रैखिक समीकरण और अधिकतम या न्यूनतम मान

एक चर वाला रैखिक समीकरण

जिस समीकरण में अज्ञात केवल पहली घात में आता है, उसे एक चर वाला रैखिक समीकरण (linear equation) कहते हैं। जैसे $3x + 7 = 22$। इसे हल करने का नियम एक ही है। एक पक्ष पर जो कीजिए, वही दूसरे पक्ष पर भी कीजिए। हल करते समय हम किसी पद को $=$ चिह्न के दूसरी ओर ले जाते हैं और उसका चिह्न बदल देते हैं।

• $5x - 8 = 2x + 13$ में $2x$ को बाईं ओर ले जाइए और $-8$ को दाईं ओर। $3x = 21$ आता है, तो $x = 7$।
• कोष्ठक हों, तो पहले उन्हें खोलिए। $4(x - 3) - 2(x + 1) = 6$ खोलने पर $4x - 12 - 2x - 2 = 6$ मिलता है। इससे $2x = 20$, यानी $x = 10$।

भिन्नों वाले समीकरण: समीकरण में भिन्नें हों, तो पूरे समीकरण को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स. या LCM) से गुणा कर दीजिए। भिन्नें हट जाएँगी। जैसे $\frac{x}{3} - \frac{x - 4}{5} = 2$ में हर पद को 15 से गुणा कीजिए।

$$5x - 3(x - 4) = 30 \quad\Rightarrow\quad 5x - 3x + 12 = 30 \quad\Rightarrow\quad x = 9$$

यहाँ $x - 4$ को कोष्ठक में ही रहने दीजिए। सबसे ज़्यादा गलती यहीं होती है। छात्र सीधे $5x - 3x - 4$ लिख देते हैं। कोष्ठक के आगे वाला ऋण चिह्न $-4$ पर भी लगता है, तभी वह $+12$ होता है।

तिरछा गुणा: जब दोनों पक्षों पर एक-एक भिन्न हो, तो आर-पार गुणा कर दीजिए। इसे तिरछा गुणा (cross-multiplication) कहते हैं। जैसे $\frac{4x - 3}{2x + 1} = \frac{9}{7}$ में ऐसा करने पर यह मिलता है।

$$7(4x - 3) = 9(2x + 1) \quad\Rightarrow\quad 28x - 21 = 18x + 9 \quad\Rightarrow\quad 10x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = 3$$

दशमलव: दशमलव वाले समीकरण को पहले पूरा का पूरा 10 या 100 से गुणा कर लीजिए। $0.3x + 1.2 = 0.5x - 0.4$ को 10 से गुणा करने पर $3x + 12 = 5x - 4$ मिलता है। तो $2x = 16$ और $x = 8$।

हर में अज्ञात: $\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x + 2}$ में तिरछा गुणा करने पर $5x + 10 = 3x - 6$ आता है, तो $x = -8$। ऐसे प्रश्न में अंत में देख लीजिए कि कोई हर शून्य तो नहीं हो रहा। यहाँ दोनों हर $-10$ और $-6$ हैं, इसलिए $x = -8$ ठीक है।

कोई हल नहीं, या हर संख्या हल: कभी-कभी हल करते हुए $x$ पूरा कट जाता है। $3(x + 2) = 3x + 6$ में दोनों पक्ष हमेशा बराबर रहते हैं, तो यह हर $x$ के लिए सही है। ऐसा समीकरण असल में सर्वसमिका है। वहीं $3(x + 2) = 3x + 5$ कभी सही नहीं हो सकता। इसका कोई हल नहीं है।

सरल असमिकाएँ: असमिका (inequality) भी इसी ढंग से हल होती है। बस एक नियम और याद रखिए। दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करें या उससे भाग दें, तो असमिका का चिह्न उलट जाता है। जैसे $-2x > 6$ से $x < -3$ मिलता है। दूसरा उदाहरण $5 - 3x \le 2x - 10$ है। इसमें $15 \le 5x$ आता है, यानी $x \ge 3$।

दो चर: प्रतिस्थापन और विलोपन

अज्ञात दो हों, तो समीकरण भी दो चाहिए। इन्हें हल करने के दो सीधे तरीके हैं।

प्रतिस्थापन: एक समीकरण से किसी एक अक्षर का मान दूसरे अक्षर के रूप में निकाल लीजिए, और उसे दूसरे समीकरण में रख दीजिए। इसे प्रतिस्थापन विधि (substitution method) कहते हैं। जैसे $x + 2y = 11$ और $3x - y = 5$ दिए हैं। दूसरे समीकरण से $y = 3x - 5$ मिलता है। इसे पहले में रखने पर $x + 2(3x - 5) = 11$ आता है, जो सरल करने पर $7x = 21$ हो जाता है। तो $x = 3$ और $y = 4$।

विलोपन: गुणा करके किसी एक अक्षर का गुणांक दोनों समीकरणों में बराबर कर लीजिए, फिर दोनों को जोड़ दीजिए या घटा दीजिए। यह विलोपन विधि (elimination method) है। जैसे $3x + 4y = 18$ और $5x - 2y = 4$ में दूसरे समीकरण को दोगुना कीजिए, $10x - 4y = 8$ आता है। इसे पहले में जोड़ें, तो $13x = 26$ और $x = 2$। फिर $6 + 4y = 18$ से $y = 3$।

जोड़ना है या घटाना, यह चिह्न देखकर तय कीजिए। जिन पदों को हटाना है, उनके चिह्न उलटे हों तो जोड़िए, और एक-से हों तो घटाइए।

तिरछे गुणा का सूत्र: $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ का हल सीधे इस सूत्र से भी निकलता है।

$$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \qquad y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$

ऊपर वाला जोड़ा ही लेते हैं। दोनों भिन्नों का हर एक ही है, $3(-2) - 5(4) = -26$। तब $x = \frac{18(-2) - 4(4)}{-26} = \frac{-52}{-26} = 2$ और $y = \frac{3(4) - 5(18)}{-26} = \frac{-78}{-26} = 3$।

$\frac{1}{x}$ और $\frac{1}{y}$ वाले समीकरण: ऐसे समीकरणों में $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ रख दीजिए। ये साधारण रैखिक समीकरण हो जाते हैं। जैसे $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$ और $\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = -1$ दिए हों, तो ये $2u + 3v = 2$ और $4u - 9v = -1$ हो जाते हैं। पहले को तीन गुना करके दूसरे में जोड़िए, $10u = 5$ आता है। तो $u = \frac{1}{2}$, और फिर $v = \frac{1}{3}$। अब इन्हें वापस पलटिए, तो $x = 2$ और $y = 3$ मिलते हैं।

