माध्यिका

सूची की माध्यिका

आँकड़ों को क्रम में लगा दें, तो ठीक बीच में जो मान आता है, उसे माध्यिका (median) कहते हैं। यही आँकड़ों का मध्य मान है। आधे मान उसके बराबर या उससे छोटे होते हैं, और आधे उसके बराबर या उससे बड़े।

कदम 1, क्रम में लगाना: सबसे पहले सारे मान आरोही क्रम (ascending order) में लगा लीजिए, चाहें तो अवरोही क्रम में। यह कदम छूट गया, तो बाकी हल कितनी भी सावधानी से कीजिए, उत्तर गलत ही आएगा।

कदम 2, मध्य स्थान: अब बीच का स्थान देखिए। $n$ मानों में यह ऐसे निकलता है।

• $n$ विषम हो, तो माध्यिका $\left(\frac{n+1}{2}\right)$वाँ मान है।
• $n$ सम हो, तो बीच में दो मान आते हैं, $\left(\frac{n}{2}\right)$वाँ और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$वाँ। माध्यिका इन दोनों का माध्य है।

विषम गिनती: एक बल्लेबाज़ ने 9 पारियों में 34, 12, 56, 78, 45, 9, 61, 40 और 23 रन बनाए। क्रम में लगाने पर ये 9, 12, 23, 34, 40, 45, 56, 61, 78 हो जाते हैं। मध्य स्थान $\frac{9 + 1}{2} = 5$ है, तो पाँचवाँ मान, 40, ही माध्यिका है।

दी गई सूची में ही पाँचवाँ मान देख लें, तो 45 मिलता है। पर वह माध्यिका नहीं है, क्योंकि वह सूची क्रम में नहीं थी।

सम गिनती: दस विद्यार्थियों के अंक 48, 35, 62, 51, 40, 57, 44, 66, 38 और 53 हैं। क्रम में लगाने पर 35, 38, 40, 44, 48, 51, 53, 57, 62, 66 मिलते हैं। पाँचवाँ और छठा मान 48 और 51 हैं, तो माध्यिका $\frac{48 + 51}{2} = 49.5$ है। मतलब गिनती सम हो, तो ज़रूरी नहीं कि माध्यिका सूची का कोई मान ही हो।

दोहराए गए मान: कोई मान कई बार आए, तो सूची में उसे उतनी ही बार लिखिए, जितनी बार वह आया है। जैसे 3, 5, 5, 5, 8, 9 की माध्यिका $\frac{5 + 5}{2} = 5$ है। क्रम में लगाते समय दोहराए गए मान हटाने नहीं हैं।

छोर वाले मान: बहुत बड़े या बहुत छोटे मानों का माध्यिका पर लगभग कोई असर नहीं पड़ता। ऊपर वाले बल्लेबाज़ की सूची में 78 की जगह 780 होता, तब भी माध्यिका 40 ही रहती, जबकि माध्य लगभग 39.8 से उछलकर लगभग 117.8 हो जाता।

ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि माध्यिका केवल इस पर निर्भर करती है कि मान किस क्रम में हैं। छोर वाले मान कितने दूर हैं, इससे उस पर कोई फ़र्क नहीं पड़ता। आय और मकानों के दाम जैसे आँकड़ों में कुछ मान बहुत बड़े होते हैं। इसी वजह से ऐसे आँकड़ों के लिए माध्यिका को ही ज़्यादा ठीक माना जाता है।

सूची में अज्ञात मान, मान जोड़ना और हटाना

क्रम में लगी सूची में अज्ञात मान: मान लीजिए 11, 14, 17, $x$, $x + 4$, 26, 29, 33 आरोही क्रम में हैं और इनकी माध्यिका 21 है। यहाँ 8 मान हैं, तो माध्यिका चौथे और पाँचवें मान का माध्य होगी।

$$\frac{x + (x + 4)}{2} = 21 \Rightarrow 2x + 4 = 42 \Rightarrow x = 19$$

अब देख लीजिए कि $x = 19$ रखने पर क्रम बना रहता है या नहीं। बीच के मान 17, 19, 23, 26 हो जाते हैं, जो बढ़ते ही जा रहे हैं। तो क्रम ठीक है। अगर निकला हुआ मान क्रम तोड़ दे, तो सूची को फिर से क्रम में लगाइए और हल दोबारा कीजिए।

क्रम न दिया हो: मान $\frac{x}{2}, 3x, \frac{x}{6}, 2x, \frac{x}{3}$ हैं, जहाँ $x > 0$ है। पहले इन्हें क्रम में लगाइए। तब $\frac{x}{6} < \frac{x}{3} < \frac{x}{2} < 2x < 3x$ मिलता है। अब बीच वाला पद $\frac{x}{2}$ है, और यही माध्यिका है। दी गई सूची में बीच वाला पद $\frac{x}{6}$ है, पर वह माध्यिका नहीं है। अगर प्रश्न में माध्यिका 9 दी हो, तो $x = 18$ आता है।

मान जोड़ना: 4, 9, 13, 18, 21, 27, 30 की माध्यिका 18 है। इसमें एक मान माध्यिका से छोटा और एक उससे बड़ा जोड़ें, जैसे 2 और 35, तो माध्यिका 18 ही रहती है। पर दोनों मान एक ही ओर जुड़ें, तो मध्य स्थान एक जगह खिसक जाता है। 2 और 35 की जगह 6 और 11 जोड़कर देखिए। अब सूची 4, 6, 9, 11, 13, 18, 21, 27, 30 है, और माध्यिका 13 हो जाती है।

मान हटाना: यहाँ भी यही बात उलटी तरफ़ से लागू होती है। सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, दोनों हटा दें, तो माध्यिका वही रहती है। पर ऊपर वाले दो मान हटा दें, तो मध्य स्थान एक जगह नीचे आ जाता है।

बराबर अंतर वाले मान: मान एक ही अंतर से बढ़ते हों, यानी समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में हों, तो उनकी माध्यिका और माध्य बराबर होते हैं। दोनों ही पहले और आख़िरी मान के औसत के बराबर होते हैं।

