हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से कैसे अभ्यास करें

नीचे 34 प्रश्न हैं, और ये उसी क्रम में रखे गए हैं जिस क्रम में अध्याय में विषय आए थे। पहले सूचियों और समूहों के माध्य आते हैं, फिर बारंबारता तालिकाओं के माध्य। इसके बाद सूचियों की माध्यिका है, और फिर वर्गीकृत और संचयी तालिकाओं की माध्यिका। आगे बहुलक और आनुभविक संबंध के प्रश्न हैं, और ऐसे प्रश्न भी, जिनमें एक ही तालिका से माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों निकालने हैं। अंत में परिसर, माध्य विचलन (mean deviation), प्रसरण और मानक विचलन के प्रश्न हैं।

कई तालिकाओं पर दो या तीन प्रश्न पूछे गए हैं। ऐसे में बाद वाला प्रश्न पहले वाले प्रश्न के उत्तर पर टिका होता है।

सूत्र लगाने से पहले एक नियम बना लीजिए। लिख लीजिए कि उस प्रश्न में कौन-सा अक्षर किस चीज़ के लिए है। माध्यिका के सूत्र में ये अक्षर $L$, $cf$, $f$ और $h$ हैं, और बहुलक के सूत्र में $f_0$, $f_1$ और $f_2$। सूत्र तो छोटे-छोटे हैं। अंक तब कटते हैं, जब उनमें गलत संख्या रख दी जाती है।

हर प्रश्न को लगभग एक मिनट दीजिए। जिस प्रश्न में इससे बहुत ज़्यादा समय लगे, उसे एक दिन बाद फिर से हल कीजिए, और इस बार तेज़ रास्ते से। ये तेज़ रास्ते "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में मिल जाएँगे।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

12 संख्याओं का माध्य 38 है। पहली 6 संख्याओं में से प्रत्येक में 5 की वृद्धि की जाती है और शेष 6 संख्याओं में से प्रत्येक में 2 की कमी की जाती है। नया माध्य क्या है?

उत्तर: यहाँ संख्याएँ अलग-अलग जानने की ज़रूरत नहीं है। बस यह देखना है कि उनका योग कितना बदला। छह संख्याएँ 5-5 बढ़ीं, तो योग में 30 जुड़ गया। बाकी छह संख्याएँ 2-2 घटीं, तो योग में से 12 घट गया। कुल मिलाकर योग 18 बढ़ा। यह बढ़त 12 संख्याओं में बँटती है, इसलिए माध्य $\frac{18}{12} = 1.5$ बढ़ेगा। नया माध्य $38 + 1.5 =$ 39.5 है।

प्रश्न 2

प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों का माध्य 63 है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शुरू की प्राकृत संख्याओं के वर्गों का माध्य एक सीधे सूत्र से निकल आता है। $1^2, 2^2, \ldots, n^2$ का माध्य $\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$ होता है। इसे 63 के बराबर रखें, तो $(n + 1)(2n + 1) = 378$ आता है। अब वर्गमूल के आसपास की संख्याएँ रखकर देखते हैं। $n = 13$ रखने पर $14 \times 27 = 378$ मिल जाता है। तो उत्तर $n = 13$ है।

प्रश्न 3

20 संख्याओं का माध्य 42 है। एक संख्या 63 हटा दी जाती है और दो संख्याएँ 35 और 49 जोड़ दी जाती हैं। संख्याओं के नए समूह का माध्य क्या है?

