अभ्यास सेट 5: उत्तर और हल

अभ्यास सेट 5: उत्तर और हल

पहले पिछले पृष्ठ का पूरा प्रश्न पत्र खुद हल कीजिए, उसके बाद ही यहाँ उत्तर मिलाइए। खंड अ के हर प्रश्न के साथ उसका छोटा-सा कारण भी लिखा है, ताकि जो प्रश्न गलत हुआ उसमें आप देख सकें कि चूक कहाँ हुई। खंड ब के सभी 38 लिखित प्रश्न पूरे चरणों के साथ हल किए गए हैं।

अंक कैसे गिनें: खंड अ में अपने पहले 50 उत्तरों में से सही उत्तर गिनिए। लिखित प्रश्नों में अपने हल को यहाँ के चरणों से मिलाइए। सूत्र, गणना और अंतिम उत्तर, तीनों सही हों तभी पूरे अंक दीजिए।

खंड अ: उत्तर कुंजी

खंड अ: प्रश्न 1–20 के उत्तर और कारण

1. (B) 30
यूक्लिड विधि से: $330=210+120$, $210=120+90$, $120=90+30$ और $90=3\times30$। आखिरी अशून्य शेष 30 है, वही म.स. है।

2. (A) 400
16 और 25 सह-अभाज्य हैं, इसलिए इनका ल.स. सीधे गुणनफल होता है: $16\times25=400$।

3. (B) 72
म.स. × ल.स. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए ल.स. $=864/12=72$।

4. (C) 0.136
अंश और हर को 8 से गुणा कीजिए, तो भिन्न $136/1000=0.136$ बन जाती है।

5. (A) 5
दोनों को एक ही वर्गमूल के नीचे ले आइए: $\sqrt{75}/\sqrt3=\sqrt{75/3}=\sqrt{25}=5$।

6. (C) 2
$98=2\times7^2$ में 2 अकेला बचा है। 2 से गुणा करते ही $196=14^2$ बन जाता है।

7. (A) a को
$a^2=a\times a$ है। अभाज्य p इसे तभी विभाजित कर सकती है जब p, a के अभाज्य गुणनखंडों में हो, यानी p, a को भी विभाजित करेगी।

8. (B) 5, 6
गुणनफल 30 और योग 11 वाली संख्याएँ 5 और 6 हैं। तो $x^2-11x+30=(x-5)(x-6)$ और शून्यक 5 तथा 6 हैं।

9. (A) $\frac16$
$ax^2+bx+c$ के शून्यकों का योग $-b/a$ होता है। यहाँ $a=6$ और $b=-1$ है, इसलिए योग $-(-1)/6=1/6$।

10. (D) −12
शून्यकों का गुणनफल $c/a$ होता है। यहाँ यह $-12/1=-12$ है।

11. (C) 4
$x=4$ रखने पर बहुपद शून्य होना चाहिए: $16-20+k=0$, यानी $k=4$।

12. (B) $x^2+10x+21$
शून्यक −3 और −7 हैं, तो गुणनखंड $(x+3)$ और $(x+7)$ होंगे: $(x+3)(x+7)=x^2+10x+21$।

13. (C) −4
x से भाग देने पर शेष $p(0)$ होता है। $x=0$ रखते ही केवल अचर पद बचता है, यानी $p(0)=-4$।

14. (A) 30
$\alpha\beta$ बाहर निकालिए: $\alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\alpha\beta(\alpha+\beta)$। यहाँ $\alpha+\beta=6$ और $\alpha\beta=5$ है, इसलिए मान $5\times6=30$।

15. (A) (7, 6)
दोनों समीकरण जोड़ने पर $2x=14$, यानी $x=7$। अब $x+y=13$ में रखने पर $y=6$ मिलता है।

16. (D) संपाती
पहले समीकरण को 5 से भाग दीजिए, तो ठीक दूसरा समीकरण $x+2y=4$ बन जाता है। यानी दोनों एक ही रेखा हैं।

17. (B) 0
पहले समीकरण को 2 से गुणा कीजिए, तो $2x+4y=10$ बनता है। बायाँ पक्ष दूसरे समीकरण जैसा है, पर दायाँ पक्ष 10 है, 13 नहीं। यानी रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है।

18. (B) 16
बड़ी संख्या x और छोटी y मान लीजिए। तब $x+y=27$ और $x-y=5$। दोनों को जोड़ने पर $2x=32$, यानी $x=16$।

19. (C) 1
$x=2$ रखने पर $8+y=9$ बनता है, इसलिए $y=1$।

20. (B) $a\ne1$
अद्वितीय हल के लिए x और y के गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए: $a/2\ne3/6$, यानी $a\ne1$।

खंड अ: प्रश्न 21–40 के उत्तर और कारण

21. (D) 11 किमी/घंटा
धारा के साथ चलने पर धारा की चाल जुड़ती है और विरुद्ध चलने पर घटती है। इसलिए दोनों का औसत स्थिर जल की चाल है: $(14+8)/2=11$ किमी/घंटा।

22. (A) 7, 8
गुणनफल 56 और योग 15 वाली संख्याएँ 7 और 8 हैं। तो $(x-7)(x-8)=0$ और मूल 7 तथा 8 हैं।

23. (D) $-\frac12$
$4x^2+4x+1$ पूर्ण वर्ग है, तो $(2x+1)^2=0$ से $x=-1/2$ मिलता है। यही मूल दो बार आता है।

24. (B) −16
विवेचक $D=b^2-4ac$ होता है। यहाँ $D=(-2)^2-4(1)(5)=4-20=-16$, इसलिए इस समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं।

