अभ्यास सेट 1: उत्तर और हल

अभ्यास सेट 1: उत्तर और हल

पहले पिछले पृष्ठ का पूरा प्रश्न पत्र हल कर लीजिए, उसके बाद ही यहाँ उत्तर मिलाइए। खंड अ के हर प्रश्न का सही विकल्प छोटे-से कारण के साथ दिया है। खंड ब के सभी 38 लिखित प्रश्न चरण-दर-चरण हल किए गए हैं।

अपने अंक कैसे गिनें: खंड अ में आपने जो पहले 50 प्रश्न किए हैं, उन्हीं में सही उत्तर गिनिए। लिखित प्रश्नों में अपना हल यहाँ के हल से मिलाइए। सूत्र, गणना और अंतिम उत्तर तीनों सही हों, तभी पूरे अंक दीजिए।

खंड अ: उत्तर कुंजी

खंड अ: प्रश्न 1–20 के उत्तर और कारण

1. (B) 52
यूक्लिड विधि से भाग देते चलिए: $260=156\times1+104$, फिर $156=104\times1+52$ और $104=2\times52$। अंतिम अशून्य शेष 52 है, वही म.स. है।

2. (B) 126
$18=2\times3^2$ और $42=2\times3\times7$। हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेकर ल.स. $=2\times9\times7=126$।

3. (D) 36
दो संख्याओं का गुणनफल उनके म.स. और ल.स. के गुणनफल के बराबर होता है। तो दूसरी संख्या $=9\times180/45=36$।

4. (D) सांत
पहले भिन्न सरल कीजिए: $21/140=3/20$। हर $20=2^2\times5$ में केवल 2 और 5 हैं, इसलिए दशमलव प्रसार सांत है।

5. (A) $\frac{2}{11}$
मान लीजिए $x=0.1818\ldots$ है। इसे 100 से गुणा करके $x$ घटाइए, तो $100x-x=18$ मिलता है। यानी $99x=18$ और $x=2/11$।

6. (A) $\sqrt{18}$
$\sqrt{18}=3\sqrt2$ अपरिमेय है। बाकी तीनों के मान 9, 11 और 0.5 हैं, जो परिमेय हैं।

7. (A) 2
$72=2^3\times3^2$ में 2 की घात 3 है, जो विषम है। पूर्ण वर्ग के लिए एक 2 और चाहिए: $72\times2=144=12^2$।

8. (B) 3
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ वह $x^3$ है, तो घात 3 है।

9. (D) 2
विकल्पों के मान रखकर देखिए: $p(2)=4-14+10=0$। बाकी किसी मान पर $p(x)$ शून्य नहीं होता।

10. (D) $\frac{11}{3}$
$ax^2+bx+c$ के शून्यकों का योग $-b/a$ होता है। यहाँ योग $=-(-11)/3=11/3$ है।

11. (D) $\frac{-5}{2}$
शून्यकों का गुणनफल $c/a$ होता है। यहाँ $c=-5$ और $a=2$ है, इसलिए गुणनफल $-5/2$ है।

12. (B) $x^2-4x-12$
शून्यक −2 और 6 हैं, तो गुणनखंड $(x+2)$ और $(x-6)$ होंगे। इन्हें गुणा कीजिए: $(x+2)(x-6)=x^2-4x-12$।

13. (D) 2
शेषफल प्रमेय से $x-2$ से भाग देने पर शेष $p(2)$ होता है। $p(2)=8-8+2=2$।

14. (A) 3
ग्राफ जिस बिंदु पर x-अक्ष से मिलता है, वहाँ बहुपद का मान 0 होता है। तीन अलग बिंदु हैं, तो तीन अलग वास्तविक शून्यक हैं।

15. (B) $x=6,y=3$
दोनों समीकरण जोड़िए, $y$ कट जाएगा और $2x=12$ बचेगा। तो $x=6$, और फिर $y=9-6=3$।

16. (B) समांतर और अलग
पहले समीकरण को 2 से गुणा कीजिए तो $4x+6y=16$ मिलता है, जबकि दूसरे में 19 है। गुणांक एक ही अनुपात में हैं पर अचर पद नहीं, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं।

17. (A) अनंत
दूसरा समीकरण पहले का ठीक तीन गुना है। दोनों एक ही रेखा हैं, इसलिए हल अनंत हैं।

18. (C) 3
$x=4$ रखिए: $8+y=11$, तो $y=3$।

19. (A) 19
बड़ी संख्या $x$ और छोटी $y$ मान लीजिए। तब $x+y=31$ और $x-y=7$। दोनों जोड़ने पर $2x=38$, यानी $x=19$।

20. (C) $k\ne1$
अद्वितीय हल के लिए $a_1/a_2\ne b_1/b_2$ होना चाहिए, यानी $6k-6\ne0$, तो $k\ne1$। $k=3$ लेने पर भी अद्वितीय हल मिलता है, पर वह केवल एक मान है। प्रश्न पूरी शर्त पूछ रहा है, और वह $k\ne1$ है।

खंड अ: प्रश्न 21–40 के उत्तर और कारण

21. (B) 7 किमी/घंटा
धारा के विरुद्ध नाव की चाल घट जाती है: $9-2=7$ किमी/घंटा।

22. (C) 4, 5
गुणनखंड कीजिए: $(x-4)(x-5)=0$। तो मूल $x=4$ और $x=5$ हैं।

23. (D) 0
यहाँ $a=1$, $b=6$ और $c=9$ है। विवेचक $D=b^2-4ac=36-36=0$ है।

24. (B) 0
$D=16-32=-16\lt0$ आता है। विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।