उत्तर: 20 संख्याओं का पुराना योग $20 \times 42 = 840$ है। इसमें से 63 निकालना है और 35 व 49 जोड़ने हैं, तो नया योग $840 - 63 + 84 = 861$ हुआ। अब गिनती पर ध्यान दीजिए। एक संख्या गई और दो आईं, तो अब 21 संख्याएँ हैं। नया माध्य $\frac{861}{21} =$ 41 है। जल्दबाज़ी में कई छात्र नए योग को 20 से ही भाग दे देते हैं। यह गलत है, क्योंकि संख्याओं की गिनती बदल चुकी है।

प्रश्न 4

किसी कक्षा के तीन अनुभागों A, B और C में क्रमशः 30, 45 और 25 विद्यार्थी हैं। A और C के माध्य अंक क्रमशः 60 और 70 हैं, तथा सभी 100 विद्यार्थियों को मिलाकर माध्य अंक 65.2 हैं। अनुभाग B के माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सभी 100 विद्यार्थियों के अंक मिलाकर $100 \times 65.2 = 6520$ होते हैं। इनमें अनुभाग A का हिस्सा $30 \times 60 = 1800$ है और C का $25 \times 70 = 1750$। जो बचा, वह B के 45 विद्यार्थियों का है, यानी $6520 - 1800 - 1750 = 2970$। तो B के माध्य अंक $\frac{2970}{45} =$ 66 हैं।

प्रश्न 5

किसी कंपनी में सभी कर्मचारियों का माध्य मासिक वेतन ₹ 42,000 है। 40 प्रबंधकों का माध्य वेतन ₹ 75,000 और शेष कर्मचारियों का माध्य वेतन ₹ 36,000 है। शेष कर्मचारियों की संख्या कितनी है?

उत्तर: रुपयों को हज़ार में गिनें, तो संख्याएँ छोटी रहती हैं। सबका माध्य 42 हज़ार है। प्रबंधकों का माध्य वेतन इससे 33 हज़ार ऊपर है, और बाकी कर्मचारियों का माध्य वेतन 6 हज़ार नीचे। दोनों समूहों में सदस्यों की संख्या इन अंतरों के उलटे अनुपात में होती है। तो प्रबंधक : बाकी कर्मचारी $= 6 : 33 = 2 : 11$। प्रबंधक 40 हैं, इसलिए उनके अलावा $40 \times \frac{11}{2} =$ 220 अन्य कर्मचारी हैं। जाँच के लिए सबका माध्य फिर से निकालते हैं, $\frac{40 \times 75 + 220 \times 36}{260} = \frac{10920}{260} = 42$, यानी 42 हज़ार ही आता है।

प्रश्न 6

एक महाविद्यालय गणित, विज्ञान, अंग्रेज़ी और हिंदी को क्रमशः 4, 3, 2 और 1 भार देता है। एक विद्यार्थी इन विषयों में क्रमशः 84, 76, 70 और 65 अंक प्राप्त करता है। विद्यार्थी के अंकों का भारित माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भारित माध्य (weighted mean) में हर विषय के अंक को उस विषय को दिए गए भार से गुणा करके सब जोड़ लेते हैं। तो कुल $84 \times 4 + 76 \times 3 + 70 \times 2 + 65 \times 1 = 336 + 228 + 140 + 65 = 769$ हुआ। भारों का योग 10 है, इसलिए भारित माध्य $\frac{769}{10} =$ 76.9 है। चारों अंकों का सीधा औसत 73.75 है, जो इससे कम है। ऐसा इसलिए, क्योंकि गणित के अंक सबसे ऊँचे हैं और उसी का भार सबसे अधिक है।

प्रश्न 7

तालिका में एक गाँव के 50 परिवारों में से प्रत्येक के पास साइकिलों की संख्या दी गई है।

प्रति परिवार साइकिलों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कल्पित माध्य 2 ले लेते हैं। तब साइकिलों की संख्या के विचलन $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ होते हैं। इन्हें बारंबारताओं से गुणा करके जोड़ें, तो $-4 - 9 + 0 + 12 + 14 + 12 = 25$ आता है। यह 50 परिवारों पर बँटेगा, इसलिए माध्य $2 + \frac{25}{50} =$ 2.5 साइकिलें है।

