अभ्यास सेट 3: उत्तर और हल

अभ्यास सेट 3: उत्तर और हल

सबसे पहले पिछले पृष्ठ का पूरा प्रश्न पत्र खुद हल कीजिए, उसके बाद ही यहाँ उत्तर मिलाइए। खंड अ के हर प्रश्न का सही विकल्प छोटे कारण के साथ दिया गया है। खंड ब के सभी 38 लिखित प्रश्नों के हल चरण-दर-चरण लिखे गए हैं।

अपने अंक कैसे गिनें: खंड अ में आपने जो पहले 50 उत्तर दिए हैं, उनमें से सही उत्तर गिनिए। लिखित प्रश्नों में अपना हल यहाँ के चरणों से मिलाइए। सूत्र, गणना और अंतिम उत्तर तीनों सही हों, तभी पूरे अंक दीजिए।

खंड अ: उत्तर कुंजी

खंड अ: प्रश्न 1–20 के उत्तर और कारण

1. (C) 6
शेष हमेशा भाजक से छोटा होता है और ऋणात्मक नहीं होता, यानी $0\le r\lt7$। दिए गए विकल्पों में यह शर्त सिर्फ़ 6 पूरी करता है।

2. (B) 72
याद रखिए, दो संख्याओं का म.स. × ल.स. उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए ल.स. $=432/6=72$।

3. (A) 15, 225
पहले अभाज्य गुणनखंड लिखिए: $45=3^2\times5$ और $75=3\times5^2$। म.स. में हर अभाज्य की सबसे छोटी घात लेते हैं, तो म.स. $=3\times5=15$। ल.स. में सबसे बड़ी घात लेते हैं, तो ल.स. $=3^2\times5^2=225$।

4. (A) सांत
भिन्न को पहले सरल कीजिए: $15/48=5/16$। हर $16=2^4$ में 2 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

5. (D) $2+\sqrt3$
मान लीजिए $2+\sqrt3$ परिमेय है। तब इसमें से 2 घटाने पर $\sqrt3$ भी परिमेय निकलेगा, जो सच नहीं है। बाकी तीनों संख्याएँ परिमेय हैं।

6. (A) 5
$180=2^2\times3^2\times5$ है। इसमें 5 की घात विषम है, इसलिए 5 से भाग देना पड़ेगा। तब $36=6^2$ मिलता है, जो पूर्ण वर्ग है।

7. (B) $\frac3{11}$
$x=0.2727\ldots$ मान लीजिए। यहाँ दो अंक दोहराए जा रहे हैं, इसलिए $x$ को 100 से गुणा करके $x$ घटाइए: $100x-x=27$। तो $x=27/99=3/11$।

8. (D) 3, 7
मध्य पद को तोड़कर गुणनखंड कीजिए: $x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$। दोनों गुणनखंडों को शून्य रखने पर शून्यक 3 और 7 मिलते हैं।

9. (D) 2
$ax^2+bx+c$ के शून्यकों का गुणनफल $c/a$ होता है। यहाँ $c/a=2/a=1$, इसलिए $a=2$।

10. (A) 2
किसी बहुपद के वास्तविक शून्यक उसकी घात से ज़्यादा नहीं हो सकते। द्विघात बहुपद की घात 2 है, तो इसके अधिकतम 2 शून्यक होंगे।

11. (A) 0
हर वास्तविक $x$ के लिए $x^2\ge0$, इसलिए $x^2+1\ge1$। इसका मान कभी शून्य नहीं होता, यानी इसका ग्राफ x-अक्ष को कहीं नहीं छूता।

12. (C) 0
$x=1$ रखिए: $p(1)=1+2-1-2=0$।

13. (A) $x^2-3x-4$
शून्यक 4 और −1 हैं, तो गुणनखंड $(x-4)$ और $(x+1)$ होंगे। इन्हें गुणा करने पर $(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$ मिलता है।

14. (A) 13
यहाँ $\alpha+\beta=5$ और $\alpha\beta=6$ है। अब $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-12=13$।

15. (C) (8, 3)
दोनों समीकरण जोड़ने पर $y$ कट जाता है और $2x=16$ बचता है। तो $x=8$, और फिर $y=11-8=3$।

16. (A) अनंत
दूसरा समीकरण पहले का ठीक दुगुना है, यानी दोनों एक ही रेखा हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं।

17. (B) $k\ne2$
अद्वितीय हल तब होता है जब $a_1/a_2\ne b_1/b_2$ हो। यहाँ $1/2\ne k/4$ चाहिए, यानी $k\ne2$।

18. (A) ₹5
एक पेंसिल ₹3 की है, तो दो पेंसिल ₹6 की हुईं। तीन रबर के लिए $21-6=15$ रुपये बचे, इसलिए एक रबर ₹5 का है।

19. (C) (0, −5)
y-अक्ष पर हर बिंदु का $x=0$ होता है। समीकरण में $x=0$ रखने पर $-2y=10$, तो $y=-5$।

20. (A) 15 किमी/घंटा
धारा के साथ चलने पर धारा नाव को आगे धकेलती है, इसलिए दोनों चालें जुड़ती हैं: $12+3=15$ किमी/घंटा।

खंड अ: प्रश्न 21–40 के उत्तर और कारण

21. (D) 2
$y=2$ रखिए: $3x-2=4$। तो $3x=6$ और $x=2$।

22. (D) 2, −2
$3x^2-12=0$ से $3x^2=12$, यानी $x^2=4$। वर्गमूल लेते समय दोनों चिह्न लीजिए: $x=\pm2$।

23. (B) −2, −3
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$। हर गुणनखंड को शून्य रखने पर मूल −2 और −3 आते हैं।

24. (D) −8
विवेचक $D=b^2-4ac$ होता है। यहाँ $D=(-4)^2-4(2)(3)=16-24=-8$।

25. (B) 10, −10
बराबर मूलों के लिए $D=0$ चाहिए। $D=k^2-100=0$ से $k^2=100$, इसलिए $k=10$ या $k=-10$।

26. (C) $\frac12$
$4x^2=1$ से $x^2=1/4$, यानी $x=\pm1/2$। इनमें धनात्मक मूल $1/2$ है।

