बहुलक और आनुभविक सूत्र

बहुलक क्या है

आँकड़ों में जो मान सबसे अधिक बार आता है, उसे बहुलक (mode) कहते हैं। माध्य, माध्यिका और बहुलक, इन तीनों औसतों में बहुलक अकेला ऐसा है जो गिनकर मिल जाता है। इसके लिए कोई गणना नहीं करनी पड़ती।

मान लीजिए एक दुकान पर 12 ग्राहकों के जूतों के माप ये हैं।

$$6, 9, 7, 8, 7, 10, 7, 9, 8, 7, 6, 9$$

अब गिन लीजिए कि हर माप कितनी बार आया है।

माप 7 कुल 4 बार आया है, और कोई दूसरा माप इतनी बार नहीं आया। तो बहुलक 7 है।

ध्यान रखिए, उत्तर माप 7 है, उसकी गिनती 4 नहीं। कुछ विकल्प गिनती से ही बनाए जाते हैं। इसलिए विकल्प चुनने से पहले प्रश्न दोबारा पढ़ लीजिए और देखिए कि आपका उत्तर वही चीज़ है जो पूछी गई है।

बहुलक के लिए आँकड़ों को क्रम में लगाना ज़रूरी नहीं है। फिर भी क्रम में लिख लें, तो बराबर मान साथ-साथ आ जाते हैं और गिनती पक्की हो जाती है। जैसे ऊपर वाले माप क्रम से लिखने पर 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10 हो जाते हैं।

एक बहुलक, दो बहुलक, कोई बहुलक नहीं: हर आँकड़ा समूह का एक ही बहुलक हो, ऐसा ज़रूरी नहीं।

• 4, 6, 5, 6, 9, 4, 8 में 4 और 6 दोनों दो-दो बार आए हैं, बाकी मान एक-एक बार। तो यहाँ दो बहुलक हैं, 4 और 6। ऐसे आँकड़ों को द्विबहुलकी (bimodal) कहते हैं। तीन मान बराबरी पर हों, तो तीन बहुलक होंगे।
• 12, 15, 18, 21, 24 में हर मान एक ही बार आया है। कोई मान दोबारा नहीं आया, इसलिए इनका कोई बहुलक नहीं है।
• 3, 3, 5, 5, 8, 8 में हर मान बराबर बार आया है। कोई भी मान बाकी से आगे नहीं निकलता, तो यहाँ भी कोई बहुलक नहीं है।

बहुलक से लुप्त मान: आँकड़े 12, 15, $x$, 19, 15, $x$, 12, 20 हैं और इनका बहुलक 15 है। $x$ ज्ञात करना है।

$x$ को छोड़कर देखें, तो 12 और 15 दो-दो बार आए हैं। अज्ञात $x$ दो बार लिखा है, यानी उसका मान जो भी हो, उस मान की गिनती में दो और जुड़ जाएँगे।

अगर $x = 12$ हो, तो 12 चार बार आएगा और बहुलक 12 हो जाएगा। अगर $x$ = 19 या 20 हो, तो वह मान तीन बार आएगा और बहुलक वही हो जाएगा। केवल $x = 15$ लेने पर 15 चार बार आता है, जो बाकी किसी भी मान से अधिक है। इसलिए $x = 15$।

बारंबारता तालिका का बहुलक

कई बार आँकड़े एक-एक करके नहीं दिए जाते। मान और उनकी बारंबारताएँ दी होती हैं, यानी गिनती पहले ही हो चुकी होती है। तब बहुलक वह मान है जिसके सामने सबसे बड़ी बारंबारता लिखी हो।

जैसे एक गाँव के 40 परिवारों में बच्चों की संख्या नीचे दी गई है।

यहाँ सबसे बड़ी बारंबारता 15 है, और उसके सामने $x = 2$ लिखा है। तो बहुलक 2 बच्चे है।

इस तालिका में तीन और संख्याएँ हैं जिन्हें छात्र गलती से उत्तर मान लेते हैं। 15 सबसे बड़ी बारंबारता है, 5 सबसे बड़ा मान है और 40 कुल परिवार हैं। इनमें से कोई भी बहुलक नहीं है। याद रखिए, बहुलक हमेशा $x$ वाली पंक्ति का कोई मान होता है।

दो बराबर सबसे बड़ी बारंबारताएँ: अगर 1 बच्चे वाले परिवार भी 15 होते, तो इस तालिका के दो बहुलक होते, 1 और 2।

बहुलक बदलने के लिए कितने और: मान लीजिए पूछा जाए कि 3 बच्चों वाले कितने और परिवार हों कि बहुलक केवल 3 हो जाए। इसके लिए 3 की बारंबारता 15 से ऊपर जानी चाहिए, यानी कम से कम 16। अभी यह 7 है, तो कम से कम $16 - 7 = 9$ और परिवार चाहिए। 8 और परिवारों से काम नहीं चलेगा। तब 3 की बारंबारता केवल 2 की बराबरी करेगी और आँकड़ों के दो बहुलक हो जाएँगे।

हर मान में बदलाव: आँकड़ों के हर मान में एक जैसा बदलाव करें, तो बारंबारताएँ नहीं बदलतीं। जो मान पहले सबसे अधिक बार आता था, अब उसका बदला हुआ मान सबसे अधिक बार आता है। इसलिए बहुलक में भी वही बदलाव होता है।

• हर मान में कोई संख्या $a$ जोड़ें या घटाएँ, तो बहुलक भी $a$ बढ़ या घट जाता है।
• हर मान को $k$ से गुणा करें या भाग दें, तो बहुलक का भी $k$ से गुणा या भाग हो जाता है।

