अभ्यास सेट 2: उत्तर और हल

अभ्यास सेट 2: उत्तर और हल

पहले पिछले पृष्ठ का पूरा प्रश्न पत्र खुद हल कीजिए, उसके बाद ही यहाँ उत्तर मिलाइए। खंड अ के हर प्रश्न का सही विकल्प उसके छोटे-से कारण के साथ दिया है, और खंड ब के सभी 38 लिखित प्रश्नों का पूरा हल चरणों के साथ है।

अंक कैसे जोड़ें: खंड अ में अपने पहले 50 उत्तरों में से सही उत्तर गिनिए। लिखित प्रश्नों में अपना हल यहाँ के चरणों से मिलाइए। पूरे अंक तभी दीजिए जब सूत्र, गणना और अंतिम उत्तर, तीनों सही हों।

खंड अ: उत्तर कुंजी

खंड अ: प्रश्न 1–20 के उत्तर और कारण

1. (A) 1
सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के सिवा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। इसलिए उनका म.स. 1 ही होता है।

2. (B) 48
$144=96\times1+48$ और फिर $96=48\times2$, यहाँ शेषफल 0 आ गया। तो म.स. 48 है।

3. (D) 5
360 को तोड़िए: $360=8\times9\times5=2^3\times3^2\times5$। तो $a=3$, $b=2$ और $a+b=3+2=5$।

4. (C) 0.0875
अंश और हर को 125 से गुणा कीजिए, ताकि हर 10000 बन जाए: $\frac{7\times125}{80\times125}=\frac{875}{10000}=0.0875$।

5. (D) 6
6 को 6 से कितनी भी बार गुणा कीजिए, इकाई का अंक 6 ही रहता है: 6, 36, 216, … इसलिए $6^n$ का इकाई अंक 6 है।

6. (A) असांत अनावर्ती
परिमेय संख्या का प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। असांत अनावर्ती प्रसार अपरिमेय संख्या का होता है।

7. (A) $3\sqrt2$
$\sqrt{50}=5\sqrt2$ और $\sqrt8=2\sqrt2$ है। तो $5\sqrt2-2\sqrt2=3\sqrt2$।

8. (C) −7
3 शून्यक है, तो $x=3$ रखने पर बहुपद शून्य होगा: $3^2+3k+12=0$। इससे $3k=-21$ और $k=-7$।

9. (B) $\frac32,-\frac32$
$4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$, क्योंकि यह दो वर्गों का अंतर है। इसलिए $x=3/2$ या $x=-3/2$।

10. (B) $x^2-16$
बहुपद $x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}$ होता है। योग 0 और गुणनफल −16 रखने पर $x^2-16$ मिलता है।

11. (C) −6
$(-1)^2=1$ होता है, इसलिए $p(-1)=2(1)-3-5=-6$।

12. (C) 0
अशून्य अचर बहुपद, जैसे 5, किसी भी x पर शून्य नहीं होता। इसलिए उसका कोई शून्यक नहीं है।

13. (C) $x-1$
$x=1$ रखने पर $1^3-1=0$ आता है। तो गुणनखंड प्रमेय से $x-1$ इसका गुणनखंड है।

14. (B) $\frac52$
$\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ होता है। यहाँ $\alpha+\beta=5/2$ और $\alpha\beta=1$, तो उत्तर $5/2$ है।

15. (C) (4, 0)
x-अक्ष पर $y=0$ होता है। तब $3x=12$, यानी $x=4$, और बिंदु (4, 0) है।

16. (A) (2, 3)
पहले समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरा घटाइए: $5y=15$, यानी $y=3$। फिर $x=8-6=2$।

17. (D) संपाती
दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर ठीक पहला समीकरण मिलता है। यानी दोनों एक ही रेखा हैं।

18. (D) कोई हल नहीं
एक ही x और y का योग एक साथ 4 और 9 नहीं हो सकता। रेखाएँ समांतर हैं, इसलिए कोई हल नहीं।

19. (D) ₹10
पेन का मूल्य x हो, तो कॉपी का $x+15$ होगा। $2x+15=35$ से $x=10$।

20. (D) 3
हल न होने के लिए $2/4=k/6\ne5/11$ होना चाहिए। $2/4=k/6$ से $k=3$ मिलता है।

खंड अ: प्रश्न 21–40 के उत्तर और कारण

21. (B) 12
छोटी संख्या x लीजिए, तो बड़ी 2x होगी। $x+2x=36$ से $x=12$।

22. (B) $x^2+2x=3$
$x^2+2x=3$ को $x^2+2x-3=0$ लिख सकते हैं, इसमें $x^2$ बचा रहता है। $x^2+1=x^2+2x$ में दोनों ओर का $x^2$ कट जाता है, इसलिए वह रैखिक है।

23. (A) 7, −7
$x^2=49$ से $x=\pm7$, यानी मूल 7 और −7 दोनों हैं।

24. (D) $-\frac25$
मूलों का योग $-b/a$ होता है, यानी $-2/5$।

25. (C) 9
बराबर मूलों के लिए विवेचक शून्य होना चाहिए: $D=36-4c=0$। इससे $c=9$।

26. (D) 2
$(x+4)(x-2)=0$ से मूल −4 और 2 मिलते हैं। इनमें धनात्मक मूल 2 है।

27. (D) दो भिन्न
धनात्मक विवेचक का वर्गमूल शून्य नहीं होता। इसलिए मूलसूत्र में + और − से दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं।

