परिसर, प्रसरण और मानक विचलन

परिसर और परिसर गुणांक

औसत से पता चलता है कि आँकड़ों का केंद्र कहाँ है। पर मान उस केंद्र से कितनी दूर तक फैले हैं, यह औसत नहीं बताता।

मान लीजिए दो कक्षाएँ हैं और दोनों का औसत 50 अंक है। एक कक्षा में सबके अंक 45 और 55 के बीच हैं। दूसरी कक्षा में अंक 10 से 90 तक फैले हैं। औसत एक जैसा है, फिर भी दोनों कक्षाएँ बिल्कुल अलग हैं।

यह अंतर प्रकीर्णन (dispersion) के मापों से पता चलता है। इनमें सबसे सरल माप परिसर (range) है।

$$\text{परिसर} = \text{सबसे बड़ा मान} - \text{सबसे छोटा मान}$$

जैसे 7 विद्यार्थियों के अंक 48, 36, 55, 64, 42, 51, 60 हैं। इनमें सबसे बड़ा 64 है और सबसे छोटा 36, तो परिसर $64 - 36 = 28$ है।

ध्यान रखिए, सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान पूरी सूची में से चुनना है। सूची में जो मान शुरू में और आख़िर में लिखे हैं, वे अपने-आप सबसे बड़े या सबसे छोटे नहीं हो जाते। और अगर किसी को 0 अंक मिले हों, तो 0 भी बाकी मानों जैसा एक मान ही है। सबसे छोटा मान वही हो सकता है।

परिसर गुणांक: परिसर की इकाई वही होती है, जो आँकड़ों की होती है। इसलिए अंकों के परिसर की तुलना भारों के परिसर से नहीं की जा सकती। ऐसी तुलना के लिए परिसर को दोनों चरम मानों के योग से भाग देते हैं, यानी सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के योग से। इससे एक शुद्ध संख्या मिलती है, जिसे परिसर गुणांक (coefficient of range) कहते हैं।

$$\text{परिसर गुणांक} = \frac{\text{सबसे बड़ा} - \text{सबसे छोटा}}{\text{सबसे बड़ा} + \text{सबसे छोटा}}$$

अंकों वाले उदाहरण में यह $\frac{64 - 36}{64 + 36} = \frac{28}{100} = 0.28$ आता है।

वर्गीकृत आँकड़ों का परिसर: आँकड़े वर्गों में दिए हों, तो अंतिम वर्ग की उच्च सीमा में से पहले वर्ग की निम्न सीमा घटा दीजिए। जैसे वर्ग 10-20, 20-30 से शुरू होकर 60-70 तक जाते हों, तो परिसर $70 - 10 = 60$ होगा।

परिसर से अज्ञात मान: परिसर दोनों चरम मानों का अंतर ही तो है। इसलिए एक चरम मान और परिसर पता हो, तो दूसरा चरम मान भी निकल आता है। मान लीजिए किसी समूह का सबसे बड़ा मान 75 है और परिसर 48 है। तब सबसे छोटा मान $75 - 48 = 27$ होगा।

परिसर की कमज़ोरी: परिसर केवल दो मानों से निकलता है। एक भी मान बाकियों से बहुत हटकर हो, तो परिसर बहुत बदल जाता है। बीच के मान कैसे फैले हैं, इस बारे में भी परिसर कुछ नहीं बताता। आगे इसी खंड में हम माध्य विचलन (mean deviation) और मानक विचलन (standard deviation, SD) देखेंगे। इन दोनों में हर मान काम आता है।

माध्य विचलन

माध्य विचलन किसी केंद्र से मानों की औसत दूरी है। यह केंद्र माध्य भी हो सकता है और माध्यिका भी।

यहाँ दूरियाँ बिना चिह्न के ली जाती हैं, क्योंकि माध्य से विचलन चिह्न समेत जोड़ें, तो योग हमेशा 0 आता है।

$$\text{माध्य विचलन, केंद्र } A = \frac{\sum \lvert x - A \rvert}{n}$$

यहाँ $A$ माध्य या माध्यिका है। $\lvert x - A \rvert$ का मतलब है $x$ की $A$ से दूरी, और यह हमेशा धनात्मक ली जाती है।

एक उदाहरण लेते हैं। 7 विद्यार्थियों को एक पहेली हल करने में 12, 5, 19, 10, 37, 4, 11 मिनट लगे। माध्य $\frac{98}{7} = 14$ है। इन्हें क्रम में लगाएँ, तो 4, 5, 10, 11, 12, 19, 37 मिलते हैं, इसलिए माध्यिका 11 है।

$$\text{माध्य के सापेक्ष: } \frac{56}{7} = 8 \text{ मिनट}, \qquad \text{माध्यिका के सापेक्ष: } \frac{49}{7} = 7 \text{ मिनट}$$

माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन कभी भी माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन से बड़ा नहीं होता। किसी दूसरे बिंदु के सापेक्ष लिए गए माध्य विचलन से भी नहीं। ऐसा इसलिए, क्योंकि माध्यिका ही वह बिंदु है, जहाँ से सब मानों की कुल दूरी सबसे कम होती है।