प्रश्न 8

नीचे दी गई तालिका में कुल 50 मान हैं और उनका माध्य 31 है। $p$ और $q$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दो अज्ञात हैं, तो दो समीकरण चाहिए। पहला समीकरण कुल बारंबारता से मिलता है, $8 + p + 12 + q + 5 = 50$, यानी $p + q = 25$। दूसरा समीकरण माध्य से आएगा। माध्य 31 है, तो $\sum fx = 50 \times 31 = 1550$ होना चाहिए। हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़ते हैं और इसके बराबर रखते हैं।

$$80 + 20p + 360 + 40q + 250 = 1550 \Rightarrow 20p + 40q = 860 \Rightarrow p + 2q = 43$$

इसमें से $p + q = 25$ घटाएँ, तो $q = 18$ बचता है, और फिर $p = 7$। यानी $p = 7$ और $q = 18$।

प्रश्न 9

प्रश्न 8 में ज्ञात $p$ और $q$ के मानों के साथ, तालिका की माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रश्न 8 वाले मान रख दें, तो बारंबारताएँ 8, 7, 12, 18 और 5 हो जाती हैं। इनकी संचयी बारंबारताएँ 8, 15, 27, 45 और 50 हैं। $N = 50$ है, इसलिए माध्यिका 25वें और 26वें मानों का माध्य होगी। ये दोनों मान उस पंक्ति में आते हैं, जहाँ संचयी बारंबारता 27 है, यानी दोनों 30 हैं। तो माध्यिका 30 है। सबसे अधिक बारंबारता 18 है, जो $x = 40$ के सामने है, इसलिए बहुलक 40 है। उत्तर है माध्यिका 30, बहुलक 40। यहाँ एक धोखा हो सकता है। $q$ मिलने से पहले तालिका देखें, तो 30 की बारंबारता 12 सबसे बड़ी लगती है, और 30 ही बहुलक जैसा दिखता है। पर $q = 18$ उससे आगे निकल जाता है।

प्रश्न 10

तालिका में 60 विद्यार्थियों का भार दिया गया है।

माध्य भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माध्य के लिए हमें केवल वर्ग चिह्न चाहिए। पहले वर्ग का वर्ग चिह्न $\frac{40 + 44}{2} = 42$ है, और आगे के वर्गों के 47, 52, 57 और 62। वर्ग समावेशी हैं, फिर भी इन्हें सतत बनाने की ज़रूरत नहीं, क्योंकि सतत बनाने पर भी वर्ग चिह्न यही रहते हैं। अब $A = 52$ और $h = 5$ लेते हैं, तो $u$ के मान $-2$ से 2 तक आते हैं। हर वर्ग की बारंबारता से गुणा करके जोड़ने पर यह मिलता है।

$$\sum fu = -14 - 15 + 0 + 11 + 12 = -6$$

तो विद्यार्थियों का माध्य भार $52 + 5 \times \frac{-6}{60} = 52 - 0.5 =$ 51.5 किग्रा है।

प्रश्न 11

तालिका में दी गई कक्षा के माध्य अंक 25 हैं। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: लुप्त बारंबारता वाले वर्ग का वर्ग चिह्न 15 है, और कल्पित माध्य यही लेना ठीक रहता है। तब $k$ का गुणा 0 से होता है, इसलिए वह गुणनफलों के जोड़ में नहीं आता, केवल कुल बारंबारता में रहता है। $h = 10$ लेने पर $u$ के मान $-1, 0, 1, 2, 3$ हैं, और $\sum fu = -5 + 0 + 14 + 18 + 12 = 39$। अब माध्य का सूत्र लिखकर उसे 25 के बराबर रखते हैं।

$$15 + 10 \times \frac{39}{32 + k} = 25 \Rightarrow \frac{390}{32 + k} = 10 \Rightarrow 32 + k = 39$$