[Tier 2] $\frac{xy}{x + y}$ वाला रूप: यहाँ हर समीकरण को उलट दीजिए, क्योंकि $\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ होता है। मान लीजिए $\frac{xy}{x + y} = \frac{6}{5}$ और $\frac{xy}{x - y} = 6$ दिए हैं। उलटने पर $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$ और $\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$ मिलते हैं। दोनों को जोड़ने पर $\frac{2}{y} = 1$ से $y = 2$ मिलता है, और घटाने पर $\frac{2}{x} = \frac{2}{3}$ से $x = 3$।

[SSC टिप] जो जोड़ा उत्तर लगे, उसे दोनों समीकरणों में रखकर जाँच लीजिए। SSC अक्सर ऐसा गलत विकल्प भी देता है, जो केवल एक ही समीकरण में सही होता है। $\frac{1}{x}$ वाले समीकरणों में $u$ और $v$ निकालकर रुक न जाइए, क्योंकि पूछा $x$ और $y$ गया है।

अदला-बदली वाले गुणांक, अनुपात, अक्षर-गुणांक

गुणांकों की अदला-बदली: कभी दोनों समीकरणों में $x$ और $y$ के आगे वाली संख्याएँ आपस में जगह बदल लेती हैं। तब पहले दोनों समीकरणों को जोड़िए, फिर एक में से दूसरा घटाइए।

$$ax + by = p, \quad bx + ay = q \quad\Rightarrow\quad x + y = \frac{p + q}{a + b}, \quad x - y = \frac{p - q}{a - b}$$

जैसे $47x + 31y = 63$ और $31x + 47y = 15$ लीजिए। जोड़ने पर $78x + 78y = 78$, तो $x + y = 1$। घटाने पर $16x - 16y = 48$, तो $x - y = 3$। इनसे $x = 2$ और $y = -1$ निकल आते हैं, और कोई बड़ा गुणा भी नहीं करना पड़ा। जाँच भी कर लीजिए, $94 - 31 = 63$ और $62 - 47 = 15$।

अक्सर प्रश्न में केवल $x + y$, $x - y$ या $x^2 - y^2$ पूछा जाता है। तब अलग-अलग मान निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। यहाँ $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 1 \times 3 = 3$।

अनुपात दिया हो: मान लीजिए प्रश्न है, "यदि $x : y = 3 : 4$ और $2x + 3y = 36$ है, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।" यहाँ $x = 3m$ और $y = 4m$ लिख लीजिए। तब $6m + 12m = 36$, तो $m = 2$। अब $x = 6$ और $y = 8$। इस तरह दो अज्ञात वाले दो समीकरणों की जगह एक अज्ञात वाला एक ही समीकरण हल करना पड़ता है।

पूरा हल किए बिना: प्रश्न $2x + y$ जैसा कुछ पूछे, तो हल करने से पहले देख लीजिए कि कहीं यह दिए गए समीकरणों का योग या अंतर तो नहीं है। जैसे $5x + 3y = 29$ और $3x + 2y = 18$ को घटाते ही $2x + y = 11$ मिल जाता है। (पूरा हल करें, तो $x = 4$ और $y = 3$ आते हैं, और $8 + 3 = 11$ से मेल भी हो जाता है।)

[Tier 2] गुणांकों की जगह अक्षर: कभी $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ और $ax - by = a^2 - b^2$ जैसा जोड़ा आता है। देखने में यह कठिन लगता है, पर इसका उत्तर अक्सर साफ़-सुथरा होता है, जैसे $x = a$ और $y = b$। इन्हें रखकर देखिए। $\frac{a}{a} + \frac{b}{b} = 2$ और $a \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2$, दोनों सही हैं। ऐसे जोड़े का एक ही हल होता है, इसलिए यही उत्तर है। यहाँ विकल्प रखकर जाँचना सबसे तेज़ तरीका है।

तीन चर: तीनों का जोड़, मूल्य वाले प्रश्न

जोड़ों के योग: मान लीजिए "$x + y = 11$, $y + z = 15$ और $z + x = 14$" दिए हैं। तीनों को जोड़ दीजिए। हर अक्षर दो बार आता है, तो $2(x + y + z) = 40$ और $x + y + z = 20$। अब कुल में से एक-एक जोड़ा घटाइए। $z = 20 - 11 = 9$, $x = 20 - 15 = 5$ और $y = 20 - 14 = 6$। यहाँ आधा करना न भूलिए। कई छात्र $x + y + z$ को ही 40 मान लेते हैं।

पूरा समीकरण निकाय: जैसे $x + y + z = 6$, $2x - y + z = 3$ और $x + 2y - z = 2$ दिए हैं। यहाँ एक ही अक्षर को दो बार हटाना है। पहला और तीसरा समीकरण जोड़ें, तो $z$ हट जाता है और $2x + 3y = 8$ बचता है। दूसरा और तीसरा जोड़ें, तो फिर $z$ हट जाता है और $3x + y = 5$ मिलता है। अब इन दो नए समीकरणों में से दूसरे से $y = 5 - 3x$ मिलता है। इसे पहले में रखें, तो $2x + 15 - 9x = 8$ आता है। इससे $x = 1$, $y = 2$ और $z = 3$। परीक्षा में अक्सर विकल्पों को तीनों समीकरणों में रखकर जाँचना जल्दी हो जाता है।

चक्रीय बिल: यह प्रश्न देखिए, "2 बिस्कुट, 3 चॉकलेट और 1 कॉफ़ी का मूल्य ₹68 है; 3 बिस्कुट, 1 चॉकलेट और 2 कॉफ़ी का मूल्य ₹70 है; 1 बिस्कुट, 2 चॉकलेट और 3 कॉफ़ी का मूल्य ₹90 है।" मूल्यों को $b$ (बिस्कुट), $c$ (चॉकलेट) और $f$ (कॉफ़ी) मान लेते हैं। तीनों बिलों में हर वस्तु कुल $2 + 3 + 1 = 6$ बार आई है। तो तीनों बिल जोड़ने पर $6(b + c + f) = 228$ आता है। मतलब एक बिस्कुट, एक चॉकलेट और एक कॉफ़ी मिलाकर ₹38 की हैं।

अब अलग-अलग मूल्य निकालने के लिए हर बिल में से $2(b + c + f) = 76$ घटाइए। इससे $c - f = -8$, $b - c = -6$ और $f - b = 14$ मिलते हैं। तो $c = b + 6$ और $f = b + 14$। इन्हें तीनों के जोड़ में रखें, तो $3b + 20 = 38$। इससे $b = 6$, $c = 12$ और $f = 20$ निकलते हैं।