25. (B) 25
समान मूलों के लिए विवेचक शून्य होना चाहिए। $(-10)^2-4c=0$, यानी $100-4c=0$, जिससे $c=25$।

26. (C) 0, −2
गुणनफल शून्य है, तो कोई एक गुणनखंड शून्य होगा: $3x=0$ या $x+2=0$। इससे $x=0$ या $x=-2$।

27. (C) $\frac12$
मूलों का गुणनफल $c/a=4/2=2$ होता है। एक मूल 4 है, तो दूसरा मूल $2/4=1/2$।

28. (A) 12
$11\times12=132$ है और 11, 12 लगातार संख्याएँ हैं। बड़ी संख्या 12 है।

29. (A) 5
दूसरे पद में से पहला घटाइए: $d=-7-(-12)=5$।

30. (B) 39
n-वाँ पद $a+(n-1)d$ होता है। तो $a_8=a+7d=-3+42=39$।

31. (C) 13वाँ
यहाँ $a=6$ और $d=7$ है। $6+7(n-1)=90$ से $7(n-1)=84$, यानी $n-1=12$ और $n=13$।

32. (C) 325
पहले n धनात्मक पूर्णांकों का योग $n(n+1)/2$ होता है। $n=25$ रखने पर $25(1+25)/2=325$।

33. (A) 4
छठे से दसवें पद तक 4 बार d जुड़ता है: $a_{10}-a_6=4d$। यहाँ $44-28=16$, इसलिए $4d=16$ और $d=4$।

34. (C) 8
$a_2=S_2-S_1$ होता है। यहाँ $S_2=12-2=10$ और $S_1=3-1=2$, इसलिए $a_2=10-2=8$।

35. (B) 17
दो संख्याओं का समांतर माध्य उनका औसत होता है: $(11+23)/2=17$।

36. (D) 49:81
समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। इसलिए अनुपात $7^2:9^2=49:81$।

37. (C) 40 सेमी
पाइथागोरस से दूसरी भुजा $b=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1681-81}=\sqrt{1600}=40$ सेमी।

38. (B) 9 सेमी
$DE\parallel BC$ है, इसलिए $AD/DB=AE/EC$, यानी $4/8=3/EC$। इससे $EC=6$ सेमी और $AC=AE+EC=3+6=9$ सेमी।

39. (C) 25:64
परिमापों का अनुपात वही है जो संगत भुजाओं का, और क्षेत्रफल का अनुपात इसका वर्ग होगा: $5^2:8^2=25:64$।

40. (C) केवल क्षेत्रफल बराबर होना
बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज बिल्कुल अलग आकार के हो सकते हैं। बाकी तीन कथन क्रमशः SAS, SSS और AA कसौटियाँ हैं।

खंड अ: प्रश्न 41–60 के उत्तर और कारण

41. (B) $4\sqrt3$ सेमी
ऊँचाई आधार को 4–4 सेमी में बाँटती है, तो पाइथागोरस से $h=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3$ सेमी।

42. (C) 90°
$12^2+35^2=144+1225=1369=37^2$ है। तो पाइथागोरस के विलोम से सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण समकोण है।

43. (B) 15 इकाई
मूलबिंदु से दूरी $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ इकाई।

44. (D) 9 इकाई
दोनों बिंदुओं का x-निर्देशांक 3 है, तो दूरी बस y-निर्देशांकों का अंतर है: $|4-(-5)|=9$ इकाई।

45. (D) (−1, 5)
मध्यबिंदु के लिए दोनों x का औसत और दोनों y का औसत लीजिए: $\left(\frac{-7+5}{2},\ \frac{1+9}{2}\right)=(-1,\ 5)$।

46. (D) (5, 5)
विभाजन सूत्र में $m:n=2:3$ रखिए: $x=(2\times11+3\times1)/5=5$ और $y=(2\times8+3\times3)/5=5$। तो P बिंदु $(5, 5)$ है।

47. (C) 21 वर्ग इकाई
(2, 2) पर समकोण है, क्योंकि एक भुजा क्षैतिज और दूसरी ऊर्ध्वाधर है। आधार 6 और ऊँचाई 7 है। क्षेत्रफल $\frac12\times6\times7=21$ वर्ग इकाई।

48. (A) धनात्मक y-अक्ष पर
x-निर्देशांक 0 है, तो बिंदु y-अक्ष पर ही है, किसी चतुर्थांश में नहीं। y धनात्मक है, इसलिए यह धनात्मक y-अक्ष है।

49. (B) 3:2
तीनों बिंदु x-अक्ष पर हैं: $AP=2-(-4)=6$ और $PB=6-2=4$। अनुपात $6:4=3:2$।

50. (C) $\frac12$
$\sin45^\circ$ और $\cos45^\circ$ दोनों $1/\sqrt2$ हैं। इनका गुणनफल $1/2$ है।

51. (B) $\frac{12}{13}$
$\sin^2A+\cos^2A=1$ से $\sin A=\sqrt{1-25/169}=\sqrt{144/169}=12/13$।

52. (A) 1
$\sec45^\circ=\sqrt2$ है, तो $\sec^2 45^\circ=2$ और $\tan^2 45^\circ=1$। अंतर $2-1=1$।

53. (D) $\sin20^\circ$
पूरक कोणों का नियम है: $\cos\theta=\sin(90^\circ-\theta)$। इसलिए $\cos70^\circ=\sin(90^\circ-70^\circ)=\sin20^\circ$।

54. (D) 60°
$\tan60^\circ=\sqrt3$ है, इसलिए A=60°।

55. (A) 1
$\sin90^\circ=1$ और $\cos90^\circ=0$ है। तो योग $1+0=1$।

56. (C) 3
$\sin30^\circ=1/2$ है, इसलिए $\operatorname{cosec}30^\circ=2$। तो $2^2-1=4-1=3$।