इससे $k = 7$ मिलता है।

प्रश्न 12

नौ पार्सलों के भार (किग्रा में) 4.2, 3.8, 5.1, 2.9, 4.6, 3.5, 4.9, 3.1 और 4.4 हैं। भार की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भारों को आरोही क्रम में लगाएँ, तो वे 2.9, 3.1, 3.5, 3.8, 4.2, 4.4, 4.6, 4.9, 5.1 हैं। मान 9 हैं, तो बीच वाला, यानी पाँचवाँ मान माध्यिका होगा। इसलिए माध्यिका 4.2 किग्रा है।

प्रश्न 13

प्रश्न 12 के नौ पार्सलों में 3.6 किग्रा भार का एक दसवाँ पार्सल जोड़ दिया जाता है। नई माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: नया पार्सल 3.6 किग्रा का है, जो 3.5 और 3.8 के बीच आएगा। अब सूची 2.9, 3.1, 3.5, 3.6, 3.8, 4.2, 4.4, 4.6, 4.9, 5.1 है। 10 मान हैं, तो बीच के दो मान लेने होंगे, यानी पाँचवाँ मान 3.8 और छठा मान 4.2। इसलिए माध्यिका $\frac{3.8 + 4.2}{2} =$ 4 किग्रा है। पुरानी माध्यिका से नीचे कोई मान जुड़े, तो माध्यिका नीचे खिसक जाती है, जैसा यहाँ हुआ।

प्रश्न 14

किसी संग्रहालय में 11 दिनों में आए दर्शकों की संख्या 112, 98, 135, 120, 104, 150, 127, 91, 140, 116 और 108 थी। निम्न चतुर्थक, उच्च चतुर्थक और अंतःचतुर्थक परिसर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ग्यारहों दिनों के आँकड़े आरोही क्रम में लिख लेते हैं, 91, 98, 104, 108, 112, 116, 120, 127, 135, 140, 150। यहाँ $n = 11$ है। निम्न चतुर्थक (lower quartile) का स्थान $\frac{n + 1}{4} = 3$ है, यानी तीसरा मान, जो 104 है। उच्च चतुर्थक (upper quartile) का स्थान $\frac{3(n + 1)}{4} = 9$ है, यानी नौवाँ मान 135। तो $Q_1 = 104$ और $Q_3 = 135$। अंतःचतुर्थक परिसर (interquartile range) इन दोनों का अंतर है, $135 - 104 =$ 31। बीच वाला छठा मान 116 है, तो माध्यिका भी साथ में मिल गई।

प्रश्न 15

तालिका में 100 उपयोगकर्ताओं द्वारा एक महीने में उपयोग किया गया मोबाइल डेटा दिया गया है।

उपयोग किए गए डेटा की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुल 100 उपयोगकर्ता हैं, तो $\frac{N}{2} = 50$। संचयी बारंबारताएँ 6, 20, 60, 80, 92 और 100 हैं। इनमें 50 तक पहुँचने वाली पहली संख्या 60 है, इसलिए माध्यिका वर्ग 8-12 है। इस वर्ग से पहले 20 उपयोगकर्ता हैं। अब सूत्र में मान रखते हैं।

$$\text{माध्यिका} = 8 + \frac{50 - 20}{40} \times 4 = 8 + 3 = 11$$

यानी डेटा की माध्यिका 11 जीबी है।

प्रश्न 16

नीचे दिए गए बारंबारता बंटन में कुल 100 मान हैं और इसकी माध्यिका 34 है। $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माध्यिका 34 दी है, जो 30-40 वाले वर्ग में आती है। यही माध्यिका वर्ग है, और इसके लिए $L = 30$, $f = 30$, $h = 10$ हैं। इस वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता $8 + x + 24 = 32 + x$ है। अब यह सब माध्यिका के सूत्र में डालते हैं।

$$34 = 30 + \frac{50 - 32 - x}{30} \times 10 \Rightarrow 4 = \frac{18 - x}{3} \Rightarrow x = 6$$