मान लीजिए किसी आँकड़ा समूह का बहुलक 18 है। हर मान को दोगुना किया गया और फिर उसमें 5 जोड़ा गया। तो नया बहुलक $2 \times 18 + 5 = 41$ होगा। कदम उसी क्रम में लगाइए जिस क्रम में प्रश्न में दिए हैं। माध्य और माध्यिका भी ठीक इसी तरह बदलते हैं।

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक

वर्गीकृत तालिका केवल यह बताती है कि हर वर्ग में कितने मान हैं। मान ख़ुद उसमें नहीं होते। इसलिए यहाँ बहुलक गिनकर नहीं निकाला जा सकता।

ऐसे में पहले वह वर्ग ढूँढिए जिसकी बारंबारता सबसे बड़ी है। इसे बहुलक वर्ग (modal class) कहते हैं। बहुलक का अनुमान इसी वर्ग के भीतर इस सूत्र से लगाया जाता है।

$$\text{बहुलक} = L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$$

इसमें

• $L$ = बहुलक वर्ग की निम्न वर्ग सीमा। वर्गों के बीच खाली जगह हो, तो इसकी जगह उसकी निम्न वर्ग परिसीमा लीजिए।
• $f_1$ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
• $f_0$ = उससे ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
• $f_2$ = उसके ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
• $h$ = वर्ग माप

अब एक उदाहरण लेते हैं। 50 श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी नीचे दी गई है।

कदम 1. सबसे बड़ी बारंबारता 14 है, तो बहुलक वर्ग 300-350 है।

कदम 2. तालिका से पाँचों संख्याएँ पढ़ लीजिए, $L = 300$, $f_1 = 14$, $f_0 = 8$, $f_2 = 10$ और $h = 50$।

कदम 3. इन्हें सूत्र में रखिए।

$$\text{बहुलक} = 300 + \frac{14 - 8}{28 - 8 - 10} \times 50 = 300 + \frac{6}{10} \times 50 = 330$$

तो बहुलक दैनिक मज़दूरी ₹ 330 है।

हर को तोड़कर देखिए: सूत्र में भिन्न का हर असल में दो अंतरों का योग है, $2f_1 - f_0 - f_2 = (f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)$। ऊपर के उदाहरण में यह $6 + 4 = 10$ है। इस तरह देखें, तो बहुलक, वर्ग माप को $(f_1 - f_0) : (f_1 - f_2)$ के अनुपात में बाँटता है। यहाँ वर्ग माप 50 है, और वह $6 : 4$ में बँटा है। पहला भाग $\frac{6}{10} \times 50 = 30$ है, और यही $L$ में जुड़ता है।

उत्तर की जाँच: बहुलक हमेशा बहुलक वर्ग के भीतर आता है। साथ ही वह उस पड़ोसी वर्ग की ओर झुका रहता है जिसकी बारंबारता बड़ी हो, यानी बड़े पड़ोसी की ओर। यहाँ बाद वाले वर्ग की बारंबारता (10) पहले वाले वर्ग की बारंबारता (8) से बड़ी है। इसीलिए बहुलक, वर्ग के मध्य 325 से ऊपर आया है। अगर $f_0 = f_2$ हो, तो बहुलक ठीक वर्ग चिह्न पर आता है।

आयतचित्र पर बहुलक

इस सूत्र को चित्र बनाकर भी समझा जा सकता है। मज़दूरी वाली तालिका का आयतचित्र (histogram) देखिए। उसमें सबसे ऊँचा आयत बहुलक वर्ग का ही है।

पहले वाले आयत का ऊपरी दायाँ कोना (300 पर, ऊँचाई 8) लीजिए। इसे सबसे ऊँचे आयत के ऊपरी दाएँ कोने (350 पर, ऊँचाई 14) से मिलाइए। फिर सबसे ऊँचे आयत का ऊपरी बायाँ कोना (300 पर, ऊँचाई 14) बाद वाले आयत के ऊपरी बाएँ कोने (350 पर, ऊँचाई 10) से मिलाइए।

ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। कटान बिंदु से क्षैतिज अक्ष तक सीधी रेखा नीचे खींचिए। यह रेखा अक्ष को 330 पर छूती है। सूत्र से भी बहुलक यही आया था।

कटान बिंदु हमेशा उस ओर खिसका रहता है जिस ओर का पड़ोसी आयत ऊँचा हो। दोनों पड़ोसी आयत बराबर ऊँचे हों, तो रेखाएँ ठीक बहुलक वर्ग के मध्य के ऊपर कटती हैं। सूत्र में यही $f_0 = f_2$ वाली स्थिति है।

इसी वजह से बहुलक उन दो औसतों में आता है जो ग्राफ़ से भी निकल आते हैं। बहुलक आयतचित्र से निकलता है और माध्यिका तोरणों से। माध्य के लिए ऐसी कोई ग्राफ़ वाली विधि नहीं है। तोरणों से माध्यिका निकालने का तरीका "माध्यिका" वाले खंड में है।

कभी आँकड़े तालिका की जगह आयतचित्र के रूप में दिए होते हैं। तब आयतों के किनारों से वर्ग सीमाएँ पढ़िए और उनकी ऊँचाइयों से बारंबारताएँ। फिर हमेशा की तरह सूत्र लगाइए। आयतचित्र पढ़ना अध्याय 18 (आँकड़ा निर्वचन) में विस्तार से समझाया गया है।

बहुलक सूत्र: विशेष स्थितियाँ

समावेशी वर्ग: कभी वर्ग 10-19, 20-29, 30-39 जैसे दिए होते हैं। ऐसे वर्गों को समावेशी वर्ग (inclusive classes) कहते हैं। इनमें 19 और 20 के बीच खाली जगह रह जाती है।