दो बिल और तीन वस्तुएँ: अब यह प्रश्न देखिए, "3 पेन, 5 नोटबुक और 2 रबर का मूल्य ₹166 है; 4 पेन, 7 नोटबुक और 3 रबर का मूल्य ₹233 है। 2 पेन, 3 नोटबुक और 1 रबर का मूल्य ज्ञात कीजिए।" यहाँ मूल्य तीन हैं और बिल केवल दो। इसलिए अलग-अलग मूल्य तो नहीं निकलेंगे, पर जो बिल पूछा गया है, वह निकल आता है।

ऐसी दो संख्याएँ $m$ और $n$ ढूँढ़िए कि $m(3, 5, 2) + n(4, 7, 3) = (2, 3, 1)$ हो जाए। पेन से $3m + 4n = 2$ मिलता है और रबर से $2m + 3n = 1$। इनसे $m = 2$ और $n = -1$। नोटबुक पर भी जाँच लीजिए, $10 - 7 = 3$, तो मेल ठीक है। अब पूछा गया बिल $2 \times 166 - 233 = 99$ रुपये है।

परीक्षा में एक ख़ास तरह का प्रश्न बहुत आता है। दूसरे बिल में हर वस्तु पहले बिल से ठीक 2 अधिक होती है, जैसे 3, 5, 4 और 5, 7, 6। तब दोनों बिलों का अंतर हर वस्तु की 2 इकाइयों का मूल्य होता है। तो एक-एक वस्तु का मिलाकर मूल्य उस अंतर का आधा होगा।

संगतता: एक, कोई नहीं या अनंत हल

दो समीकरणों का जोड़ा दिया हो, तो पहले दोनों को $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के रूप में लिखिए। फिर दोनों समीकरणों के गुणांकों के अनुपात आपस में मिलाकर देखिए। इसी से पता चलता है कि जोड़ा संगत (consistent) है या असंगत (inconsistent), और उसके कितने हल हैं।

शर्त	हलों की संख्या	दोनों रेखाएँ
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	ठीक एक (संगत)	एक बिंदु पर काटती हैं
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	कोई नहीं (असंगत)	समांतर
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	अनंत	एक ही रेखा

• $x + 2y = 4$ और $3x - y = 5$ में $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{-1}$ है, तो ठीक एक हल है।
• $2x + 3y = 7$ और $4x + 6y = 9$ में $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है, पर $\frac{7}{9} \neq \frac{1}{2}$। तो कोई हल नहीं है।
• $3x - y = 5$ और $6x - 2y = 10$ में हर अनुपात $\frac{1}{2}$ है, तो अनंत हल हैं। दूसरा समीकरण पहले का ही दोगुना है।

अचर को दाईं ओर रखिए ($= c$) या बाईं ओर ले जाइए ($+ c = 0$), इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। बस दोनों समीकरण एक ही ढंग से लिखे होने चाहिए।

कोई हल नहीं, तो $k$ कितना: मान लीजिए "$kx + 3y = 5$ और $8x + 6y = 7$ का कोई हल नहीं है।" तब $\frac{k}{8} = \frac{3}{6}$ होना चाहिए, जिससे $k = 4$ आता है। फिर अचरों को भी देख लीजिए। $\frac{5}{7} \neq \frac{1}{2}$ है, तो $k = 4$ पर सचमुच कोई हल नहीं है।

अनंत हल, तो $k$ कितना: अब मान लीजिए "$3x + 2y = 8$ और $(k + 1)x + (k - 1)y = 4k - 4$ के अनंत हल हैं।" $\frac{3}{k + 1} = \frac{2}{k - 1}$ से $3k - 3 = 2k + 2$ मिलता है, तो $k = 5$। जाँच कर लेते हैं। तब अनुपात $\frac{3}{6}$, $\frac{2}{4}$ और $\frac{8}{16}$ होते हैं, जो सब $\frac{1}{2}$ के बराबर हैं। तो $k = 5$ सही है।

अद्वितीय हल: मान लीजिए "$kx + 2y = 5$ और $3x + y = 1$ का अद्वितीय हल है।" अद्वितीय हल (unique solution) का मतलब है ठीक एक हल। इसके लिए $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{1}$ चाहिए, यानी $k$ का मान 6 को छोड़कर कुछ भी हो सकता है।

[SSC टिप] $x$ और $y$ वाले अनुपातों से $k$ मिल जाए, तो अचरों का अनुपात भी हमेशा देख लीजिए। वह भी उतना ही निकले, तो उत्तर "अनंत हल" होगा, "कोई हल नहीं" नहीं। SSC विकल्पों में ये दोनों ही देता है।

शाब्दिक प्रश्न: संख्याएँ, अंक, भिन्न

हर शाब्दिक प्रश्न (word problem) एक ही ढर्रे पर हल होता है। पहले अज्ञात राशियों के लिए अक्षर मान लीजिए। फिर प्रश्न के हर वाक्य से एक समीकरण लिखिए। समीकरण हल कीजिए, और अंत में उत्तर को प्रश्न के शब्दों से मिलाकर देख लीजिए।

शब्दों में	बीजगणित में
एक संख्या दूसरी से 7 अधिक	$x = y + 7$
किसी संख्या के दोगुने से 5 कम	$2x - 5$
तीन क्रमागत संख्याएँ	$x$, $x + 1$, $x + 2$
तीन क्रमागत विषम (या सम) संख्याएँ	$x$, $x + 2$, $x + 4$
दो अंकों की संख्या, दहाई अंक $a$ और इकाई अंक $b$	$10a + b$
वही संख्या, अंक उलटने पर	$10b + a$

संख्याएँ: मान लीजिए "दो संख्याओं का योग 74 है और उनका अंतर 18 है।" तब बड़ी संख्या $\frac{74 + 18}{2} = 46$ है और छोटी $\frac{74 - 18}{2} = 28$।

एक और प्रश्न देखिए, "एक संख्या, दूसरी संख्या के तीन गुने से 5 कम है, और दोनों का योग 43 है।" दूसरी संख्या को अज्ञात मान लीजिए। पहली संख्या उसके तीन गुने से 5 कम है, तो समीकरण $x + (3x - 5) = 43$ होगा। इससे $x = 12$ आता है। यह दूसरी संख्या है, और पहली संख्या 31 है।