28. (D) 7
$x^2=5x+14$ से $(x-7)(x+2)=0$। संख्या धनात्मक है, इसलिए 7।

29. (C) 2, 5, 8, 11
2, 5, 8, 11 में हर बार 3 जुड़ रहा है, यानी अंतर स्थिर है। बाकी क्रमों में अंतर बदलता है।

30. (A) −3
$d=17-20=-3$। क्रम घट रहा है, इसलिए d ऋणात्मक है।

31. (C) 28
$a_{11}=a+10d=-2+30=28$।

32. (A) 20वाँ
$5+4(n-1)=81$ से $4(n-1)=76$, यानी $n-1=19$ और $n=20$।

33. (D) 210
पहले n धनात्मक पूर्णांकों का योग $n(n+1)/2$ होता है। तो $S=20(1+20)/2=210$।

34. (D) 4
पाँचवें से सातवें पद तक d दो बार जुड़ता है: $a_7-a_5=2d=26-18=8$। इसलिए $d=4$।

35. (D) 5
पहले पद के लिए $n=1$ रखिए: $a_1=7-2=5$।

36. (A) SSS
$4/6=6/9=8/12=2/3$, यानी तीनों भुजाएँ एक ही अनुपात में हैं। इसलिए SSS कसौटी लगती है।

37. (B) 2:5
समरूप त्रिभुजों में ऊँचाइयाँ भी भुजाओं वाले अनुपात 2:5 में होती हैं। वर्ग वाला अनुपात 4:25 केवल क्षेत्रफल के लिए है।

38. (C) 24 सेमी
$b^2=25^2-7^2=576$, तो $b=24$ सेमी।

39. (B) 4 सेमी
$DE\parallel BC$ है, इसलिए $AE/AC=AD/AB=3/9$। तो $AE=12/3=4$ सेमी।

40. (C) 36 वर्ग सेमी
क्षेत्रफल संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात में होते हैं: $A/100=(6/10)^2=36/100$। इसलिए $A=36$ वर्ग सेमी।

खंड अ: प्रश्न 41–60 के उत्तर और कारण

41. (A) 7 सेमी
मध्यबिंदु प्रमेय से यह रेखाखंड तीसरी भुजा का आधा होता है: $14/2=7$ सेमी।

42. (C) 6, 8, 12
$6^2+8^2=100$, पर $12^2=144$, दोनों बराबर नहीं। बाकी तीनों विकल्प पाइथागोरस की शर्त पूरी करते हैं।

43. (B) ऋणात्मक y-अक्ष पर
x-निर्देशांक 0 है, इसलिए बिंदु y-अक्ष पर है। y ऋणात्मक है, तो यह ऋणात्मक y-अक्ष पर है।

44. (C) 10 इकाई
मूलबिंदु से दूरी $\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ इकाई है।

45. (D) (5, 7)
दोनों x और दोनों y का औसत लीजिए: $((3+7)/2,(5+9)/2)=(5,7)$।

46. (C) 1:2
तीनों बिंदु x-अक्ष पर हैं: $AP=4-1=3$ और $PB=10-4=6$। अनुपात $3:6=1:2$।

47. (A) 15 वर्ग इकाई
आधार $8-2=6$ है और ऊँचाई 5, क्योंकि (2, 5) ठीक (2, 0) के ऊपर है। क्षेत्रफल $6\times5/2=15$ वर्ग इकाई।

48. (A) (3, 2)
विभाजन सूत्र से $x=(2\times5+1\times(-1))/3=3$। दोनों सिरों की कोटि 2 है, तो P(3, 2)।

49. (A) 6 इकाई
दोनों का x बराबर है, इसलिए दूरी केवल y का अंतर है: $|4-(-2)|=6$ इकाई।

50. (B) $\frac34$
दोनों गुणक $\sqrt3/2$ के बराबर हैं, तो गुणनफल $3/4$ है।

51. (B) $\frac43$
आधार 3k और कर्ण 5k लीजिए, तो लंब 4k आता है। इसलिए $\tan A=4/3$।

52. (D) 1
सर्वसमिका $\cosec^2 A=1+\cot^2 A$ से अंतर सीधे 1 आता है।

53. (A) 2
$\sin30^\circ=1/2$ और $\tan45^\circ=1$ रखिए: $2(1/2)+1=2$।

54. (D) 1
एक ही कोण के tan और cot एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए गुणनफल 1 है।

55. (C) 45°
cos A से भाग देने पर tan A=1 मिलता है, यानी न्यूनकोण A=45°।

56. (C) $\frac43$
$\sec30^\circ=2/\sqrt3$ है, तो इसका वर्ग $4/3$ हुआ।

57. (B) 45°
छाया और ऊँचाई बराबर हैं, तो $\tan\theta=h/h=1$, यानी $\theta=45^\circ$।

58. (D) $\frac{20}{\sqrt3}$ मीटर
$\tan30^\circ=h/20$ से $h=20\tan30^\circ=20/\sqrt3$ मीटर।

59. (D) 6 मीटर
सीढ़ी कर्ण है, इसलिए दीवार पर ऊँचाई $12\sin30^\circ=6$ मीटर।

60. (A) अवनमन कोण
जब वस्तु आँख के स्तर से नीचे हो, तब क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर बना कोण अवनमन कोण कहलाता है। ऊपर देखने पर उन्नयन कोण बनता है।

खंड अ: प्रश्न 61–80 के उत्तर और कारण

61. (D) 30 मीटर
डोर कर्ण है, इसलिए $\sin60^\circ=15\sqrt3/L$। इससे $L=30$ मीटर।

62. (B) 10 मीटर
$\tan45^\circ=10/d=1$, इसलिए $d=10$ मीटर।

63. (A) 1
वृत्त के किसी बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत एक ही रेखा खिंचती है, और वही उस बिंदु की स्पर्शरेखा है।

