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सूची का माध्य

• माध्य (mean) $= \frac{\text{मानों का योग}}{\text{मानों की संख्या}}$ होता है। इसलिए योग चाहिए हो, तो माध्य को मानों की संख्या से गुणा कर दीजिए।
• मान बराबर अंतर से बढ़ते हों, यानी समांतर श्रेणी में हों, तो माध्य $= \frac{\text{पहला} + \text{अंतिम}}{2}$ होता है।
• प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का माध्य $\frac{n + 1}{2}$ होता है। प्रथम $n$ सम संख्याओं का माध्य $n + 1$ होता है और प्रथम $n$ विषम संख्याओं का $n$।
• 1 से $n$ तक की संख्याओं के वर्गों का माध्य $\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$ होता है।
• कल्पित माध्य (assumed mean) $A$ लें, तो $\bar{x} = A + \frac{\sum d}{n}$ होता है। यहाँ $d = x - A$ है।
• माध्य से लिए गए सारे विचलनों का योग हमेशा 0 होता है।

जैसे 6, 9, 12, …, 60 का माध्य $\frac{6 + 60}{2} = 33$ है।

जब मान बदलें

• गलती से लिखा गया कोई मान ठीक करें, तो माध्य में $\frac{\text{सही मान} - \text{गलत मान}}{n}$ का बदलाव आता है।
• कोई मान जुड़ जाए या हट जाए, तो पहले नया योग निकालिए। फिर उसे मानों की नई संख्या से भाग दीजिए।
• हर मान में $k$ जोड़ दें, तो माध्य, माध्यिका (median) और बहुलक (mode), तीनों $k$ बढ़ जाते हैं। हर मान को $k$ से गुणा करें, तो ये तीनों भी $k$ से गुणा हो जाते हैं। इसीलिए $y = ax + b$ हो, तो $\bar{y} = a\bar{x} + b$ होता है।

मान लीजिए 10 मानों का माध्य 18 निकाला गया था, पर एक मान 27 को 72 पढ़ लिया गया था। ठीक करने पर माध्य $\frac{45}{10} = 4.5$ घट जाता है और 13.5 रह जाता है। औसत वाले शाब्दिक प्रश्न अध्याय 5 (औसत) में देखिए।

भारित और संयुक्त माध्य

• भारित माध्य $= \frac{\sum wx}{\sum w}$ होता है।
• कई समूहों का संयुक्त माध्य $= \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2 + n_3\bar{x}_3}{n_1 + n_2 + n_3}$ होता है।
• संयुक्त माध्य समूहों के माध्यों के बीच ही आता है। यह उस समूह के माध्य के अधिक पास रहता है, जिसमें सदस्य अधिक हों।
• दो समूहों का संयुक्त माध्य $M$ हो, तो $n_1 : n_2 = (\bar{x}_2 - M) : (M - \bar{x}_1)$ होता है।
• समूहों के माध्यों का सीधा औसत तभी ठीक है, जब सब समूहों में सदस्यों की संख्या बराबर हो।

उदाहरण के लिए, 25 पुरुषों की माध्य आयु 40 वर्ष है और 15 महिलाओं की 32 वर्ष। सबकी माध्य आयु $\frac{1000 + 480}{40} = 37$ वर्ष है, 36 वर्ष नहीं।

बारंबारता तालिका का माध्य

• असतत बारंबारता तालिका में $\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$ होता है।
• वर्गीकृत तालिका हो, तो हर वर्ग का वर्ग चिह्न $x = \frac{\text{निम्न वर्ग सीमा} + \text{उच्च वर्ग सीमा}}{2}$ लीजिए।
• कल्पित माध्य विधि में $\bar{x} = A + \frac{\sum fd}{\sum f}$ होता है। यहाँ $d = x - A$ है।
• पद-विचलन विधि (step-deviation method) में $u = \frac{x - A}{h}$ लेते हैं। तब $\bar{x} = A + h \times \frac{\sum fu}{\sum f}$ होता है।
• लुप्त बारंबारता $\sum f(x - \bar{x}) = 0$ से निकल आती है। चाहें तो $A$ ठीक उसी मान पर रखिए, जिसकी बारंबारता लुप्त है।
• बारंबारताओं को छोड़कर केवल वर्ग चिह्नों का सीधा औसत ले लें, तो वह तालिका का माध्य नहीं होता।