27. (A) 8
छोटी संख्या $n$ मानिए, तो बड़ी $n+1$ होगी। $(n+1)^2-n^2=2n+1=17$ से $2n=16$, यानी $n=8$।

28. (C) 5
$x^2-7x+10=0$ में मूलों का गुणनफल $c/a=10$ है। एक मूल 2 है, तो दूसरा $10/2=5$ होगा।

29. (D) 4
अगले पद में से पिछला पद घटाइए: $d=-1-(-5)=-1+5=4$।

30. (A) −1
$a_n=a+(n-1)d$ में $a=9$, $d=-2$ और $n=6$ रखिए: $a_6=9+5(-2)=-1$।

31. (D) 17वाँ
यहाँ $a=4$ और $d=6$ है। $4+6(n-1)=100$ से $6(n-1)=96$, यानी $n-1=16$ और $n=17$। तो 100 इसका सत्रहवाँ पद है।

32. (B) 144
पहली 12 विषम संख्याएँ 1 से 23 तक हैं। इनका योग $S=12(1+23)/2=144$। इसे ऐसे भी याद रख सकते हैं कि पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है, और $12^2=144$।

33. (D) 3
तीसरे से पाँचवें पद तक दो बार $d$ जुड़ता है, इसलिए $2d=19-11=8$ और $d=4$। फिर $a+2d=11$ से $a=11-8=3$।

34. (C) 8
कोई भी पद, उस पद तक के योग में से पिछले योग को घटाकर मिलता है: $a_4=S_4-S_3$। यहाँ $S_4=4(5)=20$ और $S_3=3(4)=12$, तो $a_4=20-12=8$।

35. (D) 2
दो संख्याओं का समांतर माध्य उनका औसत होता है: $(-6+10)/2=4/2=2$।

36. (B) 25:36
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। इसलिए $5^2:6^2=25:36$।

37. (A) 7:8
यहाँ उलटा काम है: क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल लेने पर भुजाओं का अनुपात मिलता है। $\sqrt{49}:\sqrt{64}=7:8$।

38. (C) 20 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण $c=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ सेमी।

39. (A) 8 सेमी
$DE\parallel BC$ है, इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय लगेगा: $AD/DB=AE/EC$। तो $5/10=4/EC$, यानी $EC=8$ सेमी।

40. (B) SAS
जब दो संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो यह SAS समरूपता कसौटी है।

खंड अ: प्रश्न 41–60 के उत्तर और कारण

41. (D) 12 सेमी
समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, यानी भुजाएँ भी 3:4 में हैं। बड़े त्रिभुज की भुजा $9\times4/3=12$ सेमी है।

42. (C) 90°
सबसे बड़ी भुजा का वर्ग बाकी दोनों के वर्गों के योग से मिलाइए: $7^2+24^2=49+576=625=25^2$। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से 25 सेमी वाली भुजा के सामने का कोण समकोण है।

43. (A) 7 इकाई
किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उसके भुज (x-निर्देशांक) के बराबर होती है, चिह्न छोड़कर। यहाँ $|7|=7$ इकाई।

44. (D) 10 इकाई
दूरी सूत्र लगाइए: $d=\sqrt{(4+2)^2+(5+3)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ इकाई।

45. (D) (−1, 3)
मध्यबिंदु के निर्देशांक दोनों बिंदुओं के निर्देशांकों का औसत होते हैं: $\left(\frac{-5+3}{2},\frac{7-1}{2}\right)=(-1,3)$।

46. (D) (6, 4)
यहाँ अनुपात $2:1$ है और A मूलबिंदु है, इसलिए विभाजन सूत्र से $P=\left(\frac{2\times9}{3},\frac{2\times6}{3}\right)=(6,4)$।

47. (C) 6 वर्ग इकाई
(1, 1) से (4, 1) तक की भुजा क्षैतिज है, जिसकी लंबाई 3 है। (1, 1) से (1, 5) तक की भुजा ऊर्ध्वाधर है, जिसकी लंबाई 4 है। यह समकोण त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल $3\times4/2=6$ वर्ग इकाई।

48. (D) द्वितीय
यहाँ $x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक है। ऐसे बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में होते हैं।

49. (C) (6, 5)
B को $(x,y)$ मानिए। मध्यबिंदु सूत्र से $(-2+x)/2=2$, तो $x=6$। इसी तरह $(1+y)/2=3$, तो $y=5$। इसलिए B का निर्देशांक (6, 5) है।

50. (B) 1
$\tan30^\circ=1/\sqrt3$ और $\tan60^\circ=\sqrt3$ है, तो गुणनफल 1 है। वैसे भी 30° और 60° पूरक कोण हैं, और पूरक कोणों के tan का गुणनफल हमेशा 1 होता है।

51. (A) $\frac{15}{17}$
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-64/289}=\sqrt{225/289}=15/17$। A न्यूनकोण है, इसलिए धनात्मक मान लिया।

52. (A) $\tan^2 A$
सर्वसमिका $\sec^2 A=1+\tan^2 A$ याद कीजिए। दोनों ओर से 1 घटाने पर $\sec^2 A-1=\tan^2 A$।

53. (A) $\frac12$
$\cos60^\circ$ और $\sin30^\circ$ दोनों $1/2$ हैं, इसलिए दोनों का वर्ग $1/4$ है। योग $1/4+1/4=1/2$।

54. (B) $\cos42^\circ$
$\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta)$ होता है। तो $\sin48^\circ=\cos(90^\circ-48^\circ)=\cos42^\circ$।

55. (A) 30°
मानों की सारणी से $\cot30^\circ=\sqrt3$ है। न्यूनकोणों में यह मान सिर्फ़ 30° पर आता है, इसलिए $A=30^\circ$।

56. (D) 4
$\cosec30^\circ=1/\sin30^\circ=2$ और $\sec60^\circ=1/\cos60^\circ=2$। दोनों का योग 4 है।

57. (D) 60°
ऊँचाई को छाया से भाग दीजिए: $\tan\theta=16/(16/\sqrt3)=\sqrt3$। $\tan60^\circ=\sqrt3$ होता है, इसलिए सूर्य का उन्नयन कोण 60° है।

58. (A) 12.5 मीटर
डोर कर्ण है और पतंग की ऊँचाई लंब, इसलिए sin लगेगा: $h=25\sin30^\circ=25/2=12.5$ मीटर।