प्रथम $n$ प्राकृत संख्याएँ भी ऐसी ही सूची हैं। इनकी माध्यिका $\frac{n+1}{2}$ होती है। प्रथम 60 प्राकृत संख्याओं के लिए यह 30.5 है, यानी 30 और 31 के ठीक बीच।

पैटर्न वाली सूची: ऐसी सूची में पहले गिन लीजिए कि मान कितने हैं। जैसे 21 से 59 तक की विषम संख्याएँ लीजिए। इनकी गिनती $\frac{59 - 21}{2} + 1 = 20$ है। 20 मान हैं, तो माध्यिका दसवें और 11वें मान का माध्य है। ये 39 और 41 हैं, तो माध्यिका 40 है। जाँच कर लीजिए, यही $\frac{21 + 59}{2}$ है। समांतर श्रेणी में ऐसा ही होना चाहिए।

असतत बारंबारता तालिका की माध्यिका

जब मान बार-बार आते हैं, तो आँकड़े मानों $x$ और उनकी बारंबारताओं $f$ की तालिका में दिए जाते हैं। इसे असतत बारंबारता तालिका (discrete frequency table) कहते हैं। इसमें भी तरीका सूची वाला ही है। पहले मान क्रम में लगाइए। वैसे तालिका ज़्यादातर पहले से क्रम में ही होती है। फिर मध्य स्थान निकालिए, और देखिए कि उस स्थान पर कौन-सा मान है।

कौन-सा मान किस स्थान पर है, यह संचयी बारंबारता (cumulative frequency) $cf$ से पता चलता है। संचयी बारंबारता का मतलब है बारंबारताओं का चलता योग।

उदाहरण के लिए, एक दुकान पर एक दिन में बिके जूतों के साइज़ ये हैं।

यहाँ $N = 49$ है, जो विषम है। तो माध्यिका $\frac{49 + 1}{2} = 25$वाँ मान होगी। अब $cf$ वाली पंक्ति देखिए। साइज़ 5 और 6 के जोड़े पहले से 13वें स्थान तक हैं, और साइज़ 7 के जोड़े 14वें से 28वें स्थान तक। मतलब 25वाँ जोड़ा साइज़ 7 का है, तो माध्यिका साइज़ 7 है।

$cf$ वाली पंक्ति में वह पहली प्रविष्टि ढूँढिए, जो मध्य स्थान के बराबर हो या उससे बड़ी। उसके ऊपर वाला $x$ ही माध्यिका है।

सम $N$: अब 40 विद्यार्थियों का उदाहरण लीजिए। तालिका में दिया है कि एक महीने में किसने कितनी पुस्तकें पढ़ीं।

यहाँ दो मध्य मान चाहिए, 20वाँ और 21वाँ। 3 पुस्तकों वाले विद्यार्थी 17वें से 20वें स्थान तक हैं, तो 20वाँ मान 3 है। 21वाँ विद्यार्थी 4 पुस्तकों वालों में पहला है, तो 21वाँ मान 4 है। इसलिए माध्यिका $\frac{3 + 4}{2} = 3.5$ है। अगर दोनों स्थान एक ही खाने में पड़ते, तो वही $x$ सीधे माध्यिका होता।

तीन आम गलतियाँ: इन गलत उत्तरों से बचिए।

• तालिका का बीच वाला $x$ ले लेना। जूतों में यह 7.5 आता है और पुस्तकों में 3। इसमें बारंबारताओं को देखा ही नहीं गया।
• सबसे बड़ी बारंबारता वाला $x$ ले लेना, जैसे 4 पुस्तकें। वह बहुलक (mode) है, जो एक अलग औसत है।
• स्थान को ही माध्यिका लिख देना, जैसे 25वाँ, या 20वें और 21वें के बीच। स्थान माध्यिका नहीं है, वह बस बताता है कि कहाँ देखना है।

वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका

वर्गीकृत आँकड़ों (grouped data) में एक-एक मान दिया ही नहीं होता। बस इतना पता होता है कि किस वर्ग में कितने मान हैं। इसलिए यहाँ माध्यिका ठीक-ठीक नहीं निकलती, उसका अनुमान ही लगाया जाता है। इसके चार कदम हैं।

1. संचयी बारंबारताएँ लिखिए और $N = \sum f$ निकालिए।
2. $\frac{N}{2}$ निकालिए।
3. माध्यिका वर्ग (median class) ढूँढिए। यह वह पहला वर्ग है, जिसकी $cf$, $\frac{N}{2}$ के बराबर या उससे बड़ी हो।
4. यह सूत्र लगाइए।

$$\text{माध्यिका} = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h$$

सूत्र में $L$ माध्यिका वर्ग की निम्न वर्ग सीमा है, या ठीक-ठीक कहें तो उसकी निम्न परिसीमा। $cf$ माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है। $f$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता है, और $h$ उसका वर्ग माप (class width)।

अब एक उदाहरण देखिए। 100 विद्यार्थियों के अंक इस तालिका में हैं।

यहाँ $\frac{N}{2} = 50$ है। 50 तक पहुँचने वाली पहली $cf$ 65 है, तो माध्यिका वर्ग 30-40 है। इस वर्ग के लिए $L = 30$, $f = 25$ और $h = 10$ हैं। पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 40$ है।

$$\text{माध्यिका} = 30 + \frac{50 - 40}{25} \times 10 = 30 + 4 = 34$$

सूत्र के पीछे की बात: 40 विद्यार्थियों के अंक 30 से कम हैं। तो 50वाँ विद्यार्थी इनसे 10 स्थान और आगे है, और 30-40 वाले वर्ग के भीतर आता है। मान लिया जाता है कि उस वर्ग के 25 विद्यार्थी उसकी 10 अंकों की चौड़ाई पर बराबर-बराबर फैले हैं। इसलिए माध्यिका, इस वर्ग की शुरुआत से उसकी चौड़ाई का $\frac{10}{25}$ भाग आगे आती है, यानी 30 से 4 अंक आगे।