सूत्र लगाने से पहले वर्गों को लगातार बना लीजिए। हर निम्न सीमा में से 0.5 घटाइए और हर उच्च सीमा में 0.5 जोड़िए। इस तरह 30-39 की जगह 29.5-39.5 आ जाता है। फिर $L$ के लिए निम्न वर्ग परिसीमा लीजिए। $h$ यहाँ 10 होगा।

जैसे 55 विद्यार्थियों के अंक नीचे दिए हैं।

बहुलक वर्ग 30-39 है, यानी 29.5-39.5। अब $f_1 = 18$, $f_0 = 12$ और $f_2 = 14$ रखते हैं।

$$\text{बहुलक} = 29.5 + \frac{18 - 12}{36 - 12 - 14} \times 10 = 29.5 + 6 = 35.5$$

गलती से $L = 30$ ले लिया, तो उत्तर आधा अंक बढ़कर 36 आ जाएगा।

जब केवल वर्ग माप चाहिए: 30-39 का वर्ग माप 10 है। इसे एक निम्न सीमा से अगली निम्न सीमा तक नापिए (30 से 40), या परिसीमा से परिसीमा तक (29.5 से 39.5)। लिखी हुई सीमाओं को घटाकर $39 - 30 = 9$ लेना गलत है। अगर केवल वर्ग चिह्न दिए हों, तो पास-पास के दो चिह्नों का अंतर ही वर्ग माप होता है। जैसे चिह्न 15, 25, 35 हों, तो वर्ग माप 10 है।

जब बहुलक वर्ग किसी सिरे पर हो: अगर पहला वर्ग ही बहुलक वर्ग हो, तो उससे पहले कोई वर्ग नहीं होता। तब $f_0 = 0$ लीजिए। जैसे एक बैंक काउंटर पर ग्राहकों के प्रतीक्षा समय की यह तालिका देखिए।

सबसे बड़ी बारंबारता पहले वर्ग की है, तो

$$\text{बहुलक} = 0 + \frac{18 - 0}{36 - 0 - 12} \times 10 = \frac{18}{24} \times 10 = 7.5 \text{ मिनट}$$

इसी तरह अंतिम वर्ग बहुलक वर्ग हो, तो $f_2 = 0$ लीजिए।

संचयी तालिकाएँ: कभी तालिका में "से कम" या "से अधिक" वाले योग दिए होते हैं। तब पहले इन्हें वापस वर्ग-बारंबारताओं में बदलिए। इसके लिए पास-पास के हर दो योगों का अंतर लीजिए। उसके बाद ही बहुलक वर्ग ढूँढिए। यह तरीका अध्याय 18 (आँकड़ा निर्वचन) में भी आ चुका है।

[SSC टिप] विकल्प चुनने से पहले एक बार देख लीजिए कि उत्तर बहुलक वर्ग के भीतर है और बड़े पड़ोसी की ओर है। अंश में $f_0$ और $f_2$ की अदला-बदली हो जाए, तो उत्तर वर्ग के भीतर ही रहता है, पर गलत ओर चला जाता है। ऊपर वाले अंकों में 35.5 की जगह 33.5 आ जाता है।

बहुलक से लुप्त बारंबारता

कभी बहुलक दिया होता है और कोई एक बारंबारता अज्ञात होती है। ऐसी लुप्त बारंबारता (missing frequency) निकालने के लिए पहले बहुलक वर्ग पहचानिए। दिया हुआ बहुलक जिस वर्ग में पड़ता है, वही बहुलक वर्ग है।

उदाहरण के लिए, एक जाँच चौकी से गुज़रने वाले कुछ वाहनों की चाल नीचे दी गई है।

बहुलक चाल 46 किमी/घंटा है, और $x$ ज्ञात करना है।

बहुलक 46, वर्ग 40-50 में आता है, तो यही बहुलक वर्ग है। यहाँ $L = 40$, $f_1 = 16$, $f_0 = x$, $f_2 = 10$ और $h = 10$ है। इन्हें सूत्र में रखते हैं।

$$46 = 40 + \frac{16 - x}{32 - x - 10} \times 10$$

दोनों ओर से 40 घटाकर वज्र-गुणन कीजिए।

$$6(22 - x) = 10(16 - x)$$

$$132 - 6x = 160 - 10x \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7$$

अब जाँच कर लीजिए। $x = 7$ रखने पर भी वर्ग 40-50 की बारंबारता 16 ही सबसे बड़ी है, तो यह सच में बहुलक वर्ग है। दूसरी बात, 46 वर्ग चिह्न 45 से ऊपर है, यानी बड़े पड़ोसी की ओर, क्योंकि बाद वाले वर्ग में 10 वाहन हैं और पहले वाले में 7। ठीक ऐसा ही होना चाहिए था।

ऐसे हर प्रश्न के कदम: लुप्त बारंबारता वाले हर प्रश्न में यही क्रम चलता है।

1. दिया हुआ बहुलक जिस वर्ग में है, उसे बहुलक वर्ग लीजिए।
2. $L$, $f_1$, $f_0$, $f_2$ और $h$ लिखिए, और अज्ञात को उसकी सही जगह रखिए। अज्ञात $f_0$ या $f_2$ हो सकता है, और कभी ख़ुद $f_1$ भी।
3. पहले बहुलक में से $L$ घटा लीजिए, इससे समीकरण छोटा रहता है। फिर वज्र-गुणन करके हल कीजिए।
4. अंत में जाँचिए कि बहुलक वर्ग की बारंबारता अब भी सबसे बड़ी है।