64. (B) 5
एक ही बाह्य बिंदु से दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं: $3x+1=16$, यानी $x=5$।

65. (B) 17 सेमी
स्पर्श बिंदु पर $OT\perp PT$ होता है, इसलिए $OP=\sqrt{8^2+15^2}=17$ सेमी।

66. (A) 60°
A और B पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब है, यानी वहाँ दो समकोण हैं। इसलिए $\angle APB=180^\circ-120^\circ=60^\circ$।

67. (D) 9 सेमी
दो समांतर स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी व्यास होती है। तो $r=18/2=9$ सेमी।

68. (D) 12 सेमी
परिगत चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं: $AB+CD=BC+AD$। तो $CD=11+9-8=12$ सेमी।

69. (B) 7
अनुपात के पदों का योग $2+5=7$ है, इसलिए सहायक किरण पर सात बराबर भाग लेते हैं।

70. (C) 8 सेमी
नई भुजा मूल भुजा की 4/5 गुनी होगी: $10\times4/5=8$ सेमी।

71. (C) बड़ा
$7/4\gt1$ है, इसलिए हर भुजा बढ़ेगी और नया त्रिभुज बड़ा बनेगा।

72. (C) OP/2
OP सहायक वृत्त का व्यास है, इसलिए उसकी त्रिज्या $MP=MO=OP/2$ है।

73. (C) 6 सेमी
AB के तीन बराबर भागों में से दो भाग AP के हैं: $AP=9\times2/3=6$ सेमी।

74. (A) 7 सेमी
$2\pi r=44$ में $\pi=22/7$ रखने पर $r=44\times7/44=7$ सेमी।

75. (D) एक चौथाई
क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग पर चलता है। त्रिज्या आधी होने पर क्षेत्रफल $(1/2)^2=1/4$, यानी एक चौथाई रह जाता है।

76. (A) $4\pi$ वर्ग सेमी
चतुर्थांश वृत्त का चौथाई भाग है: $A=\pi r^2/4=\pi\times16/4=4\pi$ वर्ग सेमी।

77. (B) $4\pi$ सेमी
72° पूरे वृत्त का पाँचवाँ भाग है: $L=(72/360)2\pi\times10=4\pi$ सेमी।

78. (B) $64\pi$ वर्ग सेमी
वलय का क्षेत्रफल दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का अंतर है: $A=\pi(10^2-6^2)=64\pi$ वर्ग सेमी।

79. (B) 50 सेमी
चतुर्थांश की सीमा में दो त्रिज्याएँ और चौथाई परिधि आती हैं: $2r+(2\pi r)/4=28+22=50$ सेमी। केवल चाप लेकर 22 सेमी लिख देना आम गलती है।

80. (D) संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल
छोटा त्रिज्यखंड, संबंधित त्रिभुज और छोटे वृत्तखंड से मिलकर बनता है। इसलिए वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज का क्षेत्रफल।

खंड अ: प्रश्न 81–100 के उत्तर और कारण

81. (C) 96 वर्ग सेमी
घन के 6 बराबर फलक होते हैं: $S=6a^2=6\times16=96$ वर्ग सेमी।

82. (A) $65\pi$ वर्ग सेमी
$l=\sqrt{25+144}=13$ सेमी, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl=65\pi$ वर्ग सेमी।

83. (B) 1:3
शंकु का आयतन $\pi r^2h/3$ और बेलन का $\pi r^2h$ है, यानी शंकु बेलन का एक तिहाई। अनुपात 1:3 हुआ।

84. (D) $144\pi$ वर्ग सेमी
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2=4\pi\times36=144\pi$ वर्ग सेमी है।

85. (D) $18\pi$ घन सेमी
अर्धगोले का आयतन $(2/3)\pi r^3=(2/3)\pi\times27=18\pi$ घन सेमी है।

86. (C) 1000 घन सेमी
एक लीटर एक घन डेसीमीटर होता है और $1\text{ dm}=10\text{ cm}$। तो आयतन $10^3=1000$ घन सेमी।

87. (C) 8 गुना
आयतन त्रिज्या के घन पर चलता है, इसलिए गुणक $2^3=8$ होगा।

88. (C) 8
योग 40 है और मान 5 हैं, तो माध्य $40/5=8$।

89. (C) 7
बढ़ते क्रम में लिखिए: 3, 5, 7, 9, 11। बीच का, यानी तीसरा मान 7 है।

90. (B) 6
6 तीन बार आया है, जो सबसे ज़्यादा है। इसलिए बहुलक 6 है।

91. (D) 50
वर्ग चिह्न दोनों सीमाओं का औसत होता है: $(40+60)/2=50$।

92. (A) 30
माध्यिका वर्ग के लिए $N/2$ से तुलना करते हैं, यहाँ $60/2=30$।

93. (C) 24
आनुभविक संबंध से बहुलक $=3\times\text{माध्यिका}-2\times\text{माध्य}=60-36=24$।

94. (C) बहुलक वर्ग
सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग बहुलक वर्ग कहलाता है। माध्यिका वर्ग तो संचयी बारंबारता से चुना जाता है।

95. (B) $\frac12$
चित और पट, दो ही समसंभावी परिणाम हैं और अनुकूल केवल चित है। इसलिए प्रायिकता 1/2।

96. (D) 0
पासे पर 1 से 6 तक ही अंक होते हैं, 7 आ ही नहीं सकता। असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