59. (A) $15\sqrt2$ मीटर
भवन की ऊँचाई लंब है और दृष्टि रेखा कर्ण $L$ है। $\sin45^\circ=15/L$ से $L=15\sqrt2$ मीटर।

60. (A) बढ़ता है
मीनार की ऊँचाई $h$ वही रहती है, पर पास जाने पर दूरी $d$ घटती जाती है। तब $\tan\theta=h/d$ बढ़ता है, इसलिए उन्नयन कोण θ भी बढ़ता है।

खंड अ: प्रश्न 61–80 के उत्तर और कारण

61. (C) 60°
सीढ़ी कर्ण है और दीवार पर ऊँचाई लंब है। $\sin\theta=10\sqrt3/20=\sqrt3/2$, और यह मान $60^\circ$ का है।

62. (B) 25°
ऊपर वाले बिंदु से खींची क्षैतिज रेखा भूमि के समांतर है। दृष्टि रेखा इन दोनों के साथ एकांतर कोण बनाती है, जो बराबर होते हैं। इसलिए उन्नयन कोण भी 25° है।

63. (D) 2
वृत्त के बाहर के बिंदु से वृत्त के दोनों ओर एक-एक स्पर्शरेखा खिंचती है। इसलिए कुल दो स्पर्शरेखाएँ बनती हैं।

64. (B) एक बिंदु पर छूती है
केंद्र से रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर है, यानी केंद्र से रेखा पर डाले गए लंब का पाद ठीक वृत्त पर पड़ता है। इसलिए रेखा वृत्त को बस इसी एक बिंदु पर छूती है।

65. (B) 14 सेमी
बाहर के बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं, तो $PA=PB=7$ सेमी। कुल लंबाई $7+7=14$ सेमी।

66. (A) 5 सेमी
स्पर्शबिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए समकोण त्रिभुज बनता है। स्पर्शखंड $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$ सेमी।

67. (A) 70°
दोनों स्पर्शबिंदुओं पर त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच 90° का कोण है। चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है, तो बाकी दो कोणों का योग 180° बचता है। इसलिए त्रिज्याओं के बीच का कोण $180^\circ-110^\circ=70^\circ$।

68. (A) 34 सेमी
वृत्त के परिगत चतुर्भुज में एक जोड़ी सम्मुख भुजाओं का योग दूसरी जोड़ी के योग के बराबर होता है। इसलिए परिमाप $17+17=34$ सेमी।

69. (B) 7
अनुपात 4:3 है, तो सहायक किरण पर $4+3=7$ बराबर भाग लगेंगे। फिर चौथे चिह्न से समांतर रेखा खींचने पर विभाजन बिंदु मिलता है।

70. (D) 10 सेमी
संगत भुजा = मूल भुजा × स्केल गुणक $=12\times5/6=10$ सेमी।

71. (B) $\frac32$
स्केल गुणक = नई भुजा ÷ मूल भुजा $=12/8=3/2$।

72. (A) OP के मध्यबिंदु पर
व्यास का मध्यबिंदु उसके दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है, वही वृत्त का केंद्र है। त्रिज्या $OP/2$ होगी।

73. (A) 3 सेमी
कुल भाग $3+4=7$ हैं, तो छोटा भाग $7\times3/(3+4)=3$ सेमी।

74. (B) 616 वर्ग सेमी
पहले त्रिज्या निकालिए: $28/2=14$ सेमी। क्षेत्रफल $\pi r^2=(22/7)\times14^2=616$ वर्ग सेमी।

75. (A) $12\pi$ वर्ग सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360}\pi r^2$ होता है। $A=(30/360)\pi\times12^2=144\pi/12=12\pi$ वर्ग सेमी।

76. (B) $6\pi+12$ सेमी
अर्धवृत्त के पूरे परिमाप में चाप के साथ व्यास भी जुड़ता है: $\pi r+2r=6\pi+12$ सेमी।

77. (A) $2\pi$ सेमी
चाप की लंबाई $\frac{\theta}{360}\times2\pi r$ होती है। $L=(45/360)\times2\pi\times8=2\pi$ सेमी।

78. (B) 2:3
परिधि $2\pi r$ होती है, यानी त्रिज्या के सीधे अनुपात में बढ़ती है। इसलिए परिधियों का अनुपात भी 2:3 ही रहेगा।

79. (B) $144\pi$ वर्ग सेमी
वलय का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल में से भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल घटाकर मिलता है: $A=\pi(13^2-5^2)=\pi(169-25)=144\pi$ वर्ग सेमी।

80. (C) 45°
पूरा वृत्त केंद्र पर 360° का कोण बनाता है। उसके आठवें भाग का कोण $360^\circ/8=45^\circ$ है।

खंड अ: प्रश्न 81–100 के उत्तर और कारण

81. (D) 3 सेमी
घनाभ का आयतन $V=lbh$ होता है। $120=10\times4\times h$, यानी $40h=120$ और $h=3$ सेमी।

82. (B) $72\pi$ वर्ग सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh$ है। $S=2\pi\times4\times9=72\pi$ वर्ग सेमी।

83. (D) $24\pi$ वर्ग सेमी
पहले तिरछी ऊँचाई निकालिए: $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ सेमी। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r(l+r)=3\pi(5+3)=24\pi$ वर्ग सेमी।

84. (C) $50\pi$ वर्ग सेमी
अर्धगोले का वक्र पृष्ठ $2\pi r^2$ होता है, इसमें ऊपर का समतल वृत्त नहीं गिना जाता। तो $2\pi\times25=50\pi$ वर्ग सेमी।

85. (D) 2:1
गोले का आयतन $4\pi r^3/3$ है और अर्धगोले का इसका आधा, यानी $2\pi r^3/3$। इसलिए अनुपात 2:1 है।

86. (A) 7.5 लीटर
1 लीटर में 1000 घन सेमी होते हैं। इसलिए $7500/1000=7.5$ लीटर।

87. (C) 2 गुना
$V=\pi r^2h$ में $r$ दुगुना करने पर $r^2$ चार गुना हो जाता है और $h$ आधा हो जाता है। कुल गुणक $2^2\times(1/2)=2$, यानी आयतन 2 गुना होगा।