57. (B) 45°
ऊँचाई और छाया बराबर हैं, तो $\tan\theta=21/21=1$, यानी θ=45°।

58. (B) $9\sqrt3$ मीटर
$\tan60^\circ=h/9$ है, इसलिए $h=9\tan60^\circ=9\sqrt3$ मीटर।

59. (D) 7 मीटर
सीढ़ी कर्ण है, तो ऊँचाई $=14\sin30^\circ=14\times\frac12=7$ मीटर।

60. (D) $10\sqrt2$ मीटर
डोर कर्ण है, इसे L मान लीजिए। $\sin45^\circ=10/L$ से $L=10\sqrt2$ मीटर।

खंड अ: प्रश्न 61–80 के उत्तर और कारण

61. (B) 55°
शीर्ष से खींची क्षैतिज रेखा भूमि के समांतर है। दृष्टि रेखा से बने एकांतर कोण बराबर होते हैं, इसलिए उन्नयन कोण भी 55° है।

62. (A) $\tan\theta=h/d$
कोण θ के सामने की भुजा ऊँचाई h है और संलग्न भुजा दूरी d, इसलिए $\tan\theta=h/d$।

63. (B) 90°
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है। यानी दोनों के बीच का कोण 90° है।

64. (A) 5
बाहरी बिंदु से दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। $2x+1=11$ से $2x=10$, यानी $x=5$।

65. (A) 8 सेमी
त्रिज्या स्पर्शखंड पर लंब है, तो स्पर्शखंड $=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$ सेमी।

66. (A) 115°
केंद्र, दोनों स्पर्श बिंदुओं और बाहरी बिंदु से बने चतुर्भुज में स्पर्श बिंदुओं वाले दोनों कोण 90° हैं, इसलिए बाकी दो कोणों का योग 180° है। तो त्रिज्याओं के बीच का कोण $180^\circ-65^\circ=115^\circ$।

67. (A) 11 सेमी
परिगत चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं: $AB+CD=BC+AD$। तो $9+8=6+AD$, यानी $AD=11$ सेमी।

68. (A) 2
वृत्त के अंदर से गुज़रने वाली रेखा दोनों ओर परिधि को एक-एक बार काटती है, यानी दो बिंदुओं पर।

69. (B) 9
4:5 में बाँटने के लिए किरण पर $4+5=9$ बराबर भाग लगाने होते हैं।

70. (C) 10 सेमी
स्केल गुणक से भुजा को गुणा कीजिए: $15\times\frac23=10$ सेमी।

71. (B) $\frac52$
स्केल गुणक = नई भुजा ÷ पुरानी भुजा $=15/6=5/2$।

72. (C) 4.5 सेमी
सहायक वृत्त का व्यास OP है, इसलिए उसकी त्रिज्या $9/2=4.5$ सेमी होगी।

73. (A) 3 सेमी
1:3 का मतलब है कुल 4 बराबर भाग, जिनमें AP एक भाग है। तो $AP=12/4=3$ सेमी।

74. (C) 132 सेमी
व्यास दिया है, तो $2\pi r$ की जगह सीधे $\pi d$ लगाइए: $C=\frac{22}{7}\times42=132$ सेमी।

75. (B) $9\pi$ वर्ग सेमी
चतुर्थांश वृत्त का चौथाई है: $\pi r^2/4=36\pi/4=9\pi$ वर्ग सेमी है।

76. (B) $18\pi$ वर्ग सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360}\pi r^2$ होता है। यहाँ $\frac{80}{360}\times\pi\times81=18\pi$ वर्ग सेमी।

77. (D) $10\pi$ सेमी
चाप की लंबाई $\frac{\theta}{360}\times2\pi r$ होती है। यहाँ $\frac{120}{360}\times2\pi\times15=10\pi$ सेमी।

78. (A) $45\pi$ वर्ग सेमी
वलय का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल − छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $\pi(9^2-6^2)=\pi(81-36)=45\pi$ वर्ग सेमी।

79. (D) 44%
नई त्रिज्या $1.2r$ है, तो नया क्षेत्रफल $\pi(1.2r)^2=1.44\pi r^2$, यानी पहले का 1.44 गुना। यह 44% की बढ़त है, 40% की नहीं।

80. (C) 108°
पूरा वृत्त 360° का है, तो उसका $\frac{3}{10}$ भाग $\frac{3}{10}\times360^\circ=108^\circ$ होगा।

खंड अ: प्रश्न 81–100 के उत्तर और कारण

81. (A) 294 वर्ग सेमी
घन के 6 फलक हैं और हर फलक $7^2=49$ वर्ग सेमी का है। कुल $6\times49=294$ वर्ग सेमी।

82. (D) $150\pi$ घन सेमी
बेलन का आयतन $V=\pi r^2h=\pi\times25\times6=150\pi$ घन सेमी।

83. (C) 5 सेमी
शंकु में $l^2=r^2+h^2$ होता है। तो $h=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ सेमी।

84. (B) $64\pi$ वर्ग सेमी
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2=4\pi\times16=64\pi$ वर्ग सेमी है।

85. (A) $144\pi$ घन सेमी
अर्धगोले का आयतन $\frac{2}{3}\pi r^3$ होता है: $\frac{2}{3}\pi\times6^3=\frac{2}{3}\pi\times216=144\pi$ घन सेमी।

86. (B) 1.25 लीटर
1000 घन सेमी 1 लीटर के बराबर है, तो 1250 घन सेमी $=1250/1000=1.25$ लीटर।