क्रमागत संख्याएँ: "तीन क्रमागत सम संख्याओं का योग 102 है।" तब $x + (x + 2) + (x + 4) = 102$ से $3x + 6 = 102$ और $x = 32$ आता है। संख्याएँ 32, 34 और 36 हैं। इससे छोटा रास्ता भी है। बीच वाली संख्या ही औसत होती है, तो वह $102 \div 3 = 34$ है।

दो अंकों की संख्याएँ: "दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 11 है। अंक उलटने पर बनी संख्या, मूल संख्या से 45 अधिक है।" दहाई अंक $a$ और इकाई अंक $b$ लेते हैं। तब $a + b = 11$, और $(10b + a) - (10a + b) = 9(b - a) = 45$, तो $b - a = 5$। इनसे $a = 3$ और $b = 8$, तो संख्या 38 है। जाँच भी कर लीजिए, $83 - 38 = 45$।

यह बात हमेशा याद रखिए। संख्या में से अंक उलटने पर बनी संख्या घटाएँ, तो $9(a - b)$ आता है। दोनों को जोड़ें, तो $11(a + b)$ आता है।

भिन्नें: "अंश और हर दोनों में 2 जोड़ने पर एक भिन्न $\frac{2}{3}$ हो जाती है। दोनों में से 1 घटाने पर वह $\frac{1}{2}$ हो जाती है।" भिन्न को $\frac{x}{y}$ मान लीजिए। पहली बात से $3(x + 2) = 2(y + 2)$ आता है, और खोलने पर $3x - 2y = -2$। दूसरी बात से $2(x - 1) = y - 1$, यानी $y = 2x - 1$। इसे पहले वाले में रखें, तो $3x - 4x + 2 = -2$। इससे $x = 4$ और $y = 7$ मिलते हैं। भिन्न $\frac{4}{7}$ है। जाँच कर लीजिए, $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ और $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

अंक वाले प्रश्नों में यह भी देख लीजिए कि जो मान मिले, वे सचमुच अंक हों। यानी 0 से 9 तक की पूर्ण संख्याएँ हों, और दहाई अंक 0 न हो। विकल्प जाँचते समय भी ध्यान रखिए कि विकल्प प्रश्न की हर शर्त पूरी करे, केवल पहली शर्त नहीं।

शाब्दिक प्रश्न: मूल्य, टिकट, सिक्के, अंक

दो वस्तुओं के मूल्य: "4 कुर्सियों और 3 मेज़ों का मूल्य ₹6,000 है; 5 कुर्सियों और 2 मेज़ों का मूल्य ₹5,400 है। एक मेज़ का मूल्य ज्ञात कीजिए।" कुर्सी का मूल्य $c$ और मेज़ का $t$ मान लेते हैं। तब $4c + 3t = 6000$ और $5c + 2t = 5400$। हमें $c$ हटाना है, तो पहले समीकरण को 5 से और दूसरे को 4 से गुणा कीजिए। $20c + 15t = 30000$ और $20c + 8t = 21600$ आते हैं। घटाने पर $7t = 8400$, तो मेज़ ₹1,200 की है और कुर्सी ₹600 की।

टिकट, सबको एक ही किस्म का मानकर: "500 टिकट बिके, वयस्कों के ₹120 वाले और बच्चों के ₹70 वाले; कुल ₹48,500 मिले। बच्चों के कितने टिकट बिके?" मान लीजिए सारे 500 टिकट वयस्कों के होते। तब ₹60,000 मिलते, जो असली कुल से ₹11,500 अधिक है। वयस्क की जगह बच्चे का हर टिकट ₹50 कम लाता है। तो बच्चों के टिकट $11500 \div 50 = 230$ हैं, और वयस्कों के 270। समीकरणों से भी यही उत्तर आता है। वयस्कों के टिकट $p$ और बच्चों के $q$ लें, तो $p + q = 500$ और $120p + 70q = 48500$।

सिक्के: "₹5 और ₹2 के 40 सिक्कों का कुल मूल्य ₹134 है।" सारे सिक्के ₹2 के होते, तो ₹80 होते। ₹134 तक पहुँचने के लिए ₹54 और चाहिए। ₹2 की जगह ₹5 का हर सिक्का ₹3 और जोड़ता है। तो ₹5 के 18 सिक्के हैं और ₹2 के 22।

ऋणात्मक अंकन वाले अंक: ऋणात्मक अंकन (negative marking) वाला यह प्रश्न देखिए, "एक परीक्षा में 50 प्रश्न हैं: सही उत्तर पर 3 अंक मिलते हैं और गलत उत्तर पर 1 अंक कटता है। एक छात्र सभी प्रश्नों के उत्तर देता है और 102 अंक पाता है।" मान लीजिए $r$ उत्तर सही हैं और $w$ गलत। तब $r + w = 50$ और $3r - w = 102$। दोनों को जोड़ने पर $4r = 152$, तो $r = 38$ और $w = 12$।

निश्चित शुल्क और उसके ऊपर दर: "एक टैक्सी एक निश्चित राशि और उसके ऊपर प्रति किमी एक दर लेती है। 12 किमी की यात्रा का किराया ₹220 और 20 किमी की यात्रा का ₹340 है।" अतिरिक्त 8 किमी के लिए ₹120 और लगे, तो दर ₹15 प्रति किमी है। निश्चित राशि $220 - 12 \times 15 = 40$ रुपये है। अब 30 किमी की यात्रा का किराया $40 + 30 \times 15 = 490$ रुपये होगा।

दो लोगों के बीच लेन-देन: "यदि आशा, बीना को ₹50 दे, तो दोनों के पास बराबर राशि हो जाती है। यदि बीना, आशा को ₹50 दे, तो आशा के पास बीना से दोगुनी राशि हो जाती है।" आशा के पास $p$ और बीना के पास $q$ रुपये मान लेते हैं। पहली बात से $p - 50 = q + 50$, तो $p - q = 100$। दूसरी बात से $p + 50 = 2(q - 50)$, जिसे सरल करने पर $p - 2q = -150$ मिलता है। घटाने पर $q = 250$ और $p = 350$। एक बात पर ध्यान दीजिए। ₹50 देने से बराबरी इसीलिए हुई, क्योंकि दोनों का अंतर ₹50 का दोगुना था।

जहाँ भी दो किस्म की चीज़ें गिननी हों, जैसे टिकट, सिक्के, या 2 और 4 पैरों वाले जानवर, वहाँ टिकट और सिक्कों वाला यही तरीका चलता है, और हल एक पंक्ति में हो जाता है। सब कुछ सस्ती किस्म का मानकर कुल निकालिए। देखिए कि असली कुल से कितना अंतर है। फिर उस अंतर को दोनों मूल्यों के अंतर से भाग दे दीजिए।