माध्य विचलन गुणांक (coefficient of mean deviation) $= \frac{\text{माध्य विचलन}}{\text{माध्य (या माध्यिका)}}$ होता है। परिसर गुणांक की तरह यह भी एक शुद्ध संख्या है। पहेली वाले उदाहरण में माध्य के सापेक्ष यह $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$ है, और माध्यिका के सापेक्ष $\frac{7}{11}$।

इस हिसाब में दो गलतियाँ बहुत होती हैं।

• कुछ छात्र चिह्न हटाते ही नहीं। तब माध्य से विचलन $-10, -9, -4, -3, -2, 5, 23$ आते हैं, जिनका योग 0 है। 0 को 7 से भाग देने पर 0 ही आता है, और इससे प्रकीर्णन के बारे में कुछ पता नहीं चलता।
• कुछ छात्र सूची को क्रम में लगाए बिना ही बीच वाला मान उठा लेते हैं। 12, 5, 19, 10, 37, 4, 11 में बीच में 10 लिखा है, पर क्रम में लगाने पर माध्यिका 11 आती है।

माध्य विचलन समझने में आसान है। पर इसमें चिह्न अपनी ओर से हटाने पड़ते हैं, इसलिए बीजगणित में इसके साथ काम करना अटपटा लगता है। विचलनों का वर्ग कर लें, तो चिह्न बिना किसी झंझट के हट जाते हैं। मानक विचलन में यही किया जाता है।

प्रसरण और मानक विचलन

प्रकीर्णन का मुख्य माप मानक विचलन है, जिसे $\sigma$ से लिखते हैं। इसमें भी माध्य से विचलन ही लिए जाते हैं, पर हर विचलन का वर्ग कर लेते हैं। वर्ग करते ही ऋण चिह्न ग़ायब हो जाते हैं।

विचलनों के वर्गों का माध्य प्रसरण (variance) कहलाता है, और प्रसरण का वर्गमूल मानक विचलन।

$$\text{प्रसरण} = \sigma^2 = \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma = \sqrt{\text{प्रसरण}}$$

अब एक उदाहरण देखिए। दो बल्लेबाज़ों में से हर एक ने 5 पारियों में 250 रन बनाए। तो दोनों का माध्य 50 रन है।

औसत बराबर है, पर Q के रन कहीं ज़्यादा फैले हुए हैं। मानक विचलन यही बात एक संख्या में दिखा देता है। Q का हिसाब यह रहा।

प्रसरण $= \frac{500}{5} = 100$, तो $\sigma = \sqrt{100} = 10$ रन।

P के लिए विचलनों के वर्ग 9, 1, 0, 1 और 9 हैं। इनका योग 20 है, तो प्रसरण 4 और $\sigma = 2$ रन। P का मानक विचलन छोटा है, यानी उसके रन उसके औसत के आसपास ही रहते हैं।

यहाँ कुछ बातें ध्यान में रखिए।

• माध्य से विचलनों का योग हमेशा 0 होता है। तालिका की बीच वाली पंक्ति का योग देख लीजिए। इसीलिए जोड़ने से पहले वर्ग करते हैं।
• प्रसरण वर्ग इकाई में होता है, जैसे यहाँ $\text{रन}^2$ में। मानक विचलन फिर से रन में आ जाता है। प्रश्न इनमें से जो माँगे, वही लिखिए, दूसरा नहीं।
• $\sigma$ कभी ऋणात्मक नहीं होता। यह 0 तभी होता है, जब सब मान बराबर हों।
• भाग $n$ से दिया जाता है, यानी मानों की संख्या से। CGL और CHSL के प्रश्नों में यही होता है। प्रश्न में "प्रतिदर्श प्रसरण" (sample variance) या "प्रतिदर्श मानक विचलन" लिखा हो, केवल तभी विचलनों के वर्गों के योग को $n - 1$ से भाग देते हैं। Selection Post के पेपरों में ऐसा पूछा जा चुका है। जैसे 2, 4 और 6 के विचलनों के वर्गों का योग 8 है। इनका प्रसरण $\frac{8}{3}$ है, पर प्रतिदर्श प्रसरण $\frac{8}{2} = 4$ है।

शॉर्टकट सूत्र

माध्य पूर्ण संख्या न हो, तो हर विचलन का वर्ग करने में बहुत समय लगता है। ऐसे में वर्ग को खोलकर एक दूसरा सूत्र लिख लेते हैं, जिसमें केवल मान और उनके वर्ग आते हैं।

$$\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2$$

शब्दों में कहें, तो पहले वर्गों का माध्य निकालिए, फिर उसमें से माध्य का वर्ग घटा दीजिए।