सूची और असतत तालिका की माध्यिका

• माध्यिका निकालने से पहले मान क्रम में लगाइए।
• $n$ विषम हो, तो $\frac{n + 1}{2}$वाँ मान ही माध्यिका होता है। $n$ सम हो, तो $\frac{n}{2}$वें और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$वें मानों का माध्य लेते हैं।
• असतत तालिका में हर पंक्ति की संचयी बारंबारता (cumulative frequency) लिख लीजिए। फिर देखिए कि माध्यिका वाले स्थान किस पंक्ति में पड़ते हैं।
• बीच वाले दोनों मान अलग-अलग पंक्तियों में भी पड़ सकते हैं। तब माध्यिका उन दोनों का माध्य होती है।

9, 4, 15, 7, 12, 4 को क्रम में लगाएँ, तो 4, 4, 7, 9, 12, 15 मिलते हैं। इसलिए माध्यिका $\frac{7 + 9}{2} = 8$ है।

वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका

$$\text{माध्यिका} = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h$$

• माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग है, जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{N}{2}$ तक पहुँच जाए।
• सूत्र में $cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है।
• समावेशी वर्ग (10-19, 20-29) हों, तो पहले उन्हें 9.5-19.5, 19.5-29.5 बना लीजिए।
• "से कम" वाली संख्याएँ पहले से संचयी होती हैं। "से अधिक" वाली संख्याओं में पास-पास की दो संख्याओं का अंतर लेकर वर्गों की बारंबारताएँ निकालिए।
• "से कम" तोरण (ogive) और "से अधिक" तोरण माध्यिका पर एक-दूसरे को काटते हैं। वहाँ दोनों की ऊँचाई $\frac{N}{2}$ होती है।

चतुर्थक

• चतुर्थक (quartile) के लिए भी पहले मान क्रम में लगाइए। निम्न चतुर्थक $Q_1$ इस क्रम का $\frac{n + 1}{4}$वाँ मान होता है।
• उच्च चतुर्थक $Q_3$ इसी क्रम का $\frac{3(n + 1)}{4}$वाँ मान होता है।
• माध्यिका ही बीच वाला चतुर्थक $Q_2$ है।
• अंतःचतुर्थक परिसर (interquartile range) $= Q_3 - Q_1$ होता है। यह आँकड़ों के बीच वाले आधे भाग का फैलाव बताता है, इसलिए बहुत बड़े या बहुत छोटे (चरम) मानों का इस पर कोई असर नहीं पड़ता।

सूची 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13 में $n = 7$ है। $Q_1$ दूसरा मान है, यानी 5। माध्यिका 8 है और $Q_3$ छठा मान, यानी 11। तो अंतःचतुर्थक परिसर $11 - 5 = 6$ है।

बहुलक

• बहुलक वह मान है, जो सबसे अधिक बार आता है। किसी सूची में एक बहुलक हो सकता है या दो बहुलक भी। हर मान केवल एक बार आए, तो कोई बहुलक नहीं होता।
• असतत तालिका में सबसे अधिक बारंबारता वाला मान बहुलक होता है।
• वर्गीकृत आँकड़ों में $\text{बहुलक} = L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$ लगाते हैं। यहाँ $f_1$ बहुलक वर्ग (modal class) की बारंबारता है, और $f_0$, $f_2$ उससे ठीक पहले और ठीक बाद वाले वर्गों की।
• बहुलक उस पड़ोसी वर्ग की ओर झुकता है, जिसकी बारंबारता अधिक हो। $f_0 = f_2$ हो, तो बहुलक ठीक वर्ग के मध्य में आता है।
• बहुलक वर्ग ही पहला वर्ग हो, तो $f_0 = 0$ लीजिए।

आनुभविक संबंध और औसत का चुनाव

• बंटन मध्यम विषमता वाला (moderately skewed) हो, तो $\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$ होता है। इसे आनुभविक संबंध (empirical relation) कहते हैं। इसका दूसरा रूप $\text{माध्य} - \text{बहुलक} = 3(\text{माध्य} - \text{माध्यिका})$ है।
• सममित बंटन में माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों बराबर होते हैं।
• ऊँचे मानों की ओर लंबी पूँछ हो, तो $\text{बहुलक} < \text{माध्यिका} < \text{माध्य}$ होता है। निचले मानों की ओर लंबी पूँछ हो, तो यह क्रम उलट जाता है।
• जूतों या कमीज़ों का सबसे आम साइज़ जानना हो, तो बहुलक ठीक रहता है। जहाँ कुछ मान बहुत बड़े या बहुत छोटे हों, जैसे आय में, वहाँ माध्यिका लीजिए। माध्य में हर मान शामिल होता है।