25. (A) $\frac{1}{2}$
मूलों का गुणनफल $c/a=3/2$ होता है। एक मूल 3 है, तो दूसरा $(3/2)/3=1/2$ होगा।

26. (A) 0, 5
गुणनफल शून्य है, तो $x=0$ या $x-5=0$। ध्यान रखिए, दोनों ओर $x$ से भाग दे देने पर मूल 0 छूट जाता है।

27. (A) 16
बराबर मूलों के लिए विवेचक शून्य होना चाहिए: $64-4k=0$। इसलिए $k=16$।

28. (D) 7
छोटी संख्या $x$ लीजिए, तो $x(x+1)=56$। इससे $x^2+x-56=(x+8)(x-7)=0$ मिलता है, और धनात्मक हल 7 है।

29. (D) 5
सार्व अंतर अगले पद में से पिछला पद घटाकर निकलता है: $d=16-11=5$।

30. (B) 38
यहाँ $a=6$ और $d=4$ है। तो $a_9=a+8d=6+32=38$।

31. (A) 13वाँ
$a=3$ और $d=5$ लेकर $a_n=63$ रखिए: $3+(n-1)5=63$। इससे $5(n-1)=60$, यानी $n=13$।

32. (D) 110
पहली दस सम संख्याएँ 2, 4, …, 20 हैं। पहले और अंतिम पद से योग निकालिए: $S=10(2+20)/2=110$।

33. (D) 14
दो संख्याओं का समांतर माध्य उनका औसत होता है: $(8+20)/2=14$।

34. (A) 13
कोई भी पद $a_n=S_n-S_{n-1}$ से मिलता है। तो $a_3=S_3-S_2=(18+9)-(8+6)=27-14=13$।

35. (A) −4
$a_n=40-4(n-1)$ से 11वाँ पद 0 और 12वाँ पद −4 आता है। 0 ऋणात्मक नहीं है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद −4 है।

36. (A) 9:49
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं: $3^2:7^2=9:49$।

37. (B) 4:9
क्षेत्रफलों का वर्गमूल लेने पर भुजाओं का अनुपात $\sqrt{16}:\sqrt{81}=4:9$ मिलता है। परिमाप भी भुजाओं वाले अनुपात में ही होते हैं।

38. (A) 2:3
मूल समानुपातिकता प्रमेय से $AD/DB=AE/EC$ होता है। तो $AE:EC$ भी $2:3$ है।

39. (D) 17 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण $c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$ सेमी।

40. (B) 9, 12, 15
हर विकल्प में दो छोटी भुजाओं के वर्ग जोड़कर देखिए। केवल $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ सही बैठता है।

खंड अ: प्रश्न 41–60 के उत्तर और कारण

41. (D) AA
दो कोण बराबर हों तो तीसरा भी बराबर होगा, क्योंकि तीनों का योग 180° है। यही AA समरूपता कसौटी है।

42. (A) $5\sqrt3$ सेमी
समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई आधार को 5 सेमी और 5 सेमी में बाँटती है। तो $h=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3$ सेमी।

43. (D) 10
दूरी सूत्र लगाइए: $d=\sqrt{(8-2)^2+(11-3)^2}=\sqrt{36+64}=10$।

44. (B) (2, 2)
मध्यबिंदु के लिए दोनों निर्देशांकों का औसत लीजिए: $((-4+8)/2,(6-2)/2)=(2,2)$।

45. (C) 9
किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी उसकी कोटि का निरपेक्ष मान होती है। यहाँ $|9|=9$ है। दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती।

46. (B) तृतीय
दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं। ऐसा बिंदु तृतीय चतुर्थांश में होता है।

47. (D) 12 वर्ग इकाई
यह समकोण त्रिभुज है, जिसका आधार 6 और ऊँचाई 4 है। क्षेत्रफल $6\times4/2=12$ वर्ग इकाई है।

48. (B) (3, 4)
विभाजन सूत्र में अनुपात 1:2 रखिए: $P=((7+2)/3,(8+4)/3)=(3,4)$।

49. (B) 0
तीनों बिंदु रेखा $y=2x$ पर हैं, यानी संरेख हैं। इसलिए त्रिभुज बनता ही नहीं और क्षेत्रफल शून्य है।

50. (A) 1
$\sin30^\circ$ और $\cos60^\circ$ दोनों का मान $1/2$ है। इनका योग 1 हुआ।

51. (C) $\frac{12}{13}$
$\cos A=\sqrt{1-25/169}=\sqrt{144/169}=12/13$। A न्यूनकोण है, इसलिए धनात्मक मान लिया।

52. (A) $\sec^2 A$
सर्वसमिका $\sec^2 A-\tan^2 A=1$ में $\tan^2 A$ को दूसरी ओर ले जाइए। तब $1+\tan^2 A=\sec^2 A$ मिलता है।

53. (A) 1
हर कोण के लिए $\sin^2 A+\cos^2 A=1$ होता है, कोण 35° हो या कुछ और।

54. (D) $\sin65^\circ$
पूरक कोण का संबंध $\cos A=\sin(90^\circ-A)$ है। तो $\cos25^\circ=\sin65^\circ$।