87. (D) 3 गुना
$V=\pi r^2h$ में r वही है और h तीन गुना हुआ, इसलिए आयतन भी तीन गुना होगा।

88. (A) 15
सभी मानों का योग $9+12+15+18+21=75$ है और मान 5 हैं। माध्य $75/5=15$।

89. (C) 15
आरोही क्रम में लिखिए: 5, 10, 15, 20, 25। बीच का मान 15 है।

90. (A) 4
4 तीन बार आया है, जो सबसे अधिक है।

91. (B) 40
वर्ग चिह्न दोनों वर्ग सीमाओं का औसत होता है: $(35+45)/2=40$।

92. (B) 25
$N/2=50/2=25$।

93. (D) 34
आनुभविक संबंध है: बहुलक $=3\times$ माध्यिका $-\,2\times$ माध्य। तो बहुलक $=3(30)-2(28)=90-56=34$।

94. (D) $a+d_i$
$d_i=x_i-a$ के दोनों ओर a जोड़ दीजिए, तो $x_i=a+d_i$ मिलता है।

95. (A) $\frac13$
पासे के 6 परिणामों में से 4 और 6, ये दो अनुकूल हैं। प्रायिकता $2/6=1/3$।

96. (B) $\frac12$
चार परिणाम HH, HT, TH, TT हैं। इनमें HH और TT अनुकूल हैं, तो प्रायिकता $2/4=1/2$।

97. (A) $\frac14$
गड्डी में पान के 13 पत्ते होते हैं। प्रायिकता $13/52=1/4$।

98. (B) 0.18
घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। तो $1-0.82=0.18$।

99. (A) $\frac25$
कुल गेंदें $9+6=15$ हैं, जिनमें 6 काली हैं। प्रायिकता $6/15=2/5$।

100. (B) $\frac5{12}$
1 से 12 तक अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं, यानी 5 अनुकूल पर्चियाँ। प्रायिकता $5/12$। ध्यान रहे, 1 अभाज्य संख्या नहीं है।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 1 (2 अंक)

यूक्लिड विधि से 867 और 255 का म.स. निकालें।

हल:

बड़ी संख्या को छोटी से भाग देते जाइए, जब तक शेष शून्य न हो जाए:

$$867=255\times3+102$$

$$255=102\times2+51$$

$$102=51\times2+0$$

शेष शून्य आने से पहले का आखिरी अशून्य शेष 51 है। इसलिए म.स. 51 है।

प्रश्न 2 (2 अंक)

दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है और उनका म.स. 7 है। संख्याएँ तथा ल.स. निकालें।

हल:

मान लीजिए संख्याएँ 3k और 5k हैं। 3 और 5 में कोई साझा गुणनखंड नहीं है, इसलिए इन संख्याओं का म.स. k ही होगा। म.स. 7 दिया है, तो k=7।

इस तरह संख्याएँ 21 और 35 हैं।

अब म.स. × ल.स. = गुणनफल से ल.स. $=(21\times35)/7=105$।

तो संख्याएँ 21 और 35 हैं, और उनका ल.स. 105 है।

प्रश्न 3 (2 अंक)

$3x^2-8x+4$ के शून्यक निकालें और उनके योग की जाँच करें।

हल:

बीच वाले पद को तोड़कर गुणनखंड बनाते हैं:

$3x^2-8x+4=3x^2-6x-2x+4=(3x-2)(x-2)$।

इसलिए शून्यक 2/3 और 2 हैं।

अब योग की जाँच। शून्यकों का योग $2/3+2=8/3$ है, और गुणांकों से $-b/a=8/3$ ही आता है। दोनों बराबर हैं, यानी उत्तर सही है।

प्रश्न 4 (2 अंक)

$x^3+3x^2+3x+1$ को $x+1$ से भाग देकर भागफल और शेष लिखें।

हल:

लंबी भाग विधि से भाग देते हैं।

पहले भागफल में $x^2$ लिखिए और भाजक से गुणा करके घटाइए: $(x^3+3x^2+3x+1)-(x^3+x^2)=2x^2+3x+1$।

फिर भागफल में $2x$ जोड़कर घटाइए: $(2x^2+3x+1)-(2x^2+2x)=x+1$।

अंत में 1 से गुणा करके घटाने पर शेष 0 बचता है।

तो भागफल $x^2+2x+1$ और शेष 0 है।

प्रश्न 5 (2 अंक)

$4x+3y=25$ और $2x-3y=-7$ हल करें।

हल:

दोनों समीकरणों में $3y$ और $-3y$ हैं, इसलिए जोड़ते ही y हट जाता है:

$6x=18$, यानी $x=3$।

अब पहले समीकरण में $x=3$ रखिए: $12+3y=25$, तो $3y=13$ और $y=13/3$।

इस तरह x=3 और y=13/3।

प्रश्न 6 (2 अंक)

एक कक्षा में लड़कों और लड़कियों की कुल संख्या 45 है। लड़कियाँ लड़कों से 5 अधिक हैं। दोनों की संख्या निकालें।

हल:

मान लीजिए लड़के x और लड़कियाँ y हैं। तब x+y=45 और y−x=5।

दोनों को जोड़ने पर 2y=50, यानी y=25। फिर x=45−25=20।

तो कक्षा में 20 लड़के और 25 लड़कियाँ हैं।

प्रश्न 7 (2 अंक)

$5x^2-13x+6=0$ गुणनखंड विधि से हल करें।

हल:

यहाँ $5\times6=30$ है, और −10x तथा −3x का गुणनफल भी $30x^2$ और योग −13x है। इसलिए बीच वाला पद ऐसे तोड़ते हैं:

$5x^2-10x-3x+6=0$

$5x(x-2)-3(x-2)=0$

$(5x-3)(x-2)=0$

हर गुणनखंड को शून्य रखने पर x=3/5 या x=2।

प्रश्न 8 (2 अंक)

$x^2-2x-2=0$ के मूल सूत्र से निकालें।

हल:

द्विघात सूत्र में a=1, b=−2 और c=−2 रखते हैं:

$$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}2=\frac{2\pm\sqrt{12}}2=1\pm\sqrt3$$

यहाँ $\sqrt{12}=2\sqrt3$ है, इसलिए 2 से भाग देने पर $1\pm\sqrt3$ बचता है। तो मूल $1+\sqrt3$ और $1-\sqrt3$ हैं।

प्रश्न 9 (2 अंक)

समांतर श्रेढ़ी का तीसरा पद 16 और सातवाँ पद 36 है। पहला पद तथा दसवाँ पद निकालें।

हल:

तीसरा पद $a+2d$ और सातवाँ पद $a+6d$ होता है। तो a+2d=16 और a+6d=36।

दूसरे में से पहला घटाने पर 4d=20, यानी d=5। फिर a=16−10=6।

दसवाँ पद $a_{10}=6+9(5)=51$।

इसलिए पहला पद 6 और दसवाँ पद 51 है।

प्रश्न 10 (2 अंक)

30, 27, 24, … के प्रथम 12 पदों का योग निकालें।

हल:

यहाँ a=30 है, पद 3-3 करके घट रहे हैं इसलिए d=−3, और n=12।

$$S_{12}=\frac{12}{2}[60+11(-3)]=6(27)=162$$

तो योग 162 है।

प्रश्न 11 (2 अंक)

त्रिभुज ABC में D, AB पर और E, AC पर हैं। AD=5, DB=7, AE=10 और EC=14 सेमी हैं। क्या DE, BC के समांतर है? कारण दें।

हल:

दोनों भुजाओं पर बने अनुपात निकालकर देखते हैं:

$AD/DB=5/7$ और $AE/EC=10/14=5/7$।

दोनों अनुपात बराबर हैं, यानी D और E अपनी-अपनी भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटते हैं। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से DE, BC के समांतर है।

प्रश्न 12 (2 अंक)

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 100 और 225 वर्ग सेमी हैं। छोटे की एक भुजा 8 सेमी है। बड़े की संगत भुजा निकालें।

हल:

समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। इसलिए भुजाओं का अनुपात क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल होगा:

$\sqrt{100}:\sqrt{225}=10:15=2:3$।

बड़े त्रिभुज की संगत भुजा x मान लीजिए। तब $8/x=2/3$, जिससे x=12 सेमी।

प्रश्न 13 (2 अंक)

बिंदुओं (−3, 2) और (5, 8) के बीच दूरी निकालें।

हल:

दूरी सूत्र लगाते हैं:

$$d=\sqrt{(5+3)^2+(8-2)^2}=\sqrt{64+36}=10$$

तो दूरी 10 इकाई है। ध्यान दीजिए, $5-(-3)$ का मान 8 होता है, 2 नहीं।

प्रश्न 14 (2 अंक)

A(0, 0), B(6, 0), C(6, 4), D(0, 4) वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें।

हल:

पहले बिंदुओं को देखिए। A और B का y-निर्देशांक 0 है और C तथा D का 4, इसलिए AB और CD क्षैतिज हैं। इसी तरह BC और AD ऊर्ध्वाधर हैं। यानी ABCD एक आयत है।

इसकी लंबाई AB=6 इकाई और चौड़ाई BC=4 इकाई है।

क्षेत्रफल $=6\times4=\mathbf{24}$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 15 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए $\tan A=5/12$ है। $\sin A$ और $\sec A$ निकालें।

हल:

$\tan A$ लंब और आधार का अनुपात है, इसलिए लंब 5k और आधार 12k मान लीजिए। पाइथागोरस से कर्ण $\sqrt{25k^2+144k^2}=13k$ आता है।

अब sin A लंब/कर्ण है और sec A कर्ण/आधार। तो sin A=5/13 और sec A=13/12।

प्रश्न 16 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए सिद्ध करें: $(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1$।

हल:

बायाँ पक्ष $(a+b)(a-b)$ के रूप में है, इसलिए

बायाँ पक्ष $=\sec^2 A-\tan^2 A$।

अब सर्वसमिका $\sec^2 A=1+\tan^2 A$ रखिए:

$$\sec^2 A-\tan^2 A=1+\tan^2 A-\tan^2 A=1$$

यही दायाँ पक्ष है। इस तरह बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, यानी सिद्ध हुआ।

प्रश्न 17 (2 अंक)

भूमि से 10 मीटर ऊँचे खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। प्रेक्षण बिंदु की आधार से दूरी निकालें।

हल:

प्रेक्षण बिंदु की खंभे के आधार से दूरी x मीटर मान लीजिए।

$$\tan30^\circ=10/x\ \Rightarrow\ 1/\sqrt3=10/x$$

तो $x=10\sqrt3$, यानी दूरी $10\sqrt3$ मीटर है।

प्रश्न 18 (2 अंक)

एक व्यक्ति की आँखें भूमि से 1.4 मीटर ऊपर हैं। उससे 8 मीटर दूर भवन का शीर्ष 45° उन्नयन पर दिखता है। भवन की ऊँचाई निकालें।

हल:

ध्यान दीजिए कि 45° का कोण आँख की ऊँचाई से बन रहा है, भूमि से नहीं। भवन की ऊँचाई h मीटर हो, तो आँख के स्तर से ऊपर का भाग h−1.4 मीटर होगा।

$$\tan45^\circ=(h-1.4)/8=1$$

इससे h−1.4=8, यानी h=9.4 मीटर।

प्रश्न 19 (2 अंक)