पूर्ण वर्ग से न्यूनतम और अधिकतम मान

किसी संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, $(x - h)^2 \ge 0$। यह 0 केवल तब होता है, जब $x = h$ हो। तो व्यंजक को "एक वर्ग + एक संख्या" के रूप में लिख लीजिए। न्यूनतम मान तुरंत दिख जाएगा।

वर्ग पूरा करने का तरीका: पूर्ण वर्ग बनाना (completing the square) आसान है। $x$ के गुणांक का आधा लीजिए, उसका वर्ग कीजिए, और उसे जोड़कर घटा दीजिए।

$$x^2 - 8x + 21 = (x^2 - 8x + 16) + 5 = (x - 4)^2 + 5$$

वर्ग कभी 0 से कम नहीं होता, तो व्यंजक भी 5 से कम नहीं हो सकता। न्यूनतम मान 5 है, और यह $x = 4$ पर मिलता है। इसका कोई अधिकतम मान नहीं है, क्योंकि व्यंजक जितना चाहे उतना बड़ा हो सकता है।

$x^2$ वाला पद ऋणात्मक हो: तब अधिकतम मान मिलता है। $-x^2 + 6x + 2 = 11 - (x - 3)^2$, तो अधिकतम मान 11 है, $x = 3$ पर। इसका कोई न्यूनतम मान नहीं है।

$x^2$ के आगे कोई संख्या हो: पहले उस संख्या को $x$ वाले पदों से बाहर निकाल लीजिए। $2x^2 - 12x + 23 = 2(x^2 - 6x) + 23 = 2(x - 3)^2 - 18 + 23 = 2(x - 3)^2 + 5$। तो न्यूनतम मान 5 है, $x = 3$ पर।

[Tier 2] सीधा सूत्र: $ax^2 + bx + c$ का मोड़ $x = -\frac{b}{2a}$ पर आता है। मोड़ वह जगह है जहाँ व्यंजक घटते-घटते बढ़ने लगता है, या बढ़ते-बढ़ते घटने लगता है। वहाँ व्यंजक का मान यह होता है।

$$c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$$

$a > 0$ हो, तो यह न्यूनतम मान है, और $a < 0$ हो, तो अधिकतम मान। जैसे $2x^2 - 12x + 23$ में $23 - \frac{144}{8} = 23 - 18 = 5$ आता है, और यह $x = \frac{12}{4} = 3$ पर मिलता है।

भिन्नें: $\frac{1}{x^2 - 4x + 7}$ का अधिकतम मान तब होगा, जब हर सबसे छोटा हो। $x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3$, तो हर कम से कम 3 है। अधिकतम मान $\frac{1}{3}$ है, जब $x = 2$ हो।

दो चर: हर अक्षर में अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाइए। $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 20 = (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 7$, तो न्यूनतम मान 7 है। यह $x = 3$, $y = -2$ पर मिलता है।

वर्गों के योग: $(x - 2)^2 + (x - 8)^2$ सबसे छोटा तब होगा, जब $x$, 2 और 8 के ठीक बीच में हो। तो $x = 5$ पर मान $9 + 9 = 18$ आता है। ऐसे तीन वर्ग हों, तो $x$ को तीनों संख्याओं का औसत लीजिए।

जब $x$ पर रोक हो: $x^2 - 8x + 21$ का न्यूनतम मान 5 है, $x = 4$ पर। पर मान लीजिए प्रश्न में शर्त है कि $x \ge 6$। तब $x = 4$ लिया ही नहीं जा सकता। $x = 4$ के बाद व्यंजक बढ़ता ही जाता है, इसलिए $x \ge 6$ के लिए न्यूनतम मान $x = 6$ पर मिलेगा, यानी $36 - 48 + 21 = 9$।

[SSC टिप] न्यूनतम मान वह संख्या है जो अंत में बचती है, वह $x$ नहीं जिस पर यह मिलता है। $x^2 - 8x + 21$ के विकल्पों में 5 और 4 दोनों दिए होते हैं। न्यूनतम मान केवल 5 है।

$x + \frac{1}{x} \ge 2$, स्थिर योग, स्थिर गुणनफल

व्युत्क्रम वाला नियम: हर धनात्मक $x$ के लिए यह सही है।

$$x + \frac{1}{x} \ge 2, \quad \text{बराबरी केवल तब, जब } x = 1$$

इसकी वजह एक पंक्ति में देखिए। $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x - 1)^2}{x}$, और $x > 0$ पर यह ऋणात्मक हो ही नहीं सकता।

• इसी तरह हर $x \neq 0$ के लिए $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$, और बराबरी $x = \pm 1$ पर होती है।
• $x$ ऋणात्मक हो, तो चिह्न उलट जाते हैं, $x + \frac{1}{x} \le -2$।
• इसलिए किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $x + \frac{1}{x}$ का मान $-2$ और $2$ के बीच कभी नहीं आता। हाँ, ठीक इन्हीं दो सिरों पर आ सकता है। प्रश्न में $x + \frac{1}{x} = 1$ दिया हो, तो समझ लीजिए कि यह किसी वास्तविक $x$ की बात नहीं है। ऐसे प्रश्न का तरीका "व्युत्क्रम रूप (x + 1/x) और करणी वाले मान" वाले खंड में देखिए।

गुणक वाला रूप: धनात्मक $x$ के लिए $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ab}$। न्यूनतम मान तब मिलता है, जब दोनों भाग बराबर हों, यानी $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ पर। जैसे $4x + \frac{9}{x}$ का न्यूनतम मान $2\sqrt{36} = 12$ है। यह $x = \frac{3}{2}$ पर मिलता है, जहाँ दोनों भाग 6 हो जाते हैं। इसी तरह $x^2 + \frac{16}{x^2}$ का न्यूनतम मान $2\sqrt{16} = 8$ है, $x^2 = 4$ पर।

AM-GM: धनात्मक संख्याओं का औसत कम से कम उनके गुणोत्तर माध्य (geometric mean) जितना होता है, $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$। बराबरी केवल $a = b$ पर होती है। इसी को AM-GM असमिका कहते हैं। तीन संख्याओं के लिए यह $\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$ हो जाती है। इसके दो बड़े उपयोग हैं।