उदाहरण के लिए, 6 विद्यार्थियों ने एक महीने में 1, 2, 4, 5, 7, 8 पुस्तकें पढ़ीं।

• $\sum x = 27$, तो $\bar{x} = \frac{27}{6} = 4.5$।
• $\sum x^2 = 1 + 4 + 16 + 25 + 49 + 64 = 159$।

$$\sigma^2 = \frac{159}{6} - 4.5^2 = 26.5 - 20.25 = 6.25, \qquad \sigma = \sqrt{6.25} = 2.5$$

पहले वाले सूत्र से करते, तो $-3.5$, $-2.5$, $-0.5$ जैसे विचलनों का वर्ग करना पड़ता। यहाँ केवल पूर्ण संख्याओं का वर्ग करना पड़ा। दशमलव बस एक बार आया, $\bar{x}^2$ में।

कई छात्र माध्य का वर्ग किए बिना ही घटा देते हैं और $26.5 - 4.5 = 22$ लिख देते हैं। यह प्रसरण है ही नहीं। घटाने से पहले माध्य का वर्ग करना ज़रूरी है।

उलटी दिशा में: यही सूत्र पलट दें, तो वर्गों का योग मिल जाता है।

$$\sum x^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2)$$

जैसे 8 मानों का माध्य 6 और मानक विचलन 2 हो, तो $\sum x^2 = 8(4 + 36) = 320$।

कई प्रश्नों में कोई मान बदल दिया जाता है, कोई नया मान जोड़ दिया जाता है या कोई गलत लिखा मान सुधारा जाता है, और फिर नया मानक विचलन पूछा जाता है। ऐसे में यही रूप काम आता है। $\sum x$ और $\sum x^2$ दोनों फिर से निकालिए, दोनों में वह बदलाव कीजिए, और फिर सूत्र दोबारा लगाइए।

प्रसरण कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए वर्गों का माध्य, माध्य के वर्ग से कभी छोटा नहीं होता। दोनों बराबर तभी होते हैं, जब हर मान एक ही हो।

बारंबारता तालिका का प्रसरण

बारंबारता तालिका में हर मान उतनी बार गिना जाता है, जितनी उसकी बारंबारता है। $N = \sum f$ लें, तो सूत्र ये हो जाते हैं।

$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{N}, \qquad \sigma^2 = \frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{N} = \frac{\sum fx^2}{N} - \bar{x}^2$$

एक साप्ताहिक परीक्षा में 25 विद्यार्थियों के अंक (25 में से) ये रहे।

$$\bar{x} = \frac{375}{25} = 15, \qquad \sigma^2 = \frac{900}{25} = 36, \qquad \sigma = 6 \text{ अंक}$$

ऐसी तालिका में दो गलतियाँ आम हैं।

• कुछ छात्र पंक्तियों की संख्या (5) से भाग दे देते हैं। भाग विद्यार्थियों की संख्या $N = 25$ से देना है।
• कुछ छात्र विचलन के साथ बारंबारता का भी वर्ग कर देते हैं। हर पंक्ति में $f \times (x - \bar{x})^2$ लेना है। पहली पंक्ति में यह $3 \times 100 = 300$ है, न कि $(3 \times 10)^2 = 900$।

माध्य पूर्ण संख्या न हो तब: तालिका में $fx^2$ का एक स्तंभ और जोड़ लीजिए। फिर $\sigma^2 = \frac{\sum fx^2}{N} - \bar{x}^2$ लगाइए, ठीक वैसे ही जैसे सादी सूची में लगाया था।

वर्गीकृत आँकड़े: यहाँ वर्ग चिह्न ही $x$ का काम करते हैं। बाकी हिसाब वैसा ही है। वर्ग चिह्न बड़े हों, तो पहले उनमें से कोई आसान-सा वर्ग चिह्न $A$ घटाइए और फिर वर्ग माप $h$ से भाग दीजिए, यानी $u = \frac{x - A}{h}$ लीजिए। $u$ का मानक विचलन निकालकर अंत में उसे $h$ से गुणा कर दीजिए।

यह तरीका इसलिए ठीक है कि $A$ घटाने से प्रकीर्णन नहीं बदलता, और $h$ से भाग देने का असर अंत में गुणा करने से हट जाता है। इसकी वजह आगे "हर मान में एक-सा बदलाव" वाले अंश में देखेंगे।

प्रथम n प्राकृत संख्याओं का प्रसरण

संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हों, तो माध्य, प्रसरण और मानक विचलन सीधे इन सूत्रों से मिल जाते हैं।

$$\bar{x} = \frac{n + 1}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$$

प्रसरण वाला सूत्र शॉर्टकट सूत्र से ही आता है। उसमें $\sum x^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ रख दीजिए।

$$\sigma^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} - \frac{(n + 1)^2}{4} = \frac{(n + 1)(n - 1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$$

$n = 7$ पर मानक विचलन पूर्ण संख्या आता है, $\sqrt{4} = 2$। $n$ के ज़्यादातर दूसरे मानों पर प्रसरण ही साफ़ संख्या में आता है।