एक वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या 10 सेमी है। P से स्पर्शखंड PT=24 सेमी हो तो OP निकालें।

हल:

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए OT, PT पर लंब है। अब समकोण त्रिभुज OTP में पाइथागोरस लगाइए:

$$OP^2=OT^2+PT^2=10^2+24^2=676$$

$\sqrt{676}=26$ है, इसलिए OP=26 सेमी।

प्रश्न 20 (2 अंक)

P से वृत्त की स्पर्शरेखाएँ PA और PB हैं। ∠APB=60° है। यदि केंद्र O हो तो ∠AOB निकालें।

हल:

A और B पर खींची त्रिज्याएँ स्पर्शरेखाओं पर लंब हैं, इसलिए चतुर्भुज OAPB में A और B के कोण 90° हैं। चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है:

$$\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$$

तो ∠AOB=120° है। याद रखिए, ∠AOB और ∠APB मिलकर हमेशा 180° बनाते हैं।

प्रश्न 21 (2 अंक)

9 सेमी के रेखाखंड को 4:5 में बाँटने की रचना के चरण लिखें।

हल:

1. AB=9 सेमी का रेखाखंड खींचिए। A से एक किरण AX खींचिए जो AB के साथ न्यूनकोण बनाए।
2. 4+5=9 है, इसलिए AX पर बराबर दूरी पर नौ बिंदु $A_1$ से $A_9$ तक लगाइए।
3. $A_9B$ मिलाइए। अब $A_4$ से $A_9B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो AB को P पर काटे।
4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से AP:PB=4:5 होगा। नापकर देखिए, AP=4 सेमी और PB=5 सेमी आना चाहिए।

प्रश्न 22 (2 अंक)

त्रिभुज की भुजाएँ 5, 7 और 9 सेमी हैं। उसके समरूप 2/5 स्केल के त्रिभुज की भुजाएँ और परिमाप निकालें।

हल:

नए त्रिभुज की हर भुजा मूल भुजा की 2/5 गुनी होगी:

$5(2/5)=2$, $7(2/5)=2.8$ और $9(2/5)=3.6$ सेमी।

परिमाप $=2+2.8+3.6=8.4$ सेमी।

तो भुजाएँ 2, 2.8, 3.6 सेमी और परिमाप 8.4 सेमी है।

प्रश्न 23 (2 अंक)

21 सेमी त्रिज्या के अर्धवृत्त का पूरा परिमाप निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

अर्धवृत्त के परिमाप में दो हिस्से आते हैं: घुमावदार चाप $\pi r$ और सीधा व्यास $2r$। व्यास जोड़ना मत भूलिए।

$$P=\pi r+2r=\frac{22}{7}\times21+42=66+42=108$$

तो परिमाप 108 सेमी है।

प्रश्न 24 (2 अंक)

14 सेमी त्रिज्या के वृत्त में 60° चाप की लंबाई निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

60° का कोण पूरे वृत्त का $60/360=1/6$ भाग है, इसलिए चाप भी परिधि का 1/6 भाग होगा:

$$L=\frac{60}{360}\times2\pi r=\frac16\times2\times\frac{22}{7}\times14=\frac{44}{3}$$

तो चाप की लंबाई $44/3$ सेमी है।

प्रश्न 25 (2 अंक)

त्रिज्या 8 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी के शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। उत्तर π में दें।

हल:

पहले तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं:

$l=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$ सेमी।

अब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi rl=\pi\times8\times17=136\pi$।

तो उत्तर $136\pi$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 26 (2 अंक)

2 मीटर लंबी, 1.5 मीटर चौड़ी और 1 मीटर गहरी आयताकार टंकी की क्षमता लीटर में निकालें। ये उसके भीतरी माप हैं।

हल:

टंकी का आयतन $=2\times1.5\times1=3$ घन मीटर है।

1 घन मीटर में 1000 लीटर आते हैं, इसलिए क्षमता $=3\times1000=\mathbf{3000}$ लीटर।

प्रश्न 27 (2 अंक)

मान 10, 15 और 20 की बारंबारताएँ 3, 4 और 3 हैं। माध्य निकालें।

हल:

हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़ते हैं:

$\sum f=3+4+3=10$ और $\sum fx=30+60+60=150$।

$$\bar x=\frac{150}{10}=15$$

तो माध्य 15 है।

प्रश्न 28 (2 अंक)

वर्ग 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 की बारंबारताएँ 4, 9, 15, 2 हैं। बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग पहचानें।

हल:

जिस वर्ग की बारंबारता सबसे अधिक हो, वही बहुलक वर्ग है। यहाँ सबसे बड़ी बारंबारता 15 है, इसलिए बहुलक वर्ग 30–40 है।

माध्यिका वर्ग के लिए संचयी बारंबारता देखिए। N=30 है, तो N/2=15। संचयी बारंबारताएँ 4, 13, 28, 30 हैं। 15 से बड़ी पहली संचयी बारंबारता 28 है, जो वर्ग 30–40 की है। इसलिए माध्यिका वर्ग भी 30–40 है।

प्रश्न 29 (2 अंक)

दो निष्पक्ष पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं। योग 9 होने की प्रायिकता निकालें।

हल:

दो पासों के कुल $6\times6=36$ समसंभावी परिणाम हैं। योग 9 देने वाले युग्म (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) हैं, यानी 4 अनुकूल परिणाम।

