अभ्यास सेट 4: उत्तर और हल

अभ्यास सेट 4: उत्तर और हल

पिछले पृष्ठ का प्रश्न पत्र पहले खुद पूरा कीजिए, उसके बाद ही यहाँ उत्तर मिलाइए। खंड अ के हर प्रश्न का सही विकल्प उसके कारण के साथ दिया है, और खंड ब के सभी 38 लिखित प्रश्नों का हल चरण-दर-चरण लिखा है।

अंक कैसे जोड़ें: खंड अ में अपने पहले 50 उत्तरों में से सही उत्तर गिनिए। लिखित प्रश्नों में अपना हल यहाँ के चरणों से मिलाइए। सूत्र, गणना और अंतिम उत्तर, तीनों सही हों, तभी पूरे अंक दीजिए।

खंड अ: उत्तर कुंजी

खंड अ: प्रश्न 1–20 के उत्तर और कारण

1. (B) 10
भाग देने पर शेष हमेशा भाजक से छोटा होता है, यानी $0\le r\lt11$। तो r का सबसे बड़ा पूर्णांक मान 10 हो सकता है।

2. (B) 360
पहले दोनों के अभाज्य गुणनखंड लिखिए: $24=2^3\times3$ और $90=2\times3^2\times5$। ल.स. में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात ली जाती है, इसलिए ल.स. $=8\times9\times5=360$।

3. (C) 40
दो संख्याओं का गुणनफल उनके म.स. और ल.स. के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए दूसरी संख्या $=\frac{8\times120}{24}=40$।

4. (B) असांत आवर्ती
भिन्न पहले से सरल रूप में है। इसके हर $30=2\times3\times5$ में 2 और 5 के अलावा 3 भी है, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

5. (D) $\sqrt{0.09}$
$\sqrt{0.09}=0.3=\frac{3}{10}$, जो साफ़ तौर पर परिमेय है। बाकी तीनों में 7, 11 और 13 पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए उनके वर्गमूल अपरिमेय हैं।

6. (D) $2^2\times3^3\times5$
540 को $54\times10$ लिखकर तोड़िए: $540=(2\times3^3)(2\times5)=2^2\times3^3\times5$।

7. (B) सम
लगातार दो पूर्णांकों में से एक सम होता ही है। इसलिए उनका गुणनफल हमेशा 2 से कटेगा, यानी सम होगा।

8. (D) 4
बहुपद की घात x की वह सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ वह $x^4$ है, इसलिए घात 4 है।

9. (D) 5
विकल्प रखकर देखिए: $p(5)=25-60+35=0$। मान शून्य आया, तो 5 एक शून्यक है।

10. (C) $-\frac65$
$ax^2+bx+c$ के शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ होता है। यहाँ $a=5$ और $b=6$ है, तो योग $-\frac{6}{5}$ है।

11. (D) $-\frac73$
शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है। यहाँ $c=-7$ और $a=3$ है, तो गुणनफल $-\frac{7}{3}$ है।

12. (C) $x^2+5x$
शून्यक 0 और −5 हैं, तो गुणनखंड $x$ और $(x+5)$ होंगे। इनका गुणनफल $x(x+5)=x^2+5x$ है।

13. (D) 0
$x=-1$ रखने पर $p(-1)=(-1)^3+1=0$ आता है। इसलिए $x+1$ से भाग देने पर शेष 0 बचता है।

14. (A) 1
ग्राफ x-अक्ष से जिस बिंदु पर मिलता है, उसका x-निर्देशांक एक वास्तविक शून्यक होता है। यहाँ ऐसा बिंदु केवल एक है, इसलिए भिन्न वास्तविक शून्यक भी एक ही है।

15. (A) (4, 2)
पहले समीकरण में से दूसरा घटाइए: $4y=8$, तो $y=2$। अब $x=y+2=4$ मिलता है।

16. (C) अलग समांतर
गुणांकों के अनुपात देखिए: $\frac{6}{2}=\frac{9}{3}=3$, लेकिन $\frac{15}{7}\ne3$। x और y के अनुपात बराबर हैं पर अचर पदों का नहीं, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कहीं नहीं मिलतीं।

17. (C) 4
$y=0$ रखने पर $3x=12$ बचता है, तो $x=4$।

18. (B) 13
छोटी संख्या x मान लीजिए, तो बड़ी $3x$ होगी। योग $4x=52$ से $x=13$ मिलता है।

19. (B) 2
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए: $\frac{k}{3}=\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$। इससे $k=2$ आता है।

20. (D) 5
वयस्क टिकट x मान लीजिए, तो बाल टिकट $10-x$ होंगे। $15x+10(10-x)=125$ से $5x=25$, यानी $x=5$।

खंड अ: प्रश्न 21–40 के उत्तर और कारण

21. (A) (4, −3)
दोनों समीकरण जोड़ने पर $2x=8$, तो $x=4$। फिर $y=1-4=-3$।

22. (C) 6, 7
ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 42 और योग 13 हो। वे 6 और 7 हैं, इसलिए $(x-6)(x-7)=0$ और मूल 6 और 7 हैं।

23. (C) 0
$D=b^2-4ac=(-6)^2-4(9)(1)=36-36=0$। विवेचक शून्य है, इसलिए दोनों मूल बराबर होंगे।

24. (D) 0
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग शून्य या धनात्मक होता है, यानी $x^2\ge0$। इसलिए $x^2=-9$ हो ही नहीं सकता और कोई वास्तविक मूल नहीं है।

25. (A) 64
बराबर मूलों के लिए विवेचक शून्य होना चाहिए: $D=256-4c=0$। इससे $c=64$ मिलता है।

26. (A) 0, 4
$5x$ को बाहर निकालिए: $5x(x-4)=0$। तो $x=0$ या $x=4$।

27. (C) $\frac32$
यहाँ $a=2$ और $c=3$ है। मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$ है।