अगर सारी बारंबारताओं का योग भी दिया हो, तो उससे दूसरा समीकरण मिल जाता है। तब दो अज्ञात बारंबारताएँ भी निकल आती हैं, एक योग से और एक बहुलक से।

जब वर्ग माप अज्ञात हो: यही समीकरण $h$ के लिए भी हल हो जाता है। मान लीजिए बहुलक 63 है, बहुलक वर्ग 60 से शुरू होता है, और $f_1 = 20$, $f_0 = 14$, $f_2 = 16$ हैं। तो $63 = 60 + \frac{20 - 14}{40 - 14 - 16} \times h = 60 + \frac{6}{10}h$, जिससे $h = 5$ आता है।

आनुभविक सूत्र

यह सूत्र मध्यम विषमता वाले बंटन (moderately skewed distribution) पर लगता है, यानी ऐसे बंटन पर जो किसी एक ओर बहुत ज़्यादा झुका हुआ न हो। ऐसे बंटनों में माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच यह संबंध देखा गया है।

$$\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$$

यह संबंध आँकड़ों को देखकर पाया गया है, इसलिए इसे आनुभविक सूत्र (empirical formula) कहते हैं। यह केवल लगभग सही है। फिर भी प्रश्नों में जब तीनों में से दो मान दिए होते हैं, तो इसे पूरी तरह सही मानकर तीसरा निकाला जाता है। इसके तीनों रूप याद रखिए।

माध्य और माध्यिका से बहुलक: माध्य 42 और माध्यिका 40 हो, तो $\text{बहुलक} = 3 \times 40 - 2 \times 42 = 120 - 84 = 36$।

बहुलक और माध्यिका से माध्य: बहुलक 24 और माध्यिका 27 हो, तो $\text{माध्य} = \frac{3 \times 27 - 24}{2} = \frac{57}{2} = 28.5$।

माध्य और बहुलक से माध्यिका: माध्य 50 और बहुलक 41 हो, तो $\text{माध्यिका} = \frac{41 + 2 \times 50}{3} = \frac{141}{3} = 47$।

अंतर वाला रूप: माध्य में से बहुलक घटाएँ और इसी संबंध का प्रयोग करें, तो यह रूप मिलता है।

$$\text{माध्य} - \text{बहुलक} = 3(\text{माध्य} - \text{माध्यिका})$$

मतलब माध्य और बहुलक का अंतर, माध्य और माध्यिका के अंतर का तीन गुना होता है। पहला उदाहरण फिर से लीजिए। माध्य 42 और माध्यिका 40 है, तो इनका अंतर 2 है। बहुलक, माध्य से $3 \times 2 = 6$ नीचे होगा, यानी फिर से 36। जब प्रश्न में केवल अंतर दिया हो, तो यही रूप सबसे जल्दी काम आता है।

माध्यिका हमेशा माध्य और बहुलक के बीच रहती है। माध्य से बहुलक की ओर चलें, तो वह एक-तिहाई दूरी पर मिलती है। पहले उदाहरण से जाँच लीजिए। 42 से नीचे 36 तक की दूरी 6 है, और उसका एक-तिहाई 2 है। $42 - 2 = 40$, जो माध्यिका ही है।

कई छात्र सूत्र उलटा याद कर लेते हैं, $3\,\text{माध्य} - 2\,\text{माध्यिका}$। माध्य 42 और माध्यिका 40 पर इससे 46 आता है। तब बहुलक माध्य की दूसरी ओर चला जाता है। ऐसा हो ही नहीं सकता, क्योंकि माध्यिका को बाकी दोनों के बीच ही रहना है।

[SSC टिप] कभी प्रश्न किसी सूची का बहुलक "आनुभविक सूत्र से" माँगता है। तब सूची का माध्य और माध्यिका निकालिए और संबंध से बहुलक लिखिए, भले ही सूची में कोई मान एक से अधिक बार आया हो, क्योंकि प्रश्न आनुभविक सूत्र वाला उत्तर ही माँग रहा है।

माध्य, माध्यिका और बहुलक की तुलना

सममित आँकड़े: जब आँकड़े अपने केंद्र के दोनों ओर एक जैसे फैले हों, तो उनके तीनों औसत बराबर होते हैं।

$$\text{माध्य} = \text{माध्यिका} = \text{बहुलक}$$

ऐसे बंटन को सममित बंटन (symmetric distribution) कहते हैं। जैसे 2, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 10 लीजिए। इनका माध्य $\frac{54}{9} = 6$ है। बीच वाला, यानी पाँचवाँ मान भी 6 है। सबसे अधिक बार आने वाला मान भी 6 ही है।

इसलिए किसी सममित बंटन का माध्य 35 हो, तो उसकी माध्यिका और बहुलक भी 35 होंगे। अगर तीनों का योग 105 दिया हो, तो हर एक $\frac{105}{3} = 35$ होगा।

विषमता वाले आँकड़े: कभी कुछ मान बाकी मानों से बहुत बड़े या बहुत छोटे होते हैं। तब आँकड़े एक ओर दूर तक फैल जाते हैं, जिसे बंटन की लंबी पूँछ कहते हैं। ऐसे आँकड़े विषमता वाले (skewed) कहलाते हैं।

इनमें माध्य पूँछ की ओर खिंच जाता है, बहुलक शिखर पर टिका रहता है और माध्यिका इन दोनों के बीच रहती है। दाईं ओर लंबी पूँछ वाले आँकड़े धनात्मक विषमता वाले (positively skewed) कहलाते हैं, और बाईं ओर लंबी पूँछ वाले ऋणात्मक विषमता वाले (negatively skewed)।

