अभ्यास सेट 3: प्रश्न पत्र

अभ्यास सेट 3: गणित पूर्ण प्रश्न पत्र

पूर्णांक: 100 · कुल समय: 3 घंटे 15 मिनट (शुरू के 15 मिनट प्रश्न पढ़ने के लिए)

निर्देश

1. खंड अ में 100 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। इनमें से किन्हीं 50 के उत्तर दीजिए। हर प्रश्न 1 अंक का है। 50 से ज़्यादा उत्तर देने पर केवल पहले 50 उत्तर ही जाँचे जाएँगे।
2. खंड ब के लघु उत्तरीय प्रश्न 1–30 में से किन्हीं 15 के उत्तर दीजिए। हर प्रश्न 2 अंक का है।
3. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 31–38 में से किन्हीं 4 के उत्तर दीजिए। हर प्रश्न 5 अंक का है।
4. लिखित उत्तरों में ज़रूरी चरण, इकाइयाँ और चित्र अवश्य दीजिए।
5. जहाँ π का मान नहीं दिया गया है, वहाँ उत्तर π के रूप में छोड़ सकते हैं। ग्राफ और रचना वाले प्रश्नों के लिए ग्राफ पेपर, परकार और पटरी साथ रखिए।

अभ्यास का तरीका: घड़ी सामने रखकर पूरा पत्र एक ही बैठक में हल कीजिए, ठीक वैसे जैसे परीक्षा भवन में करेंगे। वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर प्रश्न पत्र के बाद आने वाली क्विज़ में भरिए, वहीं तुरंत पता चल जाएगा कि कितने सही हुए। लिखित प्रश्न अपनी कॉपी में हल कीजिए और फिर अगले पृष्ठ "अभ्यास सेट 3: उत्तर और हल" से मिलाइए।

खंड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न

इनमें से किन्हीं 50 प्रश्नों के उत्तर दीजिए। हर प्रश्न 1 अंक का है (50 × 1 = 50)।

1. यूक्लिड विभाजन में भाजक 7 हो तो शेष का संभव मान है—

(A) −1
(B) 7
(C) 6
(D) 8

2. दो संख्याओं का गुणनफल 432 और म.स. 6 है। उनका ल.स. है—

(A) 2592
(B) 72
(C) 66
(D) 36

3. 45 और 75 का म.स. तथा ल.स. क्रमशः हैं—

(A) 15, 225
(B) 5, 675
(C) 15, 150
(D) 25, 135

4. $\frac{15}{48}$ का दशमलव प्रसार है—

(A) सांत
(B) असांत अनावर्ती
(C) अपरिमेय
(D) असांत आवर्ती

5. निम्न में कौन-सी संख्या अपरिमेय है?

(A) $\sqrt{16}$
(B) $\frac{22}{7}$
(C) 0.125
(D) $2+\sqrt3$

6. 180 को किस सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या से भाग दें कि पूर्ण वर्ग मिले?

(A) 5
(B) 3
(C) 10
(D) 2

7. $0.\overline{27}$ का सरल भिन्न रूप है—

(A) $\frac{27}{100}$
(B) $\frac3{11}$
(C) $\frac{27}{90}$
(D) $\frac9{11}$

8. $x^2-10x+21$ के शून्यक हैं—

(A) 1, 21
(B) −1, −21
(C) −3, −7
(D) 3, 7

9. $ax^2+5x+2$ के शून्यकों का गुणनफल 1 हो तो a है—

(A) 1
(B) −2
(C) 5
(D) 2

10. एक द्विघात बहुपद के अधिकतम कितने वास्तविक शून्यक हो सकते हैं?