$\frac{N}{2}$ लीजिए, $\frac{N+1}{2}$ नहीं: वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र में हमेशा $\frac{N}{2}$ ही लगता है, $N$ विषम हो या सम। $\frac{N+1}{2}$ वाला नियम सूचियों और असतत तालिकाओं के लिए है।

दो गलतियों की जाँच: उत्तर निकालने के बाद देख लीजिए कि इनमें से कोई गलती तो नहीं हुई।

• पहले वाले वर्ग की $cf$ (40) की जगह माध्यिका वर्ग की अपनी संचयी बारंबारता (65) ले लेना। तब $30 + \frac{50 - 65}{25} \times 10 = 24$ आता है। यह अपने ही वर्ग की निम्न सीमा से भी नीचे है, जो हो ही नहीं सकता।
• $h$ छोड़ देना। तब $30 + \frac{10}{25} = 30.4$ आता है।

याद रखिए, सूत्र से निकली माध्यिका हमेशा माध्यिका वर्ग के भीतर ही आती है। ऐसा न हो, तो समझ लीजिए कि इन्हीं में से कोई गलती हुई है। एक बात और। अगर वर्गों के माप अलग-अलग हों, तो $h$ माध्यिका वर्ग का माप ही लीजिए।

[SSC टिप] पूरी $cf$ पंक्ति बनाने की ज़रूरत नहीं है। बाएँ से बारंबारताएँ जोड़ते जाइए, और जैसे ही कुल $\frac{N}{2}$ के पार जाए, रुक जाइए। जहाँ रुके, वही माध्यिका वर्ग है। उससे ठीक पहले जो कुल था, वही सूत्र वाली $cf$ है।

समावेशी वर्ग, "से कम" और "से अधिक" तालिकाएँ

बीच में ख़ाली जगह वाले वर्ग: 20-29, 30-39, 40-49 जैसे वर्ग समावेशी वर्ग (inclusive classes) कहलाते हैं। इनके बीच ख़ाली जगह रह जाती है। 29.6 जैसा मान इनमें से किसी भी वर्ग में नहीं आता। माध्यिका का सूत्र सतत वर्गों पर ही चलता है, इसलिए पहले यह ख़ाली जगह भरनी पड़ती है।

29 और 30 में 1 का अंतर है। इसका आधा 0.5 है। इसे हर निम्न सीमा में से घटाइए और हर उच्च सीमा में जोड़ दीजिए। तब 20-29 का वर्ग 19.5-29.5 हो जाता है, 30-39 का 29.5-39.5, और इसी तरह आगे। इन नई सीमाओं को वर्ग परिसीमाएँ (class boundaries) कहते हैं।

उदाहरण के लिए, 50 कर्मचारियों की आयु नीचे दी गई है।

यहाँ $\frac{N}{2} = 25$ है, तो माध्यिका वर्ग 40-49 है। अब $L = 39.5$ लेना है, 40 नहीं। $cf = 17$ और $f = 16$ हैं, और $h = 10$ है, 9 नहीं।

$$\text{माध्यिका} = 39.5 + \frac{25 - 17}{16} \times 10 = 39.5 + 5 = 44.5$$

कोई लिखी हुई सीमा 40 ही ले ले, तो उत्तर 45 आएगा। वर्ग माप 9 ले लिया, तो 44 आएगा। दोनों उत्तर गलत हैं।

"से कम" तालिका: कुछ तालिकाओं में वर्गों की बारंबारताएँ नहीं, सीधे चलते योग दिए होते हैं। ऐसी तालिकाएँ पढ़ना हम अध्याय 18 (आँकड़ा निर्वचन) में भी देख चुके हैं।

यहाँ दी गई संख्याएँ ही $cf$ वाला स्तंभ हैं। वर्ग 0-10, 10-20 और इसी तरह 50-60 तक हैं। किसी वर्ग की बारंबारता चाहिए, तो पास-पास की दो प्रविष्टियाँ घटा दीजिए। इस तरह बारंबारताएँ 4, 7, 13, 15, 12, 9 आती हैं।

अब $\frac{N}{2} = 30$ है। 30 तक पहुँचने वाली पहली प्रविष्टि "40 से कम" वाली है, जिसमें 39 लिखा है। तो माध्यिका वर्ग 30-40 है। इसके लिए $cf = 24$ और $f = 39 - 24 = 15$ है।

$$\text{माध्यिका} = 30 + \frac{30 - 24}{15} \times 10 = 30 + 4 = 34$$

"से अधिक" तालिका: इसमें गिनती ऊपर वाले सिरे से होती है। "30 या अधिक" के आगे 36 लिखा हो, तो इसका मतलब है कि 36 विद्यार्थियों के अंक कम से कम 30 हैं। ऊपर वाले उन्हीं 60 विद्यार्थियों को इस रूप में लिखें, तो "0 या अधिक" से "50 या अधिक" तक की प्रविष्टियाँ 60, 56, 49, 36, 21, 9 होंगी।

वर्गों की बारंबारताएँ यहाँ भी अंतर से निकलती हैं। 0-10 के लिए $60 - 56 = 4$, और इसी तरह आगे। आख़िरी वर्ग की बारंबारता आख़िरी प्रविष्टि ही है, यानी 9।

सूत्र लगाने से पहले इन बारंबारताओं से सामान्य $cf$ पंक्ति फिर से बनाइए। "से अधिक" वाली संख्याओं को सीधे सूत्र में $cf$ की जगह कभी नहीं रखते।

दी गई माध्यिका से लुप्त बारंबारता

कभी माध्यिका दी होती है, पर कोई बारंबारता नहीं दी होती। ऐसी बारंबारता को लुप्त बारंबारता (missing frequency) कहते हैं। ऐसे में माध्यिका का सूत्र ही हमारा समीकरण बन जाता है।

दी गई माध्यिका से सीधे पता चल जाता है कि माध्यिका वर्ग कौन-सा है। इससे $L$, $f$ और $h$ मिल जाते हैं। अज्ञात बारंबारता या तो $N$ में आती है, या $cf$ में, या दोनों में।