किसी कस्बे के लोगों की आय धनात्मक विषमता वाली होती है। कुछ लोगों की आय बहुत ऊँची होती है, इसलिए माध्य ज़्यादातर लोगों की कमाई से ऊपर चला जाता है। आसान परीक्षा के अंक ऋणात्मक विषमता वाले होते हैं। ज़्यादातर विद्यार्थियों के अंक ऊँचे होते हैं और कुछ के बहुत कम। ये थोड़े-से कम अंक माध्य को माध्यिका से नीचे खींच लेते हैं।

यह क्रम आनुभविक सूत्र से भी मेल खाता है। मान लीजिए माध्य 30 और माध्यिका 28 है। तब बहुलक $3 \times 28 - 2 \times 30 = 24$ आता है, और क्रम $\text{माध्य} > \text{माध्यिका} > \text{बहुलक}$ है। ऐसे औसतों वाला बंटन धनात्मक विषमता वाला होता है। सममित और मध्यम विषमता वाले आँकड़ों में माध्यिका तीनों में बीच वाली ही होती है।

कभी पूछा जाता है कि तीनों में सबसे बड़ा कौन है। तब पहले देखिए कि पूँछ किस ओर है। पूँछ दाईं ओर हो, तो माध्य सबसे बड़ा होता है, और बाईं ओर हो, तो माध्य सबसे छोटा।

सही औसत का चुनाव

तीनों औसत अलग-अलग बातें बताते हैं। इसलिए प्रश्न में यह भी पूछा जा सकता है कि किसी स्थिति के लिए कौन-सा औसत ठीक रहेगा।

एक पंक्ति वाले प्रश्नों के तीन तथ्य: छोटे प्रश्नों में ये तीन बातें सीधे पूछ ली जाती हैं।

• चरम मानों का सबसे अधिक असर माध्य पर पड़ता है। कोई एक मान बहुत बड़ा हो जाए, तो भी माध्यिका और बहुलक लगभग वहीं के वहीं रहते हैं।
• जो आँकड़े संख्याएँ नहीं हैं, उनका केवल बहुलक ही निकाला जा सकता है।
• माध्यिका और बहुलक ग्राफ़ से निकल सकते हैं, माध्यिका तोरण से और बहुलक आयतचित्र से। माध्य ग्राफ़ से नहीं निकलता।

ऐसा हो सकता है कि किसी आँकड़ा समूह का कोई बहुलक न हो, या एक से अधिक बहुलक हों। पर माध्य हमेशा एक ही होता है, और माध्यिका भी एक ही।

माप या गिनती वाले आँकड़ों का माध्य पूर्ण संख्या न हो, तो वह ऐसा मान भी हो सकता है जो असल में कहीं होता ही नहीं। जैसे औसत परिवार में 3.4 सदस्य, या जूते का माध्य माप 7.6। बहुलक जब भी होता है, आँकड़ों का कोई असली मान ही होता है। इसीलिए दुकानदार बहुलक देखता है।

[SSC टिप] विकल्पों में "माध्य", "माध्यिका", "बहुलक" और "परिसर" दिए हों, तो परिसर सबसे पहले काट दीजिए। वह औसत है ही नहीं, वह तो प्रकीर्णन का माप है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक हॉकी टीम द्वारा 15 मैचों में किए गए गोलों की संख्या 2, 3, 1, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 5, 3, 2, 0, 1 है। गोलों की बहुलक संख्या क्या है? (a) 5 (b) 3 (c) 2 (d) 1

उत्तर: हर मान कितनी बार आया, यह गिन लेते हैं। 0 दो बार आया है, 1 तीन बार, 2 पाँच बार, 3 तीन बार, और 4 व 5 एक-एक बार। सबसे अधिक बार 2 आया है, तो बहुलक (c) 2 है। यहाँ 5 वाला विकल्प धोखा दे सकता है, क्योंकि 2 कुल पाँच बार आया है और एक मैच में सबसे अधिक गोल भी 5 ही हैं। पर प्रश्न गोलों की वह संख्या पूछ रहा है जो सबसे ज़्यादा मैचों में आई, इसलिए उत्तर 2 ही है।

प्रश्न 2

एक नृत्य कक्षा के 10 बच्चों की आयु (वर्षों में) 9, 11, 10, 12, 9, 13, 11, 10, 9, 11 है। आयु का बहुलक क्या है? (a) 9 और 11 (b) केवल 9 (c) केवल 11 (d) 10

उत्तर: पहले आयु को क्रम में लिख लेते हैं, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13। अब दिखता है कि 9 और 11 दोनों तीन-तीन बार आए हैं, और कोई आयु इससे अधिक बार नहीं आई। मतलब आँकड़ों के दो बहुलक हैं, (a) 9 और 11। जल्दी में कुछ लोग तीन बार आने वाली पहली आयु पर ही रुक जाते हैं और दूसरा बहुलक छोड़ देते हैं।

प्रश्न 3

आँकड़ों 8, 11, 9, 8, $x$, 11, 9, 11, 8, $x$ का बहुलक 9 है। $x$ का मान क्या है? (a) 8 (b) 9 (c) 11 (d) 10

उत्तर: $x$ को अभी छोड़ देते हैं और बाकी मान गिनते हैं। 8 तीन बार है, 11 भी तीन बार, और 9 केवल दो बार। 9 को बहुलक बनना है, तो उसे इन दोनों से आगे निकलना होगा। इसके लिए दोनों $x$ = 9 होने चाहिए। तब 9 चार बार आएगा और अकेला बहुलक होगा, यानी $x$ = (b) 9। अगर $x$ = 8 या 11 लें, तो वही संख्या पाँच बार आ जाएगी और बहुलक वही हो जाएगी।