(A) 2
(B) अनंत
(C) 1
(D) 3

11. $x^2+1$ के ग्राफ और x-अक्ष के साझा बिंदुओं की संख्या है—

(A) 0
(B) 3
(C) 1
(D) 2

12. $p(x)=x^3+2x^2-x-2$ में $p(1)$ है—

(A) −2
(B) 4
(C) 0
(D) 2

13. शून्यक 4 और −1 वाले एक द्विघात बहुपद का मानक रूप है—

(A) $x^2-3x-4$
(B) $x^2+5x+4$
(C) $x^2+3x-4$
(D) $x^2-5x+4$

14. $x^2-5x+6$ के शून्यक α, β हों तो $\alpha^2+\beta^2$ है—

(A) 13
(B) 19
(C) 25
(D) 12

15. $x+y=11$ तथा $x-y=5$ का हल है—

(A) (3, 8)
(B) (5, 6)
(C) (8, 3)
(D) (6, 5)

16. $2x+3y=7$ और $4x+6y=14$ के कितने हल हैं?

(A) अनंत
(B) कोई नहीं
(C) दो
(D) एक

17. $x+ky=3$, $2x+4y=9$ के अद्वितीय हल के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है—

(A) $k=4$ ही
(B) $k\ne2$
(C) $k=2$
(D) $k=0$ ही

18. दो पेंसिल और तीन रबर का मूल्य ₹21 है। एक पेंसिल ₹3 की हो तो एक रबर का मूल्य है—

(A) ₹5
(B) ₹6
(C) ₹4
(D) ₹7

19. $5x-2y=10$ की y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु है—

(A) (−2, 0)
(B) (2, 0)
(C) (0, −5)
(D) (0, 5)

20. स्थिर जल में नाव की चाल 12 किमी/घंटा और धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल चाल है—

(A) 15 किमी/घंटा
(B) 9 किमी/घंटा
(C) 36 किमी/घंटा
(D) 4 किमी/घंटा

खंड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (21–40)

21. $3x-y=4$ में y=2 हो तो x है—

(A) 3
(B) 1
(C) 6
(D) 2

22. $3x^2-12=0$ के मूल हैं—

(A) 0, 4
(B) 2, 2
(C) 4, −4
(D) 2, −2

23. $x^2+5x+6=0$ के मूल हैं—

(A) −1, −6
(B) −2, −3
(C) 2, 3
(D) 1, 6

24. $2x^2-4x+3=0$ का विवेचक है—

(A) −4
(B) 8
(C) 40
(D) −8

25. $x^2+kx+25=0$ के बराबर मूल हों तो k के सभी संभव मान हैं—

(A) केवल −10
(B) 10, −10
(C) 5, −5
(D) केवल 10

26. $4x^2-1=0$ का धनात्मक मूल है—

(A) 2
(B) 4
(C) $\frac12$
(D) $\frac14$

27. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का अंतर 17 है। छोटी संख्या है—

(A) 8
(B) 16
(C) 9
(D) 7

28. $x^2-7x+10=0$ का एक मूल 2 है। दूसरा है—

(A) 7
(B) 10
(C) 5
(D) −5

29. −5, −1, 3, 7, … का सार्व अंतर है—

(A) −4
(B) 3
(C) 5
(D) 4

30. समांतर श्रेढ़ी का पहला पद 9 और सार्व अंतर −2 है। छठा पद है—

(A) −1
(B) −3
(C) 19
(D) 1

31. 4, 10, 16, … में 100 कौन-सा पद है?

(A) 16वाँ
(B) 18वाँ
(C) 15वाँ
(D) 17वाँ

32. प्रथम 12 धनात्मक विषम संख्याओं का योग है—

(A) 132
(B) 144
(C) 121
(D) 156

33. समांतर श्रेढ़ी का तीसरा पद 11 और पाँचवाँ पद 19 है। पहला पद है—

(A) 4
(B) −3
(C) 7
(D) 3

34. यदि $S_n=n(n+1)$, तो चौथा पद है—

(A) 4
(B) 12
(C) 8
(D) 20

35. −6 और 10 का समांतर माध्य है—

(A) 4
(B) 8
(C) −2
(D) 2

36. समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 5:6 में हैं। क्षेत्रफलों का अनुपात है—

(A) 10:12
(B) 25:36
(C) 5:6
(D) 125:216

37. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 49:64 में हैं। संगत भुजाओं का अनुपात है—