समान अंतर वाली कोई भी सूची: मान लीजिए $n$ पदों वाली सूची $a, a + d, a + 2d, \ldots$ दी है। यह असल में सूची $1, 2, \ldots, n$ ही है, जिसे $d$ से गुणा करके फिर खिसका दिया गया है। खिसकाने से प्रकीर्णन नहीं बदलता। पर $d$ से गुणा करने पर प्रसरण $d^2$ से गुणा हो जाता है।

$$\sigma^2 = \frac{d^2(n^2 - 1)}{12}, \qquad \sigma = d\sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$$

तीन सूचियाँ बार-बार आती हैं।

• प्रथम $n$ सम संख्याओं $2, 4, \ldots, 2n$ में $d = 2$ है, तो $\sigma^2 = \frac{4(n^2 - 1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{3}$।
• प्रथम $n$ विषम संख्याओं $1, 3, \ldots, 2n - 1$ का प्रसरण भी $\frac{n^2 - 1}{3}$ ही है, क्योंकि यह सूची सम संख्याओं वाली सूची को 1 नीचे खिसकाने से मिलती है।
• 5, 10, 15, 20, 25 में $d = 5$ और $n = 5$ है। तो $\sigma^2 = \frac{25 \times 24}{12} = 50$ और $\sigma = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।

पाँच या अधिक समान अंतर वाली संख्याएँ दी हों, तो सार्व अंतर पहचानिए और यही सूत्र लगाइए। हर विचलन का अलग-अलग वर्ग करने से यह कहीं तेज़ है।

हर मान में एक-सा बदलाव

प्रश्नों में अक्सर किसी आँकड़ा समूह का मानक विचलन दिया होता है, और फिर उसके हर मान में एक ही तरह का बदलाव कर दिया जाता है। किस बदलाव से क्या बदलता है, यह नीचे की तालिका में देखिए।

जोड़ने से कुछ क्यों नहीं बदलता: हर मान जितना खिसकता है, माध्य भी उतना ही खिसकता है। इसलिए हर विचलन $x - \bar{x}$ ठीक पहले जैसा रहता है।

गुणा पर $k^2$ और $\lvert k \rvert$ क्यों: गुणा करने पर हर विचलन भी $k$ से गुणा हो जाता है। वर्ग करने पर प्रसरण $k^2$ से गुणा होता है, और वर्गमूल लेने पर मानक विचलन फिर $\lvert k \rvert$ गुना रह जाता है।

$k$ ऋणात्मक हो, तो आँकड़े उलटे क्रम में आ जाते हैं, पर प्रकीर्णन उतना ही रहता है। इसलिए मानक विचलन धनात्मक ही रहता है।

दोनों एक साथ: हर मान को बदलकर $y = ax + b$ कर दिया जाए, तो नया मानक विचलन और प्रसरण ये होंगे।

$$\sigma_y = \lvert a \rvert \, \sigma_x, \qquad \sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2$$

इसमें $b$ का कोई असर नहीं पड़ता।

उदाहरण के लिए, एक कक्षा के अंकों का मानक विचलन 6 है।

• हर विद्यार्थी को 5 कृपांक दे दिए जाएँ, तब भी मानक विचलन 6 ही रहता है।
• हर अंक दोगुना कर दिया जाए, तो मानक विचलन 12 हो जाता है और प्रसरण $4 \times 36 = 144$।
• अंकों को बदलकर $y = 10 - 3x$ कर दिया जाए और $x$ का मानक विचलन 4 हो, तो $\sigma_y = 3 \times 4 = 12$ आता है। यह कभी $-12$ नहीं होता।

[SSC टिप] बदलाव के बाद प्रश्न मानक विचलन माँग रहा है या प्रसरण, यह ध्यान से पढ़िए। हर मान को 3 से गुणा करें, तो मानक विचलन 3 गुना होता है, पर प्रसरण 9 गुना। जो छात्र दोनों को आपस में मिला देते हैं, उन्हें फँसाने के लिए विकल्पों में 3 गुना प्रसरण भी दिया होता है।

छोटे समूहों के तुरंत नतीजे

दो मान: दो संख्याएँ $a$ और $b$ हों, तो माध्य ठीक दोनों के बीच में होता है। हर संख्या माध्य से दोनों के अंतर की आधी दूरी पर होती है, यानी दोनों विचलन $\pm\frac{a - b}{2}$ हैं।

$$\sigma = \frac{\lvert a - b \rvert}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{(a - b)^2}{4}$$

जैसे 12 और 20 के लिए $\sigma = \frac{8}{2} = 4$ और प्रसरण 16 है।

प्रश्न उलटा भी आ सकता है। मान लीजिए दो संख्याओं का मानक विचलन 5 है और छोटी संख्या 9 है। तब बड़ी संख्या $9 + 2 \times 5 = 19$ होगी।

सब मान बराबर: तब हर विचलन 0 होता है, इसलिए मानक विचलन भी 0 होता है। उलटी बात भी सच है। मानक विचलन 0 हो, तो हर मान एक ही होता है।