55. (C) 1
$\sec60^\circ=2$ और $\tan45^\circ=1$ है। अंतर $2-1=1$ हुआ।

56. (B) 18 मीटर
$\tan45^\circ=h/18$ और $\tan45^\circ=1$ है। इसलिए $h=18$ मीटर।

57. (D) $12\sqrt3$ मीटर
छाया की लंबाई $x$ मानिए। तब $\tan30^\circ=12/x$, यानी $1/\sqrt3=12/x$, और $x=12\sqrt3$ मीटर।

58. (D) $5\sqrt3$ मीटर
सीढ़ी कर्ण है और दीवार पर ऊँचाई 60° के सामने की भुजा है। तो ऊँचाई $10\sin60^\circ=10\sqrt3/2=5\sqrt3$ मीटर।

59. (D) 35°
शीर्ष से खींची क्षैतिज रेखा भूमि के समांतर है। इसलिए अवनमन कोण और उन्नयन कोण एकांतर कोण हैं और बराबर हैं, यानी 35°।

60. (A) $15\sqrt2$ मीटर
तनी हुई डोर कर्ण है। ऊँचाई $h=30\sin45^\circ=30/\sqrt2=15\sqrt2$ मीटर।

खंड अ: प्रश्न 61–80 के उत्तर और कारण

61. (C) 11.5 मीटर
आँख के तल से ऊपर का भाग $10\tan45^\circ=10$ मीटर है। इसमें आँख की ऊँचाई जोड़ना मत भूलिए: $10+1.5=11.5$ मीटर।

62. (B) 90°
स्पर्श बिंदु से खींची त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए कोण 90° है।

63. (A) 11 सेमी
एक ही बाह्य बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। तो $PB=PA=11$ सेमी।

64. (C) 24 सेमी
स्पर्श बिंदु T पर समकोण बनता है और OP कर्ण है। तो $PT=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$ सेमी।

65. (B) 100°
स्पर्श बिंदुओं पर चतुर्भुज के दो कोण समकोण हैं, इसलिए बाकी दो कोणों का योग 180° बचता है। केंद्रीय कोण $180-80=100^\circ$ है।

66. (B) 0
अंदर के बिंदु से खींची हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। इसलिए वहाँ से कोई स्पर्शरेखा नहीं बनती।

67. (D) 10 सेमी
वृत्त के परिगत चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं: $AB+CD=BC+AD$। तो $AD=7+12-9=10$ सेमी।

68. (D) 7
3:4 में बाँटने के लिए किरण पर कुल $3+4=7$ बराबर भाग लेने होते हैं।

69. (D) छोटा
स्केल गुणक $2/3\lt1$ है। तो हर संगत भुजा छोटी होगी, और नया त्रिभुज समरूप तो रहेगा पर छोटा बनेगा।

70. (C) 10 सेमी
संगत भुजा निकालने के लिए मूल भुजा को स्केल गुणक से गुणा कीजिए: $6\times5/3=10$ सेमी।

71. (B) OP को व्यास मानकर
OP को व्यास मानकर बना वृत्त मूल वृत्त को T पर काटता है। अर्धवृत्त का कोण होने से $\angle OTP=90^\circ$ होगा, इसलिए PT मूल वृत्त की स्पर्शरेखा बनेगी।

72. (B) लंब समद्विभाजक
रेखाखंड का लंब समद्विभाजक उसे ठीक बीच से दो बराबर भागों में काटता है। वही कटान बिंदु मध्यबिंदु है।

73. (D) 88 सेमी
परिधि का सूत्र $C=2\pi r$ है। तो $C=2\times22/7\times14=88$ सेमी।

74. (A) 77 वर्ग सेमी
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल पूरे वृत्त का आधा होता है: $A=\pi r^2/2=(22/7)\times49/2=77$ वर्ग सेमी।

75. (D) $6\pi$ वर्ग सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का $\theta/360$ भाग होता है: $A=(60/360)\pi\times6^2=6\pi$ वर्ग सेमी।

76. (A) $6\pi$ सेमी
चाप की लंबाई परिधि का $\theta/360$ भाग होती है: $L=(120/360)2\pi\times9=6\pi$ सेमी।

77. (D) $16\pi$ वर्ग सेमी
वलय का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे का क्षेत्रफल घटाकर मिलता है: $A=\pi(5^2-3^2)=16\pi$ वर्ग सेमी।

78. (D) 9 गुना
क्षेत्रफल $\pi r^2$ है, यानी वह त्रिज्या के वर्ग के अनुपात में बदलता है। त्रिज्या 3 गुनी हो तो क्षेत्रफल $3^2=9$ गुना होगा।

79. (A) 36 सेमी
पूरे परिमाप में घुमावदार भाग $\pi r$ और व्यास $2r$ दोनों आते हैं: $\pi r+2r=22+14=36$ सेमी। व्यास जोड़ना भूल गए तो 22 सेमी जैसा गलत उत्तर आएगा।

80. (B) 125 घन सेमी
घन का आयतन $V=a^3=5^3=125$ घन सेमी है।

खंड अ: प्रश्न 81–100 के उत्तर और कारण

81. (A) 122 वर्ग सेमी
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb+bh+hl)$ है: $S=2(7\times4+4\times3+3\times7)=2(28+12+21)=122$ वर्ग सेमी।

82. (D) $72\pi$ घन सेमी
बेलन का आयतन $V=\pi r^2h=\pi\times9\times8=72\pi$ घन सेमी है।

83. (C) 17 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17$ सेमी है।

84. (C) $36\pi$ घन सेमी
गोले के आयतन $\frac43\pi r^3$ में $r=3$ रखिए: $V=(4/3)\pi\times3^3=36\pi$ घन सेमी।