(A) 7:8
(B) 49:8
(C) 49:64
(D) 8:7

38. समकोण त्रिभुज की लंब भुजाएँ 12 और 16 सेमी हैं। कर्ण है—

(A) 18 सेमी
(B) 28 सेमी
(C) 20 सेमी
(D) 24 सेमी

39. त्रिभुज ABC में $DE\parallel BC$ है। D और E क्रमशः AB और AC पर हैं। AD=5, DB=10 और AE=4 सेमी हो तो EC है—

(A) 8 सेमी
(B) 6 सेमी
(C) 2 सेमी
(D) 12 सेमी

40. दो त्रिभुजों की दो-दो संगत भुजाएँ समान अनुपात में और उनके बीच के कोण बराबर हों तो समरूपता की कसौटी है—

(A) SSS
(B) SAS
(C) केवल बराबर परिमाप
(D) AA

खंड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (41–60)

41. समरूप त्रिभुजों का परिमाप अनुपात 3:4 है। छोटे की संगत भुजा 9 सेमी हो तो बड़े की भुजा है—

(A) 27 सेमी
(B) 6.75 सेमी
(C) 16 सेमी
(D) 12 सेमी

42. एक त्रिभुज की भुजाएँ 7, 24, 25 सेमी हैं। सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण है—

(A) 30°
(B) 45°
(C) 90°
(D) 60°

43. बिंदु (7, −4) की y-अक्ष से दूरी है—

(A) 7 इकाई
(B) −4 इकाई
(C) −7 इकाई
(D) 4 इकाई

44. बिंदुओं (−2, −3) और (4, 5) के बीच दूरी है—

(A) 14 इकाई
(B) 6 इकाई
(C) 8 इकाई
(D) 10 इकाई

45. A(−5, 7) और B(3, −1) का मध्यबिंदु है—

(A) (−4, 4)
(B) (1, 3)
(C) (−2, 6)
(D) (−1, 3)

46. A(0, 0), B(9, 6) को AP:PB=2:1 में बाँटने वाला P है—

(A) (4.5, 3)
(B) (4, 6)
(C) (3, 2)
(D) (6, 4)

47. बिंदु (1, 1), (4, 1), (1, 5) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है—

(A) 12 वर्ग इकाई
(B) 7 वर्ग इकाई
(C) 6 वर्ग इकाई
(D) 3 वर्ग इकाई

48. बिंदु (−4, 6) किस चतुर्थांश में है?

(A) चतुर्थ
(B) तृतीय
(C) प्रथम
(D) द्वितीय

49. यदि (2, 3), A(−2, 1) तथा B का मध्यबिंदु है, तो B है—

(A) (0, 2)
(B) (4, 4)
(C) (6, 5)
(D) (2, 1)

50. $\tan30^\circ\tan60^\circ$ का मान है—

(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) $\sqrt3$

51. न्यूनकोण A के लिए $\sin A=8/17$ हो तो $\cos A$ है—

(A) $\frac{15}{17}$
(B) $\frac8{15}$
(C) $\frac9{17}$
(D) $\frac{17}{15}$

52. $\sec^2 A-1$, जहाँ परिभाषित हो, बराबर है—

(A) $\tan^2 A$
(B) $\sin^2 A$
(C) $\cot^2 A$
(D) $\cos^2 A$

53. $\cos^2 60^\circ+\sin^2 30^\circ$ है—

(A) $\frac12$
(B) $\frac34$
(C) 1
(D) $\frac14$

54. $\sin48^\circ$ बराबर है—

(A) $\sin42^\circ$
(B) $\cos42^\circ$
(C) $\cos48^\circ$
(D) $\tan42^\circ$

55. न्यूनकोण A के लिए $\cot A=\sqrt3$ हो तो A है—

(A) 30°
(B) 45°
(C) 90°
(D) 60°

56. $\cosec30^\circ+\sec60^\circ$ है—

(A) 1
(B) 3
(C) 2
(D) 4

57. समतल भूमि पर 16 मीटर ऊँचे खंभे की छाया 16/√3 मीटर है। सूर्य का उन्नयन कोण है—