• योग स्थिर हो, तो संख्याएँ बराबर होने पर गुणनफल सबसे बड़ा होता है। $x + y = 18$ हो, तो $xy \le 81$, और यह $x = y = 9$ पर होता है। $x + y + z = 12$ हो, तो $xyz \le 64$, जो 4, 4 और 4 पर मिलता है।
• गुणनफल स्थिर हो, तो संख्याएँ बराबर होने पर योग सबसे छोटा होता है। $xy = 49$ हो और दोनों धनात्मक हों, तो $x + y \ge 14$।

स्थिर योग के साथ व्युत्क्रम: धनात्मक $a$, $b$, $c$ के लिए $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$। इसलिए $a + b + c = 1$ हो, तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ का न्यूनतम मान 9 है, जो $a = b = c = \frac{1}{3}$ पर मिलता है।

स्थिर योग के साथ वर्ग: वर्गों का योग भी तब सबसे छोटा होता है, जब संख्याएँ बराबर हों। $x + y = 10$ हो, तो $x^2 + y^2 \ge 50$, क्योंकि $x^2 + y^2 = \frac{(x + y)^2 + (x - y)^2}{2}$। इसी तरह $x + y + z = 9$ हो, तो $x^2 + y^2 + z^2 \ge 27$। ये दोनों बातें ऋणात्मक संख्याओं पर भी लागू होती हैं।

[Tier 2] जब गुणांक अलग-अलग हों: यह प्रश्न देखिए, "यदि $2x + 3y = 24$ है, जहाँ $x$ और $y$ धनात्मक हैं, तो $xy$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।" यहाँ दोनों भाग बराबर कीजिए, $2x = 3y = 12$। तब $x = 6$, $y = 4$ और $xy = 24$। पूर्ण वर्ग से भी यही आता है, $xy = \frac{x(24 - 2x)}{3} = 24 - \frac{2}{3}(x - 6)^2$।

एक बात और याद रखिए। ये नियम केवल धनात्मक संख्याओं पर लगते हैं। साथ ही यह भी देखिए कि संख्याएँ सचमुच बराबर हो सकती हैं या नहीं। जैसे $x$ और $y$ पूर्ण संख्याएँ हों और $x + y = 15$, तो सबसे बड़ा गुणनफल $7 \times 8 = 56$ है, $7.5 \times 7.5$ नहीं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

हल कीजिए: $\frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{4} = 2$ (a) $x = 19$ (b) $x = 5$ (c) $x = 13$ (d) $x = 11$

उत्तर: पहले हर पद को 12 से गुणा करके भिन्नें हटा देते हैं। $4(x + 2) - 3(x - 1) = 24$ मिलता है। अब कोष्ठक ध्यान से खोलना है, क्योंकि ऋण × ऋण = धन होता है। $4x + 8 - 3x + 3 = 24$ से $x + 11 = 24$, तो (c) $x = 13$। जाँच भी कर लेते हैं, $\frac{15}{3} - \frac{12}{4} = 5 - 3 = 2$। जल्दबाज़ी में कई लोग $-3x + 3$ की जगह $-3x - 3$ लिख देते हैं और $x = 19$ पर पहुँच जाते हैं। यही गलत मान विकल्प (a) में दिया है।

प्रश्न 2

हल कीजिए: $\frac{3x - 4}{2x + 1} = \frac{5}{4}$ (a) $x = \frac{21}{2}$ (b) $x = \frac{11}{2}$ (c) $x = -\frac{21}{2}$ (d) $x = \frac{9}{2}$

उत्तर: यहाँ तिरछा गुणा करते हैं। $4(3x - 4) = 5(2x + 1)$, और खोलने पर $12x - 16 = 10x + 5$। तो $2x = 21$ और (a) $x = \frac{21}{2}$। यही मान वापस रखकर जाँच लेते हैं। $3 \times 10.5 - 4 = 27.5$ और $2 \times 10.5 + 1 = 22$, और $\frac{27.5}{22} = \frac{5}{4}$, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 3

यदि $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2$ और $\frac{9}{x} - \frac{4}{y} = 1$ है, तो $x + y$ का मान क्या है? (a) $\frac{5}{6}$ (b) 5 (c) 6 (d) $\frac{1}{5}$

उत्तर: $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$ रख देते हैं। समीकरण $3u + 2v = 2$ और $9u - 4v = 1$ हो जाते हैं। पहले को दोगुना करें, तो $6u + 4v = 4$। इसे दूसरे में जोड़ने पर $15u = 5$, तो $u = \frac{1}{3}$। फिर $1 + 2v = 2$ से $v = \frac{1}{2}$। अब वापस पलटते हैं, $x = 3$ और $y = 2$, तो $x + y$ = (b) 5। ध्यान रखिए, $\frac{5}{6}$ तो $u + v$ है। वापस न पलटें, तो यही गलत मान हाथ आता है।

प्रश्न 4

यदि $29x + 23y = 110$ और $23x + 29y = 98$ है, तो $x^2 - y^2$ का मान क्या है? (a) 4 (b) 2 (c) 10 (d) 8

उत्तर: यहाँ गुणांकों ने आपस में जगह बदली है, तो जोड़ेंगे भी और घटाएँगे भी। जोड़ने पर $52x + 52y = 208$, तो $x + y = 4$। घटाने पर $6x - 6y = 12$, तो $x - y = 2$। अब $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 4 \times 2$ = (d) 8। (यहाँ $x = 3$ और $y = 1$ हैं।)

प्रश्न 5

यदि $x : y = 5 : 3$ और $4x - 3y = 33$ है, तो $x + y$ का मान क्या है? (a) 24 (b) 8 (c) 15 (d) 33

उत्तर: $x = 5m$ और $y = 3m$ लिख लेते हैं। तब $4(5m) - 3(3m) = 20m - 9m = 11m = 33$, तो $m = 3$। इससे $x = 15$ और $y = 9$, और $x + y$ = (a) 24।

प्रश्न 6

[Tier 2] यदि $\frac{xy}{x + y} = \frac{12}{7}$ और $\frac{xy}{x - y} = 12$ है, तो $x$ का मान क्या है? (a) 3 (b) 4 (c) $\frac{1}{4}$ (d) 12

उत्तर: दोनों समीकरण उलट देते हैं। $\frac{x + y}{xy} = \frac{7}{12}$, मतलब $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{7}{12}$। और $\frac{x - y}{xy} = \frac{1}{12}$, मतलब $\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$। पहले में से दूसरा घटाएँ, तो $\frac{2}{x} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, इसलिए $x$ = (b) 4। जोड़ने पर $\frac{2}{y} = \frac{8}{12}$, तो $y = 3$। ये मान रखें, तो दोनों भिन्नें $\frac{12}{7}$ और $\frac{12}{1}$ आती हैं, जैसा प्रश्न में दिया है। $\frac{1}{4}$ वाले विकल्प से बचिए, वह $\frac{1}{x}$ है, $x$ नहीं।