28. (A) 9
$x^2=81$ से $x=\pm9$ आता है। संख्या धनात्मक बताई गई है, इसलिए $x=9$ लेंगे।

29. (D) 7
सार्व अंतर अगले पद में से पिछला पद घटाकर मिलता है: $d=22-15=7$।

30. (C) 59
$a_n=a+(n-1)d$ में $a=4$, $d=5$ और $n=12$ रखिए: $a_{12}=4+11\times5=59$।

31. (A) 11वाँ
यहाँ $a=50$ और $d=-5$ है। $50-5(n-1)=0$ से $n-1=10$, यानी $n=11$। तो शून्य 11वाँ पद है।

32. (D) 240
पहली 15 धनात्मक सम संख्याएँ 2 से 30 तक हैं। उनका योग $S=\frac{15(2+30)}{2}=240$।

33. (B) 13
AP में तीन लगातार पदों का बीच वाला पद बाकी दोनों का औसत होता है। इसलिए तीसरा पद $\frac{9+17}{2}=13$।

34. (C) 3
अगले पद में से पिछला घटाइए: $a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+2]-(3n+2)=3$। $a_n=pn+q$ जैसे रूप में n का गुणांक ही सार्व अंतर होता है।

35. (C) 6, 6, 6, 6
जिस क्रम में हर पद एक जैसा है, वहाँ अंतर $6-6=0$ आता है।

36. (D) 3:4
क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है, इसलिए भुजाओं का अनुपात $\sqrt{9}:\sqrt{16}=3:4$ है। संगत ऊँचाइयाँ भी इसी अनुपात में रहती हैं।

37. (C) 21 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से दूसरी भुजा $b=\sqrt{29^2-20^2}=\sqrt{441}=21$ सेमी।

38. (D) 15 सेमी
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$, यानी $\frac{2}{5}=\frac{6}{EC}$। तो $EC=15$ सेमी।

39. (A) 100
क्षेत्रफलों का अनुपात $4^2:5^2=16:25$ होगा। $\frac{64}{A}=\frac{16}{25}$ से $A=\frac{64\times25}{16}=100$।

40. (A) समरूप
हर समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण 60° होते हैं, इसलिए AA कसौटी से कोई भी दो समबाहु त्रिभुज समरूप हैं। उनकी भुजाएँ अलग-अलग हो सकती हैं, तो सर्वांगसम होना ज़रूरी नहीं।

खंड अ: प्रश्न 41–60 के उत्तर और कारण

41. (A) 120 वर्ग सेमी
पहले दूसरी लंब भुजा निकालिए: $\sqrt{26^2-24^2}=10$ सेमी। दोनों लंब भुजाएँ आधार और ऊँचाई का काम करती हैं, तो क्षेत्रफल $=\frac{24\times10}{2}=120$ वर्ग सेमी।

42. (C) समान अनुपात में
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार ऐसी रेखा दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। यह अनुपात 1:1 ही हो, ऐसा ज़रूरी नहीं।

43. (A) 8 इकाई
मूलबिंदु से दूरी $\sqrt{(-8)^2+0^2}=8$ इकाई है। दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती।

44. (D) 10 इकाई
x में अंतर $7-1=6$ और y में अंतर $6-(-2)=8$ है। दूरी $\sqrt{6^2+8^2}=10$ इकाई।

45. (D) (−2, 2)
मध्यबिंदु के लिए दोनों निर्देशांकों का औसत लीजिए: $\left(\frac{-6+2}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=(-2,2)$।

46. (C) (8, 4)
विभाजन सूत्र में $m:n=3:1$ रखिए: $P=\left(\frac{3\times10+2}{4},\frac{3\times5+1}{4}\right)=(8,4)$।

47. (A) 15 वर्ग इकाई
दो शीर्ष x-अक्ष पर हैं और एक y-अक्ष पर, यानी समकोण मूलबिंदु पर बनता है। आधार 10 और ऊँचाई 3 है, तो क्षेत्रफल $\frac{10\times3}{2}=15$ वर्ग इकाई।

48. (D) चतुर्थ
x-निर्देशांक धनात्मक है और y-निर्देशांक ऋणात्मक। ऐसा बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में होता है।

49. (A) 8, −2
दोनों बिंदुओं का x बराबर है, इसलिए दूरी केवल y का अंतर है: $|k-3|=5$। तो $k-3=\pm5$, यानी $k=8$ या $k=-2$।

50. (C) $\frac12$
$\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ और $\cos60^\circ=\frac{1}{2}$ है। वर्ग करके घटाने पर $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$।

51. (D) $\frac54$
$\tan A=\frac{3}{4}$ है, तो लंब $3k$ और आधार $4k$ मान लीजिए। कर्ण $5k$ आएगा, इसलिए $\sec A=\frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}}=\frac{5}{4}$।

52. (D) 2
$\cot45^\circ=1$ और $\cos0^\circ=1$ है। दोनों का योग 2 है।

53. (D) 1
यह सबसे बुनियादी सर्वसमिका है: हर कोण A के लिए $\sin^2 A+\cos^2 A=1$।

54. (C) $\cot55^\circ$
पूरक कोणों में $\tan A=\cot(90^\circ-A)$ होता है। $90^\circ-35^\circ=55^\circ$, इसलिए $\tan35^\circ=\cot55^\circ$।

55. (A) 30°
$\cosec A=2$ है, तो $\sin A=\frac{1}{2}$। यह मान 30° पर आता है।

56. (B) −1
$\tan^2 60^\circ=3$ और $\sec^2 60^\circ=4$ है। अंतर $3-4=-1$।

57. (C) 30°
छाया आधार है और खंभा लंब, तो $\tan\theta=\frac{8}{8\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$। यह मान 30° का है।