(A) 45°
(B) 30°
(C) 90°
(D) 60°

58. 25 मीटर लंबी डोर भूमि से 30° पर तनी है। निचला सिरा भूमि पर हो तो पतंग की ऊँचाई है—

(A) 12.5 मीटर
(B) 50 मीटर
(C) 25 मीटर
(D) $12.5\sqrt3$ मीटर

59. भूमि पर एक बिंदु से 15 मीटर ऊँचे भवन का शीर्ष 45° उन्नयन पर दिखता है। शीर्ष तक दृष्टि रेखा की लंबाई है—

(A) $15\sqrt2$ मीटर
(B) $15/\sqrt2$ मीटर
(C) 15 मीटर
(D) 30 मीटर

60. किसी मीनार की ओर समतल भूमि पर बढ़ने पर उसके शीर्ष का उन्नयन कोण—

(A) बढ़ता है
(B) घटता है
(C) अपरिवर्तित रहता है
(D) हमेशा 90° हो जाता है

खंड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (61–80)

61. 20 मीटर लंबी सीढ़ी दीवार पर 10√3 मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है। भूमि के साथ उसका कोण है—

(A) 30°
(B) 90°
(C) 60°
(D) 45°

62. एक ऊँचे बिंदु से भूमि के बिंदु का अवनमन कोण 25° है। भूमि के उसी बिंदु से ऊँचे बिंदु का उन्नयन कोण है—

(A) 75°
(B) 25°
(C) 155°
(D) 65°

63. एक वृत्त के बाह्य बिंदु से अधिकतम कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) अनंत
(B) 0
(C) 1
(D) 2

64. केंद्र से किसी रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर हो तो रेखा वृत्त को—

(A) कभी नहीं मिलती
(B) एक बिंदु पर छूती है
(C) दो बिंदुओं पर काटती है
(D) केंद्र से होकर जाती है

65. P से स्पर्शखंड PA=7 सेमी और PB हैं। दोनों स्पर्शखंडों की कुल लंबाई है—

(A) 21 सेमी
(B) 14 सेमी
(C) 7 सेमी
(D) 49 सेमी

66. त्रिज्या 12 सेमी और केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी 13 सेमी है। स्पर्शखंड की लंबाई है—

(A) 5 सेमी
(B) 1 सेमी
(C) 25 सेमी
(D) 17 सेमी

67. दो स्पर्शरेखाओं के बीच कोण 110° है। संबंधित त्रिज्याओं के बीच छोटा कोण है—

(A) 70°
(B) 55°
(C) 110°
(D) 140°

68. वृत्त के परिगत चतुर्भुज की दो सम्मुख भुजाओं का योग 17 सेमी है। उसका परिमाप है—

(A) 34 सेमी
(B) 51 सेमी
(C) 17 सेमी
(D) 68 सेमी

69. AB को 4:3 में बाँटने के लिए सहायक किरण पर कितने समान भाग चाहिए?

(A) 3
(B) 7
(C) 12
(D) 4

70. मूल त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। 5/6 स्केल पर संगत भुजा होगी—

(A) 6 सेमी
(B) 15 सेमी
(C) 14.4 सेमी
(D) 10 सेमी

71. समरूप त्रिभुज की संगत भुजा 8 सेमी से बढ़कर 12 सेमी हो गई। स्केल गुणक है—

(A) $\frac23$
(B) $\frac32$
(C) 4
(D) $\frac12$

72. OP को व्यास मानकर वृत्त खींचने के लिए केंद्र कहाँ लेते हैं?

(A) OP के मध्यबिंदु पर
(B) P पर
(C) OP के बाहर किसी बिंदु पर
(D) O पर

73. 7 सेमी के रेखाखंड को 3:4 में बाँटने पर छोटा भाग है—

(A) 3 सेमी
(B) 1.75 सेमी
(C) 2 सेमी
(D) 4 सेमी

74. वृत्त का व्यास 28 सेमी है। $\pi=22/7$ लेने पर क्षेत्रफल है—

(A) 154 वर्ग सेमी
(B) 616 वर्ग सेमी
(C) 88 वर्ग सेमी
(D) 2464 वर्ग सेमी

75. 12 सेमी त्रिज्या के 30° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है—