दो अज्ञात, कुल दिया हो: नीचे के बंटन की माध्यिका 28 है और कुल बारंबारता 50 है। $x$ और $y$ ज्ञात करने हैं।

सबको जोड़ें, तो $5 + x + 20 + y + 7 = 50$, यानी $x + y = 18$। माध्यिका 28 है, जो 20-30 में आती है, तो यही माध्यिका वर्ग है। इसके लिए $L = 20$, $f = 20$ और $h = 10$ हैं। इससे पहले की $cf$ = $5 + x$ है, और $\frac{N}{2} = 25$ है।

$$28 = 20 + \frac{25 - (5 + x)}{20} \times 10 \Rightarrow 8 = \frac{20 - x}{2} \Rightarrow x = 4$$

फिर $y = 18 - 4 = 14$ आता है।

एक अज्ञात, कुल न दिया हो: अब अज्ञात $N$ में भी आ जाता है, और इसलिए $\frac{N}{2}$ में भी। मान लीजिए वर्ग 0-10 से 40-50 तक हैं, बारंबारताएँ 4, $x$, 15, 9, 6 हैं और माध्यिका 24 है। तो माध्यिका वर्ग 20-30 है, जिसमें $L = 20$, $f = 15$ और $h = 10$ हैं। उससे पहले तक की $cf$ का मान $4 + x$ है, और $N = 34 + x$ है।

$$24 = 20 + \frac{\frac{34 + x}{2} - (4 + x)}{15} \times 10 \Rightarrow 6 = 13 - \frac{x}{2} \Rightarrow x = 14$$

माध्यिका वर्ग की जाँच: निकला हुआ मान तालिका में वापस रखिए, और पक्का कर लीजिए कि $\frac{N}{2}$ सच में उसी वर्ग में आता है, जिसे हमने माध्यिका वर्ग माना था। $x = 14$ रखने पर $N = 48$ होता है। $cf$ वाली पंक्ति 4, 18, 33 से शुरू होती है, तो $\frac{N}{2} = 24$ सच में 20-30 में ही है। सूत्र से भी $20 + \frac{24 - 18}{15} \times 10 = 24$ आता है।

[SSC टिप] जब दो अज्ञात हों और कुल दिया हो, तो विकल्पों में ऐसी जोड़ियाँ दी होती हैं, जिनसे कुल पहले से सही आता है। पर इनमें से केवल एक जोड़ी से माध्यिका उतनी आती है, जितनी प्रश्न में दी है। इसलिए चाहें तो विकल्पों को सूत्र में रखकर जाँच लीजिए। इसमें भी उतना ही समय लगता है, जितना हल करने में।

तोरण से माध्यिका

संचयी बारंबारता तालिका का ग्राफ़ तोरण (ogive) कहलाता है। यह दो प्रकार का होता है।

• "से कम" तोरण (less than ogive) में हर उच्च परिसीमा पर उतनी ऊँचाई का बिंदु लगाते हैं, जितने प्रेक्षण उस परिसीमा से कम हैं। फिर इन बिंदुओं को जोड़ देते हैं। यह पहली निम्न परिसीमा पर 0 से शुरू होता है और ऊपर उठते हुए $N$ तक पहुँचता है।
• "से अधिक" तोरण (more than ogive) में हर निम्न परिसीमा पर उतनी ऊँचाई का बिंदु लगाते हैं, जितने प्रेक्षण उस परिसीमा के बराबर या उससे अधिक हैं। यह $N$ से शुरू होता है और नीचे आते हुए आख़िरी उच्च परिसीमा पर 0 हो जाता है।

नीचे के चित्र में दोनों तोरण खींचे गए हैं। ये एक दफ़्तर के 80 कर्मचारियों के रोज़ के यात्रा-समय के हैं। वर्ग 10-20, 20-30 से लेकर 60-70 मिनट तक हैं, और बारंबारताएँ 4, 10, 16, 20, 18 और 12 हैं।

एक तोरण से: ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $\frac{N}{2} = 40$ का निशान लगाइए। वहाँ से आड़े चलकर "से कम" तोरण तक जाइए। फिर वहाँ से सीधे नीचे क्षैतिज अक्ष तक आइए। यह रेखा जहाँ अक्ष को छूती है, वही माध्यिका है। यहाँ यह 45 मिनट आती है।

दोनों तोरणों से: दोनों वक्र एक बिंदु पर कटते हैं। उस बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक माध्यिका है, और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक $\frac{N}{2}$ है। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि माध्यिका से ठीक आधे प्रेक्षण नीचे होते हैं और आधे ऊपर। यहाँ दोनों तोरण (45, 40) पर कटते हैं।

मान लीजिए केवल इतना बताया गया है कि किसी बंटन के दोनों तोरण (52.5, 36) पर मिलते हैं। तो माध्यिका 52.5 है, और कुल बारंबारता $2 \times 36 = 72$ है। कई छात्र 36 को ही माध्यिका मान लेते हैं। इस गलती से बचिए।

ग्राफ़ और सूत्र का उत्तर एक क्यों आता है: बिंदुओं (40, 30) और (50, 50) के बीच "से कम" तोरण एक सीधी रेखा है। सूत्र यह मानकर चलता है कि वर्ग के भीतर मान बराबर फैले हैं, और ग्राफ़ में सीधी रेखा का मतलब ठीक यही है।

$$\text{माध्यिका} = 40 + \frac{40 - 30}{20} \times 10 = 45$$

चतुर्थक (quartiles) भी "से कम" तोरण से इसी तरह पढ़े जाते हैं। निम्न चतुर्थक (lower quartile) के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $\frac{N}{4}$ से आड़े चलिए, और उच्च चतुर्थक (upper quartile) के लिए $\frac{3N}{4}$ से। चतुर्थकों के बारे में विस्तार से इस खंड के आख़िर में पढ़ेंगे।

हर मान बदलने पर माध्यिका

हर मान में एक जैसा बदलाव किया जाए, तो मानों का क्रम नहीं बदलता। हाँ, किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करें, तो क्रम ठीक उलट जाता है। दोनों हालतों में बीच वाला मान बीच में ही रहता है। इसलिए माध्यिका में भी वही बदलाव होता है, जो हर मान में हुआ।