दूसरी लुप्त बारंबारता कुल से निकल आती है, $y = 100 - 8 - 6 - 24 - 30 - 6 = 26$। तो $x = 6$ और $y = 26$। अंत में देख लेते हैं कि माध्यिका वर्ग ठीक चुना था या नहीं। 30-40 से पहले संचयी बारंबारता 38 होती है और इस वर्ग के बाद 68। 50 इन दोनों के बीच है, तो माध्यिका सच में इसी वर्ग में है।

प्रश्न 17

तालिका में 60 विद्यार्थियों के अंक "से अधिक" संचयी तालिका के रूप में दिए गए हैं। किसी भी विद्यार्थी ने 60 या अधिक अंक प्राप्त नहीं किए।

अंकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: "से अधिक" वाली तालिका पर सूत्र सीधे नहीं लगता। पहले पास-पास की दो पंक्तियों का अंतर लेकर हर वर्ग की बारंबारता निकालते हैं। 0-10 की बारंबारता $60 - 56 = 4$ है। इसी तरह 10-20 की 8, 20-30 की 14, 30-40 की 20, 40-50 की 10 और 50-60 की 4 है। अब सामान्य संचयी बारंबारता वाला स्तंभ लिखते हैं, 4, 12, 26, 46, 56, 60। $\frac{N}{2} = 30$ है, जो 30-40 वाले वर्ग में आता है, और इस वर्ग से पहले 26 विद्यार्थी हैं।

$$\text{माध्यिका} = 30 + \frac{30 - 26}{20} \times 10 = 32$$

माध्यिका 32 अंक है।

प्रश्न 18

तालिका में सड़क किनारे की 80 चाय की दुकानों की दैनिक बिक्री दी गई है। कोई भी दुकान प्रतिदिन ₹ 150 से कम की बिक्री नहीं करती।

दैनिक बिक्री की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यह "से कम" वाली तालिका है, तो इसमें दी गई संख्याएँ पहले से ही संचयी बारंबारताएँ हैं। इसलिए सीधे $\frac{N}{2} = 40$ लेते हैं। "300 से कम" के सामने 37 है और "350 से कम" के सामने 61। तो 40वीं दुकान 300-350 वाले वर्ग में आती है, और यही माध्यिका वर्ग है। इस वर्ग से पहले 37 दुकानें हैं, और इसकी अपनी बारंबारता $61 - 37 = 24$ है।

$$\text{माध्यिका} = 300 + \frac{40 - 37}{24} \times 50 = 300 + 6.25 = 306.25$$

दैनिक बिक्री की माध्यिका ₹ 306.25 है।

प्रश्न 19

यदि प्रश्न 18 के आँकड़ों के लिए "से कम" तोरण और "से अधिक" तोरण खींचे जाएँ, तो वे एक-दूसरे को किस बिंदु पर काटेंगे?

उत्तर: ये दोनों तोरण (ogive) हमेशा माध्यिका पर ही कटते हैं। वजह सीधी है। माध्यिका से कम बिक्री वाली दुकानें भी 80 की आधी होती हैं और उससे ज़्यादा बिक्री वाली भी। इसलिए दोनों वक्र उस जगह मिलते हैं, जहाँ बिक्री माध्यिका के बराबर है और संचयी बारंबारता 40 है। प्रश्न 18 में माध्यिका ₹ 306.25 आई थी, तो दोनों तोरण बिंदु (306.25, 40) पर कटेंगे।

प्रश्न 20

तालिका में एक पौधशाला के 120 पौधों की ऊँचाई दी गई है।

बहुलक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तालिका में सबसे बड़ी बारंबारता 35 है, जो 50-60 वाले वर्ग की है। तो यही बहुलक वर्ग है, और $L = 50$, $f_1 = 35$। इससे पहले वाले वर्ग से $f_0 = 23$ और बाद वाले से $f_2 = 27$ मिलते हैं। वर्ग माप $h = 10$ है।

$$\text{बहुलक} = 50 + \frac{35 - 23}{70 - 23 - 27} \times 10 = 50 + \frac{12}{20} \times 10 = 56$$