88. (A) 16
चारों मानों का योग $10+14+18+22=64$ है और मान 4 हैं। माध्य $=64/4=16$।

89. (C) 9.5
मान पहले से क्रम में हैं और छह हैं, यानी सम संख्या में। बीच के दो मान 8 और 11 हैं, तो माध्यिका $(8+11)/2=9.5$।

90. (C) 12
गिनकर देखिए: 12 तीन बार, 15 दो बार और 18 एक बार आया है। सबसे ज़्यादा बार 12 आया, इसलिए बहुलक 12 है।

91. (B) 10
वर्ग चौड़ाई ऊपरी सीमा में से निचली सीमा घटाकर मिलती है: $25-15=10$।

92. (D) 12
दूसरे वर्ग तक की संचयी बारंबारता पहले दोनों वर्गों की बारंबारताओं का योग है: $4+8=12$।

93. (B) 26
आनुभविक संबंध बहुलक $=3\times$ माध्यिका $-\,2\times$ माध्य में मान रखिए: $30=3M-2(24)=3M-48$। तो $3M=78$ और माध्यिका $M=26$।

94. (D) 5 बढ़ेगा
हर प्रेक्षण में 5 जुड़ने से $n$ प्रेक्षणों का योग $5n$ बढ़ जाता है। इसे $n$ से भाग देने पर माध्य ठीक 5 बढ़ता है।

95. (D) $\frac12$
पासे पर विषम अंक 1, 3 और 5 हैं, यानी 6 में से 3 परिणाम अनुकूल हैं। प्रायिकता $3/6=1/2$।

96. (C) $\frac34$
चारों परिणाम HH, HT, TH, TT हैं। इनमें कम-से-कम एक पट वाले HT, TH और TT हैं, तो $P=3/4$।

97. (A) $\frac1{26}$
गड्डी में काले बादशाह दो होते हैं, हुकुम का और चिड़ी का। इसलिए प्रायिकता $2/52=1/26$।

98. (B) 1
निश्चित घटना हर बार घटती है, यानी सभी परिणाम अनुकूल होते हैं। अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम $=1$।

99. (B) $\frac14$
कुल गेंदें $3+9=12$ हैं, जिनमें 3 लाल हैं। प्रायिकता $3/12=1/4$।

100. (C) $\frac1{36}$
दो पासों के कुल $6\times6=36$ परिणाम बराबर संभावना वाले हैं। योग 12 सिर्फ़ (6, 6) से आता है, इसलिए प्रायिकता $1/36$ है।

खंड ब: लघु उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 1 (2 अंक)

एक विद्यालय में 144 लड़के और 180 लड़कियाँ हैं। केवल लड़कों या केवल लड़कियों की कतारें बनानी हैं और हर कतार में समान संख्या चाहिए। एक कतार में अधिकतम कितने विद्यार्थी होंगे? कुल कतारें भी बताएँ।

हल:

हर कतार में विद्यार्थियों की संख्या ऐसी होनी चाहिए जो 144 और 180 दोनों को पूरा-पूरा बाँट दे। ऐसी सबसे बड़ी संख्या इन दोनों का म.स. है।

यूक्लिड विभाजन से $180=144\times1+36$ और $144=4\times36+0$। इसलिए म.स. 36 है।

लड़कों की कतारें $144/36=4$ और लड़कियों की कतारें $180/36=5$ होंगी।

तो हर कतार में 36 विद्यार्थी होंगे और कुल 9 कतारें बनेंगी।

प्रश्न 2 (2 अंक)

सिद्ध करें कि $3+2\sqrt2$ अपरिमेय है।

हल:

मान लीजिए $3+2\sqrt2$ परिमेय है और इसे $r$ कहते हैं।

तब $2\sqrt2=r-3$, यानी $\sqrt2=(r-3)/2$। किसी परिमेय संख्या में से 3 घटाकर 2 से भाग दें, तो परिमेय संख्या ही बचती है। इसका मतलब $\sqrt2$ परिमेय हुआ।

पर हम जानते हैं कि $\sqrt2$ अपरिमेय है। यह विरोधाभास हमारी शुरुआती मान्यता के गलत होने से आया है, इसलिए $3+2\sqrt2$ अपरिमेय है।

प्रश्न 3 (2 अंक)

यदि $x^2+kx+8$ का एक शून्यक −2 है, तो k और दूसरा शून्यक निकालें।

हल:

शून्यक −2 का मतलब है कि $x=-2$ रखने पर बहुपद का मान शून्य होगा:

$4-2k+8=0$, यानी $2k=12$ और $k=6$।

अब बहुपद $x^2+6x+8$ है, जिसके गुणनखंड $(x+2)(x+4)$ हैं।

इसलिए $k=6$ और दूसरा शून्यक −4 है।

प्रश्न 4 (2 अंक)

$x^2-3x+1$ के शून्यक α और β हैं। $\alpha^2+\beta^2$ निकालें।

हल:

$ax^2+bx+c$ में शून्यकों का योग $-b/a$ और गुणनफल $c/a$ होता है। यहाँ $\alpha+\beta=3$ और $\alpha\beta=1$ है।

$\alpha^2+\beta^2$ को सीधे नहीं, बल्कि इस सर्वसमिका से निकालते हैं:

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3^2-2=7$$

तो $\alpha^2+\beta^2=7$।

प्रश्न 5 (2 अंक)

तीन पेन और दो कॉपियों का मूल्य ₹64 है। दो पेन और दो कॉपियों का मूल्य ₹56 है। एक पेन और एक कॉपी का मूल्य निकालें।

हल:

मान लीजिए एक पेन का मूल्य $x$ रुपये और एक कॉपी का मूल्य $y$ रुपये है।

प्रश्न से $3x+2y=64$ और $2x+2y=56$। दोनों में $2y$ एक जैसा है, इसलिए पहले समीकरण में से दूसरा घटाते ही $x=8$ मिल जाता है।

दूसरे समीकरण में $x=8$ रखिए: $16+2y=56$, यानी $2y=40$ और $y=20$।

इसलिए एक पेन ₹8 का और एक कॉपी ₹20 की है।

प्रश्न 6 (2 अंक)

किस k के लिए $2x+3y=5$ और $4x+ky=10$ के अनंत हल होंगे?