97. (D) $\frac12$
परिणाम $HH,HT,TH,TT$ हैं। ठीक एक चित केवल HT और TH में है, तो $P=2/4=1/2$।

98. (A) $\frac12$
गड्डी में 26 लाल पत्ते हैं, तो प्रायिकता $26/52=1/2$।

99. (C) 0.73
होने और न होने की प्रायिकताओं का योग 1 होता है: $P(E)=1-P(\overline E)=1-0.27=0.73$।

100. (A) $\frac3{10}$
3 के गुणज 3, 6 और 9 हैं, यानी दस में से तीन पर्चियाँ अनुकूल। प्रायिकता 3/10 है।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 1 (2 अंक)

84, 126 और 210 का म.स. अभाज्य गुणनखंड विधि से निकालें।

हल:

तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं:

$84=2^2\times3\times7$, $126=2\times3^2\times7$ और $210=2\times3\times5\times7$।

तीनों में साझे अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं, और हर एक की सबसे छोटी घात 1 है। म.स. में इन्हीं को लेते हैं।

इसलिए म.स. $=2\times3\times7=42$ है।

प्रश्न 2 (2 अंक)

बिना लंबा भाग दिए बताएँ कि $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं। यदि सांत है, तो कितने दशमलव स्थान होंगे?

हल:

13 और 3125 में कोई साझा गुणनखंड नहीं है, और $3125=5^5$ है। हर में 5 के सिवा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए प्रसार सांत होगा।

हर को 10 की घात बनाने के लिए अंश और हर को $2^5$ से गुणा करते हैं:

$$\frac{13}{3125}=\frac{13\times2^5}{3125\times2^5}=\frac{416}{100000}=0.00416$$

तो प्रसार सांत है और इसमें पाँच दशमलव स्थान हैं।

प्रश्न 3 (2 अंक)

$2x^2-9x+7$ के शून्यक निकालें और उनके गुणनफल की जाँच करें।

हल:

बीच वाले पद $-9x$ को $-7x$ और $-2x$ में तोड़कर गुणनखंड करते हैं:

$2x^2-9x+7=2x^2-7x-2x+7=(2x-7)(x-1)$।

हर गुणनखंड को शून्य रखने पर शून्यक $7/2$ और 1 मिलते हैं।

अब गुणनफल की जाँच: $(7/2)\times1=7/2$, और गुणांकों से $c/a=7/2$ भी यही आता है। दोनों बराबर हैं, इसलिए शून्यक सही हैं।

प्रश्न 4 (2 अंक)

$x^3-3x^2+4x-12$ को $x-3$ से भाग देकर भागफल और शेषफल लिखें।

हल:

लंबी विधि से भाग देते हैं।

पहला पद $x^3\div x=x^2$ है। $x^2(x-3)=x^3-3x^2$ घटाने पर $4x-12$ बचता है।

अगला पद $4x\div x=4$ है। $4(x-3)=4x-12$ घटाने पर कुछ नहीं बचता, यानी शेष 0 है।

इसलिए भागफल $x^2+4$ और शेषफल 0 है।

प्रश्न 5 (2 अंक)

$3x+4y=18$ तथा $5x-4y=14$ को विलोपन विधि से हल करें।

हल:

y के गुणांक $+4$ और $-4$ हैं, इसलिए दोनों समीकरण जोड़ते ही y हट जाता है: $8x=32$, यानी $x=4$।

यह मान पहले समीकरण में रखते हैं: $12+4y=18$, तो $4y=6$ और $y=3/2$।

इसलिए हल $x=4$ और $y=3/2$ है।

प्रश्न 6 (2 अंक)

पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का योग 50 वर्ष है। पाँच वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की चार गुनी थी। वर्तमान आयु निकालें।

हल:

पिता की वर्तमान आयु x वर्ष और पुत्र की y वर्ष मान लेते हैं। पहली शर्त से $x+y=50$।

पाँच वर्ष पहले दोनों की आयु 5 वर्ष कम थी, इसलिए $x-5=4(y-5)$। इसे सरल करने पर $x-4y=-15$ मिलता है।

पहले समीकरण में से दूसरा घटाते हैं: $5y=65$, यानी $y=13$। तब $x=50-13=37$।

तो पिता 37 वर्ष और पुत्र 13 वर्ष के हैं। पाँच वर्ष पहले वे 32 और 8 वर्ष के थे, और सचमुच $32=4\times8$ है।

प्रश्न 7 (2 अंक)

$2x^2+x-6=0$ को गुणनखंड विधि से हल करें।

हल:

$2\times(-6)=-12$ है, इसलिए बीच के पद x को $4x-3x$ में तोड़ते हैं:

$2x^2+4x-3x-6=0$

$2x(x+2)-3(x+2)=0$

$(2x-3)(x+2)=0$

हर गुणनखंड को शून्य रखने पर $x=3/2$ या $x=-2$।

प्रश्न 8 (2 अंक)

$x^2-4x-1=0$ के मूल सूत्र से निकालें।

हल:

यहाँ $a=1$, $b=-4$ और $c=-1$ है। इन्हें मूलसूत्र में रखते हैं:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}2$$

$\sqrt{20}=2\sqrt5$ होता है, इसलिए

$$=\frac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$$

इस तरह मूल $2+\sqrt5$ और $2-\sqrt5$ हैं।

प्रश्न 9 (2 अंक)

किसी समांतर श्रेढ़ी का चौथा पद 14 और आठवाँ पद 30 है। पहला पद तथा सार्व अंतर निकालें।

हल:

चौथा पद $a+3d$ और आठवाँ पद $a+7d$ होता है, इसलिए $a+3d=14$ और $a+7d=30$।

दूसरे में से पहला घटाने पर $4d=16$, यानी $d=4$।

यह मान पहले समीकरण में रखिए: $a+12=14$, तो $a=2$।

इसलिए पहला पद 2 और सार्व अंतर 4 है।

प्रश्न 10 (2 अंक)

12, 9, 6, … के प्रथम 10 पदों का योग निकालें।

हल:

यहाँ $a=12$, $d=9-12=-3$ और $n=10$ है।

$$S_{10}=\frac{10}{2}[2(12)+9(-3)]=5(24-27)=-15$$

पद घटते-घटते ऋणात्मक हो जाते हैं, इसीलिए योग −15 आया है।

प्रश्न 11 (2 अंक)

त्रिभुज ABC में D, AB पर तथा E, AC पर हैं। AD=6, DB=3, AE=8 और EC=4 सेमी हैं। सिद्ध करें कि DE, BC के समांतर है।

हल:

दोनों भुजाओं पर बने अनुपात निकालते हैं: $AD/DB=6/3=2$ और $AE/EC=8/4=2$।

दोनों अनुपात बराबर हैं, यानी $AD/DB=AE/EC$। D और E अपनी-अपनी भुजा को एक ही अनुपात में बाँटते हैं, इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से $DE\parallel BC$।

प्रश्न 12 (2 अंक)

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय से उसकी ऊँचाई निकालें।

हल:

शीर्ष से आधार पर लंब खींचिए। समबाहु त्रिभुज में यह लंब आधार को बीच से बाँटता है, यानी 6 सेमी के दो बराबर भाग बनते हैं।

ऊँचाई h मान लीजिए। समकोण त्रिभुज में $h^2=12^2-6^2=144-36=108$।

इसलिए $h=\sqrt{108}=6\sqrt3$ सेमी।

प्रश्न 13 (2 अंक)

बिंदु (1, 2), (5, 2), (3, 6) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।

हल:

(1, 2) और (5, 2) दोनों का y-निर्देशांक 2 है, इसलिए इन्हें जोड़ने वाला आधार रेखा y=2 पर पड़ा है। इसकी लंबाई $5-1=4$ इकाई है।

तीसरा बिंदु (3, 6) इस रेखा से $6-2=4$ इकाई ऊपर है। यही त्रिभुज की ऊँचाई है।

क्षेत्रफल $=\frac12\times4\times4=\mathbf{8}$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 14 (2 अंक)

यदि (2, k), बिंदुओं (−2, 3) और (6, 7) का मध्यबिंदु है, तो k निकालें।

हल:

मध्यबिंदु सूत्र से (−2, 3) और (6, 7) का मध्यबिंदु

$$\left(\frac{-2+6}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(2,5)$$

यही बिंदु (2, k) है। x-निर्देशांक दोनों में 2 है, और y-निर्देशांक मिलाने पर k=5।

प्रश्न 15 (2 अंक)

न्यूनकोण θ के लिए $\cot\theta=7/24$ है। $\sin\theta$ और $\cos\theta$ निकालें।

हल:

$\cot\theta$ आधार और लंब का अनुपात है, इसलिए आधार 7k और लंब 24k मान लेते हैं। तब कर्ण $=\sqrt{49k^2+576k^2}=\sqrt{625k^2}=25k$।

अब sin θ लंब और कर्ण का अनुपात है, और cos θ आधार और कर्ण का। इसलिए $\sin\theta=24/25$ और $\cos\theta=7/25$।

प्रश्न 16 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए सिद्ध करें: $\frac{1-\cos^2 A}{\sin A}=\sin A$।

हल:

बायाँ पक्ष $=\frac{1-\cos^2 A}{\sin A}$।

सर्वसमिका $\sin^2 A+\cos^2 A=1$ से $1-\cos^2 A=\sin^2 A$ लिख सकते हैं। इसलिए

$$\text{बायाँ पक्ष}=\frac{\sin^2 A}{\sin A}=\sin A=\text{दायाँ पक्ष}$$

A न्यूनकोण है, इसलिए sin A शून्य नहीं है और उससे भाग देना ठीक है। इस तरह सिद्ध हुआ।

प्रश्न 17 (2 अंक)

भूमि पर एक बिंदु से 30 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। बिंदु की भवन के आधार से दूरी निकालें।

हल:

बिंदु की भवन के आधार से दूरी x मीटर मान लीजिए। भवन भूमि पर सीधा खड़ा है, इसलिए समकोण त्रिभुज बनता है, जिसमें 30 मीटर कोण के सामने की भुजा है और x आधार।

$$\tan60^\circ=30/x\ \Rightarrow\ \sqrt3=30/x$$

$$x=30/\sqrt3=10\sqrt3$$

तो दूरी $10\sqrt3$ मीटर है।

प्रश्न 18 (2 अंक)

1.6 मीटर ऊँचे व्यक्ति की आँख के स्तर से 12 मीटर दूर भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। आँख की ऊँचाई भी 1.6 मीटर मानते हुए भवन की ऊँचाई निकालें।

हल:

यहाँ कोण आँख के स्तर से बन रहा है, भूमि से नहीं। भवन की ऊँचाई h मीटर हो, तो आँख के स्तर से ऊपर का भाग $h-1.6$ मीटर है।

$$\tan45^\circ=\frac{h-1.6}{12}=1$$

इसलिए $h-1.6=12$ और h=13.6 मीटर। बहुत से विद्यार्थी 12 मीटर लिखकर रुक जाते हैं, जबकि आँख की ऊँचाई 1.6 मीटर जोड़ना ज़रूरी है।