बहुलक ऊँचाई 56 सेमी है। यह वर्ग के बीच वाले मान 55 से कुछ ऊपर है, और ऐसा ही होना चाहिए। बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता पहले वाले से बड़ी है, तो बहुलक उसी ओर खिसकता है।

प्रश्न 21

तालिका में 50 विद्यार्थियों के एक सत्र में अनुपस्थित रहने के दिनों की संख्या दी गई है।

बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस बार बहुलक वर्ग सबसे पहला वर्ग 0-4 ही है। इससे पहले कोई वर्ग नहीं है, इसलिए $f_0 = 0$ लेते हैं। बाकी दो मान $f_1 = 24$ और $f_2 = 16$ हैं।

$$\text{बहुलक} = 0 + \frac{24 - 0}{48 - 0 - 16} \times 4 = \frac{24}{32} \times 4 = 3$$

यानी बहुलक 3 दिन है।

प्रश्न 22

नीचे दिए गए बंटन का बहुलक 66 है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 66 तो 60-70 वाले वर्ग में आता है, इसलिए बहुलक वर्ग यही है। इसी वर्ग की बारंबारता लुप्त है, यानी $f_1 = x$। इसके दोनों ओर की बारंबारताएँ $f_0 = 12$ और $f_2 = 18$ हैं।

$$66 = 60 + \frac{x - 12}{2x - 30} \times 10 \Rightarrow 6(2x - 30) = 10(x - 12) \Rightarrow 12x - 180 = 10x - 120$$

इससे $2x = 60$ आता है, और $x = 30$। तालिका में यही सबसे बड़ी बारंबारता है, जो बहुलक वर्ग के लिए ज़रूरी भी है।

प्रश्न 23

आँकड़ों 14, 18, 11, 20, 16, 18, 13, 22, 17 और 21 का माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए, और फिर आनुभविक संबंध से बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दसों मानों का योग 170 है, तो माध्य $\frac{170}{10} = 17$। माध्यिका के लिए मान क्रम में लगाते हैं, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 18, 20, 21, 22। बीच के दो मान 17 और 18 हैं, तो माध्यिका $\frac{17 + 18}{2} = 17.5$। अब आनुभविक संबंध में ये दोनों रखते हैं।

$$\text{बहुलक} = 3 \times 17.5 - 2 \times 17 = 52.5 - 34 = 18.5$$

आनुभविक संबंध से बहुलक 18.5 आया। पर सूची में 18 दो बार है, इसलिए गिनती से बहुलक 18 निकलता है। संबंध पास का मान देता है, ठीक-ठीक नहीं। तो इसे तभी लगाइए, जब प्रश्न ख़ुद माँगे।

प्रश्न 24

किसी बंटन में माध्य 34.8 और माध्यिका 36.2 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों मान दिए हैं, तो सीधे आनुभविक संबंध लगेगा, $\text{बहुलक} = 3 \times 36.2 - 2 \times 34.8 = 108.6 - 69.6 =$ 39। ध्यान दीजिए, माध्य माध्यिका से नीचे है, इसलिए बहुलक दोनों से ऊपर आया है।

प्रश्न 25

किसी मध्यम विषमता वाले बंटन में माध्य, माध्यिका से 2 अधिक है और बहुलक 38 है। माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माध्य और माध्यिका का अंतर दिया है, तो आनुभविक संबंध को अंतरों में लिखना अच्छा रहता है, $\text{माध्य} - \text{बहुलक} = 3(\text{माध्य} - \text{माध्यिका}) = 3 \times 2 = 6$। बहुलक 38 है, तो माध्य $38 + 6 =$ 44 है। माध्यिका इससे 2 कम, यानी 42 है।

प्रश्न 26

तालिका में एक परीक्षा में 100 विद्यार्थियों के अंक दिए गए हैं।

माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न 5, 15, …, 65 हैं। बीच वाले वर्ग चिह्न को कल्पित माध्य ले लेते हैं, $A = 35$, और $h = 10$। हर वर्ग का पद-विचलन और बारंबारता से उसका गुणनफल नीचे दिया है।