जैसे सूची 6, 10, 13, 17, 21 की माध्यिका 13 है। हर मान में 4 जोड़ दें, तो माध्यिका 17 हो जाती है। हर मान को 3 से गुणा करें, तो 39।

अब हर $x$ की जगह $50 - 2x$ रखिए। सूची 38, 30, 24, 16, 8 हो जाती है, और माध्यिका $50 - 2 \times 13 = 24$ है। क्रम पलट गया, फिर भी बीच वाला मान बीच में ही रहा।

माध्य के लिए भी ठीक यही नियम हैं, जो हमने "माध्य" वाले खंड में देखे थे। इसलिए जब हर मान को किसी संख्या से गुणा करके उसमें कुछ जोड़ा जाता है, तो माध्य और माध्यिका का अंतर उसी गुणक $a$ से गुणा हो जाता है। जोड़ी गई संख्या $b$ का इस अंतर पर कोई असर नहीं पड़ता।

जिन बदलावों से माध्यिका नहीं बदलती: माध्यिका केवल इस पर निर्भर है कि क्रम में लगी सूची के बीच में कौन-सा मान है। इसलिए नीचे वाले बदलावों से माध्यिका नहीं बदलती।

• सबसे बड़ा मान बढ़ाना, या सबसे छोटा मान घटाना। इससे माध्यिका वही रहती है, पर माध्य बदल जाता है।
• माध्यिका से नीचे वाले किसी मान को नीचे ही कहीं और ले जाना, या ऊपर वाले मान को ऊपर ही कहीं और। माध्यिका वहीं की वहीं रहती है।

मान लीजिए 7 मानों की माध्यिका 41 है और माध्य 44। सबसे छोटे मान में से 14 घटा दिए गए। माध्यिका 41 ही रहेगी, जबकि माध्य $\frac{14}{7} = 2$ घटकर 42 हो जाएगा।

दो सूचियाँ मिलाना: यहाँ माध्यिका और माध्य में फ़र्क है। मिली हुई सूची की माध्यिका, दोनों सूचियों की अलग-अलग माध्यिकाओं से नहीं निकाली जा सकती। जैसे 1, 2, 3 की माध्यिका 2 है और 4, 10, 20 की 10। दोनों को मिलाएँ, तो 1, 2, 3, 4, 10, 20 मिलता है, जिसकी माध्यिका 3.5 है। दोनों माध्यिकाओं का औसत, 6, लेना गलत है। मान मिलाकर उन्हें फिर से क्रम में लगाना ही पड़ता है।

चतुर्थक और अंतःचतुर्थक परिसर

माध्यिका क्रम में लगे आँकड़ों को दो बराबर हिस्सों में बाँटती है। चतुर्थक उन्हें चार बराबर हिस्सों में बाँटते हैं।

• निम्न चतुर्थक $Q_1$ से नीचे एक चौथाई मान होते हैं।
• माध्यिका ही $Q_2$ है।
• उच्च चतुर्थक $Q_3$ से नीचे तीन चौथाई मान होते हैं।

आरोही क्रम में लगी $n$ मानों की सूची में चतुर्थक ये होते हैं।

$$Q_1 = \left(\frac{n+1}{4}\right)\text{वाँ मान}, \qquad Q_3 = \left(\frac{3(n+1)}{4}\right)\text{वाँ मान}$$

जैसे क्रम में लगे 11 मान 14, 17, 19, 22, 24, 27, 29, 32, 35, 38, 42 हैं। यहाँ $\frac{n+1}{4} = 3$ है, तो $Q_1$ तीसरा मान, 19 है, और $Q_3$ नौवाँ मान, 35। माध्यिका छठा मान है, 27।

उच्च और निम्न चतुर्थक का अंतर अंतःचतुर्थक परिसर (interquartile range) कहलाता है। यहाँ अंतःचतुर्थक परिसर $= Q_3 - Q_1 = 35 - 19 = 16$ है। यह आँकड़ों के बीच वाले आधे भाग का फैलाव नापता है। माध्यिका की तरह यह भी किसी एक छोर वाले मान से नहीं बिगड़ता।

इसका आधा, $\frac{Q_3 - Q_1}{2} = 8$, चतुर्थक विचलन (quartile deviation) कहलाता है। इसे अर्ध-अंतःचतुर्थक परिसर (semi-interquartile range) भी कहते हैं।

स्थान पूर्ण संख्या न हो: मान लीजिए 9 मान हैं। तब $\frac{n+1}{4} = 2.5$ आता है, तो $Q_1$ दूसरे और तीसरे मान के ठीक बीच में है। इसी तरह $Q_3$ यहाँ 7.5वाँ मान है, यानी सातवें और आठवें मान के ठीक बीच।

वर्गीकृत आँकड़े: यहाँ माध्यिका वाला सूत्र ही लगता है, बस $\frac{N}{2}$ की जगह $\frac{N}{4}$ या $\frac{3N}{4}$ रखिए। निम्न चतुर्थक का सूत्र यह है।

$$Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \times h$$

इसमें वह वर्ग लीजिए, जहाँ $cf$ पहली बार $\frac{N}{4}$ तक पहुँचती है।

माध्यिका की तरह यहाँ भी स्थान गिनने से पहले सूची को क्रम में लगाना ज़रूरी है। बिना क्रम वाली सूची में तीसरा मान देखकर उसे चतुर्थक मान लेना गलत है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

9 लड़कों के भार (किग्रा में) 52, 47, 60, 55, 49, 58, 44, 63 और 51 हैं। भार की माध्यिका क्या है? (a) 49 किग्रा (b) 55 किग्रा (c) 52 किग्रा (d) 51 किग्रा

उत्तर: सबसे पहले भारों को क्रम में लगा लेते हैं, 44, 47, 49, 51, 52, 55, 58, 60, 63। कुल 9 भार हैं, तो माध्यिका $\frac{9 + 1}{2} = 5$वाँ मान होगी। पाँचवाँ भार (c) 52 किग्रा है। दी गई सूची में पाँचवाँ भार 49 है, पर वह उत्तर नहीं हो सकता, क्योंकि उस सूची को क्रम में लगाया ही नहीं गया था।