85. (A) $48\pi$ वर्ग सेमी
ठोस अर्धगोले में वक्र पृष्ठ $2\pi r^2$ और समतल आधार $\pi r^2$ दोनों गिने जाते हैं। कुल $3\pi r^2=3\pi\times16=48\pi$ वर्ग सेमी।

86. (A) 2400 लीटर
1 घन मीटर में 1000 लीटर होते हैं। तो $2.4\times1000=2400$ लीटर।

87. (A) 11
चारों संख्याओं का योग 44 है और संख्याएँ 4 हैं। माध्य $44/4=11$ है।

88. (A) 10
पहले आँकड़ों को क्रम से लिखिए: 4, 8, 10, 12, 16। पाँच मानों में बीच वाला, यानी तीसरा मान 10 है।

89. (A) 7
7 तीन बार आया है, जो किसी भी दूसरी संख्या से अधिक है। सबसे अधिक बार आने वाला मान ही बहुलक है।

90. (B) 30
वर्ग-चिह्न वर्ग की दोनों सीमाओं का औसत होता है: $(25+35)/2=30$।

91. (B) 19
पहले तीन वर्गों की बारंबारताएँ जोड़िए: $6+9+4=19$।

92. (C) 28
अनुभवजन्य संबंध में मान रखिए: $Z\approx3M-2\bar x=72-44=28$।

93. (C) 36
दोनों ओजाइव जहाँ मिलते हैं, उस बिंदु का x-निर्देशांक माध्यिका होता है। यहाँ वह 36 है।

94. (C) $\frac{2}{3}$
2 से अधिक अंक 3, 4, 5, 6 हैं, यानी 6 में से 4 परिणाम अनुकूल। प्रायिकता $4/6=2/3$ है।

95. (A) $\frac{1}{4}$
कुल चार परिणाम $HH,HT,TH,TT$ हैं। कोई पट (T) न आए, ऐसा केवल HH में होता है, तो $P=1/4$।

96. (A) 0.36
पूरक घटना की प्रायिकता 1 में से घटाकर मिलती है: $P(\overline E)=1-0.64=0.36$।

97. (B) $\frac{1}{13}$
गड्डी में चार बेगम होती हैं। तो प्रायिकता $4/52=1/13$ है।

98. (C) $\frac{1}{12}$
दो पासों के कुल 36 परिणाम होते हैं। योग 4 के लिए $(1,3),(2,2),(3,1)$ तीन युग्म हैं, तो प्रायिकता $3/36=1/12$।

99. (A) $\frac{5}{12}$
कुल 12 गेंदों में से 5 सफेद हैं। तो प्रायिकता $5/12$ है।

100. (C) −0.2
प्रायिकता 0 से 1 के बीच ही होती है, ऋणात्मक कभी नहीं। इसलिए −0.2 प्रायिकता नहीं हो सकती।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 1 (2 अंक)

यूक्लिड विधि से 405 और 252 का म.स. निकालें।

हल:

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दीजिए। फिर हर बार पिछले भाजक को शेष से भाग देते जाइए।

$$405=252\times1+153$$

$$252=153\times1+99$$

$$153=99\times1+54$$

$$99=54\times1+45$$

$$54=45\times1+9,\qquad45=9\times5+0$$

शेष 0 आते ही रुक जाइए। अंतिम अशून्य शेष 9 है, इसलिए म.स. = 9।

प्रश्न 2 (2 अंक)

सिद्ध करें कि $\sqrt5$ अपरिमेय है।

हल:

मान लीजिए $\sqrt5$ परिमेय है। तब $\sqrt5=a/b$ लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और $b\ne0$।

दोनों ओर वर्ग करने पर $a^2=5b^2$ मिलता है। यानी 5, $a^2$ को विभाजित करता है, और इसलिए 5, $a$ को भी विभाजित करेगा।

अब $a=5k$ रखिए। तब $25k^2=5b^2$, यानी $b^2=5k^2$। इससे पता चलता है कि 5, $b$ को भी विभाजित करता है।

इस तरह 5 दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड निकला, जबकि हमने $a$ और $b$ को सह-अभाज्य माना था। यह विरोधाभास है, इसलिए हमारी मान्यता गलत थी और $\sqrt5$ अपरिमेय है।

प्रश्न 3 (2 अंक)

$x^2-8x+15$ के शून्यक ज्ञात करें और उनके योग की जाँच करें।

हल:

मध्य पद को तोड़कर गुणनखंड कीजिए: $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$।

तो शून्यक 3 और 5 हैं।

अब योग की जाँच कीजिए। शून्यकों का योग $3+5=8$ है, और गुणांकों से योग $-b/a=-(-8)/1=8$ आता है। दोनों मान बराबर हैं, यानी उत्तर सही है।

प्रश्न 4 (2 अंक)

ऐसा द्विघात बहुपद लिखें जिसके शून्यक −4 और 2 हों।

हल:

शून्यकों का योग $-4+2=-2$ है और गुणनफल $(-4)\times2=-8$ है।

जिस द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल पता हो, उसे $x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}$ के रूप में लिखते हैं। मान रखने पर $x^2-(-2)x+(-8)$ मिलता है।

तो एक बहुपद $x^2+2x-8$ है।

प्रश्न 5 (2 अंक)

$2x+y=13$ तथा $x-y=2$ हल करें।

हल:

दोनों समीकरण जोड़ने से $y$ कट जाता है और $3x=15$ बचता है। तो $x=5$।

अब $x=5$ को $x-y=2$ में रखिए: $5-y=2$, इसलिए $y=3$।

हल है $x=5$, $y=3$।

प्रश्न 6 (2 अंक)

दो संख्याओं का योग 46 और अंतर 8 है। संख्याएँ निकालें।

हल:

मान लीजिए बड़ी संख्या $x$ और छोटी संख्या $y$ है। तब $x+y=46$ और $x-y=8$।

दोनों समीकरण जोड़ने पर $2x=54$, यानी $x=27$।

फिर $y=46-27=19$। तो संख्याएँ 27 और 19 हैं।

प्रश्न 7 (2 अंक)

$x^2-11x+28=0$ हल करें।

हल:

मध्य पद $-11x$ को $-7x-4x$ में तोड़िए, क्योंकि $-7$ और $-4$ का गुणनफल 28 है और योग $-11$।

$x^2-7x-4x+28=0$

$x(x-7)-4(x-7)=0$

$(x-7)(x-4)=0$

इसलिए $x=7$ या $x=4$।

प्रश्न 8 (2 अंक)

$3x^2-4x+2=0$ के मूलों की प्रकृति बताएँ।

हल:

यहाँ $a=3$, $b=-4$ और $c=2$ है।

विवेचक $D=b^2-4ac=(-4)^2-4\times3\times2=16-24=-8$ है।

$D\lt0$ है, यानी विवेचक ऋणात्मक है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

प्रश्न 9 (2 अंक)

समांतर श्रेढ़ी 7, 12, 17, … का 18वाँ पद निकालें।

हल:

यहाँ $a=7$, $d=12-7=5$ और $n=18$ है।

$$a_n=a+(n-1)d$$

$$a_{18}=7+17\times5=92$$

तो 18वाँ पद 92 है।

प्रश्न 10 (2 अंक)

प्रथम 15 धनात्मक विषम संख्याओं का योग निकालें।

हल:

पहली 15 विषम संख्याएँ 1, 3, 5, … एक समांतर श्रेढ़ी बनाती हैं, जिसमें $a=1$, $d=2$ और $n=15$ है।

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$

$$S_{15}=\frac{15}{2}[2+14\times2]=\frac{15}{2}\times30=225$$

तो योग 225 है। इसे झट से जाँच भी सकते हैं: पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है, और $15^2=225$।

प्रश्न 11 (2 अंक)

त्रिभुज ABC में D, AB पर तथा E, AC पर हैं और $DE\parallel BC$। AD=4, DB=6 और AE=5 सेमी हैं। EC निकालें।

हल:

$DE\parallel BC$ है, इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $AD/DB=AE/EC$।

$$\frac46=\frac5{EC}\ \Rightarrow\ 4EC=30$$

तो $EC=7.5$ सेमी।

प्रश्न 12 (2 अंक)

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 5:8 में हैं। छोटे का क्षेत्रफल 75 वर्ग सेमी है। बड़े का क्षेत्रफल निकालें।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं। भुजाएँ 5:8 में हैं, तो क्षेत्रफल 25:64 में होंगे। बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ मान लीजिए।

$$\frac{75}{A}=\frac{25}{64}\ \Rightarrow\ A=\frac{75\times64}{25}=192$$

तो बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल 192 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 13 (2 अंक)

बिंदु (−2, 4) और (4, −4) के बीच दूरी निकालें।

हल:

दूरी सूत्र लगाइए। ध्यान रहे, $4-(-2)$ में ऋण का ऋण धन बनकर $4+2$ हो जाता है।

$$d=\sqrt{(4+2)^2+(-4-4)^2}=\sqrt{36+64}=10$$

तो दूरी 10 इकाई है।

प्रश्न 14 (2 अंक)

A(2, −1) और B(8, 5) को आंतरिक रूप से 2:1 में बाँटने वाले बिंदु P के निर्देशांक निकालें।

हल:

यहाँ $AP:PB=2:1$ है, यानी $m=2$ और $n=1$। विभाजन सूत्र से

$$P=\left(\frac{2\times8+1\times2}{3},\frac{2\times5+1\times(-1)}{3}\right)=(6,3)$$

तो बिंदु P(6, 3) है।

प्रश्न 15 (2 अंक)

यदि A न्यूनकोण और $\tan A=8/15$ है, तो $\sin A$ निकालें।

हल:

$\tan A=8/15$ का अर्थ है कि A के सामने की भुजा और संलग्न भुजा 8:15 के अनुपात में हैं। इन्हें $8k$ और $15k$ मान लीजिए, जहाँ $k\gt0$।

पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण $=\sqrt{(8k)^2+(15k)^2}=17k$।

तो $\sin A=8k/(17k)=8/17$।

प्रश्न 16 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए सिद्ध करें: $(1-\sin A)(1+\sin A)=\cos^2 A$।

हल:

बायाँ पक्ष $=(1-\sin A)(1+\sin A)$

$=1-\sin^2 A$ [वर्गों के अंतर से]

$=\cos^2 A$ [क्योंकि $\sin^2 A+\cos^2 A=1$]

$=$ दायाँ पक्ष।

दोनों पक्ष बराबर हुए, इसलिए सिद्ध हुआ।

प्रश्न 17 (2 अंक)

समतल भूमि पर 9 मीटर ऊँचे खंभे की छाया 9√3 मीटर है। सूर्य का उन्नयन कोण निकालें।

हल:

उन्नयन कोण θ मान लीजिए। खंभा, उसकी छाया और सूर्य की किरण मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

$$\tan\theta=\frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया}}=\frac9{9\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}$$

$\tan30^\circ=1/\sqrt3$ होता है, इसलिए $\theta=30^\circ$।

प्रश्न 18 (2 अंक)

एक मीनार के आधार से समतल भूमि पर 24 मीटर दूर बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। ऊँचाई निकालें।

हल:

मीनार की ऊँचाई $h$ मीटर मान लीजिए।

$$\tan45^\circ=\frac h{24}$$

$$1=\frac h{24}\ \Rightarrow\ h=24$$

तो मीनार 24 मीटर ऊँची है।

प्रश्न 19 (2 अंक)

वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। केंद्र O से 13 सेमी दूर P से खींचे स्पर्शखंड PT की लंबाई निकालें।

हल:

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, यानी $OT\perp PT$। इसलिए OTP एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कर्ण OP है।

$$PT^2=OP^2-OT^2=13^2-5^2=144$$

लंबाई धनात्मक ही होगी, इसलिए PT=12 सेमी।

प्रश्न 20 (2 अंक)

P से वृत्त पर PA और PB स्पर्शरेखाएँ हैं। यदि ∠APB=70° हो, तो केंद्र O पर ∠AOB निकालें।

हल:

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा से लंब होती है। इसलिए $OA\perp PA$ और $OB\perp PB$, यानी A और B दोनों पर 90° के कोण हैं।

चतुर्भुज OAPB के चारों कोणों का योग 360° होता है।

$$\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-70^\circ=110^\circ$$

तो ∠AOB=110°।

प्रश्न 21 (2 अंक)

6 सेमी के रेखाखंड AB को 1:2 में बाँटने की रचना के चरण लिखें।

हल:

1. 6 सेमी का रेखाखंड AB खींचिए। A से एक किरण AX खींचिए जो AB के साथ न्यूनकोण बनाए।
2. अनुपात 1:2 है, तो कुल $1+2=3$ भाग चाहिए। AX पर परकार से तीन बराबर भाग $AA_1=A_1A_2=A_2A_3$ काटिए।
3. $A_3$ को B से मिलाइए। अब $A_1$ से $A_3B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो AB को P पर काटे।
4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $AP:PB=1:2$ है, इसलिए P ही वांछित बिंदु है। मापकर देख लीजिए: AP=2 सेमी और PB=4 सेमी।

प्रश्न 22 (2 अंक)

बाह्य बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्शरेखा बनाने में OP व्यास वाला वृत्त क्यों लेते हैं?

हल:

OP को व्यास मानकर जो वृत्त बनता है, वह मूल वृत्त को बिंदु T पर काटता है।

T इस नए वृत्त पर है और OP उसका व्यास है। अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए $\angle OTP=90^\circ$।

यानी PT, त्रिज्या OT पर उसके सिरे T पर लंब है। ऐसी रेखा वृत्त को केवल T पर छूती है, इसलिए PT मूल वृत्त की स्पर्शरेखा है।

प्रश्न 23 (2 अंक)

21 सेमी त्रिज्या के 60° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का $\frac{\theta}{360^\circ}$ भाग होता है: $A=\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2$।

$$A=\frac{60}{360}\times\frac{22}{7}\times21^2=231$$

तो क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 24 (2 अंक)

14 और 7 सेमी त्रिज्या वाले संकेंद्रीय वृत्तों के बीच के भाग का क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच का भाग वलय कहलाता है। इसका क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे का क्षेत्रफल घटाकर मिलता है: $A=\pi(R^2-r^2)$।

$$A=\frac{22}{7}(14^2-7^2)=\frac{22}{7}\times147=462$$

तो क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 25 (2 अंक)

त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी के बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh$ होता है। इसमें $r=7$ और $h=10$ रखिए:

$$2\times\frac{22}{7}\times7\times10=440$$

तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 26 (2 अंक)

6 सेमी भुजा का ठोस घन पिघलाकर 2 सेमी भुजा के घन बनाए जाते हैं। पदार्थ की हानि न हो तो कितने घन बनेंगे?

हल:

पिघलाकर दोबारा ढालने पर पदार्थ उतना ही रहता है, यानी कुल आयतन नहीं बदलता।

बड़े घन का आयतन $6^3=216$ घन सेमी है और एक छोटे घन का आयतन $2^3=8$ घन सेमी।

घनों की संख्या $216/8=27$ है। तो 27 घन बनेंगे।

प्रश्न 27 (2 अंक)

मान 10, 20 और 30 की बारंबारताएँ क्रमशः 2, 3 और 5 हैं। माध्य निकालें।

हल:

कुल बारंबारता $\sum f=2+3+5=10$ है।

अब हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़िए:

$$\sum fx=2\times10+3\times20+5\times30=230$$

$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{230}{10}=23$$

तो माध्य 23 है।

प्रश्न 28 (2 अंक)

आँकड़ों 18, 11, 15, 9, 21, 13 की माध्यिका निकालें।

हल:

पहले आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखिए: 9, 11, 13, 15, 18, 21।

यहाँ छह मान हैं, यानी सम संख्या में। ऐसे में बीच के दो मानों, तीसरे और चौथे, का औसत माध्यिका होता है।

माध्यिका $=(13+15)/2=14$। तो माध्यिका 14 है।

प्रश्न 29 (2 अंक)

एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता निकालें।

हल:

पासा फेंकने पर कुल 6 समसंभावी परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6।