58. (B) 14 मीटर
$\tan45^\circ=\frac{h}{14}=1$, इसलिए $h=14$ मीटर।

59. (B) 4 मीटर
सीढ़ी कर्ण है और दीवार से पाँव की दूरी 60° कोण की संलग्न भुजा। तो दूरी $=8\cos60^\circ=8\times\frac{1}{2}=4$ मीटर।

60. (C) 20 मीटर
डोर कर्ण है और ऊँचाई 30° के सामने वाली भुजा। तो ऊँचाई $=40\sin30^\circ=20$ मीटर।

खंड अ: प्रश्न 61–80 के उत्तर और कारण

61. (D) 40°
छत की क्षैतिज रेखा और भूमि समांतर हैं, और दृष्टि रेखा दोनों को काटती है। एकांतर कोण बराबर होते हैं, इसलिए उन्नयन कोण भी 40° ही होगा।

62. (C) घटता है
$\tan\theta=\frac{h}{d}$ में h वही रहता है और d बढ़ता जाता है, तो $\tan\theta$ घटता है। इसलिए कोण θ भी छोटा होता जाता है।

63. (B) छेदक
जो रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटे, वह छेदक है। स्पर्शरेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।

64. (D) 5
एक ही बाहरी बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। $4x=20$ से $x=5$।

65. (D) 12 सेमी
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए समकोण त्रिभुज बनता है। स्पर्शखंड $=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$ सेमी।

66. (C) 40°
चतुर्भुज के दो कोण (स्पर्श बिंदुओं पर) 90° के हैं, इसलिए बाकी दो कोण मिलकर 180° होते हैं। स्पर्शरेखाओं के बीच कोण $180^\circ-140^\circ=40^\circ$।

67. (B) 7 सेमी
वृत्त के परिगत चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं: $AB+CD=BC+AD$। तो $AD=5+10-8=7$ सेमी।

68. (C) 26 सेमी
वृत्त के दोनों ओर खिंची दो समांतर स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी ठीक व्यास के बराबर होती है। तो व्यास 26 सेमी है।

69. (B) 7
अनुपात के दोनों पद जोड़िए: $5+2=7$। इसलिए सहायक किरण पर 7 बराबर भाग लगाए जाते हैं।

70. (C) 12 सेमी
नई भुजा पुरानी भुजा और स्केल गुणक का गुणनफल है: $9\times\frac{4}{3}=12$ सेमी।

71. (D) सर्वांगसम
स्केल गुणक 1 का मतलब है कि हर भुजा पहले जितनी ही रहेगी। ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

72. (B) 6 सेमी
OP व्यास है और त्रिज्या व्यास की आधी होती है: $\frac{12}{2}=6$ सेमी।

73. (C) 4 सेमी
पूरे AB के $3+2=5$ भाग हैं, जिनमें से PB के हिस्से 2 भाग आते हैं। तो $PB=10\times\frac{2}{5}=4$ सेमी।

74. (B) 132 सेमी
परिधि $C=2\pi r=2\times\frac{22}{7}\times21=132$ सेमी।

75. (D) $32\pi$ वर्ग सेमी
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल पूरे वृत्त का आधा है: $\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi\times64}{2}=32\pi$ वर्ग सेमी।

76. (C) $25\pi$ वर्ग सेमी
90° का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का चौथाई हिस्सा है: $\frac{90}{360}\times\pi\times100=25\pi$ वर्ग सेमी।

77. (B) $10\pi$ सेमी
चाप की लंबाई $=\frac{150}{360}\times2\pi\times12=10\pi$ सेमी।

78. (B) 5:7
क्षेत्रफल $\pi r^2$ है, यानी क्षेत्रफलों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात का वर्ग होता है। वर्गमूल लेने पर त्रिज्याओं का अनुपात 5:7 आता है।

79. (A) $33\pi$ वर्ग सेमी
वलय का क्षेत्रफल बड़े वृत्त में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटाकर मिलता है: $\pi(7^2-4^2)=\pi(49-16)=33\pi$ वर्ग सेमी।

80. (C) 144°
पूरा वृत्त 360° का है, तो उसके 2/5 भाग का कोण $\frac{2}{5}\times360^\circ=144^\circ$।

खंड अ: प्रश्न 81–100 के उत्तर और कारण

81. (D) 216 घन सेमी
घन का आयतन $a^3=6^3=216$ घन सेमी।

82. (D) $20\pi$ घन सेमी
बेलन का आयतन $\pi r^2h=\pi\times2^2\times5=\pi\times4\times5=20\pi$ घन सेमी।

83. (C) 15 सेमी
तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$ सेमी।

84. (C) $\frac{32\pi}{3}$ घन सेमी
गोले का आयतन $\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\times2^3=\frac{32\pi}{3}$ घन सेमी।

85. (A) $75\pi$ वर्ग सेमी
ठोस अर्धगोले में वक्र सतह $2\pi r^2$ और ऊपर का सपाट वृत्त $\pi r^2$ दोनों आते हैं, यानी कुल $3\pi r^2=3\pi\times25=75\pi$ वर्ग सेमी।

86. (D) 800 लीटर
1 घन मीटर में 1000 लीटर होते हैं। तो $0.8\times1000=800$ लीटर।

87. (A) एक चौथाई
पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2$ में त्रिज्या का वर्ग है। त्रिज्या आधी करने पर क्षेत्रफल $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ गुना, यानी एक चौथाई रह जाता है।

88. (C) 12
चारों संख्याओं का योग 48 है, तो माध्य $\frac{48}{4}=12$।

89. (B) 6
पहले आँकड़ों को क्रम में लगाइए: 2, 4, 6, 7, 9। पाँच मानों में बीच वाला तीसरा मान 6 है।