प्रश्न 19 (2 अंक)

वृत्त के बाह्य बिंदु P से स्पर्शखंड PA और PB हैं। PA=2x+3 और PB=5x−6 सेमी हो तो x तथा स्पर्शखंड की लंबाई निकालें।

हल:

एक ही बाह्य बिंदु से खींचे गए स्पर्शखंड बराबर होते हैं, इसलिए $2x+3=5x-6$।

इससे $3x=9$, यानी $x=3$।

अब दोनों लंबाइयाँ निकालिए: $PA=2(3)+3=9$ सेमी और $PB=5(3)-6=9$ सेमी। दोनों बराबर आईं, तो हल ठीक है।

इसलिए x=3 और हर स्पर्शखंड 9 सेमी का है।

प्रश्न 20 (2 अंक)

केंद्र O के वृत्त पर A और B स्पर्श बिंदु हैं। बाह्य बिंदु P से स्पर्शरेखाओं के बीच कोण 50° है। ∠AOB निकालें।

हल:

त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए चतुर्भुज OAPB में A और B पर 90° के कोण हैं। चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है:

$$\angle AOB=360^\circ-(90^\circ+90^\circ+50^\circ)=130^\circ$$

इसलिए ∠AOB=130°।

प्रश्न 21 (2 अंक)

5 सेमी लंबा AB खींचकर उसे 2:3 में बाँटने की रचना के चरण लिखें।

हल:

1. AB=5 सेमी खींचिए। A से AB के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण AX खींचिए।
2. अनुपात के पद जोड़िए: $2+3=5$। AX पर परकार से बराबर दूरी पर पाँच बिंदु $A_1,A_2,\ldots,A_5$ लगाइए।
3. $A_5B$ को मिलाइए। $A_2$ से इसके समांतर रेखा खींचिए, जो AB को P पर काटे।
4. समानुपातिकता से $AP:PB=2:3$। नापकर देख लीजिए: AP=2 सेमी और PB=3 सेमी आना चाहिए।

प्रश्न 22 (2 अंक)

किसी त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8 और 10 सेमी हैं। उसके समरूप 3/4 स्केल के त्रिभुज की तीनों भुजाएँ निकालें।

हल:

समरूप त्रिभुज की हर भुजा मूल त्रिभुज की संगत भुजा की $3/4$ गुनी होगी:

$$6\times\frac34=4.5,\quad8\times\frac34=6,\quad10\times\frac34=7.5$$

तो नए त्रिभुज की भुजाएँ 4.5, 6 और 7.5 सेमी हैं।

प्रश्न 23 (2 अंक)

14 सेमी त्रिज्या के 90° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

90° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का $\frac{90}{360}$, यानी चौथाई भाग है।

क्षेत्रफल $=\frac{90}{360}\times\frac{22}{7}\times14^2=154$ वर्ग सेमी।

चाप की लंबाई $=\frac{90}{360}\times2\times\frac{22}{7}\times14=22$ सेमी।

इसलिए क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी और चाप की लंबाई 22 सेमी है।

प्रश्न 24 (2 अंक)

14 सेमी भुजा के वर्ग में अंतर्लिखित वृत्त है। वर्ग के भीतर लेकिन वृत्त के बाहर के भाग का क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

अंतर्लिखित वृत्त वर्ग की चारों भुजाओं को छूता है, इसलिए उसका व्यास वर्ग की भुजा, यानी 14 सेमी है। तो त्रिज्या 7 सेमी हुई।

वर्ग का क्षेत्रफल $14^2=196$ वर्ग सेमी और वृत्त का क्षेत्रफल $(22/7)\times7^2=154$ वर्ग सेमी है।

वृत्त के बाहर बचा भाग $=196-154=\mathbf{42}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 25 (2 अंक)

त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी वाले बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। उत्तर π में दें।

हल:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वक्र सतह के साथ ऊपर और नीचे के दोनों वृत्ताकार आधार भी आते हैं, इसलिए सूत्र $2\pi r(h+r)$ है।

$$S=2\pi\times3(7+3)=60\pi$$

तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $60\pi$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 26 (2 अंक)

4 सेमी त्रिज्या का ठोस गोला पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या के छोटे गोले बनाए जाते हैं। पदार्थ की हानि न हो तो कितने गोले बनेंगे?

हल:

पिघलाकर नया आकार बनाने पर पदार्थ उतना ही रहता है, यानी कुल आयतन नहीं बदलता। बड़े गोले का आयतन $(4/3)\pi(4^3)$ और एक छोटे गोले का $(4/3)\pi(1^3)$ है।

संख्या $=\frac{(4/3)\pi\times64}{(4/3)\pi\times1}=64$।

तो 64 छोटे गोले बनेंगे।

प्रश्न 27 (2 अंक)

मान 5, 10 और 15 की बारंबारताएँ क्रमशः 4, 2 और 4 हैं। माध्य निकालें।

हल:

हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़ते हैं।

$\sum f=4+2+4=10$।

$$\sum fx=4(5)+2(10)+4(15)=20+20+60=100$$

$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{100}{10}=10$$

तो माध्य 10 है।

प्रश्न 28 (2 अंक)

वर्ग अंतराल 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 की बारंबारताएँ 3, 7, 12, 8 हैं। माध्यिका वर्ग पहचानें।

हल:

कुल बारंबारता $N=3+7+12+8=30$ है, तो $N/2=15$।

अब संचयी बारंबारताएँ बनाइए: 3, 10, 22, 30।

15 से बड़ी पहली संचयी बारंबारता 22 है, जो 20–30 वर्ग की है। इसलिए माध्यिका वर्ग 20–30 है।