प्रश्न 4

एक दुकान ने एक दिन में बेचे गए जूतों के जोड़ों के माप दर्ज किए।

जूते का बहुलक माप क्या है? (a) 8 (b) 24 (c) 10 (d) 7

उत्तर: तालिका की दूसरी पंक्ति में सबसे बड़ी संख्या 24 है, और यह माप 8 के नीचे लिखी है। तो बहुलक माप (a) 8 है। 24 उत्तर नहीं है। वह तो बस माप 8 के बिके जोड़ों की गिनती है, जबकि बहुलक कोई माप ही होगा।

प्रश्न 5

माप 7 को एकमात्र बहुलक माप बनाने के लिए दुकान को माप 7 के कितने और जोड़े बेचने होंगे? (a) 5 (b) 19 (c) 6 (d) 24

उत्तर: उसी तालिका में माप 7 के 19 जोड़े बिके हैं और माप 8 के 24। माप 7 को अकेला बहुलक बनना है, तो उसके जोड़े 24 से अधिक होने चाहिए, यानी कम से कम 25। इसलिए $25 - 19 = 6$ और जोड़े बेचने होंगे, यानी (c) 6। केवल 5 और बेचें, तो माप 7 के जोड़े 24 होंगे, जो माप 8 के बराबर हैं, और आँकड़ों के दो बहुलक हो जाएँगे।

प्रश्न 6

प्रेक्षणों के एक समूह का बहुलक 24 है। प्रत्येक प्रेक्षण में पहले 6 की वृद्धि की जाती है और फिर उसे 3 से भाग दिया जाता है। नए प्रेक्षणों का बहुलक क्या है? (a) 14 (b) 8 (c) 30 (d) 10

उत्तर: हर प्रेक्षण पर जो किया गया है, वही बहुलक पर भी कर देते हैं। 24 में पहले 6 जोड़ते हैं, $24 + 6 = 30$, फिर 3 से भाग देते हैं, $30 \div 3 = 10$। नया बहुलक (d) 10 है। यहाँ कदमों का क्रम ज़रूरी है। कोई पहले भाग दे और फिर 6 जोड़े, तो $8 + 6 = 14$ आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 7

एक परीक्षा में 70 विद्यार्थियों द्वारा 100 में से प्राप्त अंक नीचे दिए गए हैं।

अंकों का बहुलक क्या है? (a) 50 (b) 52 (c) 48 (d) 40.6

उत्तर: सबसे बड़ी बारंबारता 22 है, तो बहुलक वर्ग 40-60 है। इससे $L = 40$, $f_1 = 22$, $f_0 = 13$, $f_2 = 16$ और $h = 20$ मिलते हैं।

$$\text{बहुलक} = 40 + \frac{22 - 13}{44 - 13 - 16} \times 20 = 40 + \frac{9}{15} \times 20 = 40 + 12 = 52$$

तो बहुलक (b) 52 है। यह वर्ग के मध्य 50 से थोड़ा ऊपर है, और ऐसा ही होना चाहिए, क्योंकि बाद वाले वर्ग की बारंबारता (16) पहले वाले वर्ग की बारंबारता (13) से बड़ी है।

प्रश्न 8

एक क्लब के 70 सदस्यों की आयु (वर्षों में) नीचे दी गई है।

सदस्यों की बहुलक आयु क्या है? (a) 47 वर्ष (b) 47.5 वर्ष (c) 42 वर्ष (d) 46.25 वर्ष

उत्तर: इन वर्गों के बीच खाली जगह है, 39 और 40 के बीच भी और 49 और 50 के बीच भी। इसलिए पहले वर्गों को लगातार बना लेते हैं, जैसे 40-49 की जगह 39.5-49.5। बहुलक वर्ग 39.5-49.5 है, जिसमें 25 सदस्य हैं। तो $L = 39.5$, $f_1 = 25$, $f_0 = 10$, $f_2 = 20$ और $h = 10$ हुए।

$$\text{बहुलक} = 39.5 + \frac{25 - 10}{50 - 10 - 20} \times 10 = 39.5 + \frac{15}{20} \times 10 = 39.5 + 7.5 = 47$$

सदस्यों की बहुलक आयु (a) 47 वर्ष है। किसी ने $L = 40$ ले लिया, तो उसे 47.5 मिलेगा, जो आधा वर्ष अधिक है।

प्रश्न 9

बहुलक वर्ग का वर्ग माप क्या है? (a) 9 (b) 11 (c) 5 (d) 10

उत्तर: पिछले प्रश्न की तालिका में बहुलक वर्ग 40-49 है। वर्ग माप उसकी निम्न सीमा से अगले वर्ग की निम्न सीमा तक नापते हैं, $50 - 40 = 10$। परिसीमाओं से भी यही आता है, $49.5 - 39.5 = 10$। तो वर्ग माप (d) 10 है। केवल लिखी हुई सीमाएँ घटाकर $49 - 40$ करें, तो दोनों सिरों का आधा-आधा वर्ष छूट जाता है।

प्रश्न 10

50 टाइपिस्टों द्वारा एक पृष्ठ टाइप करने में की गई गलतियों की संख्या नीचे दी गई है।

गलतियों की संख्या का बहुलक क्या है? (a) 2.5 (b) 1 (c) 4 (d) 20

उत्तर: यहाँ सबसे बड़ी बारंबारता 20 है, और वह पहले ही वर्ग 0-5 की है। तो वही बहुलक वर्ग है। उससे पहले कोई वर्ग है ही नहीं, इसलिए $f_0 = 0$ लेते हैं। अब $L = 0$, $f_1 = 20$, $f_2 = 15$ और $h = 5$ रखते हैं।

$$\text{बहुलक} = 0 + \frac{20 - 0}{40 - 0 - 15} \times 5 = \frac{20}{25} \times 5 = 4$$