90. (B) 8
बहुलक वह मान है जो सबसे ज़्यादा बार आए। यहाँ 8 तीन बार आया है।

91. (C) 70
वर्ग चिह्न दोनों वर्ग सीमाओं का औसत होता है: $\frac{60+80}{2}=70$।

92. (A) 30
सभी बारंबारताएँ जोड़िए: $7+9+6+8=30$।

93. (A) 17
आनुभविक संबंध है: बहुलक $=3\times$ माध्यिका $-\,2\times$ माध्य। $20=3(18)-2\bar x$ से $2\bar x=34$, यानी माध्य 17।

94. (C) कभी घटती नहीं
‘से कम’ तोरण में हर अगली सीमा तक पिछली सारी बारंबारताएँ जुड़ती जाती हैं। बारंबारता कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए संचयी बारंबारता बढ़ती है या वहीं रुकती है, घटती कभी नहीं।

95. (C) $\frac23$
पासे पर 5 से कम अंक 1, 2, 3 और 4 हैं, यानी 6 में से 4 परिणाम अनुकूल। प्रायिकता $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$।

96. (A) $\frac14$
चार परिणाम HH, HT, TH, TT बराबर संभावना वाले हैं। दोनों पट केवल TT में आता है, इसलिए प्रायिकता $\frac{1}{4}$।

97. (C) $\frac1{13}$
गड्डी में 4 इक्के होते हैं, तो प्रायिकता $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$।

98. (B) 0.65
घटना के होने और न होने की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। तो न होने की प्रायिकता $1-0.35=0.65$।

99. (B) $\frac25$
कुल गेंदें $8+12=20$ हैं, जिनमें 8 पीली हैं। प्रायिकता $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$।

100. (B) $\frac15$
1 से 15 तक 5 के गुणज 5, 10 और 15 हैं, यानी 3 अनुकूल परिणाम। प्रायिकता $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 1 (2 अंक)

दो घंटियाँ क्रमशः 18 मिनट और 24 मिनट के अंतर पर बजती हैं। सुबह 8 बजे साथ बजने के बाद वे पहली बार फिर कब साथ बजेंगी?

हल:

दोनों घंटियाँ फिर साथ तभी बजेंगी जब बीता हुआ समय 18 और 24 दोनों का गुणज हो। इसलिए हमें 18 और 24 का ल.स. चाहिए।

$18=2\times3^2$ और $24=2^3\times3$ है। हर अभाज्य की बड़ी घात लेने पर ल.स. $=2^3\times3^2=72$ मिनट, यानी 1 घंटा 12 मिनट।

8 बजे में 1 घंटा 12 मिनट जोड़िए। दोनों घंटियाँ सुबह 9 बजकर 12 मिनट पर फिर साथ बजेंगी।

प्रश्न 2 (2 अंक)

$\frac{23}{2^3\times5^2}$ का दशमलव रूप निकालें और दशमलव स्थानों की संख्या बताएँ।

हल:

हर $=2^3\times5^2=8\times25=200$ है। हर को 1000 बनाने के लिए अंश और हर दोनों को 5 से गुणा कीजिए:

$$\frac{23}{200}=\frac{115}{1000}=0.115$$

इसलिए दशमलव रूप 0.115 है और इसमें तीन दशमलव स्थान हैं।

प्रश्न 3 (2 अंक)

शून्यकों का योग −3 और गुणनफल −10 है। ऐसा एक द्विघात बहुपद लिखें और उसके शून्यक निकालें।

हल:

जिस द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल पता हो, उसे $x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}$ के रूप में लिखते हैं।

योग $-3$ और गुणनफल $-10$ रखने पर $p(x)=x^2+3x-10$ मिलता है। इसके गुणनखंड $(x+5)(x-2)$ हैं।

इसलिए बहुपद $x^2+3x-10$ है और इसके शून्यक −5 और 2 हैं।

प्रश्न 4 (2 अंक)

यदि $x^2-9x+k$ का एक शून्यक दूसरे का दुगुना है, तो दोनों शून्यक और k निकालें।

हल:

मान लीजिए छोटा शून्यक α है, तो दूसरा 2α होगा। $x^2-9x+k$ में शून्यकों का योग 9 है, इसलिए $3\alpha=9$ और $\alpha=3$।

दूसरा शून्यक 6 हुआ। शून्यकों का गुणनफल k के बराबर है, तो $k=3\times6=18$।

इस तरह शून्यक 3 और 6 हैं तथा k=18।

प्रश्न 5 (2 अंक)

$2x+5y=19$ और $2x-3y=-5$ हल करें।

हल:

पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर x वाले पद कट जाते हैं और $8y=24$ बचता है। तो $y=3$।

अब $y=3$ को दूसरे समीकरण में रखिए: $2x-9=-5$, यानी $2x=4$ और $x=2$।

इसलिए x=2, y=3।

प्रश्न 6 (2 अंक)

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। दहाई का अंक इकाई के अंक से 3 अधिक है। संख्या निकालें।

हल:

दहाई का अंक x और इकाई का अंक y मान लीजिए। प्रश्न से दो समीकरण बनते हैं: $x+y=9$ और $x-y=3$।

दोनों को जोड़ने पर $2x=12$, तो $x=6$ और फिर $y=3$।

संख्या $10x+y=60+3=\mathbf{63}$ है।

प्रश्न 7 (2 अंक)

$4x^2-12x+9=0$ हल करें और मूलों की प्रकृति बताएँ।

हल:

बायाँ पक्ष एक पूर्ण वर्ग है: $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$।

तो $(2x-3)^2=0$ से $x=3/2$ मिलता है, और यही मान दोनों बार आता है। विवेचक से भी यही दिखता है: $D=144-144=0$।

दोनों मूल वास्तविक और बराबर हैं, प्रत्येक $3/2$ है।

प्रश्न 8 (2 अंक)

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 90 है। द्विघात समीकरण बनाकर संख्याएँ निकालें।

हल:

छोटी संख्या x मान लीजिए, तो अगली संख्या $x+1$ होगी। गुणनफल 90 है, इसलिए $x(x+1)=90$।

$$x^2+x-90=0\ \Rightarrow\ (x+10)(x-9)=0$$

इससे $x=-10$ या $x=9$ आता है। संख्याएँ धनात्मक चाहिए, इसलिए $x=9$ लेंगे।

तो संख्याएँ 9 और 10 हैं।

प्रश्न 9 (2 अंक)

समांतर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद 22 और नौवाँ पद 38 है। प्रथम पद और सार्व अंतर निकालें।

हल:

$a_n=a+(n-1)d$ से पाँचवाँ पद $a+4d=22$ और नौवाँ पद $a+8d=38$ है।

दूसरे में से पहला घटाने पर $4d=16$, यानी $d=4$।

अब $a+4(4)=22$, तो $a+16=22$ और $a=6$।

प्रथम पद 6 और सार्व अंतर 4 है।

प्रश्न 10 (2 अंक)

8, 11, 14, … के प्रथम 16 पदों का योग निकालें।

हल:

यहाँ $a=8$, $d=11-8=3$ और $n=16$ है। योग का सूत्र लगाइए:

$$S_{16}=\frac{16}{2}[2(8)+15(3)]=8(16+45)=488$$

तो प्रथम 16 पदों का योग 488 है।

प्रश्न 11 (2 अंक)

त्रिभुज ABC में D और E क्रमशः AB और AC पर हैं तथा DE, BC के समांतर है। AD=3, AB=12 और BC=20 सेमी हो तो DE निकालें।

हल:

DE, BC के समांतर है, इसलिए $\triangle ADE\sim\triangle ABC$। समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं, तो $DE/BC=AD/AB$।

$$\frac{DE}{20}=\frac3{12}=\frac14$$

$DE=\frac{20}{4}$, इसलिए DE=5 सेमी।

प्रश्न 12 (2 अंक)

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 9 और 12 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अंतर 63 वर्ग सेमी है। दोनों क्षेत्रफल निकालें।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है: $9^2:12^2=81:144=9:16$। इसलिए क्षेत्रफल 9k और 16k मान लीजिए।

अंतर दिया है: $16k-9k=63$, यानी $7k=63$ और $k=9$।

छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 81 वर्ग सेमी और बड़े का 144 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 13 (2 अंक)

A(1, 1), B(7, 1), C(7, 9) से बने त्रिभुज का परिमाप निकालें।

हल:

A और B का y-निर्देशांक एक ही (1) है, इसलिए AB क्षैतिज है और $AB=7-1=6$ इकाई। B और C का x-निर्देशांक एक ही (7) है, तो $BC=9-1=8$ इकाई।

तीसरी भुजा दूरी सूत्र से निकालिए:

$$AC=\sqrt{(7-1)^2+(9-1)^2}=\sqrt{36+64}=10$$

परिमाप $=6+8+10=\mathbf{24}$ इकाई।

प्रश्न 14 (2 अंक)

यदि (4, −1), A(1, 3) और B का मध्यबिंदु है, तो B के निर्देशांक निकालें।

हल:

B के निर्देशांक (x, y) मान लीजिए। (4, −1) मध्यबिंदु है, इसलिए मध्यबिंदु सूत्र से

$$(1+x)/2=4,\qquad(3+y)/2=-1$$

पहले समीकरण से $1+x=8$, यानी $x=7$। दूसरे से $3+y=-2$, यानी $y=-5$। तो B(7, −5) है।

प्रश्न 15 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए $\sin A=7/25$ है। $\cos A$ और $\cot A$ निकालें।

हल:

$\sin A=\frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}=\frac{7}{25}$ है, इसलिए लंब 7k और कर्ण 25k मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय से आधार $=\sqrt{625k^2-49k^2}=\sqrt{576k^2}=24k$।

अब $\cos A=\frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$ और $\cot A=\frac{\text{आधार}}{\text{लंब}}$ है। इसलिए cos A=24/25 और cot A=24/7।

प्रश्न 16 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए सिद्ध करें: $\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$।

हल:

बाएँ पक्ष के अंश और हर, दोनों को $1-\cos A$ से गुणा कीजिए:

$$\frac{\sin A(1-\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)}=\frac{\sin A(1-\cos A)}{1-\cos^2 A}$$

हर में $1-\cos^2 A=\sin^2 A$ रखने पर

$$=\frac{\sin A(1-\cos A)}{\sin^2 A}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$$

यही दायाँ पक्ष है। इस तरह सिद्ध हो गया।

प्रश्न 17 (2 अंक)

भूमि से 16 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष को एक बिंदु से 60° उन्नयन पर देखते हैं। बिंदु की आधार से दूरी निकालें।

हल:

मान लीजिए बिंदु इमारत के आधार से x मीटर दूर है। इमारत की ऊँचाई लंब है और दूरी आधार, इसलिए tan लेंगे:

$$\tan60^\circ=16/x\ \Rightarrow\ x=16/\sqrt3=16\sqrt3/3$$

तो दूरी $16\sqrt3/3$ मीटर है।

प्रश्न 18 (2 अंक)

1.5 मीटर ऊँचाई पर आँखों वाला व्यक्ति एक खंभे से 6 मीटर दूर है। शीर्ष का उन्नयन कोण 30° हो तो खंभे की ऊँचाई निकालें।

हल:

खंभे की ऊँचाई h मीटर मान लीजिए। उन्नयन कोण आँख के स्तर से नापा जाता है, इसलिए त्रिभुज में लंब पूरी ऊँचाई नहीं, बल्कि $h-1.5$ मीटर होगा।

$$\tan30^\circ=\frac{h-1.5}{6}\ \Rightarrow\ h-1.5=6/\sqrt3=2\sqrt3$$

अब आँख की ऊँचाई वापस जोड़िए: ऊँचाई $1.5+2\sqrt3$ मीटर है।

प्रश्न 19 (2 अंक)

P से वृत्त पर PA और PB स्पर्शखंड हैं। PA=7x−1 और PB=4x+8 सेमी हो तो x तथा PA निकालें।