प्रश्न 29 (2 अंक)

दो निष्पक्ष पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं। योग 10 होने की प्रायिकता निकालें।

हल:

दो पासों के कुल $6\times6=36$ समसंभावी परिणाम हैं।

योग 10 देने वाले युग्म (4, 6), (5, 5) और (6, 4) हैं। (4, 6) और (6, 4) अलग-अलग गिने जाते हैं, क्योंकि पहला और दूसरा पासा अलग हैं।

इसलिए प्रायिकता $=3/36=\mathbf{1/12}$।

प्रश्न 30 (2 अंक)

1 से 20 तक अंकित समान पर्चियों में से एक यादृच्छया निकाली जाती है। पूर्ण वर्ग अंक मिलने की प्रायिकता निकालें।

हल:

1 से 20 तक पूर्ण वर्ग 1, 4, 9 और 16 हैं। ध्यान दीजिए कि 1 भी पूर्ण वर्ग है। तो अनुकूल पर्चियाँ 4 हैं।

कुल पर्चियाँ 20 हैं, इसलिए प्रायिकता $=4/20=\mathbf{1/5}$।

खंड ब: दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 31 (5 अंक)

ग्राफ विधि से $x+y=6$ और $x-y=2$ हल करें। दोनों रेखाओं तथा y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष और क्षेत्रफल भी निकालें।

हल:

दोनों समीकरणों को y के रूप में लिखते हैं: $y=6-x$ और $y=x-2$। हर रेखा के तीन बिंदु निकालकर सारणी बनाते हैं:

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके दोनों रेखाएँ खींचते हैं।

दोनों रेखाएँ (4, 2) पर कटती हैं, इसलिए x=4 और y=2।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $4+2=6$ और $4-2=2$, दोनों समीकरण ठीक बैठते हैं।

रेखाएँ y-अक्ष को (0, 6) और (0, −2) पर काटती हैं। इसलिए त्रिभुज के शीर्ष (0, 6), (0, −2), (4, 2) हैं।

y-अक्ष पर पड़े आधार की लंबाई $6-(-2)=8$ इकाई है। तीसरे शीर्ष (4, 2) की y-अक्ष से दूरी 4 इकाई है, यही ऊँचाई है।

$$\text{क्षेत्रफल}=\frac12\times8\times4=16$$

तो त्रिभुज का क्षेत्रफल 16 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 32 (5 अंक)

एक बस 240 किमी की दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि चाल 20 किमी/घंटा अधिक होती, तो यात्रा में 1 घंटा कम लगता। बस की मूल चाल और यात्रा का मूल समय निकालें।

हल:

मान लेते हैं कि बस की मूल चाल x किमी/घंटा है, जहाँ $x\gt0$।

समय = दूरी ÷ चाल, इसलिए मूल समय $240/x$ घंटे और बढ़ी हुई चाल पर समय $240/(x+20)$ घंटे होगा।

बढ़ी हुई चाल पर यात्रा में 1 घंटा कम लगता है, इसलिए

$$\frac{240}{x}-\frac{240}{x+20}=1$$

$$\frac{240(x+20)-240x}{x(x+20)}=1$$

$$4800=x^2+20x\ \Rightarrow\ x^2+20x-4800=0$$

$$x^2+80x-60x-4800=0$$

$$(x+80)(x-60)=0$$

इससे x=−80 या 60 मिलता है। चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए मूल चाल 60 किमी/घंटा है।

मूल समय $240/60=4$ घंटे है, यानी मूल समय 4 घंटे।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: 80 किमी/घंटा की चाल से $240/80=3$ घंटे लगते हैं, जो सचमुच 1 घंटा कम है।

प्रश्न 33 (5 अंक)

एक सभागार की पहली पंक्ति में 18 सीटें हैं। हर अगली पंक्ति में पिछली पंक्ति से 2 सीटें अधिक हैं। कुल 480 सीटें हों तो पंक्तियों की संख्या और अंतिम पंक्ति में सीटों की संख्या निकालें।

हल:

पंक्तियों में सीटें 18, 20, 22, … हैं। यह समांतर श्रेढ़ी है, जिसमें $a=18$ और $d=2$।

पंक्तियों की संख्या n मानिए। तब कुल सीटें इस श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग होंगी:

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$

$$480=\frac n2[36+2(n-1)]=n(n+17)$$

$$n^2+17n-480=0$$

$$n^2+32n-15n-480=0\ \Rightarrow\ (n+32)(n-15)=0$$

इससे n=−32 या 15 आता है। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए 15 पंक्तियाँ हैं।

अंतिम, यानी पंद्रहवीं पंक्ति में सीटें

$$a_{15}=18+14\times2=46$$

इसलिए अंतिम पंक्ति में 46 सीटें हैं। जाँचने के लिए योग फिर से निकालिए: $15(18+46)/2=480$, जो दी गई कुल संख्या से मेल खाता है।

प्रश्न 34 (5 अंक)

सिद्ध करें: किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा यदि शेष दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, तो वह उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। क्षेत्रफलों की सहायता से प्रमाण दें।

हल:

दिया है: त्रिभुज ABC में D भुजा AB पर और E भुजा AC पर है, तथा $DE\parallel BC$।

सिद्ध करना है: $AD/DB=AE/EC$।

रचना: BE और CD को मिलाइए।

प्रमाण: त्रिभुज ADE और BDE को देखिए। इनके आधार AD और DB एक ही रेखा AB पर हैं और दोनों का शीर्ष E है, इसलिए दोनों की ऊँचाई एक ही है। एक ही ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनके आधारों के अनुपात में होते हैं:

$$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(BDE)}=\frac{AD}{DB}\quad(1)$$