ऋण और धन मान अलग-अलग जोड़ें, तो $\sum fu = -57 + 53 = -4$ आता है। माध्य $35 + 10 \times \frac{-4}{100} = 35 - 0.4 =$ 34.6 अंक है।

प्रश्न 27

उसी तालिका के लिए अंकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: उसी तालिका की संचयी बारंबारताएँ 5, 17, 35, 65, 87, 95 और 100 हैं। $\frac{N}{2} = 50$ है, और यह 30-40 वाले वर्ग में आता है। इस वर्ग से पहले 35 विद्यार्थी हैं और इसमें 30।

$$\text{माध्यिका} = 30 + \frac{50 - 35}{30} \times 10 = 30 + 5 = 35$$

यानी माध्यिका 35 अंक आती है।

प्रश्न 28

उसी तालिका के लिए बहुलक ज्ञात कीजिए और उसकी तुलना आनुभविक संबंध से प्राप्त मान से कीजिए।

उत्तर: सबसे ज़्यादा विद्यार्थी 30-40 वाले वर्ग में हैं, तो बहुलक वर्ग भी यही है। इसके लिए $f_0 = 18$, $f_1 = 30$ और $f_2 = 22$ हैं।

$$\text{बहुलक} = 30 + \frac{30 - 18}{60 - 18 - 22} \times 10 = 30 + \frac{12}{20} \times 10 = 36$$

बहुलक 36 है। अब पिछले दो प्रश्नों के माध्य और माध्यिका आनुभविक संबंध में रखकर देखते हैं। इससे $3 \times 35 - 2 \times 34.6 = 105 - 69.2 = 35.8$ आता है। संबंध से मिला 35.8 सूत्र वाले बहुलक 36 के काफ़ी पास है। एक बात और दिखती है। माध्य 34.6, माध्यिका 35 और बहुलक 36 हैं, यानी तीनों ठीक उसी क्रम में हैं, जैसा संबंध बताता है।

प्रश्न 29

सात लोगों ने बस के लिए 12, 3, 30, 10, 2, 38 और 5 मिनट प्रतीक्षा की। परिसर और माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे लंबी प्रतीक्षा 38 मिनट की है और सबसे छोटी 2 मिनट की, तो परिसर $38 - 2 = 36$ मिनट है। माध्यिका के लिए मान क्रम में लिखते हैं, 2, 3, 5, 10, 12, 30, 38। सात मानों में चौथा मान 10 है, यही माध्यिका है। अब हर मान की 10 से दूरी लेते हैं, चिह्न छोड़कर। ये दूरियाँ 8, 7, 5, 0, 2, 20 और 28 हैं, और इनका योग 70 है। तो माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{70}{7} = 10$ है। यानी पूछे गए दोनों मान हैं परिसर 36 मिनट, माध्य विचलन 10 मिनट।

प्रश्न 30

आठ खिलाड़ियों की आयु (वर्षों में) 21, 33, 18, 24, 17, 28, 20 और 23 है। उनकी आयु का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आठों खिलाड़ियों की आयु जोड़ें, तो 184 आता है, इसलिए माध्य 23 वर्ष है। हर आयु का 23 से विचलन $-2, 10, -5, 1, -6, 5, -3, 0$ है। इनके वर्गों का योग $4 + 100 + 25 + 1 + 36 + 25 + 9 + 0 = 200$ है। प्रसरण $\frac{200}{8} = 25$ हुआ, और इसका वर्गमूल लेने पर मानक विचलन 5 वर्ष आता है।

दूसरे सूत्र से मिलान भी कर सकते हैं। हर आयु का वर्ग करके जोड़ें, तो 4432 आता है। तब $\frac{4432}{8} - 23^2 = 554 - 529 = 25$, यानी प्रसरण फिर से वही आया।