प्रश्न 2

27, 19, 33, 24, 40, 30, 22, 36, 18, 29 की माध्यिका ज्ञात कीजिए। (a) 28 (b) 27 (c) 35 (d) 29

उत्तर: क्रम में लगाने पर संख्याएँ 18, 19, 22, 24, 27, 29, 30, 33, 36, 40 हो जाती हैं। ये 10 हैं और गिनती सम है, तो बीच की दो संख्याएँ, पाँचवीं और छठी, चाहिए। ये 27 और 29 हैं। इसलिए माध्यिका $\frac{27 + 29}{2} =$ (a) 28 है।

प्रश्न 3

प्रेक्षण 8, 11, 15, $x$, $x + 2$, 24, 28, 31 आरोही क्रम में हैं और उनकी माध्यिका 17 है। $x$ का मान क्या है? (a) 17 (b) 16 (c) 15 (d) 18

उत्तर: यहाँ 8 प्रेक्षण हैं, तो माध्यिका चौथे और पाँचवें प्रेक्षण का औसत होगी। ये दोनों $x$ और $x + 2$ हैं।

$$\frac{x + x + 2}{2} = 17 \Rightarrow x + 1 = 17 \Rightarrow x = 16$$

तो उत्तर (b) 16 है। एक बार जाँच भी कर लेते हैं। बीच के प्रेक्षण 15, 16, 18, 24 हो जाते हैं, यानी सूची सच में आरोही क्रम में है।

प्रश्न 4

आँकड़ों 3, 8, 10, 12, 15, 20, 30 का माध्य उनकी माध्यिका से कितना अधिक है? (a) 0 (b) 4 (c) 1 (d) 2

उत्तर: आँकड़े पहले से क्रम में हैं और 7 मान हैं, तो माध्यिका चौथा मान, 12 है। अब माध्य निकालते हैं। योग $3 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 = 98$ है, तो माध्य $\frac{98}{7} = 14$ है। माध्य, माध्यिका से $14 - 12 = 2$ अधिक है, यानी (d) 2। यह अंतर 30 वाले बड़े मान की वजह से है। वह माध्य को ऊपर खींच लेता है, पर माध्यिका को हिलाता तक नहीं।

प्रश्न 5

6, 9, 13, 16, 20, 24, 27 की माध्यिका 16 है। यदि आँकड़ों में 10 और 15 जोड़ दिए जाएँ, तो नई माध्यिका क्या होगी? (a) 15 (b) 16 (c) 14 (d) 13

उत्तर: जोड़े गए दोनों मान 16 से छोटे हैं, तो बीच का स्थान नीचे की ओर खिसकेगा। नई सूची क्रम में 6, 9, 10, 13, 15, 16, 20, 24, 27 है। अब 9 मान हैं, इसलिए पाँचवाँ मान, (a) 15, नई माध्यिका है।

प्रश्न 6

संख्याओं 3, 7, 11, 15, …, 83 की माध्यिका क्या है? (a) 41 (b) 45 (c) 43 (d) 40

उत्तर: संख्याएँ 4-4 के अंतर से बढ़ रही हैं। पहले गिन लेते हैं कि कितनी हैं, $\frac{83 - 3}{4} + 1 = 21$। 21 संख्याओं में माध्यिका 11वीं संख्या होगी, जो $3 + 10 \times 4 =$ (c) 43 है। एक छोटा रास्ता भी है। बराबर अंतर वाली सूची में माध्यिका दोनों सिरों का औसत होती है, $\frac{3 + 83}{2} = 43$।

प्रश्न 7

तालिका में 35 परिवारों में से प्रत्येक के सदस्यों की संख्या दी गई है।

प्रति परिवार सदस्यों की संख्या की माध्यिका क्या है? (a) 5 (b) 4 (c) 18 (d) 4.5

उत्तर: $N = 35$ विषम है, तो माध्यिका $\frac{35 + 1}{2} = 18$वाँ मान होगी। संचयी बारंबारताएँ 3, 11, 21, 27, 31, 33, 35 हैं। 4 सदस्यों वाले परिवार 12वें से 21वें स्थान तक आते हैं। इसलिए 18वें परिवार में (b) 4 सदस्य हैं। ऊपर वाली पंक्ति का बीच वाला मान 5 है, पर वह उत्तर नहीं है। 5 लिखने में यह देखा ही नहीं जाता कि कितने सदस्यों वाले कितने परिवार हैं।

प्रश्न 8

तालिका में दर्शाया गया है कि 40 बच्चे एक दिन में कितने घंटे टेलीविज़न देखते हैं।

माध्यिका क्या है? (a) 3.5 घंटे (b) 3 घंटे (c) 4 घंटे (d) 20.5 घंटे

उत्तर: यहाँ $N = 40$ सम है, तो 20वाँ और 21वाँ मान चाहिए। संचयी बारंबारताएँ 5, 14, 20, 32, 38, 40 हैं। 3 घंटे वाले बच्चे ठीक 20वें बच्चे पर ख़त्म होते हैं, और 21वाँ बच्चा 4 घंटे वाले समूह का पहला है। बीच के दोनों मान अलग-अलग खानों में पड़ते हैं, इसलिए सीधे कोई एक मान नहीं पढ़ सकते। माध्यिका $\frac{3 + 4}{2} = 3.5$ घंटे आती है, और उत्तर (a) 3.5 घंटे है।

प्रश्न 9

50 श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी नीचे दी गई है।

माध्यिका वर्ग कौन-सा है? (a) 350-400 (b) 450-500 (c) 300-350 (d) 400-450

उत्तर: पहले $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25$ निकाल लेते हैं। अब ऊपर से बारंबारताएँ जोड़ते जाते हैं। कुल पहले 6 होता है, फिर 15, फिर 35। कुल 400-450 वाले वर्ग पर पहली बार 25 के पार जाता है, तो माध्यिका वर्ग (d) 400-450 है। 350-400 तक कुल केवल 15 है, जो अभी 25 से कम है, इसलिए वह माध्यिका वर्ग नहीं हो सकता।