प्रश्न 7

यदि $a + b = 23$, $b + c = 30$ और $c + a = 27$ है, तो $b$ का मान क्या है? (a) 10 (b) 17 (c) 13 (d) 20

उत्तर: तीनों को जोड़ते हैं। हर अक्षर दो बार आता है, तो $2(a + b + c) = 80$ और $a + b + c = 40$। अब वह जोड़ा लेते हैं जिसमें $b$ नहीं है, $c + a = 27$। तो $b = 40 - 27$ = (c) 13। इसी तरह $a = 10$ और $c = 17$ निकलते हैं। आधा करना भूल गए, तो $a + b + c = 80$ मानकर $b = 53$ आएगा। यह किसी विकल्प में है ही नहीं, और यही संकेत है कि कहीं चूक हुई है।

प्रश्न 8

हल कीजिए: $x + y + z = 9$, $2x + y - z = 3$ और $x - y + 2z = 7$। (a) $x = 3$, $y = 2$, $z = 4$ (b) $x = 1$, $y = 4$, $z = 4$ (c) $x = 2$, $y = 4$, $z = 3$ (d) $x = 2$, $y = 3$, $z = 4$

उत्तर: हर विकल्प के तीनों मानों का योग 9 है, तो पहला समीकरण इनमें फ़र्क नहीं कर पाएगा। बाकी दो समीकरण ही मदद करेंगे। पहले दो समीकरण जोड़ने पर $z$ हट जाता है और $3x + 2y = 12$ मिलता है। दूसरे का दोगुना और तीसरा जोड़ें, तो फिर $z$ हट जाता है और $5x + y = 13$ आता है। इनसे $y = 13 - 5x$, और $3x + 26 - 10x = 12$, तो $x = 2$, $y = 3$ और $z = 9 - 5 = 4$। उत्तर (d) $x = 2$, $y = 3$, $z = 4$ है। तीसरे समीकरण में रखकर जाँच लेते हैं, $2 - 3 + 8 = 7$।

प्रश्न 9

2 केक, 3 पेस्ट्री और 1 जूस का मूल्य ₹145 है; 3 केक, 1 पेस्ट्री और 2 जूस का मूल्य ₹160 है; 1 केक, 2 पेस्ट्री और 3 जूस का मूल्य ₹145 है। एक केक का मूल्य कितना है? (a) ₹30 (b) ₹25 (c) ₹20 (d) ₹75

उत्तर: तीनों बिलों में हर वस्तु कुल $2 + 3 + 1 = 6$ बार आई है। तो तीनों बिल जोड़ने पर $6 \times (\text{केक} + \text{पेस्ट्री} + \text{जूस}) = 450$ आता है। मतलब एक केक, एक पेस्ट्री और एक जूस मिलाकर ₹75 के हैं। इसका दोगुना, ₹150, हर बिल में से घटाते हैं। दूसरे बिल में से घटाने पर $160 - 150 = 10$ बचता है। यह केक और पेस्ट्री के मूल्यों का अंतर है, यानी केक, पेस्ट्री से ₹10 महँगा है। तीसरे बिल से $145 - 150 = -5$ आता है, तो जूस, केक से ₹5 सस्ता है। अब पेस्ट्री का मूल्य $p$ मानें, तो $p + (p + 10) + (p + 5) = 75$ से $p = 20$, और केक = (a) ₹30।

प्रश्न 10

3 पेन, 5 पेंसिल और 4 रबर का मूल्य ₹97 है, तथा 5 पेन, 7 पेंसिल और 6 रबर का मूल्य ₹149 है। 1 पेन, 1 पेंसिल और 1 रबर का मिलाकर मूल्य कितना है? (a) ₹52 (b) ₹26 (c) ₹13 (d) ₹24

उत्तर: मूल्य तीन हैं और बिल केवल दो, तो हर मूल्य अलग-अलग निकालने की कोशिश नहीं करेंगे। दोनों बिलों की तुलना करते हैं। दूसरे बिल में ठीक 2 पेन, 2 पेंसिल और 2 रबर अधिक हैं। बिलों में $149 - 97 = 52$ रुपये का जो अंतर है, वह इन्हीं का मूल्य है। तो एक-एक वस्तु का मिलाकर मूल्य $52 \div 2$ = (b) ₹26 है। ₹52 पर रुकना गलत है, क्योंकि वह तो हर वस्तु की दो-दो इकाइयों का मूल्य है।

प्रश्न 11

$k$ के किस मान के लिए समीकरणों $2x + ky = 5$ और $6x + 15y = 11$ का कोई हल नहीं होगा? (a) 45 (b) 3 (c) 5 (d) $\frac{5}{2}$

उत्तर: कोई हल न हो, इसके लिए $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ चाहिए। तो $\frac{2}{6} = \frac{k}{15}$, और इससे $k$ = (c) 5। अब अचरों को भी देख लेते हैं। $\frac{5}{11}$, $\frac{1}{3}$ के बराबर नहीं है, तो रेखाएँ सचमुच समांतर हैं और कोई हल नहीं है।

प्रश्न 12

समीकरणों $(a - 1)x + 3y = 2$ और $6x + (1 - 2b)y = 6$ के अनंत हल हैं। $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए। (a) $a = 3$, $b = -4$ (b) $a = 3$, $b = 4$ (c) $a = 19$, $b = -4$ (d) $a = -1$, $b = 4$

उत्तर: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। अचरों से $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ मिलता है, तो हर अनुपात $\frac{1}{3}$ होना चाहिए। $\frac{a - 1}{6} = \frac{1}{3}$ से $a - 1 = 2$, तो $a = 3$। और $\frac{3}{1 - 2b} = \frac{1}{3}$ से $1 - 2b = 9$, तो $b = -4$। उत्तर (a) $a = 3$, $b = -4$ है।

प्रश्न 13

समीकरण-युग्म $kx - 4y = 3$ और $6x - 12y = 9$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है? (a) $k = 2$ होने पर कोई हल नहीं (b) $k = 2$ होने पर अनंत हल, अन्यथा ठीक एक हल (c) $k$ के प्रत्येक मान के लिए ठीक एक हल (d) $k = 6$ होने पर कोई हल नहीं

