.6 =$ 52.6 है।

यह प्रश्न लगभग 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 4

अनुभाग A के 24 विद्यार्थियों का माध्य भार 52 किग्रा है और अनुभाग B के 36 विद्यार्थियों का माध्य भार 47 किग्रा है। सभी 60 विद्यार्थियों का माध्य भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: उत्तर 47 और 52 के बीच आएगा, और 47 के ज़्यादा पास, क्योंकि अनुभाग B बड़ा है। दोनों माध्यों का अंतर 5 किग्रा है। कुल विद्यार्थियों का $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ भाग अनुभाग A में है, तो सबका माध्य 47 से $\frac{2}{5} \times 5 = 2$ किग्रा ऊपर होगा। यानी माध्य भार 49 किग्रा है।

प्रश्न 5

तालिका में 40 विद्यार्थियों द्वारा एक परीक्षा पूरी करने में लिया गया समय दिया गया है।

लिया गया माध्य समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न 20, 30, 40, 50 और 60 हैं। $A = 40$ और $h = 10$ लेते हैं, तो $u$ के मान $-2, -1, 0, 1, 2$ आते हैं।

अब $\sum fu = 2$ है, तो माध्य $40 + 10 \times \frac{2}{40} = 40 + 0.5 =$ 40.5 मिनट।

प्रश्न 6

तालिका में एक समूह के प्रत्येक व्यक्ति द्वारा एक दिन में पी जाने वाली चाय के कपों की संख्या दी गई है। माध्य 2.5 कप है। $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माध्य 2.5 से विचलन लें, तो कोई भी विचलन पूर्ण संख्या नहीं आता, हर एक के साथ आधा लगा रहता है। इन्हें दोगुना कर लेते हैं, तो पूर्ण संख्याएँ $-5, -3, -1, 1, 3, 5$ मिल जाती हैं। दोगुने विचलनों को बारंबारता से गुणा करके जोड़ने पर भी योग 0 ही रहता है।

$$3(-5) + 7(-3) + 12(-1) + p(1) + 6(3) + 2(5) = 0$$

यानी $-48 + p + 28 = 0$, तो $p - 20 = 0$ और $p = 20$।

प्रश्न 7

किसी स्थान पर 12 दिनों में हुई वर्षा (मिमी में) 4, 0, 12, 7, 0, 23, 9, 15, 3, 7, 18 और 11 थी। वर्षा की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12 मान हैं, तो क्रम में छठा और सातवाँ मान चाहिए। क्रम में लगाने पर 0, 0, 3, 4, 7, 7, 9, 11, 12, 15, 18, 23 आता है। छठा मान 7 है और सातवाँ 9, तो माध्यिका $\frac{7 + 9}{2} =$ 8 मिमी। ध्यान रहे कि दोनों शून्य भी मान हैं, इसलिए वे भी गिनती में आते हैं।

प्रश्न 8

तालिका में एक टीम द्वारा अपने 40 मैचों में से प्रत्येक में किए गए गोलों की संख्या दी गई है।

गोलों की संख्या की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $N = 40$ सम है, तो माध्यिका 20वें और 21वें मानों का माध्य होगी। संचयी बारंबारताएँ 6, 17, 26, 33, 38, 40 हैं। इससे दिखता है कि 18वें से 26वें तक के सारे मान 2 हैं। तो 20वाँ और 21वाँ, दोनों मान 2 हैं, और माध्यिका 2 गोल है।