इसी तरह त्रिभुज ADE और CDE के आधार AE और EC रेखा AC पर हैं और दोनों का शीर्ष D है। इसलिए

$$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(CDE)}=\frac{AE}{EC}\quad(2)$$

अब त्रिभुज BDE और CDE एक ही आधार DE पर हैं और समांतर रेखाओं DE तथा BC के बीच बने हैं। ऐसे त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

तो (1) और (2) के बाएँ पक्ष बराबर हुए, इसलिए दाएँ पक्ष भी बराबर होंगे: $AD/DB=AE/EC$। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 35 (5 अंक)

3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचें। केंद्र O से 5 सेमी दूर बिंदु P लें। P से वृत्त पर दोनों स्पर्शरेखाओं की रचना करें। रचना का औचित्य लिखें और प्रत्येक स्पर्शखंड की लंबाई निकालें।

हल:

रचना:

1. O को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं। O से 5 सेमी दूर बिंदु P लेकर OP मिलाते हैं।
2. OP का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु M प्राप्त करते हैं।
3. M को केंद्र और MO को त्रिज्या लेकर एक सहायक वृत्त खींचते हैं। यह O और P से होकर जाता है और मूल वृत्त को T और U पर काटता है।
4. PT और PU मिलाते हैं। यही दोनों अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

औचित्य: सहायक वृत्त का व्यास OP है, इसलिए अर्धवृत्त में बने कोण $\angle OTP$ और $\angle OUP$ दोनों 90° के हैं।

यानी $PT\perp OT$ और $PU\perp OU$। त्रिज्या के सिरे पर उसके लंबवत खींची गई रेखा स्पर्शरेखा होती है, इसलिए PT और PU स्पर्शरेखाएँ हैं।

लंबाई: समकोण त्रिभुज OTP में

$$PT^2=OP^2-OT^2=5^2-3^2=16$$

तो PT=4 सेमी। एक ही बाह्य बिंदु से खींचे गए स्पर्शखंड बराबर होते हैं, इसलिए PT=PU=4 सेमी।

प्रश्न 36 (5 अंक)

एक 20 मीटर ऊँचे भवन की छत से सामने स्थित मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° और आधार का अवनमन कोण 45° है। भवन और मीनार एक ही समतल भूमि पर लंबवत हैं। उनके बीच की क्षैतिज दूरी और मीनार की ऊँचाई निकालें।

हल:

भवन को AB मान लेते हैं, जिसकी ऊँचाई 20 मीटर है। मीनार CD की ऊँचाई h मीटर और दोनों के बीच की दूरी BD=x मीटर मानते हैं। A से मीनार तक एक क्षैतिज रेखा AE खींचते हैं। तब DE=AB=20 मीटर और AE=BD=x।

आधार का अवनमन कोण 45° है, इसलिए $\angle EAD=45^\circ$। समकोण त्रिभुज AED में

$$\tan45^\circ=\frac{DE}{AE}=\frac{20}{x}$$

इससे x=20 मीटर।

अब शीर्ष C का उन्नयन कोण 30° है। समकोण त्रिभुज AEC में $CE=h-20$, इसलिए

$$\tan30^\circ=\frac{CE}{AE}=\frac{h-20}{20}$$

$$\frac1{\sqrt3}=\frac{h-20}{20}\ \Rightarrow\ h=20+\frac{20}{\sqrt3}$$

तो मीनार की ऊँचाई $20+20/\sqrt3$ मीटर है, जो लगभग 31.55 मीटर होती है।

प्रश्न 37 (5 अंक)

एक बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है। उसकी आंतरिक ऊपरी और निचली त्रिज्याएँ क्रमशः 10 और 4 सेमी तथा ऊँचाई 8 सेमी हैं। उसकी क्षमता तथा भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। मोटाई नगण्य मानें और उत्तर π के रूप में दें।

हल:

बड़ी त्रिज्या R=10 सेमी, छोटी त्रिज्या r=4 सेमी और ऊँचाई h=8 सेमी है।

पहले तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं:

$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\text{ सेमी}$$

बर्तन की क्षमता उसके भीतर का आयतन है:

$$V=\frac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$$

$$=\frac13\pi\times8(100+16+40)=\frac83\pi\times156=416\pi$$

तो क्षमता $416\pi$ घन सेमी है।

अब भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:

$$S=\pi(R+r)l=\pi(10+4)\times10=140\pi$$

इसलिए भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $140\pi$ वर्ग सेमी है। इसमें तली का क्षेत्रफल नहीं जोड़ा, क्योंकि प्रश्न में केवल वक्र सतह पूछी गई है।

प्रश्न 38 (5 अंक)

निम्न वितरण का माध्य और बहुलक निकालें। वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमा अगले वर्ग में शामिल है।

हल:

माध्य के लिए सारणी:

$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{980}{40}=24.5$$

तो माध्य 24.5 है।

बहुलक: सबसे बड़ी बारंबारता 16 है, इसलिए बहुलक वर्ग 20–30 है।

सूत्र में लगने वाले मान हैं: $l=20$, $h=10$, $f_1=16$, पिछले वर्ग की बारंबारता $f_0=8$ और अगले वर्ग की बारंबारता $f_2=10$।

$$Z=l+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\,h$$

$$=20+\frac{16-8}{32-8-10}\times10=20+\frac{80}{14}=\frac{180}{7}$$

इसलिए बहुलक लगभग 25.71 है।