हल:

दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तब होते हैं जब $a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2$ हो।

$$\frac24=\frac3k=\frac5{10}$$

पहला और आखिरी अनुपात दोनों $1/2$ हैं, इसलिए $3/k=1/2$ और $k=6$। इस मान पर दूसरा समीकरण $4x+6y=10$ बनता है, जो पहले का ठीक दुगुना है।

प्रश्न 7 (2 अंक)

$3x^2-10x+8=0$ को गुणनखंड विधि से हल करें।

हल:

मध्य पद $-10x$ को ऐसे दो भागों में तोड़ते हैं जिनका गुणनफल $3x^2\times8=24x^2$ हो। ऐसे भाग $-6x$ और $-4x$ हैं।

$3x^2-6x-4x+8=0$

$3x(x-2)-4(x-2)=0$

$(3x-4)(x-2)=0$

दोनों गुणनखंडों को शून्य रखने पर $x=4/3$ या $x=2$।

प्रश्न 8 (2 अंक)

$x^2+6x+2=0$ के मूल सूत्र से निकालें।

हल:

$ax^2+bx+c=0$ से तुलना करने पर $a=1$, $b=6$ और $c=2$ है।

$$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(1)(2)}}2=\frac{-6\pm\sqrt{28}}2$$

$\sqrt{28}=2\sqrt7$ है, इसलिए

$$x=-3\pm\sqrt7$$

तो दोनों मूल $-3+\sqrt7$ और $-3-\sqrt7$ हैं।

प्रश्न 9 (2 अंक)

समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … में 102 कौन-सा पद है?

हल:

इस श्रेढ़ी में $a=2$ और $d=7-2=5$ है। मान लीजिए 102 इसका $n$वाँ पद है।

$$a_n=a+(n-1)d\ \Rightarrow\ 102=2+5(n-1)$$

$5(n-1)=100$, इसलिए $n-1=20$ और $n=21$। यानी 102 इस श्रेढ़ी का इक्कीसवाँ पद है।

प्रश्न 10 (2 अंक)

3 के प्रथम 20 धनात्मक गुणजों का योग निकालें।

हल:

3 के गुणज 3, 6, 9, … एक समांतर श्रेढ़ी बनाते हैं, जिसमें $a=3$, $d=3$ और $n=20$ है।

$$S_{20}=\frac{20}{2}[2(3)+19(3)]=10(6+57)=630$$

इसलिए 3 के प्रथम 20 धनात्मक गुणजों का योग 630 है।

प्रश्न 11 (2 अंक)

समरूप त्रिभुजों ABC और PQR में AB=6 सेमी, PQ=9 सेमी और QR=12 सेमी हैं। संगति A↔P, B↔Q, C↔R है। BC तथा उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकालें।

हल:

संगति A↔P, B↔Q, C↔R दी है, इसलिए AB की संगत भुजा PQ है और BC की संगत भुजा QR है। समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:

$$\frac69=\frac{BC}{12}\ \Rightarrow\ BC=8\text{ सेमी}$$

क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है: $(6/9)^2=(2/3)^2=4/9$।

इसलिए BC=8 सेमी है और क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है।

प्रश्न 12 (2 अंक)

एक सीढ़ी दीवार से 5 मीटर दूर भूमि पर टिकी है और दीवार पर 12 मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है। सीढ़ी की लंबाई निकालें।

हल:

दीवार भूमि पर सीधी खड़ी है, इसलिए दीवार, भूमि और सीढ़ी मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं। सीढ़ी इसका कर्ण है।

$$l^2=5^2+12^2=25+144=169$$

$l=\sqrt{169}=13$, इसलिए सीढ़ी की लंबाई 13 मीटर है।

प्रश्न 13 (2 अंक)

बिंदु (−1, −1), (2, 3), (5, 7) संरेख हैं या नहीं? दूरी सूत्र से जाँचें।

हल:

बिंदुओं को A(−1, −1), B(2, 3) और C(5, 7) नाम देते हैं और तीनों दूरियाँ निकालते हैं:

$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ और $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$।

दो छोटी दूरियों का योग $5+5=10$ ठीक तीसरी दूरी के बराबर है, यानी AB+BC=AC। इसलिए तीनों बिंदु संरेख हैं और B इन दोनों के बीच में है।

प्रश्न 14 (2 अंक)

A(−3, 2) तथा B(9, 8) को AP:PB=1:3 में आंतरिक रूप से बाँटने वाले P के निर्देशांक निकालें।

हल:

यहाँ $m:n=1:3$ है। विभाजन सूत्र $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$ में मान रखिए:

$$P=\left(\frac{1(9)+3(-3)}4,\frac{1(8)+3(2)}4\right)=\left(0,\frac{14}4\right)$$

$14/4=7/2$, इसलिए P के निर्देशांक $(0,7/2)$ हैं।

प्रश्न 15 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए $\sec A=13/12$ है। $\tan A$ निकालें।

हल:

$\sec A=\frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}}=\frac{13}{12}$ है, तो कर्ण 13k और आधार 12k मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय से लंब $=\sqrt{(13k)^2-(12k)^2}=\sqrt{25k^2}=5k$।

इसलिए $\tan A=5k/(12k)=5/12$।

प्रश्न 16 (2 अंक)

न्यूनकोण A के लिए सिद्ध करें: $\frac{1+\tan^2 A}{1+\cot^2 A}=\tan^2 A$।

हल:

बायाँ पक्ष लेते हैं। इसमें $1+\tan^2 A=\sec^2 A$ और $1+\cot^2 A=\cosec^2 A$ रखने पर बायाँ पक्ष $=\frac{\sec^2 A}{\cosec^2 A}$ बनता है।

$$=\frac{1/\cos^2 A}{1/\sin^2 A}=\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}=\tan^2 A$$

यही दायाँ पक्ष है, इसलिए बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, सिद्ध हुआ।

प्रश्न 17 (2 अंक)

भूमि के बिंदु से 18 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। आधार से उस बिंदु की दूरी निकालें।

हल:

मीनार भूमि पर सीधी खड़ी है। बिंदु से मीनार के आधार की दूरी $x$ मीटर मान लीजिए। मीनार की ऊँचाई लंब है और $x$ आधार:

$$\tan30^\circ=\frac{18}{x}\ \Rightarrow\ \frac1{\sqrt3}=\frac{18}{x}$$

वज्र-गुणन करने पर $x=18\sqrt3$। इसलिए बिंदु की आधार से दूरी $18\sqrt3$ मीटर है।

प्रश्न 18 (2 अंक)

एक सीढ़ी का पाँव दीवार से 6 मीटर दूर है। सीढ़ी भूमि से 60° बनाती है। सीढ़ी की लंबाई तथा दीवार पर पहुँची ऊँचाई निकालें।

हल:

यहाँ सीढ़ी कर्ण है, दीवार से उसके पाँव की दूरी आधार है और दीवार पर ऊँचाई लंब है। सीढ़ी की लंबाई $L$ मीटर मानिए:

$\cos60^\circ=6/L$, यानी $1/2=6/L$, इसलिए L=12 मीटर।

ऊँचाई के लिए tan लेते हैं: $h=6\tan60^\circ=6\sqrt3$ मीटर।

तो सीढ़ी 12 मीटर लंबी है और दीवार पर $6\sqrt3$ मीटर ऊँचाई तक पहुँचती है।

प्रश्न 19 (2 अंक)

वृत्त का केंद्र O है। बाह्य बिंदु P से स्पर्शखंड PT=8 सेमी और OP=10 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या निकालें।

हल:

स्पर्शबिंदु T पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, यानी $OT\perp PT$। इसलिए त्रिभुज OTP में T पर समकोण है और OP कर्ण है।

$$OT^2=OP^2-PT^2=10^2-8^2=100-64=36$$

$OT=\sqrt{36}=6$, इसलिए वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है।

प्रश्न 20 (2 अंक)

वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD में AB=10, BC=7 और CD=6 सेमी हैं। AD तथा परिमाप निकालें।

हल:

परिगत चतुर्भुज के हर शीर्ष से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। इसी से सम्मुख भुजाओं के योग बराबर निकलते हैं: $AB+CD=BC+AD$।

मान रखने पर $10+6=7+AD$, यानी AD=9 सेमी।

परिमाप $=10+7+6+9=32$ सेमी।

इसलिए AD=9 सेमी और परिमाप 32 सेमी है।

प्रश्न 21 (2 अंक)

8 सेमी के रेखाखंड AB को 3:1 में बाँटने की रचना के चरण लिखें।

हल:

1. 8 सेमी का रेखाखंड AB खींचिए। A से एक किरण AX ऐसी खींचिए जो AB के साथ न्यूनकोण बनाए।
2. अनुपात 3:1 है, तो कुल $3+1=4$ भाग चाहिए। AX पर बराबर दूरी पर चार बिंदु $A_1,A_2,A_3,A_4$ अंकित कीजिए।
3. $A_4B$ को मिलाइए। अब $A_3$ से $A_4B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो AB को P पर काटे।
4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $AP:PB=3:1$, यानी P ही वांछित बिंदु है। नापकर देखिए, AP=6 सेमी और PB=2 सेमी आना चाहिए।

प्रश्न 22 (2 अंक)

किसी त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की भुजाएँ उसकी 2/5 गुनी बनाई गई हैं। दोनों के परिमाप और क्षेत्रफल के अनुपात लिखें।

हल:

नए त्रिभुज की हर भुजा मूल त्रिभुज की संगत भुजा की 2/5 गुनी है, यानी संगत भुजाओं का अनुपात 2:5 है। परिमाप भुजाओं का योग ही है, इसलिए परिमापों का अनुपात भी 2:5 होगा।

क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है: $(2/5)^2=4/25$। इसलिए क्षेत्रफलों का अनुपात 4:25 है।

प्रश्न 23 (2 अंक)

7 सेमी त्रिज्या के वृत्त में 120° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360}\pi r^2$ होता है। यहाँ $\theta=120^\circ$ और $r=7$ सेमी है:

$$A=\frac{120}{360}\pi r^2=\frac13\times\frac{22}{7}\times7^2=\frac{154}{3}$$

इसलिए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $154/3$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 24 (2 अंक)

एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 100 चक्कर में वह कितनी दूरी तय करेगा? फिसलन न हो और $\pi=22/7$ लें।

हल:

पहिया एक चक्कर में अपनी परिधि जितनी दूरी तय करता है।

$$C=\pi d=\frac{22}{7}\times70=220\text{ सेमी}$$

100 चक्करों में दूरी $=220\times100=22000$ सेमी है। 100 सेमी का 1 मीटर होता है, इसलिए यह $220$ मीटर हुई।

तो पहिया 220 मीटर दूरी तय करेगा।

प्रश्न 25 (2 अंक)

त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी के शंकु का आयतन निकालें। उत्तर π में दें।

हल:

शंकु का आयतन $V=\frac13\pi r^2h$ होता है। इसमें $r=6$ और $h=9$ रखिए:

$$V=\frac13\pi\times6^2\times9=108\pi$$

उत्तर π में ही रखना है, इसलिए आयतन $108\pi$ घन सेमी है।

प्रश्न 26 (2 अंक)

3 सेमी भुजा वाले आठ ठोस घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाया जाता है। पदार्थ की हानि न हो तो उसकी भुजा निकालें।

हल:

पिघलाकर नया घन बनाने में कुल आयतन नहीं बदलता। एक छोटे घन का आयतन $3^3=27$ घन सेमी है, तो आठ घनों का कुल आयतन $8\times27=216$ घन सेमी हुआ।

बड़े घन की भुजा $a$ हो, तो $a^3=216=6^3$।

इसलिए बड़े घन की भुजा 6 सेमी है।

प्रश्न 27 (2 अंक)

मान 2, 4, 6 और 8 की बारंबारताएँ क्रमशः 1, 2, 3 और 4 हैं। माध्य निकालें।

हल:

पहले कुल बारंबारता निकालिए: $\sum f=1+2+3+4=10$।

फिर हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करके जोड़िए:

$$\sum fx=1(2)+2(4)+3(6)+4(8)=2+8+18+32=60$$

$$\bar x=60/10=6$$

इसलिए माध्य 6 है।

प्रश्न 28 (2 अंक)