प्रश्न 10

इन्हीं आँकड़ों के लिए मज़दूरी की माध्यिका क्या है? (a) ₹ 375 (b) ₹ 426.25 (c) ₹ 425 (d) ₹ 400.50

उत्तर: माध्यिका वर्ग 400-450 है, तो $L = 400$, $h = 50$ और $f = 20$। सूत्र में इस वर्ग से पहले वाली $cf$ लगेगी, यानी 15।

$$\text{माध्यिका} = 400 + \frac{25 - 15}{20} \times 50 = 400 + 25 = 425$$

तो मज़दूरी की माध्यिका (c) ₹ 425 है। कोई माध्यिका वर्ग की अपनी $cf$, 35, ले ले, तो 375 आएगा। यह तो 400-450 के भीतर भी नहीं है।

प्रश्न 11

एक परीक्षा में 50 विद्यार्थियों के अंक नीचे दिए गए हैं।

अंकों की माध्यिका क्या है? (a) 47 (b) 46.5 (c) 45.9 (d) 45.5

उत्तर: वर्गों के बीच ख़ाली जगह है, जैसे 30 और 31 के बीच, या 40 और 41 के बीच। तो पहले वर्गों को सतत बना लेते हैं। हर निम्न सीमा में से 0.5 घटाते हैं और हर उच्च सीमा में 0.5 जोड़ते हैं। इससे 41-50 का वर्ग 40.5-50.5 हो जाता है। अब $\frac{N}{2} = 25$ है, और चलते योग 2, 13, 33 हैं। तो माध्यिका वर्ग 40.5-50.5 है, जिसमें $cf = 13$, $f = 20$ और $h = 10$।

$$\text{माध्यिका} = 40.5 + \frac{25 - 13}{20} \times 10 = 40.5 + 6 = 46.5$$

उत्तर (b) 46.5 है। जल्दबाज़ी में $L$ के लिए लिखी हुई सीमा 41 ले ली, तो 47 आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 12

तालिका में 72 विद्यार्थियों के अंक दिए गए हैं। किसी भी विद्यार्थी के अंक 10 से कम नहीं हैं।

अंकों की माध्यिका क्या है? (a) 45 (b) 50 (c) 46 (d) 40

उत्तर: तालिका की संख्याएँ पहले से संचयी हैं, और वर्ग 10-20, 20-30 से 60-70 तक हैं। कुल 72 है, तो $\frac{N}{2} = 36$। 36 तक पहुँचने वाली पहली प्रविष्टि "50 से कम" वाली है, जिसमें 46 लिखा है। तो माध्यिका वर्ग 40-50 है। इसकी बारंबारता $46 - 26 = 20$ है, और इससे पहले की $cf$ 26 है।

$$\text{माध्यिका} = 40 + \frac{36 - 26}{20} \times 10 = 40 + 5 = 45$$

तो अंकों की माध्यिका (a) 45 है। कुछ छात्र 50 लिख देते हैं, सिर्फ़ इसलिए कि "50 से कम" वाली पंक्ति पर 36 पार हुआ। वे सूत्र लगाते ही नहीं।

प्रश्न 13

90 व्यक्तियों के भार नीचे दिए गए हैं। किसी का भी भार 70 किग्रा या उससे अधिक नहीं है।

भार की माध्यिका क्या है? (a) 55 किग्रा (b) 57.5 किग्रा (c) 56 किग्रा (d) 58 किग्रा

उत्तर: पहले वर्गों की बारंबारताएँ निकालनी हैं, जो पास-पास की प्रविष्टियों के अंतर से मिलेंगी। 40-45 के लिए $90 - 83 = 7$, फिर 13, 20, 25, 16, और आख़िरी वर्ग 65-70 के लिए 9। अब इनसे सामान्य चलते योग 7, 20, 40, 65, … लिखते हैं। यहाँ $\frac{N}{2} = 45$ है, और 45 तक पहुँचने वाला पहला योग 65 है। तो माध्यिका वर्ग 55-60 है, जिसमें $cf = 40$, $f = 25$ और $h = 5$।

$$\text{माध्यिका} = 55 + \frac{45 - 40}{25} \times 5 = 55 + 1 = 56$$

यानी इन लोगों के भार की माध्यिका (c) 56 किग्रा है।

प्रश्न 14

निम्नलिखित बंटन की माध्यिका 32 है।

$x$ का मान क्या है? (a) 4 (b) 6 (c) 8 (d) 10

उत्तर: दी गई माध्यिका 32 है, जो 30-40 वाले वर्ग में पड़ती है। तो माध्यिका वर्ग यही है। इसके लिए $L = 30$, $f = 15$ और $h = 10$ हैं। कुल $N = 40 + x$ है, और 30-40 से पहले की $cf$ जोड़ने पर $6 + 8 + x = 14 + x$ आती है।

$$32 = 30 + \frac{\frac{40 + x}{2} - (14 + x)}{15} \times 10$$

इसे सरल करने पर यह मिलता है।

$$2 = \frac{2}{3}\left(6 - \frac{x}{2}\right) \Rightarrow 3 = 6 - \frac{x}{2}$$

यानी $\frac{x}{2} = 3$, तो $x =$ (b) 6। अब जाँच कर लेते हैं। $N = 46$ है और उसका आधा 23। चलते योग 6, 14, 20, 35 हैं, तो 23वाँ मान सच में 30-40 में है। माध्यिका भी $30 + \frac{3}{15} \times 10 = 32$ आती है।

प्रश्न 15

नीचे दिए गए बंटन में कुल 60 प्रेक्षण हैं और इसकी माध्यिका 46 है।

$a$ और $b$ के मान क्या हैं? (a) $a = 8$, $b = 17$ (b) $a = 15$, $b = 10$ (c) $a = 16$, $b = 9$ (d) $a = 17$, $b = 8$