उत्तर: $y$ वाला अनुपात $\frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$ है, और अचरों का अनुपात $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$। दोनों एक ही हैं। अब अगर $\frac{k}{6} = \frac{1}{3}$ हो, यानी $k = 2$, तो तीनों अनुपात बराबर हो जाते हैं और अनंत हल मिलते हैं। तब दूसरा समीकरण पहले का ही 3 गुना है। $k$ का कोई और मान हो, तो $x$ वाला अनुपात अलग रहता है और ठीक एक हल मिलता है। इसलिए उत्तर (b) $k = 2$ होने पर अनंत हल, अन्यथा ठीक एक हल है। "$k = 2$ होने पर कोई हल नहीं" वाला कथन गलत है, क्योंकि $k = 2$ पर अचरों का अनुपात भी वही है।

प्रश्न 14

दो संख्याओं का योग 85 है, और बड़ी संख्या, छोटी संख्या के दोगुने से 13 अधिक है। बड़ी संख्या कौन-सी है? (a) 24 (b) 49 (c) 57 (d) 61

उत्तर: छोटी संख्या $y$ मान लेते हैं, तो बड़ी $2y + 13$ होगी। योग से $y + 2y + 13 = 85$, तो $3y = 72$ और $y = 24$। बड़ी संख्या = $2 \times 24 + 13$ = (d) 61। दोनों को जोड़कर देख लेते हैं, $61 + 24 = 85$।

प्रश्न 15

दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के योग की 7 गुनी है। अंकों को उलटने पर बनी संख्या, मूल संख्या से 27 कम है। वह संख्या क्या है? (a) 36 (b) 84 (c) 63 (d) 42

उत्तर: दहाई अंक $a$ और इकाई अंक $b$ लेते हैं। पहली शर्त से $10a + b = 7(a + b)$। इससे $3a = 6b$, तो $a = 2b$। दूसरी शर्त से मूल संख्या में से उलटी संख्या घटाने पर $9(a - b) = 27$, तो $a - b = 3$। अब $a = 2b$ रखें, तो $b = 3$ और $a = 6$। संख्या (c) 63 है। जाँच कर लेते हैं। $6 + 3 = 9$ और $7 \times 9 = 63$। अंक उलटने पर 36 आता है, जो $63 - 27$ है।

प्रश्न 16

किसी भिन्न का हर उसके अंश से 3 अधिक है। यदि अंश और हर दोनों में 4 जोड़ दिया जाए, तो भिन्न $\frac{3}{4}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है? (a) $\frac{5}{8}$ (b) $\frac{9}{12}$ (c) $\frac{8}{11}$ (d) $\frac{2}{5}$

उत्तर: भिन्न को $\frac{x}{x + 3}$ मान लेते हैं। अंश और हर दोनों में 4 जोड़ने पर $\frac{x + 4}{x + 7} = \frac{3}{4}$। तिरछा गुणा करें, तो $4x + 16 = 3x + 21$ और $x = 5$। भिन्न (a) $\frac{5}{8}$ है। इसके अंश और हर में 4 जोड़ने पर सचमुच $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ आता है।

प्रश्न 17

80 प्रश्नों की एक परीक्षा में प्रत्येक सही उत्तर के लिए 2 अंक मिलते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर पर 0.5 अंक काटा जाता है। एक छात्र सभी प्रश्न हल करता है और 115 अंक प्राप्त करता है। उसके कितने उत्तर गलत थे? (a) 62 (b) 20 (c) 15 (d) 18

उत्तर: मान लेते हैं कि सभी 80 उत्तर सही होते। तब 160 अंक मिलते। सही उत्तर की तुलना में हर गलत उत्तर पर $2 + 0.5 = 2.5$ अंक का घाटा होता है। मिलने वाले 2 अंक भी गए, और ऊपर से 0.5 कट गए। अंक $160 - 115 = 45$ कम आए हैं, तो गलत उत्तर $45 \div 2.5$ = (d) 18 हैं। समीकरणों से भी यही आता है। $r + w = 80$ और $2r - 0.5w = 115$ से $r = 62$ और $w = 18$ मिलते हैं।

प्रश्न 18

एक प्लंबर आने का एक निश्चित शुल्क और उसके ऊपर प्रति घंटा एक दर लेता है। 3 घंटे के काम का खर्च ₹950 और 5 घंटे के काम का खर्च ₹1,450 है। 8 घंटे के काम का खर्च कितना होगा? (a) ₹2,000 (b) ₹2,200 (c) ₹2,400 (d) ₹2,450

उत्तर: 2 घंटे अधिक काम करने पर खर्च $1450 - 950 = 500$ रुपये बढ़ा, तो दर ₹250 प्रति घंटा है। निश्चित शुल्क $950 - 3 \times 250 = 200$ रुपये है। अब 8 घंटे का खर्च $200 + 8 \times 250$ = (b) ₹2,200 होगा। कई लोग दिए गए दोनों बिल सीधे जोड़कर ₹2,400 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि इसमें निश्चित शुल्क दो बार गिन लिया जाता है।

प्रश्न 19

$x^2 + 10x + 32$ का न्यूनतम मान क्या है? (a) $-5$ (b) 32 (c) 7 (d) 57

उत्तर: पूर्ण वर्ग बनाते हैं। 10 का आधा 5 है, और $5^2 = 25$। तो $x^2 + 10x + 32 = (x + 5)^2 + 7$। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, और $x = -5$ पर यह 0 हो जाता है। तो न्यूनतम मान (c) 7 है।

प्रश्न 20

$5 + 8x - 2x^2$ का अधिकतम मान क्या है? (a) 13 (b) 2 (c) 5 (d) 21

उत्तर: $x$ वाले पदों से $-2$ बाहर निकाल लेते हैं। $5 - 2(x^2 - 4x) = 5 - 2[(x - 2)^2 - 4] = 13 - 2(x - 2)^2$। घटाया जाने वाला भाग कभी ऋणात्मक नहीं होता, तो व्यंजक अधिक से अधिक 13 हो सकता है, और यह $x = 2$ पर होता है। अधिकतम मान (a) 13 है। सूत्र से भी यही आता है, $c - \frac{b^2}{4a} = 5 - \frac{64}{-8} = 5 + 8 = 13$।

प्रश्न 21

$x^2 + y^2 + 4x - 10y + 35$ का न्यूनतम मान क्या है? (a) 35 (b) 6 (c) 64 (d) $-6$

उत्तर: दोनों अक्षरों में अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाते हैं। $x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$ और $y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25$। तो व्यंजक = $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + 35 - 4 - 25 = (x + 2)^2 + (y - 5)^2 + 6$। दोनों वर्ग एक साथ 0 हो सकते हैं, $x = -2$ और $y = 5$ पर। इसलिए न्यूनतम मान (b) 6 है।