एक वितरण का माध्य 32 और बहुलक 38 है। आनुभविक संबंध से माध्यिका निकालें।

हल:

आनुभविक संबंध है: बहुलक $=3\times\text{माध्यिका}-2\times\text{माध्य}$।

माध्यिका को $M$ मानकर मान रखिए: $38=3M-2(32)=3M-64$। तो $3M=102$ और $M=34$।

इसलिए अनुमानित माध्यिका 34 है।

प्रश्न 29 (2 अंक)

एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है। 2 या 3 से विभाजित होने वाला अंक मिलने की प्रायिकता निकालें।

हल:

पासे पर 1 से 6 तक के अंक आते हैं। इनमें 2 से विभाजित होने वाले 2, 4, 6 हैं और 3 से विभाजित होने वाले 3, 6 हैं। 6 दोनों में है, उसे एक ही बार गिनिए। तो अनुकूल अंक 2, 3, 4, 6 हैं।

कुल छह परिणामों में से चार अनुकूल हैं।

इसलिए प्रायिकता $=4/6=\mathbf{2/3}$।

प्रश्न 30 (2 अंक)

एक थैले में 5 लाल, 7 नीली और 8 सफेद समान गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकालते हैं। उसके न नीली और न सफेद होने की प्रायिकता निकालें।

हल:

गेंद न नीली हो और न सफेद, तो वह लाल ही होगी। लाल गेंदें 5 हैं।

कुल गेंदें $5+7+8=20$ हैं।

इसलिए प्रायिकता $=5/20=\mathbf{1/4}$।

खंड ब: दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों के हल

प्रश्न 31 (5 अंक)

ग्राफ विधि से $x+y=7$ तथा $2x-y=2$ हल करें। पहली रेखा द्वारा दोनों निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल भी निकालें।

हल:

ग्राफ बनाने के लिए दोनों समीकरणों को y के रूप में लिखते हैं: पहली रेखा $y=7-x$ और दूसरी $y=2x-2$। हर रेखा के लिए तीन बिंदु निकालते हैं:

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके दोनों सीधी रेखाएँ खींचते हैं।

दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 4) पर कटती हैं। इसलिए x=3 और y=4।

उत्तर सही है या नहीं, समीकरणों में रखकर देख लेते हैं: $3+4=7$ और $2(3)-4=2$। दोनों ठीक बैठते हैं।

अब पहली रेखा x-अक्ष को (7, 0) पर और y-अक्ष को (0, 7) पर काटती है। मूलबिंदु के साथ यह एक समकोण त्रिभुज बनाती है, जिसकी लंब भुजाएँ 7 और 7 इकाई हैं।

$$\text{क्षेत्रफल}=\frac12\times7\times7=\frac{49}{2}$$

इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल 24.5 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 32 (5 अंक)

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग $7/12$ है। द्विघात समीकरण बनाकर दोनों संख्याएँ निकालें।

हल:

छोटी संख्या $x$ मान लीजिए, तो अगली क्रमागत संख्या $x+1$ होगी। यहाँ $x$ धनात्मक पूर्णांक है।

प्रश्न के अनुसार

$$\frac1x+\frac1{x+1}=\frac7{12}$$

$$\frac{2x+1}{x(x+1)}=\frac7{12}$$

$$12(2x+1)=7x(x+1)$$

$$24x+12=7x^2+7x\ \Rightarrow\ 7x^2-17x-12=0$$

अब मध्य पद $-17x$ को $-21x$ और $+4x$ में तोड़ते हैं:

$$7x^2-21x+4x-12=0$$

$$(7x+4)(x-3)=0$$

इससे $x=-4/7$ या $x=3$। पहला मान धनात्मक पूर्णांक नहीं है, इसलिए उसे छोड़ देते हैं। तो $x=3$ और अगली संख्या 4 है।

इसलिए दोनों संख्याएँ 3 और 4 हैं। जाँच भी आसान है: $1/3+1/4=7/12$।

प्रश्न 33 (5 अंक)

100 और 500 के बीच 7 से विभाजित होने वाले सभी पूर्णांकों की संख्या और उनका योग निकालें।

हल:

100 से बड़ा 7 का पहला गुणज 105 है और 500 से छोटा आखिरी गुणज 497 है।

ये संख्याएँ 105, 112, 119, …, 497 हैं। यह समांतर श्रेढ़ी है, जिसमें $a=105$ और $d=7$ है।

पदों की संख्या $n$ मानकर अंतिम पद के सूत्र में रखिए:

$$497=105+(n-1)7$$

$$392=7(n-1)\ \Rightarrow\ n-1=56\ \Rightarrow\ n=57$$

इसलिए ऐसे 57 पूर्णांक हैं।

योग के लिए पहला और अंतिम पद दोनों मालूम हैं, तो यह सूत्र सबसे आसान रहेगा:

$$S_n=\frac n2(a+l)$$

$$S_{57}=\frac{57}{2}(105+497)=\frac{57}{2}\times602=57\times301=17157$$

इसलिए इन सभी पूर्णांकों का योग 17157 है।

प्रश्न 34 (5 अंक)

सिद्ध करें कि वृत्त के एक बाह्य बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। फिर यदि उन्हीं स्पर्शखंडों की लंबाइयाँ 3x−2 और x+8 सेमी हों, तो x और प्रत्येक स्पर्शखंड की लंबाई निकालें।

हल:

केंद्र O वाला एक वृत्त लीजिए और बाहर के बिंदु P से उस पर दो स्पर्शरेखाएँ PA और PB खींचिए। OA, OB और OP को मिलाइए।

स्पर्शबिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$।

अब समकोण त्रिभुज OAP और OBP की तुलना कीजिए:

• कर्ण OP दोनों में उभयनिष्ठ है।
• OA=OB, क्योंकि दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

RHS कसौटी से दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए PA=PB।

दोनों स्पर्शखंड बराबर हैं, तो दी गई लंबाइयों को बराबर रखिए:

$$3x-2=x+8\ \Rightarrow\ 2x=10\ \Rightarrow\ x=5$$

$$PA=3(5)-2=13,\qquad PB=5+8=13$$

इसलिए x=5 है और हर स्पर्शखंड 13 सेमी लंबा है।

प्रश्न 35 (5 अंक)