तो गलतियों की बहुलक संख्या (c) 4 है। उत्तर 0-5 के भीतर ही आया है, जैसा आना चाहिए था।

प्रश्न 11

तालिका में कुछ विद्यार्थियों द्वारा एक सप्ताह में टेलीविज़न देखने में बिताए गए घंटे दिए गए हैं। आँकड़ों का बहुलक 34 घंटे है।

$x$ का मान क्या है? (a) 14 (b) 11 (c) 9 (d) 12

उत्तर: दिया गया बहुलक 34 घंटे है, जो वर्ग 30-40 में आता है। तो यही बहुलक वर्ग है। यहाँ $f_1 = 20$, $f_0 = 14$ और $f_2 = x$ है।

$$34 = 30 + \frac{20 - 14}{40 - 14 - x} \times 10 \Rightarrow 4 = \frac{60}{26 - x}$$

इससे $26 - x = 15$, और $x = 11$ आता है, यानी (b) 11। जाँच कर लेते हैं। तालिका में 11 भरने पर भी वर्ग 30-40 की बारंबारता सबसे बड़ी रहती है, तो यह सच में बहुलक वर्ग है।

प्रश्न 12

60 विद्यार्थियों द्वारा स्कूल पहुँचने में लिया गया समय नीचे "से कम" वाले योग के रूप में दिया गया है: उदाहरण के लिए, 15 विद्यार्थियों ने 20 मिनट से कम समय लिया।

बहुलक समय क्या है? (a) 24 मिनट (b) 25 मिनट (c) 55 मिनट (d) 26 मिनट

उत्तर: तालिका में "से कम" वाले योग हैं, तो पहले इन्हें वापस वर्ग-बारंबारताओं में बदलते हैं। इसके लिए हर योग को अगले योग में से घटाना है। 0-10 में 4, 10-20 में $15 - 4 = 11$, 20-30 में $35 - 15 = 20$, 30-40 में $49 - 35 = 14$, 40-50 में $56 - 49 = 7$ और 50-60 में $60 - 56 = 4$ आते हैं। सबसे बड़ी बारंबारता 20 है, तो वर्ग 20-30 बहुलक वर्ग है। इसमें $L = 20$, $f_1 = 20$, $f_0 = 11$, $f_2 = 14$ और $h = 10$ हैं।

$$\text{बहुलक} = 20 + \frac{20 - 11}{40 - 11 - 14} \times 10 = 20 + \frac{9}{15} \times 10 = 26$$

बहुलक समय (d) 26 मिनट है। तालिका में सबसे नीचे लिखा 60 केवल कुल विद्यार्थियों की संख्या है, किसी वर्ग की बारंबारता नहीं।

प्रश्न 13

एक पौधशाला के 50 पौधों की ऊँचाई नीचे दी गई है।

दो दशमलव स्थानों तक सही, बहुलक ऊँचाई क्या है? (a) 43.33 सेमी (b) 46.67 सेमी (c) 45.00 सेमी (d) 40.33 सेमी

उत्तर: सबसे ज़्यादा पौधे, 17, वर्ग 40-50 में हैं, तो यही बहुलक वर्ग है। उससे पहले वाले वर्ग में 13 पौधे हैं और बाद वाले में 9।

$$\text{बहुलक} = 40 + \frac{17 - 13}{34 - 13 - 9} \times 10 = 40 + \frac{4}{12} \times 10 = 40 + 3.333\ldots$$

दो दशमलव स्थानों तक बहुलक 43.33 सेमी आता है, यानी (a) 43.33 सेमी। जाँच के लिए देखिए, उत्तर वर्ग चिह्न 45 से नीचे है। ऐसा ही होना चाहिए, क्योंकि बाद वाला वर्ग छोटा पड़ोसी है।

प्रश्न 14

किसी मध्यम विषमता वाले बंटन में माध्य 34.5 और माध्यिका 32.4 है। बहुलक क्या है? (a) 38.7 (b) 30.3 (c) 28.2 (d) 31.7

उत्तर: माध्य और माध्यिका दिए हैं, तो सीधे $\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$ लगाते हैं। $3 \times 32.4 - 2 \times 34.5 = 97.2 - 69 = 28.2$, तो बहुलक (c) 28.2 है। उत्तर ठीक भी लगता है, क्योंकि बहुलक माध्यिका और माध्य दोनों से नीचे आया है। माध्य तीनों में सबसे बड़ा है, तो पूँछ दाईं ओर है।

प्रश्न 15

किसी मध्यम विषमता वाले बंटन में बहुलक 18 और माध्यिका 21 है। माध्य क्या है? (a) 16.5 (b) 22.5 (c) 24 (d) 27

उत्तर: यहाँ बहुलक और माध्यिका से माध्य चाहिए। $\text{बहुलक} = 3\,\text{माध्यिका} - 2\,\text{माध्य}$ से $2\,\text{माध्य} = 3\,\text{माध्यिका} - \text{बहुलक} = 63 - 18 = 45$ मिलता है। तो माध्य $\frac{45}{2} = 22.5$ है, यानी (b) 22.5। माध्यिका, माध्य से बहुलक की ओर एक-तिहाई दूरी पर होनी चाहिए, इससे जाँच कर लेते हैं। 22.5 से 18 तक 4.5 का फ़ासला है, और उसका एक-तिहाई 1.5 है। $22.5 - 1.5 = 21$, जो दी गई माध्यिका से मेल खाता है।