प्रश्न 9

तालिका में 50 विद्यार्थियों के अंक दिए गए हैं।

अंकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग समावेशी हैं, तो पहले इन्हें सतत बना लेते हैं, 19.5-29.5, 29.5-39.5, 39.5-49.5 और इसी तरह आगे। $\frac{N}{2} = 25$ है। संचयी बारंबारताएँ 5, 18, 38 हैं, तो माध्यिका वर्ग 39.5-49.5 है, और उससे पहले 18 विद्यार्थी हैं।

$$\text{माध्यिका} = 39.5 + \frac{25 - 18}{20} \times 10 = 39.5 + 3.5 = 43$$

तो माध्यिका 43 अंक है। अगर $L = 40$ ले लें, तो 43.5 आता, जो गलत है।

प्रश्न 10

तालिका में 60 विद्यार्थियों द्वारा चुकाया गया मासिक ट्यूशन शुल्क दर्शाया गया है।

बहुलक शुल्क ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 12-16 है, और $f_1 = 20$, $f_0 = 14$, $f_2 = 11$। पहले झटपट जाँच कर लेते हैं। $f_0$ का मान $f_2$ से बड़ा है, तो बहुलक वर्ग के मध्य 14 से नीचे आना चाहिए।

$$\text{बहुलक} = 12 + \frac{20 - 14}{40 - 14 - 11} \times 4 = 12 + \frac{6}{15} \times 4 = 13.6$$

बहुलक शुल्क ₹ 13.6 हज़ार है, यानी ₹ 13,600। यह सच में 14 से नीचे है।

प्रश्न 11

दैनिक मज़दूरी के किसी मध्यम विषमता वाले बंटन में माध्य ₹ 524 और माध्यिका ₹ 518 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आनुभविक संबंध सीधे लगाते हैं। $\text{बहुलक} = 3 \times 518 - 2 \times 524 = 1554 - 1048 = 506$, तो बहुलक ₹ 506 है। जाँच भी साथ में हो जाती है, क्योंकि माध्यिका, माध्य और बहुलक के बीच आ रही है, जैसा होना चाहिए।

इसे हल करने में करीब 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 12

किसी बंटन का बहुलक 63.5 और माध्यिका 60.5 है। आनुभविक संबंध का प्रयोग करके माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$ से $2\,\text{माध्य} = 3 \times 60.5 - 63.5 = 181.5 - 63.5 = 118$ आता है। तो माध्य 59 है।

प्रश्न 13

पाँच पौधों की ऊँचाइयाँ 142, 148, 150, 156 और 159 सेमी हैं। उनकी ऊँचाइयों का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर ऊँचाई में से 150 घटा लेते हैं, तो $-8, -2, 0, 6, 9$ मिलते हैं। इनका योग 5 है, और इनके वर्गों का योग $64 + 4 + 0 + 36 + 81 = 185$।

$$\sigma^2 = \frac{185}{5} - \left(\frac{5}{5}\right)^2 = 37 - 1 = 36$$

तो मानक विचलन 6 सेमी है।

प्रश्न 14

संख्याओं के एक समूह का माध्य 32 और मानक विचलन 5 है। प्रत्येक संख्या को 4 से गुणा किया जाता है और फिर उसमें से 9 घटाया जाता है। नया माध्य और नया प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर संख्या पर जो परिवर्तन हुआ, वही माध्य पर भी होगा, तो नया माध्य $4 \times 32 - 9 = 119$ है। मानक विचलन 4 से गुणा होगा, पर 9 घटाने का उस पर कोई असर नहीं पड़ता। इसलिए नया मानक विचलन 20 है और प्रसरण $20^2 = 400$। उत्तर है माध्य 119, प्रसरण 400।

प्रश्न 15

एक महीने में कारखाने A के दैनिक उत्पादन का माध्य 40 टन और मानक विचलन 8 टन रहा, तथा कारखाने B के दैनिक उत्पादन का माध्य 20 टन और मानक विचलन 5 टन रहा। किस कारखाने का उत्पादन अधिक स्थिर था?

उत्तर: $\frac{8}{40}$ और $\frac{5}{20}$ की तुलना तिरछा गुणा करके कर लेते हैं। $8 \times 20 = 160$ और $5 \times 40 = 200$ आते हैं। A की भिन्न छोटी है, तो कारखाना A का उत्पादन अधिक स्थिर था, भले ही उसका मानक विचलन बड़ा है। प्रतिशत में देखें, तो दोनों के विचरण गुणांक 20% और 25% हैं।