समान अंतर वाले तीन मान: मान $a - d$, $a$, $a + d$ हों, तो विचलन $-d$, 0 और $d$ आते हैं।

$$\sigma^2 = \frac{d^2 + 0 + d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}$$

जैसे 7, 10, 13 में $d = 3$ है, तो $\sigma^2 = 6$ और $\sigma = \sqrt{6}$।

विकल्प हटाने में काम आने वाली सीमा: मानक विचलन, परिसर के आधे से कभी अधिक नहीं होता। पहले वाले बल्लेबाज़ Q को देखिए। उसका परिसर $65 - 35 = 30$ है, जिसका आधा 15 है, और $\sigma = 10$ इससे नीचे ही है। तो जो विकल्प परिसर के आधे से बड़ा हो, वह मानक विचलन हो ही नहीं सकता।

माध्य के बराबर एक मान जोड़ना: ऐसा मान जोड़ने से $\sum (x - \bar{x})^2$ में कुछ नहीं जुड़ता, पर $n$ बढ़ जाता है। इसलिए प्रसरण और मानक विचलन थोड़े घट जाते हैं। ऐसा मान हटा दें, तो दोनों थोड़े बढ़ जाते हैं। माध्य दोनों हालतों में वही रहता है।

विचरण गुणांक और स्थिरता

मानक विचलन आँकड़ों की इकाई में होता है। इसलिए जिन समूहों के माध्य बहुत अलग हों, या जो आँकड़े अलग-अलग इकाइयों में मापे गए हों, उनकी तुलना मानक विचलन से नहीं हो सकती।

ऐसी तुलना के लिए विचरण गुणांक (coefficient of variation, CV) लेते हैं। इसमें मानक विचलन को माध्य के प्रतिशत के रूप में लिखते हैं।

$$\text{विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$$

विचरण गुणांक जितना कम होता है, आँकड़े उतने ही अधिक स्थिर (more consistent) होते हैं।

एक सीज़न में दो बल्लेबाज़ों के आँकड़े देखिए।

A का मानक विचलन बड़ा है, फिर भी A अधिक स्थिर बल्लेबाज़ है। A के लिए 12 रन उसके औसत का छोटा हिस्सा हैं, जबकि B के लिए 9 रन उसके औसत का इससे बड़ा हिस्सा हैं। जो केवल मानक विचलनों की तुलना करेगा, वह गलत बल्लेबाज़ चुन लेगा।

माध्य बराबर हों तब: ऐसे में विचरण गुणांक उसी क्रम में होते हैं, जिस क्रम में मानक विचलन। इसलिए छोटे मानक विचलन वाला समूह अधिक स्थिर होता है। पहले वाले बल्लेबाज़ P और Q के माध्य बराबर थे, तो छोटे मानक विचलन वाला P अधिक स्थिर है।

उलटी दिशा में: विचरण गुणांक 25% हो और $\sigma = 5$, तो $25 = \frac{5}{\bar{x}} \times 100$ लिखते हैं। इससे $\bar{x} = \frac{500}{25} = 20$ आता है।

कच्चे आँकड़े: दोनों समूह सूचियों के रूप में दिए हों, तो पहले हर एक का माध्य और मानक विचलन निकालिए, फिर दोनों विचरण गुणांक। विचरण गुणांक पूर्ण संख्या न आएँ, तो उन्हें भिन्न के रूप में ही रहने दीजिए। जानना केवल इतना है कि कौन छोटा है।

[SSC टिप] "अधिक स्थिर", "अधिक संगत", "अधिक एकसमान" और "कम परिवर्तनशील", ये सब छोटे विचरण गुणांक की ओर इशारा करते हैं। "अधिक परिवर्तनशील" का मतलब है बड़ा विचरण गुणांक। तुलना शुरू करने से पहले तय कर लीजिए कि प्रश्न इन दोनों में से कौन-सा चाहता है।

हल किए गए उदाहरण

अब इस खंड के तरीकों पर कुछ प्रश्न हल करते हैं।

प्रश्न 1

8 पौधों की ऊँचाई (सेमी में) 34, 41, 29, 46, 38, 52, 31, 44 है। ऊँचाइयों का परिसर क्या है? (a) 10 सेमी (b) 23 सेमी (c) 18 सेमी (d) 40.5 सेमी

उत्तर: यहाँ सबसे बड़ी और सबसे छोटी ऊँचाई देखनी है, सूची में शुरू और आख़िर में लिखी ऊँचाई नहीं। सबसे बड़ी 52 है और सबसे छोटी 29। तो परिसर $52 - 29 =$ (b) 23 सेमी।

प्रश्न 2

6 डिब्बों का भार (किग्रा में) 18, 25, 12, 30, 22, 15 है। परिसर गुणांक क्या है? (a) $\frac{7}{3}$ (b) 18 (c) $\frac{3}{5}$ (d) $\frac{3}{7}$