हल:

एक ही बाहरी बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं, इसलिए $PA=PB$।

$7x-1=4x+8$ से $3x=9$, यानी $x=3$।

अब $PA=7(3)-1=20$ सेमी। तो x=3 और PA=20 सेमी।

प्रश्न 20 (2 अंक)

केंद्र O वाले वृत्त पर P से स्पर्शरेखाएँ PA और PB खींची हैं। ∠APB=90° है। ∠AOB निकालें और चतुर्भुज OAPB के चारों कोण लिखें।

हल:

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$। चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है:

$$\angle AOB=360^\circ-(90^\circ+90^\circ+90^\circ)=90^\circ$$

इस तरह ∠AOB=90° है और चतुर्भुज OAPB के चारों कोण 90° हैं।

प्रश्न 21 (2 अंक)

7 सेमी के रेखाखंड को 2:5 में बाँटने की रचना लिखें।

हल:

1. 7 सेमी का रेखाखंड AB खींचिए। A से AB के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण AX खींचिए।
2. AX पर बराबर दूरी पर सात बिंदु $A_1$ से $A_7$ तक लगाइए, क्योंकि $2+5=7$।
3. $A_7$ को B से मिलाइए। $A_2$ से $A_7B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो AB को P पर काटे।
4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से AP:PB=2:5 होगा। नापकर देख लीजिए: AP=2 सेमी और PB=5 सेमी आना चाहिए।

प्रश्न 22 (2 अंक)

एक त्रिभुज के समरूप नया त्रिभुज 5/3 स्केल पर बनाया जाता है। मूल का परिमाप 27 सेमी और क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है। नए माप निकालें।

हल:

समरूप त्रिभुजों में परिमाप भी भुजाओं के अनुपात में बदलता है, यानी 5:3 में। नया परिमाप $27\times5/3=45$ सेमी।

क्षेत्रफल भुजाओं के अनुपात के वर्ग में बदलता है, यानी $25:9$ में। नया क्षेत्रफल $54\times25/9=150$ वर्ग सेमी।

तो नया परिमाप 45 सेमी और नया क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 23 (2 अंक)

14 सेमी त्रिज्या के 45° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360}\pi r^2$ होता है। यहाँ $\theta=45^\circ$ और $r=14$ सेमी है:

$$A=\frac{45}{360}\pi r^2=\frac18\times\frac{22}{7}\times14^2=77$$

तो क्षेत्रफल 77 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 24 (2 अंक)

एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। उसकी परिधि निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

पहले त्रिज्या निकालिए। $\pi r^2=154$ से $r^2=154\times7/22=49$, तो $r=7$ सेमी।

अब परिधि $=2\pi r=2\times22/7\times7=44$ सेमी।

इसलिए परिधि 44 सेमी है।

प्रश्न 25 (2 अंक)

एक घनाभ की लंबाई 8, चौड़ाई 5 और ऊँचाई 3 सेमी है। उसका आयतन और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।

हल:

आयतन $=lbh=8\times5\times3=120$ घन सेमी।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में छहों फलक आते हैं: $2(lb+bh+hl)=2(40+15+24)=158$ वर्ग सेमी।

तो आयतन 120 घन सेमी और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 158 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 26 (2 अंक)

6 सेमी त्रिज्या का ठोस गोला पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या के गोले बनाए जाते हैं। पदार्थ की हानि न हो तो संख्या निकालें।

हल:

पिघलाकर दोबारा ढालने में पदार्थ उतना ही रहता है। इसलिए छोटे गोलों की संख्या बड़े गोले के आयतन को एक छोटे गोले के आयतन से भाग देकर मिलेगी।

$$n=\frac{(4/3)\pi\times6^3}{(4/3)\pi\times2^3}=\frac{216}{8}=27$$

अंश और हर में $\frac43\pi$ कट जाता है, इसलिए सिर्फ़ $6^3$ और $2^3$ का भाग करना पड़ता है। कुल 27 छोटे गोले बनेंगे।

प्रश्न 27 (2 अंक)

आँकड़ों 4, 7, 10, 13, 16, 19 की माध्यिका निकालें।

हल:

आँकड़े पहले से बढ़ते क्रम में हैं और कुल 6 मान हैं। मानों की संख्या सम है, इसलिए माध्यिका बीच के दो मानों का औसत होगी।

तीसरा और चौथा मान 10 और 13 हैं।

माध्यिका $=(10+13)/2=\mathbf{11.5}$।

प्रश्न 28 (2 अंक)

एक वितरण का माध्य 15 है। प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा करके 2 जोड़ें तो नया माध्य कितना होगा? कारण सहित लिखें।

हल:

मान लीजिए n प्रेक्षण हैं। माध्य 15 है, तो उनका योग 15n होगा।

हर प्रेक्षण को 3 से गुणा करने पर योग $3(15n)=45n$ हो जाता है। फिर हर एक में 2 जोड़ने पर कुल $2n$ और जुड़ता है, यानी नया योग $45n+2n=47n$।

नया माध्य $47n/n=47$ है। सीधी बात यह है कि माध्य पर भी वही काम होता है: $3\times15+2=47$। इसलिए नया माध्य 47 है।

प्रश्न 29 (2 अंक)

दो निष्पक्ष पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं। दोनों पर समान अंक आने की प्रायिकता निकालें।

हल:

दो पासों के कुल $6\times6=36$ परिणाम होते हैं। दोनों पर एक जैसा अंक इन 6 परिणामों में आता है: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)।

तो प्रायिकता $=6/36=\mathbf{1/6}$।

प्रश्न 30 (2 अंक)

1 से 30 तक अंकित समान पर्चियों में से एक यादृच्छया निकाली जाती है। 4 से विभाजित होने वाला अंक मिलने की प्रायिकता निकालें।

हल:

1 से 30 तक 4 से पूरी तरह विभाजित होने वाले अंक 4, 8, 12, 16, 20, 24 और 28 हैं, यानी 7 अनुकूल परिणाम।

कुल पर्चियाँ 30 हैं, इसलिए प्रायिकता $7/30$ है।

खंड ब: दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 31 (5 अंक)

ग्राफ विधि से $2x+y=5$ और $x-y=1$ हल करें। दोनों रेखाओं तथा x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष और क्षेत्रफल निकालें।

हल:

दोनों समीकरणों को y के रूप में लिखिए: $y=5-2x$ और $y=x-1$। अब हर रेखा के कुछ बिंदु निकाल लीजिए:

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके दोनों सीधी रेखाएँ खींचिए।

दोनों रेखाएँ (2, 1) पर कटती हैं। इसलिए x=2, y=1।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $2(2)+1=5$ और $2-1=1$, दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

अब त्रिभुज। पहली रेखा x-अक्ष को (2.5, 0) पर और दूसरी (1, 0) पर काटती है। तो त्रिभुज के शीर्ष (1, 0), (2.5, 0), (2, 1) हैं। x-अक्ष पर आधार $2.5-1=1.5$ इकाई है और ऊँचाई प्रतिच्छेद बिंदु का y-निर्देशांक, यानी 1 इकाई।

$$A=\frac12\times1.5\times1=0.75$$

तो क्षेत्रफल 0.75 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 32 (5 अंक)

दो नल मिलकर एक खाली टंकी को 6 घंटे में भरते हैं। पहला नल अकेला दूसरे नल से 5 घंटे कम समय लेता है। दोनों नलों की दर स्थिर है। प्रत्येक नल अकेला टंकी को कितने समय में भरेगा?

हल:

मान लीजिए पहला नल अकेले टंकी को x घंटे में भरता है, जहाँ x धनात्मक है। तब दूसरा नल $x+5$ घंटे लेगा।

एक घंटे में पहला नल टंकी का $1/x$ भाग और दूसरा $1/(x+5)$ भाग भरता है। दोनों मिलकर 6 घंटे में पूरी टंकी भरते हैं, यानी एक घंटे में 1/6 भाग। इसलिए

$$\frac1x+\frac1{x+5}=\frac16$$

$$\frac{2x+5}{x(x+5)}=\frac16\ \Rightarrow\ 6(2x+5)=x(x+5)$$

$$12x+30=x^2+5x\ \Rightarrow\ x^2-7x-30=0$$

$$x^2-10x+3x-30=0\ \Rightarrow\ (x-10)(x+3)=0$$

इससे $x=10$ या $x=-3$ आता है। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $x=10$।

तो पहला नल 10 घंटे में और दूसरा 15 घंटे में टंकी भरेगा।

उत्तर जाँच लेते हैं: $1/10+1/15=(3+2)/30=1/6$, यानी दोनों मिलकर सचमुच 6 घंटे लेते हैं।

प्रश्न 33 (5 अंक)

एक प्रतियोगिता में सात पुरस्कारों के लिए कुल ₹700 रखे गए हैं। हर अगला पुरस्कार पिछले से ₹20 कम है। प्रथम और अंतिम पुरस्कार की राशि निकालें। सातों राशियाँ लिखकर योग की जाँच करें।

हल:

प्रथम पुरस्कार a रुपये मान लीजिए। हर अगला पुरस्कार ₹20 कम है, इसलिए सातों राशियाँ एक समांतर श्रेढ़ी बनाती हैं, जिसमें $d=-20$, $n=7$ और $S=700$ है।

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$

$$700=\frac72[2a+6(-20)]$$

दोनों ओर 2/7 से गुणा करने पर $200=2a-120$ आता है। तो $2a=320$ और $a=160$।

अब अंतिम, यानी सातवाँ पुरस्कार:

$$a_7=a+6d=160-120=40$$

इस तरह प्रथम पुरस्कार ₹160 और अंतिम पुरस्कार ₹40 है।

सातों राशियाँ हैं: ₹160, ₹140, ₹120, ₹100, ₹80, ₹60, ₹40।

इनका योग $160+140+120+100+80+60+40=700$ रुपये है, जो दी गई कुल राशि के बराबर है।

प्रश्न 34 (5 अंक)

त्रिभुज ABC में $\angle A=90^\circ$ है। A से कर्ण BC पर लंब AD खींचा गया है। समरूपता से सिद्ध करें कि $AD^2=BD\times DC$। यदि BD=9 और DC=16 सेमी हों, तो AD, AB और AC निकालें।

हल:

दिया है: $AD\perp BC$ और $\angle BAC=90^\circ$।

त्रिभुज ADB और CDA लीजिए। दोनों में D पर समकोण है। साथ ही $\angle BAD=\angle ACD$, क्योंकि ये दोनों कोण $\angle ABC$ के पूरक हैं (पहला त्रिभुज ABD में, दूसरा त्रिभुज ABC में)।

इसलिए AA कसौटी से $\triangle ADB\sim\triangle CDA$। संगत भुजाओं का अनुपात बराबर रखने पर

$$\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DA}\ \Rightarrow\ AD^2=BD\times DC$$

यही सिद्ध करना था।

अब मान रखिए: $AD^2=9\times16=144$, तो AD=12 सेमी।

समकोण त्रिभुज ADB में $AB^2=AD^2+DB^2=144+81=225$, तो AB=15 सेमी।

इसी तरह त्रिभुज ADC में $AC^2=AD^2+DC^2=144+256=400$, तो AC=20 सेमी।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: BC=9+16=25 और $15^2+20^2=225+400=625=25^2$, यानी त्रिभुज ABC में भी पाइथागोरस प्रमेय ठीक बैठता है।

प्रश्न 35 (5 अंक)