प्रश्न 16

किसी मध्यम विषमता वाले बंटन का माध्य और बहुलक क्रमशः 60 और 51 हैं। माध्यिका क्या है? (a) 55.5 (b) 54 (c) 59 (d) 57

उत्तर: इस बार माध्यिका निकालनी है, तो सूत्र का माध्यिका वाला रूप लेते हैं। $\text{माध्यिका} = \frac{\text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य}}{3} = \frac{51 + 120}{3} = \frac{171}{3} = 57$, तो माध्यिका (d) 57 है। 60 और 51 के ठीक बीच वाला मान लेना गलत होगा, क्योंकि माध्यिका, माध्य से बहुलक की ओर केवल एक-तिहाई दूरी पर होती है।

प्रश्न 17

किसी मध्यम विषमता वाले बंटन में माध्य, बहुलक से 12 अधिक है। माध्य, माध्यिका से कितना अधिक है? (a) 4 (b) 36 (c) 6 (d) 8

उत्तर: यहाँ केवल एक अंतर दिया है, तो आनुभविक सूत्र का अंतर वाला रूप लेते हैं, $\text{माध्य} - \text{बहुलक} = 3(\text{माध्य} - \text{माध्यिका})$। माध्य, बहुलक से 12 अधिक है, तो $12 = 3(\text{माध्य} - \text{माध्यिका})$। मतलब माध्य, माध्यिका से 4 अधिक है, यानी (a) 4। तीनों में से किसी का भी मान जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

प्रश्न 18

माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच के आनुभविक संबंध का प्रयोग करते हुए, 10, 13, 5, 19, 9, 11, 15, 7, 10 का बहुलक ज्ञात कीजिए। (a) 10 (b) 13 (c) 8 (d) 11

उत्तर: प्रश्न आनुभविक संबंध से बहुलक माँग रहा है, तो पहले माध्य और माध्यिका चाहिए। संख्याओं का योग 99 है और कुल 9 संख्याएँ हैं, तो माध्य 11 है। क्रम में लगाने पर 5, 7, 9, 10, 10, 11, 13, 15, 19 मिलते हैं, जिनमें पाँचवीं संख्या 10 है। यही माध्यिका है। अब बहुलक $3 \times 10 - 2 \times 11 = 30 - 22 = 8$ आता है, यानी (c) 8। सूची में सच में दो बार आने वाली संख्या तो 10 है, पर प्रश्न ने संबंध से मिलने वाला बहुलक माँगा है।

प्रश्न 19

किसी बंटन के माध्य, माध्यिका और बहुलक क्रमशः 56, 52 और 44 हैं। बंटन का आकार कैसा है? (a) ऋणात्मक विषमता वाला (b) धनात्मक विषमता वाला (c) सममित (d) इन मानों से नहीं बताया जा सकता

उत्तर: दिए गए मानों में माध्य सबसे बड़ा है और बहुलक सबसे छोटा, यानी $\text{माध्य} > \text{माध्यिका} > \text{बहुलक}$। कुछ बड़े मानों ने माध्य को ऊपर खींच लिया है, तो लंबी पूँछ दाईं ओर है। इसलिए बंटन (b) धनात्मक विषमता वाला है। बंटन सममित होता, तो तीनों बराबर होते। पूँछ बाईं ओर होती, तो क्रम उलटा होता।

प्रश्न 20

किसी सममित बंटन में माध्य, माध्यिका और बहुलक का योग 126 है। बहुलक क्या है? (a) 63 (b) 21 (c) 84 (d) 42

उत्तर: सममित बंटन में माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों बराबर होते हैं। तो हर एक $\frac{126}{3} = 42$ है। बहुलक भी (d) 42 हुआ।

प्रश्न 21

एक दुकान 38, 39, 40, 42 और 44 कॉलर माप वाली रेडीमेड कमीज़ें बेचती है। कौन-सा माप सबसे अधिक संख्या में रखा जाए, यह तय करने के लिए उसे किस औसत को देखना चाहिए? (a) बहुलक (b) माध्य (c) माध्यिका (d) परिसर

उत्तर: दुकान को वह माप चाहिए जो सबसे अधिक ग्राहक ख़रीदते हैं, यानी बिक्री में सबसे अधिक बार आने वाला माप। यही बहुलक है, तो उत्तर (a) बहुलक है। बिके मापों का माध्य आसानी से 40.6 जैसा कुछ आ सकता है, और ऐसा माप तो दुकान बेचती ही नहीं।

प्रश्न 22

किसी कॉलोनी के 9 परिवारों की मासिक आय (₹ हज़ार में) 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28 और 248 है। इनमें से कौन-सा एक सामान्य परिवार की आय को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है? (a) माध्य, ₹ 48 हज़ार (b) परिसर का मध्य, ₹ 133 हज़ार (c) माध्यिका, ₹ 24 हज़ार (d) सबसे बड़ी आय, ₹ 248 हज़ार

उत्तर: पहले माध्य निकालते हैं, $\frac{432}{9} = 48$ हज़ार। पर नौ में से आठ परिवारों की आय इससे कम है। ₹ 248 हज़ार वाला एक परिवार माध्य को ऊपर खींच रहा है। माध्यिका क्रम में पाँचवीं आय है, यानी 24 हज़ार, जो बाकी आयों के ठीक बीच में है। तो सामान्य परिवार की आय को सबसे अच्छी तरह (c) माध्यिका, ₹ 24 हज़ार दर्शाती है। यहाँ कोई आय दो बार नहीं आई, इसलिए इन आँकड़ों का कोई बहुलक भी नहीं है।