उत्तर: सबसे भारी डिब्बा 30 किग्रा का है और सबसे हल्का 12 किग्रा का। परिसर गुणांक $= \frac{30 - 12}{30 + 12} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$, तो उत्तर (d) $\frac{3}{7}$ है, जो लगभग 0.43 होता है। जल्दी में कुछ लोग केवल परिसर, यानी 18 किग्रा, चुन लेते हैं। पर गुणांक की कोई इकाई होती ही नहीं, क्योंकि किग्रा ऊपर और नीचे दोनों जगह है और कट जाता है।

प्रश्न 3

संख्याओं के एक समूह का परिसर 36 है, और सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की 3 गुनी है। सबसे छोटी संख्या क्या है? (a) 18 (b) 12 (c) 9 (d) 54

उत्तर: सबसे छोटी संख्या $s$ मान लेते हैं। तब सबसे बड़ी $3s$ होगी, और परिसर $3s - s = 2s = 36$। इससे $s = 18$ आता है। तो सबसे छोटी संख्या (a) 18 है, और सबसे बड़ी 54।

प्रश्न 4

एक बल्लेबाज़ द्वारा 7 पारियों में बनाए गए रन 25, 3, 31, 26, 15, 32, 29 हैं। माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन क्या है? (a) 0 (b) 7 (c) 8 (d) 56

उत्तर: सब पारियों के रन जोड़ें, तो 161 आता है, इसलिए माध्य $\frac{161}{7} = 23$ है। अब हर स्कोर की 23 से दूरी लेते हैं, चिह्न छोड़कर। ये दूरियाँ 2, 20, 8, 3, 8, 9 और 6 हैं, जिनका योग 56 है। $\frac{56}{7} = 8$, तो माध्य विचलन (c) 8 है। चिह्न रखे रहते, तो विचलनों का योग 0 आ जाता। इसीलिए चिह्न हटाकर दूरियाँ लेते हैं।

प्रश्न 5

इन्हीं पारियों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन क्या है? (a) 8 (b) 7 (c) 6 (d) 49

उत्तर: पहले रनों को क्रम में लगा लेते हैं। 3, 15, 25, 26, 29, 31, 32 में बीच वाला मान 26 है, तो माध्यिका 26 है। 26 से दूरियाँ 23, 11, 1, 0, 3, 5 और 6 हैं, और इनका योग 49 है। माध्य विचलन $= \frac{49}{7} =$ (b) 7। यह माध्य के सापेक्ष वाले मान से छोटा है, और ऐसा ही होना चाहिए। माध्यिका से सब मानों की कुल दूरी जितनी कम होती है, उतनी किसी और बिंदु से नहीं होती।

प्रश्न 6

16, 19, 20, 22, 28 का प्रसरण क्या है? (a) 16 (b) 4 (c) 20 (d) 80

उत्तर: माध्य $\frac{105}{5} = 21$ है। विचलन $-5, -2, -1, 1, 7$ आते हैं। इनका योग 0 है, तो माध्य ठीक निकला है। विचलनों के वर्ग 25, 4, 1, 1 और 49 हैं, जिनका योग 80 है। प्रसरण $= \frac{80}{5} =$ (a) 16। विकल्प में 4 भी दिया है, पर वह मानक विचलन है, जबकि प्रश्न प्रसरण माँग रहा है।

प्रश्न 7

12, 16, 19, 27 का मानक विचलन क्या है? (a) 30.25 (b) 4.5 (c) 6.35 (d) 5.5

उत्तर: इन चार संख्याओं का माध्य $\frac{74}{4} = 18.5$ आता है, जो पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए विचलनों के बजाय वर्गों वाला सूत्र लगाते हैं। $\sum x^2 = 144 + 256 + 361 + 729 = 1490$।

$$\sigma^2 = \frac{1490}{4} - 18.5^2 = 372.5 - 342.25 = 30.25, \qquad \sigma = \sqrt{30.25} = 5.5$$

तो मानक विचलन (d) 5.5 है।

प्रश्न 8

10 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 12 और 3 हैं। प्रेक्षणों के वर्गों का योग क्या है? (a) 1440 (b) 1470 (c) 1530 (d) 153

उत्तर: शॉर्टकट सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2$ में मान रखते हैं, तो $9 = \frac{\sum x^2}{10} - 144$ मिलता है। इससे $\frac{\sum x^2}{10} = 153$ और $\sum x^2 = 1530$ आता है, जो विकल्प (c) 1530 है। ध्यान रहे, सूत्र में $\sigma^2 = 9$ रखना है, $\sigma = 3$ नहीं।

प्रश्न 9

40 डिलीवरी राइडरों में से प्रत्येक द्वारा एक दिन में तय की गई दूरी नीचे दी गई है।

दूरी का मानक विचलन क्या है? (a) 169 किमी (b) 13 किमी (c) 12 किमी (d) 15 किमी

उत्तर: पहले माध्य निकालते हैं। $\sum fx = 120 + 140 + 240 + 440 + 100 = 1040$, तो $\bar{x} = \frac{1040}{40} = 26$। अब हर पंक्ति में विचलन का वर्ग लेकर उसे बारंबारता से गुणा करते हैं।