प्रायिकता $=4/36=\mathbf{1/9}$।

ध्यान दीजिए, (3,6) और (6,3) अलग-अलग परिणाम हैं, क्योंकि दोनों पासे अलग हैं।

प्रश्न 30 (2 अंक)

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके बादशाह या बेगम होने की प्रायिकता निकालें।

हल:

गड्डी में चार बादशाह और चार बेगम होते हैं। कोई पत्ता एक साथ बादशाह और बेगम नहीं हो सकता, इसलिए अनुकूल पत्ते 4+4=8 हैं।

प्रायिकता $=8/52=\mathbf{2/13}$।

खंड ब: दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 31 (5 अंक)

ग्राफ विधि से $x+y=5$ तथा $y-x=1$ हल करें। दोनों रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।

हल:

दोनों समीकरणों को y के रूप में लिखते हैं: $y=5-x$ और $y=x+1$।

इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके दोनों रेखाएँ खींचते हैं।

दोनों रेखाएँ (2, 3) पर मिलती हैं। इसलिए x=2 और y=3।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: 2+3=5 और 3−2=1। दोनों समीकरण पूरे होते हैं।

अब त्रिभुज का क्षेत्रफल। रेखाएँ y-अक्ष को (0, 5) और (0, 1) पर काटती हैं। y-अक्ष पर पड़ी यह भुजा आधार है, जिसकी लंबाई 5−1=4 इकाई है। तीसरा शीर्ष (2, 3) है, जिसकी y-अक्ष से दूरी 2 इकाई है, और यही ऊँचाई है।

$$A=\frac12\times4\times2=4$$

तो क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 32 (5 अंक)

दो वर्गों की भुजाओं में 3 सेमी का अंतर है। उनके क्षेत्रफलों का योग 89 वर्ग सेमी है। दोनों वर्गों की भुजाएँ तथा परिमाप निकालें।

हल:

छोटे वर्ग की भुजा x सेमी मान लीजिए। तब बड़े वर्ग की भुजा x+3 सेमी होगी।

दोनों क्षेत्रफलों का योग 89 है:

$$x^2+(x+3)^2=89$$

$$2x^2+6x+9=89\ \Rightarrow\ 2x^2+6x-80=0$$

पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर $x^2+3x-40=0$।

$$(x+8)(x-5)=0$$

इससे x=−8 या x=5। भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x=5 लेते हैं। बड़े वर्ग की भुजा 5+3=8 सेमी होगी।

तो भुजाएँ 5 सेमी और 8 सेमी हैं।

इनके परिमाप $4\times5=20$ सेमी और $4\times8=32$ सेमी हैं, यानी परिमाप 20 सेमी और 32 सेमी।

एक बार जाँच लीजिए: $5^2+8^2=25+64=89$ वर्ग सेमी, जो दिया गया योग ही है।

प्रश्न 33 (5 अंक)

अमन पहले सप्ताह ₹50 बचाता है। प्रत्येक अगले सप्ताह वह पिछले सप्ताह से ₹10 अधिक बचाता है। कुल बचत ₹1800 होने में कितने सप्ताह लगेंगे? अंतिम सप्ताह की बचत भी निकालें।

हल:

हर सप्ताह की बचत 50, 60, 70, … है, यानी यह समांतर श्रेढ़ी है जिसमें a=50 और d=10। मान लीजिए n सप्ताह लगते हैं। तब पहले n पदों का योग 1800 होगा:

$$1800=\frac n2[2(50)+(n-1)10]$$

$$1800=\frac n2(90+10n)=5n(n+9)$$

दोनों ओर 5 से भाग देकर सब एक ओर ले जाने पर

$$n^2+9n-360=0$$

$$(n+24)(n-15)=0$$

इससे n=−24 या n=15। सप्ताहों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए 15 सप्ताह लगेंगे।

अब अंतिम, यानी 15वें सप्ताह की बचत:

$$a_{15}=50+14(10)=190$$

तो अंतिम सप्ताह की बचत ₹190 है। योग से मिलाकर देखिए: $15(50+190)/2=1800$ रुपये, जो कुल बचत दी गई थी।

प्रश्न 34 (5 अंक)

सिद्ध करें कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। यदि संगत भुजाओं का अनुपात 2:3 और क्षेत्रफलों का अंतर 100 वर्ग सेमी हो तो दोनों क्षेत्रफल निकालें।

हल:

प्रमाण: मान लीजिए $\triangle ABC\sim\triangle PQR$ है, जिसमें A↔P, B↔Q, C↔R संगत हैं। A से BC पर लंब AD और P से QR पर लंब PE खींचिए।

समरूपता के कारण ∠B=∠Q है, और ∠ADB=∠PEQ=90° है। इसलिए समकोण त्रिभुज ABD और PQE समरूप हैं, और

$$\frac{AD}{PE}=\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}$$

अब दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई से लिखिए:

$$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(PQR)}=\frac{\frac12 BC\cdot AD}{\frac12 QR\cdot PE}=\frac{BC}{QR}\times\frac{AD}{PE}$$

$$=\left(\frac{BC}{QR}\right)^2$$

सभी संगत भुजाओं का अनुपात एक ही है, इसलिए यह बात हर संगत भुजा-युग्म के लिए सही है। यही सिद्ध करना था।

संख्यात्मक भाग: भुजाओं का अनुपात 2:3 है, इसलिए क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 होगा। क्षेत्रफल 4k और 9k मान लीजिए।

$9k-4k=100$, यानी 5k=100 और k=20।

तो छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी और बड़े का 180 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 35 (5 अंक)

4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचें। केंद्र O से 8 सेमी दूर बिंदु P लें और P से वृत्त पर दोनों स्पर्शरेखाओं की रचना करें। रचना का औचित्य तथा स्पर्शखंडों की लंबाई लिखें।