(A) $12\pi$ वर्ग सेमी
(B) $36\pi$ वर्ग सेमी
(C) $24\pi$ वर्ग सेमी
(D) $144\pi$ वर्ग सेमी

76. 6 सेमी त्रिज्या के अर्धवृत्त का पूरा परिमाप है—

(A) $12\pi$ सेमी
(B) $6\pi+12$ सेमी
(C) $6\pi$ सेमी
(D) $3\pi+12$ सेमी

77. 8 सेमी त्रिज्या के वृत्त का 45° चाप है—

(A) $2\pi$ सेमी
(B) $8\pi$ सेमी
(C) $4\pi$ सेमी
(D) $\pi$ सेमी

78. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 2:3 में हैं। उनकी परिधियों का अनुपात है—

(A) 8:27
(B) 2:3
(C) 4:9
(D) 3:2

79. बाहरी त्रिज्या 13 और भीतरी त्रिज्या 5 सेमी वाले वलय का क्षेत्रफल है—

(A) $194\pi$ वर्ग सेमी
(B) $144\pi$ वर्ग सेमी
(C) $64\pi$ वर्ग सेमी
(D) $8\pi$ वर्ग सेमी

80. किसी वृत्त का 1/8 भाग बनाने वाले त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण है—

(A) 60°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 90°

खंड अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (81–100)

81. घनाभ का आयतन 120 घन सेमी, लंबाई 10 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी है। ऊँचाई है—

(A) 12 सेमी
(B) 5 सेमी
(C) 4 सेमी
(D) 3 सेमी

82. त्रिज्या 4 और ऊँचाई 9 सेमी के बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है—

(A) $144\pi$ वर्ग सेमी
(B) $72\pi$ वर्ग सेमी
(C) $104\pi$ वर्ग सेमी
(D) $36\pi$ वर्ग सेमी

83. त्रिज्या 3 और ऊँचाई 4 सेमी के शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है—

(A) $12\pi$ वर्ग सेमी
(B) $15\pi$ वर्ग सेमी
(C) $9\pi$ वर्ग सेमी
(D) $24\pi$ वर्ग सेमी

84. त्रिज्या 5 सेमी के अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है—

(A) $100\pi$ वर्ग सेमी
(B) $75\pi$ वर्ग सेमी
(C) $50\pi$ वर्ग सेमी
(D) $25\pi$ वर्ग सेमी