इनमें अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। 1 अभाज्य नहीं होता, इसलिए उसे मत गिनिए।

तो प्रायिकता $=3/6=\mathbf{1/2}$।

प्रश्न 30 (2 अंक)

एक थैले में 4 नीली, 6 लाल और 5 हरी समान गेंदें हैं। यादृच्छया निकाली गेंद लाल न हो, इसकी प्रायिकता निकालें।

हल:

कुल गेंदें $4+6+5=15$ हैं।

लाल न होने का मतलब है कि गेंद नीली या हरी हो। ऐसी गेंदें $4+5=9$ हैं।

तो प्रायिकता $=9/15=\mathbf{3/5}$।

खंड ब: दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 31 (5 अंक)

ग्राफ विधि से $2x+y=10$ और $x-y=2$ हल करें। दोनों रेखाओं तथा x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष भी लिखें।

हल:

पहले दोनों समीकरणों को $y$ के रूप में लिखिए: पहले से $y=10-2x$ और दूसरे से $y=x-2$। हर रेखा के लिए तीन बिंदु ले लेते हैं:

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित कीजिए और हर पंक्ति के बिंदुओं को मिलाकर सीधी रेखा खींचिए।

दोनों रेखाएँ (4, 2) पर मिलती हैं। तो हल $x=4$, $y=2$ है।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $2(4)+2=10$ और $4-2=2$। दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

अब त्रिभुज देखिए। पहली रेखा x-अक्ष को (5, 0) पर और दूसरी (2, 0) पर काटती है। इसलिए त्रिभुज के शीर्ष (2, 0), (5, 0), (4, 2) हैं।

प्रश्न 32 (5 अंक)

एक आयत का परिमाप 54 मीटर और क्षेत्रफल 180 वर्ग मीटर है। द्विघात समीकरण बनाकर उसकी लंबाई और चौड़ाई निकालें।

हल:

मान लीजिए चौड़ाई $x$ मीटर और लंबाई $y$ मीटर है।

परिमाप से $2(x+y)=54$, यानी $y=27-x$।

क्षेत्रफल से $xy=180$। इसमें $y$ का मान रखिए:

$$x(27-x)=180\ \Rightarrow\ x^2-27x+180=0$$

अब मध्य पद तोड़िए। ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 27 और गुणनफल 180 हो। ये 12 और 15 हैं।

$$x^2-12x-15x+180=0$$

$$x(x-12)-15(x-12)=0$$

$$(x-12)(x-15)=0$$

इसलिए $x=12$ या $x=15$। दोनों ही स्थितियों में भुजाएँ 12 और 15 मीटर आती हैं। छोटी भुजा को चौड़ाई मानिए, तो चौड़ाई 12 मीटर और लंबाई 15 मीटर है।

जाँच कर लेते हैं: $2(12+15)=54$ मीटर और $12\times15=180$ वर्ग मीटर।

प्रश्न 33 (5 अंक)

रीना पहले दिन ₹20 बचाती है और हर अगले दिन पिछले दिन से ₹5 अधिक बचाती है। वह 30वें दिन कितनी राशि बचाएगी? पहले 30 दिनों की कुल बचत निकालें।

हल:

रीना की रोज़ की बचत 20, 25, 30, … है। हर दिन ₹5 बढ़ रहे हैं, इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी है, जिसमें $a=20$ और $d=5$ है।

30वें दिन की बचत:

$$a_{30}=a+29d=20+29\times5=165$$

तो 30वें दिन वह ₹165 बचाएगी।

पहले 30 दिनों की कुल बचत:

$$S_{30}=\frac{30}{2}[2\times20+(30-1)\times5]$$

$$=15(40+145)=15\times185=2775$$

तो कुल बचत ₹2775 है।

इसे दूसरे तरीके से भी जाँच सकते हैं। पहले और अंतिम दिन की औसत बचत $(20+165)/2=92.5$ रुपये है, और $92.5\times30=2775$ रुपये। दोनों तरीकों से एक ही उत्तर आया।

प्रश्न 34 (5 अंक)

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। समरूप त्रिभुजों की सहायता से सिद्ध करें।

हल:

दिया है: त्रिभुज ABC में $\angle A=90^\circ$।

सिद्ध करना है: $BC^2=AB^2+AC^2$।

रचना: A से BC पर लंब AD खींचिए।

उपपत्ति: त्रिभुज DBA और त्रिभुज ABC में $\angle D=\angle A=90^\circ$ है और कोण B दोनों में उभयनिष्ठ है। इसलिए AA कसौटी से दोनों त्रिभुज समरूप हैं, और

$$\frac{DB}{AB}=\frac{AB}{BC}\ \Rightarrow\ AB^2=DB\times BC\quad(1)$$

इसी तरह त्रिभुज DAC और त्रिभुज ABC में D और A पर समकोण है और कोण C उभयनिष्ठ है। ये भी समरूप हैं, इसलिए

$$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\ \Rightarrow\ AC^2=DC\times BC\quad(2)$$

अब (1) और (2) को जोड़िए। D रेखाखंड BC पर है, इसलिए $DB+DC=BC$।

$$AB^2+AC^2=(DB+DC)BC=BC\times BC=BC^2$$

इस प्रकार $BC^2=AB^2+AC^2$, यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 35 (5 अंक)