हल:

रचना:

1. O को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। O से 8 सेमी दूर बिंदु P लीजिए और OP मिलाइए।
2. OP का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु M लीजिए।
3. M को केंद्र मानकर MO=4 सेमी त्रिज्या का सहायक वृत्त खींचिए। यह दिए गए वृत्त को T और U पर काटेगा।
4. PT और PU मिलाइए। यही दोनों अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

औचित्य: सहायक वृत्त का व्यास OP है। अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए $\angle OTP$ और $\angle OUP$ दोनों समकोण हैं। यानी PT और PU क्रमशः त्रिज्या OT और OU पर लंब हैं। त्रिज्या के सिरे पर उस पर लंब रेखा स्पर्शरेखा होती है, इसलिए PT और PU वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं।

स्पर्शखंड की लंबाई: समकोण त्रिभुज OTP में

$$PT^2=OP^2-OT^2=8^2-4^2=48$$

तो $PT=PU=4\sqrt3$ सेमी है।

प्रश्न 36 (5 अंक)

एक भवन की छत पर 20 मीटर ऊँचा खंभा लगा है। समतल भूमि के एक बिंदु से भवन की छत का उन्नयन कोण 30° और खंभे के शीर्ष का 60° है। भवन और खंभा भूमि पर लंबवत हैं। भवन की ऊँचाई तथा प्रेक्षण बिंदु की आधार से दूरी निकालें।

हल:

भवन AB की ऊँचाई h मीटर, उसकी छत पर खंभा BC=20 मीटर, और प्रेक्षण बिंदु P की आधार A से दूरी x मीटर मान लीजिए।

त्रिभुज PAB में छत का उन्नयन कोण 30° है:

$$\tan30^\circ=\frac hx\ \Rightarrow\ x=\sqrt3h\quad(1)$$

त्रिभुज PAC में खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है, और वहाँ कुल ऊँचाई h+20 है:

$$\tan60^\circ=\frac{h+20}{x}\ \Rightarrow\ h+20=\sqrt3x\quad(2)$$

(1) से x का मान (2) में रखिए, तो $h+20=3h$। इससे 2h=20, यानी h=10।

फिर (1) से $x=10\sqrt3$ मीटर।

तो भवन की ऊँचाई 10 मीटर है और प्रेक्षण बिंदु की आधार से दूरी $10\sqrt3$ मीटर है।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: खंभे के शीर्ष की कुल ऊँचाई 30 मीटर है, और $30/(10\sqrt3)=\sqrt3$, जो $\tan60^\circ$ ही है।

प्रश्न 37 (5 अंक)

6 सेमी त्रिज्या का एक ठोस धातु का गोला पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी लंबवत ऊँचाई वाले समान शंकु बनाए जाते हैं। धातु की हानि नहीं होती। शंकुओं की संख्या और सभी शंकुओं का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। क्षेत्रफल का उत्तर π के रूप में दें।

हल:

पिघलाकर नया आकार देने से धातु का कुल आयतन नहीं बदलता। इसलिए शंकुओं की संख्या गोले के आयतन को एक शंकु के आयतन से भाग देकर मिलेगी।

गोले का आयतन

$$V_s=\frac43\pi(6)^3=288\pi\text{ घन सेमी}$$

एक शंकु का आयतन

$$V_c=\frac13\pi(3)^2(4)=12\pi\text{ घन सेमी}$$

तो शंकुओं की संख्या $n=288\pi/(12\pi)=24$।

अब क्षेत्रफल। एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ सेमी है।

ठोस शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार समेत लिया जाता है:

$$S_1=\pi r(l+r)=\pi\times3(5+3)=24\pi$$

सभी 24 शंकुओं का क्षेत्रफल $24\times24\pi=576\pi$ वर्ग सेमी है।

तो 24 शंकु बनेंगे और उनका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $576\pi$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 38 (5 अंक)

निम्न वितरण का बहुलक निकालें और ‘से कम’ तोरण बनाकर माध्यिका का अनुमान लगाएँ। ऊपरी वर्ग सीमा अगले वर्ग में शामिल है।

हल:

बहुलक: सबसे बड़ी बारंबारता 10 है, इसलिए बहुलक वर्ग 20–30 है।

इस वर्ग के लिए l=20 और h=10 है। बहुलक वर्ग की बारंबारता f₁=10, उससे पहले वाले वर्ग की f₀=6 और बाद वाले की f₂=8 है।

$$Z=l+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\,h=20+\frac{10-6}{20-6-8}\times10$$

$$=20+\frac{40}{6}=\frac{80}{3}\approx26.67$$

तो बहुलक लगभग 26.67 है।

‘से कम’ तोरण की सारणी:

ग्राफ में x-अक्ष पर ऊपरी वर्ग सीमाएँ और y-अक्ष पर संचयी बारंबारताएँ लीजिए। सारणी के बिंदुओं को अंकित करके उन्हें एक चिकने वक्र से जोड़िए, यही तोरण है। कुल N=30 है, इसलिए माध्यिका के लिए N/2=15 लीजिए। y-अक्ष पर 15 से एक क्षैतिज रेखा तोरण तक खींचिए, और जहाँ वह तोरण से मिले वहाँ से x-अक्ष पर लंब गिराइए।

लंब x-अक्ष पर लगभग 25 पर पड़ता है। इसलिए ग्राफ से माध्यिका लगभग 25 है।

सूत्र से भी मिलाकर देख लेते हैं। माध्यिका वर्ग 20–30 है:

$$M=20+\frac{15-10}{10}\times10=25$$

दोनों तरीकों से एक ही मान आया।