AB=4 सेमी, AC=3 सेमी और BC=5 सेमी का त्रिभुज बनाएँ। फिर उसके समरूप ऐसा त्रिभुज बनाएँ जिसकी भुजाएँ मूल की 5/4 गुनी हों। रचना का औचित्य भी लिखें।

हल:

रचना:

1. AB=4 सेमी खींचिए। A को केंद्र मानकर 3 सेमी और B को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या के चाप लगाइए। दोनों चाप जहाँ कटें, उसे C नाम दीजिए और AC तथा BC मिलाइए।
2. AB के जिस ओर C है, उसकी दूसरी ओर A से एक न्यूनकोण बनाती किरण AX खींचिए। उस पर बराबर दूरी पर पाँच बिंदु $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ लगाइए।
3. $A_4$ को B से मिलाइए। $A_5$ से $A_4B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो बढ़ाई गई AB को B′ पर काटे।
4. B′ से BC के समांतर रेखा खींचिए, जो बढ़ाई गई AC को C′ पर काटे। AB′C′ ही वह त्रिभुज है जो हमें चाहिए।

औचित्य: $A_5B'\parallel A_4B$ है, इसलिए $AB'/AB=AA_5/AA_4=5/4$।

$B'C'\parallel BC$ होने से $\triangle AB'C'\sim\triangle ABC$। इसलिए

$$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac54$$

नापकर मिलाइए: नई भुजाएँ 5, 3.75 और 6.25 सेमी आनी चाहिए।

प्रश्न 36 (5 अंक)

समुद्र की सतह से 30 मीटर ऊँचे प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से दो नावों के अवनमन कोण 30° और 60° हैं। दोनों नावें आधार की एक ही ओर हैं और नावों तथा आधार के बिंदु एक सीधी रेखा में हैं। नावों के बीच की दूरी निकालें।

हल:

प्रकाशस्तंभ का शीर्ष T और आधार O मान लीजिए। दूर वाली नाव A है और पास वाली B। शीर्ष से दिखने वाला अवनमन कोण नाव से दिखने वाले उन्नयन कोण के बराबर होता है, इसलिए A पर उन्नयन कोण 30° और B पर 60° है।

समकोण त्रिभुज TOA में

$$\tan30^\circ=\frac{30}{OA}\ \Rightarrow\ OA=30\sqrt3$$

समकोण त्रिभुज TOB में

$$\tan60^\circ=\frac{30}{OB}\ \Rightarrow\ OB=\frac{30}{\sqrt3}=10\sqrt3$$

दोनों नावें आधार की एक ही ओर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी इन दोनों दूरियों का अंतर होगी:

$$AB=OA-OB=30\sqrt3-10\sqrt3=20\sqrt3$$

तो नावों के बीच की दूरी $20\sqrt3$ मीटर है, यानी लगभग 34.64 मीटर।

प्रश्न 37 (5 अंक)

एक ठोस समान त्रिज्या वाले बेलन पर शंकु जोड़कर बना है। त्रिज्या 7 सेमी, बेलन की ऊँचाई 10 सेमी तथा शंकु की ऊँचाई 24 सेमी है। उसका आयतन और पूरा बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। नीचे का वृत्ताकार आधार भी बाहरी सतह में शामिल है। $\pi=22/7$ लें।

हल:

दिया है: $r=7$ सेमी, बेलन की ऊँचाई $H=10$ सेमी और शंकु की ऊँचाई $h=24$ सेमी।

पहले शंकु की तिर्यक ऊँचाई निकाल लीजिए, क्योंकि वक्र पृष्ठ के लिए यही चाहिए:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{49+576}=25\text{ सेमी}$$

आयतन दोनों भागों के आयतनों का योग है:

$$V=\pi r^2H+\frac13\pi r^2h$$

$$=\pi\times49\times10+\frac13\pi\times49\times24=490\pi+392\pi=882\pi$$

$$V=882\times\frac{22}{7}=2772\text{ घन सेमी}$$

बाहरी सतह में बेलन का वक्र पृष्ठ, शंकु का वक्र पृष्ठ और नीचे का वृत्ताकार आधार आते हैं। बेलन और शंकु जहाँ जुड़े हैं, वह वृत्त अंदर छिप जाता है, इसलिए उसे नहीं जोड़ते।

$$S=2\pi rH+\pi rl+\pi r^2=140\pi+175\pi+49\pi=364\pi$$

$$S=364\times\frac{22}{7}=1144\text{ वर्ग सेमी}$$

तो आयतन 2772 घन सेमी और बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल 1144 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 38 (5 अंक)

निम्न वितरण का माध्य 25.5 है। लुप्त बारंबारता p निकालें और फिर माध्यिका ज्ञात करें। ऊपरी वर्ग सीमा अगले वर्ग में शामिल है।

हल:

हर वर्ग का वर्ग चिह्न उसकी दोनों सीमाओं का औसत है: 5, 15, 25, 35 और 45। अब fx की तालिका बनाइए:

तालिका से $\sum f=30+p$ और $\sum fx=670+35p$। माध्य का सूत्र लगाइए:

$$25.5=\frac{670+35p}{30+p}$$

वज्र गुणन करने पर

$$765+25.5p=670+35p\ \Rightarrow\ 95=9.5p\ \Rightarrow\ p=10$$

तो लुप्त बारंबारता p=10 है।

अब माध्यिका। $N=30+10=40$, तो $N/2=20$। संचयी बारंबारताएँ 5, 13, 25, 35, 40 हैं। 20 से बड़ी पहली संचयी बारंबारता 25 है, जो वर्ग 20–30 की है, इसलिए यही माध्यिका वर्ग है।

यहाँ $l=20$, $cf=13$, $f=12$ और $h=10$ है।

$$M=l+\frac{N/2-cf}{f}\,h=20+\frac{20-13}{12}\times10=20+\frac{35}{6}=\frac{155}{6}$$

तो माध्यिका $\frac{155}{6}$, यानी लगभग 25.83 है।