AB=6 सेमी, AC=5 सेमी और BC=4 सेमी वाला त्रिभुज ABC बनाएँ। फिर उसके समरूप ऐसा त्रिभुज बनाएँ जिसकी संगत भुजाएँ मूल त्रिभुज की 3/2 गुनी हों। रचना का औचित्य भी लिखें।

हल:

रचना:

1. AB=6 सेमी खींचिए। A को केंद्र मानकर 5 सेमी और B को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या के चाप लगाइए। दोनों चाप जहाँ कटें, उसे C कहिए। AC और BC मिलाइए।
2. AB के दूसरी ओर, यानी C की उलटी तरफ़, A से एक किरण AX खींचिए जो AB के साथ न्यूनकोण बनाए। उस पर तीन बराबर भाग $AA_1=A_1A_2=A_2A_3$ काटिए।
3. $A_2$ को B से मिलाइए। $A_3$ से $A_2B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो बढ़ाई गई AB को B′ पर काटे।
4. B′ से BC के समांतर रेखा खींचिए, जो बढ़ाई गई AC को C′ पर काटे। AB′C′ ही वांछित त्रिभुज है।

औचित्य: $A_3B'\parallel A_2B$ है, इसलिए $AB'/AB=AA_3/AA_2=3/2$।

फिर $B'C'\parallel BC$ होने से दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं, और AA कसौटी से $\triangle AB'C'\sim\triangle ABC$। इसलिए

$$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac32$$

बनाने के बाद मापकर मिलाइए: नई भुजाएँ 9 सेमी, 7.5 सेमी और 6 सेमी होनी चाहिए।

प्रश्न 36 (5 अंक)

समतल भूमि पर एक मीनार के एक ही ओर दो बिंदु 20 मीटर दूर हैं। निकट बिंदु से शीर्ष का उन्नयन कोण 60° और दूर बिंदु से 30° है। दोनों बिंदु तथा मीनार का आधार एक सीधी रेखा पर हैं। मीनार की ऊँचाई निकालें।

हल:

मान लीजिए मीनार AB की ऊँचाई $h$ मीटर है और निकट बिंदु C की आधार B से दूरी $x$ मीटर है। दूर वाला बिंदु D है, तो $BD=x+20$ मीटर।

समकोण त्रिभुज ABC में

$$\tan60^\circ=\frac hx\ \Rightarrow\ h=\sqrt3x\quad(1)$$

समकोण त्रिभुज ABD में

$$\tan30^\circ=\frac h{x+20}\ \Rightarrow\ h=\frac{x+20}{\sqrt3}\quad(2)$$

(1) और (2) दोनों में $h$ एक ही है, इसलिए $\sqrt3x=(x+20)/\sqrt3$।

दोनों ओर $\sqrt3$ से गुणा कीजिए: $3x=x+20$, यानी $2x=20$ और $x=10$।

(1) में रखने पर $h=10\sqrt3$ मीटर मिलता है। $\sqrt3\approx1.732$ लेने पर मीनार की ऊँचाई लगभग 17.32 मीटर है।

प्रश्न 37 (5 अंक)

एक ठोस खिलौना 6 सेमी त्रिज्या के अर्धगोले पर उसी त्रिज्या के शंकु को जोड़कर बना है। शंकु की लंबवत ऊँचाई 8 सेमी है। खिलौने का आयतन और पूरा बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। उत्तर $\pi$ के रूप में दें।

हल:

दोनों भागों की त्रिज्या $r=6$ सेमी है और शंकु की ऊँचाई $h=8$ सेमी।

पहले शंकु की तिर्यक ऊँचाई निकाल लीजिए, यह पृष्ठीय क्षेत्रफल में काम आएगी:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{36+64}=10\text{ सेमी}$$

आयतन: खिलौने का आयतन शंकु और अर्धगोले के आयतनों का योग है।

$$V=\frac13\pi r^2h+\frac23\pi r^3$$

$$=\frac13\pi\times36\times8+\frac23\pi\times216=96\pi+144\pi=240\pi$$

तो आयतन $240\pi$ घन सेमी है।

पृष्ठीय क्षेत्रफल: जहाँ शंकु और अर्धगोला जुड़े हैं, वह वृत्ताकार सतह अंदर छिप जाती है। इसलिए बाहरी क्षेत्रफल में केवल शंकु का वक्र पृष्ठ और अर्धगोले का वक्र पृष्ठ आएगा।

$$S=\pi rl+2\pi r^2=\pi\times6\times10+2\pi\times36=132\pi$$

तो बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल $132\pi$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 38 (5 अंक)

निम्न वितरण का माध्य और माध्यिका निकालें। वर्ग अंतरालों में ऊपरी सीमा अगले वर्ग में शामिल है।

हल:

माध्य: हर वर्ग का वर्ग चिह्न $x$ उसकी दोनों सीमाओं का औसत है। माध्यिका के लिए संचयी बारंबारता भी इसी सारणी में लिख लेते हैं।

$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{1010}{40}=25.25$$

तो माध्य 25.25 है।

माध्यिका: $N/2=40/2=20$। संचयी बारंबारता 10–20 वर्ग तक 14 है और 20–30 वर्ग तक 26 हो जाती है। यानी संचयी बारंबारता 20–30 वर्ग में ही पहली बार 20 से आगे जाती है, इसलिए यही माध्यिका वर्ग है।

यहाँ $l=20$, $cf=14$, $f=12$ और $h=10$ है। ध्यान रखिए, $cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है।

$$M=l+\frac{N/2-cf}{f}\,h=20+\frac{20-14}{12}\times10=25$$

तो माध्यिका 25 है।