AB=7 सेमी, AC=6 सेमी और BC=4 सेमी का त्रिभुज ABC बनाएँ। फिर उसके समरूप ऐसा त्रिभुज बनाएँ जिसकी संगत भुजाएँ मूल त्रिभुज की 3/4 गुनी हों। रचना के चरण और औचित्य लिखें।

हल:

रचना:

1. AB=7 सेमी का रेखाखंड खींचिए। A को केंद्र मानकर 6 सेमी और B को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या के चाप लगाइए। चाप जहाँ कटें, वह बिंदु C है। AC और BC मिलाइए।
2. AB के जिस ओर C है, उसकी दूसरी ओर A से एक किरण AX खींचिए जो AB के साथ न्यूनकोण बनाए। स्केल गुणक 3/4 का हर 4 है, इसलिए AX पर चार बराबर भाग लेकर $A_1,A_2,A_3,A_4$ अंकित कीजिए।
3. $A_4B$ मिलाइए। $A_3$ से $A_4B$ के समांतर रेखा खींचिए, जो AB को B′ पर काटे।
4. B′ से BC के समांतर रेखा खींचिए, जो AC को C′ पर काटे। AB′C′ ही वांछित त्रिभुज है।

औचित्य: $A_3B'\parallel A_4B$ है, इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $AB'/AB=AA_3/AA_4=3/4$।

फिर $B'C'\parallel BC$ होने से दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं, यानी $\triangle AB'C'\sim\triangle ABC$। इसलिए

$$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac34$$

नापकर जाँच सकते हैं: नई भुजाएँ $7\times3/4=5.25$, $6\times3/4=4.5$ और $4\times3/4=3$ सेमी आनी चाहिए।

प्रश्न 36 (5 अंक)

समतल भूमि पर A और B दो बिंदु 48 मीटर दूर हैं। एक मीनार का आधार O, AB पर इनके बीच है। A से शीर्ष का उन्नयन कोण 30° और B से 60° है। मीनार की ऊँचाई तथा दोनों बिंदुओं से उसके आधार की दूरी निकालें।

हल:

मीनार का शीर्ष T और ऊँचाई h मीटर मान लीजिए। आधार O, A और B के बीच है, इसलिए AO=x मीटर मानने पर BO=48−x मीटर होगा।

समकोण त्रिभुज AOT से

$$\tan30^\circ=\frac hx\ \Rightarrow\ h=\frac{x}{\sqrt3}\quad(1)$$

समकोण त्रिभुज BOT से

$$\tan60^\circ=\frac h{48-x}\ \Rightarrow\ h=\sqrt3(48-x)\quad(2)$$

दोनों में h एक ही है, इसलिए (1) और (2) को बराबर रखिए: $x/\sqrt3=\sqrt3(48-x)$।

दोनों ओर $\sqrt3$ से गुणा करने पर $x=144-3x$, यानी $4x=144$ और $x=36$।

इसलिए AO=36 मीटर और BO=12 मीटर।

अब (1) में $x=36$ रखिए: $h=36/\sqrt3=12\sqrt3$।

तो मीनार की ऊँचाई $12\sqrt3$ मीटर है, जो लगभग 20.78 मीटर होती है।

प्रश्न 37 (5 अंक)

एक मैदान में 80 मीटर लंबे और 28 मीटर चौड़े आयत के दोनों छोटे सिरों पर बाहर की ओर अर्धवृत्त जुड़े हैं। मैदान के चारों ओर बाहर 3.5 मीटर चौड़ा समानांतर रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल तथा उसकी बाहरी सीमा की लंबाई निकालें। $\pi=22/7$ लें।

हल:

दोनों अर्धवृत्तों का व्यास 28 मीटर है और दोनों मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं। भीतरी त्रिज्या $r=28/2=14$ मीटर है। रास्ता 3.5 मीटर चौड़ा है, तो बाहरी त्रिज्या $R=14+3.5=17.5$ मीटर होगी।

सीधे हिस्सों की लंबाई भीतर और बाहर दोनों तरफ़ 80 मीटर ही रहती है। आयत की चौड़ाई भीतर 28 मीटर और बाहर 35 मीटर है।

रास्ते का क्षेत्रफल निकालने के लिए बाहरी आकृति के क्षेत्रफल में से भीतरी आकृति का क्षेत्रफल घटाइए:

$$A=(80\times35+\pi R^2)-(80\times28+\pi r^2)$$

$$=80(35-28)+\frac{22}{7}(17.5^2-14^2)$$

$$=560+\frac{22}{7}(306.25-196)=560+346.5=906.5$$

इसलिए रास्ते का क्षेत्रफल 906.5 वर्ग मीटर है।

बाहरी सीमा में दो सीधे भाग और दो अर्धवृत्त हैं। दोनों अर्धवृत्त मिलकर त्रिज्या R वाले वृत्त की पूरी परिधि बनाते हैं:

$$P=2\times80+2\pi R=160+2\times\frac{22}{7}\times17.5=270$$

इसलिए बाहरी सीमा की लंबाई 270 मीटर है।

प्रश्न 38 (5 अंक)

निम्न वितरण का माध्य और माध्यिका निकालें। ऊपरी वर्ग सीमा अगले वर्ग में शामिल है।

हल:

हर वर्ग का वर्ग चिह्न उसकी दोनों सीमाओं का औसत होता है, जैसे 0–10 का वर्ग चिह्न 5 है। माध्य और माध्यिका दोनों के लिए एक ही सारणी बना लेते हैं:

$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{900}{40}=22.5$$

इसलिए माध्य 22.5 है।

माध्यिका के लिए $N=40$, तो $N/2=20$। संचयी बारंबारता 16 से सीधे 30 पर पहुँचती है, यानी 20 वाला प्रेक्षण 20–30 वर्ग में है। यही माध्यिका वर्ग है।

इस वर्ग के लिए $l=20$, $f=14$, $h=10$ और पिछले वर्ग तक की संचयी बारंबारता $cf=16$ है।

$$M=l+\frac{N/2-cf}{f}\,h=20+\frac{20-16}{14}\times10$$

$$=20+\frac{20}{7}=\frac{160}{7}$$

इसलिए माध्यिका $160/7$ है, यानी लगभग 22.86।