उत्तर: कुल 60 दिया है, तो $7 + a + 20 + b + 8 = 60$, और इससे $a + b = 25$। माध्यिका 46 है, जो 40-60 वाले वर्ग में है। इसके लिए $L = 40$, $f = 20$ और $h = 20$ हैं। इससे पहले की $cf$ = $7 + a$ है, और $\frac{N}{2} = 30$।

$$46 = 40 + \frac{30 - 7 - a}{20} \times 20 \Rightarrow 6 = 23 - a \Rightarrow a = 17$$

फिर $b = 25 - 17 = 8$ आता है। तो उत्तर (d) $a = 17$, $b = 8$ है।

प्रश्न 16

नीचे 120 लोगों की आयु के "से कम" और "से अधिक" तोरण खींचे गए हैं। ये बिंदु P पर मिलते हैं।

आयु की माध्यिका क्या है? (a) 52 वर्ष (b) 60 वर्ष (c) 55 वर्ष (d) 50 वर्ष

उत्तर: दोनों तोरण माध्यिका पर मिलते हैं, और P की ऊँचाई $\frac{N}{2} = 60$ है। तो माध्यिका वह आयु है, जहाँ "से कम" तोरण 60 तक पहुँचता है। ग्राफ़ से पढ़ते हैं कि 54 लोग 50 वर्ष से कम आयु के हैं और 84 लोग 60 वर्ष से कम के। इसलिए माध्यिका वर्ग 50-60 है, और $f = 84 - 54 = 30$।

$$\text{माध्यिका} = 50 + \frac{60 - 54}{30} \times 10 = 50 + 2 = 52$$

माध्यिका आयु (a) 52 वर्ष निकली। 60 लिखना गलत है, क्योंकि 60 तो P की ऊँचाई है। वह लोगों की संख्या बताती है, आयु नहीं।

प्रश्न 17

नीचे दिया गया "से कम" तोरण 60 टैक्सियों में से प्रत्येक द्वारा एक दिन में तय की गई दूरी दर्शाता है।

दूरी की माध्यिका क्या है? (a) 30 किमी (b) 50 किमी (c) 60 किमी (d) 70 किमी

उत्तर: तोरण का आख़िरी बिंदु 60 की ऊँचाई पर है, तो $N = 60$ और $\frac{N}{2} = 30$। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 30 से आड़े चलकर वक्र तक जाते हैं। यह रेखा वक्र से ठीक उस अंकित बिंदु पर मिलती है, जो 60 किमी के ऊपर है। तो माध्यिका (c) 60 किमी है। सूत्र से भी जाँच लेते हैं। माध्यिका वर्ग 40-60 है, $cf = 13$ और $f = 30 - 13 = 17$, तो $40 + \frac{30 - 13}{17} \times 20 = 40 + 20 = 60$।

प्रश्न 18

11 प्रेक्षणों की माध्यिका 18 है। प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया जाता है और फिर उसमें 3 जोड़ा जाता है। नई माध्यिका क्या है? (a) 36 (b) 42 (c) 21 (d) 39

उत्तर: हर मान को दोगुना करके 3 जोड़ने से उनका क्रम नहीं बदलता। इसलिए जो प्रेक्षण बीच में था, वह बीच में ही रहता है। अब वह $2 \times 18 + 3 = 39$ हो गया, तो नई माध्यिका (d) 39 है।

प्रश्न 19

9 प्रेक्षणों के माध्य और माध्यिका क्रमशः 32 और 30 हैं। यदि सबसे बड़े प्रेक्षण में 18 की वृद्धि कर दी जाए, तो नया माध्य और नई माध्यिका क्या होंगे? (a) माध्य 32, माध्यिका 32 (b) माध्य 34, माध्यिका 30 (c) माध्य 34, माध्यिका 32 (d) माध्य 50, माध्यिका 30

उत्तर: सबसे बड़े प्रेक्षण में 18 जुड़ने से योग भी 18 बढ़ गया। तो माध्य $\frac{18}{9} = 2$ बढ़कर 34 हो गया। सबसे बड़ा प्रेक्षण पहले भी सबसे ऊपर था और अब भी ऊपर ही है। क्रम में पाँचवाँ मान पहले जैसा ही रहा, इसलिए माध्यिका 30 ही है। उत्तर (b) माध्य 34, माध्यिका 30 है।

प्रश्न 20

45, 32, 58, 27, 50, 39, 62, 35, 41, 55, 30 का निम्न चतुर्थक और उच्च चतुर्थक ज्ञात कीजिए। (a) $Q_1 = 30$, $Q_3 = 58$ (b) $Q_1 = 35$, $Q_3 = 50$ (c) $Q_1 = 32$, $Q_3 = 55$ (d) $Q_1 = 58$, $Q_3 = 41$

उत्तर: संख्याएँ बिखरी हुई हैं, तो पहले इन्हें क्रम में रखते हैं, 27, 30, 32, 35, 39, 41, 45, 50, 55, 58, 62। यहाँ $n = 11$ है, तो $\frac{n+1}{4} = 3$ और $\frac{3(n+1)}{4} = 9$। मतलब निम्न चतुर्थक तीसरा मान है और उच्च चतुर्थक नौवाँ मान। ये दोनों (c) $Q_1 = 32$, $Q_3 = 55$ हैं।

प्रश्न 21

आँकड़ों 21, 25, 28, 31, 34, 38, 42, 47, 53 का अंतःचतुर्थक परिसर ज्ञात कीजिए। (a) 18 (b) 17 (c) 9 (d) 32

उत्तर: ये आँकड़े पहले से ही आरोही क्रम में हैं, और $n = 9$ है। $Q_1$ के लिए $\frac{10}{4} = 2.5$वाँ मान चाहिए, जो 25 और 28 के ठीक बीच है, तो $Q_1 = 26.5$। इसी तरह $Q_3$ 7.5वाँ मान है, जो 42 और 47 के ठीक बीच है, इसलिए $Q_3 = 44.5$। अब अंतःचतुर्थक परिसर $44.5 - 26.5 = 18$ है, यानी (a) 18। इसका आधा, 9, चतुर्थक विचलन होता है, जो यहाँ पूछा ही नहीं गया।