85. समान त्रिज्या वाले गोले और अर्धगोले के आयतनों का अनुपात है—

(A) 1:2
(B) 3:2
(C) 4:1
(D) 2:1

86. 7500 घन सेमी बराबर है—

(A) 7.5 लीटर
(B) 75 लीटर
(C) 0.75 लीटर
(D) 750 लीटर

87. बेलन की त्रिज्या दुगुनी और ऊँचाई आधी करें तो आयतन होगा—

(A) 4 गुना
(B) आधा
(C) 2 गुना
(D) अपरिवर्तित

88. 10, 14, 18, 22 का माध्य है—

(A) 16
(B) 18
(C) 14
(D) 64

89. 2, 5, 8, 11, 14, 17 की माध्यिका है—

(A) 11
(B) 8
(C) 9.5
(D) 10

90. 12, 15, 12, 18, 15, 12 का बहुलक है—

(A) 18
(B) 15
(C) 12
(D) 13.5

91. वर्ग 15–25 की वर्ग चौड़ाई है—

(A) 25
(B) 10
(C) 20
(D) 15

92. वर्गों की बारंबारताएँ 4, 8, 10, 6 हैं। दूसरे वर्ग तक संचयी बारंबारता है—

(A) 22
(B) 28
(C) 8
(D) 12

93. बहुलक 30 और माध्य 24 हों तो आनुभविक संबंध से माध्यिका है—

(A) 22
(B) 26
(C) 27
(D) 28

94. यदि सभी प्रेक्षणों में 5 जोड़ दिया जाए, तो माध्य—

(A) 5 गुना होगा
(B) 5 घटेगा
(C) नहीं बदलेगा
(D) 5 बढ़ेगा

95. एक निष्पक्ष पासे पर विषम संख्या आने की प्रायिकता है—

(A) $\frac16$
(B) $\frac13$
(C) $\frac23$
(D) $\frac12$

96. दो निष्पक्ष सिक्कों के स्वतंत्र उछाल में कम-से-कम एक पट की प्रायिकता है—

(A) $\frac14$
(B) $\frac12$
(C) $\frac34$
(D) 1

97. 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से काला बादशाह आने की प्रायिकता है—

(A) $\frac1{26}$
(B) $\frac12$
(C) $\frac1{13}$
(D) $\frac14$

98. एक निश्चित घटना की प्रायिकता है—

(A) 0
(B) 1
(C) −1
(D) $\frac12$

99. एक थैले में 3 लाल और 9 नीली समान गेंदें हैं। यादृच्छया निकाली गेंद लाल होने की प्रायिकता है—

(A) $\frac12$
(B) $\frac14$
(C) $\frac34$
(D) $\frac13$

100. दो निष्पक्ष पासों के स्वतंत्र फेंक में योग 12 होने की प्रायिकता है—

(A) $\frac1{12}$
(B) $\frac1{18}$
(C) $\frac1{36}$
(D) $\frac16$

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1–30 में से किन्हीं 15 के उत्तर लिखिए। हर प्रश्न 2 अंक का है (15 × 2 = 30)।

1. एक विद्यालय में 144 लड़के और 180 लड़कियाँ हैं। केवल लड़कों या केवल लड़कियों की कतारें बनानी हैं और हर कतार में समान संख्या चाहिए। एक कतार में अधिकतम कितने विद्यार्थी होंगे? कुल कतारें भी बताएँ।

2. सिद्ध करें कि $3+2\sqrt2$ अपरिमेय है।

3. यदि $x^2+kx+8$ का एक शून्यक −2 है, तो k और दूसरा शून्यक निकालें।

4. $x^2-3x+1$ के शून्यक α और β हैं। $\alpha^2+\beta^2$ निकालें।

5. तीन पेन और दो कॉपियों का मूल्य ₹64 है। दो पेन और दो कॉपियों का मूल्य ₹56 है। एक पेन और एक कॉपी का मूल्य निकालें।

6. किस k के लिए $2x+3y=5$ और $4x+ky=10$ के अनंत हल होंगे?

7. $3x^2-10x+8=0$ को गुणनखंड विधि से हल करें।

8. $x^2+6x+2=0$ के मूल सूत्र से निकालें।

9. समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … में 102 कौन-सा पद है?

10. 3 के प्रथम 20 धनात्मक गुणजों का योग निकालें।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्न (11–20)

11. समरूप त्रिभुजों ABC और PQR में AB=6 सेमी, PQ=9 सेमी और QR=12 सेमी हैं। संगति A↔P, B↔Q, C↔R है। BC तथा उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकालें।

12. एक सीढ़ी दीवार से 5 मीटर दूर भूमि पर टिकी है और दीवार पर 12 मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है। सीढ़ी की लंबाई निकालें।

13. बिंदु (−1, −1), (2, 3), (5, 7) संरेख हैं या नहीं? दूरी सूत्र से जाँचें।

14. A(−3, 2) तथा B(9, 8) को AP:PB=1:3 में आंतरिक रूप से बाँटने वाले P के निर्देशांक निकालें।

15. न्यूनकोण A के लिए $\sec A=13/12$ है। $\tan A$ निकालें।

16. न्यूनकोण A के लिए सिद्ध करें: $\frac{1+\tan^2 A}{1+\cot^2 A}=\tan^2 A$।

17. भूमि के बिंदु से 18 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। आधार से उस बिंदु की दूरी निकालें।