प्रश्न 31

तालिका में 30 श्रमिकों द्वारा एक दिन में बनाई गई वस्तुओं की संख्या दी गई है।

मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हिसाब छोटा रखने के लिए $u = \frac{x - 30}{10}$ लेते हैं। इससे मान $-2, -1, 0, 1, 2$ रह जाते हैं। फिर $\sum fu = -14 - 8 + 0 + 8 + 8 = -6$ और $\sum fu^2 = 28 + 8 + 0 + 8 + 16 = 60$ निकालते हैं।

$$\sigma_u^2 = \frac{60}{30} - \left(\frac{-6}{30}\right)^2 = 2 - 0.04 = 1.96$$

यह नए मानों का प्रसरण है। मानों को 10 से भाग दिया था, तो प्रसरण 100 से भाग हो गया था। अब वापस 100 से गुणा करते हैं, $\sigma^2 = 100 \times 1.96 = 196$। तो मानक विचलन 14 वस्तुएँ है। माध्य चाहिए हो, तो वह भी इन्हीं से निकल आता है, $30 + 10 \times \frac{-6}{30} = 28$।

प्रश्न 32

20 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 25 और 4 हैं। बाद में ज्ञात हुआ कि एक प्रेक्षण 40 को भूल से 20 दर्ज कर लिया गया था। सही माध्य और सही मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गलत मान बदलने के लिए दो योग चाहिए, प्रेक्षणों का और प्रेक्षणों के वर्गों का। प्रेक्षणों का योग $\sum x = 20 \times 25 = 500$ है। वर्गों का योग $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2$ से निकलता है। मानक विचलन का वर्ग और माध्य का वर्ग जोड़कर 20 से गुणा करें, तो $\sum x^2 = 20 \times (16 + 625) = 12820$ आता है।

अब दोनों योग सुधारते हैं। गलत 20 हटाकर सही 40 रखें, तो $\sum x = 500 - 20 + 40 = 520$। वर्गों में 20 का वर्ग हटाकर 40 का वर्ग जोड़ें, तो $\sum x^2 = 12820 - 400 + 1600 = 14020$।

सही माध्य $\frac{520}{20} = 26$ है। सही प्रसरण $\frac{14020}{20} - 26^2 = 701 - 676 = 25$ है, जिसका वर्गमूल 5 है। तो सुधार के बाद माध्य 26, मानक विचलन 5 हो जाते हैं।

प्रश्न 33

मानों के एक समूह का विचरण गुणांक 25% और उसका मानक विचलन 4.5 है। माध्य ज्ञात कीजिए। यदि इसके बाद प्रत्येक मान में 6 जोड़ दिया जाए, तो विचरण गुणांक क्या हो जाएगा?

उत्तर: विचरण गुणांक (coefficient of variation) बताता है कि मानक विचलन माध्य का कितना प्रतिशत है। तो $\frac{4.5}{\bar{x}} \times 100 = 25$, जिससे $\bar{x} = 18$ आता है। अब हर मान में 6 जोड़ दें, तो माध्य भी 6 बढ़कर 24 हो जाता है। पर मानों का फैलाव नहीं बदलता, इसलिए मानक विचलन 4.5 ही रहता है। नया विचरण गुणांक $\frac{4.5}{24} \times 100 = 18.75\%$ है। इस तरह माध्य 18, नया विचरण गुणांक 18.75%।

प्रश्न 34

प्रथम 10 सम प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ये संख्याएँ 2, 4, …, 20 हैं, यानी 2 के अंतर पर 10 मान। हर संख्या $1, 2, \ldots, 10$ में से किसी एक का दोगुना है। प्रथम दस प्राकृत संख्याओं का प्रसरण $\frac{100 - 1}{12} = 8.25$ होता है। मान दोगुने होने पर प्रसरण 4 गुना हो जाता है, तो यहाँ प्रसरण 33 है। मानक विचलन $\sqrt{33}$ है, जो लगभग 5.74 आता है।