माध्य 40 और माध्यिका 38 हो, तो $\text{बहुलक} = 114 - 80 = 34$ आता है।

परिसर और माध्य विचलन

• परिसर (range) $=$ सबसे बड़ा मान $-$ सबसे छोटा मान होता है।
• परिसर गुणांक $= \frac{\text{सबसे बड़ा} - \text{सबसे छोटा}}{\text{सबसे बड़ा} + \text{सबसे छोटा}}$ होता है।
• माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (mean deviation) $= \frac{\sum \lvert x - \bar{x} \rvert}{n}$ होता है। माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन चाहिए, तो $\bar{x}$ की जगह माध्यिका रखिए।
• माध्य विचलन में दूरियाँ जोड़ी जाती हैं, इसलिए सारे चिह्न हटा दिए जाते हैं।

4, 6, 9, 13, 18 को देखिए। इनका परिसर 14 है और परिसर गुणांक $\frac{14}{22} \approx 0.64$ है। माध्य 10 है और उससे मानों की दूरियाँ 6, 4, 1, 3, 8 हैं। तो माध्य विचलन $\frac{22}{5} = 4.4$ आता है।

प्रसरण और मानक विचलन

• प्रसरण (variance) $\sigma^2 = \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n} = \frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2$ होता है। मानक विचलन (standard deviation) इसका वर्गमूल होता है, यानी $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$।
• बारंबारता तालिका में $\sigma^2 = \frac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar{x}^2$ लगाइए।
• पद-विचलन $u = \frac{x - A}{h}$ लें, तो $\sigma^2 = h^2\left[\frac{\sum fu^2}{\sum f} - \left(\frac{\sum fu}{\sum f}\right)^2\right]$ होता है।
• केवल दो मान $a$ और $b$ हों, तो $\sigma = \frac{\lvert a - b \rvert}{2}$ होता है।
• प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के लिए $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ होता है।
• $\sigma$ कभी ऋणात्मक नहीं होता। यह 0 केवल तब होता है, जब सारे मान बराबर हों।

बदलाव और विचरण गुणांक

• हर मान में $k$ जोड़ें या घटाएँ, तो प्रसरण और मानक विचलन नहीं बदलते।
• हर मान को $k$ से गुणा करें, तो मानक विचलन $\lvert k \rvert$ से गुणा हो जाता है और प्रसरण $k^2$ से।
• विचरण गुणांक (coefficient of variation) के लिए $\text{विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ लगाइए। जिन आँकड़ों का विचरण गुणांक छोटा हो, वे अधिक स्थिर होते हैं।
• केवल मानक विचलन देखकर तुलना तभी कीजिए, जब माध्य बराबर हों।

अंकों का मानक विचलन 3 हो और हर अंक को दोगुना करके उसमें 5 जोड़ दें, तो मानक विचलन 6 हो जाता है और प्रसरण 36। अब माध्य 50 और मानक विचलन 5 वाले आँकड़े लीजिए, जिनका विचरण गुणांक 10% है। माध्य 30 और मानक विचलन 4.5 वाले आँकड़ों का विचरण गुणांक 15% है। तो पहले वाले आँकड़े अधिक स्थिर हैं।

परीक्षा से पहले

इन चूकों से बचिए।

• सूची को क्रम में लगाए बिना माध्यिका निकाल लेना।
• वर्गीकृत आँकड़ों में $\frac{N + 1}{2}$ ले लेना।
• माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की जगह माध्यिका वर्ग की अपनी संचयी बारंबारता ले लेना।
• $f_0$ और $f_2$ की अदला-बदली कर देना, या $h$ से गुणा करना भूल जाना।
• बहुलक के लिए $3\,\text{माध्य} - 2\,\text{माध्यिका}$ लिख देना।
• मानक विचलन पूछा गया हो, पर उत्तर में प्रसरण दे देना।
• कोई अचर जोड़ने पर मानक विचलन बदल देना, या $k^2$ की जगह $k$ ले लेना।
• समावेशी वर्गों को सतत बनाना भूल जाना।

अध्याय टेस्ट में 25 प्रश्न हैं और समय 25 मिनट का है। हर सही उत्तर पर $+3$ अंक मिलते हैं और हर गलत उत्तर पर $-1$ अंक।