18. एक सीढ़ी का पाँव दीवार से 6 मीटर दूर है। सीढ़ी भूमि से 60° बनाती है। सीढ़ी की लंबाई तथा दीवार पर पहुँची ऊँचाई निकालें।

19. वृत्त का केंद्र O है। बाह्य बिंदु P से स्पर्शखंड PT=8 सेमी और OP=10 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या निकालें।

20. वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD में AB=10, BC=7 और CD=6 सेमी हैं। AD तथा परिमाप निकालें।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्न (21–30)

21. 8 सेमी के रेखाखंड AB को 3:1 में बाँटने की रचना के चरण लिखें।

22. किसी त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की भुजाएँ उसकी 2/5 गुनी बनाई गई हैं। दोनों के परिमाप और क्षेत्रफल के अनुपात लिखें।

23. 7 सेमी त्रिज्या के वृत्त में 120° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

24. एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 100 चक्कर में वह कितनी दूरी तय करेगा? फिसलन न हो और $\pi=22/7$ लें।

25. त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी के शंकु का आयतन निकालें। उत्तर π में दें।

26. 3 सेमी भुजा वाले आठ ठोस घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाया जाता है। पदार्थ की हानि न हो तो उसकी भुजा निकालें।

27. मान 2, 4, 6 और 8 की बारंबारताएँ क्रमशः 1, 2, 3 और 4 हैं। माध्य निकालें।

28. एक वितरण का माध्य 32 और बहुलक 38 है। आनुभविक संबंध से माध्यिका निकालें।

29. एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है। 2 या 3 से विभाजित होने वाला अंक मिलने की प्रायिकता निकालें।

30. एक थैले में 5 लाल, 7 नीली और 8 सफेद समान गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकालते हैं। उसके न नीली और न सफेद होने की प्रायिकता निकालें।

खंड ब: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 31–38 में से किन्हीं 4 के उत्तर लिखिए। हर प्रश्न 5 अंक का है (4 × 5 = 20)।

31. ग्राफ विधि से $x+y=7$ तथा $2x-y=2$ हल करें। पहली रेखा द्वारा दोनों निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल भी निकालें।

32. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग $7/12$ है। द्विघात समीकरण बनाकर दोनों संख्याएँ निकालें।

33. 100 और 500 के बीच 7 से विभाजित होने वाले सभी पूर्णांकों की संख्या और उनका योग निकालें।

34. सिद्ध करें कि वृत्त के एक बाह्य बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। फिर यदि उन्हीं स्पर्शखंडों की लंबाइयाँ 3x−2 और x+8 सेमी हों, तो x और प्रत्येक स्पर्शखंड की लंबाई निकालें।

35. AB=7 सेमी, AC=6 सेमी और BC=4 सेमी का त्रिभुज ABC बनाएँ। फिर उसके समरूप ऐसा त्रिभुज बनाएँ जिसकी संगत भुजाएँ मूल त्रिभुज की 3/4 गुनी हों। रचना के चरण और औचित्य लिखें।

36. समतल भूमि पर A और B दो बिंदु 48 मीटर दूर हैं। एक मीनार का आधार O, AB पर इनके बीच है। A से शीर्ष का उन्नयन कोण 30° और B से 60° है। मीनार की ऊँचाई तथा दोनों बिंदुओं से उसके आधार की दूरी निकालें।

37. एक मैदान में 80 मीटर लंबे और 28 मीटर चौड़े आयत के दोनों छोटे सिरों पर बाहर की ओर अर्धवृत्त जुड़े हैं। मैदान के चारों ओर बाहर 3.5 मीटर चौड़ा समानांतर रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल तथा उसकी बाहरी सीमा की लंबाई निकालें। $\pi=22/7$ लें।

38. निम्न वितरण का माध्य और माध्यिका निकालें। ऊपरी वर्ग सीमा अगले वर्ग में शामिल है।