प्रसरण $= \frac{6760}{40} = 169$, तो मानक विचलन $\sqrt{169} = 13$ किमी है। विकल्प (b) 13 किमी यही है। भाग 40 राइडरों से देना है, 5 पंक्तियों से नहीं।

प्रश्न 10

दूरी का विचरण गुणांक क्या है? (a) 50% (b) 200% (c) 13% (d) 650%

उत्तर: पिछले प्रश्न से माध्य 26 किमी और मानक विचलन 13 किमी मिल चुके हैं। विचरण गुणांक $= \frac{13}{26} \times 100 = 50\%$, तो उत्तर (a) 50% है। भिन्न में ऊपर मानक विचलन ही रहता है। भिन्न उलट दी, तो 200% आएगा, जिसका मतलब होगा कि मानक विचलन माध्य का दोगुना है।

प्रश्न 11

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का प्रसरण क्या है? (a) 2.87 (b) 99 (c) 9.9 (d) 8.25

उत्तर: यहाँ सीधा सूत्र लगता है। प्रसरण $= \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{100 - 1}{12} = \frac{99}{12} = 8.25$, यानी (d) 8.25। जाँचना हो, तो शॉर्टकट सूत्र से भी देख सकते हैं। वर्गों का माध्य $\frac{385}{10} = 38.5$ है और माध्य 5.5, तो $38.5 - 30.25 = 8.25$ ही आता है।

प्रश्न 12

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 का मानक विचलन क्या है? (a) 64 (b) 2 (c) 8 (d) 16

उत्तर: ये असल में 1 से 7 तक की संख्याएँ हैं, जिनमें हर एक को 4 से गुणा किया गया है। 1 से 7 का प्रसरण $\frac{49 - 1}{12} = 4$ है, इसलिए उनका मानक विचलन 2 है। हर मान 4 से गुणा हुआ है, तो मानक विचलन भी 4 से गुणा होगा। तो यहाँ मानक विचलन 2 का 4 गुना, यानी (c) 8 है।

प्रश्न 13

12 मित्रों के एक समूह की आयु का प्रसरण 9 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का प्रसरण क्या होगा? (a) 9 (b) 13 (c) 25 (d) 3

उत्तर: 4 वर्ष बाद हर मित्र की आयु 4 वर्ष बढ़ जाएगी, और माध्य भी 4 बढ़ जाएगा। हर मित्र की माध्य से दूरी वही रहेगी, तो प्रकीर्णन नहीं बदलेगा। प्रसरण (a) 9 ही रहेगा।

प्रश्न 14

मानों के एक समूह का मानक विचलन 4.5 है। यदि प्रत्येक मान को 4 से गुणा किया जाए, तो नए मानों का प्रसरण क्या होगा? (a) 18 (b) 324 (c) 81 (d) 72

उत्तर: नया मानक विचलन $4 \times 4.5 = 18$ होगा, तो नया प्रसरण $18^2 = 324$, यानी (b) 324। दूसरे रास्ते से भी देख लेते हैं। पुराना प्रसरण $4.5^2 = 20.25$ था। मानों को 4 से गुणा करने पर प्रसरण $4^2 = 16$ से गुणा होता है, और $20.25 \times 16 = 324$। प्रश्न प्रसरण माँग रहा था, इसलिए आख़िर में वर्ग करना ज़रूरी था।

प्रश्न 15

किसी चर $x$ का मानक विचलन 5 है। यदि $y = 7 - 3x$ है, तो $y$ का मानक विचलन क्या है? (a) $-15$ (b) 8 (c) 225 (d) 15

उत्तर: 7 तो हर मान में बस जुड़ रहा है, इससे प्रकीर्णन पर कोई असर नहीं पड़ता। अब $-3$ वाला हिस्सा देखते हैं। हर विचलन $-3$ से गुणा होता है, पर मानक विचलन $\lvert -3 \rvert = 3$ से गुणा होता है। इसलिए $\sigma_y = 3 \times 5 =$ (d) 15। याद रखिए, मानक विचलन कभी ऋणात्मक नहीं होता।

प्रश्न 16

दो संख्याओं 17 और 31 का मानक विचलन क्या है? (a) 14 (b) 49 (c) 7 (d) 3.5

उत्तर: दोनों का माध्य 24 है, और हर संख्या उससे 7 दूर है। तो मानक विचलन $\frac{31 - 17}{2} = 7$, यानी (c) 7 है। 7 का वर्ग 49 तो प्रसरण है, मानक विचलन नहीं।

प्रश्न 17

5 प्रेक्षणों का माध्य 7 और प्रसरण 6.8 है। इनमें से तीन प्रेक्षण 3, 5 और 10 हैं। शेष दो प्रेक्षण कौन-से हैं? (a) 8 और 9 (b) 7 और 10 (c) 6 और 11 (d) 5 और 12

उत्तर: शेष दो प्रेक्षण $a$ और $b$ मान लेते हैं। अब दो बातें निकालनी हैं।

• योग: 5 प्रेक्षणों का योग $5 \times 7 = 35$ है, तो $a + b = 35 - 18 = 17$।
• वर्ग: $\sum x^2 = 5(6.8 + 49) = 279$ है, तो $a^2 + b^2 = 279 - (9 + 25 + 100) = 145$।

फिर $(a + b)^2 = 289$ से $2ab = 289 - 145 = 144$ आता है, यानी $ab = 72$। जिन दो संख्याओं का योग 17 और गुणनफल 72 हो, वे 8 और 9 हैं। तो उत्तर (a) 8 और 9 है। ध्यान दीजिए, हर विकल्प में दोनों संख्याओं का योग 17 ही है। इसलिए केवल योग से फ़ैसला नहीं हो सकता था, फ़ैसला वर्गों से हुआ।

प्रश्न 18

10 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 10 और 4 पाए गए। बाद में पता चला कि एक प्रेक्षण 8 के स्थान पर गलती से 18 लिख लिया गया था। सही मानक विचलन क्या है? (a) 4 (b) 3 (c) $\sqrt{35}$ (d) 2

उत्तर: पहले गलत आँकड़ों से दोनों योग निकाल लेते हैं। $\sum x = 10 \times 10 = 100$ और $\sum x^2 = 10(4^2 + 10^2) = 1160$। अब दोनों योगों में 18 हटाकर 8 रखते हैं। $\sum x = 100 - 18 + 8 = 90$ और $\sum x^2 = 1160 - 324 + 64 = 900$। सही माध्य $\frac{90}{10} = 9$ है, और सही प्रसरण $\frac{900}{10} - 9^2 = 90 - 81 = 9$। तो सही मानक विचलन (b) 3 है। यहाँ दोनों योग सुधारने ज़रूरी हैं। केवल माध्य सुधारकर वर्गों का पुराना योग रख लिया, तो उत्तर गलत आएगा।

प्रश्न 19

किसी दुकान की दैनिक बिक्री का माध्य ₹ 40 हज़ार और मानक विचलन ₹ 6 हज़ार है। विचरण गुणांक क्या है? (a) 6% (b) 24% (c) $666\frac{2}{3}\%$ (d) 15%

उत्तर: मानक विचलन को माध्य से भाग देकर प्रतिशत में बदलना है, यानी $\frac{6}{40} \times 100$। इससे विचरण गुणांक (d) 15% आता है। दोनों संख्याएँ ₹ हज़ार में हैं, इसलिए इकाई कट जाती है और विचरण गुणांक सादा प्रतिशत रह जाता है।

प्रश्न 20

एक सीज़न में क्रिकेटर A के रनों का माध्य 48 और मानक विचलन 12 रहा, तथा क्रिकेटर B के रनों का माध्य 36 और मानक विचलन 10 रहा। इनमें से कौन अधिक स्थिर है? (a) B, क्योंकि उसका मानक विचलन कम है (b) B, क्योंकि उसका माध्य कम है (c) A, क्योंकि उसका विचरण गुणांक कम है (d) दोनों समान रूप से स्थिर हैं

उत्तर: A का विचरण गुणांक $= \frac{12}{48} \times 100 = 25\%$ है, जबकि B का विचरण गुणांक $= \frac{10}{36} \times 100 \approx 27.8\%$ है। A का गुणांक कम है, इसलिए A अधिक स्थिर है। विकल्प (c) A, क्योंकि उसका विचरण गुणांक कम है यही बात कहता है। B का मानक विचलन छोटा ज़रूर है, पर उसका औसत भी छोटा है। 10 रन उसके औसत का बड़ा हिस्सा हैं।

प्रश्न 21

दो मशीनों का 5 दिनों का दैनिक उत्पादन (इकाइयों में) इस प्रकार रहा: मशीन X: 14, 18, 20, 22, 26। मशीन Y: 41, 47, 50, 53, 59। किस मशीन का उत्पादन अधिक स्थिर है? (a) Y, जिसका विचरण गुणांक 12% है (b) X, जिसका विचरण गुणांक 20% है (c) X, जिसका मानक विचलन 4 है (d) दोनों समान रूप से स्थिर हैं

उत्तर: मशीन X का माध्य 20 है। विचलन $-6, -2, 0, 2, 6$ हैं, जिनके वर्गों का योग 80 है। तो प्रसरण 16, मानक विचलन 4 और विचरण गुणांक $= \frac{4}{20} \times 100 = 20\%$। मशीन Y का माध्य 50 है। यहाँ विचलन $-9, -3, 0, 3, 9$ हैं और उनके वर्गों का योग 180। इससे प्रसरण 36 और मानक विचलन 6 आता है, और विचरण गुणांक $= \frac{6}{50} \times 100 = 12\%$। Y का मानक विचलन बड़ा है, पर विचरण गुणांक छोटा। इसलिए Y अधिक स्थिर है, यानी (a) Y, जिसका विचरण गुणांक 12% है।